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CCUURRSSOO 22001111--22001122

DDEEPPAARRTTAAMMEENNTTOO DDEE FFÍÍSSIICCAA AAPPLLIICCAADDAA

MÓDULO MATERIA CURSO SEMESTRE CRÉDITOS TIPO

Ciencias Básicas Física 1º 2º semestre 6 Básica

PROFESOR(ES) DIRECCIÓN COMPLETA DE CONTACTO PARA TUTORÍAS (Dirección postal, teléfono, correo electrónico, etc.)

• Grupo A: María Tirado Miranda • Grupo B: Jorge Portí Durán • Crupo C: Artur Schmitt

Dpto. Física Aplicada, Facultad de Ciencias Grupo A: Despacho 10, 1ª Planta, 958-246104, [email protected] Grupo B: Despacho 101, 2ª Planta, 958-249098, [email protected] Grupo C: Despacho 10, 1ª Planta, 958-246104, [email protected] Grupos A,B y C: Dpto. Física Aplicada, 3ª Planta, E.T.S. Arquitectura

HORARIO DE TUTORÍAS

María Tirado: martes de 10:30 a 11:30 horas en despacho (E.T.S.A), miércoles de 9:15 a 13:15 horas en despacho (F. Ciencias), viernes de 10:30 a 11:30 horas en despacho (E.T.S.A), Jorge Portí: martes de 11:30 a 13:00 horas (ETSA), miércoles de 10:00 a 13:00 horas (F. Ciencias), Viernes de 9:30 a 11:00 horas (ETSA). Artur Schmitt: Jueves de 9:45 a 13:45 y 17:30 a 19:30 (ETSA)

GRADO EN EL QUE SE IMPARTE OTROS GRADOS A LOS QUE SE PODRÍA OFERTAR

Grado en Arquitectura

PRERREQUISITOS Y/O RECOMENDACIONES (si procede)

BREVE DESCRIPCIÓN DE CONTENIDOS (SEGÚN MEMORIA DE VERIFICACIÓN DEL GRADO)

Mecánica vectorial. Estática. Rozamiento. Fuerzas y momentos en estructuras y vigas. Deformaciones. Cables.

COMPETENCIAS GENERALES Y ESPECÍFICAS

Generales • G01 Capacidad de análisis y síntesis • G02 Capacidad de organización y planificación • G03 Comunicación oral y escrita en lengua nativa • G05 Conocimientos de informática relativos al ámbito de estudio

Fundamentos Físicos Aplicados a las Estructuras GUÍA DOCENTE DE LA ASIGNATURA

• G07 Resolución de problemas • G14 Razonamiento crítico • G16 Aprendizaje autónomo • G22 Motivación por la calidad • G23 Sensibilidad hacia temas medioambientales • G27 Visión espacial • G28 Comprensión numérica • G29 Intuición mecánica

Específicas • EN02 Conocimiento adecuado y aplicado a la arquitectura y al urbanismo de: e) Los principios de la mecánica general, la estática, la geometría de

masas y los campos vectoriales y tensoriales; f) Los principios de termodinámica, acústica y óptica; g) Los principios de mecánica de fluidos, hidráulica, electricidad y electromagnetismo.

• EN03 Conocimiento aplicado de: El cálculo numérico, la geometría analítica y diferencial y los métodos algebraicos. • EA01 Conocimiento adecuado y aplicado a la arquitectura y al urbanismo de: a) Los principios de la mecánica general, la estática, la geometría de

masas y los campos vectoriales y tensoriales; b) Los principios de termodinámica, acústica y óptica; c) Los principios de mecánica de fluidos, hidráulica, electricidad y electromagnetismo.

• EA02 Conocimiento aplicado de: a) El cálculo numérico, la geometría analítica y diferencial y los métodos algebraicos.

OBJETIVOS (EXPRESADOS COMO RESULTADOS ESPERABLES DE LA ENSEÑANZA)

Objetivos generales:

- Aplicar conocimientos de Matemáticas y Física. - Conocer las características fundamentales de las magnitudes de la Física. - Capacidad para modelar analíticamente situaciones reales relacionadas con aspectos estructurales de la arquitectura. - Conocimiento adecuado de los problemas físicos y de las distintas tecnologías, así como de la función de los edificios.

Objetivos específicos:

- Conocimiento y manejo adecuado del álgebra vectorial. - Conocimiento de los fundamentos de la dinámica de la partícula, de los sistemas de partículas y del sólido rígido. - Conocimiento adecuado de los conceptos y técnicas de la estática del punto material, el sólido rígido y los sistemas de sólidos rígidos. - Conocimiento de las ligaduras básicas y su representación en términos de fuerzas y momentos de ligadura. - Conocimiento del concepto de grado de hiperestaticidad y su implicación en problemas de estática. - Conocimiento de los fundamentos del rozamiento y algunas de sus aplicaciones. - Conocimiento de los métodos de resolución de estructuras articuladas planas. - Conocimiento de los conceptos de la geometría de masas. - Manejo de fuerzas distribuidas a partir de las propiedades geométricas de la carga que las describe. - Conocimiento y cálculo de las fuerzas y momentos internos en vigas y cables. - Conocimiento básico del concepto de sólido deformable, los principios fundamentales de la elasticidad y los coeficientes elásticos básicos.

TEMARIO DETALLADO DE LA ASIGNATURA

TEMARIO TEÓRICO: LECCIÓN 1.- ÁLGEBRA VECTORIAL. 1. Introducción. 2. Definición de vector. Clasificación. 3. Componentes cartesianas de un vector. Versores. 4. Producto de un vector por un escalar, producto

escalar y producto vectorial. 5. Momento de un vector respecto de un punto y un eje. 6. Sistemas de vectores deslizantes. 7. Par de vectores. 8. Reducción de sistemas de vectores. 9. Sistemas de vectores deslizantes paralelos. LECCIÓN 2.- EQUILIBRIO DEL PUNTO MATERIAL Y DEL SÓLIDO RÍGIDO. 1. Introducción. Las leyes de Newton. 2. Grados de libertad y ligaduras. 3. Ligaduras en sistemas planos. 4. Ligaduras en sistemas tridimensionales. 5. Equilibrio del punto material y del sólido rígido. 6. Grado de hiperestaticidad externa. 7. Equilibrio de un sólido sometido a dos y tres fuerzas. 8. Ejemplos de determinación de las reacciones externas en un sólido rígido plano y tridimensional en equilibrio. 9. Sistemas de sólidos rígidos en equilibrio. 10. Grado de hiperestaticidad interna y total. LECCIÓN 3.- ROZAMIENTO. 1. Introducción. 2. Rozamiento por deslizamiento. Ángulos de rozamiento. 3. Vuelco. 4. Plano inclinado. 5. Cuñas. 6. Rozamiento en sistemas compuestos. LECCIÓN 4.- ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS. 1. Introducción. 2. Estructuras articuladas planas. Definición y clasificación. 3. Análisis de estructuras mediante el método de los nudos. 4. Nudos bajo condiciones especiales de carga. 5. Análisis de estructuras mediante el diagrama de Maxwell-Cremona. 6. Análisis de estructuras mediante el método de las secciones. 7. Estructuras compuestas, deformables y complejas. 8. Entramados. LECCIÓN 5.- GEOMETRÍA DE MASAS I: CENTRO DE MASAS Y CENTROIDE. 1. Introducción. Centro de masas y centroide 2. Determinación de centroides mediante integración. 3. Centroide de figuras compuestas. 4. Centroide de cuerpos de revolución. Teoremas de Pappus-Guldin. LECCIÓN 6.- GEOMETRÍA DE MASAS II: MOMENTOS Y PRODUCTOS DE INERCIA. 1. Introducción. 2. Momento y productos de inercia. 3. Determinación de momentos y productos de inercia por integración. 4. Traslación de ejes: Teoremas de Steiner. 5. Momentos y productos de inercia de cuerpos compuestos. 6. Giro de ejes. Ejes y momentos principales de inercia. LECCIÓN 7. VIGAS Y CABLES. 1. Introducción. 2. Tipos de cargas y apoyos. 3. Solicitaciones en una viga: esfuerzo cortante y normal, momento flector y torsor. 4. Cálculo de las solicitaciones en una viga recta. 5. Propiedades de las solicitaciones en una viga. 6. Determinación de solicitaciones a través de sus propiedades. 7. Cables. LECCIÓN 8. ELASTICIDAD. 1. Introducción. 2. Esfuerzo normal y deformación unitaria. 3. Deformaciones elásticas. Ley de Hooke. 4. Deformación por tracción y compresión: módulo de Young y coeficiente de Poisson. 5. Deformación debida a 3 esfuerzos ortogonales. 6. Compresión uniforme. Módulo de compresibilidad. 7. Cizalladura. Módulo de rigidez. 8. Torsión. 9. Estudio de la flexión en una viga recta. TEMARIO PRÁCTICO: Seminarios/Talleres virtuales

1. Introducción al software de cálculos matemáticos Mathematica. - Bloques temáticos: Mecánica vectorial. - Tema del Programa: Temas 1. - Leyes o fenómenos físicos involucrados y herramientas matemáticas: Cálculo vectorial y matricial, resolución de ecuaciones lineales y no lineales, representación de funciones, cálculo integral y diferencial, resolución de ecuaciones diferenciales. - Material: software para cálculos matemáticos Mathematica.

2. Resolución mediante ordenador de un problema de equilibrio tridimensional complejo con rozamiento. - Bloques temáticos: Mecánica vectorial, estática y rozamiento. - Tema del Programa: Temas 1 a 3. - Leyes o fenómenos físicos involucrados y herramientas matemáticas: Cálculo vectorial, equilibrio de fuerzas y momentos con la 2ª Ley de Newton, modelo de rozamiento seco. - Material: software para cálculos matemáticos Mathematica.

3. Resolución mediante ordenador de diversas estructuras en dos y tres dimensiones. Montaje experimental y resolución de un caso

sencillo. - Bloques temáticos: Mecánica vectorial, estática y análisis de estructuras. - Tema del Programa: Temas 1, 2 y 4. - Leyes o fenómenos físicos involucrados y herramientas matemáticas: Cálculo vectorial, equilibrio de fuerzas y momentos con la 2ª Ley de Newton, cálculos de fuerzas sobre barras en estructuras. - Material: software para cálculos matemáticos Mathematica.

4. Resolución de un problema complejo de geometría de masas de cuerpos planos. - Bloques temáticos: Mecánica vectorial, estática. - Tema del Programa: Temas 5 y 6. - Leyes o fenómenos físicos involucrados y herramientas matemáticas: 2ª Ley de Newton, reducción de sistemas de vectores. - Material: software para cálculos matemáticos Mathematica.

5. Resolución mediante ordenador de un problema de cálculo de solicitaciones en vigas. - Bloques temáticos: Mecánica vectorial, estática y fuerzas y momentos en vigas. - Tema del Programa: Tema 7. - Leyes o fenómenos físicos involucrados y herramientas matemáticas: Cálculo vectorial, equilibrio de fuerzas y momentos en vigas. - Material: software para cálculos matemáticos Mathematica.

BIBLIOGRAFÍA

BIBLIOGRAFÍA FUNDAMENTAL: “Mecánica para ingenieros. Estática y Dinámica", M. Vázquez y E. López. Edt. Noela, Madrid, 1995 "Mecánica vectorial para ingenieros. Estática", F.B. Beer y E.R. Johnston. Edt. McGraw Hill, Madrid, 1998 "Mecánica para ingeniería: Estática", A. Bedford, y W. Fowler. Edt. Addison-Wesley Iberoamericana, USA, 1996 "Curso de física aplicada: Estática", F. Belmar, A. Garmendia y J. Llinares. Publicación de la Universidad Politécnica de Valencia. “Fundamentos físicos de la construcciones arquitectónicas. Volumen I: Vectores deslizantes, geometría de masas y estática”. A. Durá Domenech, J. Vera Guarinos. Publicación de la Universidad de Alicante, 2004. “Lecciones de Física. Mecánica. Vols. I-IV”. M.R. Ortega. Editor: M.R. Ortega Girón, Córdoba, 2006. BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA: “Física para Ciencias e Ingeniería. Tomo I”. E.W. Gettys, F.J., Keller y M.J. Skove. Ed. McGraw Hill Interamericana, México, 2005. “Física Universitaria. Vol. 1 “. F.W. Sears, M.W. Zemansky, H.D. Young y R.A. Freedman. Ed. Pearson Educación, México, 2004. “Física para Ciencias e Ingenierías. Vol. I”. R.A. Serway y J.W. Jewett. Ed. Thomson, México, 1996. “Física para la Ciencia y la Tecnología (Vol. I y II). P.A. Tipler y G. Mosca, Reverté, Barcelona, 2004.

TEXTOS DE PROBLEMAS Y APLICACIONES “Problemas de Física”. J. Aguilar y J. Casanova, Ed. Alhambra, Madrid, 1985. “Física General. Problemas”. Burbano de Ercilla, Burbano García., Ed. Tébar. Madrid, 2004. “Curso de Física Aplicada: Problemas de Estática”. H. Estellés, M. Martín, J.L. Montalvá y J. Pascual. Publicación de la Universidad Politécnica de Valencia, 1989. “Problemas de Física (Resueltos)”. M.R. Ortega. Editor: M.R. Ortega Girón, Córdoba, 2008. “Física General”. F.J. Bueche y E. Hecht. Editorial McGraw-Hill, México, 2001. “Problemas y Cuestiones de Física”. A. Lleó, B. Betete, J. Galeano, L Lleó y I. Ruiz-Tapiador. Mundi Prensa Madrid 2002 “Mecánica. Problemas de Exámenes Resueltos”. J.M. de Juana Sardón y .A. Herrero García. Editorial Paraninfo, Madrid, 1993. “La Física en Problemas“. F.A. González. Ed. Tébar Flores, Albacete, 1995. “Problemas de Física general”. F.A. González y M. Martínez Hernández. Tebar Flores. Albacete 1978

ENLACES RECOMENDADOS

• Directorio de la asignatura de cada profesor. • Página Web. Departamento Física Aplicada: http://fisicaaplicada.ugr.es/ • Física con ordenador. Curso Interactivo de Física en Internet.

Dirección web: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/default.htm Idioma: español. Valoración de la página: alta. Comentarios generales: el “Curso Interactivo de Física en Internet” es un curso de Física general que trata desde conceptos simples como el movimiento rectilíneo hasta otros más complejos como las bandas de energía de los sólidos. La interactividad se logra mediante más de 400 applets insertados en sus páginas webs que son simulaciones de sistemas físicos, prácticas de laboratorio, experiencias de gran relevancia histórica, problemas interactivos, problemas-juego, etc. Ha recibido diferentes menciones y premios que avalan su utilidad. La página contiene además en el apartado de Problemas de Física varios problemas resueltos.

• Hyperphysics Dirección web: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html Idioma: inglés. Valoración de la página: alta. Comentarios generales: contiene prácticamente todos los aspectos de la Física enlazados en modo hipertexto (de ahí el nombre de Hyperphysics). En algunos apartados presenta ejemplos con la posibilidad de realizar un cálculo interactivo. Es una página interesante que en algunos aspectos completa la información del temario que se imparte en la asignatura, pero no tanto desde el punto de vista de la interactividad. Lo más destacable es su estructuración en forma de árbol, que facilita la esquematización de los contenidos y la interrelación entre los diferentes apartados del temario.

• Proyecto Newton, ministerio de Educación Dirección web: http://newton.cnice.mecd.es/alumnos.html Idioma: español. Valoración de la página: baja. Comentarios generales: El nivel de los contenidos cubre desde 1º de ESO a 2º de Bachillerato, por lo que se cita como una página útil para repasar conceptos básicos. Presenta algunas animaciones (ninguna de ella interactiva). Como dato interesante, al final de cada tema se presenta un cuestionario de autoevaluación con el que el alumno puede comprobar el nivel de comprensión que ha alcanzado en su estudio de cada tema.

ENLACES A PÁGINAS WEB ESPECÍFICAS LISTADO GENERAL DE ENLACES A PÁGINAS WEB

•

METODOLOGÍA DOCENTE

• Actividades presenciales: (40%) * Clases teóricas y seminarios. Competencias que ha de adquirir: G01, G07, G14, G22, G23, G27, G28, G29, EN02, EN03, EA01, EA02. * Clases de problemas. Competencias que ha de adquirir: G01, G02, G03, G07, G14, G16, G22, G23, G27, G28, G29, EN02, EN03, EA01, EA02.

* Actividades académicamente dirigidas y tutorías. Competencias que ha de adquirir: G01, G02, G03, G05, G07, G14, G16, G22, G23, G27, G28, G29, EN02, EN03, EA01, EA02.

• Trabajo personal del alumno: (60%) * Estudio de los fundamentos teóricos. Competencias que ha de adquirir: G01, G07, G14, G22, G23, G27, G28, G29, EN02, EN03, EA01, EA02. * Resolución de problemas y su preparación. Competencias que ha de adquirir: G01, G02, G03, G05, G07, G14, G16, G22, G23, G27, G28, G29, EN02, EN03, EA01, EA02.

PROGRAMA DE ACTIVIDADES

Primer cuatrimestre

Temas del temario

Actividades presenciales (NOTA: Modificar según la metodología docente propuesta para la asignatura)

Actividades no presenciales (NOTA: Modificar según la metodología docente propuesta para la asignatura)

Sesiones teóricas (horas)

Sesiones prácticas

(horas)

Exposiciones y

seminarios

(horas)

Exámenes (horas) Etc.

Tutorías individuales (horas)

Tutorías colectivas

(horas)

Estudio y trabajo

individual del alumno

(horas)

Trabajo en grupo

(horas) Etc.

Semana 1 1 3 1 1 5

Semana 2 1 0 2 3

Semana 2 2 2 0 3

Semana 3 2 0 2 3

Semana 3 3 2 0 3

Semana 4 3 2 2 1 5

Semana 5 3 0 2 3

Semana 5 4 1 0 1 3

Semana 6 3 0 1 1 2

Semana 6 4 2 0 1 2

Semana 7 4 2 2 6

Semana 8 4 1 1+1 laborat. 1 1 5

Semana 9 5 3 1 6

Semana 10 5 0 2 3

Semana 10 6 1 1 1 2

Semana 11 6 1 2+1 laborat. 1 5

Semana 12 7 2 2 6

Semana 13 7 1 2 1 1 5

Semana 14 7 1 1+1 laborat. 3

Semana 14 8 1 0 1 2

Semana 15 8 1 2+1 laborat. 1 5

Total horas 26,5 30,5 3 7 3 80

EVALUACIÓN (INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN, CRITERIOS DE EVALUACIÓN Y PORCENTAJE SOBRE LA CALIFICACIÓN FINAL, ETC.)

La evaluación se realizará a partir de las exposiciones de los trabajos de teoría y problemas y de los exámenes en los que los estudiantes tendrán que demostrar las competencias adquiridas. La superación de cualquiera de las pruebas no se logrará sin un conocimiento uniforme y equilibrado de toda la

materia. • Exámenes (85% de la calificación final) • Trabajos académicamente dirigidos, seminarios, talleres (15% de la calificación final)

INFORMACIÓN ADICIONAL

Fundamentos Físicos en la Arquitectura Relación 1. Álgebra vectorial

Curso 2011-2012

1. Determinar las coordenadas y los cosenos directores de los vectores 1v , 2v y 3v que unen los puntos indicados en el cubo de lado L de la figura 1. (Sol. 1v =(L,0,0), cosα=1, cosβ=cosγ=0;

2v =(-L,0,L), cosβ=0, cosα=-cosγ=-1/ 2 ; 3v =(L,-L,-L), cosα=1/ 3 , cosβ=cosγ=-1/ 3 ). 2. Dados los vectores 1v y 2v que forman un ángulo de 60° y tienen módulos 3m y 4m respectivamente, hallar gráfica y analíticamente el módulo del vector suma y el ángulo que forma con 1v . (Sol. vector de módulo 6.08m formando un ángulo de 34.7° con 1v ). 3. Hallar gráfica y analíticamente la suma de los vectores 1v a 5v de la figura 3, siendo sus módulos 6, 4, 5, 3 y 2, respectivamente. (Sol. módulo 9.62 formando 49.6° con 1v ). 4. Dado el vector v =(4,-1,3), determinar las coordenadas de un vector del mismo módulo que sea

perpendicular a éste. (Sol. 3 2610

j + 2610

k ).

5. Determine el momento del vector ˆˆ ˆ2 3F i j k= − + , aplicado en el punto P(2,5,3): a) con respecto al origen, b) con respecto al punto O'(1,2,-1). c) Compruebe el teorema fundamental. Solución a)

0ˆˆ18 12M i k= − , b) 0'

ˆˆ ˆ13 5 7M i j k= + − . 6. Dado el sistema de vectores deslizantes de la figura 6, determine el momento de 1F respecto del

eje z y el momento del vector 2F respecto del eje BC. Datos: F1=1000, F2=500, a=1. Solución 894, -832. 7. Dado el vector deslizante ˆˆ ˆ2 3F i j k= + + aplicado en P(3,4,2), calcule su momento respecto de los tres ejes coordenados, b) con respecto al eje determinado por el origen de coordenadas y el punto P’(2,3,1), c) con respecto a la recta de ecuación (x-1)/2=(y+2)/3=-(z-4)/5. Solución a) Mejex=8, Mejey=-7, Mejez=2, b) Meje=-0.8, c) Meje=4.87. 8. Dado el vector deslizante ˆˆ ˆ2 3 2F i j k= − + , cuyo momento respecto al origen de coordenadas es

0ˆˆ ˆ5 6 zM i j M k= + + , determinar Mz y la ecuación de la recta de acción del vector F . Solución a)

Mz=4, b) (x+3)/2=(5-2y)/6=z/2. 9. Demostrar que si el momento de un sistema de vectores deslizantes es nulo con respecto a tres puntos no alineados, el sistema de vectores es equivalente al sistema nulo. ¿Qué ocurre si los tres puntos están alineados? 10. Un sistema de vectores deslizantes es tal que su momento respecto a tres puntos del espacio es: 1

ˆˆ ˆ2M i j k= + − respecto a O1(2,0,1)

DEPARTAMENTO DE FÍSICA APLICADA UNIVERSIDAD DE GRANADA

—————

2ˆˆ ˆ4 3M ai j k= + + respecto a O2(0,0,1)

3ˆˆ ˆM bi j ck= − + respecto a O3(1,-1,0)

Hallar el vector resultante del sistema y complete las expresiones de los momentos. Solución a=1, b=-2, c=5, R =(-4,2,-1). 11. Sobre un cuerpo rígido actúa un sistema de cuatro pares de fuerzas situados en el mismo plano (figura 11). Determine el par resultante. Datos: F1=1500 kg, F2=1000 kg, F3=750 kg, F4=500 kg, d1=3m, d2=4m, d3=3m, d4=6m. Solución 250 k kgm. 12. Dado el sistema de vectores deslizantes: ˆˆ ˆ2 3a i j k= + + , aplicado en A(1,2,3), ˆˆ ˆb i j k= − + , aplicado en B(-1,0,1) y ˆˆ ˆ2 2c i j k= − + − , aplicado en C(2,0,-1), hallar su reducción respecto al origen de coordenados. Solución R =(1,3,2), 0M =(3,7,5). 13. Reducir al punto O el sistema de fuerzas de la figura 13. Datos: F1=500kg, F2=300kg, F3=400kg, F4=200kg. Solución R =(-500.8,-488.7,500.8) kg, M =(2102.4,-1502.4,-563.7)kgm. 14. Sea el sistema de vectores deslizantes paralelos que se muestran en la figura 14. Reduzca dicho sistema a un solo vector a²��ado en un punto que deberá determinar. Datos: F1=500, F2=1500, F3=2000, F4=2500, a=2, b=1, c=1.5. Solución ˆ2500R j= − aplicado en (3.3,0,0). 15. Consideremos el sistema de vectores deslizantes paralelos al eje z formado por los vectores de módulos 2, 4 y 5, aplicados en los puntos (1,1,0), (2,3,1) y (2,1,3), respectivamente. a) Determinar las coordenadas del punto central del sistema y compruebe que el momento del sistema respecto del mismo es nulo. b) Ahora gire el sistema, sin modificar módulos ni puntos de aplicación, hasta colocarlo paralelo al eje x y repita el apartado anterior. Solución 1/11(20,19,19) 16. Determinar la magnitud, dirección, sentido y línea de acción de la resultante del sistema de seis vectores deslizantes paralelos aplicados a un cuerpo rígido que se muestran en la figura 16. Datos: F1=600, F2=1000, F3=1000, F4=500, F5=700, F6=400, a=2, b=4, c=3. Solución 2.000, dirección y sentido igual a F2, dista 2.85 del plano F1F4 y 2.2 del F1F3. 17. Demuestre que el sistema de vectores 1

ˆ2F i= , 2ˆF i= − , 3

ˆF i= − , aplicados en los puntos (0,0,0), (0,1,0) y (0,0,1), respectivamente, se puede reducir a un par y determinar dicho par. Solución M =(0,-1,1). 18. Sobre un cuerpo rígido actúan dos pares tal y como se indica en la figura 18. Reduzca el sistema al punto que considere conveniente. F1=200kg, F2=100kg. Solución

ˆˆ ˆ400 600 300M i j k= − − − kgm respecto de cualquier centro de reducción. 19. Dado un vector deslizante F =(-1,2,3), cuya recta de acción pasa por el punto P(2,1,1), y el par de momento M =(4,2,0), reducir dicho sistema a un vector único aplicado en un punto del plano xy que deberá determinar. Solución R =(-1,2,3) aplicado en (5/3,5/3,0).

20. Componer la fuerza horizontal 1F y el par 2F , 2F− , que actúan sobre un cuerpo rígido en forma

cúbica, en una sola fuerza R y hallar la distancia de esta fuerza al punto A. Datos: F1=400kg, F2=1000kg. Solución ˆ ˆ346.4 200R i j= − kgm, da=2.5m. 21. Reducir el sistema de la figura a una sola fuerza y determinar la distancia de la línea de acción de esta fuerza al punto O. Datos: F1=400kg, F2=400kg, F3=200kg, F4=100kg, a=2m, b=4m, c=3m. Solución R =(0,-260,-120) kg, d0=4.54m. 22. Sobre un cuerpo rígido actúan dos fuerzas, 1F =(3,-2,1) y 2F =(1,-1,0), aplicadas en los puntos

(0,1,1) y (2,0,1) respectivamente, y un par de fuerzas de momento M =(3,0,-1). Sustituir ese sistema de fuerzas por una fuerza que pase por el punto (1,1,1) y un par. Solución R =(4,-3,1), M =(3,1,1). 23. Demostrar que el momento resultante de un sistema de vectores deslizantes es el mismo para todos los puntos de una recta paralela a la dirección de la resultante general del sistema.

xy

v3v2

v1

v1

v2

v3

v4

v5

45º

45º60º

Fig. 1 Fig. 3

F1

F1 d1 F2

d2

F3

d3

F3F2

F4

d4

F4

xy

F2

F1

F4

F3

O

3.0m

z

x

a

F3

y

F1

F2F4

cb

Fig. 11 Fig. 13 Fig. 14

Fig. 6

y

2a

3a

z

x

a F2

F1

C

A

B

Fig. 16

xy

F2F1 F4

F3

O

c

z

F6

F5

a b

Fig. 20

Fig. 18

Fig. 21

x

y

F3 c

z

F2

b

F1

F4

aO

x

y

F2

F1

O

4.0m

z

F2

3.0m

F1

x

y

-F2

O

1.0m

z

F2

30º

F1A

Fundamentos Físicos Aplicados a las Estructuras Relación 2. Equilibrio

Curso 2011-2012

1.- Determine el grado de hiperestaticidad externo de los cuerpos de la figura. (a) GHe=2, b) GHe=5, c) GHe=6)

2.- Determine el grado de hiperestaticidad externo de los sistemas planos apoyados mediante bielas. (a) GHe=0, b) GHe=3, c) GHe=1)

3.- Determine el grado de hiperestaticidad externo del paralelepípedo sostenido mediante cinco bielas (GHe=-1).

4.- Determine el grado de hiperestaticidad externo del paralelepípedo sostenido mediante tres pilares empotrados y uno articulado (GHe=15).


—————

b) a) c) Figura 1

Figura 2

b) a) c)

5.- Determine el grado de hiperestaticidad interno, externo y total de los siguientes sistemas planos (a) GHi=0, GHe=0, GH=0, b) GHi=-1, GHe=1, GH=0, c) GHi=-4, GHe=0, GH=-4, d) GHi=1, GHe=0, GH=1, e) GHi=0 pero mal constituido, GHe=0, GH=0 pero mal ligado f), GHi=6, GHe=-3, GH=3 pero mal ligado)

a) b)c)

d) f)e)

Figura 5 6.- Determine el grado de hiperestaticidad interno, externo y total del sistema de la figura que está formado por: a) 8 barras articuladas, b) 4 vigas y 4 pilares articulados. En ambos casos el sistema se une al suelo mediante 4 articulaciones. (a) GHi=-10, GHe=6, GH=-4, b) GHi=-18, GHe=6, GH=-12) 7.- Determine el grado de hiperestaticidad interno, externo y total del paralelepípedo formado por barras rectas articuladas y empotradas. El sistema se une al suelo mediante siete bielas (GHi=4, GHe=1, GH=5).

Figura 3 Figura 4

Figura 6 Figura 7

8.- Dos cables se amarran juntos en C se cargan como se muestra en la figura. Determine analítica y gráficamente la tensión en cada cable. (TAC=59.8kg, TBC=223.1 kg). 9.- Dos cables están unidos en A y soportados como se indica. Determine el intervalo de valores de P para el cual ambos cables permanecen tirantes. (287N<P<1600N). 10.- Dos cables unidos en C se cargan como se indica. Encuentre el valor de α para el cual la tensión en el cable BC es mínima. (α=35°).

A

B

C

200kg

75º

75º

B

A C

960N

34

280mm

960mm

P

C

B

A

55º

α

6kN

11.- Para los cables de la figura se sabe que la tensión permitida es 600N para el AC y 750N para el BC. Determine la fuerza máxima P que puede aplicarse y el ángulo α necesario. (P=784N, α=71.0°). 12.- Un cajón movible y su contenido pesan 700N. Determínese la cadena más corta ACB que puede usarse para levantar el cajón si la tensión en la cadena no debe exceder de 1250N. (L=50cm). 13.- Una carga de madera con peso W=25kN va a ser levantada con una grúa móvil. El peso de la pluma ABC es de 3kN y el del sistema carro-chofer 50kN. Si las dimensiones del sistema son las indicadas en la figura, determine la reacción en las ruedas traseras y delanteras (ND=34.04 kN, NT=4.96 kN).

Figura 9 Figura 8 Figura10

14.- Dos bielas AB y DE están conectadas por una palanca angular como se indica en la figura. Sabiendo que la biela AB ejerce una fuerza tractora de 180 N, determínese la tensión en la biela DE y la reacción en C. (TDE=150 N, ˆ ˆ108 294CR i j= + N). 15.- La grúa de la figura pesa 1200 N y se utiliza para levantar un peso de 3600 N. Si la tensión del cable es 4000N, determínese la reacción en el empotramiento. ( ˆ8800R j= N, ˆ36000M k= − Nm)

A

D

EC

B

90º

4m

3m

6m

4.5m

3.75m

6.5m

12m

1200N3600N

16.- Calcular las reacciones en el punto A de la viga empotrada de la figura. La longitud de la viga es L, su masa despreciable y se aplica una fuerza F en el punto que se indica. ( ˆ( )R Q F j= + ,

ˆ( 2 / 3 ( ) )AM Ql a b F k= + + ). 17.- Una varilla de longitud 2R y peso P descansa sobre una superficie lisa y cilíndrica de radio R. Determinar la posición de equilibrio de la varilla (θ=32.6°). 18.- Determinar las reacciones en los apoyos de la estructura continua representada en la figura. ( ˆ ˆ7608 2412AR i j= − − kg, RB=2785 kg). 19.- Hallar las reacciones en los apoyos de la figura. (RA=3000 kg, RB=-1000 kg, RC=4000 kg).

B45º

A B

C

48cm

25º

α

P

A

C

Figura11 Figura 13 Figura 12

Figura 14 Figura 15

20.- Determinar las reacciones de los apoyos en la viga de 6m de longitud de la figura sometida a una carga de 6000kg aplicada en un punto que dista 2.67m del punto B, formando un ángulo de 45° con la viga. ( ˆ ˆ=4243 +1888 AR i j kg, ˆ=2355BR j kg). 21.- La placa rectangular que se muestra en la figura pesa 80N y se sostiene mediante tres alambres. Determine la tensión en cada alambre. (TA=30N, TB=10N, TC=40N).

B3m

3m

3m 3m

2000kg

4000kg

A

C

2.67m

6m

BA6000kg

45º

x

y

z 60cm

30cm

15cm

15cm

60cm

AC

B

22.- Una barra de 12m sostiene un cable horizontal CD y se mantiene por medio de una rótula en A y de dos cables BE y BF. Sabiendo que la tensión en el cable CD es 14 kN y suponiendo que φ=25°, determínese la tensión en los cables BE y BF y la reacción en A. (TBE=6.62kN, TBF=25.1 kN, ˆˆ ˆ=-6.34 20.3 +2.96 R i j k+ kN). 23.- La barra AB de 12m está sometida a una fuerza de 850 N como se indica. Determine la tensión en cada cable y la reacción en la rótula. (TC=975 N, TD=700N ˆ ˆ1500 425AR i j= + N). 24.- La plataforma horizontal ABCD pesa 60kN y sostiene una carga de 240kN en su centro. La plataforma se sostiene horizontalmente por medio de una bisagra en A y una barra CE, articulada en E y apoyada en C. a) Determine las reacciones en la bisagra y el apoyo y b) el coeficiente de rozamiento mínimo en C que asegura el equilibrio. (a) FCE=202.7kN, ˆˆ ˆ113.5 150 75AR i j k= − + −

kN, ˆ ˆ600 225AM i j= + kN·m , b) μmin=0.907).

A

2L/3 L/3Q

a bF

A

B α

30º

3m9000kg

A

B

1m

2m

Figura 16 Figura 17 Figura 18


x

4m

3m2m2m

z

y

240kNA

B

C

D

E3m

B

C

D

A

6m

6m4m

6m

4m

x

z

850N

A

B

CD

F

E6m

6m

7.5m

7.5m

8m

12m

x

y

z

ϕ y

25.- La placa de la figura pesa 250 kg y se sostiene mediante una bisagra en A y un cable CD que pasa por un gancho liso E. Determine la tensión en el cable y las reacciones en la bisagra. (T=1292N, ˆˆ ˆ=429 +1226 +1839 AR i j k N, A

ˆˆM =-1104 +1809 j k N⋅m). 26.- El bastidor ACD se sostiene mediante las rótulas A y D y un cable fijo a los puntos G y H de la figura y que pasa a través de un anillo B liso. Si el bastidor soporta en el punto C una carga de P=335 N, determine la tensión en el cable. (T=449.7N). 27.- La placa de 100 kg de la figura se sostiene por medio de bisagras a lo largo de la arista AB y por el alambre DE. Determine la tensión en el cable. (T=60.8 kg).

x

y

z

2.3m0.9m

0.3m1.5m

2.25m

AO

D

C

E

B

DA

G

H

C

P

1.2m

1.48m 1.2m

1.4m0.56m

0.8m0.8m

x

y

z

x

C

y

z

A

30cm

30cm

10cm

24cm

B

E

D

28.- Determine las reacciones externas en las vigas Gerber representadas en la figura. (a) RA=16000kg, RB=12000 kg, RC=14000 kg, RD=6000 kg, b) ˆ ˆ5196 1079AR i j= − kg, RB=2569kg, RC=12432kg, RD=9087kg),

c) ˆ1500AR j= kg, RB=6317 kg, RC=3783 kg, RD=400 kg).



29.- Determine las reacciones externas en un arco triarticulado sometido a una carga de 20000 kg de la figura. Determine asimismo la reacción que ejerce la articulación C sobre la mitad izquierda del arco ( ˆ ˆ=16667 +5000 AR i j kg, ˆ ˆ=-16667 +15000BR i j kg, ˆ ˆ=-16667 -5000CR i j ). 30.- Un arco triarticulado se encuentra sometido a las cargas P=3000kg y Q=2000 kg. Hallar las reacciones externas en las articulaciones y la reacción que ejerce la articulación C sobre el arco de la izquierda. ( ˆ ˆ=-2387.3 -1508.6AR i j kg, ˆ ˆ1612.7 223.5BR i j= − − kg, ˆ ˆ612.8 1508.5BR i j= − + kg).

3m

10m 10m

5m

A

C

B

20000 kg

B

A

C

45º

45º 30º30º

PQ

16m

Figura 28

Figura 29 Figura 30

1m 3m 1m 2m 2m 1m 3m

2m 0.5m 1.5m

12000Kg4000Kg8000Kg24000Kg

A B C D

2m6m

9000Kg

2000KgmA B C

2m 2m 3m1m 1m

3m3000Kg

D

a) b)

c)

2m 6m

2.5m6000Kg2000Kgm

20000Kg

A B C

2m 2m3m 3m 5m

D30º

Fundamentos Físicos Aplicados a las Estructuras

Relación 3. Rozamiento Curso 2011-2012

1.- El cuerpo cúbico de la figura está sometido a una fuerza Q que forma un ángulo de 45° con la horizontal. Determinar el menor valor de Q para que se produzca movimiento y determinar de qué movimiento se trata. Peso=3000kg, μe=0.25. (Sol. 848.5kg, deslizamiento) 2.- Una barra AC homogénea está en equilibrio apoyada en los puntos A y B de una superficie cilíndrica. Suponiendo que la superficie es lisa en A y rugosa en B, determinar las reacciones en A y B sobre la barra, así como el valor mínimo del coeficiente estático de rozamiento en B. Datos: peso de la barra 100kg, longitud 6m, a=3.2m, α=30°. (Sol. NA=10.8kg, NB=81.2kg, FRB=40.6kg, μe=0.5). 3.- Un cilindro sólido y homogéneo de radio R y masa M descansa sobre un escalón vertical de altura h<R. El cilindro se monta sobre un eje horizontal respecto del cual rota sin rozamiento. ¿qué fuerza mínima debe ejercerse sobre el eje para que el cilindro supere el escalón? (Sol. (2 ) Mg/(R-h)h R h− )

Q

45º

Figura 1

α

C

A

Ba

L

Figura 2

F

h

Figura 3

4.- Un cuerpo A de masa m se apoya sobre un segundo cuerpo B de masa M, que a su vez se apoya sobre una superficie plana. Los coeficientes estáticos y dinámicos de rozamiento entre A y B son μe1 y μc1 y entre B y la superficie plana son μe2 y μc2. Sobre el cuerpo B se ejerce una fuerza horizontal de módulo F. Determinar: a) el mínimo valor de F para que el sistema deslice y determine la fuerza de rozamiento, FR1, entre A y B en ese preciso instante. b) el mínimo valor de F para que el cuerpo A deslice respecto de B y el rozamiento entre los cuerpos A y B. (a) FR1=0, F=μe2(m+M)g, b) FR1=μe1mg, F=(μe1+μc2)(m+M)g). 5.- En la figura, los coeficientes de rozamiento son μe=0.30 y μc=0.25 entre todas las superficies de contacto. Determine la fuerza mínima P requerida para iniciar el movimiento del bloque D, si a) el bloque C está retenido mediante el cable AB, b) se quita el cable AB. (Sol. 1030N, 736N)


—————

Figura 4

B

A

F

Figura 5

BA

P150kg

100kgC

D

Figura 6

θ

A

B

6.- El bloque A pesa 50N y el bloque B pesa 25N. Si el coeficiente de rozamiento estático entre todas las superficies es 0.15, determine el valor de θ para el cual el movimiento es inminente. (Sol. 46.4°) 7.- El bloque A de peso 200kg se apoya sobre el bloque B de peso 400kg y éste a su vez sobre un plano inclinado. El bloque A se sujeta a una pared mediante un cable paralelo al plano inclinado. Determinar el ángulo α para el cual se inicia el deslizamiento de los bloques. El coeficiente de rozamiento en todas las superficies es 0.20. (Sol. 21°48'). 8.- Dos bloques A y B de 400kg y 100kg de peso se apoyan sobre un plano inclinado de ángulo α y se unen mediante una cuerda tensa como se indica en la figura. Determinar el ángulo α para el cual se inicia el movimiento y determinar la tensión de la cuerda en ese instante. El coeficiente de rozamiento entre A y el plano es 0.10 y entre B y el plano es 0.20. (Sol. 6.8°). 9.- Dos bloques A y B, de pesos 200kg y 300kg respectivamente se apoyan tal y como se indica en la figura. Determinar la mínima inclinación de α para la cual se inicia el deslizamiento y determine la tensión del cable en ese instante. En todas las superficies μe=0.25 (Sol. 23.5°, 50kg)

Figura 7

α

A

B

Figura 8

α

A

B

α

BA

Figura 9

10.- Sobre el bloque B de la figura se sitúa una carga vertical P=1000kg. Si el peso de los bloques es PA=500kg y PB=200kg, determinar la mínima fuerza horizontal Q que es preciso aplicar sobre A para elevar el cuerpo B. Coeficiente de rozamiento en todas las superficies de contacto es 0.20, α=30°. (Sol. 1670kg). 11.- Dos cuñas de 8° y peso despreciable se utilizan para mover y colocar el bloque de 800kg. Si sabemos que el coeficiente de rozamiento estático entre todas las superficies de contacto es 0.30, determínese la menor fuerza P que es preciso aplicar a una de las dos cuñas. (Sol. 1966N) 12.- La varilla BC tiene un apoyo rugoso en B ( μe=0.4) y se articula en C al centro de una

varilla AD, tal y como se indica. Ambas varillas tienen peso despreciable. Determine el mínimo valor de la fuerza F (con el sentido indicado) que genera movimiento. (Sol. 192.4N)

Figura 11

800kg

P

8º

8º

Figura 10

B

A

Q

P

α

30º

2m 1000N

1m

A B

C

D

0.5m

F

Figura 12

13. Aplicando una fuerza P al rectángulo C de la figura se pretende mover la viga de 1200N de peso. El coeficiente estático de rozamiento entre todas las superficies es 0.30. El cuerpo C es de masa despreciable y ligeramente más bajo que el escalón, de modo que la viga sólo se apoya en los puntos A y B. ¿A partir de qué fuerza se mueve el sistema? ¿Se mueve la viga? (a partir de 270N se mueve sólo la pieza C). 14.- Una cuña de 5° se deberá forzar bajo la base de una máquina de 1400N en B. Si se sabe que el coeficiente de rozamiento estático es 0.20 en todas las superficies, determine la fuerza P necesaria para mover la máquina y determine cómo se moverá la máquina al insertar la cuña. Considere que la máquina está en posición prácticamente horizontal, con la cuña levemente insertada en el punto B, de modo que sólo mantiene contacto puntual en A con el suelo y en B con la cuña. (Sol. 280N, la máquina se moverá con la cuña deslizando sobre el suelo).

Figura 14

PA

B

1400N0.4m1m

2m 2m6m

2m PB

A C

Figura 13

15.- Los bloques A y B de la figura pesan 250N y 300N, respectivamente. El coeficiente de rozamiento estático entre todas las superficies es 0.34. Determine el mayor ángulo que permite el equilibrio y la tensión del cable para ese ángulo (T=192.7N, α=65.65°).

Figura 15

Fundamentos Físicos Aplicados a las Estructuras Relación 4. Estructuras

Curso 2011-2012

1.- Utilizando el método de los nudos, determine el esfuerzo en cada elemento de las estructuras articuladas que se muestran a continuación.

A

B

4.5m

H

G

FD

EC

A

B

C

D

E

A

B

C

D E

FA

B

C

D E

D

E

C

A

F

B

A B

C

D E

24kN

60°

3m6m 6m

60° 60°60°

3m

1 t 1 t

3 t

2m

2m 2m 2m

1 t1 t1 t

12kN 5kN

12kN

20kN5kN

3m 3m

1.6m

12m

18kN5m

5m

5m 5m11m

12m

693N

e) f)

b)a) c)

d)

3.2m

2.- Utilizando el diagrama de Maxwell-Cremona, resuelva las estructuras del problema anterior.


—————

3.- Resuelva las siguientes estructuras utilizando el diagrama de Maxwell-Cremona.

2m

1m

5m

2m

1m

2t

1t

1t

1t

a) b)

2t

2t

5m

5m

2m2m

c)

2t

1m

2.5m

4.- Determine los elementos descargados en las siguientes estructuras articuladas.

A

K

L

P

JIHG

ED

CB

F A

J

I

H

G

E

D

C

B

F

A

JI

HG

EDCB

F

M

NO

Q

KL

P

M NO

a) c)b)P

5.- Determine el esfuerzo de los elementos CD y DF en la estructura de la figura 5. (Sol. FDF=12kN, FCD=-9kN). 6.- Determine el esfuerzo de los elementos FG y FH en la estructura de la figura 6 cuando P=35kN. (Sol. FFG=-70kN, FFH=240kN).

4m

3.5m

4m4m4m4m

P PPPPP

AJ

I

H

GE

D

C

B F

Fig. 5 Fig. 6

A

J

I

H

GE

D

C

BF

2.4m

1.8m

12kN12kN

2.4m 2.4m 2.4m

7.- Determine el esfuerzo en los elementos FK y JO de la estructura mostrada en la figura 7. (Sol. FFK=P/4, FJO=-P/4). 8.- Determine el esfuerzo en los elementos DG y FH de la estructura mostrada en la figura 8. (Sol. FDG=-75kN, FFH=75kN).

A

JIG

EDCB

F

KL

P

M NO

H

d d d d

d

Fig. 7

AJ

IG

E

D

C

B

F K

L

N

35kN

H M

35kN35kN

5m5m 5m 5m 5m 5m

3.5m

3.5m

Fig. 8

d

9.- Resuelva las siguientes estructuras compuestas.

A

E

D

C

B

F

P2 t 6m

6m

5m

1

4 t

8

976

5

4

3

2

45° 15°

45°15°

45°15°

P6m

P6m

P6m

P6m

P6m

P6m6m

60° 60°

a) b)

Fundamentos Físicos Aplicados a las Estructuras Relación 5. Geometría de Masas I: Centroides

Curso 2011-2012 1.- Determine por integración el centro de masas de una varilla homogénea de longitud l que forma un ángulo θ con el eje x con uno de sus extremos en el origen de coordenadas (Solución (lcos(θ)/2,lsen(θ)/2) ). 2.- Hallar el centro de masas de un arco de circunferencia de semiángulo α y radio R (Solución (Rsen(α)/α, 0) ). 3.- Determine el centro de masas de una hélice cilíndrica de ecuaciones paramétricas: x=Rcos(φ), y=Rsen(φ), z=kφ, con 0≤φ≤2π (Solución (0,0,kπ) ). 4.- Determinar mediante integración la posición del centroide de las superficies siguientes:

x

y

a

b

c

x

y

a

b

x

y

a

b x

y

α

R

α

y=kx2

y=kx2

y=mx

a)

a)

d)c)b)

(Solución ((b+a)/3,c/3), (3a/4,3b/10), (a/2,2b/5), (2Rsenα/3α,0) ). 5.- Calcular el centro de gravedad del primer cuadrante del recinto elíptico definido por x2/a2+y2/b2=1 y los semiejes positivos ox, oy (Solución (4a/3π, 4b/3π) ). 6.- Calcular el centro de masas de una línea homogénea formada por dos arcos de circunferencia de radios a=5m y b=4m, respecto de los ejes xy indicados en la figura (Solución (0.5m,0.089m) ).


—————

a/2 a/2

a

b

b/2 b/2y

x

Fig.6

7.- Hallar las coordenadas del c.d.g. de las siguientes figuras:

2cm

3cm

3cm

1cm

3.8cm

1.5cm

x

y

6cm

2cm

2cm

2cm

2cm

6cm

x

y

6cm4cm

6cm 6cmx

y

a) b) c)

(Solución a) (3.353, 3.5·10-4) cm, b) (4.28, 4.28) cm, c) (0,1.14) cm ). 8.- Dada una semicorona circular de densidad superficial σ constante y radios interior y exterior r y R, respectivamente, calcular el c.d.m. según los ejes indicados (Solución (0,4(R3-r3)/3π(R2-r2)) ). 9.- Determinar las coordenadas del c.d.g. de la sección de una viga mixta de hormigón y acero en la proporción que se indica en la figura. Suponga σacero=7.5 T/m2 y σhormigón=2.5 T/m2 (Solución (0,-H/8) ). 10.- Calcular el volumen del sólido generado al hacer girar 180° alrededor del eje z el triángulo rectángulo de la figura (Solución 56547 cm3 ). 11.- Hallar la superficie lateral que engendra el cuarto de circunferencia de la figura al girar: a) alrededor del eje oz, b) alrededor de la recta y=0, z=4 (Solución a) 8π(1+π), b) 8π(π-1) ). 12.- Hallar el volumen y la superficie total del cuerpo de la figura (Solución 0.291·10-3m3, 3.91·10-2m2 (incluyendo las superficies triangulares). 13.- Determinar, utilizando los teoremas de Pappus-Guldin, el volumen y el área de: a) una esfera de radio R, b) un cono recto de radio R y altura H y c) un cilindro de radio R y altura H.

H/2

H/4

H/4

B/2B/2

Acero

Hormigónx

y

Fig. 9

R

rx

y

Fig.8.

z

20cm30cm

30cm

4m

x

z

y

2m

52mm

42mm

Fig.10 Fig.11 Fig.12

60mm

Fundamentos Físicos Aplicados a las Estructuras Relación 6. Geometría de masas II: Momentos y Productos

de Inercia Curso 2011-2012

1.- Calcule el momento de inercia de un arco de circunferencia homogéneo de radio R, amplitud α, masa m y densidad lineal de masa λ, respecto de un eje normal a su plano y que pase por su centro de gravedad (Solución mR2[1-2(1-cosα)/α2] ). 2.- Calcular los momentos principales de inercia de una placa elíptica homogénea de semiejes a y b y masa m (Solución Ix=mb2/4, Iy=ma2/4, Iz=m(a2+b2)/4 ). 3.- Determine por integración los momentos de inercia respecto de los ejes x e y, así como el producto de inercia Ixy para las superficies de la figura.

x

y

a

b

x

y

a

by=kx3

y=kx2

y=mx

a) d)c)b)

x

y

b

h

x

y

b

h1

h2

(Solución: a) Ix=bh3/12, Iy= b3h/12, Ixy=b2h2/24, b) Ix=ab3/30, Iy= a3b/6, Ixy=a2b2/16, c) 4 4 3 3 2 2 2 2 22 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1

2 1

( ) ( ) ( ) ( ), , ,12( ) 4 3 8 4 6x y xyb h h b h h b h b h h b h b h h hI I I

h h− − − −

= = + = + +−

d) Ix=ab3/28,

Iy= a3b/20, Ixy=a2b2/24). 4.- Determínese el momento polar de inercia del área que se muestra en la figura: a) respecto del punto O, b) respecto del centro de masas (Solución: 11.57⋅106 mm4, 7.81⋅106 mm4 ). 5.- Idem que el problema cuatro para el área de la figura (Solución 129.2 cm4, 25.7 cm4 ).

40mm

O

20mm

40mm40mm40mm

60mm

O1.5cm3cm

Fig.4 Fig.5


—————

6.- Determine los momentos de inercia respecto de los ejes x e y, así como el producto de inercia Ixy para las superficies de la figura.

x

y

40mm

60mm

60mm

40mm

x

y

60mm

60mm120mm

60mm

120mm60mm

x

y

1cm

10cm

10cm1cm

Centroide

x

y

1cm

10cm1cm

Centroide20cm

a) b) c) d)

(Solución: a) Ix=2592·104mm4, Iy=7776·104mm4, Ixy=1944·104mm4, b) Ix=32·105mm4, Iy=72·105mm4, Ixy=24·105mm4, c) Ix=180cm4, Iy=84.1cm4, Ixy=0, d) Ix=2293cm4, Iy=168.2cm4, Ixy=0). 7.- Considerando el cuerpo plano de la figura, determine mediante las ecuaciones del giro de ejes: a) los momentos y productos de inercia del mismo respecto de los ejes x e y, b) los ejes principales del cuerpo respecto de O, c) los valores de los momentos principales del cuerpo respecto de O (Solución: a) Ix=10.375cm4, Iy=6.965mm4, Ixy=-6.563cm4, b) ϕp=37.73º, c) Ixp=15.45cm4, Iyp=1.89cm4). 8.- Dado el cuerpo de la figura 6a, determínese la orientación de los ejes principales que pasan por el centroide y el valor correspondiente de los momentos principales de inercia (Solución ϕp=18.4°, Ixp=84.2⋅106 mm4, Iyp =19.46⋅106 mm4 ). 9.- Dado el rombo homogéneo ABCD de la figura, cuyas diagonales valen 4 y 6 cm, respectivamente: a) calcular Ix, Iy e Ixy, b) determine el momento de inercia respecto del eje r y el producto de inercia respecto de los ejes r y r' (Solución: a) Ix=18cm4, Iy=8cm4, Ixy=0, b) Ir=15.5cm4, Irr’=-4.33cm4). 10.- El perfil laminado de la figura tiene las siguientes características: Iu=5700 cm4, Iv=2000 cm4, S=78.1 cm2. Siendo O el centro de gravedad del perfil, calcular los momentos principales de inercia y las direcciones principales de inercia respecto del punto A, situado en el vértice inferior izquierdo (Solución: ϕp=-38.3°, Ixp=19.686⋅106 mm4, Iyp =3633.9 mm4 ).

u

v

200mm

200mm O

Fig.10

60º

30º

x

y

r

r'

Fig.9

0.5cm

3cm0.5cm

Centroide4cm x

y

0.5cm

3cm

Fig. 7

A

Fundamentos Físicos Aplicados a las Estructuras Relación 7. Vigas Curso 2011-2012

1.- Determine la función densidad lineal de carga en las vigas de la figura 1 y determine a partir de esta función la carga total, el momento total respecto del extremo izquierdo de la viga y el punto de aplicación de la fuerza resultante en cada caso. Aplique el resultado para obtener las reacciones en los apoyos.

A B

2000N/m

1600N/m

2.7m

A B

1400N/m

500N/m

parábola

extremo

4m

4kN/m

3kN/m

1.2m1.6m

A B

1.5m0.4m 0.6m

900N/m

400N/m

a)

d)

b)

c) 2.- Determine la fuerza equivalente y el punto de aplicación de la misma para las vigas del problema por medio del cálculo de áreas y centroides. 3.- Hallar las solicitaciones y construir los diagramas correspondientes en las vigas de la figura.

Peso de la viga=1000kg

4m4m 2m

4000kg

12000kgm

a)

P

a

P

a

b)


—————

4.- Hallar las solicitaciones y construir los diagramas correspondientes en las vigas de la figura.

A B

1.5m0.4m 0.6m

900N/m

400N/m

1m1.6m 1.4m

1.8kN/m

b)

6m6m 3m

2000kg

3000kgm

1000kg/m

w0

L

4m2m

6kN/m15kN/m

f)d)

c)a)

1kN/m

2kN/m4kN

2m 3me)

4kN

5.- Construir el diagrama de solicitaciones en las vigas y el pórtico de la figura.


3m

4000kg

12000kgm

a)

4m 6m 10m

articulacióninterna

3m

b)

2m

30º


3000kg/m

6m

4m

c)

UNIDADES FÍSICAS

MAGNITUD NOMBRE SIMBOLO

UNIDADES UNDAMENTALES

longitud

masa

tiempo

intensidad de corriente

temperatura

intensidad luminosa

cantidad de materia

metro

kilogramo

segundo

amperio

grado kelvin

candela

Mol

m

kg

s

A

K

cd

mol

UNIDADES DERIVADAS

área

volumen

frecuencia

densidad

velocidad

velocidad angular

fuerza

presión

viscosidad cinemática

viscosidad dinámica

trabajo, energía, cantidad de calor

potencia

metro cuadrado

metro cúbico

hertz

kilogramo por metro cúbico

metro por segundo

radián por segundo

newton

pascal

metro cuadrado por segundo

newton por segundo y m2

julio

vatio

m2

m3

Hz

kg/m3

m/s

rd/s

N

Pa

m2/s

N.s/m2

J

W

carga eléctrica

fuerza electromotriz, d.d.p.

intensidad de campo eléctrico

resistencia

capacidad

flujo magnético

inductancia

densidad de flujo magnético

intensidad de campo magnético

fuerza magnetomotriz

flujo luminoso

luminancia

iluminación

culombio

voltio

voltio por metro

ohmio

faradio

weber

henrio

tesla

amperio por metro

amperio por vuelta

lumen

candela por metro cuadrado

Lux

C

V

V/m

Ω

F

Wb

H

T

A/m

Av

lm

cd/m2

lx

UNIDADES SUPLEMENTARIAS

ángulo plano

ángulo sólido

radián

Estereorradián

rd

sr

EQUIVALENCIAS ENTRE ALGUNAS UNIDADES

Longitud: 1 in= 1 pulgada = 0.0254m 1ft = 1 pie= 0.3048m Masa: 1 slug=14.59kg = 1.4873 UTM (unidades técnicas de masa) Fuerza: 1kp = 9.81N 1 lb= 1 libra = 4.448N = 0.454 kp Peso específico: 1 lb/ft3 = 157.1 N/m3 = 16.019 kp/m3

Densidad: 1 slug/ft3 = 515.2 kg/m3 = 52.5235 UTM/m3 Presión: 1 lb/ft2 = 47.88 Pa = 4.868 kp/m2 1 lb/in2 = 6.895 kPa = 0.0703 kp/cm2 1 psi= 1 pound per square inch = 1 lb/in2

1 atm = 760 mmHg = 101325 Pa 1 bar = 105 Pa Tensión superficial: 1 lb/ft = 14.59 N/m = 1.4895 kp/m Energía 1 Btu (British termal unit) = 1055 1 cal=4.1868J 1 Cal=1 kcal 1 frigoría=-1 cal (En muchos casos se refiere a -1Cal)

CONSTANTES FÍSICAS FUNDAMENTALES

Unidad de masa atómica 1.6605402 ·10-27 Kg Constante de Avogadro NA 6.0221367· 1023 mol-1 Radio de Bohr ao 0.529177249 ·10-10 M Constante de Boltzman K 1.380658·10-23 J/K Radio clásico del electrón 2.81794092·10-15 M Masa del electrón me 9.1093897·10-31 Kg Carga elemental E 1.60217733·10-19 C Constante de Faraday F 96485.309 C/mol Constante de estructura fina 7.29735308 ·10-3 Constante molar de los gases R 8.314510 J /(mol·K) Constante de gravitación universal G 6.67259 ·10-11 m3 / kg·s2 Volumen molar de un gas ideal en condiciones normales*

22.41410·10-3 m3 / mol

Magnetón de Bohr µB 9.2740154·10-24 J / T Masa del neutrón mn 1.6749286·10-27 Kg Permeabilidad del vacío µo 4 π 10-7=12.56637061· 10-7 N / A2 Permitividad del vacío 8.854187817·10-12 F / m Constante de Planck H 6.6260755·10-34 J s Masa del protón mp 1.6726231·10-27 Kg Constante de Rydberg R 1.0973731534·107 m-1 Velocidad de la luz en el vacío C 299792458 m / s Constante de Stefan - Boltzmann 5.67051·10-8 W/(m2·K4) Constante de la ley de desplazamiento de Wien

2.897756·10-3 m·K

0ºC de la escala Celsius Incremento 1ºC de la escala Celsius

To 273.15 de la escala Kelvin Incremento 1K de la escala Kelvin

1 atmósfera 1.0325·105 Pa

ALFABETO GRIEGO

Alfa α Α Nu ν Ν Beta β Β Xi ξ Ξ

Gamma γ Γ Omicron ο Ο Delta δ Δ Pi π Π

Epsilon ε Ε Rho ρ Ρ Zeta ζ Ζ Sigma σ Σ Eta η Η Tau τ Τ

Theta θ Θ Ipsilon ψ Ψ Iota ι Ι Fi ϕ , φ ϑ , Φ

Kappa κ Κ Ji χ Χ Lambda λ Λ Psi ϖ ς

Mu μ Μ Omega ω Ω

REACCIONES EN EL PLANO

REACCIONES EN EL ESPACIO

CENTROIDES DE CURVAS

CENTROIDES DE ÁREAS

MOMENTOS DE INERCIA

x

x'

y y'

C

3 2 2

3 2 2

' ' '

,12 24

,36 72

x xy

x x y

bh b hI I

bh b hI I

= =

= = −

programa y relaciones curso 2011-2012 · pdf file"mecánica vectorial para...

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