Átomo  de  Hidrogeno  y  más  

Profesor:  Benjamín  Koch  Alumno:  Ma>as  Bejide  

Solución  de  ecuación  de  Dirac  con  potencial  de  coulomb  (átomo  de  hidrogeno).  

•  La  ecuación  tendrá  la  forma:  

•  Tomando              y                  .  Obteniéndose  el  ha  miltoniano  de  Dirac      .  

•  Aplicando  la  separación  de  variables  se  Lene:  

2(x, t) (x, t)ei c p A mc et c

ψα β ψ

⎛ ⎞∂ ⎛ ⎞= − + + Φ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠h

20 (r)Zee Vr

Φ = − ≡ 0A =( )2c p mc eα β⋅ + + Φ

( )2(x) (r) (x)E c p mc Vψ α β ψ= ⋅ + +

•  Antes  de  resolver  la  ecuacion  se  estudiaran  los  espinores:  Debemos  construir  los  espinores  de  Dirac    a  parLr  de  los  espinores  de  Pauli.  

•  Sabemos  de  la  adición  de  momento  angular  (“l”  y  “s”):  

•  Esto  es  simplemente  la  adición  de  momentos  angulares  vistos  en  cursos  anteriores.  

1 1 1 1 1 1 1 1, , , , ;2 2 2 2 2 2 22 1j,1 1 1 1 1 1 1 1, , , , ;2 2 2 2 2 2 22 1

j j j j

j

j j j j

l m l m l m l m j llm

l m l m l m l m j ll

⎧ ⎫⎡ ⎤+ + − + + − + + − = +⎪ ⎪⎢ ⎥⎣ ⎦+⎪ ⎪= ⎨ ⎬

⎡ ⎤⎪ ⎪+ + + − − − + − + = −⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦+⎩ ⎭

•  Entonces  se  usaran  los  números  cuánLcos   y        ,  siendo  (L=J-­‐S  y  m=-­‐j..j).  

•  Se  obLenen  los  espinores:  

         •  Se  uLliza  el  número  “l”  en  ves  de  “j”  porque  “l”  define  la  paridad  de  los  armónicos  esféricos.  

12jm m

l

1, 2

1, 2

121, 2 12 1

21 1, 2 22 1

j

j

j

j

l mj

jm

j j

l m

l mYl m l j l

l m l mY

l

ϕ−

±

+

⎧ ⎫± +⎪ ⎪⎧ ⎫− ↑ ⎪ ⎪+⎪ ⎪= ⇒ = ±⎨ ⎬ ⎨ ⎬

+ ↓⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎩ ⎭ ⎪ ⎪±+⎩ ⎭

m

•  Entonces  para  cada  valor  de  “j”  hay  2  espinores  (disLntos  “l”).  

   

 •  Debe  poder  escribirse                    a  parLr  de    .  Se  introduce  el  operador:    

•  Este  operador  actúa:                            .  Cambia  paridad.  

•  necesario  porque          cambia  la  paridad  del  segundo  espinor  y  debe  mantenerse.  

β

1; 21; 2

j

j

j

jmljm

jm

l j

l j

ϕϕ

ϕ

+

−

⎧ ⎫= −⎪ ⎪= ⎨ ⎬

= +⎪ ⎪⎩ ⎭jjmϕ +

jjmϕ−

( )x̂σ ⋅

( )ˆj jjm jmxϕ σ ϕ± = ⋅ m

•  Podemos  construir  los  espinores  de  Dirac:    Ansatz  

,

(r)

(x)(r)

ˆ( x)

j

j

j

lj ljm

lj m

lj ljm

iGr

Fr

ϕ

σ ϕ

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪

Ψ = ⎨ ⎬⎪ ⎪⋅⎪ ⎪⎩ ⎭

•  Ahora  que  tenemos  ansatz  volvemos    a  la  ecuación  de  Dirac:  

( )2(x) (r) (x)E c p mc Vψ α β ψ= ⋅ + +

Zm pr

Zp mr

ασ

ασ

⎛ ⎞− ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ − −⎜ ⎟⎝ ⎠

•  Se  debe  tratar  con  cuidado  el  termino:    •  Usando  la  idenLdad:                      se  obtendrá:  

   Para    

( ) (r)j

ljmp hσ ϕ⋅

a b a b i a bσ σ σ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ × ˆ ˆ 1x xσ σ⋅ ⋅ =

( ) ( ) ( )

( )( )ˆ ˆ(r) 1 (r) (r)

ˆ ˆ (r) 1(x p i ) (r) 1 (r)2

j j j

j j

l l ljm jm jm

l ljm jm

p h p h x x p h

x x hL h i r j hr r r

σ ϕ σ ϕ σ σ σ ϕ

σ σσ ϕ ϕ

⋅ → ⋅ → ⋅ ⋅ ⋅ →

⋅ ⋅ ∂⎧ ⎫⋅ + →− + +⎨ ⎬∂⎩ ⎭

m

12j l= ±

•  Con  esto  podemos  obtener  las  ecuaciones  para  las  funciones  radiales:  

•  Ahora  se  hacen  susLtuciones  con  el  fin  de  simplificar  las  ecuaciones:  

( )

( )

(r) (r)1(r) 2

(r) (r)1(r) 2

lj ljlj

lj ljlj

dF FZE m G jr dr r

dG GZE m F jr dr r

α

α

⎧ ⎫⎛ ⎞− + = − +⎜ ⎟⎪ ⎪⎪⎝ ⎠ ⎪⎨ ⎬⎛ ⎞⎪ ⎪+ + = +⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

m

m

( )2 2

1 2 1 2, , ,

1r , , =Z2

m E m E m E

k j

α α σ α α

ρ σ γ α

= + = − = − =

= = ± +

•  Con  todo  esto  obtenemos  el  sistema  1):  

•  Para  grandes  “rho”  el  sistema  se  comporta  como:                                                                                                                y  lleva  al  sistema  2):                                                                                  

2

1

0

0

d k F Gd

d k G Fd

α γρ ρ σ ρ

α γρ ρ σ ρ

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − − =⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎨ ⎬⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪− − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

( ) f( ) e ; ( ) g( )eF Gρ ρρ ρ ρ ρ− −= =

2

1

0

0

kff f g

kgg g f

α γρ σ ρ

α γρ σ ρ

⎧ ⎫⎛ ⎞ʹ′ − + − − =⎪ ⎪⎜ ⎟

⎪ ⎝ ⎠ ⎪⎨ ⎬

⎛ ⎞⎪ ⎪ʹ′ − − − + =⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

•  El  sistema  2)  se  resuelve  mediante  el  método  de  Frobenius.  Consiste  en:  

•  SusLtuyendo  en  el  sistema  anterior  y  separando  para  los  términos:  a)                  y  b)                  .  Obtendremos:  

a)                  b)  

00

00

s

s

f b

g a

ν

ν

ν

ν

ρ ρ

ρ ρ

∞

=

∞

=

⎧ ⎫=⎪ ⎪⎪ ⎪

⎨ ⎬⎪ ⎪=⎪ ⎪⎩ ⎭

∑

∑

0ν = 0ν ≠

0 0

0 0

(s k) b 0(s k)a 0

abλ

λ

+ + =⎧ ⎫⎨ ⎬

− − =⎩ ⎭

21 1

11 1

(s k) b b 0

(s k)a 0

a a

a b b

ν ν ν ν

ν ν ν ν

αν γ

σα

ν γσ

− −

− −

⎧ ⎫+ + − + − =⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪+ − − − − =⎪ ⎪⎩ ⎭

•  Dado  que                                  ,  de  a)  se  obLene:      solo  el  valor  posiLvo  Lene  senLdo.  

•  Con  la  relación  b)  podemos  ver  si  la  serie  converge  o  no:  se  obLene:  3)  

•  Ahora  para  grandes        obtenemos:                          que  al  ser  reemplazado  en  b)  lleva  a:    

•  Las  series  divergen  para  grandes        que  implica  grandes        .  

0 0 y 0a b ≠ 2 2s k γ= ± −

( ) ( )2 2b s k a s kν νσ ν α γ α ν σγ+ + + = + − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

ν2b aν ν

ασ

=

22 2 (2 ), a !

b b a eν

ρν ν ν ν

ν

ρν ν ν

= = → =∑

νρ

•  Para  evitar  divergencia  las  series  deben  terminar.  

•  Supongamos                  ,  de  la  relación  b)  se  obLene:        .  “N”  es  el  numero  radial  (N=0,1,2…)  

•  Reemplazando  esta  condición  en  3)  se  llega  a:                                                                        .  Usando  las  definiciones  para                    

0, a 0 N Nb = =

2N Na bσ

α−

=

1 22 (s N) ( )σ γ α α+ = −1 2, α α

12 2

221 ; 1

(s N)E mc cγ

−

⎡ ⎤= + =⎢ ⎥+⎣ ⎦

•  Si  usamos  el  valor  encontrado  para  “s”,  el  numero  principal  (n=N+j+1/2)  y  el  resto  de  las  definiciones:  

212

2

2 21

1 1(j ) (j ) (Z )2 2

ZE mcn

α

α

−

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟= +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥− + + + −⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

Para  obtener  las  funciones  radiales  •  Comenzando  con  ecuación  1):  se  reescribe  como  4):  

•  Se  deriva  según  “rho”  y  se  obLene  5):  

2

1

kF F F Fd d MG G G Gd dk

α γρ σ ρ

ρ ρα γσ ρ ρ

⎛ ⎞⎛ ⎞−−⎜ ⎟⎜ ⎟

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠⎜ ⎟= ⋅ → =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

22

2

F Fd dMMG Gd dρ ρ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞

= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

•  En  donde:    

•  Hay  que  diagonalizar              para  desacoplar  las  ecuaciones.  

•  Obteniéndose  (“lambda  es  el  valor  propio”):    

22 1 2

2

1 00 1

kM α αγ γρ σ ρ σ ρ

⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞= + + −⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

2

1 kdMkdγ

γρ ρ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟− −⎝ ⎠

dMdρ

2

2 2

2 ( 1)1F Fd EG Gd

γ λ λρ σρ ρ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞±= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

•  Ahora  se  hace  la  susLtución  •  Y  se  uLliza  la  base  de  vectores  que  diagonalizan            :  

•  Obteniéndose  finalmente:    

•  Se  usa  el  ansatz:          y  obtenemos  6):  

F fG g

ρ

ρ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ dM

dρ

1

2

uf fA A

ug gρ

ρ ρρ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

21,2 1,2

1,22 2

2 2 ( 1)1 0d u du E ud d

γ λ λρ ρ ρ σρ ρ

⎛ ⎞±+ − + + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

, 1 /21,2 1,2 ( )u e yγ γ ρρ ρ− −=

[ ]

[ ]

21 1

12

2 22 2

22

2( 1) (1 n) y 02;12 ny 0

d y dyd d En

d y dy Ed d

ρ λ ρρ ρ γ

λσρ λ ρ

ρ ρ

⎧ ⎫+ + − − − =⎪ ⎪

⎪ ⎪= −⎨ ⎬

−⎪ ⎪+ − + =⎪ ⎪⎩ ⎭

•  Este  Lpo  de  ecuaciones  se  llaman  ecuaciones  de  Kummer:  

•  Y  sus  soluciones  son  funciones  hipergeometricas  confluentes:  

•  Y  las  soluciones  son:  

[ ]2

2 0d w dwb awd d

ρ ρρ ρ

+ − − =

2(a 1)(a, b, ) 1 ...(b 1) 2!

a aFb b

ρρ ρ

+= + + +

+

1 1 1

2 2 2

(1 n,2( 1), )( n,2 , )

y c Fy c F

λ ρ

λ ρ

= − +⎧ ⎫⎨ ⎬

= −⎩ ⎭

Finalmente  se  obLene:  

1 /21 1

1 1 /22 2

(1 n,2( 1), )( n,2 , )

f A e c Fg A e c F

γ ρ

γ ρ

ρ λ ρ

ρ λ ρ

− −

− − −

⎧ ⎫= − +⎨ ⎬

= −⎩ ⎭

Respecto  a  los  niveles  de  energía  •  La  energía  obtenida  de  la  ecuación  de  Dirac:  

       puede  expandirse  considerando            pequeño:      •  Se  puede  observar  que  se  recuperan  los  términos  de  la  energía  no  relaLvista.  

212

2

2 21

1 1(j ) (j ) (Z )2 2

ZE mcn

α

α

−

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟= +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥− + + + −⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

Zα2 4

22 3

(Z ) (Z ) 1 31 ...12 2 42E mc

n n njα α⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟= − − − +⎨ ⎬

⎜ ⎟+⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

•  De  la  expresión  para  la  energía  obtenida  de  de  la  ec.    de  Dirac  se  puede  observar  los  siguientes  niveles:  (Usaremos  los  números  n,  l,  j)  

 •  Esta  separación  de  niveles  se  conoce  como  estructura  fina  del  átomo  de  hidrogeno  

•  Es  debido  a  la  interacción  spin-­‐orbita  del  electrón  

•  Es  efecto  relaLvista.  

Singularidad  

•  Existe  una  singularidad  en  la  energía  cuando:  

•  Esta  singularidad    se  elimina  considerando  núcleo  finito.  

•  Esta  es  también  la  condición  que  evita  orbitas  espirales.  

2 21(j ) (Z ) 02 α+ − <

bibliografia  •  Cohen-­‐Tannoudji.Quantum  mechanics,  vol.1,2.  

•  Franz  Schwabl  Advanced  Quantum  Mechanics.  

•  Am.  J.  Phys.,  Vol.  65,  No.  3.  

•  A.D.  Alhaidari  /  Physics  Le2ers  A  322  (2004)  72–77.  

•  Journal  of  MathemaLcal  Physics  11,  125  (1970).  

•  Journal  of  MathemaLcal  Physics  36,  3332  (1995).