“programa de cÁlculo mental en el curso...
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UNIVERSIDAD RAFAEL LANDÍVAR
FACULTAD DE HUMANIDADES
DEPARTAMENTO DE EDUCACIÓN
“PROGRAMA DE CÁLCULO MENTAL EN EL CURSO DE MATEMÁTICAS Y SU INFLUENCIA EN LA EXACTITUD OPERATORIA”
TESIS
ANA OLIVIA GONZÁLEZ ARAGÓN DE MELGAR Carné 23450-10
Guatemala, febrero del 2012
Campus Central.
UNIVERSIDAD RAFAEL LANDÍVAR
FACULTAD DE HUMANIDADES
DEPARTAMENTO DE EDUCACIÓN
“PROGRAMA DE CÁLCULO MENTAL EN EL CURSO DE MATEMÁTICAS Y SU INFLUENCIA EN LA EXACTITUD OPERATORIA”
TESIS
Presentada al consejo de la Facultad de Humanidades
Por:
ANA OLIVIA GONZÁLEZ ARAGÓN DE MELGAR
Previo a optar al título de:
LICENCIATURA EN EDUCACIÓN Y APRENDIZAJE.
En el grado académico de:
LICENCIADA.
Guatemala, febrero de 2012
Campus Central.
AUTORIDADES UNIVERSIDAD RAFAEL LANDÍVAR.
• Rector P. Rolando Enrique Alvarado López, S.J.
• Vicerrectora Académica Dra. Lucrecia Méndez de Penedo.
• Vicerrector de Investigación y Proyección P. Carlos Cabarrrús Pellecer, S.J. • Vicerrector de Integración Universitaria P. Eduardo Valdés Barría, S.J • Vicerrector Administrativo Lic. Ariel Rivera Irías.
• Secretaria General Licda. Fabiola de la Luz Padilla Beltranena
AUTORIDADES FACULTAD DE HUMANIDADES
• Decana M.A. Hilda Caballeros de Mazariegos.
• Vicedecano M.A. Hosy Benjamer Orozco.
• Secretaria M.A. Lucrecia Elizabeth Arriaga Girón • Directora del Departamento de Psicología M.A. Georgina Mariscal de Jurado. • Directora del Departamento de Ciencias de la Comunicación M.A. Nancy Avendaño • Director del Departamento de Letras y Filosofía M.A. Eduardo Blandón. • Representante de Catedráticos Lic. Ignacio Laclériga Lemus.
• Representante ante Consejo de Facultad Licda. Melisa Lemus.
ASESORA DE TESIS
Ingra. Nadia Lorena Díaz Banegas
REVISOR DE TESIS
M.A. Manuel de Jesús Arias Guzmán
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DEDICATORIA
A DIOS, por ser mi inspiración y fuerza en todo momento.
A MIS HIJOS MARIO ANDRÉS, RODRIGO Y MARIA RENÉE, por su amor, apoyo,
alegría y optimismo en esta etapa de culminación de estudios.
A MI ESPOSO MARIO, por su motivación constante.
A LA INGENIERA NADIA DÍAZ, por su paciencia, amabilidad y asesoría profesional.
AL LICENCIADO DANILO ROMÁN, por su apoyo incondicional al proceso de
investigación.
AL COLEGIO METROPOLITANO Por servir de medio para crecer en los campos del saber y del ser.
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ÍNDICE I. INTRODUCCIÓN 1
1.1. Enseñanza de las Matemáticas 12
1.2. Cálculo Mental 15
1.3. Programa de Cálculo Mental 17
1.4. Exactitud Operatoria 19
1.5. Jean Piaget: Didáctica Psicológica 21
II. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 27 2.1. Objetivos 28
2.1.1 Objetivo general
2.1.2. Objetivos específicos 28
2.2. Hipótesis 28
2.3. Variables 30
2.4. Definición de las variables 31
2.5. Alcances y límites 32
2.6. Aportes 33
III. MÉTODO 34 3.1. Sujetos 34
3.2. Instrumentos 34
3.3. Procedimiento 35
3.4. Diseño y metodología estadística 37
IV. PRESENTACIÓN DE RESULTADOS 39 V. DISCUSIÓN DE RESULTADOS 46 VI. CONCLUSIONES 51 VII. RECOMENDACIONES 53
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VIII. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 55 V. ANEXOS 59 Anexo 1: Prueba Objetiva 60
Clave y Ponderación 62
Anexo 2: Programa de cálculo mental 64
Anexo 3: Hojas de trabajo del Programa de Cálculo mental 69
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RESUMEN
La presente investigación tuvo como objetivo verificar la influencia de un programa de
cálculo mental en estudiantes de cuarto primaria, y la exactitud operatoria en las
operaciones aritméticas, dentro del curso de matemática. El enfoque de la investigación
es cuantitativo cuasiexperimental, pues se manipuló una variable independiente (Programa
de cálculo mental) en función de una variable dependiente (Exactitud operatoria). Los
sujetos de estudio ya estaban organizados en dos secciones por lo que se facilitó
seleccionar el grupo experimental y el control.
Se seleccionaron a 54 estudiantes de cuarto primaria pertenecientes a una institución
educativa privada, ubicada en la ciudad de Guatemala.
Los instrumentos utilizados en esta investigación fueron: una prueba objetiva con diez
operaciones fundamentales, la cual fue utilizada como pretest y postest, las cuales fueron
valoradas sobre cien puntos, y un programa de cálculo mental aplicado al grupo
experimental, estructurado en veinticinco sesiones de quince minutos cada una.
Para el análisis estadístico se tomaron los resultados del pretest y postest aplicados a
ambos grupos. El programa estadístico que permitió hacer el análisis de los resultados es
el llamado ANOVA one-way, que consiste en una prueba estadística que permite analizar
dos grupos significativamente entre sí en cuanto a sus medias y varianzas, utilizando la
prueba F o razón F que compara las variaciones entre los grupos y las variaciones dentro
de los integrantes de cada grupo. Si el valor F es significativo implica que los grupos
difieren entre sí en sus promedios.
Los resultados de esta investigación demuestran que al implementar un programa de
cálculo mental dentro del curso de matemática se incrementa de forma significativa la
exactitud operatoria. Asimismo es de un gran valor para profesores que imparten la
asignatura, que quieren obtener mejores resultados en sus alumnos y alumnas así como la
mejora de la autoestima y gusto por la asignatura.
viii
1
I. INTRODUCCIÓN
Las matemáticas, durante muchos años, han sido consideradas desde los grados pre
escolares como una de las asignaturas importantes de todo proyecto educativo. Es sabido
que las dificultades que los escolares presentan desde pequeños en la asignatura son
muchas, pero diversos estudios han comprobado que algunas se deben a insuficiencias
en el aprendizaje del cálculo aritmético en los escolares menores (Bernabeu, 2005).
Mutis, citado por Bell (2001), afirma que “los más de los hombres han creído que las
matemáticas son un estudio a que muy pocos debieran destinarse. La fuente de este error
ha nacido de la utilidad que aquellos se imaginan o de la ponderada dificultad de esta
ciencia; pero si llegaran a conocer la necesidad de las matemáticas, la facilidad con que
se adquieren y su estrecho lazo con las demás artes y ciencias, convendrían en que
todos las deberían aprender¨. Esto enseña a muchos educadores a tomar en cuenta que
se debe enseñar a alumnos y alumnas que las matemáticas son fáciles, se encuentran en
todos lados y en todas las actividades cotidianas, por pequeñas que parezcan, en las que
se utiliza el cálculo mental.
Según Reinhardt (2009), el cálculo mental es una destreza que se puede enseñar desde
que el niño o niña es pequeño, y consiste en hacer estimaciones únicamente utilizando la
mente, sin hacer uso de ningún apoyo, como lo es los dedos de la mano, tablas de cálculo
o la calculadora. Se puede considerar como una técnica para enseñar matemáticas de una
forma divertida. Los juegos aritméticos se utilizan dentro o fuera del aula de forma grupal o
individual. Alientan la participación de los alumnos y dan lugar a que surjan rivalidades
amistosas, que permiten el desarrollo de la autoestima y el sentido de competencia entre
iguales. El uso frecuente del cálculo mental en las aulas, permite que niños y niñas se
diviertan y aprendan desarrollando a la vez la agilidad mental, y velocidad al realizar
estimaciones numéricas.
Durante el presente ciclo escolar, en una institución educativa privada ubicada en la ciudad
de Guatemala, se ha tenido la inquietud de implementar en el curso de matemáticas,
metodologías de enseñanza, basadas en el desarrollo de destrezas de ¨cálculo mental¨. Es
importante mencionar que el mayor esfuerzo se ha realizado en los grados de tercero y
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cuarto primaria. Por lo tanto, hay mucho que aportar, en el resto de grados de primaria y
secundaria de la institución.
La presente investigación pretende, por medio de la enseñanza de las matemáticas
basada en destrezas de cálculo mental, determinar si se mejora el nivel de exactitud
operatoria de las y los niños de cuarto primaria que cursaban el ciclo 2011. Al alcanzar
este objetivo se motivará el establecimiento de una metodología basada en destrezas de
cálculo mental en varios grados en la misma institución educativa. Además, se brindará un
programa de cálculo mental, el cual se deberá adaptar a los grados de primaria superiores
e inferiores.
Durante mucho tiempo, la enseñanza de destrezas de cálculo mental ha sido objeto de
muchos estudios a nivel nacional e internacional. Con relación al tema se han realizado
varias investigaciones. En Guatemala, se puede mencionar la investigación realizada por
Hernández y Garia (2006), cuyo objetivo fue elaborar y aplicar un manual de ejercicios pre
matemáticos y matemáticos para el mejoramiento de procesos cognitivos en niños y niñas
de segundo primaria. Para llevar a cabo esta investigación de enfoque cuasiexperimental,
se planteó una prueba inicial a todos los sujetos que cursaban segundo primaria.
Posteriormente, se detectó a los niños y niñas que reflejaban problemas de aprendizaje
en la materia y a ellos se les aplicó el manual de ejercicios matemáticos y pre matemáticos
para conocer su funcionalidad. Después de aplicada la metodología que el manual
sugería, se realizó una prueba final y se analizaron los resultados para conocer la
funcionalidad del manual. Posteriormente después de analizar estadísticamente los
resultados, se concluyó que el manual de ejercicios pre matemáticos y matemáticos
favoreció el desarrollo cognitivo de niños y niñas que presentan dificultades de cálculo.
Otro aporte significativo de la investigación fue que se comprobó que para que un niño o
niña desarrolle habilidades cognitivas, es necesario prepararle en nociones básicas de
psicomotricidad como el esquema corporal, atención, noción tiempo-espacio, percepción,
noción de conjunto, número y cantidad.
Sierra (2003) también realizó un estudio cuasiexperimental cuyo objetivo general fue
determinar el efecto de la aplicación del programa de aprendizaje de estrategias para la
resolución de problemas matemáticos en el nivel de razonamiento abstracto medido por el
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test de ¨Aptitudes mentales¨(AMP) en alumnas de sexto primaria de la Escuela Oficial
Urbana ¨Eugenio Mario Hostos¨, ubicada en la zona 5 de la ciudad capital. Se trabajó con
dos grupos (control y experimental) de niñas entre 11 y 13 años que se agruparon en dos
secciones de 19 alumnas cada una, distribuidas al azar. Al grupo experimental se le aplicó
el programa de estrategias para la resolución de problemas matemáticos, durante cinco
períodos semanales de 45 minutos cada uno. Al concluir el programa se aplicó el postest
(AMP), a ambos grupos. Al finalizar los análisis estadísticos se determinó que no existe
diferencia estadísticamente significativa entre el grupo control y el experimental, pero que
el programa de estrategias sí estimuló destrezas de pensamiento en el grupo
experimental, especialmente las de razonamiento abstracto. Un aporte importante de la
investigación, fue el enumerar las destrezas necesarias para la resolución de problemas,
tales como el ir de lo conocido a lo desconocido, eliminar posibilidades, el uso de
analogías y semejanzas, descubrir el patrón y modificar el problema.
Silva (2007), realizó una investigación de tipo ¨ex post facto¨, Achaerandio(1995), ya que
no se manipuló ninguna de las dos variables, y se estudió el cómo influyen las variables
independientes sobre las dependientes no asignándose aleatoriamente a los grupos, ni
sujetos, ni tratamientos. El objetivo de esta investigación fue establecer la relación entre el
desarrollo psicomotor y el pensamiento lógico matemático en niñas de edad preescolar.
Para ello se utilizó una muestra de 50 niñas de nivel escolar pre primario, que asistían al
nivel de preparatoria, comprendidas en edades entre 6 y 7 años. La prueba se realizó en
un colegio privado laico, ubicado la ciudad capital cuya población estaba compuesta por
estudiantes de género femenino de un nivel socioeconómico medio alto. El tipo de
muestreo fue no probabilístico. El instrumento utilizado fueron las escalas de McCarthy de
aptitudes y psicomotricidad para niños (MSCA). La escala contiene 18 test independientes
y están agrupados en 6 escalas: verbal, perceptivo-manipulativa, numérica, general
cognitiva, memoria y motricidad. Los resultados obtenidos fueron satisfactorios porque se
concluyó que la correlación entre la prueba numérica y psicomotora es baja y
estadísticamente no significativa, es por ello que se recomendó que para medir el
desarrollo de una población con respecto al desarrollo psicomotor y al desarrollo lógico
matemático, se tomen las pruebas MSCA de McCarthy con cierta periodicidad, de 2 a 4
veces al año para estudios de tipo longitudinal. Un aporte muy importante de la
investigación fue que se logró describir las aptitudes psicomotoras en las niñas, conocer el
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pensamiento lógico matemático y determinar la relación entre el pensamiento lógico
matemático y las sub áreas de las aptitudes psicomotoras en cada una de las
participantes. Asimismo para los sujetos de estudio que obtuvieron índices bajos se
concluyó que para mejorar el pensamiento lógico matemático a nivel pre primario se debe
enriquecer el área de psicomotricidad con la finalidad de que ésta permita adquirir con
mayor facilidad las destrezas lógico matemáticas. Otra conclusión importante fue el
determinar que a todas las personas que tiene a su cargo el cuidado y crianza a niños de
edad pre escolar se les capacite para que no descuiden el desarrollo de los y las pequeñas
a través del juego y la exploración de su entorno para despertar una relación entre el
estímulo físico y el intelectual durante la infancia.
En cuanto a los factores que influyen en el rendimiento de la Matemática en el estudiante
del Ciclo Básico cabe mencionar la investigación realizada por Roque (2005), realizada en
el Instituto oficial mixto básico Leonidas Méncos Ávila realizado en Tiquisate, Escuintla. La
investigación abarcó a todos los alumnos y maestros de matemática del ciclo de educación
básica del instituto mencionado. El objetivo de la investigación fue identificar los factores
que influyen en el rendimiento del aprendizaje en el área de matemática así como el
establecer el punto de vista de los estudiantes y de los profesores de Ciclo Básico, con
relación a su rendimiento en matemática. Durante la investigación de campo se procedió a
diseñar los dos cuestionarios uno para maestros otro para los alumnos, los cuales fueron
aprobados por el revisor de la USAC. Se procedió a la recopilación de la información
aplicando a cada alumno el cuestionario respectivo grado por grado. Esto se hizo en un
solo día con la ayuda de tres maestros. Posteriormente se procedió a procesar los datos
con métodos estadísticos confiables, primero se hizo un cuadro de frecuencia simple, esto
como primera fase. En la segunda fase se realizaron gráficos estadísticos que
representaron los datos correspondientes a las respuestas que dieron los alumnos y
maestros respecto al tema. Las conclusiones y aportes valiosos de la investigación fueron
el descubrir que la mayoría de los estudiantes dicen que no sienten simpatía por su
catedrático de matemáticas y que los maestros que tuvieron en primaria sí explicaban bien
la matemática. Otro aporte importante fue el concluir que la mayoría de los alumnos
afirmaron que la metodología que aplica el docente para la enseñanza de la matemática
no es apropiada.
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En cuanto a las conclusiones por parte de los catedráticos se logró comprobar que el bajo
rendimiento escolar de los alumnos se debe a la metodología utilizada por el docente al
impartir sus clases y el número excesivo de estudiantes por salones de clase.
En cuanto a la influencia de la metodología y el desarrollo de pensamiento lógico en la
asignatura de matemáticas, cabe mencionar la investigación experimental realizada por
Gómez (2011), en donde el objetivo de la misma fue establecer si la metodología de la
matemática condiciona el pensamiento lógico de los estudiantes de primero básico que
asisten al Instituto básico por cooperativa Chacap, Zunil en la jornada matutina. En la fase
inicial se procedió verificar y recabar información acerca de los aprendizajes previos
logrados por los estudiantes, así como localizar la carencia y limitación de la metodología
que se utiliza en la enseñanza – aprendizaje de la Matemática.
Se trabajó con 57 estudiantes, de diferentes estratos sociales entre hombres y mujeres,
todos indígenas. La mayoría de ellos labora en la mañana ayudando a sus papás para
sostener sus estudios, por tal razón llegan cansados al instituto y no quieren trabajar.
Para la presente investigación se utilizó una lista de cotejo, actividades, estrategias y
evaluaciones en cada grado para calificar la dificultad según la metodología que se utiliza
dando los mismos contenidos, con la finalidad de establecer qué metodología funciona
mejor en la enseñanza – aprendizaje de la matemática. Utilizando una metodología
participativa se pretendió desarrollar el pensamiento lógico en cada uno de los estudiantes.
Al finalizar el estudio se pudo comprobar que el uso de una metodología participativa
diseñada a las necesidades de los alumnos, muestra resultados positivos mientras que al
utilizar una metodología tradicional, como la toma de apuntes y dictados, los estudiantes
obtuvieron punteos bajos. Asimismo se logró demostrar que según la metodología que el
docente utilice, dependerá la calidad de los aprendizajes de los estudiantes.
Al abordar el tema del uso de estrategias en la asignatura de matemáticas, Ardón (2012),
realizó una valiosa investigación cuantitativa de tipo experimental con 10 estudiantes de
quinto bachillerato que presentaron bajo rendimiento académico en la asignatura de
matemáticas en el año anterior. Los estudiantes asisten a la jornada matutina del Liceo
Javier, ubicado en la ciudad de Guatemala. La investigación tuvo como objetivo verificar la
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influencia de la enseñanza de estrategias de elaboración dentro del curso de matemática,
en la competencia de resolución de problemas. Dicha investigación giró en torno a dos
variables: las estrategias de elaboración y la competencia de resolución de problemas.
Los instrumentos utilizados en esta investigación fueron: una hoja de ejercicios con 5
problemas, la rúbrica para calificarla con indicadores y valoración por cada descriptor, una
hoja de control de aplicación de estrategias de elaboración y una hoja de control de
actitudes mostradas durante la prueba. El análisis estadístico se realizó con la prueba no
paramétrica t de Wilcoxon para comprobar si hubo cambio significativo en el grupo. El
análisis estadístico descriptivo se realizó con Microsoft Excel 2007 y el cálculo de la t de
Wilcoxon se realizó con el programa Wilcoxon Signed-Rank Test. Los resultados de esta
investigación demostraron que al implementar efectivamente un programa de estrategias
de elaboración dentro del curso de matemática se incrementa de forma significativa la
competencia de resolución de problemas. La investigación abordó un tema que es de
actualidad a nivel mundial dentro del campo de la educación, del ambiente laboral y del
diario vivir, como lo es la resolución de problemas. Es por esto que el conocer y aplicar
estrategias cognitivas de elaboración para resolver problemas es de gran valor para
cualquier persona.
A nivel internacional las investigaciones educativas han ofrecido aportes importantes en
muchos ámbitos por ejemplo la realizada en Perú, por Chávez y Gómez (2009),
investigaron sobre el efecto del juego en las actividades de cálculo mental. El objetivo de
su investigación fue determinar el nivel de desarrollo de la capacidad de cálculo en la
aplicación de un programa de actividades lúdicas en alumnos de segundo primaria. Se
seleccionó una muestra de 24 alumnos de los cuales, 7 integraban al grupo A, 6 al B, 6 al
C y 5 al grupo D, todos los sujetos con dificultades de cálculo, que fueron referidos por los
catedráticos que les impartían clases.
El programa se creó y se nombró ¨Desarrolla tu capacidad de cálculo¨. Su duración fue de
3 meses, 54 horas distribuidas en 3 sesiones semanales de 90 minutos cada una.
Primeramente se elaboró un pretest para ubicar a los alumnos, según su nivel de cálculo.
Posteriormente se intervino con el programa, utilizando ejercicios de memoria, fluidez
verbal, atención, orientación y cálculo. Luego se realizó el postest para comparar el
estado posterior al programa. El análisis de los resultados orientó a la investigación a
llegar a la conclusión que el juego, en el marco escolar, facilita la construcción del
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conocimiento matemático, cuando se plantea en un entorno constructivista de interacción
entre los participantes. Otra conclusión importante fue determinar que a través del juego, la
influencia educativa del maestro cede y traspasa progresivamente el control y
responsabilidad del aprendizaje de los alumnos. Por lo tanto, el juego no debe faltar en las
clases regulares de matemáticas.
Otro estudio realizado para conocer el desarrollo evolutivo de las estrategias de cálculo
mental en la educación primaria, fue llevado a cabo por Lozano (2001), en la Universidad
Complutense de Madrid. El objetivo de la investigación fue definir la evolución de los
procesos memorísticos, para obtener mecanismos explicativos de los procesos de cálculo,
diseñando programas de una manera concreta y realista en alumnos y alumnas de
educación primaria. La investigación dio inicio con un pretest en niños del primer ciclo de la
ESO (1 a 3 primaria), 3 niños y niñas de cada grado y de segundo ciclo (4 a 6), 3 niños y
niñas de cada grado, sumando una muestra de 18 sujetos, representando a todos los
grados del nivel primario. Posteriormente, se comparó la evolución del cálculo en cada
grado de primaria, seguido de la elaboración de un programa-propuesta, para el desarrollo
de destrezas de cálculo.
El programa propuesta se desarrolló a lo largo de tres meses, durante 3 períodos
semanales, de 45 minutos cada uno. Las conclusiones que la investigación aportó fueron
que las estrategias de cálculo ayudan a los escolares a desarrollar el sentido numérico y
entender las operaciones con números multidígitos y constituyen la base lógica para
almacenar en la memoria a largo plazo, las combinaciones numéricas de suma y resta.
Otra conclusión importante fue el determinar que las estrategias de memorización
aumentan con la edad y disminuyen las estrategias de conteo. Esta investigación también
ayudó a determinar que las estrategias más evolucionadas aparecen con la sustracción, lo
que fue de un aporte significativo para la elaboración de programas de estrategias de
cálculo para la educación primaria.
Abordando el tema del bajo rendimiento escolar que niños y niñas presentan en la
asignatura de matemáticas cabe mencionar la investigación realizada por Arieta (1995), en
donde trata de proponer un modelo que, contrastado empíricamente, permita obtener un
correcto diagnóstico de las causas del bajo rendimiento del alumno, como punto de partida
que posibilite una más eficaz y específica intervención de los profesores. El objetivo de la
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investigación fue elaborar un modelo teórico que recogiera jerárquicamente los factores
que influyen significativamente en el rendimiento en Matemáticas. Como población se
eligió el colectivo de ikastolas de Guipúzcoa pensando en un colectivo lo más uniforme
posible en donde el aprendizaje se efectúe en idioma materno, ambiente social más
uniforme, para que influyeran lo menos posible factores que pudieran alterar el
rendimiento. En la elección de la muestra se utilizó el método estratificado proporcional
por conglomerados y atendiendo sucesivamente, en una primera etapa, a criterios de
división en comarcas y número de aulas por ikastola y, en una segunda etapa, por tamaño
de los centros. Se trabajó con una muestra de 355 sujetos de una población de 2770. El
programa estadístico utilizado fue MANOVA general en donde los resultados obtenidos
concluyeron que solamente la metodología del profesor influye en el rendimiento en
matemáticas y que el nivel cultural influye en la inteligencia general. Otra conclusión
importante del estudio fue el descubrir que los condicionantes familiares y el nivel de su
entorno no forman parte del modelo pero si son un factor de riesgo del rendimiento en
matemáticas pues correlacionan significativamente. Asimismo el auto concepto
académico, la autoestima escolar del alumno, la confianza, seguridad en sus propias
capacidades y en su carácter, condicionan el rendimiento de la materia. Un aporte
importante de la investigación de Arieta, fue el modelo propuesto ya que se cumple tanto
para los niños como para las niñas, por lo que el sexo no influye en el rendimiento en
matemáticas.
En cuanto a los conocimientos informales que los niños tienen sobre las operaciones
aritméticas fundamentales, cabe mencionar la investigación de Caballero (2005), también
en la Universidad Complutense de Madrid, quien realizó un estudio transversal y
longitudinal sobre los conocimientos informales que los niños tienen sobre las operaciones
aritméticas. El objetivo principal de esta investigación fue ahondar en el conocimiento
informal que tienen los más pequeños acerca de las cuatro operaciones aritméticas, tales
como, adición, sustracción, multiplicación y división y el conocer los procesos de solución
de los niños de cuando se enfrentan a estas tareas. Este estudio resultó de suma
importancia, porque cada una de las cuatro operaciones aritméticas representan para ellos
distintos niveles de complejidad. Un aporte importante de Caballero fue el determinar que
el grado de dificultad de las diferentes operaciones, varía dependiendo de la forma en que
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los problemas se formulen en términos de acción o no acción. El estudio fue realizado
con la participación de todos los niños de Educación Infantil del colegio concertado, Centro
Cultural Salmantino situado en la zona sur de Madrid, cuyo nivel socio-económico y
cultural era medio-bajo. En total fueron 36 alumnos, que se repartieron en dos grupos
equivalentes siguiendo el criterio de curso escolar en el que se hallaban. Las pruebas
fueron aplicadas en 5 entrevistas individuales, cada una con 4 problemas. El orden de la
presentación de los diferentes problemas fue elegido al azar y se mantuvo constante para
todos los participantes. Cada niño era entrevistado sólo una vez por semana, durante las
horas lectivas del centro, para mitigar posibles efectos del aprendizaje, con una duración
que no excedía de los 20 minutos. Después del análisis de resultados se concluyó que los
niños conforme son mayores resuelven las operaciones de mejor manera que los niños
pequeños. Asimismo el concluir que todos los niños tienen conocimientos informales de las
operaciones aritméticas, por lo que, las clases formales deben utilizar esos conocimientos
que el niño ya posee para que tengan significado. Otra conclusión fue el comprobar que el
problema del currículo reside en que olvida los conocimientos informales que construyen
los niños sobre la adición, sustracción, multiplicación y división a través de las experiencias
de “repartir”, “quitar” y “añadir”, entre otras, antes de conocer los algoritmos y que cuando
llevamos ese conocimiento a la resolución de problemas, son resueltos sin ninguna
dificultad.
Para mejorar la didáctica para el aprendizaje del cálculo aritmético, Bernabeu (2009)
realizó un estudio en el Instituto Central de Ciencias Pedagógicas, en el Ministerio de
Educación de la República de Cuba. El objetivo del estudio fue proponer una concepción
didáctica que propicie el perfeccionamiento del cálculo aritmético, en el primer ciclo de
educación primaria. El estudio dio inicio con la selección de una muestra de 19 alumnos de
primer grado y 31 alumnos de cuarto grado. Luego se investigaron los antecedentes
históricos de la enseñanza del cálculo en los primeros grados, seguido de un estudio
teórico de la enseñanza del primer ciclo, y su relación con la numeración. Posteriormente,
se realizó un estudio comparativo del estado actual, del uso de la calculadora en distintos
países del mundo, proponiendo ejercicios novedosos para el empleo de técnicas de
cálculo mental y la calculadora. Se aplicó y se tabuló un diagnóstico de habilidades de
cálculo de los escolares sujetos de estudio.
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Las conclusiones de la investigación de Bernabeu fueron que la enseñanza del cálculo
aritmético en los primeros grados, es estrecha con los números, detectándose que en
Cuba, la no inclusión de elementos novedosos en la enseñanza se considera un déficit
natural de la enseñanza en dicho país. Un aporte importante fue el hacer conciencia que el
cambio de la enseñanza inicia con el cambio en los docentes, por lo que implementaron un
plan de mejora.
Faura (2006), también plantea una propuesta novedosa para el aprendizaje del cálculo
mental. El objetivo de su investigación versa sobre la importancia que tiene el cálculo
mental en el aula y en la vida práctica. Los estudios los realizó con alumnos de sexto
primaria, de la escuela Gabriela Mistral en Quito. El proceso investigativo se desarrolló con
aproximándose al problema de la enseñanza del cálculo mental reconociendo la
complejidad de este fenómeno didáctico tratando de interpretar y comprender el
funcionamiento del sistema de enseñanza, cuyos subsistemas principales son: el profesor,
los alumnos y el contenido a enseñar. Tomando como referencia algunas de las
perspectivas teóricas, los lineamientos y estándares curriculares para el área de
Matemáticas, planea la propuesta secuencial de enseñanza de cálculo mental, en torno a
las operaciones básicas. La riqueza de la investigación estriba en el diseño de una guía
para el profesorado y una propuesta secuencial de enseñanza. Concreta las orientaciones
para el trabajo de los maestros en el aula, selecciona, adapta o crea y estructura las
actividades de aprendizaje para los estudiantes recurriendo algunas veces a la lúdica y en
contextos cotidianos. El aporte importante de Faura, fue el concluir que cálculo mental
proporciona, asocia y dispone de estrategias auténticas al alumno, que le servirán para la
vida permitiéndole enfrentar dificultades en contextos de alta incertidumbre y complejidad,
como en situaciones de toma de decisiones inmediatas o que por el azar no se pueden
ejecutar de manera mecánica. Faura concluye que el cálculo mental se convierte en una
estrategia didáctica para darle sentido y significado a la comprensión del número, su
representación, las relaciones que existen entre ellos y las operaciones que se efectúan en
cada uno de los sistemas numéricos. Asimismo al facilitar una serie de estrategias a los
estudiantes se obtendrán mejores resultados en las pruebas objetivas y a la hora de dar
una respuesta segura o aproximada de una situación de la vida diaria, despertará el
interés de los estudiantes hacia el cálculo mental y su punto de vista hacia las
matemáticas.
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La propuesta de Faura es que con ella, logra responder a la falta de sugerencias y
materiales didácticos de apoyo para el trabajo de los maestros en el aula y se responde a
la carencia de tratamientos en los libros de texto.
Con base a las investigaciones enunciadas anteriormente, se puede decir que la
enseñanza de destrezas de cálculo mental, puede iniciar desde que los niños y niñas son
pequeños ya que el infante tiene conocimientos informales de las cuatro operaciones
básicas las cuales se deben aprovechar para relacionarlas con problemas del diario vivir, y
que el juego, es una parte fundamental en los períodos de matemáticas. Asimismo, para
que las destrezas de cálculo se desarrollen positivamente, es necesario utilizarlo como
una estrategia didáctica para darle sentido y significado a la comprensión de los números.
El facilitar una serie de estrategias de cálculo a los estudiantes, les permitirá obtener
mejores resultados en las pruebas objetivas y a la hora de dar una respuesta segura o
aproximada de una situación de la vida diaria, despertará el interés hacia el cálculo mental
y su punto de vista sobre las matemáticas.
Cabe agregar que es necesario que los alumnos desde pequeños tengan una educación
psicomotriz completa, es decir que tengan una buena imagen de sí mismos, destrezas de
atención, concepción del espacio-tiempo, noción de conjunto, número y cantidad,
especialmente en la etapa preescolar.
Cuando se refiere a los errores más frecuentes que cometen los alumnos, la causa
fundamental es la forma inadecuada en que los alumnos realizan los procedimientos de las
operaciones, conociendo que las estrategias de memorización aumentan con la edad.
También se enumeran las destrezas necesarias para la resolución de problemas, tales
como el ir de lo conocido a lo desconocido, eliminar posibilidades, el uso de analogías y
semejanzas, descubrir el patrón y modificar el problema. Es importante mencionar que
para que haya un cambio en la enseñanza de las matemáticas, debe haber un cambio en
los docentes, los cuales deben de utilizar una metodología adecuada según las
necesidades de sus alumnos.
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Asimismo es importante tomar en cuenta que para una buena enseñanza de las
matemáticas es determinante el número de alumnos por salón ya que si hay una excesiva
población de alumnos, es poca la atención personalizada que se le puede brindar a cada
uno de ellos.
A manera de fundamentar la presente investigación y justificar la importancia del desarrollo
de destrezas de cálculo mental, en los y las niñas de cuarto primaria, de una institución
educativa privada, ubicada en la ciudad de Guatemala, se presenta el siguiente marco
teórico.
1.1. Enseñanza de las matemáticas Durante todas las épocas las matemáticas han jugado un papel importante en el estudio
de las ciencias. A Tales se le considera el primer matemático, a Pitágoras el padre de la
matemática y a Teano la primera mujer matemática. (Bickford, 1980).
Las matemáticas se han definido desde la antigüedad, Aristóteles, (322), citado por Bell
(2001), la definió como la ciencia de la cantidad. Descartes,(1670), citado por Bell (2001),
la definió como la ciencia del orden y de la medida. Asimismo, Hogben, (1920), citado por
Bell, (2001), consideraba las matemáticas como un método que permite descubrir y
expresar de la manera mas económica y posible, reglas útiles de razonamiento correcto
sobre cálculos, medida y forma. En sus investigaciones Steinmetz, (1923), citado por Bell,
(2001), define las matemáticas como la ciencia más exacta y sus operaciones permiten la
demostración absoluta, pero eso sólo ocurre porque la matemática no trata de deducir
conclusiones absolutas ya que todas las verdades matemáticas son relativas y
condicionales. Asimismo, Gaus, (1796), citado por Bell, (2001), la define como la reina de
las ciencias, y la aritmética es la reina de las matemáticas.
A principios de siglo, Klein (1924), citado por Bell (2001), la considera como la ciencia de
las cosas evidentes e inconvertibles. Asimismo, Jacobi, (1845), citado por Bell (2001), la
define como la ciencia de lo que es claro de por sí.
13
Las definiciones son variadas, pero coinciden en que las matemáticas son una ciencia.
Poincaré (1880), citado por Bell (2001), concluye que la matemática no estudia objetos,
sino relaciones entre objetos; se puede remplazar un objeto por otros siempre y cuando la
relación entre ellos no cambie. Hace dos siglos, Pierce (1865), citado por Bell (2001), la
define como la ciencia que obtiene conclusiones necesarias. A finales del siglo XX,
Hilbert, (1930), citado por Bell (2001), la define como un juego con reglas muy sencillas
que dejan marcas sin significado en un papel. Actualmente, Whitehead (1945), citado por
Bell (2001), concluye que la matemática en su significado mas amplio, es el desarrollo de
todo tipo de razonamiento formal, necesario y deductivo.
Rusell (1965), citado por Bell (2001), la define como la materia en la que nunca se sabe
de que se habla ni si de lo que se dice es cierto. Asimismo, Pastor (1960), citado por Bell
(2001), la define como la "ciencia de los conjuntos". De los conjuntos finitos nace, por
abstracción, el concepto de número, fundamento de toda la matemática. A finales del siglo
XX, Armendáriz, Piquet, y Giménez (1993), definen las Matemáticas como una disciplina
autónoma, interdisciplinar, con un campo teórico y práctico propio, en fase de desarrollo.
Para finalizar, Castellnuovo (1999), asevera que las matemáticas no deben considerarse
en sí como conocimiento complejo, aplicable a las necesidades de la vida, sino
principalmente como un medio de cultura intelectual, como una gimnasia del pensamiento,
que se dirija a desarrollar la facultad de raciocinio y ayudar al sano criterio que sirve para
distinguir lo real de lo irreal.
Los principios de la enseñanza de las matemáticas que se exponen a continuación, están
basados en los Principles and Standards for School Mathematics (2000):
• Equidad: La excelencia en la educación matemática requiere equidad, unas altas
expectativas y un fuerte apoyo para todos los estudiantes.
• Currículo: Debe ser más que una colección de actividades, el currículo debe ser
coherente, centrado en unas matemáticas importantes y bien articuladas a lo largo
de los distintos niveles.
• Enseñanza: Una enseñanza efectiva de las matemáticas requiere comprensión de lo
que los estudiantes conocen y necesitan aprender; por lo tanto, les desafían y
apoyan para aprenderlas de una forma correcta.
14
• Aprendizaje: Los estudiantes deben aprender matemáticas, comprendiéndolas,
construyendo de forma activa el nuevo conocimiento, a partir de la experiencia y el
conocimiento previo.
• Evaluación: La evaluación debe apoyar el aprendizaje de unas matemáticas
importantes y proporcionar información que sea de utilidad, tanto para los
profesores, como para los estudiantes.
• Tecnología: La tecnología es esencial en la enseñanza y el aprendizaje de las
matemáticas e influye en las matemáticas que se enseña y estimula el aprendizaje
de los estudiantes.
Estos principios describen aspectos cruciales, aunque no sean específicas de las
matemáticas escolares, están profundamente interconectadas con los programas de
matemáticas. Deben tenerse en cuenta en el desarrollo de propuestas curriculares.
Deben prevalecer en la selección de materiales, la planificación de las unidades
didácticas, el diseño de evaluaciones, las decisiones de cómo impartir la instrucción y la
forma de establecer programas de apoyo, para el desarrollo profesional de los docentes.
Esto debe tomarse en cuenta porque existen varios factores que intervienen en la
enseñanza de las matemáticas. Entre ellos se pueden encontrar los programas y los
métodos, así como problemas pedagógicos y psicológicos.
Desde 1908, se vio la necesidad de coordinar los trabajos y esfuerzos de varias naciones,
poniendo en confrontación los programas y métodos por lo cual fue creada en el seno del
IV Congreso Internacional de Matemática, la Comisión Internacional de Enseñanza
Matemática. Esta comisión se formó con el objetivo de investigar las tendencias de la
enseñanza de las matemáticas de varias naciones, e investigar los métodos de enseñanza
de esta disciplina a la luz de modernas ideas culturales, pedagógicas y psicológicas.
Matemáticos como Smith, Klein, Hadamard, Enriques y Castellnuovo, dieron en pocos
años una marcada fisonomía a este organismo, trazándole una línea determinada en
acción y ejerciendo una gran influencia sobre los docentes de cada país (Talizina, 2006).
15
La introducción de las matemáticas modernas en la escuela media, está inspirada en la
concepción fundamental de la matemática moderna. El profesor, al tratar la propiedad
fundamental de los números y de las figuras, debería escoger analogías y estructuras
capaces de unificar conceptos diversos, operaciones, acciones y cuestiones de
proyección. La introducción de las matemáticas modernas exige, por parte del docente,
una seria preparación y una larga visión de la ciencia, junto con un profundo conocimiento
de la psicología infantil (González, 2011).
1.2 Cálculo mental El cálculo mental, según el Plan plurianual para el mejoramiento de la Enseñanza (2004-
2007), se define como el “conjunto de procedimientos que, analizando los datos por tratar,
se articulan sin recurrir a un algoritmo preestablecido, para obtener resultados exactos o
aproximados”. Es decir, se caracteriza por la presencia de una diversidad de técnicas que
se adaptan a los números que están en juego, y a los conocimientos que la persona tenga
previamente. En contraste, se encuentran los cálculos algoritmizados, los cuales
consisten en una serie de reglas aplicables en un orden determinado, siempre del mismo
modo, independientemente de los datos que garantizan alcanzar el resultado buscando un
número finito de pasos.
EL cálculo algorítmico, generalmente se resuelve con una operación y utiliza siempre la
misma técnica para una operación dada, cualquiera sean los números, generalmente,
utilizando el lápiz y el papel. Mientras en el trabajo de cálculo mental no se espera una
única manera de proceder.
La idea es instalar una práctica que requiera diferentes estrategias basadas en
propiedades de la numeración decimal y de las operaciones. Al desplegar estas
estrategias en una situación específica, se favorece el análisis de las relaciones
involucradas en las mismas. Los algoritmos convencionales para las operaciones también
apelan a las propiedades de los números y de las operaciones, sólo que, una vez
automatizados los mecanismos, como éstos son siempre iguales. Es posible resolverlos
sin tener en cuenta el sentido de las descomposiciones de los números y de las
operaciones parciales que se realizan.
16
Se puede diferenciar el cálculo mental y el cálculo algorítmico a partir del siguiente
ejemplo: Partiendo de la pregunta: ¿Cuánto hay que restarle a 1,000 para obtener 755?
En el cálculo algorítmico sería el planteamiento de esta manera, apelando al algoritmo de
la resta:
1,000
– 755
En el cálculo mental, sería a través de estrategias, pudiéndose resolver de distintas
maneras. Siendo algunas de las posibilidades:
• Calcular el complemento de 755 a 1,000 de diferentes modos. Por ejemplo, apoyándose
en números redondos:
755 + 5 = 760
760 + 40 = 800
800 + 200 = 1,000
200 + 40 + 5 = 245
• Ir restando sucesivos números a 1,000 hasta alcanzar 755:
1,000 – 200 = 800
800 – 45 = 755
200 + 45 = 245
La multiplicación 4 x 53 podría resolverse mediante el algoritmo convencional de la
multiplicación, o también a través de procedimientos de cálculo mental. Por ejemplo:
4 x 50 + 4 x 3
Como el doble de 53 es 106, 4 x 53 es el doble de 106, es 212, aquí puede observarse
que la distinción entre cálculo algorítmico y cálculo mental está, en que el primero sea
escrito y el segundo no se apoye en el uso de lápiz y papel.
Según el Gobierno de la ciudad de Buenos Aires (2004-2007), en el cálculo mental, los
números se tratan de manera global sin considerar sus cifras aisladas, como ocurre en los
algoritmos de tipo convencional. Esto se suma al hecho de tener que poner en juego las
estrategias específicas en función de los números con los que el niño trabaja.
17
El hecho de que el cálculo mental se distinga del cálculo algorítmico no supone que sea
opuesto a él, sino todo lo contrario, porque los conocimientos que el niño construye
utilizando los dos tipos de cálculo, se alimentan de forma recíproca. Es una finalidad de las
instituciones educativas, que los alumnos se apropien de los algoritmos convencionales
para resolver las operaciones. Los algoritmos convencionales constituyen técnicas de
cálculo valiosas por que economizan tiempo al estimar resultados exactos.
Según el Gobierno de la ciudad de Buenos Aires (2004-2007), la riqueza del trabajo
sobre el cálculo mental y algorítmico, incluye el hecho de que los alumnos tienen que
decidir la estrategia más conveniente para cada situación en particular. El cálculo mental
facilita el aprendizaje de algoritmos. Según investigaciones realizadas, el cálculo mental
facilita el aprendizaje de cada uno de los procesos que la operación algorítmica demanda,
proporcionando un amplio abanico de recursos que ayudarán al alumno a resolver
problemas numéricos, en distintas situaciones que enfrenten. La práctica de cálculo
mental, bajo ciertas condiciones, hace evolucionar los procedimientos de cálculo de los
alumnos y enriquece las conceptualizaciones numéricas de los niños.
1.3 Programa de cálculo mental
Según el Gobierno de la ciudad de Buenos Aires (2004-2007), es un instrumento curricular
donde se organizan las actividades de enseñanza-aprendizaje. Permite orientar al docente
en su práctica con respecto a los objetivos a lograr, las conductas que deben manifestar
los alumnos, las actividades y contenidos a desarrollar, así como las estrategias y recursos
a emplear con este fin.
La idea de un programa de cálculo mental es instalar una práctica que requiera diferentes
estrategias basadas en propiedades de la numeración decimal y de las operaciones. Al
desplegar estas estrategias en una situación específica, se favorece el análisis de las
relaciones involucradas en las mismas. Lo importante a tomar en cuenta es que para
lograr que los alumnos produzcan estrategias de cálculo mental cada vez más elaboradas,
tendrán que apoyarse en el conocimiento de las propiedades de las operaciones y lograr
que los alumnos participen en la construcción de criterios válidos de cada uno de los
18
procedimientos elaborados del sistema de numeración para obtener los resultados
deseables.
La enseñanza del cálculo en un programa enmarca, enseñar en cada una de las clases,
búsqueda de soluciones, reflexiones, discusiones, argumentaciones, producción y análisis
de enunciados matemáticos e identificación de los nuevos conocimientos. Según el
documento antes mencionado, la intervención del docente es fundamental, ya que el
mismo, propicia el hacer, explicitar , y comparar los procedimientos para llevar a los
alumnos a analizar y a explicar cada proceso y estrategia del programa.
El despliegue del trabajo que se propone en un programa de cálculo, no puede quedar
relegado a clases aisladas, sino que es necesario organizar una progresión de
aprendizajes y planificar una secuencia de enseñanza, en la cual cada nuevo conocimiento
pueda apoyarse en aquello que los alumnos ya conocen, al mismo tiempo que introduce
novedades, siendo por su parte base para nuevos aprendizajes. Un proceso de esta
naturaleza requiere considerar tiempos de adquisición a largo plazo, con secuencias que
involucren una variedad de situaciones que se ocupen de diferentes aspectos de los
conceptos y, a la vez, pueda retroalimentar estrategias aprendidas de forma sistemática.
Un programa bien implementado permitirá medir los avances en los recursos de cálculo
mental para todos, especialmente para aquellos alumnos que presentan mayor grado de
dificultad. Esto les permitirá acceder a estrategias que proporcionen seguridad en los
cálculos a realizar.
Puede resultar extraño que el cálculo mental beneficie más a quienes tienen mayor
dificultad para calcular, por lo que son muy importantes las intervenciones del docente
dirigidas a la difusión, identificación y práctica de ciertos procedimientos de cálculo mental,
que les permitan a los alumnos que se presentan como “más flojos”, a crecer en dominio y
ganar en confianza.
Según el plan, la organización de las clases deberá planificarse de acuerdo con las
intenciones del docente frente a cada situación en particular. A veces, conviene el trabajo
en parejas para promover intercambios en el momento de la resolución; en otras
19
ocasiones, la tarea individual, para que cada niño tenga la oportunidad de interactuar solo
frente al problema, y en otras ocasiones, con toda la clase. Cuando se trabaja
colectivamente, suele ocurrir que los alumnos que más recursos tienen dan respuestas
rápidamente sin dejar tiempo suficiente para que algunos de sus compañeros puedan
pensar, por lo que es importante que cada clase cuente con variedad de situaciones de
trabajo. Puede ser que algunas veces se trabaje con la misma situación en forma
individual, en pareja, en pequeños grupos, e ir variando así la forma de participación.
Según Piaget, citado por Papalia, Olds, y Duskin (2004), los niños de 10 años pueden
resolver varios tipos de problemas de conservación, son capaces de elaborar las
respuestas en su mente y no tienen que medir o pesar objetos. Esto indica que los
alumnos de cuarto primaria, sí están en el nivel de madurez para desarrollar un programa
de cálculo mental, en donde desarrolle habilidades de cálculos numéricos utilizando su
mente.
1.4 Exactitud operatoria Según Godino, Batanero y Font (2002), la cualidad de la exactitud en matemáticas,
consiste en dar una respuesta exacta y precisa, a una operación matemática, un problema
o un enunciado que requiere de un solución. Una característica adicional de las
matemáticas, que se hace cada vez más patente a lo largo de un desarrollo histórico, es la
dualidad desde la que permite contemplar la realidad. La matemática es una ciencia
exacta, los resultados de una operación, son unívocos.
Es frecuente que las propuestas curriculares potencien exclusivamente una cara de la
moneda: la que se ajusta mejor a la imagen tradicional de las matemáticas como ciencia
exacta. Por otro lado, al comparar la modelización matemática de un cierto hecho de la
realidad, siempre es aproximada, porque el modelo nunca es exacto a la realidad. Si bien
algunos aspectos de esta dualidad aparecen ya en las primeras experiencias matemáticas
de los alumnos, otros lo hacen más tarde.
Según Godino et al. (2002), las matemáticas escolares deben potenciar estos dobles
enfoques, y ello no sólo por la riqueza que encierran, sino porque los que han sido
20
relegados hasta ahora a un segundo plano tienen una especial incidencia en las
aplicaciones actuales de las matemáticas.
Según los autores, la importancia que se da a resolución de problemas en los currículos
actuales es el resultado de un punto de vista sobre las matemáticas que considera que su
esencia es precisamente la resolución de problemas. Muchos autores han ayudado a
desarrollar este punto de vista como, por ejemplo, Polya, citado por Castellnuovo (1999), la
resolución de un problema consiste, a grandes rasgos, en cuatro fases: 1) Comprender el
problema, 2) Concebir un plan, 3) Ejecutar el plan y 4) Examinar la solución obtenida.
Cada fase se acompaña de una serie de preguntas cuya intención clara es actuar como
guía para la acción. Los trabajos de Polya se pueden considerar como un intento de
describir la manera de actuar idealmente, en la resolución de un problema, obteniendo una
respuesta exacta a la pregunta planteada.
Por otro lado, los aportes de Polya no responden a la interrogante: ¿Por qué es tan difícil,
para la mayoría de los humanos, la resolución de problemas en matemáticas? Schoenfeld,
citado por Castellnuovo (1999), propone un marco con cuatro componentes que sirva para
el análisis de la complejidad del comportamiento en la resolución de problemas: 1)
Recursos cognitivos: conjunto de hechos y procedimientos a disposición de la persona que
resuelve 2) Heurísticas: reglas para progresar en situaciones difíciles, 3) Control: aquello
que permite un uso eficiente de los recursos disponibles y 4) Sistema de creencias:
perspectiva propia con respecto a la naturaleza de la matemática y cómo trabajar en ella.
La resolución de problemas no es sólo uno de los fines de la enseñanza de las
matemáticas, sino el medio esencial para lograr el aprendizaje. Los estudiantes deberán
tener frecuentes oportunidades de plantear, explorar y resolver problemas que requieran
un esfuerzo significativo. Schoenfeld, citado por Castellnuovo (1999), manifiesta que
mediante la resolución de problemas matemáticos, los estudiantes deberán adquirir modos
de pensamiento adecuados, hábitos de persistencia, curiosidad y confianza ante
situaciones no familiares que les serán útiles fuera de la clase de matemáticas. Incluso en
la vida diaria y profesional es importante ser un individuo capaz de resolver problemas.
21
La resolución de problemas es una parte integral de cualquier aprendizaje matemático, por
lo que expone que no debería ser considerado como una parte aislada del currículo
matemático. En consecuencia, la resolución de problemas debe estar articulada dentro del
proceso de estudio de los distintos bloques de contenido matemático. Por otro lado, los
contextos de los problemas pueden referirse tanto a las experiencias familiares de los
estudiantes, así como aplicaciones a otras áreas. Desde este punto de vista, los
problemas aparecen primero para la construcción de los objetos matemáticos y después
para su aplicación a diferentes contextos.
1.5 Jean Piaget: Didáctica psicológica Piaget, citado por Papalia et al. (2004), hace referencia a que el alumno no es un ser libre,
sino que es obligado a seguir ciertos pasos que le son sugeridos, si no es por el maestro,
por el material mismo con el cual trabaja. Piaget refiere que la pedagogía no es libre.
Justamente esa libertad de la construcción matemática, que quiere alcanzar la
metodología, está basada en la experiencia psicológica de este psicólogo.
Para el autor, el material que se utiliza para la enseñanza de las matemáticas debe servir
para que el alumno desarrolle ciertas leyes que después le serán necesarias en la
adquisición de un concepto matemático. Según él, la diferencia esencial entre el
pensamiento del niño y el adolescente, es que el niño hace relación a lo real, en lo
referente a leyes, según la experiencia de lo que tiene ante sus ojos, mientras que el
adolescente hace referencia a casi todo lo que no ha visto realizado en la experiencia, y
puede moverse en un sistema hipotético deductivo.
Varios trabajos de la escuela en Ginebra se inspiraron en las ideas de Piaget. La idea
fundamental de esta escuela es que el interés del niño no sea atraído por el objeto material
en sí o por el ente matemático, sino mas bien por las operaciones sobre el objeto o sus
entes. Operaciones que naturalmente, serán primero de carácter manipulatorio, para
después interiorizarse y posteriormente pasar de lo concreto a lo abstracto.
De acuerdo con la propuesta de este autor, el niño de 10 años está en la etapa de las
operaciones concretas. Es llamada así, porque el niño se encuentra en la capacidad de
22
utilizar las operaciones y resolver problemas concretos. Los niños en esta etapa pueden
usar mapas y modelos y pueden comunicar información del espacio y del tiempo (Gauvain,
citado por Papalia et al., 2004). Los juicios acerca de causa y efecto también mejoran
durante la niñez intermedia. En esta etapa el niño puede categorizar, lo cual ayuda al niño
a adquirir un pensamiento lógico. Según Piaget, citado por Papalia et al. (2004), la
categorización incluye habilidades tan sofisticadas como la seriación, la inferencia
transitiva y la inclusión de clase. A continuación se describen:
a) La Seriación: Un niño demuestra que entiende la seriación cuando puede arreglar
objetos en una serie, de acuerdo a una o más dimensiones, como el peso (del más liviano
al más pesado), o el color ( del más claro al más oscuro).
b) Inferencia Transitiva: Cuando Piaget se refiere a la Inferencia transitiva, explica que es
la habilidad para reconocer una relación entre dos objetos, al conocer la relación entre
cada uno de ellos, y un tercer objeto. Por ejemplo, a un niño se le muestran tres objetos,
uno amarillo, uno verde y uno azul. Se le muestra que el amarillo es más largo que el
verde, y que éste es más largo que el azul. Sin comparar físicamente el objeto amarillo y
azul, el niño sabe que el amarillo es más largo que el azul (Chapman y Lindenberger,
1988, Piaget e Inhelder, 1967, citados por Papalia et al., 2004).
c) La inclusión de clase: Se refiere a la habilidad de ver la relación del todo y sus partes. Si
se les muestra a los niños preoperacionales un ramo de 10 flores, siete rosas y tres
claveles, y se les pregunta si hay más rosas o más flores, su respuesta probable es que
hay más rosas, porque comparan las rosas con los claveles, en lugar de hacerlo con el
ramo entero. Es únicamente cuando el niño llega a la etapa de las operaciones concretas,
cuando los niños se dan cuenta que las rosas son una subclase de flores y, por ende, no
pueden haber más rosas que flores (Flavel, 1963, citado por Papalia et al., 2004).
d) Razonamiento Inductivo: Los niños en la etapa de las operaciones concretas usan el
razonamiento inductivo. A partir de observaciones acerca de miembros particulares de una
clase de personas, animales, objetos o eventos, llegan a conclusiones generales acerca
de la clase como un todo; por ejemplo, mi perro ladra, también lo hace el del vecino, el de
mi tío y el de mi abuelo.
23
e) Razonamiento Deductivo: En un principio, Piaget creía que este tipo de pensamiento se
desarrollaba cuando el niño llegaba a la etapa de la adolescencia. Piaget comienza con un
enunciado general (premisa) acerca de una clase, y se aplica a miembros particulares de
ésta. Si la premisa es verdadera para la clase entera, y el razonamiento es adecuado,
entonces las conclusiones pueden ser ciertas.
f) Conservación: Los niños, al resolver varios tipos de problemas de conservación, son
capaces de elaborar las respuestas en su mente, y no tienen que medir o pesar objetos.
Por ejemplo, si dos bolas de arcilla idénticas son amasadas y con una se forma una
salchicha, y con otra una manzana, el niño que está en la etapa de las operaciones
concretas no necesita pesarlas, ya que aunque la forma alargada de una y redonda de la
otra, no lo engañarán las apariencias del objeto, sino que sabrá que los dos objetos
contienen la misma cantidad de arcilla.
g) Principio de Reversibilidad: El niño adquiere el principio de reversibilidad cuando
entiende que las formas de la manzana y la salchicha, se pueden amasar, y formar
nuevamente las dos bolas de arcilla idénticas.
h) Principio de Identidad: Se alcanza el principio de identidad, junto con el de conservación
y reversibilidad. Consiste en la capacidad de reconocer el material de un objeto, no
importando su forma. En el ejemplo anterior, el niño sabe que la arcilla, sigue siendo
arcilla, no importando si adquirió la forma de una manzana, o de una salchicha.
En esta etapa de las operaciones concretas, Piaget concluyó que hasta antes de los 12
años, el pensamiento de los niños es tan concreto, y tan vinculado a una situación
particular, que no pueden transferir con facilidad lo que han aprendido acerca de un tipo de
conservación, a otro tipo, aún cuando los principios subyacentes sean los mismos. En este
caso, sostiene que el dominio de habilidades como la conservación, depende de la
maduración neurológica y de la adaptación al ambiente no está vinculado a la experiencia
cultural.
24
El procesamiento de la información fue investigado por Piaget, quien concluyó que el
procesamiento de la información más eficiente, facilita el aprendizaje y el recuerdo. Las
diferencias en la eficiencia del procesamiento ayuda a dar cuenta del rango de
puntuaciones en las pruebas de inteligencia.
Según Papalia (2004), la memoria va progresando de manera estable, a partir que los
niños avanzan en su escolaridad. Conforme avanzan los grados, entienden más acerca
de cómo trabaja su memoria, y este conocimiento les permite utilizar estrategias o planes
deliberados, para ayudarse a recordar. Conforme el conocimiento es adquirido y aumenta,
los niños toman mayor conciencia de a qué tipos de información es importante prestar
atención y recordar.
Se cree que la forma en que el cerebro almacena información es universal, aunque la
eficiencia del sistema, varía de una persona a otra (Siegler, citado por Papalia et al., 2004).
Los modelos del procesamiento de la información representan al cerebro como si tuvieran
tres almacenes, siendo éstos la memoria sensorial, la memoria de trabajo, y la memoria a
largo plazo. La memoria sensorial, es el punto de entrada al sistema de almacenamiento.
Es un recibidor temporal para la información sensorial que ingresa. La información que
está siendo recuperada, se mantiene en la memoria de trabajo, un almacén a corto plazo
para la información en la que una persona está tratando de entender, recordar o pensar.
La eficiencia de la memoria de trabajo está limitada por su capacidad. Para evaluar la
capacidad de la memoria de trabajo, los investigadores piden a los niños que recuerden
una serie de dígitos en orden inverso, por ejemplo, 2-8-3-7-5-1.
En la niñez intermedia, dicha capacidad de recordar va en aumento (Cowan et al, 1999
citado por Papalia et al., 2004). Durante esta etapa, el tiempo de reacción mejora y la
velocidad del procesamiento para tareas como la igualación de fotografías, la suma mental
y el recuerdo de información espacial se incrementa con rapidez, conforme la sinapsis o
conecciones nerviosas, innecesarias, son eliminadas en el cerebro (Hale, Bronik y Fry,
1997, citado por Papalia et al., 2004). El procesamiento más rápido y más eficiente,
incrementa la cantidad de información que un niño puede mantener en la memoria de
trabajo, lo cual hace posible un mejor recuerdo y un pensamiento de nivel superior más
complejo (Flavel et al. 1993, citado por Pozo, et al., 1994).
25
Los dispositivos para ayudar a la memoria, en los niños de 10 años, se llaman ¨estrategias
mnemotécnicas ¨. La estrategia más común utilizada por niños y adultos es el uso de
ayudas externas de memoria. Otras estrategias comunes más utilizadas son el repaso, la
organización y la elaboración. Conforme los niños crecen, desarrollan mejores estrategias,
usándolas con más efectividad y adaptándolas para satisfacer necesidades específicas
(Bjorklund, 1997, citado por Papalia et al., 2004).
Existen cuatro estrategias más utilizadas por los niños para recordar la información:
- Ayudas externas de memoria, utilizada más de los 5 a los 8 años.
- Repaso, la cual se puede enseñar desde los 6 años.
- Organización, que se logra hacer a los 10 años de edad, y consiste en el agrupamiento
por categorías.
- Elaboración, que la usan los niños a partir de los 10 años y consiste en asociar los ítems
que deben ser recordados con algo más, como una frase, escena o historia.
Una vez más, los niños mayores tienen mejor probabilidad que los pequeños de hacer un
uso espontáneo de la elaboración y transferirla a otras tareas (Flavel et al., 1993, citado
por Papalia et al., 2004)
Case (1999),citado por Papalia et al. (2004), propuso un modelo que modifica la idea de
Piaget de estructuras cognoscitivas y, además, coordina bien con las nociones
psicométricas clásicas de habilidades generales y especiales. A diferencia de las
estructuras operacionales de Piaget, como las operaciones concretas y formales,
aplicables a cualquier dominio del pensamiento. Case propuso estructuras conceptuales
arraigadas en la cultura, dentro de dominios específicos, como el de número, comprensión
de historias, y relaciones espaciales. A medida que los niños adquieren conocimiento
pasan por etapas en las cuales sus estructuras conceptuales, se tornan más complejas,
mejor coordinadas y multidimensionales. Por ejemplo, la comprensión que un niño tiene
de conceptos espaciales, comienza por el reconocimiento de las formas de los objetos,
avanza al sentir su tamaño y ubicación, y por último, a la comprensión de la perspectiva.
26
En resumen, el niño de 10 años tiene la madurez cognitiva para realizar cálculos mentales
y algorítmicos incluidos en un programa de cálculo mental que le permitan adquirir la
exactitud operatoria. Es necesario que cada una de las clases sea planificada de forma
gradual y concreta, para que el desarrollo de las destrezas de cálculo se vayan dando de
acuerdo al estadio de desarrollo en el que se encuentra.
27
II. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
Las Matemáticas juegan un papel importante y fundamental en el desarrollo del ser
humano, ya que se encuentran en todas las actividades de la vida diaria, en el entorno
del niño o niña. La asignatura de Matemáticas cumple una importante función en el
desarrollo de destrezas de pensamiento y resolución de problemas. Es una de las más
importantes en el pensum de estudio en todos los niveles de la vida escolar, pre
primaria, primaria, básicos y diversificado.
Muchos alumnos, desde que son pequeños, presentan dificultades en el desarrollo de
destrezas numéricas y de cálculo mental. En cuarto primaria, dentro de una institución
privada, durante el primer y segundo período del ciclo escolar 2011, a lo largo de las
evaluaciones formales e informales, los alumnos y alumnas han mostrado dificultades
de cálculo y exactitud operatoria. Esto provoca que en las pruebas objetivas, las
actividades que incluyen operaciones fundamentales de suma, resta, multiplicación,
división y resolución de problemas escritos, reflejen bajos punteos. Aunado a esto, los
y las alumnas cuando tienen que resolver operaciones numéricas, muestran actitud
negativa y rechazo a la asignatura.
Por otro lado, a lo largo de los dos períodos del ciclo escolar 2011, cuando se realizan
actividades de cálculo mental, en forma de juego o de competencias, a los y las
alumnas les gusta participar, especialmente cuando se hace con presión de tiempo.
Ellos consideran estas actividades educativas divertidas y motivadoras.
Derivado de esto, con el afán de mejorar el nivel de cálculo mental de los y las alumnas
de cuarto primaria de una institución educativa privada, ubicada en la ciudad de
Guatemala, se aplicará un programa de cálculo mental que ayude a los y las
estudiantes a incrementar sus habilidades, para darle solución al problema de exactitud
operatoria que presentan y, con esto, mejorar sus punteos, su autoconfianza y el
desempeño en la resolución de problemas matemáticos. Por ello, se plantea la
siguiente pregunta de investigación:
28
¿Se incrementa la exactitud operatoria en los niños y niñas de cuarto primaria de una institución educativa privada en la ciudad de Guatemala luego de aplicar un programa de cálculo mental dentro del curso de matemáticas?
2.1. Objetivos 2.1.1. Objetivo General
Determinar si un programa de cálculo mental, aplicado dentro del curso de matemáticas,
incrementa la exactitud operatoria, en niños y niñas de cuarto primaria de una institución
educativa privada de la ciudad de Guatemala.
2.1.2. Objetivos Específicos
2.1.2.1 Determinar, por medio de un pre test, la exactitud operatoria de niños y niñas
de cuarto primaria de una institución privada en la ciudad de Guatemala.
2.1.2.2 Aplicar un programa de cálculo mental, dentro del curso de matemáticas, a niños
y niñas de cuarto primaria.
2.1.2.3 Determinar el grado de exactitud operatoria después de aplicar el programa de
cálculo mental, por medio de un post test, en niños y niñas de cuarto primaria,
dentro del curso de matemáticas.
2.1.2.4 Comparar la exactitud operatoria de los y las estudiantes, antes y después de
aplicar el programa de cálculo mental, dentro del curso de matemáticas
2.2. Hipótesis
Hi La aplicación de un programa de cálculo mental, en el curso de matemáticas,
incrementa la exactitud operatoria de los y las alumnas de cuarto primaria de una
institución educativa privada, ubicada en la ciudad de Guatemala.
29
Ho La aplicación de un programa de cálculo mental, en el curso de matemáticas, no
incrementa la exactitud operatoria de los y las alumnas de cuarto primaria de una
institución educativa privada ubicada en la ciudad de Guatemala.
Hipótesis Específica
Hi 1 Existe diferencia estadísticamente significativa a nivel de confianza de 0.05 en la
exactitud operatoria en el pretest, entre el grupo experimental y el grupo control de
los niños y niñas de cuarto primaria de una institución privada, ubicada en la ciudad
de Guatemala.
Ho 1 No existe diferencia estadísticamente significativa a un nivel de 0.05 en el nivel de
exactitud operatoria en el pretest, entre el grupo experimental y el grupo control de
los niños y niñas de cuarto primaria de una institución privada, ubicada en la ciudad
de Guatemala.
Hi 2 Existe diferencia estadísticamente significativa a nivel de confianza 0.05 en la
exactitud operatoria del grupo experimental, de los niños y niñas de cuarto primaria
de una institución educativa privada, ubicada en la ciudad de Guatemala, antes y
después de aplicar un programa de cálculo mental en el curso de Matemáticas.
Hio 2 No existe diferencia estadísticamente significativa a nivel de confianza 0.05 en la
exactitud operatoria del grupo experimental, de los niños y niñas de cuarto primaria
de una institución educativa privada, ubicada en la ciudad de Guatemala, antes y
después de aplicar un programa de cálculo mental en el curso de Matemáticas.
Hi3 Existe diferencia estadísticamente significativa a nivel de confianza 0.05 en la
exactitud operatoria del grupo control, de los niños y niñas de cuarto primaria de
una institución educativa privada, ubicada en la ciudad de Guatemala, antes y
después de aplicar un programa de cálculo mental en el curso de Matemáticas.
Hio3 No existe diferencia estadísticamente significativa a nivel de confianza 0.05 en la
exactitud operatoria del grupo control, de los niños y niñas de cuarto primaria de
30
una institución educativa privada, ubicada en la ciudad de Guatemala, antes y
después de aplicar un programa de cálculo mental en el curso de Matemáticas.
Hi4 Existe diferencia estadísticamente significativa a nivel de confianza de 0.05 en la
exactitud operatoria, del postest entre el grupo experimental y el grupo control, de
los niños y niñas de cuarto primaria de una institución educativa privada, ubicada en
la ciudad de Guatemala, al aplicar un programa de cálculo mental en el curso de
Matemáticas.
Hio4 No existe diferencia estadísticamente significativa a nivel de confianza de 0.05 en la
exactitud operatoria, del postest entre el grupo experimental y el grupo control, de
los niños y niñas de cuarto primaria de una institución educativa privada, ubicada en
la ciudad de Guatemala, al aplicar un programa de cálculo mental en el curso de
Matemáticas.
2.3. Variables Variable Independiente: Programa de Cálculo Mental
Variable Dependiente: Exactitud Operatoria
Variables Controladas
Edad: 10 años
Grado: Cuarto primaria
Institución: Todos los sujetos participantes en el estudio, pertenecen a la misma institución
privada.
Tutor: A los dos grupos le imparte clases de matemáticas la misma maestra.
Variables no controladas Estado de ánimo de los sujetos
Lugar que ocupa el alumno o alumna en la familia
Hogar, integrado o desintegrado.
Estado civil de los padres.
31
2.4. Definición de las Variables
Programa de Cálculo Mental
Definición Conceptual Programa, según el Gobierno de la ciudad de Buenos Aires (2004), se refiere a un
instrumento curricular donde se organizan las actividades de enseñanza-aprendizaje, que
permite orientar al docente en su práctica con respecto a los objetivos a lograr las
conductas que deben manifestar los alumnos, las actividades y contenidos a desarrollar,
así como las estrategias y recursos a emplear El cálculo mental, según el Gobierno de la ciudad de Buenos Aires (2004), se define como
al “conjunto de procedimientos que, analizando los datos por tratar, se articulan sin recurrir
a un algoritmo preestablecido, para obtener resultados exactos o aproximados”. Es decir,
se caracteriza por la presencia de una diversidad de técnicas que se adaptan a los
números que están en juego, y a los conocimientos que la persona tenga previamente. Por
su parte, Rabino (2004) afirma que consiste en realizar cálculos matemáticos utilizando
sólo el cerebro, sin ayudas de otros instrumentos como calculadoras o incluso lápiz y
papel.
Según el Gobierno de la ciudad de Buenos Aires (2004), un programa de cálculo mental,
busca instalar una práctica que requiera diferentes estrategias basadas en propiedades de
la numeración decimal y de las operaciones. Al desplegar estas estrategias en una
situación específica, se favorece el análisis de las relaciones involucradas en las mismas.
Definición Operacional Son todos los pasos y herramientas que se practicarán en el grupo experimental, con
niños y niñas de cuarto primaria, de forma sistemática, y según el nivel de desarrollo de un
niño y niña de 10 años.
En él se les solicitará proporcionar respuestas rápidas a diversos planteamientos
problema, en donde únicamente utilizarán el cerebro, sin apoyarse en el uso de los dedos
o de una calculadora. Las estrategias del programa se presentarán en forma de juego, de
32
forma diaria y sistemática. El programa de cálculo se llevará a cabo durante 5 períodos
semanales durante los primeros 20 minutos de cada período, con la duración de 30 días .
Exactitud Operatoria:
Definición Conceptual Según Reinhardt (2009), es el manejo de forma consistentemente correcta, por parte de
un individuo, en las cuatro operaciones y sus propiedades.
Según el Ministerio de Educación y Ciencia de España (2002), la cualidad de la exactitud
en matemáticas consiste en dar una respuesta exacta y precisa, a una operación
matemática, un problema o un enunciado que requiere de una solución.
Definición Operacional Se medirá por medio de una prueba con 10 operaciones con valor de 10 puntos cada una,
para sumar un total de 100 puntos
Actividades contemplarán ejercicios de:
Completar patrones numéricos.
Aproximaciones a la unidad, decena y centena
Redondeo de números.
Multiplicación y división por y entre 10, 100 y 1000.
Adivinanzas numéricas.
2.5. Alcances y Límites La presente investigación se realizará con niños y niñas de cuarto primaria que asisten a
un programa regular, en una institución privada. En ellos se trabajará un programa de
cálculo mental, y está enfocada a determinar si se incrementa o no, el grado de exactitud
operatoria. Los resultados de la investigación son de alcance limitado y podrán ser
aplicados a los niños y niñas de primero a sexto primaria, de la misma institución, por tener
el mismo programa de enseñanza.
Una de las limitaciones que se puede encontrar al realizar la investigación, es la escasa
bibliografía que existe en estructurar un programa de cálculo mental en el nivel de
desarrollo de los 10 años. Otra limitante puede ser la falta de ejercitación que existe, en el
33
área de cálculo mental, y que los y las alumnas no tienen la costumbre de realizar cálculos
mentales de forma sistemática.
2.6. Aportes El programa de destrezas de cálculo mental propone valiosa información sobre algunos de
los problemas de cálculo en niños y niñas de primaria. Será de mucha utilidad para los
docentes que imparten la asignatura de Matemáticas en el nivel primario, así como para
los estudiantes de cuarto primaria que recibirán el programa de destrezas de cálculo.
De ser positiva y significativa la intervención en el grupo experimental, se implementará el
programa de cálculo en niños y niñas de primero a sexto primaria, en los años venideros.
Además, se podrá aplicar el programa de destrezas desde los grados inferiores del nivel
primario, adaptando el programa al nivel de desarrollo del grado.
34
III. MÉTODO 3.1 Sujetos Se trabajará con niños y niñas que cursan cuarto primaria en una institución privada
ubicada en la ciudad de Guatemala. Ellos están inscritos en la jornada matutina durante el
ciclo académico 2011. En su mayoría son alumnos y alumnas que han estudiado en la
institución desde los grados de la preprimaria. Los sujetos en la actualidad reciben el curso
de matemáticas durante 6 períodos semanales, siendo uno de estos periodos doble. Los
sujetos están distribuidos en dos secciones (Ceiba y Nogal), de 27 alumnos cada una.
Una sección (Ceiba), será el grupo experimental, y la otra (Nogal), será el grupo control. El
curso de Matemáticas lo imparte la misma maestra. Al inicio del experimento la edad de
los niños y niñas oscilará entre los 10 y 11 años de edad.
En la siguiente tabla se presentan las características de los sujetos:
Grupo experimental Grupo control
Niños 18
Niñas 9
Total 27 sujetos
El tipo de muestra que se utilizará según Hernández, Fernández y Baptista (2010), será el
no probabilístico por conveniencia, ya que la elección de los sujetos no es producto del
azar, sino los grupos se seleccionarán a criterio del investigador.
3.2. Instrumentos Se determinará el grado de exactitud operatoria, de los niños y niñas de cuarto primaria,
por medio de una prueba objetiva, la cual servirá como pretest para el grupo experimental
y el grupo control. En la prueba objetiva, se incluirán todas las operaciones fundamentales
hasta de 5 cifras. Posteriormente, se utilizará la misma prueba objetiva como postest, para
comparar resultados del grupo experimental y el de control.
Niños 17
Niñas 10
Total 27 sujetos
35
La prueba objetiva estará compuesta por cuatro series. La primera serie constará de dos
sumas. Las sumas serán de dos, tres y cuatro sumandos, compuestos por cantidades
hasta de cinco cifras. La segunda serie estará compuesta por dos restas. Las restas
tendrán hasta seis cifras en el minuendo y sustraendo respectivamente. La tercera serie
estará compuesta por dos multiplicaciones. Las multiplicaciones tendrán dos factores con
cuatro y cinco cifras en el primer factor y con tres cifras en el segundo factor. Las
cantidades estarán compuestas por los números dígitos, para que los estudiantes
practiquen las tablas del 1 al 9. La cuarta serie estará compuesta por dos divisiones. Las
divisiones tendrán de 4 a 5 cifras en el dividendo y dos y tres cifras en el divisor. Una
división será entera y la otra será exacta. La cuarta serie tendrá dos operaciones
combinadas donde los estudiantes tendrán que resolver en la primera operación sumas y
restas para encontrar la respuesta, y en la segunda operación multiplicaciones y
divisiones. Todas las cantidades tendrán tres y cuatro cifras.
Se calificará en los dos momentos sobre 100 puntos, los cuales estarán compuestos por
diez operaciones a diez puntos cada una, componiendo así los cien puntos de la prueba.
La prueba objetiva será validada por un juicio de expertos integrado por el equipo que
coordina la enseñanza de la matemática en el centro educativo.
3.3. Procedimiento
• La selección del tema fue motivada por la necesidad que tienen los estudiantes de
practicar destrezas de cálculo mental, que lo llevaran a la adquisición de exactitud
operatoria en las operaciones fundamentales.
• Se buscó bibliografía acerca del tema a investigar en libros, tesis nacionales e
internacionales.
• Se plantearon los objetivos del estudio.
• Se definió el método a utilizar
36
• Se pidió autorización a los directivos de la institución para desarrollar la
investigación, la cual se autorizó, con la única condición de no nombrar a la
institución
• La muestra se escogió en el grado de cuarto primaria, por ser el que tiene mayor
número de alumnos en los grados de la primaria. Además, es un grado donde los
alumnos ya conocen las cuatro operaciones fundamentales y por su nivel de
desarrollo evolutivo, están en la capacidad de realizar cálculos mentales.
• Se estructuró la prueba objetiva para establecer el nivel de exactitud operatoria en
que se encuentran niños y niñas del grado.
• La prueba fue sometida a juicio de expertos para poder validarla y que la
información que proporcione sea de utilidad para el estudio.
• Se realizó con la prueba objetiva, un sondeo o plan piloto para someterla a juicio y
ser objeto de cambios y mejoras.
• La prueba objetiva se utilizará como pretest, para establecer el nivel de exactitud
operatoria en que se encuentran niños y niñas de cuarto primaria.
• El pretest se aplicará a dos grupos, el de control y el experimental, distribuidos en
dos secciones de niños y niñas, con 27 sujetos cada una.
• El grupo experimental se someterá a un plan de 25 sesiones, en donde los 15
primeros minutos del período experimentarán destrezas de cálculo mental, en forma
de juego y competencias, como una introducción que motivará el tema a aprender.
El programa de cálculo será elaborado por el investigador, en donde se incluirán
destrezas de cálculo enfocadas a las operaciones fundamentales, de adición,
sustracción, multiplicación, división y resolución de problemas matemáticos.
• Posteriormente, después de haber concluido las 25 sesiones, se aplicará
nuevamente, la prueba objetiva, colectivamente como post test al grupo
experimental y al grupo de control.
• Después de una rigurosa revisión de las pruebas objetivas, se comparará
estadísticamente los resultados de los dos grupos .
• Se discutirán los resultados obtenidos, para llegar a las conclusiones pertinentes
comparando los dos grupos según la teoría y otras investigaciones realizadas
• Se comprobarán algunas de las hipótesis planteadas al inicio de la investigación.
37
3.4. Diseño y Metodología estadística
La presente investigación sigue un enfoque cuantitativo. Hernández, Fernández y Baptista
(2010) la definen como aquella que se apoya en la recolección de datos, medición
numérica y la realización de un análisis estadístico para probar las hipótesis. El diseño de
la investigación es cuasiexperimental, pues se manipuló una variable independiente
(Programa de cálculo mental) en función de una variable dependiente (Exactitud
operatoria). Cabe agregar que los sujetos de estudio ya estaban organizados en dos
secciones por lo que se facilitó seleccionar el grupo experimental y el control.
Según Hernández et al. (2010), la investigación se representa simbólicamente así:
G 1 0 1 X 02 (experimental)
G2 0 3 --- 04 (control)
Para el análisis estadístico de los resultados del pretest y postest se utilizarán las medidas
de tendencia central (media, mediana y moda), y la desviación estándar. La media
aritmética es el valor central y representativo del conjunto de puntuaciones de ambos
grupos; la mediana divide las frecuencias en dos mitades, y la moda es la puntuación que
más se repite (Morales, 2007). También se calculará la desviación estándar, que es el
promedio de las puntaciones con respecto a la media que se expresa en las unidades
originales de medición de la distribución (Hernández et al., 2010).
El programa estadístico que permitirá hacer los cálculos es el llamado ANOVA one-way,
que consiste en una prueba estadística que permite analizar dos grupos significativamente
entre sí en cuanto a sus medias y varianzas, utilizando la prueba F que en este caso se
utilizaría para los dos grupos objetos de estudio. Se eligió éste tipo de análisis ya que
permite comparar la variabilidad de dos grupos independientes, tomando en cuenta cada
uno de los datos y sus dos varianzas. Aunque el promedio puede ser una medida
representativa de la población, la prueba F, permite considerar cada uno de los datos;
considerando que el trabajo experimental se aplicó con estudiantes con una individualidad
propia cada uno de ellos, se considera que es importante tomar en cuenta cada una de
sus puntuaciones y no el promedio de la sección para realizar el presente análisis.
38
El análisis de varianza unidireccional produce un valor conocido como F o razón F. La
razón F comparará las variaciones en las puntuaciones debidas en las diferentes fuentes:
variaciones entre los grupos que se comparan y variaciones dentro de los dos grupos.
Si el valor F es significativo implica que los grupos difieren entre sí en sus promedios.
Entonces se acepta la hipótesis de investigación y se rechaza la nula. (Hernández et al.,
2010).
39
IV. PRESENTACIÓN DE RESULTADOS
En este capítulo se presentan las tablas con los resultados obtenidos en la investigación al
aplicar la prueba objetiva en el grupo experimental que se utilizó como pretest y postest.
La prueba objetiva midió el grado de exactitud operatoria en los niños y niñas de cuarto
primaria de una institución educativa privada.
El grupo experimental, fue formado al azar desde el inicio del año, y estaba conformado
con 27 alumnos, niños y niñas entre 10 y 11 años de edad. El pretest fue aplicado el día 5
de septiembre y el postest fue aplicado el día 10 de octubre.
Los resultados de las prueba fueron calificados sobre 100 puntos. En el capítulo de
método se describe la forma de calificación y ponderación de cada pregunta de la prueba
objetiva.
El punteo máximo posibles de la prueba es100 puntos y el mínimo es 0 puntos.
La tabla 4.1 muestra los punteos obtenidos en el pre test, y postest por el grupo
experimental.
40
Tabla 4.1. Resultados del nivel de exactitud operatoria en el pretest y postest del grupo experimental
Sujeto Pre test Post test 1 50 80 2 40 60 3 20 70 4 20 40 5 50 80 6 10 70 7 20 30 8 40 70 9 50 50 10 0 30 11 10 70 12 10 40 13 50 60 14 20 60 15 20 20 16 30 70 17 50 70 18 0 30 19 50 80 20 40 50 21 10 30 22 40 60 23 30 50 24 10 70 25 40 40 26 40 50 27 30 60 Media 28.88 55.18 Desviación 16.71 17.62 Moda 50 70
Fuente: Datos obtenidos en el trabajo de campo
Al observar los resultados de las medias se puede observar que el valor de la media se
duplicó del pretest (28.88) al postest, (55.18) y la desviación se mantuvo similar en ambos
casos. El grupo control muestra un notable incremento en la media de las puntuaciones
41
obtenidas antes y después del programa de cálculo mental, favoreciendo en éste caso los
puntos de la prueba aplicada al terminar el programa.
La tabla 4.2. presenta los resultados de la prueba F que evalúa la variación en los punteos,
antes y después del programa de cálculo para el grupo experimental.
Tabla 4.2.
Prueba F para varianza entre dos muestras entre las medias del pre y postest del grupo
experimental.
Variable 1 Variable 2
Media 28.88 55.18
Desviación Estándar 16.71 17.62
N 27 27
F 0.9
F crítica 0.51 Fuente: Datos calculados con los datos obtenidos en el trabajo de campo
En este caso muestra un valor crítico de 0.51 y el valor experimental es mayor a éste (0.9)
lo que indica que la variación es significativa, es decir que para los resultados de una
prueba y otra si difieren significativamente una de otra mostrando mejores resultados en el
postest, el decir que la varianza es significativa se traduce a que los cambios en las
puntuaciones son tan grandes que se consideran como dos grupos de alumnos diferentes
y éstas diferencias están dadas por las destrezas adquiridas por el programa de cálculo.
2. De la misma forma se presentan los resultados del grupo control el cual también fue
formado al azar desde el inicio del año, y estaba conformado con 27 alumnos, niños y
niñas entre 10 y 11 años de edad. El pretest fue aplicado el día 5 de septiembre y el
postest fue aplicado el día 10 de octubre
Los resultados de las prueba fueron calificados sobre 100 puntos.
El punteo máximo posible de la prueba es de 100 puntos y el mínimo de 0 puntos.
La tabla 4.3 muestra los punteos obtenidos en el pre test, y postest por el grupo control
42
Tabla 4.3. Resultados del nivel de exactitud operatoria en el pretest y postest del grupo control
Sujeto Pre-‐Test Post-‐Test 1 50 30 2 10 0 3 10 0 4 30 40 5 20 10 6 10 50 7 10 30 8 10 0 9 10 20 10 30 30 11 20 20 12 20 60 13 40 50 14 40 40 15 10 20 16 30 50 17 40 20 18 40 30 19 20 50 20 40 40 21 60 60 22 20 20 23 10 40 24 10 0 25 20 40 26 30 40 27 30 10 Media 24.81 29.63 Desviación 14.24 18.49 Moda 10 40
Fuente: Datos obtenidos en el trabajo de campo
Se puede observar que para el grupo control la media en el pretest es de 24.81 y en el
postest de 29.63 habiendo poca variación entre ambos test, resulta también interesante
ver que aunque la media aumentó en el post test la desviación también aumentó, lo que
43
muestra que los datos se dispersan de la media, pudiendo observarse notas mucho
mayores a la media, pero también muy bajas.
Partiendo de los datos de las pruebas del grupo control se presenta a continuación en la
tabla 4.4 que muestra la diferencia entre ambas pruebas por medio de una prueba F.
Tabla 4.4.
Prueba F para varianza entre dos muestras entre las medias del pre y postest del grupo
control.
Variable 1 Variable 2
Media 24.81 29.62
Desviación Estándar 14.24 18.49
N 27 27
F 0.59
F crítica 0.51 Fuente: Datos calculados con los datos obtenidos en el trabajo de campo La tabla muestra una mejora estadísticamente significativa entre las medias del grupo
control de 24.8 a 29.6, y esto se debe a que los alumnos continuaron con el curso de
matemáticas regular y sistemáticamente con estímulos similares al grupo experimental,
con la diferencia de que no fueron sistemáticos.
3. A continuación se presentan los resultados obtenidos según el estudio de varianza
entre dos grupos para saber si la prueba F establece índice de variación estadísticamente
significativa entre los grupos comparados, en éstos caso se comparará los resultados del
pretest para ambos grupos y los resultados del post test para ambos grupos.
44
Tabla 4.5. Resultados del nivel de exactitud operatoria en el pretest del grupo Experimental y Control.
Variable 1 Variable 2
Media 24.81 28.88
Desviación Estándar 14.24 16.71
N 27 27
F 0.72
F crítica 0.51 Fuente: Datos calculados con los datos obtenidos en el trabajo de campo
La tabla 4.5. indica una varianza estadísticamente significativa en los resultados del pretest
del grupo control y el grupo experimental , de Fc 0.51 y F 0.9, es decir que debido a la
diferencia de las puntuaciones se pueden considerar como dos poblaciones diferentes,
este aspecto se considera como una de las variables no controladas en el estudio ya que
ambos grupos son conducidos y enseñados por la misma maestra, recibiendo los mismos
periodos de clase a la semana, con actividades y estímulos similares y aún así las
diferencias que puedan surgir entre los grupos, no son controlables.
Tabla 4.6. Resultados del nivel de exactitud operatoria en el postest del grupo
experimental y control
Variable 1 Variable 2
Media 29.62 55.18
Desviación estándar 18.49 17.62
N 27 27
F 1.10
F crítica 1.92 Fuente: Datos calculados con los datos obtenidos en el trabajo de campo
La tabla 4.6 muestra una varianza no significativa entre el pre y postest aplicada al grupo
experimental, ya que el valor crítico es de 1.92 y el parámetro experimental es menor a
éste límite (1.10). Aunque puede observarse que las medias difieren bastante una de la
45
otra (29.62 y 55.18) las desviaciones de ambas medias son bastante grandes (18.49 y
17.62 respectivamente) lo que provoca que el intervalo de varianza significativa se
extienda pudiendo entonces coincidir ambas muestras dentro de los parámetros
establecidos, considerando entonces a ambos grupos parte de una misma población.
46
V. DISCUSIÓN DE RESULTADOS
En este capítulo se analizan los resultados obtenidos al evaluar el nivel de exactitud
operatoria de los y las estudiantes de cuarto primaria antes y después de aplicar un
programa de cálculo mental. Dicho programa pretendía aumentar el nivel de exactitud
operatoria de los estudiantes ya que es sabido de que las dificultades que los escolares
presentan desde pequeños en matemáticas son muchas, pero diversos estudios han
comprobado que algunas se deben al cálculo aritmético (Bernabeu, 2005). En este estudio
se logró comprobar que si se estimula destrezas de cálculo, mejora la exactitud operatoria,
esto se comprobó con los resultados del grupo experimental, ya que en el pretest se
obtuvo un promedio de 28.88 (desviación de 16.7) y luego de recibir un programa
sistemático de cálculo mental la media aumentó a 55.18 (desviación de 17.6).
De acuerdo con Piaget, citado por Papalia (2004), los niños y niñas de 10 a 12 años, que
se encuentran en la etapa tienen un pensamiento tan concreto y tan vinculado a una
situación particular, que no pueden transferir con facilidad, lo que han aprendido acerca de
un tipo de conservación, a otro tipo, aún cuando los principios subyacentes, sean los
mismos. En este caso Piaget sostiene que el dominio de habilidades como la
conservación, depende de la maduración neurológica, y de la adaptación al ambiente, y
que no está vinculado a la experiencia cultural.
El Procesamiento de la información, fue investigado por Piaget, quien concluyó que el
procesamiento de la información más eficiente, facilita el aprendizaje y el recuerdo. Las
diferencias en la eficiencia del procesamiento ayuda a dar cuenta del rango de
puntuaciones en las pruebas de inteligencia.
Otras investigaciones afirman que la forma en que el cerebro de un niño de 10 años
almacena la información es universal, aunque la eficiencia del sistema, varía de una
persona a otra, Siegler, citado por Papalia, (2004).
Por tal razón las diferencias de las puntuaciones del pretest entre el grupo control (24.81),
al grupo experimental, (28.88), fueron significativas de un grupo al otro, y esto se debe a
que cada niño procesa la información de diferente forma variando de un niño a otro y que
aunque al parecer reciben los mismo estímulos, las mismas instrucciones, forman parte de
la misma institución, son enseñados por la misma maestra, entre otros, se consideran
como dos grupos diferentes por las puntuaciones que presentan.
47
Reinhardt (2009), asegura que el desarrollo del cálculo mental es indispensable, y es una
destreza que se puede enseñar desde que el niño o niña es pequeño, y consiste en hacer
estimaciones únicamente utilizando la mente, sin hacer uso de ningún apoyo, como lo es
los dedos de la mano, tablas de cálculo o la calculadora. Esta investigación fue el sustento
del presente trabajo en donde el cálculo de las operaciones que se propusieron en cada
sesión, se realizó sin usar apoyo de los dedos, sino únicamente la mente.
Chávez y Gómez (2009), aseguran que el efecto del juego dentro del marco escolar es
muy positivo, y sobre todo si se realiza en las actividades de cálculo mental. Ellos afirman
que las actividades lúdicas, facilitan la construcción del conocimiento matemático, cuando
se plantea en un entorno constructivista de interacción entre los participantes, concluyendo
que el juego no debe faltar en las clases regulares de matemáticas. Por otro lado
Caballero (2006), concluyó que los niños conforme son mayores resuelven las
operaciones de mejor manera que los niños pequeños y que todos los niños tienen
conocimientos informales de las operaciones aritméticas, por lo que, las clases formales se
deben de relacionar en todo momento con actividades del diario vivir, para luego relacionar
las características de ese conocimiento vinculándolo con la enseñanza posterior de los
conocimientos formales. Asimismo el problema del currículo reside en que olvida los
conocimientos informales que construyen los niños sobre la adición, sustracción,
multiplicación y división a través de las experiencias de “repartir”, “quitar” y “añadir”, entre
otras, antes de conocer los algoritmos y que cuando llevamos ese conocimiento a
relacionarlo con problemas de acción los niños los resuelven sin ninguna dificultad.
Arieta (1995), asegura que las causas del bajo rendimiento de los alumnos se deben a
factores como la metodología del profesor, el nivel cultural, las condiciones familiares, el
entorno del niño, el auto concepto académico, la autoestima escolar, así como la
confianza, seguridad y el carácter, condicionan el rendimiento de la materia y que el
género no influye en el rendimiento en matemáticas.
Por lo anterior, en esta investigación se propuso una metodología de enseñanza del
cálculo mental con sesiones cortas de 15 minutos, presentadas en forma de juego y
competencias, donde cada alumno, relacionaba problemas del diario vivir, haciendo
48
cálculos de forma divertida y a la vez ejercitaba el cálculo aritmético dando como resultado
una mejora sustancial en la exactitud de sus operaciones matemáticas. Asimismo las
actividades se diseñaron para que tanto niños y niñas experimentaran éxito para que el
auto concepto y la autoestima académica se incrementara en cada participante del
programa. Con la metodología utilizada se pudo demostrar el efecto de las actividades
lúdicas relacionadas con conocimientos previos y problemas de la vida real, en el
desarrollo de destrezas de cálculo, se compararon los resultados de los post test de
ambos grupos (experimental 55.18, control 29.63) estos resultados demuestran que una
actividad diferente, sistemática y atractiva conduce a los niños a un mejor desarrollo de
destrezas numéricas que se reflejarán en la obtención de un mejor punteo.
La implementación de un programa de cálculo mental de forma sistemática en niños y
niñas de cuarto primaria dentro del curso de matemáticas, fue motivado por las
investigaciones de Lozano (2001), en donde afirma que un programa de cálculo mental
ayuda a los escolares a desarrollar el sentido numérico y entender las operaciones con
números multidígitos y constituyen la base lógica para almacenar en la memoria a largo
plazo, y las combinaciones numéricas de suma y resta. Asimismo determinó que las
estrategias de memorización aumentan con la edad y disminuyen las estrategias de conteo
por lo que la práctica del cálculo con los ejercicios propuestos en el programa, apoyaría en
gran manera a los sujetos de la investigación. En la presente investigación se trabajó con
dos grupos, el experimental, el cual estuvo sujeto a 25 sesiones de 15 minutos en donde
se desarrollaron destrezas de cálculo, obtuvieron una mejoría en su promedio como puede
observarse (28.88 – 55.18); mientras que el grupo control estuvo sujeto a el desarrollo
normal de clase con estímulos no sistemáticos obtuvieron también una mejoraría en sus
resultados (24.81 – 29.63). La mejora en ambos grupos se debe a que cada alumno se
encuentra en el proceso final del ciclo escolar y cada estudiante muestra una necesidad
individual de aprobar el curso, ya que algunos necesitan puntear alto para aprobar la
asignatura, y algunos ya la tienen aprobada. Asimismo cada estudiante hizo un esfuerzo
individual que no depende del estímulo proporcionado por el maestro o el programa en sí
Al observar la tabla los resultados obtenidos del pre y postest del grupo experimental el
valor de la media se duplicó del pretest (28.88) al postest,(55.18) y la desviación se
mantuvo similar en ambos casos. Los datos comprueban la afirmación de Hernández y
49
Garia (2006), quienes recomiendan el uso de un manual de ejercicios pre matemáticos y
matemáticos para mejorar los procesos cognitivos en niños y niñas de edad escolar. El uso
de un instrumento como lo es un manual o un programa de ejercicios que desarrollan el
cálculo favorecen el desarrollo cognitivo de niños y niñas que presentan dificultades de
cálculo. Asimismo las investigaciones de Faura (2006), quien concluye que el cálculo
mental se convierte en una estrategia didáctica para darle sentido y significado a la
comprensión del número, su representación, las relaciones que existen entre ellos y las
operaciones que se efectúan en cada uno de los sistemas numéricos. Asimismo al facilitar
una serie de estrategias a los estudiantes en un programa de cálculo se obtienen mejores
resultados en las pruebas objetivas y a la hora de dar una respuesta segura o aproximada
de una situación de la vida diaria, despierta el interés de los estudiantes hacia el cálculo
mental y su punto de vista hacia las matemáticas.
La implementación del programa de cálculo mental, para mejorar la exactitud operatoria,
no incluyó el planteamiento de problemas escritos. Sierra (2003) en su investigación
afirma que un programa de cálculo mental, no ayuda a desarrollar destrezas de resolución
de problemas escritos pero sí estimula destrezas de pensamiento especialmente, las de
razonamiento abstracto tales como el ir de lo conocido a lo desconocido, eliminar
posibilidades, el uso de analogías y semejanzas, descubrir el patrón y modificar el
problema. Por esta razón el programa de cálculo mental que se implementó en cuarto
primaria no incluyó en sus actividades el planteamiento de problemas escritos, ya que lo
que se pretendía era mejorar la exactitud operatoria en los algoritmos de las operaciones
de suma, resta, multiplicación y división.
Ardón (2012), afirma que si se implementa efectivamente un programa de estrategias de
elaboración dentro del curso de matemática se incrementa de forma significativa la
competencia de resolución de problemas. Por lo tanto es importante complementar los
programas de enseñanza de las matemáticas con la aplicación de estrategias cognitivas
de elaboración para resolver problemas ya que los mismos se presentan constantemente
en la vida diaria de los estudiantes.
50
Las conclusiones de la investigación de Bernabeu (2005), Silva (2007), y Reinhardt
(2009), coinciden cuando aseveran que las destrezas de cálculo mental se deben
empezar a desarrollar desde que el niño es pequeño, acompañado de destrezas
psicomotrices y en cada una de las destrezas se deben incluir elementos novedosos y
atractivos para los niños, concluyendo que los docentes deben hacer conciencia que el
cambio de la enseñanza inicia con el cambio en los docentes, por lo que implementaron un
plan de mejora.
51
VI. CONCLUSIONES
A partir de los resultados obtenidos de esta investigación, se plantean las siguientes
conclusiones:
Al comparar los resultados del grupo experimental con los del grupo control, en el pretest y
el postest, se observa que la aplicación de un programa de cálculo mental en el curso de
Matemáticas aumenta el nivel de exactitud operatoria en los y las alumnas de cuarto
primaria de una institución educativa privada. Por lo anterior, se rechaza la hipótesis nula
general y se acepta la alterna correspondiente.
Al comparar los resultados del grupo experimental y del grupo control en el pretest, se
establece que existe diferencia estadísticamente significativa a nivel de confianza de 0.05
en el nivel de exactitud operatoria entre el grupo experimental y control de los y las
alumnas de cuarto primaria de una institución educativa privada antes de aplicar un
programa de cálculo mental. Por lo tanto, se acepta la hipótesis alterna y se rechaza la
hipótesis nula.
Al comparar los resultados del grupo experimental en el pretest y postest, se establece que
existe diferencia estadísticamente significativa a nivel de confianza de 0.05 en el nivel de
exactitud operatoria de los y las alumnas de cuarto primaria de una institución educativa
privada antes y después de aplicar un programa de cálculo mental. Por lo anterior, se
rechaza la hipótesis nula 2 y se acepta la alterna.
Existe diferencia estadísticamente significativa a nivel de confianza de 0.05 en el nivel de
exactitud operatoria del grupo control, de los y las alumnas de cuarto primaria de una
institución educativa privada en el pretest y postest. Por lo anterior, se rechaza la hipótesis
nula 3 y se acepta la hipótesis alterna.
Al comparar los resultados del grupo experimental y del control en el postest, se determinó
que existe diferencia estadísticamente significativa a nivel de confianza de 0.05 en el nivel
de exactitud operatoria de las y los alumnos de cuarto primaria de una institución educativa
privada. Por lo tanto se rechaza la hipótesis nula 4 y se acepta la alterna.
Las actividades lúdicas, con enfoque psicomotriz, relacionadas con problemas del diario
52
vivir y actividades de cálculo mental dentro del curso de matemáticas favorecen el
desarrollo de destrezas numéricas e incrementan el gusto por la materia.
La implementación de un programa de cálculo mental de forma sistemática en los períodos
de matemática incrementan la exactitud operatoria y garantizan mejores resultados en las
pruebas objetivas, despertando el interés de los estudiantes hacia el cálculo mental y su
punto de vista hacia las matemáticas.
El desarrollo de un programa de cálculo mental propicia una interacción positiva entre los
estudiantes y el docente, favoreciendo el clima de trabajo dentro del aula.
53
VII. RECOMENDACIONES
El aumento de nivel de exactitud operatoria de las y los estudiantes de cuarto primaria de
una institución educativa privada, después de desarrollar un programa de cálculo mental
en el curso de Matemáticas, permite ofrecer las siguientes recomendaciones:
A los estudiantes
• Utilizar la mente para realizar cálculos aritméticos, sin el apoyo de los dedos o tablas
de cálculo.
• Participar activamente en las actividades de cálculo dentro del aula.
• Evitar el uso de calculadora, cuando se realizan las tareas escolares.
A los docentes
• Incluir en los grados de primaria actividades de cálculo mental al inicio de cada
período de matemáticas en sesiones de 10 minutos.
• La actividad lúdica, como adivinanzas matemáticas, retos, competencias en las
actividades de cálculo mental, favorecen la interacción entre los estudiantes y el
docente lo que ayuda crear un ambiente positivo antes de cada período de clase.
• Un programa de cálculo mental debe de desarrollarse desde el inicio del ciclo
escolar, en forma diaria y sistemática, para favorecer la exactitud operatoria.
• El programa de cálculo mental en los grados de primaria, se debe contextualizar a las
necesidades de los y las estudiantes, nivel y realidad del centro escolar donde se
utilice.
• El programa de cálculo mental se debe desarrollar desde que los niños y niñas son
pequeños, para lograr un resultado positivo en los grados superiores.
• Las actividades de cálculo mental se pueden desarrollar de forma oral y escrita sin
utilizar ningún tipo de apoyo como los dedos o tablas de cálculo.
• Cada docente puede utilizar el programa de cálculo como un apoyo novedoso a su
quehacer docente.
54
A la Coordinación académica de los centros educativos:
• Capacitar a los docentes en el uso de estrategias de cálculo mental dentro de los
períodos de matemáticas
• Implementar el programa de cálculo mental, en los períodos de matemáticas desde
los grados inferiores.
• Velar porque el programa se lleve a cabo de forma diaria, y sistemática dentro de los
períodos de clase.
A otros investigadores:
• Utilizar esta investigación, como apoyo para crear sus propios programas de cálculo
mental.
• Complementa el programa de cálculo con otras actividades novedosas que lo puedan
enriquecer.
55
IV. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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del estudio de la memoria humana. Revista latinoamericana de investigación de
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Ardón, D. (2012). Enseñanza de estrategias de elaboración dentro de la asignatura de
matemática y su influencia en la competencia de resolución de problemas en
alumnos de quinto bachillerato del Liceo Javier que presentan bajo rendimiento
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su influencia en el pensamiento analítico. Tesis inédita. Universidad Rafael
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sexto de la educación básica. Tesis inédita, Fundación Universitaria Internacional
del Trópico Americano. Colombia.
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Tesis inédita. Universidad de San Carlos. Guatemala.
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estudiante del ciclo básico, del Instituto Oficial Mixto Básico Leonidas Méncos Ávila.
Tesis inédita, Universidad de San Carlos. Guatemala.
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Tesis inédita, Universidad Rafael Landívar: Guatemala.
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Talizinia, N. (2006). La formación de las habilidades del pensamiento matemático . México:
Universidad Autónoma de San Luis Potosí.
59
ANEXOS
60
Anexo 1
PRUEBA OBJETIVA
MATEMÁTICAS
CUARTO PPRIMARIA
Nombre_______________________________Sección___________
Fecha________________
INSTRUCCIONES: A continuación encontrarás una serie de operaciones. Tendrás 25
minutos para resolverla. Si en caso terminaras antes, revisa el procedimiento efectuado en
cada operación.
a) 16, 284 b) 21 038, 251
3, 819 65, 819
+ 27, 385 + 374, 699
b) 1721 926, 006 d) 1831 000, 000
− 81 999, 452 − 921 978, 699
e) 679, 234 f) 51 822, 432
x 68 x 579
61
g) 39 567,918 h) 50 988,350
i) 355 + 68 X 8 - 540 ÷ 5 = j) 23,587 - 4,789 + 35 X 7 + 111 ÷ 3 =
62
CLAVE Y PONDERACIÓN
PRUEBA OBJETIVA
MATEMÁTICAS
CUARTO PPRIMARIA
Nombre_______________________________Sección___________
Fecha________________
INSTRUCCIONES: A continuación encontrarás una serie de operaciones. Tendrás 25
minutos para resolverla. Si en caso terminaras antes, revisa el procedimiento efectuado en
cada operación. PONDERACIÓN: 10 OPERACIONES, A 10 PUNTOS CADA UNA, 100 PUNTOS
c) 16, 284 b) 21 038, 251
3, 819 65, 819
+ 27, 385 + 374, 699
47,488 21 478,769
d) 1721 926, 006 d) 1831 000, 000
− 81 999,452 − 921 978, 699
1631926, 554 901 021,301
e) 679, 234 f) 51 822, 432
x 68 x 579
461 187, 912 3,3711 188,128
63
14,562 19,767 g) 39 567,918 h) 50 988,350
j) 355 + 68 X 8 - 540 ÷ 5 =
355 + 544 – 108 = 899 – 108 = 791 j) 23,587 - 4,789 + 35 X 7 + 111 ÷ 3 = 23,587 - 4,789 + 245 + 37 =
18,798 + 245 +37 = 19,043 + 37 = 19,080
64
Anexo 2
Las destrezas de cálculo mental se pueden desarrollar desde la temprana edad. Un
programa de cálculo mental, según el Gobierno de la ciudad de Buenos Aires
(2004), es el “conjunto de procedimientos que, analizando los datos por tratar, se
articulan sin recurrir a un algoritmo preestablecido, para obtener resultados exactos
o aproximados”, Es decir, se caracteriza por la presencia de una diversidad de
técnicas que se adaptan a los números que están en juego, y a los conocimientos
que la persona tenga previamente. Es instalar una práctica que requiera diferentes
estrategias basadas en propiedades de la numeración decimal y de las
operaciones. Al desplegar estas estrategias en una situación específica, se favorece
el análisis de las relaciones involucradas en las mismas.
En esta investigación, el programa se desarrollará dentro del curso de matemáticas
que se imparte a cuarto primaria. Tendrá una duración de 25 sesiones, de lunes a
viernes, durante los primeros 20 minutos del período de 50 minutos. En cada
sesión, realizarán ejercicios que desarrollarán destrezas de cálculo en los alumnos.
Estas se plantearon con base al Gobierno de la ciudad de Buenos Aires (2004),
desarrolladas en Argentina.
PROGRAMA DE CÁLCULO MENTAL PROGRAMA EXPERIMENTAL 1 . DATOS GENERALES LUGAR: INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA FECHA: 29 DE AGOSTO AL 7 DE OCTUBRE GRADO: 4 PRIMARIA CICLO ESCOLAR: 2011 2 . DESCRIPCIÓN:
65
Desarrollar en los y las alumnas de cuarto primaria, destrezas de cálculo mental,
que los ayuden a resolver problemas matemáticos que se les presentan día con día.
• Hojas de trabajo de cálculo mental, una para cada alumno.(adjuntas)
• Pizarrón.
• Marcadores de colores
• Fotocopias (27 diarias durante 25 días)
• Fólder para cada alumno
3 . OBJETIVOS DEL PROGRAMA OBJETIVO GENERAL:
4 . MATERIALES Y RECURSOS
66
DESARROLLO DEL PROGRAMA DOSIF ICACIÓN DIARIA SESIÓN DESTREZA A
DESARROLLAR TEMA ACTIVIDAD
No. 1 Relación de suma y resta
Adivinar el número Se plantean adivinanzas relacionando sumas y restas combinadas y el alumno debe descubrir el número.
No. 2 Cálculo mental utilizando centenas
Descomponer numerales
Descomponer numerales hasta los millares.
No. 3 Sumas y restas con números particulares
Sistema decimal Utilizar sistema base 10 para calcular resultados exactos.
No. 4 Estimaciones Estimaciones con unidades, decenas y centenas
Utilizar unidades, decenas y centenas para estimar resultados exactos.
No. 5 Estimaciones numéricas
Sumar y restar con múltiplos de 25
Utilizar los múltiplos de 25 para calcular sumas y restas.
No. 6 Estimación de diferencias
Calcular la distancia entre dos numerales
Valerse de la resta, para descubrir la distancia entre un número y otro.
No. 7 Cálculo de doble y mitad
Multiplicación por 2 y división entre dos
Calcular mitades y dobles de diferentes cantidades.
No. 8 Multiplicar dígitos Tabla de asociación de dígitos
Relacionar factores de una cifra, y descubrir los productos.
No. 9 Utilización de tabla pitagórica
Estimación de productos
Estimar productos por medio de una tabla pitagórica.
67
No. 10 Estimación de cocientes
Divisiones exactas Encontrar cocientes por medio de la multiplicación.
No. 11 Estimación de productos
Multiplicación abreviada
Multiplicar de forma abreviada por potencias de 10 con decenas.
No. 12 Estimación de productos
Multiplicación abreviada
Multiplicar de forma abreviada por potencias de 10 con decenas.
No. 13 Multiplicar con números particulares
Multiplicaciones con factores de dos y tres cifras
Utilizar aproximaciones para resolver productos.
No. 14 Cálculos a partir de un número conocido
Estimación de productos a partir de números conocidos
Estimar productos de dos cifras partiendo de números conocidos
No. 15 Cálculos a partir de un número conocido
Estimación de productos a partir de números conocidos
Estimar productos de tres cifras partiendo de números que ya conocen
No. 16 Cálculos a partir de un número conocido
Estimación de productos a partir de números conocidos por descomposición
Descomponer un número y estimar los productos indicados.
No.17 Estimación de cocientes
Estimación de cocientes por descomposición
Descomponer un número y estimar los cocientes de una cifra.
No. 18 No. 19
Estimación de cocientes Estimación de cocientes por aproximación
Estimación de cocientes por descomposición Cocientes de dos y tres cifras
Descomponer un número y estimar los cocientes indicados de dos cifras . Estimar cocientes aproximando a la decena o centena superior.
68
No. 20 Descubrir números por medio de la descomposición
Cantidades de 2, 3 y 4 cifras
Sumar y restar números utilizando la descomposición numérica.
No.21 Descomponer cantidades de más de 4 cifras
Descomponer números de más de 4 cifras para poder hacer cálculos numéricos
Hacer cálculos numéricos con números de 5, 6 y 7 cifras.
No. 22 Multiplicación y división Multiplicación y división por y entre 10, 100, 1000 y 10000
Hacer cálculos mentales de forma abreviada utilizando las potencias de 10, con números de 3 cifras.
No. 23 Multiplicación y división Multiplicación y división por y entre 10, 100, 1000 y 10000
Hacer cálculos mentales de forma abreviada utilizando las potencias de 10, con números de 4 y 5 cifras.
No. 24 Multiplicación y división Multiplicación y división por y entre 10, 100, 1000 y 10000
Hacer cálculos mentales de forma abreviada utilizando las potencias de 10, con números de 6 y 7 cifras.
No. 25 Suma, resta, multiplicación y división
Repaso de operaciones fundamentales
Combinar destrezas aprendidas, para resolver operaciones fundamentales
69
Anexo 3
Actividad 1 CONTENIDOS Construcción y difusión de diferentes estrategias de cálculo para distintas clases de problemas de suma y resta en un mismo contexto. EL JUEGO DE “ADIVINAR EL NÚMERO” En este juego, el docente plantea “adivinanzas” que los alumnos deberán responder. Estas
“adivinanzas” requieren apelar a la relación entre suma y resta: dados dos elementos de
una suma, hay que determinar el tercero.
Pienso un número, le agrego 30, y obtengo 70. ¿Cuál es el número que pensé?
Algunos ejemplos de “adivinanzas” para ir planteando sucesivamente:
a) Pienso un número, le quito 200 y obtengo 700. ¿Qué número pensé?
b) Al número 300 le agrego otro número y obtengo 1.000. ¿Qué número le agregué?
c) Al número 6.000 le resto un número y obtengo 2.000. ¿Qué número le resté?
d) Pienso un número, le agrego 100 y obtengo 450. ¿Qué número pensé?
e) Pienso un número, le agrego 3.000 y obtengo 8.000. ¿Qué número pensé?
f) Pienso un número, le resto 900 y obtengo 100. ¿Qué número pensé?
g) Pienso un número, le agrego 250 y obtengo 600, ¿qué número pensé?
h) Pienso un número, le quito 150 y obtengo 450, ¿qué número pensé?
i) A 450 le agrego 250, ¿qué número obtengo?
j) A 900 le quito 450, ¿qué número obtengo?
k) A 470 le agrego 140, ¿qué número obtengo?
l) A 530 le quito 150, ¿qué número obtengo?
HOJAS DE TRABAJO PROGRAMA DE CÁLCULO MENTAL
ESTE PROGRAMA FUE ELABORADO PARA USOS DE LA INVESTIGACIÓN. ALGUNOS EJERCICIOS FUERON TOMADOS DEL PLAN PLURIANUAL PARA LA ENSEÑANZA ARGENTINA 2004 – 2007
70
Actividad 2
71
Actividad 3
Sumas y restas con números particulares
Actividad 4
Estimaciones
72
Actividad 5
Actividad 6
Cálculo de distancias entre números
73
Actividad 7
Dobles y Mitades
Actividad 8
Multipliquemos
74
Actividad 9
Tabla Pitagórica para resolver divisiones
75
Actividad 10
Multiplicaciones por 10, 100 y 1000
76
Actividad 11
Multiplicaciones por 10, 100 o 1000
77
Actividad 12
Multiplicaciones por 10, 100 o 1000
78
Actividad 13
Multiplicar por números particulares
79
Actividad 14 Cálculos a partir de un número conocido
80
Actividad 15 Cálculos a partir de un número conocido
81
Actividad 16 Cálculos a partir de un número conocido
82
Actividad 17 Estimación de cocientes
83
Actividad 18 Estimación de cocientes Escribe entre qué rango se estima cada uno de los cocientes. No olvides hacerlo de forma mental
84
Actividad 19 Estimación de cocientes
85
Actividad 20 Armando números con descomposiciones de 10, 100 o 1000
86
Actividad 21 Descomposición de números más grandes. El 10,000
87
Actividad 22 Sistema de numeración. Multiplicación y división por 10, 100 y 1000
88
Actividad 23 Sistema de numeración. Multiplicación y división por 10, 100 y 1000
89
Actividad 24 Sistema de numeración. Multiplicación y división por 10, 100 y 1000
90
Actividad No. 25 Operaciones combinadas 8,212 + 18 X 8 - 40 ÷ 5 = 12,000 - 60 X 5 + 1,200 ÷ 5 = 30 X 5 + 40 X 8 + 80 X 3 = 23,500 - 4,000 + 35 X 7 + 111 ÷ 3 = 11,500 + 7,300 - 104 X 2 + 388 ÷ 2 =