Programacao Linear Aplicada na Resolucao de Problemas de

Administracao

Aline A. C. Goncalves, Carla P. Alves, Glaucia B. L. dos Santos

Juliana C. Castellao, Raquel B. de Souza, Wanderley A. Pereira∗

Graduandos em Administracao pelo Instituto Federal do Norte de Minas Gerais - IFNMG

39270-000, Pirapora, MG

Jose Sergio Domingues†

Professor/pesquisador do IFNMG - Campus Pirapora

Palavras-chave: Otimizacao, Pesquisa Operacional, Matematica Aplicada

Resumo: A Pesquisa Operacional (P.O.) surgiu durante a 2a Guerra Mundial com intuito dese utilizar com mais eficacia os recursos limitados dos militares [5]. Uma das tecnicas maisutilizadas na P.O e a ferramenta matematica de programacao linear. Neste artigo esta tecnicae aplicada com a finalidade de resolver um problema de maximizacao de lucro. Como resultadodesse trabalho, desenvolvemos um pequeno programa em linguagem Pascal que determina asintersecoes das retas formadas por um sistema de equacoes lineares cujas variaveis sao naonegativas, e que compara as imagens dos pontos de intersecao quando aplicadas na funcao quese deseja maximizar.

1 Introducao

A P.O envolve aplicacao de metodos cientıficos para aperfeicoar a producao dentro de um pro-cesso administrativo, atraves da melhor utilizacao dos recursos e aprimoramento de procedimen-tos de producao [3]. Os modelos do Problema de Programacao Linear (P.P.L) admitem em suaforma uma funcao denominada objetivo ou objeto, que esta associada a uma ou mais equacoese/ou inequacoes para traduzir a condicao de que algumas ou todas variaveis controladas so po-dem ser manipuladas dentro de limites. O conjunto destas equacoes constitui, simultaneamenteum modelo de sistemas e de decisao. Segundo Boldrini (1980) [1], os problemas de programacaolinear (P.P.L) tem como forma geral:

Otimizar z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn

sujeita a

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn ≤ b1

a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn ≤ b2

...

am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn ≤ bm

onde xj , aij , bi, cj ∈ R para todos 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n. Alem disso, as restricoes tambempoderao apresentar os sinais = ou ≥.

∗wandeko999@yahoo.com.br†sergio.domingues@ifnmg.edu.br

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2 Metodos

A partir da especificacao e do estabelecimento de um modelo do P.P.L, empregamos nessetrabalho o metodo grafico de solucao de P.P.L’s, com auxılio do software GeoGebra 4.2, parauma melhor visualizacao da regiao de solucoes possıveis do problema. O proximo passo noprojeto e apurar a forma de se resolver os problemas atraves do metodo Simplex, que e maisusado quando a funcao objetivo e as restricoes sao dependentes de mais do que duas variaveis.

Descrevemos abaixo o processo:

i. As restricoes do P.P.L. (equacoes e/ou inequacoes) sao manipuladas no GeoGebra.

ii. Os dados sao convertidos em graficos.

iii. Determina-se as intersecoes das retas, e com isso, se estabelece a regiao viavel, que sera opolıgono que contem todas as solucoes possıveis do P.P.L.

iv. Os vertices do polıgono indicarao as possıveis solucoes para a otimizacao do problema, ouseja, se a solucao otima existir, sera determinada pelas coordenadas de um dos vertices.

Como exemplo, utilizaremos o seguinte problema: Uma fabrica produz dois tipos de geradores,A e B, e cada um deles deve passar por duas maquinas, C e D. Para fazer um gerador do tipoA, a maquina C deve trabalhar 2 horas e a maquina D deve trabalhar 4 horas. Para fazeruma unidade do tipo B, as maquinas C e D devem trabalhar, respectivamente, 4 e 2 horas. Asmaquinas podem trabalhar 24 horas por dia. Sabe-se que a fabrica tem um lucro de R$ 3.000,00por um gerador do tipo A e um lucro de R$ 5.000,00 por um do tipo B. Alem disso, ela vendetoda a sua producao. Sendo assim, pergunta-se: quantos geradores de cada tipo a fabrica deveproduzir para que seu lucro seja maximo.

A modelagem matematica desse problema, nos leva ao seguinte P.P.L:

(Max) z = 3.000x + 5.000ys.a

2x + 4y ≤ 244x + 2y ≤ 24x ≥ 0y ≥ 0

Figura 1: Representacao grafica da determinacao da regiao viavel para o exemplo analisado,utilizando o software GeoGebra.

3 Resolucao de P.P.L’s Utilizando Algoritmo Pascal

Produzimos um programa na linguagem pascal, para determinar os valores de otimizacao dafuncao objetivo do tipo z = ax + by, sujeita a duas restricoes distintas e por duas condicoes de

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nao negatividade, ou seja, x ≥ 0 e y ≥ 0, calculando, em seguida, os vertices que formarao aarea do polıgono viavel.

O algoritmo funciona de maneira pratica, onde o usuario so precisa entrar com os valoresdos coeficientes da funcao objeto, bem como os valores dos coeficientes ao qual essa funcao estasujeita.

Figura 2: Arquivo de saıda com a solucao do problema proposto, resolvido com algoritmo queimplementamos em linguagem pascal.

4 Conclusao

A Programacao Linear apresenta como vantagens o desenvolvimento de solucoes graficas, quefacilitam a visualizacao das variaveis mantendo a essencia do problema. Essas solucoes auxiliamno controle gerencial, isto e, a administracao de producao, analise de investimentos, logısticaempresarial entre outros, como descrito em [2]. Assim sendo, trata-se de uma ferramenta defundamental importancia para administradores, uma vez que, propoe solucoes para problemasrecorrentes nas organizacoes do mundo contemporaneo. Observamos, ainda, que a PesquisaOperacional promove a interdisciplinaridade com a integracao de conceitos da administracao,matematica, logıstica e informatica.

Agradecimentos: Os autores agradecem a WAMAG (empresa que atua nos setores de trans-porte, construcao e servicos) pelo importante apoio financeiro concedido para a realizacao destetrabalho, e ao IFNMG – campus Pirapora, pelo apoio financeiro concedido atraves dos Progra-mas Institucionais de Iniciacao Cientıfica e Tecnologica.

Referencias

[1] J.L. Boldrini, S.I.R., Costa, V.L., Figueredo, H.G., Wetzler, “Algebra Linear”, 3.ed., SaoPaulo: Harbra, 1980.

[2] E.C. Colin, “Pesquisa Operacional - 170 Aplicacoes em Estrategia, Financas, Logıstica,Producao, Marketing e Vendas”, Ed. LTC, 2007.

[3] R. V. Davalos, Apostila de Programacao Linear - Parte I. Palhoca, 2003.

[4] GEO M., Hohenwarter, GeoGebra, Disponıvel em: http://www.geogebra.at/.

[5] E.F.A., Lisboa, Pesquisa Operacional, Rio de Janeiro, 2002, Disponıvel em:www.ericolisboa.eng.br.

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