Programación didácticaDepartamento de

Matemáticas

(Bachillerato de Ciencias y Tecnología: MATEMÁTICAS II)

I.E.S. Parque Goya –Zaragoza

Curso 2014-2015

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Programación de las asignaturas "Matemáticas II", de Bachillerato deCiencias y Tecnología.

Introducción (válida también para “Matemáticas I”)

Las Matemáticas son un campo del saber que aparece al tratar de resolver problemas prácticos o científicosy se desarrolla mediante el análisis de estas situaciones para delimitar las cuestiones a las que se deberesponder, su traducción a un modelo y lenguaje propios y un cierto tipo de manipulación simbólica de laque surgen las soluciones. La contextualización de los resultados obtenidos en la realidad que los produjopermite explicar los fenómenos estudiados o predecir su comportamiento futuro. Como disciplina científica,las Matemáticas se caracterizan porque estudian una realidad abstracta, porque sus enunciados sepresentan como proposiciones analíticas y se formulan con un alto grado de formalismo y porque usan lademostración lógica como método para dar validez a sus resultados.

La formación matemática, a lo largo de la Educación secundaria obligatoria, tiene como finalidad primordialproporcionar a los estudiantes los conocimientos matemáticos necesarios para desenvolverse comociudadanos en nuestra sociedad. En consecuencia, el currículo de esta etapa está más cerca de lasaplicaciones prácticas —y, por tanto, da mayor importancia al desarrollo de los aspectos procedimentales—,que de la profundización en el conocimiento interno de la disciplina, por lo que los contenidos conceptualesse presentan de una forma más intuitiva que formal. Este es el punto de partida desde el que el currículo delas Matemáticas, para la modalidad de Bachillerato de Ciencias y Tecnología, pretende conseguir que losalumnos desarrollen las destrezas matemáticas, la capacidad de razonamiento y el conocimiento de losconceptos y formalismo de las matemáticas que les permitan aplicarlas en la interpretación de la realidad yenfrentarse a los problemas propios de los estudios superiores a los que se encaminan.

Estos aspectos quedan recogidos en las tres finalidades principales que persiguen las materias deMatemáticas I y II:

- Aplicar los conocimientos matemáticos adquiridos: las matemáticas proporcionan un lenguaje yunas herramientas útiles para la resolución de problemas no sólo de la propia disciplina, sinotambién de otras disciplinas científicas. Además, son el armazón sobre el que se construye laciencia moderna y constituyen un bagaje de conocimientos importante para el futuro desarrolloprofesional de los estudiantes. Desde estas consideraciones, uno de los objetivos de las materiasde Matemáticas I y II es el de proporcionar al alumnado técnicas, procedimientos, herramientas ymétodos matemáticos que constituyen la base del conocimiento científico; es más, los alumnosdeben conocer y manejar estas herramientas básicas en su adaptación a diferentes contextos y anecesidades cambiantes, para lo que necesitan conocer su fundamento teórico, lo que lespermitirá discernir la que resulta más adecuada a cada situación.

- Formar a los estudiantes: el estudio de las matemáticas contribuye a desarrollar en losestudiantes las capacidades de análisis y de síntesis, de abstracción y de concreción, degeneralización y de particularización, de formulación de conjeturas y de su argumentación, derigor científico y de formalización. De este modo, las matemáticas ayudan a la mejora de lasestructuras mentales de los alumnos y a la adquisición de aptitudes que trascienden al ámbito delas propias matemáticas, puesto que permiten desarrollar las capacidades de razonamiento y desentido crítico necesarias para resolver problemas cuya dificultad está en encuadrarlos y enestablecer una estrategia de resolución adecuada.

- Profundizar en el conocimiento de los métodos y herramientas de la ciencia matemática: en lasetapas previas al Bachillerato casi siempre se suelen justificar los algoritmos y los resultadosmatemáticos, que se emplean en la resolución de problemas, en razonamientos inductivos. Por elnivel de desarrollo cognitivo alcanzado por los alumnos cuando inician el Bachillerato, así comopor la preparación que necesitan para sus futuros estudios, resulta adecuado para esta etapaeducativa que los estudiantes se acerquen más profundamente al conocimiento matemático. Es elmomento oportuno para que los alumnos inicien su acercamiento a los métodos y herramientaspropios de esta ciencia, como son las definiciones, la formulación de hipótesis y la demostraciónde tales hipótesis, y también para que, de forma gradual y equilibrada, los estudiantes avancen enel manejo del lenguaje formal y en la comprensión de los métodos deductivos propios de lamatemática.

Un medio adecuado para conseguir estas finalidades es el planteamiento y resolución de problemas oinvestigaciones en ámbitos científicos y tecnológicos. Esta actividad ofrece al alumnado una visión

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integradora de las distintas ramas de la matemática, constituye un terreno idóneo para aplicar los conceptosy destrezas adquiridos a lo largo de sus estudios y permite desarrollar las destrezas y razonamientosnecesarios para incrementar su grado de competencia al analizar situaciones contextualizadas en el mundoreal. Además, exige al alumno incrementar su habilidad para utilizar el lenguaje matemático con precisión yrigor, elaborar argumentos sólidos para justificar sus resultados, valorar las ideas de otras personas, admitiry corregir los errores cometidos y estimular la inquietud científica.

Finalmente, hay que tener en cuenta que los medios tecnológicos no pueden ni deben quedar al margen dela educación matemática. Las tecnologías de la información y de la comunicación proporcionan al profesorunas herramientas que permiten ayudar notablemente al alumno a una mejor comprensión de loscontenidos presentados, así como a plantear y resolver problemas más próximos a la realidad de la vidacotidiana y relacionados con fenómenos científicos y técnicos. En consecuencia, el proceso de enseñanzade las matemáticas debe contemplar el uso de calculadoras, hojas de cálculo, programas estadísticos, etc.,con la intención de facilitar la adquisición de los conocimientos por parte de los estudiantes y también con laintención de hacer surgir nuevos problemas derivados de las potencialidades y limitaciones de los propiosmedios tecnológicos.

Objetivos (válidos también para “Matemáticas I”)

La enseñanza de las Matemáticas I y II en el bachillerato tendrá como finalidad contribuir al desarrollo de lassiguientes capacidades:

1. Conocer y comprender los conceptos, procedimientos y estrategias matemáticas aplicándolos a resolverproblemas de diversos ámbitos, tanto científicos como de la vida cotidiana, y así prepararse paraavanzar en el estudio de las matemáticas y de las ciencias en general.

2. Servirse de los medios tecnológicos disponibles para la búsqueda y tratamiento de la información, larealización de cálculos e investigaciones y la resolución de problemas, haciendo un uso racional deellos y valorando las enormes posibilidades que ofrecen.

3. Utilizar las estrategias características de la investigación científica y los métodos propios de lasmatemáticas (hacer un plan de trabajo, formular y contrastar conjeturas, hacer uso de la inducción ydeducción, comprobar y valorar los resultados obtenidos) para realizar investigaciones y explorarsituaciones y fenómenos nuevos con creatividad, autonomía, eficacia y confianza en sí mismo.

4. Mostrar actitudes propias de la actividad matemática y del trabajo científico en cualquier situación,enfrentándose a ellas críticamente, exigiendo la verificación de las afirmaciones o la necesidad decontrastar las apreciaciones intuitivas, valorando la precisión en los resultados y el gusto por el rigor ymostrando una actitud flexible y crítica ante otros juicios o razonamientos.

5. Utilizar el discurso racional para plantear y resolver todo tipo de problemas justificando losprocedimientos empleados, siendo riguroso en el razonamiento, encadenando coherentemente losargumentos, detectando las incorrecciones lógicas, cuestionando las afirmaciones carentes de rigorcientífico y comunicando con eficacia y precisión los resultados obtenidos.

6. Usar el estilo de razonamiento y presentación formal del conocimiento matemático enunciandodefiniciones precisas, formulando rigurosamente las propiedades y empleando el método lógicodeductivo en su justificación para comprender la forma en que avanzan y se expresan las matemáticas,las ciencias y la tecnología.

7. Utilizar el lenguaje oral, escrito y gráfico en situaciones susceptibles de ser tratadas matemáticamentemediante la adquisición y el manejo de vocabulario específico de notaciones, términos yrepresentaciones matemáticas, para analizar y valorar la información proveniente de diversas fuentes yexpresarse críticamente sobre problemas actuales.

8. Apreciar el desarrollo de las matemáticas como un proceso cambiante y dinámico, siendo conscientesde las abundantes conexiones internas y de lo íntimamente relacionado que está con otras áreas delsaber, para reconocer su valor como una parte de nuestra cultura.

a) Organización y secuenciación de los contenidos y criterios de evaluación.

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Contenidos

1. Análisis

Con ayuda de calculadoras y ordenadores se pueden plantear problemas del mundo físico que permitanacercar a los alumnos a la definición formal de límite. En el cálculo de límites hay que evitar que losestudiantes apliquen las técnicas de forma mecánica, sin mantener el control de la finalidad de la tarea.

En el estudio de las propiedades de las funciones, el acento hay que ponerlo tanto en las manipulacionessimbólicas como en su interpretación gráfica y en su significado dentro del contexto de los problemascientíficos o de la vida real.

Aunque las calculadoras gráficas y los ordenadores facilitan la tarea de representar funciones, el tradicionaltrabajo con "lápiz y papel" ofrece una excelente oportunidad para que los alumnos conecten distintosconceptos sobre funciones; los medios tecnológicos pueden ser útiles cuando el énfasis resida en lainterpretación de situaciones reales a partir de su representación gráfica.

- Límites. Sucesiones. Límite de una función en un punto: idea intuitiva. Límites laterales. Límites infinitosy límites en el infinito. Cálculo de límites: indeterminaciones. Límites asociados al número e. Noción decontinuidad de una función en un punto: relación entre la continuidad y los límites. Interpretación gráfica.Estudio de la continuidad de funciones: determinación y clasificación de las discontinuidades.Propiedades de las funciones continuas.

- Derivadas. Derivada de una función en un punto. Relación entre la derivabilidad y la continuidad.Interpretación gráfica de la derivabilidad. Interpretación en el mundo de la ciencia del concepto dederivada de una función en un punto. Obtención de la recta tangente a una curva en un punto. Estudiode la derivabilidad de funciones. Cálculo de derivadas. Derivadas sucesivas. Crecimiento ydecrecimiento: extremos. Aplicación a problemas de optimización. Algunas propiedades de lasfunciones derivables: el teorema del valor medio. Concavidad y convexidad: puntos de inflexión. Estudiode las propiedades locales y globales de una función sencilla para realizar su representación gráfica.Utilización de programas de representación de funciones para el estudio de sus propiedades y lainterpretación de los resultados obtenidos en la resolución de los problemas planteados.

- Integrales. El problema del área: aproximación intuitiva a la integral. Definición de integral definida deuna función continua. La función área. Noción de primitiva. El teorema fundamental del cálculo integral.La regla de Barrow. Cálculo de integrales indefinidas inmediatas, por cambio de variable, por partes oracionales sencillas. Integrales definidas. Cálculo de áreas de regiones planas.

2. Álgebra lineal

El objetivo de este bloque es completar el aprendizaje de las técnicas de resolución de ecuacionesalgebraicas. Las matrices constituyen un excelente recurso para representar los aspectos esenciales dealgunos problemas de forma económica. La aplicación de las leyes del cálculo matricial y los determinantespermite discutir previamente la existencia de la solución del problema, así como formular métodos generalesde resolución.

El estudio de las operaciones con matrices abre otra perspectiva en el estudio del Álgebra: en ella lademostración de nuevos resultados de los objetos que se están estudiando depende tan sólo de laspropiedades básicas de las operaciones entre ellos —conmutatividad, existencia de inverso…—, y no de sunaturaleza intrínseca.

- Matrices. Matrices de números reales. Tipos de matrices. Operaciones con matrices: transposición,suma, producto por escalares, producto. Aplicación de las operaciones de matrices y de suspropiedades para manejar y operar con datos estructurados en tablas provenientes de problemasextraídos de contextos reales. La matriz inversa: obtención por el método de Gauss. Rango de unamatriz: obtención por el método de Gauss.

- Sistemas de ecuaciones. Sistemas de ecuaciones lineales. Solución de un sistema. Sistemasequivalentes. Representación matricial de un sistema. Discusión y resolución de un sistema lineal por elmétodo de Gauss. Traducción al lenguaje algebraico de problemas reales que puedan resolverse consistemas de ecuaciones lineales. Sistemas homogéneos. El teorema de Rouché-Frobenius. Discusión yresolución de sistemas dependientes de un parámetro.

- Determinantes. Definición inductiva de los determinantes. La regla de Sarrus. Propiedades elementalesde los determinantes. Aplicación de las propiedades al cálculo de determinantes. Utilización de losdeterminantes para calcular el rango de una matriz. Cálculo de la matriz inversa con determinantes.

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Utilización de los determinantes en la discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales: laregla de Cramer.

3. Geometría

Los vectores tienen una gran importancia por sus aplicaciones científicas y también por ser un potenteinstrumento que permite describir los diferentes elementos geométricos con sencillez. Con ellos es posibleestablecer los resultados geométricos con gran concisión y elegancia, gracias a la interpretación delsignificado de los distintos productos.

En la geometría analítica del espacio son más difíciles las representaciones que en la del plano, pero hayque acostumbrar al alumno a comenzar con razonamientos espaciales, que pueden basarse enrepresentaciones esquemáticas de la situación, para después traducirlas al lenguaje algebraico y, una vezse ha alcanzado la solución, interpretarlas en el contexto geométrico.

- Vectores. Vectores en el espacio tridimensional. Dependencia e independencia lineal. Bases. Productoescalar: definición e interpretación. Ángulo entre dos vectores. Vectores ortogonales. Producto vectorial:definición e interpretación geométrica. Producto mixto: definición e interpretación geométrica. Aplicaciónde los productos escalar, vectorial y mixto al cálculo de áreas de triángulos y paralelogramos yvolúmenes.

- Geometría analítica del espacio. Sistemas de referencia. Ecuaciones vectoriales de la recta y el plano.Deducción de otras formas de la ecuación de la recta y el plano a partir de las ecuaciones vectoriales.Posiciones relativas de rectas y planos. Haces de planos. Resolución de problemas de incidencia,paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos. Distancia. Distancia entre puntos, rectas yplanos. Ángulos entre rectas y planos. Resolución de problemas métricos relacionados con el cálculo deángulos, distancias, áreas y volúmenes.

Secuenciación de los contenidos

El libro de texto que se utiliza se estructura así:

Resolución de problemas

Bloque I. ÁLGEBRA

Unidad 1: Sistemas de ecuaciones. Método de GaussUnidad 2: Álgebra de matricesUnidad 3: DeterminantesUnidad 4: Resolución de sistemas mediante determinates

Bloque II. GEOMETRÍA

Unidad 5: Vectores en el espacioUnidad 6: Puntos, rectas y planos en el espacioUnidad 7: Problemas métricos

Bloque III. ANÁLISIS

Unidad 8: Límites de funciones. ContinuidadUnidad 9: Derivadas. Técnicas de derivaciónUnidad 10: Aplicaciones de las derivadasUnidad 11: Representación de funcionesUnidad 12: Cálculo de primitivasUnidad 13: La integral definida. Aplicaciones

Se pretende desarrollar cuatro ó cinco unidades por evaluación, de modo que el desarrollo temporalprevisto, siempre en función de las circunstancias concretas del alumnado y desarrollo del curso, es:

Bloque del trimestre de la 1ª Evaluación: unidades 1 a 4 ó 5

Bloque del trimestre de la 2ª Evaluación: unidades 5 ó 6 a 8 ó 9

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Bloque del trimestre de la 3ª Evaluación: unidades 9 ó 10 a 13

Criterios de evaluación

1. Comprender los conceptos básicos y utilizar la terminología adecuada del análisis paraencontrar e interpretar características de las funciones expresadas de forma explícita.

Se pretende comprobar que los alumnos han adquirido el conocimiento de la terminología adecuada yutilizan correctamente el concepto de continuidad, los límites laterales, el límite funcional y el conceptode derivada para analizar las características de continuidad y derivabilidad de funciones sencillas(definidas a trozos, elementales…). Este conocimiento de los conceptos y propiedades de las funcioneslo han de aplicar para analizar, interpretar y resolver problemas relacionados con fenómenos naturales,económicos y sociales.

2. Usar las destrezas más habituales para el cálculo de límites, derivadas e integrales.

Se pretende averiguar si los alumnos han desarrollado la destreza en el uso de las técnicas másusuales del cálculo de límites. Asimismo, se desea averiguar que conocen las principales reglas dederivación y que saben aplicarlas en situaciones en las que hay que combinar algunas de ellas, comoen la derivación de funciones compuestas. También deben conocer las integrales inmediatas y laaplicación de los métodos básicos de integración.

3. Extraer información, a partir del estudio de las propiedades locales y globales, que permitaesbozar las gráficas de funciones polinómicas, racionales, exponenciales, logarítmicas ytrigonométricas.

Con este criterio se pretende averiguar si los alumnos son capaces de recoger información local y globalsobre funciones sencillas, expresadas de forma explícita, usando los diferentes conceptos ypropiedades del análisis matemático; de analizarlas tanto cuantitativa como cualitativamente, y deproducir como resultado sus representaciones gráficas, en las que quede recogida de forma coherentetoda la información obtenida en el estudio.

4. Utilizar los conceptos y técnicas de límites y derivadas para estudiar fenómenos sociales,naturales y tecnológicos.

Se trata de saber si los estudiantes son capaces de identificar, en el ámbito natural, geométrico o físico,situaciones a las que aplicar resultados del análisis matemático, e interpretar los resultados en elcontexto de la situación analizada. También se evaluará la capacidad de los alumnos para definir lafunción que debe ser optimizada y aplicar el cálculo de derivadas para estudiarla y obtener los valoresóptimos.

5. Calcular áreas de regiones limitadas por rectas y curvas sencillas fácilmente representables, yaplicar este cálculo a situaciones de la naturaleza o la tecnología.

Este criterio pretende evaluar la capacidad para aplicar algunas técnicas sencillas de búsqueda deprimitivas: integración inmediata, por partes, descomposición en fracciones elementales y cambios devariables sencillos. También se trata de valorar si el alumnado comprende el significado de la integraldefinida y la relaciona con el cálculo de primitivas.

Con este criterio se desea averiguar si los alumnos son capaces de aplicar el cálculo de primitivas defunciones sencillas al cálculo de áreas, analizando la gráfica correspondiente a cada situación ytomando las decisiones que correspondan para una correcta delimitación del recinto objeto del estudio.También se valorará que sepan identificar, en contextos del mundo físico o tecnológico, situacionesproblemáticas que sean susceptibles de resolverse usando el cálculo integral.

6. Utilizar el lenguaje matricial y las operaciones con matrices y determinantes como herramientaútil para representar e interpretar situaciones diversas y para resolver problemas relacionadoscon la organización de datos, sistemas de ecuaciones y la geometría analítica.

Este criterio pretende comprobar que los alumnos utilizan correctamente la notación matricial pararepresentar datos, relaciones y sistemas de ecuaciones. Asimismo, que son capaces de usar las

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operaciones con matrices y determinantes para analizar las situaciones representadas y que valoran lasencillez que supone esta notación.

7. Utilizar diversos procedimientos del álgebra matricial o de los determinantes para resolversistemas de ecuaciones lineales.

Se trata de averiguar si los alumnos son capaces de clasificar un sistema de ecuaciones (con unmáximo de tres incógnitas) de acuerdo con el tipo de sus soluciones y resolverlo cuando esto seaposible. También se pretende conocer si saben discutir sistemas de ecuaciones dependientes de unparámetro, resolviéndolos en función de éste cuando sea posible.

Los estudiantes deben demostrar que conocen tanto el método de Gauss como la regla de Cramer o eluso de la matriz inversa para resolver los sistemas, y que saben elegir el más conveniente para cadaproblema.

8. Utilizar el lenguaje vectorial y las operaciones con vectores como herramienta útil pararepresentar e interpretar situaciones diversas y problemas relacionados con la geometría, lafísica y demás ciencias.

Se trata de que los alumnos sepan transcribir situaciones de las ciencias de la naturaleza, la tecnología,la física y la geometría a un lenguaje vectorial en tres dimensiones, así como utilizar las operacionescon vectores para resolver los problemas extraídos de ellas dando una interpretación de las soluciones.Los estudiantes deberán describir correctamente, con un razonamiento lógico, el proceso seguido en laresolución de los problemas planteados, ayudándose de una representación gráfica de la situaciónpropuesta.

9. Utilizar las ecuaciones de la recta y el plano en el espacio y las propiedades de las operacionescon vectores para resolver problemas afines o métricos.

En este criterio se trata de comprobar que los alumnos saben interpretar y obtener las distintasecuaciones de la recta y el plano en el espacio y utilizarlas en la resolución de problemas de incidencia,paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos. Además, deben poder emplearlas, junto con losdistintos productos entre vectores, para calcular ángulos, distancias, áreas y volúmenes.

10. Transcribir problemas reales a un lenguaje algebraico, utilizar las técnicas matemáticasapropiadas en cada caso para resolverlos e interpretar las soluciones de acuerdo con elenunciado.

Se trata de averiguar si los alumnos son capaces de expresar problemas de diferentes contextos enlenguaje algebraico, aplicar para su resolución las técnicas adecuadas e interpretar los resultadosobtenidos en el contexto en el que se enunció el problema.

11. Utilizar los recursos tecnológicos tanto para la obtención de la información necesaria como parala realización de cálculos y representaciones gráficas, como en el proceso de resolución deproblemas o de exposición de conclusiones.

Se pretende con ello observar la capacidad del alumnado para utilizar las nuevas tecnologías y elsoftware matemático específico (hoja de cálculo, sistemas de representación de objetos matemáticos,de álgebra computacional y de geometría dinámica) para abordar situaciones problemáticas planteadasque precisen, por un lado, la búsqueda de datos de forma selectiva, interpretándolos y analizándoloscon rigor, y por otro, la realización de cálculos. También se trata de averiguar si es capaz de usar dichosmedios para presentar resultados y gráficos de forma atractiva y clara

12. Realizar razonamientos matemáticos, tanto inductivos como deductivos, para justificar algunosresultados.

Se pretende evaluar la capacidad de los alumnos para seguir una cadena de argumentos justificandolas relaciones entre los distintos pasos. También se pretende que los alumnos muestren su capacidadpara generalizar un resultado numérico o geométrico, a partir del estudio de una serie de casosparticulares, y dar un razonamiento lógico para justificarlo en todos los casos.

13. Realizar investigaciones que demanden la utilización combinada de diferentes herramientas,métodos y estrategias.

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Se valorará la capacidad del alumno para afrontar investigaciones o problemas abiertos, de diferentescontextos, que exijan la observación de situaciones particulares, la concreción de su modelomatemático más adecuado, la búsqueda de las soluciones y el análisis de la pertinencia de losresultados encontrados. También la capacidad de los alumnos para integrar los conocimientos ydestrezas característicos de distintos campos matemáticos.

Asimismo, se evaluará la capacidad de los alumnos para elaborar y exponer los argumentos utilizadospara dar validez a su trabajo, la pertinencia del lenguaje matemático empleado y su correcta utilización yla pertinencia de las estrategias utilizadas.

14. Abordar las tareas propuestas con interés y curiosidad y exponer los procesos de forma clara yordenada, verificando la validez de las soluciones.

Se valorará que los alumnos sean capaces de afrontar situaciones problemáticas con curiosidad einterés en su resolución, presentando los procesos realizados de forma ordenada y teniendo en cuentatanto los procedimientos utilizados como los resultados obtenidos.

b) Incorporación de la educación en valores democráticos.

Las matemáticas, además de su carácter instrumental, tienen, sobre todo, un carácter formativo. Pueden y deben entenderse como auxiliares de otras disciplinas para facilitar su comprensión y comunicación. El currículo de Bachillerato señala que deben contribuir a la formación de los alumnos y las alumnas como ciudadanos consumidores, sensibles hacia el medio ambiente, preocupados por mantener una buena salud física y mental, educados para la paz, la igualdad de oportunidades entre los dos sexos, etc. Como es bien sabido, se trata de temas que no constituyen por sí solos materias específicas, ni deben ser tratados como algo aparte del programa de cada asignatura, sino que deben abordarse, en lo posible, desde cada una de las disciplinas del currículo.

Educación para el consumo- Los números, aplicados a las oscilaciones de los precios, a situaciones problemáticas relativas a

transacciones comerciales, interés bancario, pagos aplazados…- Los números para la planificación de presupuestos.- Planteamiento de ecuaciones para resolver problemas de consumo.- Tratamiento estadístico de la información relativa a los intereses del consumidor: consumo, evolución

de precios y mercados, inflación, situaciones económicas de empresas o instituciones…

Educación para la salud- Estudio sobre estadísticas referentes a hábitos de higiene. Representación gráfica.- Estudio estadístico sobre la incidencia de ciertas enfermedades comparándola con los hábitos de los

pacientes, con los lugares en los que viven, con las condiciones higiénicas generales, con su estado físico habitual…

Educación moral y cívica- Estudio de la ley electoral en vigor en España y comparación con otros procedimientos de reparto

(proporcional al número de votantes, por ejemplo).- Estudio del comportamiento cívico de un grupo de ciudadanos ante una cierta situación, clasificándolos

por grupos de edades, por sexo, etc. Representación gráfica.

Educación para la paz- Utilización de los números y sus operaciones para obtener resultados, sacar conclusiones y analizar de

forma crítica fenómenos sociales, distribución de la riqueza, etc.- Estudio sobre el aumento de inmigrantes en una cierta zona y comportamiento del resto de los

ciudadanos ante este hecho.

Educación para la igualdad de oportunidades- Realización de estudios sociales referentes a hombre/mujer (trabajo en una cierta actividad,

remuneración), e interpretación de posibles discriminaciones entre sexos.- Representación gráfica de los estudios realizados.

Educación ambiental- Búsqueda de información sobre ecuaciones que rigen el crecimiento de ciertas especies animales.

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Determinación del aumento o disminución de la población de dichas especies en cierto periodo de tiempo.

- Estudios estadísticos sobre desastres ecológicos que hayan tenido lugar en zonas diferentes.

Educación vial- Búsqueda de la expresión analítica del movimiento de un vehículo que circula a una cierta velocidad.

Estudio de posibles incidencias en ese movimiento y consecuencias que se pueden derivar. - Estudio estadístico sobre accidentes de tráfico, estableciendo relaciones con la edad del conductor

del automóvil, época del accidente, lugar, condiciones atmosféricas, etc.

c) Medidas de atención a la diversidad y adaptaciones curriculares.

En el mismo momento en que se inicia el proceso educativo comienzan a manifestarse las diferencias entre los alumnos.

La falta de comprensión de un contenido matemático puede ser debida, entre otras causas, a que los conceptos o procedimientos sean demasiado difíciles para el nivel de desarrollo matemático del alumno, o puede ser debido a que se avanza con demasiada rapidez, y no da tiempo para una mínima asimilación.

La atención a la diversidad, desde el punto de vista metodológico, estará presente en todo el proceso de aprendizaje y llevará al profesor a:

- Detectar los conocimientos previos de los alumnos al empezar un tema. A los alumnos en los que sedetecte una laguna en sus conocimientos, se les debe proponer una enseñanza compensatoria, en la que debe desempeñar un papel importante el trabajo en situaciones concretas.

- Procurar que los contenidos matemáticos nuevos que se enseñan conecten con los conocimientos previos y sean adecuados a su nivel cognitivo.

- Intentar que la comprensión del alumno de cada contenido sea suficiente para una mínima aplicación y para enlazar con los contenidos que se relacionan con él.

La selección de los materiales utilizados en el aula tiene también una gran importancia a la hora de atender a las diferencias individuales en el conjunto de los alumnos. Como material esencial debe considerarse el libro base. El uso de materiales de refuerzo o ampliación permite atender a la diversidad en función de los objetivos que nos queramos fijar.

Por consiguiente, estableceremos una serie de objetivos que persigan la atención a las diferencias individuales de los alumnos y alumnas, y seleccionaremos los materiales curriculares complementarios que nos ayuden a alcanzar esos objetivos.

Con las primeras pruebas del curso se valorarán tanto el nivel como las dificultades de cada estudiante .

Cuando un alumno presente dificultades de aprendizaje que le impidan alcanzar los objetivos previstos, se le irán proponiendo según surjan esas dificultades actividades de recuperación como:

- Repetición de trabajos deficientemente realizados, con la oportuna corrección y orientación.

- Actividades que favorezcan el cambio de actitud en la realización de las tareas diarias.

- Repetición de pruebas de adquisición de conceptos.

Aunque la práctica y la utilización de estrategias de resolución de problemas deben desempeñar un papel importante en el trabajo de todos los alumnos, el tipo de actividad concreta que se realice y los métodos que se utilicen variarán necesariamente de acuerdo con los diferentes grupos de alumnos; el gradode complejidad y la profundidad de la comprensión que se alcance no serán iguales en todos los grupos. Este hecho aconseja organizar las actividades y problemas en actividades de refuerzo y de ampliación, en las que puedan trabajar los alumnos más adelantados. Es por ello que, cuando un alumno manifieste actitudes favorables hacia la materia que le permitan proseguir otro ritmo distinto, se le irán proponiendo otras tareas que le faciliten su desarrollo, como:

- Ejercicios de ampliación sobre los diversos ámbitos de la materia.

- Trabajos de investigación y consulta de cierta complejidad.

En resumen, se trabajará con:

• Actividades de aprendizaje variadas, que permitan distintas modalidades o vías de acceso a loscontenidos y que presenten distintos grados de dificultad.

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• Ejercicios de refuerzo y ampliación que respondan a distintos grados de aprendizaje.

d) Medidas necesarias para la utilización de las tecnologías de la sociedad de la información.

En la medida de lo posible, se incluirá la utilización de las herramientas informáticas e Internet, tanto para al exposición en clase por parte del alumnado como para la elaboración de tareas especificas, así como el usohabitual de la calculadora científica.

e) Estrategias de animación a la lectura y desarrollo de la expresión y comprensión oral y escrita.

Desarrollo de la actividad “Lecturas Matemáticas Voluntarias”, descrita en el apartado l) de estaprogramación.

f) Principios metodológicos que orientarán la práctica.

La extensión del programa de este curso obliga a prestar una atención muy cuidadosa al equilibrio entre lasdistintas partes de cada una de las unidades a desarrollar:

- breves introducciones que centran y dan sentido y respaldo intuitivo a lo que se hace,- desarrollos escuetos,- procedimientos muy claros,- una gran cantidad de ejercicios bien elegidos, secuenciados y clasificados.

Factores que inspiran esta programación

a) El nivel de conocimientos de los alumnos que adquirieron al terminar el segundo ciclo de la Enseñanza Secundaria Obligatoria

En la actualidad, está unánimemente extendida entre la comunidad de educadores la premisa de que toda enseñanza que pretenda ser significativa debe partir de los conocimientos previos de los alumnos ylas alumnas. De ese modo, partiendo de lo que ya saben, podremos construir nuevos aprendizajes que conectarán con los que ya tienen de cursos anteriores o de lo que aprenden fuera del aula, ampliándolos en cantidad y, sobre todo, en calidad.

b) Ritmo de aprendizaje de cada alumno

Cada persona aprende a un ritmo diferente. Los contenidos deben estar explicados de tal manera que permitan extensiones y gradación para su adaptabilidad.

c) Preparación básica para un alumnado de Ciencias o Ingeniería

Los alumnos de estos bachilleratos requieren una formación conceptual y procedimental básica para un estudiante de Ciencias: un buen bagaje de procedimientos y técnicas matemáticas, una sólida estructura conceptual y una razonable tendencia a buscar cierto rigor en lo que se sabe, en cómo se aprende y en cómo se expresa.

d) Atención a las necesidades de otras asignaturas

El papel instrumental de las Matemáticas obliga a tener en cuenta el uso que de ellas se puede necesitar en otras asignaturas. Concretamente, las necesidades de la Física imponen que los temas de derivadas e integrales se traten con algo más de profundidad de lo que se haría de no darse ese requerimiento.

Una concepción constructivista del aprendizaje

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Desde la perspectiva constructivista del aprendizaje en que se basa nuestro currículo oficial y, consecuentemente, este proyecto, la realidad solo adquiere significado en la medida en que la construimos. La construcción del significado implica un proceso activo de formulación interna de hipótesis y la realización de numerosas experiencias para contrastarlas con las hipótesis. Si hay acuerdo entre estas y los resultados de las experiencias, “comprendemos”; si no lo hay, formulamos nuevas hipótesis o abandonamos. Las bases sobre las que se asienta esta concepción de los aprendizajes están demostrando que:

1. Los conceptos no están aislados, sino que forman parte de redes conceptuales con cierta coherencia interna.

2. Los alumnos y las alumnas no saben manifestar, la mayoría de las veces, sus ideas.3. Las ideas previas y los errores conceptuales se han dado y se siguen dando, frecuentemente, en

alumnos de la misma edad en otros lugares.4. Los esquemas conceptuales que traen los estudiantes son persistentes, y no es fácil modificarlos.

Todo ello tiene como consecuencias, que se han de tomar en consideración por el profesorado, al menos, las siguientes:

- Que el alumnado sea consciente de cuál es su posición de partida.- Que se le haga sentir la necesidad de cambiar algunas de sus ideas de partida.- Que se propicie un proceso de reflexión sobre lo que se va aprendiendo y una autoevaluación para que

sea consciente de los progresos que va realizando.

Así pues, nuestro modelo de aprendizaje, que se basa en el constructivismo, tiene en cuenta losconocimientos previos de los estudiantes, el campo de experiencias en el que se mueven y las estrategiasinteractivas entre ellos y con el profesorado.

Contenidos y aspectos metodológicos

Dice Polya que no hay más que un método de enseñanza que sea infalible: si el profesor se aburre con suasignatura, toda la clase se aburrirá irremediablemente con la asignatura. Expresa, como elementos de unametodología que compartimos, algunos detalles como los siguientes: “Deja que los estudiantes haganconjeturas antes de darles tú apresuradamente la solución; déjales averiguar por sí mismos tanto como seaposible; deja a los estudiantes que hagan preguntas; déjales que den respuestas. A toda costa, evitaresponder a preguntas que nadie haya formulado, ni siquiera tú mismo.”

El estilo que cada profesor o profesora dé a sus clases determina el tipo de conocimientos que el alumnoconstruye. En este sentido, hay un modo de “hacer en las clases” que genera aprendizajes superficiales ymemorísticos, mientras que en otros casos se producirán aprendizajes con mayor grado de comprensión yprofundidad.

De acuerdo con el famoso párrafo 243 del informe Cockcroft, que tantas repercusiones está teniendo en losúltimos tiempos, deberíamos “equilibrar” las oportunidades para que en una clase de Matemáticas haya:

- Explicaciones a cargo del profesor.- Discusiones entre profesor y alumnos y entre los propios alumnos.- Trabajo práctico apropiado.- Consolidación y práctica de técnicas y rutinas fundamentales.- Resolución de problemas, incluida la aplicación de las Matemáticas a situaciones de la vida diaria.- Trabajos de investigación.

Utilizaremos en cada caso el más adecuado de los procedimientos anteriores para lograr el mejoraprendizaje de los alumnos sobre hechos, algoritmos y técnicas, estructuras conceptuales y estrategiasgenerales. Cualquier planificación de la enseñanza o cualquier metodología que incluya de formaequilibrada los cuatro aspectos, podrá valorarse como un importante avance respecto a la situación actual.Hasta este momento, se ha venido insistiendo mucho en el dominio casi exclusivo de algoritmos y técnicas,lo que, efectivamente, produce resultados de un cierto tipo a corto plazo, pero anula muchos aspectos decomprensión, no favorece, u obstaculiza, el desarrollo de estructuras conceptuales y, en definitiva, no hacenada por favorecer el desarrollo de estrategias generales.

Por otra parte, hay capacidades en Matemáticas que no se desarrollan dominando con soltura algoritmos ytécnicas. Se trata de capacidades más necesarias en el momento actual y, con toda seguridad, en el futuro.

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Nos referimos a resolución de problemas, elaboración y comprobación de conjeturas, abstracción,generalización... Por otra parte, además de ser capacidades más necesarias, la realidad de las clasesdemuestra que los alumnos “lo pasan mejor” cuando se les proponen actividades para desarrollarlas en lasaulas; es decir, cuando actúan como lo hacen los matemáticos.

No se pone en duda el hecho de que se requieren ciertos algoritmos y rutinas en Matemáticas. Solo sepretende poner énfasis en que no son lo más importante, y, desde luego, no son lo único que debemoshacer en las clases.

En la actualidad, numerosos documentos, actas de congresos y libros de reciente publicación abogan poruna enseñanza de las Matemáticas donde haya mucho de descubrimiento de conceptos, regularidades yleyes por parte del alumno y menos de retransmisión a cargo del profesor. Más de conflicto durante elaprendizaje y menos de acumulación de técnicas, algoritmos y conceptos “cocinados” previamente por elprofesor.

Sería bueno que, ante el planteamiento de cuestiones por el profesor, los alumnos pudieran dar respuestasrápidas que facilitasen conocer la situación de partida, y permitirles luego contrastarla con el resultado final,para que puedan apreciar sus “progresos”. Es esta una manera de ir generando confianza. Una vezelaboradas las primeras hipótesis de trabajo, la discusión con el profesor pondrá de manifiesto lo acertadodel pensamiento y la reformulación de las conclusiones, si procede.

Recorademos la concepción de las Matemáticas expresada por Jeremy Kilpatrick (ICMI-5, 1985, Adelaida):“Las Matemáticas son una cuestión de ideas que un estudiante construye en su mente (y esto es algo quesolo el estudiante puede hacer por sí mismo). Estas ideas vienen de experiencias... y no están previamentecodificadas en lenguaje natural. Nuevas ideas son construidas sobre las ideas que el estudiante ya tiene enla mente, combinándolas, revisándolas, etc., a menudo de una manera metafórica. El aprendizaje efectivorequiere no meramente hacer algo, sino también reflexión sobre lo que se ha hecho después de que lo hashecho...”

Esta concepción traerá como consecuencias, entre otras, que:

a) El aprendizaje deberá empezar con experiencias de las que surgirán ideas.b) No deberíamos empezar con lo que los alumnos tienen que hacer, con lo que tienen que aprender...,

sino proponiendo alguna cuestión, planteando alguna situación o tarea para ser realizada.

g) Procedimientos e instrumentos de evaluación del aprendizaje de los alumnos.

Habrá un mínimo de dos exámenes por cada una de los tres trimestres en que se divide el curso. Se podránvalorar también los siguientes indicadores: cuaderno de clase, trabajo diario, atención prestada a las explicaciones, participación, intervenciones en la pizarra, trabajos extra que se propongan y comportamiento y actitud diaria.

h) Criterios de calificación.

- La media ponderada de los exámenes realizados en el bloque del trimestre de la 1ª Evaluación dará lanota de la 1ª Evaluación.

- La media ponderada de los exámenes realizados en el bloque del trimestre de la 2ª Evaluación dará lanota de la 2ª Evaluación.

- La media ponderada de los exámenes realizados en el bloque del trimestre de la 3ª evaluación dará lanota del b loque del trimestre de la 3ª Evaluación (NO de la 3ª Evaluación ó nota final de junio)

Se aprobará la materia si se da cualquiera de estos casos:

a) Aprobar (nota de al menos 5) por separado los bloques de los tres trimestres en que se divide lamateria.

b) Obtener en todos y cada uno de los tres bloques una nota de al menos 3'5 y que la mediaponderada de los tres bloques sea al menos un 5.

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c) Si la nota de alguno de los bloques es inferior a 5 y no se aprueba la materia por la vía del caso b),se puede hacer una prueba extraordinaria del correspondiente bloque, en la fecha que determine laJefatura de Estudios del Centro, en el mes de mayo. Si en esta ocasión se alcanza al menos el 3'5, serecalculará con las nuevas notas de bloque la media ponderada de los tres bloques. Si esta mediaponderada es ahora al menos un 5, la materia estará aprobada.

d) Obtener al menos un 5 en la convocatoria extraordinaria de septiembre. En dicha convocatoriaentran los contenidos de todo el curso completo (independientemente de que parte de ellos sehubieran aprobado o no por bloques a lo largo del año escolar)

La nota que aparecerá en el boletín de notas en la 1ª y 2ª Evaluación será la media ponderada de losexámenes realizados en el bloque del trimestre, redondeada al alza ó a la baja al entero más próximo (paraello se tendrán en cuenta, correspondientes a ese trimestre, el trabajo en clase, la atención prestada a lasexplicaciones, la participación, el comportamiento, la evolución positiva ó negativa del alumno y la realizaciónde las tareas que se les encomienda tanto fuera como dentro de clase).

La nota que aparecerá en el boletín de notas de la 3ª Evaluación o nota final de junio será la mediaponderada de las notas de los bloques de los tres trimestres, considerando exclusivamente las pruebasescritas, y redondeando posteriormente las décimas del valor resultante al alza o a la baja al entero máspróximo, en función de los indicadores ya citados en el apartado g) de esta programación (cuaderno de clase,trabajo diario, atención prestada a las explicaciones, participación, intervenciones en la pizarra, trabajos extraque se propongan y comportamiento y actitud diaria), evaluados en el conjunto de todo el curso.

En el caso de aprobar la materia en la convocatoria de septiembre (DE TODOS LOS BLOQUES DELCURSO), la nota final será la que se obtenga en el examen de dicha convocatoria, redondeando al alza o a labaja al entero más próximo, en función de los indicadores ya citados en el apartado g) de esta programación(cuaderno de clase, trabajo diario, atención prestada a las explicaciones, participación, intervenciones en lapizarra, trabajos extra que se propongan y comportamiento y actitud diaria), considerados en el conjunto detodo el curso.

i) Criterios de evaluación y contenidos mínimos exigibles.

Unidad 1: Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss

CRITERIOS DE EVALUACIÓN MÍNIMOS

1.1. Conoce lo que significa que un sistema sea incompatible o compatible, determinado o indeterminado, y aplica este conocimiento para formar un sistema de un cierto tipo o para reconocerlo. 1.2. Interpreta geométricamente sistemas lineales de 2, 3 ó 4 ecuaciones con 2 ó 3 incógnitas. 2.1. Resuelve sistemas de ecuaciones lineales por el método de Gauss. 2.2. Discute sistemas de ecuaciones lineales dependientes de un parámetro por el método de Gauss. 3.1. Expresa algebraicamente un enunciado mediante un sistema de ecuaciones, lo resuelve e interpreta

la solución dentro del contexto del enunciado.

CONTENIDOS MÍNIMOS

Sistemas de ecuaciones lineales- Sistemas equivalentes.- Transformaciones que mantienen la equivalencia.- Sistema compatible, incompatible, determinado, indeterminado.- Interpretación geométrica de un sistema de ecuaciones con dos o tres incógnitas según sea compatible

o incompatible, determinado o indeterminado.

Sistemas escalonados- Transformación de un sistema en otro equivalente escalonado.

Método de Gauss

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- Estudio y resolución de sistemas por el método de Gauss.

Sistemas de ecuaciones dependientes de un parámetro- Concepto de discusión de un sistema de ecuaciones.- Aplicación del método de Gauss a la discusión de sistemas dependientes de un parámetro.

Resolución de problemas mediante ecuaciones- Traducción a sistema de ecuaciones de un problema, resolución e interpretación de la solución.

Unidad 2: Álgebra de matrices

CRITERIOS DE EVALUACIÓN MÍNIMOS

1.1. Realiza operaciones combinadas con matrices (elementales). 1.2. Realiza operaciones combinadas con matrices (complejas). 2.1. Calcula el rango de una matriz numérica. 2.2. Relaciona el rango de una matriz con la dependencia lineal de sus filas o sus columnas. 3.1. Expresa un enunciado mediante una relación matricial y, en ese caso, lo resuelve e interpreta la

solución dentro del contexto del enunciado.

CONTENIDOS MÍNIMOS

Matrices- Conceptos básicos: vector fila, vector columna, dimensión, matriz cuadrada, traspuesta, simétrica,

triangular...

Operaciones con matrices- Suma, producto por un número, producto. Propiedades.

Matrices cuadradas- Matriz unidad.- Matriz inversa de otra.- Obtención de la inversa de una matriz por el método de Gauss.- Resolución de ecuaciones matriciales.

n-uplas de números reales- Dependencia e independencia lineal. Propiedad fundamental.- Obtención de una n-upla combinación lineal de otras.- Constatación de si un conjunto de n-uplas son L.D. o L.I.

Rango de una matriz- Obtención del rango de una matriz por observación de sus elementos (en casos evidentes).- Cálculo del rango de una matriz por el método de Gauss.

- Discusión del rango de una matriz dependiente de un parámetro.

Unidad 3: Determinantes

CRITERIOS DE EVALUACIÓN MÍNIMOS

1.1. Calcula el valor de un determinante numérico u obtiene la expresión de un determinante 3 3 con alguna letra.

2.1. Obtiene el desarrollo (o el valor) de un determinante en el que intervienen letras, haciendo uso razonado de las propiedades de los determinantes.

2.2. Reconoce las propiedades que se utilizan en las igualdades entre determinantes. 3.1. Halla el rango de una matriz numérica mediante determinantes. 3.2. Discute el valor del rango de una matriz en la que interviene un parámetro.

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CONTENIDOS MÍNIMOS

Determinantes de órdenes dos y tres- Determinantes de orden dos. Propiedades.- Determinantes de orden tres. Propiedades.- Cálculo de determinantes de orden tres por la regla de Sarrus.

Determinantes de orden n- Menor de una matriz. Menor complementario y adjunto de un elemento de una matriz cuadrada.

Propiedades.- Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea.- Cálculo de un determinante “haciendo ceros” en una de sus líneas.- Aplicaciones de las propiedades de los determinantes en el cálculo de estos y en la comprobación de

identidades.

Rango de una matriz mediante determinantes- El rango de una matriz como el máximo orden de sus menores no nulos.

- Determinación del rango de una matriz a partir de sus menores.

Unidad 4: Resolución de sistemas mediante determinates

CRITERIOS DE EVALUACIÓN MÍNIMOS

1.1. Reconoce la existencia o no de la inversa de una matriz y la calcula en su caso. 1.2. Expresa matricialmente un sistema de ecuaciones y, si es posible, lo resuelve hallando la inversa de

la matriz de los coeficientes. 2.1. Aplica el teorema de Rouché para dilucidar cómo es un sistema de ecuaciones lineales con

coeficientes numéricos. 2.2. Aplica la regla de Cramer para resolver un sistema de ecuaciones lineales, 2 2 ó 3 3, con solución

única. 2.3. Cataloga cómo es (teorema de Rouché), y resuelve, en su caso, un sistema de ecuaciones lineales

con coeficientes numéricos. 2.4. Discute y resuelve un sistema de ecuaciones dependiente de un parámetro.

CONTENIDOS MÍNIMOS

Teorema de Rouché- Aplicación del teorema de Rouché a la discusión de sistemas de ecuaciones.

Regla de Cramer- Aplicación de la regla de Cramer a la resolución de sistemas determinados.- Aplicación de la regla de Cramer a la resolución de sistemas indeterminados.

Sistemas homogéneos- Resolución de sistemas homogéneos.

Discusión de sistemas- Aplicación del teorema de Rouché y de la regla de Cramer a la discusión y resolución de sistemas

dependientes de uno o más parámetros.

Cálculo de la inversa de una matriz- Expresión de la inversa de una matriz a partir de los adjuntos de sus elementos.- Cálculo de la inversa de una matriz mediante determinantes.

Expresión matricial de un sistema de ecuaciones- Resolución de sistemas de ecuaciones mediante la forma matricial.

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Unidad 5: Vectores en el espacio

CRITERIOS DE EVALUACIÓN MÍNIMOS

1.1. Realiza operaciones elementales (suma y producto por un número) con vectores, dados mediante suscoordenadas, comprendiendo y manejando correctamente los conceptos de dependencia e independencia lineal, así como el de base.

1.2. Domina el producto escalar de dos vectores, su significado geométrico, su expresión analítica y sus propiedades, y lo aplica a la resolución de problemas geométricos (módulo de un vector, ángulo de dos vectores, vector proyección de un vector sobre otro, perpendicularidad de vectores).

1.3. Domina el producto vectorial de dos vectores, su significado geométrico, su expresión analítica y sus propiedades, y lo aplica a la resolución de problemas geométricos (vector perpendicular a otros dos, área del paralelogramo determinado por dos vectores).

1.4. Domina el producto mixto de tres vectores, su significado geométrico, su expresión analítica y sus propiedades, y lo aplica a la resolución de problemas geométricos (volumen del paralelepípedo determinado por tres vectores, decisión de si tres vectores son linealmente independientes).

CONTENIDOS MÍNIMOS

Vectores en el espacio - Operaciones. Interpretación gráfica.- Combinación lineal.- Dependencia e independencia lineal.- Base. Coordenadas.

Producto escalar de vectores - Propiedades.- Expresión analítica.- Cálculo del módulo de un vector.- Obtención de un vector con la dirección de otro y módulo predeterminado.- Obtención del ángulo formado por dos vectores.- Identificación de la perpendicularidad de dos vectores.- Cálculo del vector proyección de un vector sobre la dirección de otro.

Producto vectorial de vectores- Propiedades.- Expresión analítica.- Obtención de un vector perpendicular a otros dos.- Cálculo del área del paralelogramo determinado por dos vectores.

Producto mixto de tres vectores- Propiedades.- Expresión analítica.- Cálculo del volumen de un paralelepípedo determinado por tres vectores.- Identificación de si tres vectores son linealmente independientes mediante el producto mixto.

Unidad 6: Puntos, rectas y planos en el espacio

CRITERIOS DE EVALUACIÓN MÍNIMOS

1.1. Representa puntos de coordenadas sencillas en un sistema de referencia ortonormal. 1.2. Utiliza los vectores para resolver algunos problemas geométricos: puntos de división de un segmento

en partes iguales, comprobación de puntos alineados, simétrico de un punto respecto a otro... 2.1. Resuelve problemas afines entre rectas (pertenencia de puntos, paralelismo, posiciones relativas)

utilizando cualquiera de las expresiones (paramétricas, implícita, continua...). 2.2. Resuelve problemas afines entre planos (pertenencia de puntos, paralelismo...) utilizando cualquiera

de sus expresiones (implícita o paramétricas). 2.3. Resuelve problemas afines entre rectas y planos

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CONTENIDOS MÍNIMOS

Sistema de referencia en el espacio- Coordenadas de un punto.- Representación de puntos en un sistema de referencia ortonormal.

Aplicación de los vectores a problemas geométricos- Punto que divide a un segmento en una razón dada.- Simétrico de un punto respecto a otro.- Comprobación de si tres o más puntos están alineados.- Obtención razonada del punto que divide a un segmento en una razón dada.

Ecuaciones de una recta- Ecuaciones vectorial, paramétricas y continua de la recta.- Estudio de las posiciones relativas de dos rectas.

Ecuaciones de un plano- Ecuaciones vectorial, paramétricas e implícita de un plano. Vector normal.- Estudio de la posición relativa de dos o más planos.- Estudio de la posición relativa de un plano y una recta.

Unidad 7: Problemas métricos

CRITERIOS DE EVALUACIÓN MÍNIMOS

1.1. Calcula los ángulos entre rectas y planos. Obtiene una recta o un plano conociendo, como uno de los datos, el ángulo que forma con una figura (recta o plano).

2.1. Halla la distancia entre dos puntos o de un punto a un plano. 2.2. Halla la distancia de un punto a una recta mediante el plano perpendicular a la recta que pasa por el

punto, o bien haciendo uso del producto vectorial. 2.3. Halla la distancia entre dos rectas que se cruzan, justificando el proceso seguido. 3.1. Halla el área de un paralelogramo o de un triángulo. 3.2. Halla el volumen de un paralelepípedo o de una pirámide triangular. 4.1. Halla el simétrico de un punto respecto de una recta o de un plano. 4.2. Resuelve problemas geométricos en los que intervengan perpendicularidades, distancias, ángulos,

incidencia, paralelismo... 5.1. Obtiene la expresión analítica de un lugar geométrico espacial definido por alguna propiedad, e

identifica la figura de que se trata. 6.1. Escribe la ecuación de una esfera a partir de su centro y su radio, y reconoce el centro y el radio de

una esfera dada por su ecuación. 6.2. Relaciona la ecuación de un elipsoide, hiperboloide o paraboloide con su representación gráfica.

CONTENIDOS MÍNIMOS

Ángulos de rectas y planos- Vector dirección de una recta y vector normal a un plano.- Obtención del ángulo de dos rectas, de dos planos o del ángulo entre recta y plano.

Distancia entre puntos, rectas y planos- Cálculo de la distancia entre dos puntos.- Cálculo de la distancia de un punto a una recta por diversos procedimientos.- Distancia de un punto a un plano mediante la fórmula.- Cálculo de la distancia entre dos rectas por diversos procedimientos.

Área de un triángulo y volumen de un paralelepípedo- Cálculo del área de un paralelogramo y de un triángulo.- Cálculo del volumen de un paralelepípedo y de una pirámide triangular.

Lugares geométricos en el espacio

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- Plano mediador de un segmento.- Plano bisector de un ángulo diedro.- Algunas cuádricas (esfera, elipsoide, hiperboloide, paraboloide) como lugares geométricos.

Estudio de la esfera- Obtención del centro y del radio de una esfera dada mediante su ecuación.

- Posiciones relativas de dos esferas y de una esfera con un plano.

Unidad 8: Límites de funciones. Continuidad

CRITERIOS DE EVALUACIÓN MÍNIMOS

1.1. A partir de una expresión del tipo( )

xlímf x®a

= b

[ es , –, a–, a o a; y es , – o l]lo representa gráficamente y describe correctamente la propiedad que lo caracteriza (dado un > 0 existe un ..., o bien, dado k existe h...).

2.1. Calcula límites inmediatos que solo requieran conocer los resultados operativos y comparar infinitos. 2.2. Calcula límites (x o x –) de cocientes o de diferencias. 2.3. Calcula límites (x o x –) de potencias. 2.4. Calcula límites (x c) de cocientes, distinguiendo, si el caso lo exige, cuando x c y cuando x

c–. 2.5. Calcula límites (x c) de potencias. 3.1. Reconoce si una función es continua en un punto o el tipo de discontinuidad que presenta en él. 3.2. Determina el valor de un parámetro (o dos parámetros) para que una función definida “a trozos” sea

continua en el “punto (o puntos) de empalme”. 4.1. Enuncia el teorema de Bolzano en un caso concreto y lo aplica a la separación de raíces de una

función.

CONTENIDOS MÍNIMOS

Sucesiones- Límite de una sucesión. - El número e.

Límite de una función- Límite de una función cuando x , x – o x a. Representación gráfica.- Límites laterales.- Operaciones con límites finitos.

Expresiones infinitas- Infinitos del mismo orden.- Infinito de orden superior a otro.- Operaciones con expresiones infinitas.

Cálculo de límites- Cálculo de límites inmediatos (operaciones con límites finitos evidentes o comparación de infinitos de

distinto orden).- Indeterminación. Expresiones indeterminadas.- Cálculo de límites cuando x o x –:

- Cociente de polinomios o de otras expresiones infinitas.- Diferencia de expresiones infinitas.- Potencia. Número e.

- Cálculo de límites cuando x a–, x a+, x a:- Cocientes.- Diferencias.- Potencias.

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Continuidad. Discontinuidades- Continuidad en un punto. Tipos de discontinuidad.

Continuidad en un intervalo- Teoremas de Bolzano, Darboux y Weierstrass.- Aplicación del teorema de Bolzano para detectar la existencia de raíces y para separarlas.

Unidad 9: Derivadas. Técnicas de derivación

CRITERIOS DE EVALUACIÓN MÍNIMOS

1.1. Asocia la gráfica de una función a la de su función derivada. 1.2. Halla la derivada de una función en un punto a partir de la definición. 1.3. Estudia la derivabilidad de una función definida “a trozos”, recurriendo a las derivadas laterales en el

“punto de empalme”. 2.1. Halla las derivadas de funciones no triviales. 2.2. Utiliza la derivación logarítmica para hallar la derivada de una función que lo requiera. 2.3. Halla la derivada de una función implícita. 2.4. Halla la derivada de una función conociendo la de su inversa.

CONTENIDOS MÍNIMOS

Derivada de una función en un punto- Tasa de variación media.- Derivada de una función en un punto. Interpretación. Derivadas laterales.- Obtención de la derivada de una función en un punto a partir de la definición.

Función derivada- Derivadas sucesivas.- Representación gráfica aproximada de la función derivada de otra dada por su gráfica. - Estudio de la derivabilidad de una función en un punto estudiando las derivadas laterales.

Reglas de derivación- Reglas de derivación de las funciones elementales y de los resultados operativos. - Derivada de una función implícita.- Derivada de la función inversa de otra.- Derivación logarítmica.

Diferencial de una función- Concepto de diferencial de una función.- Aplicaciones.

Unidad 10: Aplicaciones de las derivadas

CRITERIOS DE EVALUACIÓN MÍNIMOS

1.1. Dada una función explícita o implícita, halla la ecuación de la recta tangente en uno de sus puntos. 2.1. Dada una función, sabe decidir si es creciente o decreciente, cóncava o convexa, en un punto o en un

intervalo, obtiene sus máximos y mínimos relativos y sus puntos de inflexión. 3.1. Dada una función mediante su expresión analítica o mediante un enunciado, encuentra en qué caso

presenta un máximo o un mínimo. 4.1. Calcula límites aplicando la regla de L’Hôpital. 5.1. Aplica el teorema de Rolle o el del valor medio a funciones concretas, probando si cumple o no las

hipótesis y averiguando, en su caso, dónde se cumple la tesis.

CONTENIDOS MÍNIMOS

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Aplicaciones de la primera derivada- Obtención de la tangente a una curva en uno de sus puntos.- Identificación de puntos o intervalos en los que la función es creciente (decreciente).- Obtención de máximos y mínimos relativos.- Resolución de problemas de optimización.

Aplicaciones de la segunda derivada- Identificación de puntos o intervalos en los que la función es cóncava o convexa.- Obtención de puntos de inflexión.

Regla de L’Hôpital- Aplicación de la regla de L’Hôpital al cálculo de límites.

Teoremas de Rolle y del valor medio- Constatación de si una función cumple o no las hipótesis del teorema del valor medio (o del teorema de

Rolle) y obtención del punto donde cumple (en su caso) la tesis. - Aplicación del teorema del valor medio a la demostración de diversas propiedades.

Unidad 11: Representación de funciones

CRITERIOS DE EVALUACIÓN MÍNIMOS

1.1. Representa funciones polinómicas. 1.2. Representa funciones racionales. 1.3. Representa funciones trigonométricas. 1.4. Representa funciones exponenciales. 1.5. Representa funciones en las que intervenga el valor absoluto. 1.6. Representa otros tipos de funciones.

CONTENIDOS MÍNIMOS

Herramientas básicas para la construcción de curvas- Dominio de definición, simetrías, periodicidad.- Ramas infinitas: asíntotas y ramas parabólicas.- Puntos singulares, puntos de inflexión, cortes con los ejes...

Representación de funciones- Representación de funciones polinómicas.- Representación de funciones racionales.- Representación de funciones cualesquiera.

Unidad 12: Cálculo de primitivas

CRITERIOS DE EVALUACIÓN MÍNIMOS

1.1. Halla la primitiva de una función elemental o de una función que, mediante simplificaciones adecuadas, se transforme en elemental desde la óptica de la integración.

2.1. Halla la primitiva de una función utilizando el método de sustitución. 2.2. Halla la primitiva de una función mediante la integración por partes. 2.3. Halla la primitiva de una función racional cuyo denominador no tenga raíces imaginarias.

CONTENIDOS MÍNIMOS

Primitiva de una función- Obtención de primitivas de funciones elementales.- Simplificación de expresiones para facilitar su integración:

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( ) ( )-P x k

Q xx a x a

= +- -

- Expresión de un radical como producto de un número por una potencia de x.- Simplificaciones trigonométricas.- ...

Cambio de variables bajo el signo integral- Obtención de primitivas mediante cambio de variables: integración por sustitución.

Integración “por partes”- Cálculo de integrales “por partes”.

Descomposición de una función racional- Cálculo de la integral de una función racional descomponiéndola en fracciones elementales.

- Confianza en las propias capacidades para resolver problemas donde intervienen integrales.- Reconocimiento y evaluación crítica del trabajo en equipo para la realización de determinadas actividades

relacionadas con el cálculo de primitivas y problemas relacionados con estas.- Flexibilidad para enfrentarse a situaciones donde intervengan integrales.

Unidad 13: La integral definida. Aplicaciones

CRITERIOS DE EVALUACIÓN MÍNIMOS

1.1. Halla la integral de una función, ( )b

af x dxò , reconociendo el recinto definido entre y f (x), x a, x

b, hallando sus dimensiones y calculando su área mediante procedimientos geométricos elementales.

2.1. Responde a problemas teóricos relacionados con el teorema fundamental del cálculo. 3.1. Calcula el área bajo una curva entre dos abscisas. 3.2. Calcula el área entre dos curvas. 4.1. Halla el volumen del cuerpo que se obtiene al girar un arco de curva alrededor del eje X. 5.1. Halla el área de una figura plana conocida obteniendo la expresión analítica de la curva que la

determina e integrando entre los límites adecuados. O bien, deduce la fórmula del área mediante el mismo procedimiento.

5.2. Halla el volumen de un cuerpo de revolución conocido obteniendo la expresión analítica de un arco de

curva y f (x) cuya rotación en torno al eje X determina el cuerpo, y calcula ( )2b

af x dxpò .

CONTENIDOS MÍNIMOS

Integral definida- Concepto de integral definida. Propiedades.- Expresión del área de una figura plana conocida, mediante una integral.

Relación de la integral con la derivada- Teorema fundamental del cálculo.- Regla de Barrow.

Cálculo de áreas y volúmenes mediante integrales- Cálculo del área entre una curva y el eje X.- Cálculo del área delimitada entre dos curvas.

- Cálculo del volumen del cuerpo de revolución que se obtiene al girar un arco de curva alrededor del eje X.

j) Actividades de recuperación para los alumnos con materias no superadas del curso anterior y orientaciones y apoyos para lograr dicha recuperación.

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Prueba específica: Los alumnos con Matemáticas I no superada del curso anterior podrán recuperarla asignatura mediante el correspondiente examen de toda la asignatura pendiente en la fecha que determine la Jefatura de Estudios del Centro, hacia finales de abril ó principios de mayo de 2015. Si la nota del examen es al menos 5, se considerará superada la asignatura con la nota obtenida en el examen; en caso contrario el alumno tendrá derecho a presentarse a la prueba extraordinaria de septiembre.

Los profesores del Departamento estarán a disposición de los alumnos para tanto orientar personalmente en la preparación de la prueba extraordinarias, como aclarar las dudas que vayan surgiendo a lo largo de dicha preparación. Prestarán materiales del departamento o recomendarán la adquisición de los que juzguen más adecuados.

k) Materiales y recursos didácticos que se van a utilizar, incluidos los materiales curriculares y libros de texto para uso del alumnado.

Libro de texto "Matemáticas II" de 2º de Bachillerato, editorial Anaya, edición de 2009, de J. Colera y M. J. Oliveira (ISBN: 9788466782494).

l) Actividades complementarias y extraescolares programadas por el departamento de acuerdo con el Programa anual de actividades complementarias y extraescolaresestablecidas por el centro.

Desarrollo de la actividad “Lecturas Matemáticas Voluntarias”.

Se trata de propuestas de lectura cuyo contenido acerca a lasMatemáticas desde un punto de vista diferente al habitual de las clases.Están pensadas para adaptarse a cada nivel. La participación,estrictamente voluntaria, en esta actividad, puede suponer mejoras en lanota global final de Matemáticas del correspondiente curso.

Tras la lectura a lo largo del primer y segundo trimestres hay sendaspruebas. En el Salón de Actos, desde las 16:30 hasta las 17:30, eljueves 8 de enero de 2015 y el martes 7 de abril de 2015 sedesarrollarán las PRUEBAS PRESENCIALALES DE LECTURAcorrespondientes.

1 er libro: “El enigma de Fermat” (Capítulos 1 al 3) (Libro único para todo el curso; se fracciona en dos partes. Además de leerel libro, también hay que ver el documental de la BBC, del que saldránalgunas cuestiones).

Prueba de lectura: a la vuelta de Navidades.

2º libro: “El enigma de Fermat” (Capítulos 4 a final)Prueba de lectura: a la vuelta de Semana Santa.

Autor: SINGH, SIMONISBN: 8408065726Editorial: PLANETA, S.A.Páginas: 320Precio: unos 8,00 €Comentario: La magnífica historia de una búsqueda científica sinprecedentes, llena de ingenio, inspiración y perseverancia. El último teoremade Fermat ha revelado, por fin, su secreto. Ha dejado de ser una obsesión.Ya no es un misterio.

Otra edición, más ilustrada:

ISBN: 8408065726Editorial: PLANETA, S.A.Páginas: 317Precio: unos 17,00 €

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Participación voluntaria en las siguientes actividades:

- XXI Concurso de Fotografía Matemática del IES Andalán1 de Zaragoza (actividad fuera del horario lectivo, a desarrollar previsiblemente desde mediados de enero hasta mediados de febrero de 2015).

- XXII Canguro Matemático Internacional2, previsiblemente el jueves 19 de marzo de 2015 (actividad por la tarde, fuera del horario lectivo, en un aula de nuestro Instituto).

- XI Taller de Talento Matemático3, desarrollado en la Universidad de Zaragoza. (3º, 4º ESO y Bachillerato) (Actividad por la tarde, los viernes, fuera del horario lectivo, durante todo el curso, en laUniversidad de Zaragoza).

- LI (Quincuagésimo primera) Olimpiada Matemática Española4, para alumnos de Bachillerato (actividad en la Universidad de Zaragoza. Los participantes que se inscriban tendrán que faltar a sus clases previsiblemente toda la mañana del viernes, 9 de enero de 2015. El resto de la actividad no influye en el horario lectivo, pues se desarrolla la tarde del 9-1-15).

- II Concurso de Radionovelas Matemáticas, organizado por la Sociedad Aragonesa "Pedro Sánchez Ciruelo" de Profesores de Matemáticas5, previsiblemente hasta primeros de abril de 2015.

1 http://iesandza.educa.aragon.es/Foto%20Matematica.htm2 http://www.canguromat.org.es/3 http://www.unizar.es/ttm/4 http://platea.pntic.mec.es/~csanchez/olimmain.htm, http://www.unizar.es/ttm/olimpiada/index.html5 http://sapmatematicas.blogspot.com.es/2014/01/i-concurso-de-radionovelas-matematicas.html

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