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Programa de Algebra Superior Caracterización de la asignatura: Esta materia se agregó al plan de estudios de las ingenierías como reforzamiento de las bases matemáticas para mejorar el aprendizaje de los estudiantes en la materias de matemáticas posteriores al algebra elemental. Competencias específicas a desarrollar (Objetivo (s) General (s) del Curso): Proporcionar los conocimientos teórico-prácticos que permitirán desarrollar la capacidad de razonamiento, así como, transitar del pensamiento abstracto a lo concreto. Además de conocer e identificar la representación de números por letras y las aplicara en disciplinas afines. Contenido temático de la unidad: Unidad 1. Operaciones básicas con polinomios 1. Notación y terminología algebraica
1.1.1 Expresiones algebraicas (Lenguaje común y lenguaje algebraico) 1.1.2 Signos del algebra (signos de operación, de relación y agrupación) 1.1.3 Concepto de expresión algebraica y sus elementos (signo, coeficiente, parte literal, exponente o potencia). 1.1.4 Evaluación de expresiones
1.2 Operaciones fundamentales 1.2.1 Concepto de términos semejantes y no semejantes 1.2.2 Adición y sustracción de monomios y polinomios 1.2.3 Adición y sustracción de monomios y polinomios con signos de agrupación 1.2.4 Multiplicación de monomios y polinomios 1.2.5 División de monomios y polinomios
1.3 Productos notables
1.3.1 Binomio al cuadrado 1.3.2 El producto de una suma de dos cantidades por la diferencia de las mismas 1.3.3 El producto de dos binomios con término común 1.3.4 El producto de dos binomios con términos semejantes 1.3.5 Binomio al cubo
1.3.6 Trinomio al cuadrado Unidad 2. Factorización de polinomios 2.1 Factores comunes a todos los términos 2.2 Factorización de trinomio cuadrado perfecto 2.3 Factorización de diferencia de cuadrados
2.4 Factorización de la forma
2.5 Factorización de un trinomio de la forma 2.6 Factorización de suma o diferencia de cubos Unidad 3. Fracciones algebraicas 3.1 Simplificación de fracciones algébricas 3.2 Adición de fracciones algebraicas con denominadores iguales 3.3 mínimo común múltiplo de polinomios 3.4 Adición de fracciones algebraicas con denominadores diferentes 3.5 Multiplicación de fracciones algebraicas 3.6 División de fracciones Algebraicas 3.7 Operaciones combinadas y fracciones complejas Unidad 4. Exponentes y Radicales 4.1 Exponentes fraccionarios positivos 4.2 Exponentes cero y negativos 4.3 Definición y notación de radicales 4.4 Forma estándar de radicales 4.5 Combinación de radicales 4.6 Multiplicación de radicales 4.7 División de radicales Unidad 5. Ecuaciones, sistemas de ecuaciones lineales y ecuaciones cuadráticas 5.1 Ecuación
5.1.1 Concepto de ecuación 5.1.2 Solución de ecuaciones de primer grado con una incógnita 5.1.3 Despeje de fórmulas
5.2 Sistema de ecuaciones lineales 5.2.1 Definición 5.2.2 Método gráfico con dos incógnitas 5.2.3 Método de adición o sustracción con dos incógnitas 5.2.4 Método de igualación con dos incógnitas 5.2.5 Método de sustitución con dos incógnitas 5.2.6 Método por determinantes con dos incógnitas 5.2.7 Método por determinantes con tres incógnitas 5.2.8 Método por reducción determinantes con tres incógnitas
5.3 Ecuaciones cuadráticas 5.3.1 Concepto 5.3.2 Solución de ecuaciones cuadráticas por factorización 5.3.3 Solución de ecuaciones cuadráticas completado el cuadrado 5.3.4 Solución de ecuaciones cuadráticas por fórmula general
Unidad 1. Operaciones básicas con polinomios Algebra. Es la rama de las matemática que estudia la cantidad considerada del modo mas general posible.
1. Notación y terminología algebraica Notación algebraica. Son los símbolos usados en algebra para representar las cantidades que son números y letras. Expresión algebraica. Es la representación de un símbolo algebraico o de una o más operaciones. 1.1.1 Expresiones algebraicas (Lenguaje común y lenguaje algebraico)
Lenguaje común. Es el que utilizamos a través de un código o lenguaje, por lo que a partir se este podemos comunicarnos. Lenguaje algebraico. Es el que estructura un idioma que ayude a generalizar las diferentes operaciones que desarrolla dentro de la aritmética. El lenguaje algebraico ayuda a mantener las relaciones generales para razonamiento de problemas a los que se puede enfrentar cualquier se humano en la vida cotidiana. Para poder manejar el lenguaje algebraico es necesario comprende lo siguiente:
Se usan todas las letras del alfabeto
Las primeras letras del alfabeto se determinan por regla general como constante, es decir, cualquier número o constante como el vocablo pi ( .
Por lo general las letras x, y y z se utilizan como las incógnitas o variables de la función o expresión algebraica.
Términos para identificar las operaciones en lenguaje algebraico. Suma: adición, aumentar, sumar, añadir, exceder, mas agregar. Resta: sustraer, diferencia, menos, disminuir, menos que, menos de, quitar, reducir. Multiplicación: Producto, por, multiplicado por, tantas veces, el producto de, incrementar, los vocablos: doble, triple, cuádruplo, etc. División: cociente, entre, dividido por, razón de, fracción, parte, reparto, mitad, tercio, cuarto, etc. Otros términos: Semi (indica la mitad de algo) Al cuadrado o el cuadrado de (elevado a la 2) Al cubo o el cubo (elevado a la tres) Igual o equivalente (igualdad) Consecutivos o sucesor (siguiente) Antecesor (antes de) Simétrico (Inverso aditivo) Reciproco (Inverso multiplicativo) Anote el lenguaje algebraico a partir de las expresiones del lenguaje común
Lenguaje común Lenguaje algebraico
Un número cualquiera
El doble de un número
El triple de un número
La mitad de un número
Un tercio de un número
Un número al cuadrado
Un número al cubo
La suma de dos números consecutivos
El doble producto de dos números cualquiera
Un número mas el triple del mismo número es igual a 18
La raíz cuadrada de la diferencia de dos números cualquiera
La diferencia de dos cuadrados
Un numero disminuido en 6
El cociente de dos números
Cinco veces el cubo de un número aumentado en 4
La raíz cubica de un numero
La raíz cuadrada del producto de tres números
El doble de la diferencia de dos números
Cuatro veces la diferencia de dos cuadrados
Tres veces la diferencia de dos cubos
El producto del cuadrado de un número por la suma de otros dos
El cubo de la mitad de un número
El cuadrado de la tercera parte de un número
La suma de los ángulos complementarios es igual a 180
La hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los catetos al cuadrado
La suma de los ángulos interiores de un triangulo es 180
El triple de un número al cuadrado
La mitad de la suma de dos números
La diferencia de dos números al cubo
El producto de dos números dividido entre otro número cualquiera
La raíz cuadrada de la suma de dos números cualquiera elevados cada uno de ellos al cuadrado
La diferencia de dos números elevados al cuadrado
El doble de un numero al cubo
El cuadrado de un número mas el doble producto de dos números
Anote el lenguaje común a partir de las expresiones del lenguaje algebraico.
Lenguaje algebraico Lenguaje común
a Un número cualquiera
b Un número cualquiera
a+b La suma de dos números o la adición de dos números
a-b+c La suma de dos números cualesquiera menos otro numero cualquiera
a-b La resta de dos números o la diferencia de dos números
a.b El producto de dos números
ab El producto de dos números
a/b El cociente de dos números
2a El doble de un número
3(a+b) El triple de la adición de dos números
La mitad de un número
La tercera parte de la diferencia de dos números
La tercera parte de la suma de dos números
El cuadrado de un número
El cubo de un número
2b+5d El duplo de b mas el quíntuplo de d
El triple de m menos la tercera parte de m
20 aumenta mas el doble de a
El reciproco de un número
El reciproco de la suma de dos números
Participación 1 lenguaje común a lenguaje algebraico Una tabla de 8 metros es cortada en dos pedazos. Un pedazo es tres metros más largo que el otro. ¿Cuál es la longitud de cada pedazo?
El perímetro de un triangulo escaleno es de 52 metros. Un lado es el doble de otro y el tercero es de 7 unidades mayor que el segundo. ¿Cuánto mide cada lado? Exprese los siguientes enunciados en notación algebraica. 1.- Tres veces x mas dos veces y ______________________ 2.- Dos veces x mas cinco veces y ______________________ 3.- La suma de x y cuatro veces y ______________________ 4.- La suma de cuatro veces x y siente veces y ______________________ 5.- Ocho veces x menos y ______________________ 6.- Seis veces x menos dos veces y ______________________ 7.- Tres veces x menos diez veces y ______________________ 8.- sustraer ocho veces x de y ______________________ 9.- Cuatro veces la suma de x y y ______________________ 10.- Dos veces z más cinco veces la suma de x y y ______________________ Exprese los siguientes expresiones algebraicas en lenguaje común.
Exprese los enunciados siguientes en notación algebraica 1.- El área A de un triángulo es igual a la mitad del producto de su base b y su altura h. 2.- El volumen V de una esfera es igual a pi veces los cuatro tercios del cubo de su radio. 3.- El volumen V de u cilindro circular recto es igual a pi veces el producto del cuadrado de su radio r y su altura h. 4.- El área de la superficie S de una esfera es igual al producto de pi y cuatro veces el cuadrado de su radio r 5.- La velocidad V es igual a producto de la distancia d por el tiempo t
1.1.2 Signos del algebra (signos de operación, de relación y agrupación) Los signos empleados en Algebra son de tres clases: signos de operación, signos de relación y signos de agrupación.
Signos de operación Signos de relación Signos de agrupación
Suma a + b Resta a – b Multiplicación ab, a*b División
Potencias
Extracción de raíces √
= igual a < menor que > mayor que menor igual que
mayor que
aproximadamente igual
El paréntesis ( ) El corchete [ ] Las llaves { }
1.1.3 Concepto de expresión algebraica y sus elementos (signo, coeficiente, parte literal, exponente o potencia).
Expresión algebraica. Es la representación de un símbolo algebraico o de una o más operaciones algebraicas. Término. Es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos no separados
entres si por el signos + o - . Por ejemplo:
Los elementos de un término son cuatro: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado. El signo. Son términos positivos los que van precedidos del signo mas (+) y negativos los que van precedidos del signo menos (-) Son términos positivos:
Son términos negativos:
El signo + suele omitirse delante de los términos positivos. (Siempre y cuando no indique la operación de suma). Por tanto, cuando un término no va precedido de ningún signo es positivo. El coeficiente. Es el número que colocado delante de una literal indica la cantidad de veces que se multiplica esta. Por ejemplo 5x el coeficiente 5 la literal es x. La parte literal. Son las letras que haya en el término. Por ejemplo 5x la parte literal es x Grado de un término. Son los exponentes que constituyen a los factores literales. Es decir los numeritos que elevan a la literal indican el número de veces que se multiplica a la base. 1.1.4 Evaluación de expresiones Una expresión algebraica es un valor desconocido compuesto por letras, números y/o símbolos matemáticos para representar sumas (+), restas (-), multiplicación (×) o división (÷). Un número solo o una letra sola se consideran una expresión algebraica. Podemos tener una expresión verbal y traducirla a una expresión algebraica o simbólica. Podemos evaluarla si los valores numéricos de las variables son conocidos. Podemos simplificarlas utilizando algunas de las siguientes propiedades: conmutativa, asociativa, identidad, inverso, y distributiva. La evaluación de expresiones algebraicas, es el proceso que consiste en sustituir los valores numéricos asignados para las literales de una expresión algebraica y que al efectuar las operaciones indicadas se obtiene la evaluación correspondiente. Al efectuar la sustitución de las literales por los valores numéricos y al evaluar la expresión algebraica se utilizan la jerarquía de las operaciones para así obtiene el valor numérico de dicha expresión. JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES
1. Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves
2. Calcular las potencias y raíces
3. Efectuar los productos y cocientes
4. Realizar las sumas y restas
EJEMPLOS DE EVALUACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
Evalúa la expresión si de
Sustituir los valores en 3xyz=3(2)(-1)(3)=-18
Evalúa la siguiente expresión si para [ ]
Sustituir los valores conocidos
7[2(3+2)-(3-2)]=7[2(5)-(1)]=7[10-1]=7[9]=63
1.2 Operaciones fundamentales 1.2.1 Concepto de términos semejantes y no semejantes Términos semejantes. Es cuando dos o más términos tienen la misma parte literal e igual el exponente solo difieren del coeficiente. Por ejemplo: 2x y 3x, …, etc. Términos no semejantes. Es cuando dos o más términos no tienen la misma parte literal ni iguales exponentes. Por ejemplo: 2x y 3y, 5yz y –xy, etc. 1.2.2 Adición y sustracción de monomios y polinomios Reducción de términos semejantes. Es una operación que tiene por objeto convertir en un solo término dos o más términos semejantes.
Reducción de términos semejantes del mismo signo. Se suman los coeficientes, poniendo delante de esta suma el mismo signo que tienen todos y a continuación se escribe la parte literal. Reducción de términos semejantes de distinto signo. Se restan los coeficientes, poniendo delante de esta diferencia el signo del mayor y a continuación la parte literal. Reducción de más de dos términos semejantes de signos distintos. Se reducen a un solo término todos los positivos, se reducen a uno solo término los negativos y a los dos resultados obtenidos se restan y se aplica el signo del termino semejante mayor. La suma o adición. Es una operación que tiene por objeto reunir dos o más expresiones algebraicas (sumandos) en una sola expresión algebraica (suma). En algebra la suma puede significar aumento o disminución Regla general para sumar. Para sumar dos o más expresiones algebraicas se escriben unas a continuación de las otras con sus propios signos y se reducen los términos semejantes si los hay. Se pueden sumar las expresiones algebraicas en forma horizontal y en forma vertical. Los términos semejantes se ordenan en orden alfabético. En la practica, suelen colocarse los polinomios unos debajo de los otros de modo que los términos semejantes queden en columnas; se hace la reducción de estos, separándolo unos de otros con sus propios signos. Hallar la suma de:
La resta o sustracción. Es una operación que tiene por objeto, dada una suma de dos sumandos (minuendo) y uno de ellos (sustraendo), hallar el otro sumando (resta o diferencia) Regla general para restar. Se escribe el minuendo con sus propios signos y a continuación el sustraendo con los signos cambiados y se reducen los términos semejantes. Si los hay. De a restar b a-b De minuendo a restar sustraendo b minuendo - sustraendo Restar 2x de 10x 10x-2x minuendo 10x sustraendo 2x Restar 3 de -2 -2-3 =-5 Restar –a de 3a 3a-(-a)=3a+a=4a 1.2.3 Adición y sustracción de monomios y polinomios con signos de agrupación Uso de los signos de agrupación. Los signos de agrupación se emplean para indicar que las cantidades encerradas en ellos deben considerarse como un todo, o sea, como una sola. Regla general para suprimir signos de agrupación.
1) Para suprimir signos de agrupación precedido del signo mas (+) se deja el mismo signo que tengan a cada una de las cantidades que se hallan dentro de él. Por ejemplo:
2) Para suprimir signos de agrupación precedido del signo menos (-) se cambia el signo a cada una de las cantidades que se hallan dentro de él. Por ejemplo:
Nota: Cuando signos de agrupación están incluidos dentro de otros, se suprime uno en cada paso empezando por el más interior.
[ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ] Primero se suprime el vínculo
[ ] En segundo lugar suprime el paréntesis
[ ] En tercer lugar suprime el corchete
En cuarto lugar suprime las llaves
Se reducen los términos semejantes
Ejemplos de supresión de signos de agrupación. Simplificar, suprimir los signos de agrupación y reduciendo términos semejantes:
[ ] [ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅] [ ]
[ ]
[ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅] [ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ] [ ] 1.2.4 Multiplicación de monomios y polinomios La multiplicación es una operación que tiene por objeto, dadas dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador, hallar una tercera cantidad, llamada producto, que sea respecto del multiplicando en valor absoluto y signo, lo que el multiplicador es respecto de la unidad positiva. El multiplicador y multiplicando son llamados factores del producto. Ley conmutativa de la multiplicación: “El orden de los factores no altera el producto”. Ley de los signos para la multiplicación: Distinguiremos dos casos:
1) Signo del producto de dos factores: la regla es signos iguales da positivo y signos diferentes da negativo.
2) Signo del producto de más de dos factores. En este caso, la regla es: a. El signo del producto de varios factores es + cuando tiene un número par de factores
negativos o ninguno. b. El signo del producto de varios factores es – cuando tiene un número impar de factores
negativos. Ley de exponentes para la multiplicación. Para multiplicar potencias de la misma base se escribe la misma base y se le pone por exponente la suma de los exponentes de los factores. Por ejemplo
Ley de los coeficientes en la multiplicación. El coeficiente del producto de dos factores es el producto de los coeficientes de los factores. Por ejemplo: Casos de la multiplicación: Regla 1 Multiplicación de monomios. Se multiplican los coeficientes y a continuación de este producto se escriben las letras de los factores en orden alfabético, poniéndole a cada letra el exponente igual a la suma de los exponentes que tengan en los factores. El signo del término se anota aplicando la regla de los signos para la suma.
Regla 2. Multiplicación de un polinomio con un monomio. Se multiplican el monomio por cada uno de los términos del polinomio, teniendo en cuenta en cada caso la regla de los signos, y se separan los productos parciales con sus propios signos.
Regla 3. Multiplicación de dos polinomios. Se multiplican todos los términos de la multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador, teniendo en cuenta la ley de los signos, y se reducen los términos semejantes.
1.2.5 División de monomios y polinomios La división es una operación que tiene por objeto, dado el producto de dos factores (dividendo) y uno de los factores (divisor), hallar el otro factor (cociente). Cociente
√
Residuo Si el residuo es cero, la división exacta y el resultado puede expresarse como
Si el residuo no es cero, expresamos el resultado como
Ley de signos para la división La regla de signos para la división es al dividir signos iguales da positivo y signos diferentes da negativo.
Ley de exponentes para la división. Para dividir potencias de la misma base se deja la misma base y
se le pone de exponente la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor.
Ley de los coeficientes. El coeficiente del cociente es el cociente de dividir el coeficiente del dividendo
entre el coeficiente del divisor
Casos de la división.
Regla 1. División de dos monomios.
Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor y a continuación se escriben en orden
alfabético las letras, poniéndole a cada letra un exponente igual a la diferencia entre el exponente que
tiene el dividendo y el exponente que tiene el divisor. El signo lo da la ley de los signos.
Regla 2. División de un polinomio por un monomio
Se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio separando los cocientes parciales con
sus propios signos.
Regla 3. División de dos polinomios
Siguen los siguientes pasos.
1.- Arréglense el dividendo y el divisor en el orden de las potencias descendentes de una letra
común, dejando, un hueco para cualquier potencia faltante de las letras en el dividendo.
2.- Divida el primer término del dividendo por el primer término de divisor. Esto da el primer término
del cociente
3.- Multiplique el divisor por el primer término del cociente y sustraiga el resultado del dividendo.
4.- Considere el residuo así obtenido como un nuevo dividendo y repita los pasos 2 y 3 para
encontrar el segundo término del cociente y el siguiente residuo
5.- Continúe este proceso hasta que se obtenga un residuo que es cero o es de menor grado en la
letra común que el grado del divisor.
Dividamos por
√
1.3 Productos notables. Son ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación. 1.3.1Binomio al cuadrado Binomio al cuadrado es igual al cuadrado del primer término más o menos el doble producto de primer término por el segundo más el cuadrado del segundo término.
2 2
1.3.2 El producto de una suma de dos cantidades por la diferencia de las mismas Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado de segundo término
1.3.3 El producto de dos binomios con término común Se siguen los siguientes pasos:
1.- El primer término del producto es el producto de los primeros términos de los binomios
2.- El coeficiente del segundo término del producto es la suma algebraica de los segundos términos de los binomios y en este termino la x está elevada a un exponente que es la mitad del que tiene esta letra en el primer término del producto
3.- El tercer término del producto es el producto de los segundos términos de los binomios.
1.3.4 El producto de dos binomios con términos semejantes Se siguen los siguientes pasos:
1.- El primer termino del producto es el producto de los primeros términos de los binomios
2.- El coeficiente del segundo término del producto es la suma algebraica del producto de los primeros términos por los segundos términos de los binomios y en este termino la x está elevada a un exponente que es la mitad del que tiene esta letra en el primer término del producto
3.- El tercer término del producto es el producto de los segundos términos de los binomios.
1.3.5 Binomio al cubo El cubo de un binomio es el cubo del primer término mas el triple producto del primer termino al cuadrado por el segundo término más el triple producto del primer término por el cuadrado del segundo término más el cubo del segundo término.
1.3.6 Trinomio al cuadrado Es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado del segundo, mas el cuadrado del tercero, mas el doble del primero por el segundo, mas el doble del primero por el tercero, mas el doble del segundo por el tercero
𝑥 𝑥 𝑥
𝑥 𝑥 𝑥
* +
*
𝑥 𝑥 𝑥 𝑥
* +
*
*
Unidad 2. Factorización de polinomios La factorización (o factoreo) es la descomposición de una expresión matemática (que puede ser un número, una suma, una matriz, un polinomio, etc) en forma de multiplicación. Existen diferentes técnicas de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o rescribirla en
términos de «bloques fundamentales», que reciben el nombre de factores, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIO. Es denotarlo como un producto de dos o más factores.
2.1 Factores comunes a todos los términos Factores. Se llama Factores o divisores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre si dan como productos la primera expresión. Así
multiplicando a por a+b tenemos .
, que multiplicadas entre si dan como producto , son factores o divisores de
Descomponer en factores o Factorar una expresión algebraicamente es convertirla en el producto indicado de sus factores. MÁXIMO COMÚN DIVISOR. Es el mayor número que puede dividir a varios números dados al mismo tiempo; se abrevia MCD. Para obtener el MCD de dos o más números, se calculan los factores primos comunes de cada número a los que les corresponde el menor exponente y se multiplican, el producto es MCD. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD. Un número natural es:
Divisible entre 2 si la cifra de las unidades es par o cero.
Divisible entre 3 si la suma de sus cifras da 3 o múltiplo de 3.
Divisible entre 5 si la cifra de las unidades es 0 ó 5. EJEMPLOS DE MCD. MCD de (36, 54) MCD de (32,72 ,16)
MCD de (100, 120)
MCD de (60, 90)
MCD de (45, 135)
MCD de (72,90)
MCD de (25, 100, 120)
MÁXIMO FACTOR COMUN DE UN CONJUNTO DE MONOMIOS puede determinarse tomando el producto del MFC de los coeficientes de los monomios y las bases literales comunes, de cada una a su mínima potencia.
36 2 18 2
9 3 3 3 1
36 = 22.32
54 2 27 3 9 3 3 3 1
54=2.33
MCD de (36, 54)= 2.32= 2.9 = 18
32 72 16 2
16 36 8 2
8 18 4 2
MCD de (32, 72, 16) = 8
Factor común. Es el monomio que divide exactamente a otras expresiones algebraicas. Otra definición: Es el monomio que está presente en un conjunto de expresiones algebraicas.
)( zyxmmzmymx
FACTOR COMÚN DE UN POLINOMIO. Es el monomio que divide exactamente a todos los términos del polinomio. Otra definición: Es el monomio que esta presente en todos los términos del polinomio.
Para factorizar un polinomio, cuyos términos tienen un monomio factor común, se divide al
polinomio entre ese monomio factor común, y se indica el producto del divisor por el cociente
obtenido.
Factorización por agrupación.
Existe una gran cantidad de polinomios que comparten entre si aspectos comunes y términos.
Se pueden agrupar, pues cada grupo de términos tiene un factor común. Se puede considerar
que la factorización por asociación es una extensión de la factorización por factor común y la
propiedad distributiva.
Regla para factorizar por agrupación.
1. Distribuir el polinomio en grupos de 2, 3 o mas términos, de modo que cada agrupación
contenga la misma cantidad de términos y un factor común.
2. Una vez factorizada cada agrupación, los términos dentro de cada agrupación tienen
que ser iguales con respecto a las demás agrupaciones.
3. Todos los factores comunes se agrupan en un paréntesis y se expresan como un
producto indicado, donde el otro factor es una de las agrupaciones de términos
idénticos.
Factoriza la expresión
Se agrupa el polinomio en dos binomios y se obtiene el
factor común de cada binomio; respectivamente , y la expresión queda así:
las expresiones dentro del paréntesis tienen que ser
idénticas.
Ahora se aplica el paso 3 de la regla antes mencionada, es decir, la factorización del
polinomio es el producto indicado de
2.2 Factorización de trinomio cuadrado perfecto
Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término del trinomio, y se separan estas raíces por el signo del segundo término; comprobar que producto de las raíces es el doble de estas. El binomio así formado, se eleva al cuadrado.
ba
babqba
2
)2(44 222
5
)5(2510 22
x
xxx
2.3 Factorización de diferencia de cuadrados
Para factorizar una diferencia de cuadrados se extrae la raíz cuadrada de cada uno de los términos del binomio y se multiplica la suma de las raíces cuadradas por la diferencia de las
mismas. Por ejemplo:
( √ )( √ )
2.4 Factorización de la forma
Para factorizar un trinomio con término común:
1. Se ordena el trinomio para que quede de la forma indicada. 2. Se extrae la raíz del término al cuadrado, que será el término común de los factores. 3. Se busca una pareja de números cuya suma algebraica sea igual a b y el producto sea
igual a c y que cumpla con lo siguiente: a. Si el signo de c es negativo (-), los factores llevan signos contrarios, y el signo de
b se le anota al factor mayor. b. Si el signo de c es positivo (+), los factores llevan signos iguales al de b.
4.- El trinomio se factoriza como ))(( bxax . Por ejemplo:
62*3
123
)2)(3(62
xxxx
41*4
514
)1)(4(4554 22
xxxxxx
2.5 Factorización de un trinomio de la forma
Para factorizar un trinomio de la forma se sigue los siguientes pasos: 1) Se encuentran todas las parejas de factores posibles cuyo producto sea el primer
término del trinomio; cada factor debe contener la raíz cuadrada del término común. Se escriben estos factores del lado izquierdo de las tijeras.
Los factores del primer término del trinomio se toman siempre positivos
2) Se encuentran todas las parejas posible cuyo producto sea el tercer término del trinomio, sin tomar en cuenta los signos, y se anota del lado derecho de las tijeras.
3) Se escriben todos los arreglos posibles con los factores del primero y tercer
términos 4) El término central del trinomio, el cual es igual a la suma de los productos en la
dirección de las flechas, indicara cuál arreglo es el correcto. 5) El signo del término c; se anotan:
a. Si el signo de c es negativo (-), los factores llevan signos contrarios, y el signo de b se le anota al producto mayor.
b. Si el signo de c es positivo (+), los factores llevan signos iguales al de b
Factorizar
5
𝑏
d
𝑥 𝑥 𝑥
2.6 Factorización de suma o diferencia de cubos FACTORIZACIÓN DE UNA SUMA DE CUBOS.
Para factorizar la suma de cubos de dos términos es igual a la suma de las
raíces cúbicas de los términos por el cuadrado de la primera raíz menos el producto de
las raíces más el cuadrado de la segunda raíz. Por ejemplo:
FACTORIZACIÓN DE UNA DIFERENCIA DE CUBOS.
Para factorizar la diferencia de cubos de dos términos es igual a la diferencia de
las raíces cúbicas de los términos por el cuadrado de la primera raíz más el producto de las raíces más el cuadrado de la segunda raíz. Por ejemplo:
Unidad 3. Fracciones algebraicas Fracción algebraica. Es una expresión en la que el numerador y denominador son
polinomios y se representa por
siendo . Son ejemplos:
Fracción algebraica simple
Es la que el numerador y denominador son expresiones racionales enteras. Son ejemplos de fracciones simples:
Fracción propia e impropia Una fracción simple se llama propia si el grado del numerador es menor que el grado del denominador; y se llama impropia si el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador.
Por ejemplo, son fracciones propias, mientras que
son fracciones impropias. Una fracción impropia puede escribirse como la suma de un polinomio y una fracción propia.
Fracción compuesta Una fracción compuesta es aquella que contiene una o más fracciones ya sea en su numerador o en su denominador, o en ambos. Son ejemplos de fracciones compuestas:
Numerador o denominador nulo Numerador nulo. Si el numerador es una fracción es cero, el valor de dicha fracción es
nulo siempre que el denominador sea distinto de cero. Por ejemplo
. Así mismo, si
se deduce que . La fracción
para vale cero
Denominador nulo. Si el numerador de una fracción es distinto de cero, y el
denominador es nulo. Se obtiene
. Así mismo, si
se deduce que .
Las fracciones algebraicas tienen un comportamiento similar a las fracciones numéricas. El valor de una fracción no se altera si se multiplica o dividen el numerador y denominador por una misma cantidad. Esta cantidad debe ser distinta de cero. Por ejemplo:
Si
se multiplican por en su numerador y denominador resulta:
Se recomienda hacer las operaciones con calma y mucha concentración ya que son frecuentes los errores de signos y en el uso incorrecto de paréntesis. En esta unidad se utilizaran los siete tipos de factorización que se vieron en la unidad 2. Los cuales son 1. Factor común 2. Factor común por agrupación de términos 3. Diferencia de cuadrados perfectos 4. Trinomio cuadrado perfecto
5. Trinomio de la forma
1
22 ,
4
1 ,
1
2 2
2
x
xx
xx
x
x
45149
1 ,
36
20263
2
xx
x
yx
xy
1
22 ,
1
22 2
2
2
x
xx
x
xx
1
1194
1
74322
23
aa
aa
aa
aaa
12
41
232
2
,
32
52
1
3
4
22
2
2
x
xx
x
xx
x
xx
x
6. Trinomio de la forma 7. Suma o diferencia de cubos perfectos 3.1 Simplificación de fracciones algébricas Es cuando al numerador y al denominador de una fracción algebraicas se factorizan con un polinomio que sea factor común de ambos Procedimiento para simplificar una fracción algebraica. 1.- Se factorizan completamente tanto el numerado como el denominador como el denominador de la fracción algebraica; es decir se obtiene el polinomio factor común en el numerador y el denominador de la fracción algebraica (utilizándolos siete casos de factorización según sea el caso) 2.- Se cancelan los factores que son idénticos en el numerador y el denominador. 3.- Al simplificar se obtiene una fracción algebraica equivalente cuya particularidad es ser irreducible. Ejemplos de simplificación de fracciones algebraicas.
3.2 Adición de fracciones algebraicas con denominadores iguales. La suma de fracciones algebraicas con el mismo denominador es otra fracción algebraica con el mismo denominador y cuyo numerador es la suma de los numeradores. Se representa por:
Efectué las siguientes operaciones con fracciones y simplifique.
3.3 mínimo común múltiplo de polinomios. Un polinomio P(x) es el mínimo común múltiplo (m.c.m) de un conjunto de polinomios, si cada polinomio del conjunto divide a P(x), y cualquier polinomio divisible por todos los polinomios del conjunto, es también divisible por P(x). Para encontrar el m.c.m de un conjunto de polinomios, se factorizan los polinomios completamente y se toman todos los factores distintos, cada uno a la máxima potencia que aparezca en los polinomios dados. Procedimiento para calcular el m.c.m de un conjunto de polinomios
1. Factorizar los denominadores que se puedan.
2. Se toman todos los factores distintos, elevados a su mayor potencia con que aparecen en el denominador.
En cada uno de los siguientes ejercicios, encuentre el mínimo común múltiplo.
3.4 Adición de fracciones algebraicas con denominadores diferentes Se suman las fracciones con denominadores diferentes, se obtienen el mínimo común múltiplo, llamado mínimo común denominador m.c.d., se escribe una sola fracción con el m.c.d como denominador. Se divide el m.c.d por el denominador de la primera fracción y luego se multiplica el cociente resultante por el denominador de esa fracción para obtener la primera expresión del numerador. Se repite el procedimiento con cada fracción y se relaciona con los resultados mediante los signos de las fracciones correspondientes. Se representa por:
Reducir a una sola fracción y simplificar.
4x - 3 3x +1 = 4x-9x=-5x
3.5 Multiplicación de fracciones algebraicas El producto de dos fracciones algebraicas es otra fracción algebraica donde el numerador es el producto de los numeradores y el denominador es el producto de los denominadores. Para multiplicar fracciones cuyos numeradores o denominadores son polinomios, primeramente se factorizan estos completamente. Se consideran las fracciones como una sola, y se dividen los numeradores y denominadores por su máximo factor común (factor común) para obtener una fracción equivalente ya reducida. Redúzcase siempre la fracción resultante a sus mínimos términos. Se representa:
Efectúe las siguientes multiplicaciones y simplifique.
3.6 División de fracciones Algebraicas El cociente de dos fracciones algebraicas es otra fracción algebraica con numerador el producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda, y con denominador de denominador de la primera por el numerador de la segunda. Otra forma de obtener la división es la primera fracción algebraica por el reciproco de la segunda.
Efectué las operaciones indicadas y simplifique.
3.7 Operaciones combinadas y fracciones complejas En esta sección se usarán las cuatro operaciones en un solo problema y también se requerirá que la respuesta final sea una fracción reducida. Cuando no hay símbolos de agrupación en el problema, primero se efectúan las multiplicaciones y divisiones en el orden en que aparecen. Solamente después de que todas las multiplicaciones y divisiones se han realizado, se efectúan las adiciones y sustracciones, Cuando hay símbolos de agrupación, se efectúa primero las operaciones de los términos dentro de los paréntesis. Dada una fracción compleja, posible simplificar el problema como esta, en forma de fracción, o escribirlo en forma de división, y simplificar. A veces puede simplificarse fácilmente una fracción compleja multiplicado numerador y denominador por el mínimo común múltiplo de todos los denominadores que intervienen. Efectúe las operaciones indicadas y simplifique.
Unidad 4. Exponentes y Radicales
Potencia de un número. Es el producto de varios factores iguales a dicho número. Así, Cuadrado de un número algebraico es el producto de dos factores iguales a dicho número.
Cuadrado de un monomio. Para obtener el cuadrado de un monomio, elévese el coeficiente al Cuadrado y duplíquese el exponente de cada literal.
Cuadrado de un fracción. Para elevar la fracción al cuadrado, elévese tanto el numerador como el
denominador al cuadrado. Así; (
)
Cubo de un número algebraico. Es el producto de tres factores iguales a dicho número.
Cubo de un monomio. Para obtener el cubo de un monomio, elévese su coeficiente al cubo, triplique el
exponente de cada literal. Así; Cubo de una fracción. Para elevar una fracción al cubo elévese el numerador y denominador.
(
)
Potencia enésima de un número algebraico es el producto de m factores iguales a dicho número Potencia enésima de un monomio se obtiene elevando cada factor a dicha potencia Potencia enésima de una fracción se obtiene elevando el numerador y denominador a dicha potencia. Raíz de un número algebraico es otro número del cual el primero es una potencia Raiz. Es toda expresión algebraica que elevada a una potencia reproduce la expresión dada.
El signo de la raíz es √
, llamado signo del radical. Debajo del signo se coloca la cantidad a la cual se extrae la raíz llamada subradicando
El signo √ que lleva un índice que indica la potencia a que hay que elevar la raíz para que reproduzca
la cantidad del subradical. Por convención el índice 2 se suprime y cuando el signo √ no lleva índice se entiende que el índice es 2
El propósito de este tema es extender el campo de acción de la regla de los exponentes y estudiar algunas de sus aplicaciones en el álgebra. Si se tienen los siguientes teoremas: Teorema 1. En la multiplicación los exponentes se suman
Teorema 2. En la potencia de una potencia los exponentes se multiplican.
Teorema 3. En el producto de una potencia se eleva cada factor a la potencia
Teorema 4. En la división los exponentes se restan.
{
Teorema 5. En la potencia de un fracción se eleva el numerador y denominador a la potencia
(
)
4.1 Exponentes fraccionarios positivos
Es cuando el exponente proviene de extraer una raíz a una potencia el exponente de la cantidad subradical no divisible por el índice de la raíz. Si el exponente no es divisible por el índice, hay que dejar indicada la división y se origina el exponente fraccionario. Así:
√ √
Si , se define
(
) (
)
De la definición se tiene
( )
Cuando es un numero par, es positiva si a es positivo como negativo; por ejemplo: =16 y
√𝑎𝑛
Índice
subradical
Cuando es un número impar, es positivo si a lo es, y es negativo si a lo es, por ejemplo, y
Definición. La notación representa un número cuya potencia n-ésima es a si
, entonces
, con las condiciones siguientes:
1. Si es par y , por ejemplo:
Si es par y , no es un número real por ejemplo:
no es un número real
2. Si es impar y , . Por ejemplo
Si es impar y , . Por ejemplo
Definición. Para , siempre que este definido, definimos
como (
)
4.2 Exponentes cero y negativos Exponente cero. En la división de monomio entre monomio, se puede llegar a expresiones de la forma
; Sea dividir o Por ser iguales el dividendo y el divisor, resulta
o Por otra parte, según la regla de la división de potencias de una misma literal, se tiene:
Por tanto: “Todo número con exponente cero es igual a 1.”
Exponente negativo. En la división de monomios, también puede resultar la expresión . Sea dividir
entre .
Según la regla de la división de potencias de una misma literal, resulta
Por otra parte, esta misma división puede indicarse:
De donde:
Y en general:
Es decir: “Todo número con exponente negativo equivale a una fracción cuyo numerador es 1, y el denominador es el mismo número con exponente positivo.” El resultado anterior prueba que: cualquier factor del numerador de una fracción puede pasar al denominador, cambiando el signo del exponente, y viceversa. 4.3 Definición y notación de radicales. 4.4 Forma estándar de radicales 4.5 Combinación de radicales 4.6 Multiplicación de radicales 4.7 División de radicales