programaciÓn lineal matemáticas i · programaciÓn lineal matemáticas i pl-2 un club de fútbol...

PROGRAMACIÓN LINEAL Matemáticas I

PL-1 Sea la función ( ), 0.4 3.2f x y x y= − + , sujeta a las restricciones:

74 45

0 50

x yx yx y

xy

+ ≤⎧⎪ + ≥⎪⎪⎨ + ≥⎪ ≤ ≤⎪

≥⎪⎩a) Represéntese la región S del plano determinada por el conjunto de restricciones. b) Calcúlense los puntos de la región S donde la función f alcanza sus valores máximo y mínimo c) Calcúlense dichos valores máximo y mínimo. (PAU Madrid CCSS Junio 2010 FG)

Solución:

Representamos las restricciones en un gráfico, viendo las coordenadas de dos puntos.

( ) ( )( ) (

( ) ( )

7 0,7 y 7,

4 4 0,1 y 4,0

5 0,5 y 0 5

0

x y

x y

x yx

y

⎧ + ≤ →⎪

+ ≥ →⎪⎪ + ≥ →⎨⎪ ≤ ≤⎪⎪ ≥⎩

)0

2,7

Asimismo representamos la función

( )( )( )0,0

, 0.4 3.2 08,1

f x y x y⎧⎪= − + = → ⎨⎪⎩

x + y = 7

( )1,6( )0,7

( )0,1

( )2,7

x = 5

x + 4y = 4

Y trazamos las paralelas a la misma en la región factible, determinando así los puntos en donde se produce el máximo ( )1,6 y el mínimo ( )5,0 .

Para calcular su valor sustituimos en la función ( ),f x y .

( )( )1,6 0.4 3.2 6 18.8

5,0 0.4 5 2

f

f

= − + ⋅ =

= − ⋅ = −

-0.4x + 3.2y = 0 ( )4,0 ( )5,0

x + 5 = y

( )7,0

( )0,5

Iñigo Zunzunegui Monterrubio 1 de 54 [email protected]


PL-2 Un club de fútbol dispone de un máximo de 2 millones de euros para fichajes de futbolistas españoles y extranjeros. Se estima que el importe total de las camisetas vendidas por el club con el nombre de futbolistas españoles es igual al 10% de la cantidad total invertida por el club en fichajes de españoles, mientras que el importe total de las camisetas vendidas con el nombre de futbolistas extranjeros es igual al 15% de la cantidad total invertida por el club en fichajes de extranjeros. Los estatutos del club limitan a un máximo de 800.000 euros la inversión total en fichajes extranjeros y exigen que la cantidad total invertida en fichajes de futbolistas españoles sea como mínimo de 500.000 euros. Además la cantidad total invertida en fichajes de españoles ha de ser mayor o igual que la invertida en fichajes extranjeros. ¿Qué cantidad debe invertir el club en cada tipo de fichajes para que el importe de las camisetas vendidas sea máximo? Calcúlese dicho importe máximo. Justifíquese.

(PAU Madrid CCSS Junio 2010 FE - Opción A)

Solución: Primero haremos una tabla resumen con los datos del problema:

FICHAJES NACIONALES

FICHAJES EXTRANJEROS

Camisetas vendidas 10% 15%

500.000≥ 800.000≤ Ahora definimos las incógnitas que, claramente son:

x → inversión en fichajes nacionales y → inversión en fichajes extranjeros

Restricciones: Inversión total máxima inferior a 2 millones. La inversión en fichajes nacionales ha de ser como mínimo de 500.000 €. La inversión en fichajes extranjeros no debe exceder los 800.000 €. La inversión en fichajes nacionales ha de ser mayor o igual que la inversión en fichajes extranjeros.

2.000.000 (0,2.000.000) (2.000.000,0)(0,0) (1,1)

500.000800.000

x y yx y yxy

+ ≤ →⎧⎪ ≥ →⎪⎨ ≥⎪⎪ ≤⎩

Ahora representamos las rectas limitándonos a la igualdad y dibujamos la “región factible”.



La función que maximiza el ingreso por la venta de camisetas (función objetivo) es:

( , ) 0.1 0.15f x y x y= +

Hemos visto que el máximo de esta función se produce en el punto de abscisa 1.2 millones sin más que trazar una paralela a la función objetivo por el punto de la región factible más alejado del origen de coordenadas El importe máximo ingresado por la venta de camisetas, supuestos unos fichajes nacionales de 1,2 millones de euros y unos fichajes extranjeros de 800.000 será el resultante de sustituir estas cantidades en la función objetivo:

(1.200.000,800.000) 0.1 1.200.000 0.15 800.000f = ⋅ + ⋅ →

Ingresos 240.000 euros=

(1.200.000,800)

0,1x+0,15y=0

x + y=2.000.000

y=800.000

500

x=y

x = 500

800

X 2.000.000



PL-3 Un pintor necesita pintura para pintar como mínimo una superficie de 480 m2. Puede comprar la pintura a dos proveedores, A y B. El proveedor A le ofrece una pintura con un rendimiento de 6 m2 por kg y un precio de 1 euro por kg. La pintura del proveedor B tiene un precio de 1,2 euros por kg y un rendimiento de 8 m2 por kg. Ningún proveedor le puede suministrar más de 75 kg de pintura y el presupuesto máximo del pintor es de 120 euros. Calcúlese la cantidad de pintura que el pintor tiene que comprar a cada proveedor para obtener el mínimo coste. Calcúlese dicho coste mínimo. (PAU Madrid CCSS Septiembre 2010 FG)

Solución:

Ponemos los datos en una tabla

PROVEEDOR A `PROVEEDOR B

Rendimiento ( )2m kg 6 8

Precio ( )€ kg 1 1,2

Existencias (kg) 75 75

Las incógnitas serán:

x → kg suministrados por el proveedor A y → kg suministrados por el proveedor B

Restricciones: Superficie mínima a pintar 480 m2 . Existencias máximas de cada proveedor 75 kg. Presupuesto máximo del pintor 120 €.

( ) ( )( ) ( )

6 8 480 0,60 y 80,0

1.2 120 0,100 y 120,075 75

x y

x yx y

⎧ + ≥ →⎪

+ ≤ →⎨⎪ > >⎩

La función a minimizar (función objetivo) es el coste que se puede expresar:

( , ) 1.2C x y x y= +

Vemos que el punto de coste mínimo se produce en las coordenadas e , con un coste de:

0x = 60y =

(0,60) 1.2 60 72 €C = ⋅ =



Pero debido al dibujo cabe la duda de si el mínimo se produce en 75x = e

, no tenemos más que comprbarlo en la función coste:

3.75y =

C = + ⋅ =(0,60) 75 1.2 3.75 78 €

Por lo que queda claro cual es el mínimo. Esto nos puede pasar si el dibujo no es muy exacto, pero siempre podemos tantear entre los puntos dudosos.

120x + 1.2y = 0

x = 75

100

y = 75

80X

75

6x + 8y = 480

60

6x + 8y = 480



PL-4 Un grupo inversor dispone de un máximo de 9 millones de euros para invertir en dos tipos de fondos de inversión, A y B. El fondo de inversión del tipo A tiene una rentabilidad anual del 4% y una limitación legal de 5 millones de euros de inversión máxima. El fondo de inversión del tipo B tiene una rentabilidad del 3% anual, deben invertirse al menos 2 millones de euros y no hay límite superior de inversión. El grupo inversor desea invertir en el fondo del tipo B, como máximo, el doble de lo invertido en el fondo del tipo A. ¿Qué cantidad debe invertir el grupo en cada tipo de fondo para obtener el máximo beneficio anual? Calcúlese dicho beneficio máximo. (PAU Madrid CCSS Septiembre 2010 FE)

Solución:

Presentamos los datos:

FONDO A FONDO B Rentabilidad anual (%) 4% 3%

Limitación legal (millones de €) 5 -

Inversión mínima (millones de €) - 5

Definimos las incógnitas:

x → inversión en fondo A. y → inversión en fondo B.

Restricciones: Capital máximo para inversión 9 millones €. Inversión máxima en fondo A de 5 millones €. Inversión mínima en fondo B de 2 millones €. Inversión en B menor que el doble de la inversión en A.

9 (0,9) (2 (0,0)5 2

x y yy x yx y

+ ≤ →⎧⎪ ≤ →⎨⎪ ≤ ≥⎩

9,0)(2,1)

La función objetivo a maximizar es el beneficio obtenido que se expresa por la función:

( )B , 0.04 0.03x y x= + y

Pasamos a la representación de la región factible y al dibujo de la función objetivo igualada a cero, así como a la determinación del punto donde se produce el máximo de la citada función objetivo, que es el (5 ,4)



Por tanto el máximo beneficio se producirá cuando invirtamos 5 millones € en el fondo A y 4 millones € en el fondo B.

El beneficio obtenido en ese caso será:

( )B 5,4 0,04 5 0,03 4 320.000 €= ⋅ + ⋅ =

(5,4)

0.04x + 0.03y = 0

x = 5

Y 9

y = 2

5

x + y = 9

y = 2x

2

X

9



PL-5 Una refinería utiliza dos tipos de petróleo, A y B, que compra a un precio de 350 € y 400 € por tonelada, respectivamente. Por cada tonelada de petróleo de tipo A que refina, obtiene 0.10 ton. de gasolina y 0.35 ton. de fuel-oil. Por cada tonelada de petróleo de tipo B que refina, obtiene 0.05 ton. de gasolina y 0.55 ton. de fuel-oil. Para cubrir sus necesidades necesita obtener al menos 10 ton. de gasolina y al menos 50 ton. de fuel-oil. Por cuestiones de capacidad, no puede comprar más de 100 ton. de cada tipo de petróleo. ¿Cuántas ton. de petróleo de cada tipo debe comprar la refinería para cubrir sus necesidades a mínimo coste?. Determinar dicho coste mínimo. (PAU Madrid CCSS Junio 2009 – Opción B)


PETRÓLEO

Tipo A PETRÓLEO

Tipo B Necesidades

Precio (€/ton) 350 400

Gasolina obtenida (ton) 0.10 0.05 10

Fuel-oil obtenido (ton) 0.35 0.55 50

Limitacion por capacidad (ton) 100x ≤ 100y ≤


x → Ton. de petróleo del tipo A y → Ton. de petróleo del tipo B

Restricciones: Obtención mínima de 10 ton. de gasolina y 50 de fuel-oil. Capacidad máxima de almacenaje de 100 ton. de cada tipo de petróleo

0.1 0.05 10 (0,200) (100,0)0.35 0.55 50 (0,90.9) (142.9,0)0 1000 100

x y yx y yxy

+ ≥ →⎧⎪ + ≥ →⎪⎨ ≤ ≤⎪⎪ ≤ ≤⎩

Ahora representamos las rectas limitándonos a la igualdad y dibujamos la “región factible”. La función que maximiza la ganancia anual (función objetivo) es:

( )( , ) 350 400 en miles de €G x y x y= +



Calculamos todos los puntos de corte que configuran la región factible y hallamos el valor de la función objetivo en los mismos.

( )

0.1 0.05 100.75 60

0.35 0.55 50

80, 40

x yx

x y+ = ⎫

=⎬+ = ⎭→

Los resultados se muestran en la siguiente tabla (el valor de la ganancia se ha multiplicado por 1000 para que el resultado sean €):

x y G(x,y) 50 100 57.500

100 100 75.000 100 27.3 45.920 80 40 44.000

Se obtiene un precio mínimo de 443000 € comprando 80 T de petróleo de la refinería A y 40 T de la B.

(100,27.3)

(50,100) (100,100)

y

200

y = 100

x = 100

X

0.1x + 0.05y = 10

90.9

30

100

0.35x + 0.55y = 50

(80,40)

100 142



PL-6 Una carpintería vende paneles de contrachapado de dos tipos, A y B. Cada m2 de panel del tipo A requiere horas de trabajo para su fabricación y horas para su barnizado, proporcionando su venta un beneficio de 4 €. Cada m

0.3 0.22 de

panel del tipo B requiere 0.2 horas de trabajo para su fabricación y horas para su barnizado, proporcionando su venta un beneficio de 3 €. Sabiendo que en una semana se trabaja un máximo de 240 horas en el taller de fabricación y de 200 horas en el taller de barnizado, calcular los m

0.2

2 de cada tipo de panel que debe vender semanalmente la carpintería para obtener el máximo beneficio. Calcular dicho beneficio máximo. (PAU Madrid CCSS Septiembre 2009 – Opción A)


Contrachapado A Contrachapado B Restricciones

Fabricación ( )2h m 0.3 0.2 240≤

Barnizado ( )2h m 0.2 0.2 200≤

Beneficio (€) 4 3

Ahora definimos las incógnitas:

x → m2 de contrachapado tipo A y → m2 de contrachapado tipo B

Restricciones: Las horas semanales de fabricación y barnizado no pueden exceder las 240 y 200 respectivamente.

( ) ( )( ) ( )

0.3 0.2 240 0,1200 y 800,0

0.2 0.2 200 0,1000 y 1000,000

x y

x yxy

+ ≤ →⎧⎪

+ ≤ →⎪⎨

≥⎪⎪ ≥⎩

Ahora representamos las rectas limitándonos a la igualdad y dibujamos la “región factible”. La función que maximiza el beneficio (función objetivo) es:

( , ) 4 3B x y x y= +



Calculamos el valor de la función beneficio en todos los puntos que limitan la región factible, para lo cual los hallamos previamente resolviendo el sistema de ecuaciones formado por las rectas que se cortan:

800 1000

x

y

1000

1200

0.3x + 0.2y = 240

( )

0.3 0.2 2400.1 40

0.2 0.2 200

400,600

x yx

x y+ = ⎫

=⎬+ = ⎭→

(400,600)

Ahora evaluaremos la función beneficio en las fronteras de la región factible para hallar el máximo beneficio:

0.2x + 0.2y = 200

x y B(x,y) 0 1000 3.000

400 600 3.400 800 0 3.200

El beneficio máximo se produce con una producción de 400 m2 de contrachapado tipo A y 600 m2 de tipo B, siendo el citado beneficio igual a 3400 €.



PL-7 Una empresa de instalaciones dispone de 195 kg de cobre, 20 kg de titanio y 14 kg de aluminio. Para fabricar 100 metros de cable de tipo A se necesitan 10 kg de cobre, 2 kg de titanio y 1 kg de aluminio. Para fabricar 100 metros de cable de tipo B se necesitan 15 kg de cobre, 1 kg de titanio y 1 kg de aluminio. El beneficio que obtiene la empresa por cada 100 metros de cable de tipo A fabricados es igual a 1500 euros, y por cada 100 metros de cable de tipo B es igual a 1000 euros. Calcúlense los metros de cable de cada tipo que han de fabricarse para maximizar el beneficio y determínese dicho beneficio máximo. (PAU Madrid CCSS 2010 Modelo FE – Junio 2007 Opción B)

Solución: Ponemos los datos en una tabla para organizarlos mejor:

CABLE A CABLE B Existencias

kg de cobre / 100 m de cable 10 15 195

kg de titanio / 100 m de cable 2 1 20

kg de aluminio / 100 m de cable 1 1 14

Beneficio / 100 m de cable 1.500 € 1.000 €

Ahora definimos las incógnitas que, claramente son:

x → m de cable de tipo A (en cientos de metros) y → m de cable de tipo B (en cientos de metros)

Restricciones: Tenemos unas existencias de materia prima de 195 kg de cobre, 20 kg de titanio y 14 kg de aluminio. Inversión total máxima inferior a 2 millones. La inversión en fichajes nacionales ha de ser como mínimo de 500.000 €. La inversión en fichajes extranjeros no debe exceder los 800.000 €. La inversión en fichajes nacionales ha de ser mayor o igual que la inversión en fichajes extranjeros.

10 15 195 (0,13) (19.5,0)2 20 (0, 20) (10,0)

14 (0,14) (14,0)

x y yx y y

x y y

+ ≤ →⎧⎪ + ≤ →⎨⎪ + ≤ →⎩

La función objetivo a maximizar es el beneficio obtenido, que expresamos por cada 100 metros de cable de esta manera:

( , ) 1500 1000B x y x y= +



Calculamos los puntos de intersección de las rectas:

1010 15 19514

xx yx y

+ =⎧→⎨ + =⎩

15 195

10

y

x

+ =

− 10 140

11 3

y

y x

− = −

= → =

2x + y = 20

20

22 20

14

x yx yx y

++ =⎧→⎨ + =⎩

20

x y

=

− − 14

86 yx

= −

== →

14

14

Hacemos una tabla resumen con los valores de la función objetivo en los vértices de la región factible:

x y B(x,y) 0 13 13.000 3 11 15.500 6 8 17.000

10 0 15.000 Por lo tanto deberemos fabricar 600 m de cable tipo A y 800 m de cable tipo B para que el beneficio sea máximo, siendo el mismo de 17.000 €

x + y = 14

14

13

10x + 15y = 195

10 19,5 X

(6,8)

(3,11)



PL-8 Un distribuidor de aceite de oliva compra la materia prima a dos almazaras, A y B. Las almazaras A y B venden el aceite a 2000 y 3000 euros por tonelada, respectivamente. Cada almazara le vende un mínimo de 2 toneladas y un máximo de 7 y para atender a su demanda, el distribuidor debe comprar en total un mínimo de 6 toneladas. El distribuidor debe comprar como máximo a la almazara A el doble de aceite que a la almazara B. ¿Qué cantidad de aceite debe comprar el distribuidor a cada una de las almazaras para obtener el mínimo coste? Determínese dicho coste mínimo. (PAU Madrid CCSS Junio 2008 – Opción B)


Almazara A Almazara B

Coste (Ton) 2000 € 3000 €

2 7x≤ ≤ 2 7y≤ ≤ Ahora definimos las incógnitas:

x → Toneladas de aceite compradas a la almazara A y → Toneladas de aceite compradas a la almazara B

Restricciones: Las almazaras proveen entre 2 y 7 toneladas. Mínima compra del distribuidor igual a 6 toneladas en total. La compra en la almazara A debe ser, como máximo, el doble de la almazara B.

2 72 7

6 (0,6) (2 (0,0)

xy

x y yx y y

≤ ≤⎧⎪ ≤ ≤⎪⎨ + ≥ →⎪⎪ ≤ →⎩

6,0)(4,2)

Ahora representamos las rectas limitándonos a la igualdad y dibujamos la “región factible”. La función que minimiza el coste del aceite (función objetivo) es:

( , ) 2000 3000C x y x y= +



Trazando una paralela a la función objetivo por el punto de la región factible más cercano al origen de coordenadas vemos que el mínimo de la función coste se produce en el punto ( )4, 2 . También podemos calcular el valor de la función coste en todos los puntos de la región factible:

x y C(x,y) 4 2 14.000 7 4 24.500 7 7 35.000 2 7 25.000 2 4 16.000

El coste mínimo por tanto será:

(4,2) 2000 4 3000 2C = ⋅ + ⋅

14000 €Coste =

(4,2)

2000x+3000y = 0

x + y = 6

y = 2

y = 7

x=2y

X

6

6

2

2

x = 7

( 7,3.5)

(2,4)

(2,7) (7,7)

7

7



PL-9 Se desea invertir una cantidad de dinero menor o igual que 125000 euros, distribuidos entre acciones del tipo A y del tipo B. Las acciones del tipo A garantizan una ganancia del 10% anual, siendo obligatorio invertir en ellas un mínimo de 30000 euros y un máximo de 81000 euros. Las acciones del tipo B garantizan una ganancia del 5% anual, siendo obligatorio invertir en ellas un mínimo de 25000 euros. La cantidad invertida en acciones del tipo B no puede superar el triple de la cantidad invertida en acciones del tipo A. ¿Cuál debe ser la distribución de la inversión para maximizar la ganancia anual? Determínese dicha ganancia máxima. (PAU Madrid CCSS Septiembre 2008 – Opción B)


ACCIONES

Tipo A ACCIONES

Tipo B Ganancia anual (%) 10% 5%

Limitaciones (en miles €) 30 81x≤ ≤ 253

yy x≥≤


x → inversión en acciones de tipo A (en miles de €) y → inversión en acciones de tipo B (en miles de €)

Restricciones: Inversión total máxima inferior a 125.000 €. Inversión en acciones del tipo A entre 30.000 y 81.000 €. Inversión mínima en acciones de tipo B de 25.000 €. Inversión en acciones de tipo B inferior al triple de la inversión en acciones de tipo A.

125 (0,125) (125,0)30 81

253 (0,0) (30,90)

x y yx

yy x y

+ ≤ →⎧⎪ ≤ ≤⎪⎨ ≥⎪⎪ ≤ →⎩

Ahora representamos las rectas limitándonos a la igualdad y dibujamos la “región factible”. La función que maximiza la ganancia anual (función objetivo) es:

( )( , ) 0.1 0.05 en miles de €G x y x y= +



Calculamos todos los puntos de corte que configuran la región factible y hallamos el valor de la función objetivo en los mismos. Los resultados se muestran en la siguiente tabla (el valor de la ganancia se ha multiplicado por 1000 para que el resultado sean €):

x y G(x,y) 30 25 4.250 30 90 7.500

31,25 93,75 7.813 81 44 10.300 81 25 9.350

La ganancia máxima se obtiene invirtiendo 81.000 € en acciones del tipo A y 44.000 € en acciones del tipo B, con una ganancia total de 10.300€

( )81000,44000 0.1 81000 0.05 44000G = ⋅ + ⋅ → 10300 €G =

(30,25)

0,1x + 0,05y = 0

y = 25

Y

125

y = 3x

x = 30

X

25

(31.25,93.75)

x = 81 x + y = 125

30 81

(81,25)

(81,44)

(30,90)

125



PL-10 Una aerolínea quiere optimizar el número de filas de clase preferente y de clase turista en un avión. La longitud útil del avión para instalar las filas de asientos es de 104 m, necesitándose 2 m parra instalar una fila de clase preferente y 1.5 m para las de clase turista. La aerolínea precisa instalar al menos 3 filas de clase preferente y que las filas de clase turista sean como mínimo el triple que las de clase preferente. Los beneficios por fila de clase turista son de 152 euros y de 206 euros para la clase preferente. ¿Cuántas filas de clase preferente y cuántas de clase turista se deben instalar para obtener el beneficio máximo? Indicar dicho beneficio. (PAU Madrid CCSS Septiembre 2007 – Opción B)

Solución:

Ponemos los datos en una tabla

PREFERENTE TURISTA Restricciones

Espacio necesario (m) 2 1.5 104

Exigencias 3≥ 3x≥

Beneficio 206 € 152 €

Las incógnitas serán:

x → nº de filas de clase preferente y → nº de filas de clase turista

Restricciones: Espacio máximo para colocar asientos 104 m. Nº mínimo de filas de clase preferente igual a 3. Nº filas de clase turista al menos el triple que preferente.

( ) ( )

( ) ( )

2 1.5 104 0,69.3 y 52,033 0,0 y

x yxy x

⎧ + ≤ →⎪

≥⎨⎪ ≥ →⎩ 30,90

La función a maximizar (función objetivo) es el beneficio, que se puede expresar:

( , ) 206 152B x y x y= +



. La solución es 16x48 y dan 10498€

Calculamos los puntos de corte de la región factible y evaluamos la función beneficio en cada uno de ellos.

x y B(x,y) 3 65 10.498 16 48 10.592 3 9 1.986

Podemos comprobar que el punto de beneficio máximo se produce en las coordenadas e

, y tiene un valor de: 16x =

48y =

(16,48) 206 16 152 48B = ⋅ + ⋅

(16,48) 10592 €B =

(16,48)

206x +152 y =0

x =3

Y

y =3x

52

2x +1.5 y = 104

X

69.3

3

(3,65.3)

(3,9)



PL-11 Una papelería quiere liquidar hasta 78 Kg. de papel reciclado y hasta 138 Kg. de papel normal. Para ello hace dos tipos de lotes, A y B. Los lotes A están formados por 1 Kg. de papel reciclado y 3 Kg. de papel normal y los lotes B por 2 Kg. de papel de cada clase. El precio de venta de cada lote A es de 0’9 euros el de cada lote B es de 1 euro. ¿Cuántos lotes A y B debe vender para maximizar sus ingresos? ¿A cuánto ascienden estos ingresos máximos? (PAU Madrid CCSS Junio 2006 – Opción A)


LOTE A LOTE B Existencias

kg de papel reciclado 1 2 78

kg de papel reciclado 3 2 138

Precio de venta 0.9 € 1 €


x → nº de lotes A y → nº de lotes B

Restricciones: Tenemos unas existencias de materia prima de 78 kg de papel reciclado y 138 kg. de papel normal.

2 78 (0,39) (78,0)3 2 138 (0,69) (46,0)

0 0

x y yx y y

x y

+ ≤ →⎧⎪ + ≤ →⎨⎪ ≥ ≥⎩

La función objetivo a maximizar son los ingresos obtenido:

( , ) 0.9B x y x y= + Representamos las restricciones y hallamos los puntos de corte de las mismas para determinar los vértices de la región factible.



22 783 2 138

x yx yx y

++ =⎧→⎨ + =⎩

78

3 2x y

=

− − 138

30 24x y

= −

= → =


x y B(x,y) 0 39 39

30 24 51 46 0 41.4

Por tanto deberemos vender 30 lotes A y 24 lotes B, obteniendo unos ingresos de 51 €

39

78

69

3x+2y = 138

x+2y = 78

(30.24)

y

x 46



PL-12 Una empresa fabrica láminas de aluminio de dos grosores, finas y gruesas, y dispone cada mes de 400 Kg. de aluminio y 450 horas de trabajo para fabricarlas. Cada m2 de lámina fina necesita 5 Kg. y 10 horas de trabajo, y deja una ganancia de 45 euros. Cada m2 de lámina gruesa necesita 20 Kg. y 15 horas de trabajo, y deja una ganancia de 80 euros. ¿Cuántos m2 de cada tipo de lámina debe fabricar la empresa al mes para que la ganancia sea máxima, y a cuánto asciende ésta? (PAU Madrid CCSS Septiembre 2006 – Opción A)


LÁMINA

FINA LÁMINA GRUESA Existencias

kg de aluminio/ m2 de lámina 5 20 400

h de trabajo/ m2 de lámina 10 15 450

Beneficio / m2 de lámina 45 € 80 €


x → m2 de lámina fina y → m2 de lámina gruesa

Restricciones: Tenemos unas existencias de materia prima de 400 kg de aluminio y disponemos de 450 h. de trabajo para su fabricación.

5 20 400 (0,20) (80,0)10 15 450 (0,30) (45,0)

0 0

x y yx y y

x y

+ ≤ →⎧⎪ + ≤ →⎨⎪ ≥ ≥⎩

La función objetivo a maximizar es el beneficio obtenido :

( , ) 45 80B x y x y= + Representamos las restricciones y hallamos los puntos de corte de las mismas para determinar los vértices de la región factible.

105 20 40010 15 450

xx yx y

−+ =⎧→⎨ + =⎩

40 800

10

y

x

− = −

15 45014 2425 350

yy xy

+ == → =− = −




x y B(x,y) 0 20 1.600

24 14 2.200 45 0 2.025

Por tanto deberemos fabri-car 24 m2 de lámina de fina y 17 m2 de lámina gruesa, obteniendo un beneficio 2.200 €

20

y

x

45

30

80

5x+20y = 400

10x+15y = 450 (24.14)



PL-13 Un mayorista vende productos congelados que presenta en envases de dos tamaños: pequeño y grande. La capacidad de sus congeladores no le permite almacenar más de 1000 envases en total. En función de la demanda sabe que debe mantener un stock mínimo de 100 envases pequeños y 200 envases grandes. La demanda de envases grandes es igual o superior a la de envases pequeños. El coste por almacenaje es de 10 céntimos de euro para cada envase pequeño y de 20 céntimos de euro para cada envase grande. ¿Qué cantidad de cada tipo de envases proporciona el mínimo gasto de almacenaje? Obtener dicho mínimo. (PAU Madrid CCSS Junio 2005 – Opción B)


Envase

PEQUEÑO Envase

GRANDE Coste de almacenamiento 0.1 € 0.2 €


x → nº de envases pequeños y → nº de envases grandes

Restricciones: El número máximo de envases almacenados es 1000. El stock de envases mínimo es de 100 para los pequeños y 200 para los grandes. El stock de envases grandes ha de ser mayor o igual que el de los pequeños.

1000 (0,1000) (1000,0)100200

x y yxyy x

+ ≤ →⎧⎪ ≥⎪⎨ ≥⎪⎪ ≥⎩

La función objetivo a minimizar es el coste de almacenamiento.

( , ) 0.1 0.2C x y x y= +

Representamos las restricciones y hallamos los puntos de corte de las mismas para determinar los vértices de la región factible.




x y B(x,y) 100 200 50 100 900 190 500 500 150 200 200 60

Por tanto deberemos el coste de almacenamiento mínimo se produce con un stock de 100 envases pequeños y 200 grandes, y éste asciende a 50 €

200

1000 x = 100

x = 200

(500.500)

100x

y

x = y

(100.900)

(200.200)

(100.200)

1000



PL-14 En una empresa de alimentación se dispone de 24 Kg. de harina de trigo y 15 Kg. de harina de maíz, que se utilizan para obtener dos tipos de preparados: A y B. La preparación del preparado A contiene 200 gr. de harina de trigo y 300 gr. de harina de maíz con 600 cal de valor energético. La ración de B contiene 200 gr. de harina de trigo y 100 gr. de harina de maíz con 400 cal de valor energético. ¿Cuántas raciones de cada tipo hay que preparar para obtener el máximo rendimiento energético total? Obtener el rendimiento máximo. (PAU Madrid CCSS Septiembre 2005 – Opción A)


Preparado

A Preparado

B Existencias

kg de harina de trigo 0.2 0.2 24

kg de harina de maíz 0.3 0.1 15

Valor energético (cal.) 600 400


x → nº de preparados tipo A y → nº de preparados tipo B

Restricciones: Tenemos unas existencias de 24 kg de harina de trigo y 15kg. harina de maíz.

0.2 0.2 24 (0,120) (120,0)0.3 0.1 15 (0,150) (50,0)

0 0

x y yx y y

x y

+ ≤ →⎧⎪ + ≤ →⎨⎪ ≥ ≥⎩

La función objetivo a maximizar es el rendimiento energético global:

( , ) 600 400RE x y x y= + Representamos las restricciones y hallamos los puntos de corte de las mismas para determinar los vértices de la región factible.



0.1 0.10.2 0.2 240.3 0.1 15

x yx yx y x

− −+ =⎧→⎨ + =⎩

12

0.3 0.1x y

= −

+ 15

15 105x y

=

= → =

120

78

yf

Hacemos una tabla resumen con los valores de la función objetivo en los vértices de la región

(15.105)

factible:

0.2x+0.2y =24x y B(x,y) 0 120 48.000

15 105 51.000 50 0 30.000

0.33x+y = 15Por tanto deberemos fabricar 15 preparados tipo A y 105 del tipo B obteniendo un rendimiento energético global de 51.000 cal. x 46



PL-15 Un producto se compone de la mezcla de otros dos A y B. Se tienen 500 Kg. de A y 500 Kg. de B. En la mezcla, el peso de B debe ser menor o igual que 1’5 veces el de A. Para satisfacer la demanda la producción debe ser mayor o igual que 600 kg. Sabiendo que cada Kg. de A cuesta 5 euros, y cada Kg. de B cuesta 4 euros. Calcular los Kg. de A y B que deben emplearse para hacer una mezcla de coste mínimo. (PAU Madrid CCSS Junio 2004 – Opción A)

Solución: Ponemos los datos en una tabla para organizarlos mejor: Ahora definimos las incógnitas que, claramente son:

x → kg de producto A y → kg de producto B

Restricciones: Tenemos unas existencias de 500 kg de cada componente. La cantidad de producto B ha de ser menor o igual que una vez y media la del producto A. Debemos producir al menos 600 kg de mezcla.

500 5001.5

600 (0,600) (600,0)0 0

x yy xx y yx y

≤ ≤⎧⎪ ≤⎪⎨ + ≥ →⎪⎪ ≥ ≥⎩

La función objetivo a minimizar es el coste de la mezcla obtenida:

( , ) 5 4C x y x y= + Representamos las restricciones y hallamos los puntos de corte de las mismas para determinar los vértices de la región factible. Hacemos una tabla resumen con los valores de la función objetivo en los vértices de la región factible:



(333,500) (500,500)600

500

(500,100)

y

xx+y = 600

y =1.5x

500 600

x = 500

y = 500

y B(x,y) 240 360 2.640 333 500 3.665 500 500 4.500 500 100 2.900

(240,360)

Hay que mezclar 240 kg del componente A con 360 kg del componente B para obtener un coste mínimo de 2.640 €



PL-16 Un establecimiento de prendas deportivas tiene almacenados 1600 bañadores, 1000 gafas de baño y 800 gorros de baño. Se quiere incentivar la compra de estos productos mediante la oferta de dos tipos de lotes, el lote A, que produce un beneficio de 8 euros, formado por un bañador, un gorro y unas gafas, y el lote B, que produce un beneficio de 10 euros y está formado por dos bañadores y unas gafas. Sabiendo que la publicidad de esta oferta tendrá un coste de 1500 euros a deducir de los beneficios, se pide calcular el número de lotes A y B que harán máximo el beneficio y a cuánto asciende éste. (PAU Madrid CCSS Septiembre 2004 – Opción B)


LOTE A LOTE B Existencias

Bañadores 1 2 1600

Gafas de baño 1 1 1000

Gorros de baño 1 0 800

Beneficio 8 € 10 €


x → nº de lotes tipo A y → nº de lotes tipo B

Restricciones: Tenemos unas existencias de 4600 bañadores, 1000 gafas de bañoo y 800 gorros de baño.

2 1600 (0,800) (1600,0)1000 (0,1000) (1000,0)

8000 0

x y yx y yxx y

+ ≤ →⎧⎪ + ≤ →⎪⎨ ≤⎪⎪ ≥ ≥⎩

La función objetivo a maximizar es el beneficio obtenido:

( , ) 8 10 1500B x y x y= + − Representamos las restricciones y hallamos los puntos de corte de las mismas para determinar los vértices de la región factible.

2 16001000

xx yx y+ =⎧

→⎨ + =⎩

2 1600y

x

+ =

− 1000

400600

y

xy

− = −

→ ==



Hacemos una tabla resumen con los valores de la función objetivo en los vértices de la región 1000

800factible:

x y B(x,y) 0 800 6.500

400 600 7.700 800 200 6.900 800 0 4.900

Por tanto deberemos hacer lotes tipo A tipo B para obtener un beneficio máximo igual a 7.700 €

(400.600)

(800,200)

y

x+y = 1000

x = 800

x+2y = 1600

x

16001000 800



PL-17 Determinar los valores máximo y mínimo de la función 5 3z x y= − sujeta a las restricciones:

3 46

0 55

x yx y

yx

+ ≥⎧⎪ + ≤⎪⎨ ≤ ≤⎪⎪ ≤⎩

(PAU Madrid CCSS Septiembre 2003 – Opción B)

Solución:

Representamos la región factible:

3 4 (0,4) y (1.33,0)6 (0,6) y (6,0)

0 55

x yx y

yx

+ ≥ →⎧⎪ + ≤ →⎪⎨ ≤ ≤⎪⎪ ≤⎩

A continuación evaluamos la función en los vértices de la región factible para hallar los extremos de la misma. Los resultados se presentan en una tabla:

x y f(x,y) -0,33 5 13,3

1 5 20 5 1 28 5 0 25

1,33 0 6,7 Por tanto la función tiene un máximo igual a 28 en el punto (5,1), y un mínimo de valor 6.7 en el punto (1.33,0)

(1,5)

(5,1)

y=800.000

x + y = 6

1.33

3x + y = 4X

x = 5

6

6

4

(-0.33,5)

5

y = 5



PL-18 Un vendedor quiere dar salida a 400 Kg. de garbanzos, 300 Kg. de lentejas y 250 Kg. de judías. Para ello hace dos tipos de paquetes. Los de tipo A contienen 2 Kg. de garbanzos, 2 Kg. de lentejas y 1 Kg. de judías y los de tipo B contienen 3 Kg. de garbanzos, 1 Kg. de lentejas y 2 Kg. de judías. El precio de venta de cada paquete es de 25 euros para los de tipo A y de 35 euros para los de tipo B. ¿Cuántos paquetes de cada tipo debe vender para obtener el máximo beneficio y a cuánto asciende éste? (PAU Madrid CCSS Junio 2003 – Opción B)


PAQUETE

A PAQUETE

B Existencias en almacén

Kg de garbanzos 2 3 400

Kg. de lentejas 2 1 300

Kg. de judías 1 2 250

Precio de venta 25 35

Ahora definimos las incógnitas que, son:

x → nº de paquetes tipo A y → nº de paquetes tipo B

Buscamos las restricciones que en este caso son las existencias de cada una de las legumbres que tenemos en el almacén.

)0,250()125,0()0,150()300,0()0,200()3.133,0(

002502300240032

yyy

yxyxyxyx

→→→

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥≥≤+≤+≤+

Ahora representamos las tres rectas limitándonos a la igualdad, para lo cual calculamos los puntos de corte con los ejes. Por último dibujamos la “región factible”: La función que maximiza el beneficio (función objetivo) es:

( ), 25 35B x y x y= +



Procedemos a dibujar la región factible y los puntos que delimitan la misma, para lo cual debemos resolver varios sistemas de ecuaciones:

2x + y = 300 2x + 3y = 400

200

133.3

300

( )

( )

2 3 40050,100

2 250

2 3 400125,50

2 300

x yx y

x yx y

+ = ⎫→⎬+ = ⎭

+ = ⎫→⎬+ = ⎭

x y B(x,y) 0 125 4.375 50 100 4.750 125 50 4.875 150 0 3.750

125

(50,100)

(125,50) Por tanto hay que hacer 125 paquetes tipo A y 50 tipo B para obtener el máximo beneficio de 4875 €.

X

150 250

x +2y = 250



PL-19 Un proyecto de asfaltado puede llevarse a cabo por dos grupos diferentes de una misma empresa: G1 y G2. Se trata de asfaltar tres zonas: A, B Y C. En una semana, el grupo G1 es capaz de asfaltar 3 unidades en la zona A, 2 en la zona B y 2 en la zona C. El grupo G2 es capaz de asfaltar semanalmente 2 unidades en la zona A, 3 en la zona B y 2 en la zona C. El coste semanal se estima en 3300 euros para G1 y en 3500 euros para G2. Se necesita asfaltar un mínimo de 6 unidades en la zona A, 12 en la zona B y 10 en la zona C. ¿Cuántas semanas deberá trabajar cada grupo para finalizar el proyecto con el mínimo coste? (PAU Madrid CCSS Junio 2002 – Opción B)


Grupo G1 Grupo G2 Mínimo

asfaltado necesario

Ud. Asfaltadas en Zona A 3 2 6 Ud. Asfaltadas en Zona B 2 3 12 Ud. Asfaltadas en Zona C 2 2 10

Coste semanal 3300 3500 Ahora definimos las incógnitas que, claramente son:

x → nº de semanas a trabajar por el grupo G1y → nº de semanas a trabajar por el grupo G2

Buscamos las restricciones. En este caso vienen dadas por el mínimo nº de unidades que es necesario asfaltar.

)0,5()5,0()0,6()4,0()0,2()3,0(

0010221232623

yyy

yxyxyxyx

→→→

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥≥≥+≥+≥+

Ahora representamos las tres rectas limitándonos a la igualdad, para lo cual calculamos los puntos de corte con los ejes. Por último dibujamos la “región factible” : La función que maximiza el beneficio (función objetivo) es:

( ), 3300 3500f x y x y= +



Hallamos los vértices de la región factible y evaluamos la función objetivo en los mismos.

⎩⎨⎧

→=+=+

)2,3(10221232

yxyx

x y f(x,y) 0 5 17.500 3 2 16.900 6 0 19.800

Por tanto hay que asfaltar tres semanas con el grupo G1 y dos con el grupo G2 para tener el mínimo coste que ascenderá a 16.900 €.

(3,2)

X

5 x + y = 10

4

2

3

2x + 3y = 123x + 2y = 6

65



PL-20 Determinar los valores máximo y mínimo de la función 3 4z x y= + sujeta a las restricciones:

3 35

0 12

x yx y

yx

0

+ ≥⎧⎪ + ≤⎪⎨ ≤ ≤⎪⎪ ≥ −⎩

(PAU Madrid CCSS Septiembre 2002 – Opción B)

Solución: Representamos la región factible:

3 3 (0,3) y (15 (0,5) y (5,0)

0 102

x yx y

yx

+ ≥ →⎧⎪ + ≤ →⎪⎨ ≤ ≤⎪⎪ ≥ −⎩

x + y = 5

1

y

,0)

A continuación evaluamos la función en los vértices de la región factible para hallar los extremos de la misma. Los resultados se presentan en una tabla:

(-1,6)

x y f(x,y) -1 6 21 5 0 15 1 0 3

Por tanto la función tiene un máximo igual a 21 en el punto (-1,6), y un mínimo de valor 3 en el punto (1,0)

PL-21 En el último salón internacional del automóvil celebrado en España, un pequeño fabricante presentó sus modelos Caaper (precio por unidad 16000 euros) y Ena (precio por unidad 15000 euros). El coste de producción por unidad es, respectivamente, 10400 y 9750. Para la fabricación de una unidad del primer modelo se necesitan 3 m² de un determinado producto textil y 7.5 Kg. de pintura especial, mientras que para la fabricación de una unidad del segundo modelo se necesitan 4 m² de producto

3x + y = 3

X

x = -2

-2

10

5

5

y = 10

3



textil y 7 kg de pintura. Mensualmente existen en el almacén 96 m² de producto textil y 195 Kg. de pintura. a) Representar la región factible. b) Halla cuántas unidades de cada modelo interesa fabricar mensualmente para que las ventas de las mismas produzca el máximo beneficio.

a) Calcula dicho beneficio.


Caaper Ena Precio Venta 16.000 15.000 Coste producción 10.400 9.750

Existencias en el

almacén

m2 tela necesarios 3 4 96

Kg. pintura necesarios 7.5 7 195


x → nº de vehículos modelo Caaper y → nº de vehículos modelo Ena

Buscamos las restricciones, y ojo que aquí es donde no nos deben abrumar la cantidad de datos. Insistimos en buscar solo restricciones. En este caso los m2 de tela no pueden superar las existencias, es decir, 96 así como la pintura a utilizar no puede exceder de 195 Kg., unido (y no por obvio debemos olvidarlo) a que, tanto “x” como “y” (nº de coches) son números positivos

1957

3 4 96 (0, 24) (32,0)7.5 7 195 (0, ) (26,0)

0 0

x y yx y y

x y

+ ≤ →⎧⎪ + ≤ →⎨⎪ ≥ ≥⎩

Ahora representamos las dos rectas limitándonos a la igualdad, para lo cual calculamos los puntos de corte con los ejes. Por último dibujamos la “región factible”: La función que maximiza el beneficio (función objetivo) es:

( ) ( ) ( ) ( ), 16000 10400 15000 9750 , 5600 5250B x y B xy y xx= − ⋅ + − = +⋅ → y →

Y 195/7

24

3x+4y=96

Iñigo Zunzunegui Monterrubio 38 de 54 [email protected](12,15)


Necesitamos las coordenadas de todos los puntos de la región factible, por lo que hallamos el corte de ambas rectas:

⎩⎨⎧

→=+=+

)15,12(19575.79643

yxyx

Para calcular el máximo beneficio evaluamos la función beneficio en todos los puntos de la región factible:

x y B(x,y) 0 24 126.000

12 15 145.95026 0 145.600

Por tanto hay que vender 12 vehículos del modelo Caaper y 15 del Ena para obtener el máximo beneficio que es de 145.950 €.



PL-22 Una empresa constructora dispone de 10800000 euros para edificar en una urbanización casas de dos tipos: las de tipo A, cada una de las cuales tendría un coste (para la empresa) de 180000 euros, y dejaría al venderla, un beneficio de 24000 euros; y las de tipo B cuyos costes y beneficios individuales serían de 120000 euros y 18000 euros respectivamente. Si las normas municipales no permiten construir más de 80 casas, hallar cuántas de cada tipo debe construir la empresa para obtener el máximo beneficio.


TIPO A TIPO B Coste 180.000 120.000 Beneficio 24.000 18.000 Presupuesto disponible 10.800.000 Limitación nº de casas 80

Ahora definimos las incógnitas: x → nº de casas tipo A

y → nº de casas tipo B Buscamos las restricciones. En este caso el presupuesto disponible para la edificación es de 10800000 euros y el número máximo de viviendas que podemos construir es de 80 en total, asimismo el número de casas a construir debe ser un número positivo.

)0,80()80,0()0,60()90,0(

0080

18023

0080

10800000120000180000yy

yxyx

yx

yxyx

yx→→

≥≥→≤+→

≤+→

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥≥≤+

≤+

Ahora representamos las dos rectas limitándonos a la igualdad, para lo cual calculamos los puntos de corte con los ejes. Por último dibujamos la “región factible”: La función que maximiza el beneficio (función objetivo) es:

( ), 24000 18000B x y x y= +

Queremos maximizar esta función, sujeta a las restricciones anteriores. Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones (región factible) y la recta 24000·x + 18000·y = 0, que nos da la dirección de las rectas z = 24000·x + 18000·y



Evaluamos la función Beneficio en los puntos de la región factible:

x y B(x,y) 0 80 1.440.000

20 60 1.560.000 60 0 1.440.000

El máximo se alcanza en el punto

or tanto tendremos que vender

de corte de las rectas

⎩⎨⎧

→=+=+

)60,20(8018023

yxyx

P20 casas del tipo A y 60 del tipo B para obtener un beneficio de 1.560.000 €.

(20,60)

24000x +18000y = 0

X

3x +2 y = 180

90 x + y = 80

80

60 80



PL-23 Una peña de aficionados de un equipo de fútbol encarga a una empresa de transportes el viaje para llevar a los 1200 socios a ver la final de su equipo. La empresa dispone de autobuses de 50 plazas y de microbuses de 30 plazas. El precio de cada autobús es de 252 euros y el de cada microbús de 180. Sabiendo que la empresa sólo dispone de 28 conductores, se pide: (403) a) ¿Qué número de autobuses y microbuses deben contratarse para conseguir el mínimo coste posible? b) ¿Cuál será el valor de dicho coste mínimo?


AUTOBUSES MICROBUSES Nº de plazas 50 30 Precio del vehículo 252 180 Nº socios a transportar 1.200 Nº de conductores 28

Ahora definimos las incógnitas: x → nº de autobuses a contratar

y → nº de microbuses a contratar Buscamos las restricciones. En este caso hay que tener en cuenta que debemos transportar a 1200 aficionados y que solo disponemos de 28 conductores., asimismo el número de vehículos a contratar debe ser un número positivo.

)0,28()28,0()0,24()40,0(

0028

12035

0028

12003050yy

yxyx

yx

yxyx

yx→→

≥≥→≤+→

≥+→

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥≥≤+

≥+

Ahora representamos las dos rectas limitándonos a la igualdad, para lo cual calculamos los puntos de corte con los ejes. Por último dibujamos la “región factible”: La función que minimiza el coste (función objetivo) es:

→ f(x,y) = 252·x + 180·y



X

Y

40

Queremos minimizar esta función, sujeta a las restricciones anteriores. Dibujamos el recinto corres-pondiente a las restricciones (región factible) y la recta 252·x + 180·y = 0, que nos da la dirección de las rectas

5x + 3y = 120 z = 252·x + 180·y

El mínimo se alcanza en el punto de corte de la recta 5x + 3y = 120 con el eje OX, es decir en el punto (0,24).

X + y = 28

Por tanto tendremos que contratar 24 autobuses con un coste de

f(24,0)=252·24 = 6048 euros (24,0)

252x + 180y = 028

28



PL-24 Una fábrica produce confitura de albaricoque y confitura de ciruela. El doble de la producción de confitura de ciruela es menor o igual que la producción de confitura de albaricoque más 800 unidades. También el triple de la producción de confitura de albaricoque más el doble de la producción de confitura de ciruela es menor o igual que 2400 unidades. Cada unidad de confitura de albaricoque produce un beneficio de 6000 pesetas y cada unidad de confitura de ciruela 8000 pesetas. ¿Cuántas unidades de cada tipo de confitura se tienen que producir para obtener un beneficio máximo?

Solución: Primero haremos una tabla resumen con los datos del problema, que en este caso es muy sencilla debido a que las restricciones nos las dan directamente:

ALBARICOQUE CIRUELA Beneficio 6000 8000


x → nº de unidades de confitura de albaricoque y → nº de unidades de confitura de ciruela

Buscamos las restricciones que en este caso nos las dan directamente:

)0,800()1200,0()0,800()400,0(

002400238002

00240023

8002y

y

yxyxyx

yxyx

xy→

−→

≥≥≤+→≤+−→

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥≥≤++≤

26

800 X

Y

400

1200 Ahora representamos las dos rectas limitándonos a la igualdad, para lo cual calculamos los puntos de corte con los ejes. Por último dibujamos la “región factible”: (400,600)

La función que maximiza el beneficio (función objetivo) es:

3x + 2y = 2400

f(x,y) = 6000·x + 8000·y -x + 2y = 800

6000x + 8000y = 0

-800



Queremos maximizar esta función, sujeta a las restricciones anteriores. Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones (región factible) y la recta

6000·x + 8000·y = 0, que nos da la dirección de las rectas z = 6000·x + 8000·y El máximo se alcanza en el punto de corte de las rectas

⎩⎨⎧

→=+=+−

)600,400(2400238002

yxyx

Por tanto hay que vender 400 unidades de confitura de albaricoque y 600 unidades de confitura de ciruela para obtener el máximo beneficio que es:

f(400,600) = 6000·400 + 8000·600 = 7200000 euros



PL-25 Un agricultor puede sembrar trigo (5 hectáreas como máximo) y centeno (7 hectáreas como máximo) en sus tierras. La producción de trigo, por cada hectárea sembrada, es de 5 toneladas, mientras que la producción de centeno, también por hectárea sembrada, es de 2 toneladas, pudiendo producir un máximo de 29 toneladas de los dos cultivos. Si el beneficio que obtendrá el agricultor por cada tonelada de trigo es de 29000 pesetas y el beneficio por cada tonelada de centeno es de 24000 pesetas ¿qué número de hectáreas ha de sembrar de cada cultivo para maximizar los beneficios?


TRIGO CENTENOMáxima

producción permitida

Producción (Tm/Ha) 5 2 29 Beneficio (Ptas./Tm) 29000 24000 f Máxima superficie permitida 5 7


x → nº de hectáreas de trigo cultivadas y → nº de hectáreas de centeno cultivadas

Buscamos las restricciones que en este caso son el nº máximo de hectáreas de trigo y cebada permitidas y la producción máxima.

)0,8.5()5.14,0(

0075

2925 y

yxyx

yx →

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥≥≤≤

≤+ Ahora representamos las tres rectas limitándonos a la igualdad, para lo cual calculamos los puntos de corte con los ejes. Por último dibujamos la “región factible”:



5.8 X

Y

14.5

La función que maximiza el beneficio (función objetivo) es:

f(x,y) = 29000·5·x + 24000·2·y

f(x,y) = 145000·x + 48000·y

Queremos maximizar esta función, sujeta a las restricciones anteriores. Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones (región factible) y la recta

145000·

5x + 2y = 29

x + 48000·y = 0 que n las

= 145000·x + 48000·y El m unto

or tanto hay que sembrar 5 Ha de

f(5,2) = 145000·5 + 48000·2

f(5,2) = 21000 euros

os da la dirección derectas

z y = 7 áximo se alcanza en el pde corte de las rectas

(3,7)

⎩⎨⎧

→==+

)2,5(5

2925x

yx

Ptrigo y 2 de cebada para obtener el máximo beneficio que es:

145000x + 48000y = 0 5

x = 5



PL-26 Se dispone de 120 refrescos de cola con cafeína y de 180 refrescos de cola sin cafeína. Los refrescos se venden en paquetes de dos tipos: los de tipo A contienen tres refrescos con cafeína y tres sin cafeína; y los de tipo B contienen dos con cafeína y cuatro sin cafeína. El vendedor gana 6 € por cada paquete que venda de tipo A y 5 € por cada paquete que venda de tipo B. Calcula de forma razonada cuántos paquetes han de vender de cada tipo para obtener el máximo beneficio, y halla dicho beneficio.


PAQUETE A PAQUETE B Existencias en almacén

Cola con cafeína 3 2 120

Cola sin cafeína 3 4 180

Beneficio obtenido 6 5

Ahora definimos las incógnitas que, son:

x → nº de paquetes tipo A y → nº de paquetes tipo B

Buscamos las restricciones que en este caso son las existencias de cada uno de los tipos de cola que tenemos en el almacén.

)0,60()45,0()0,40()60,0(

001804312023

yy

yxyxyx

→→

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥≥≤+≤+

Ahora representamos las dos rectas limitándonos a la igualdad, para lo cual calculamos los puntos de corte con los ejes. Por último dibujamos la “región factible” : La función que maximiza el beneficio (función objetivo) es:

mf(x,y) = 6·x + 5·y



Queremos maximizar esta función, sujeta a las restricciones anteriores. Dibujamos el recinto corres-pondiente a las restricciones (región factible) y la recta

6·x + 5·y = 0 que nos da la dirección de las rectas

z = 6·x + 5·y El máximo se alcanza en el punto de corte de las rectas

Por tanto hay que hacer 20 paquetes tipo A y 30 tipo B para obtener el máximo beneficio que es:

f(20,30) = 6·20 + 5·30

f(20,30) = 270 euros

yyxyx

)30,20(1804312023

→⎩⎨⎧

≤+≤+

60

3x + 2y = 120 45

(20,30)

6x +5y = 0

133.3

125

60 X40

3x +4y = 180



PL-27 Una empresa fabrica dos modelos de fundas de sofá, A y B, que dejan unos beneficios de 40 € y 20 €, respectivamente. Para cada funda del modelo A se precisan 4 horas de trabajo y 3 unidades de tela. Para fabricar una del modelo B se requieren 3 horas de trabajo y 5 unidades de tela. La empresa dispone de 48 horas de trabajo y 60 unidades de tela. Si a lo sumo pueden hacerse 9 fundas del modelo A, ¿cuántas fundas han de fabricarse para que el beneficio sea máximo?


FUNDA A FUNDA B Horas de trabajo necesarias 4 3 Unidades de tela necesarias 3 5 Beneficio 40 20 Horas de trabajo disponibles 48 Unidades de tela disponibles 60 Máxima producción posible 9

Ahora definimos las incógnitas: x → nº de fundas de almohada tipo A

y → nº de fundas de almohada tipo B Buscamos las restricciones. En este caso el nº de horas de trabajo disponibles es de 48 y el nº de unidades de tela disponibles es de 60. Asimismo el número máximo de fundas tipo A que podemos hacer es de 9 y por supuesto que el número de fundas fabricadas ha de ser un nº positivo.

)0,20()12,0()0,12()16,0(

09060534834

yy

yxyxyx

→→

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥≤≤=+=+

Ahora representamos las dos rectas limitándonos a la igualdad, para lo cual calculamos los puntos de corte con los ejes. Por último dibujamos la “región factible” : La función que maximiza el beneficio (función objetivo) es:

→ f(x,y) = 40·x + 20·y

Queremos maximizar esta función, sujeta a las restricciones anteriores. Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones (región factible) y la recta 40·x + 20·y = 0, que nos da la dirección de las rectas z = 40·x + 20·y



4x + 3y = 48

x = 9

3x + 5y = 60

9 12 20

12

16 El máximo se alcanza en el punto de corte de las rectas

⎩⎨⎧

→==+

)4,9(9

4834x

yx

Por tanto tendremos que fabricar 9 fundas del tipo A y 4 del tipo B y el beneficio obtenido será (9,4)

40x + 20y = 0

40·9 + 20·4 = 440 euros



PL-28 Dibuja la región del plano (región factible) determinada por el sistema de inecuaciones siguiente:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥≥+≤+−≤+

0221

5

yyxyx

yx

y calcula el máximo de la función ( ), 2 2f x y x y= + en esta región. (409)

Solución: Representamos las inecuaciones ciñéndonos a la igualdad, para lo que calculamos los puntos de corte con los ejes.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

→−→

→

≥+≤+−≤+

)0,2()1,0()0,1()1,0()0,5()5,0(

221

5

yyy

yxyx

yx

A continuación pasamos a dibujar el recinto factible.

x + y = 5

5

La recta que queremos maximizar es la f(x,y) = 2x + 2y, por lo que representaremos la recta: 2x + 2y = 0 El máximo se producirá en cualquier punto de la recta x + y = 5 y valdrá :

f(5,0) = 2·5 = 10

(2,3)

2x +2y = 0

-x + y = 1

5

X

-1 2

x + 2y = 2

1



PL-29 Un estudiante dedica parte de su tiempo a repartir publicidad. La empresa A le paga 3 euros por cada 100 impresos repartidos y la empresa B, con folletos más grandes, le paga 4 euros por cada 100 impresos. El estudiante tiene 2 bolsas: una para los impresos A, donde caben 120, y otra para los impresos B, donde caben 100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo. ¿Cuántos impresos de cada clase tendrá que repartir para que su beneficio diario sea máximo?


Folletos

EMPRESA AFolletos

EMPRESA A

Salario Ptas/100 impresos 3 4

Capacidad de reparto 150

Capacidad bolsa 120 100

Ahora definimos las incógnitas: x → nº de impresos de la Empresa A

y → nº de impresos de la Empresa B Buscamos las restricciones. En este caso el nº de folletos de la empresa A que podemos acarrear en su bolsa es de 120, mientras en la de la empresa B es de 100, además no somos capaces de repartir más de 150 impresos diarios y la cantidad de impresos repartidos de cada empresa ha de ser un número positivo.

150 (0,150) (150,0)0 120 0 100x y y

x y+ ≤ →⎧

⎨ ≤ ≤ ≤ ≤⎩

Ahora representamos las tres rectas limitándonos a la igualdad, para lo cual calculamos los puntos de corte con los ejes. Por último dibujamos la “región factible” : La función que maximiza el beneficio (función objetivo) es:

( ) 3 4,100x yB x y +

=

Queremos maximizar esta función, sujeta a las restricciones anteriores. Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones (región factible)



x = 120

3x + 5y = 60

150

100y = 100

120 150

y

x

(50,100)

(120,30)

El cálculo de las coordenadas de los puntos que delimitan la región factible es muy sencilla. Posteriormente evaluamos la función en esos puntos

x y B(x,y) 0 100 4 50 100 5.5 120 30 4.8 120 0 3.6

Por tanto tendremos que fabricar 9 fundas del tipo A y 4 del tipo B y el beneficio obtenido será de 5.5 €


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