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1-1-2017

AÑO 2017

MÓDULO DE INGRESO

PROFESORADO EN

MATEMÁTICA

1 | CURSO INICIAL 2017 | PROFESORADO EN MATEMÁTICA |

El presente Módulo corresponde a las competencias básicas mínimas de la carrera elegida, en este caso el Profesorado

en Matemática. Ansiamos que con esta primera aproximación, desde la Institución Formadora, se afiancen los

contenidos solicitados, que resultan imprescindibles para el desarrollo de las futuras cursadas de los Espacios

Curriculares específicos de la Carrera.

Todos los contenidos involucrados en este módulo ya los has tratado, con mayor o menor, profundidad en tu paso por

la escuela media y ellos han sido seleccionados para este curso inicial por considerarse imprescindibles para cimentar

el comienzo de las cursadas. No obstante encontrarás una amplia variedad de actividades, muchas de ellas te

resultaran familiares por haberlas realizado y otras te requerirán el uso de nuevas estrategias.

Se han previsto seis encuentros para este curso inicial y un último encuentro evaluativo.

1er. encuentro: LUNES 20/03

2do. encuentro: MARTES 21/03

3er. encuentro: MIÉRCOLES 22/03

4to. encuentro: JUEVES 23/03

5to. encuentro: LUNES 27/03

6to. encuentro: MIERCOLES 29/03

7mo. encuentro: VIERNES 31/03

Les damos la BIENVENIDA y, deseamos vivencien esta experiencia con gran compromiso frente a la carrera que han

elegido para su desarrollo personal.

CURSO INICIAL 2017

| P R O F E S O R A D O E N M A T E M Á T I C A |


|EL LENGUAJE MATEMÁTICO

La matemática es una ciencia que tiene su propio lenguaje; el lenguaje matemático a través del cual se expresan propiedades, axiomas, teoremas, y hasta simples enunciados. El lenguaje simbólico formal de las matemáticas sigue una serie de convenciones propias; los símbolos representan un concepto, una operación, una entidad matemática según ciertas reglas. Este lenguaje particular y específico, simplifica en algunos casos la comunicación y permite clarificar y designar de manera exacta, sus contenidos. Nos permite ahorrar tiempo de escritura, y de lectura e interpretación. ¿A qué nos referimos cuando hablamos de lenguaje matemático? Nos referimos a:

La simbología matemática: signos o caracteres gráficos, que son como las “palabras” de un idioma. Éstas deben ser conocidas con el objeto de poder interpretar lo que se quiere decir con ellas, al tiempo que se deben utilizar para decir lo que se quiera. Cada uno de estos símbolos utilizados en matemática, son necesarios para la perfecta construcción de ideas, de manera que la sustitución de alguno de ellos por otro diferente, aunque sea gráficamente parecido, cambiaría totalmente el significado. Es decir, todas y cada una de las “palabras matemáticas” tienen un significado particular, no existiendo la posibilidad de sinónimos.

La estructura y presentación de los contenidos matemáticos: se realiza mediante enunciados con nombres o etiquetas (como por ejemplo: Definición, Teorema, Proposición, Lema, Demostración, Corolario, etc.), de manera que cada una de ellas predice su contenido. Así, todo enunciado o afirmación en matemática, debe ser presentado dentro de uno de estos epígrafes, ayudando así a una clara organización y estructura de los contenidos de la materia.

Algunos símbolos como +, -, =, tienen tradicionalmente un significado establecido, pero por ejemplo las letras del alfabeto griego se emplean con sentidos diferentes. Por ello la elección de la notación debe hacerse cuidadosamente.

No podemos designar a dos objetos diferentes con un mismo símbolo. Si “h” es la medida de la hipotenusa de un triángulo rectángulo, no llamaremos “h” a la medida de la altura.

Para expresar un producto entre reales, podemos utilizar distintos signos como: a x b, a .b o simplemente a b. No obstante en Álgebra y Geometría Analítica, cuando operes con vectores, verás que cada uno de esos signos se utiliza para una operación diferente.

Muchas veces la relación de los signos sugiere la relación de los objetos, por ello generalmente utilizaremos letras del principio del alfabeto (a, b, c,…) para las cantidades dadas o constantes, y letras del final (…, w, x, y, z) para cantidades desconocidas o variables.

Otro detalle a tener en cuenta es que para designar objetos de una misma categoría elegimos letras de un mismo alfabeto. Por ejemplo: mayúsculas latinas para puntos (A, B, C, …) como ser los vértices de una figura, minúsculas latinas para lados (a, b, c,…) y minúsculas griegas para ángulos (α, β, δ, γ,…). Por otro lado en un triángulo generalmente tomamos a como el lado opuesto al vértice A, y como α el ángulo de vértice A.

Para que los símbolos que utilizamos sean fáciles de recordar y de interpretar, muchas veces empleamos iniciales. Por ejemplo: “V” para volumen, “t” para tiempo, “d” para distancia, “r” para radio, etc. El problema lo tendremos, en este caso, si se repiten las iniciales, como es el caso de tiempo y temperatura.

𝑨 𝑪

𝑩

𝒃

𝒂 𝒄

𝜶

𝜷

𝜸


Repasemos ahora algunos símbolos que seguramente ya has visto, y cuyo manejo te será de utilidad:

∈ Pertenece ~ No

∉ No pertenece ⇒ Entonces

⊂ Incluido ⇔ Si y solo si

⊄ No incluido ∃ Existe

⊆ Es subconjunto de ∃! Existe un único

∪ Unión ∀ Para todo

∩ Intersección ≤ Menor igual

/ Tal que ≥ Mayor igual

≅ Aproximado ≠ Distinto

∧ y ∅ ó { } Conjunto vacío

∨ o ∴ Por lo tanto

Algunos ejemplos de cómo expresar en lenguaje simbólico algunas proposiciones:

Para indicar que el elemento 𝟏 pertenece al conjunto 𝑨, se escribe:

𝟏 ∈ 𝑨

Existe un número real “y” mayor que 2, se escribe:

∃𝒚 ∈ 𝑹 / 𝒚 > 𝟐 Para todo número real “x” existe un número real “y” mayor que él, se escribe:

∀𝒙 ∈ 𝑹, ∃ 𝒚 ∈ 𝑹 / 𝒚 > 𝒙 En el conjunto 𝐴 todos los elementos son números naturales, menores o iguales que 8, se escribe:

𝑨 = {𝒙/𝒙 ∈ 𝑵 ∧ 𝒙 ≤ 𝟖}

ACTIVIDADES

1- Escribir en forma simbólica:

a) Existe un número real 𝑥 que elevado al cuadrado da 2

b) El conjunto B de todos los números reales mayores que -5 y menores o iguales que 2

c) Para todo número entero a existe un número entero b tal que b es el doble de a.

2- Escribir en lenguaje coloquial:

a) 0a b b a

b) ∃𝑦 ∈ 𝑅/𝑦2 < −2

c) ∀𝑥 ∈ 𝑅, 𝑥0 = 1


|CONJUNTOS NUMÉRICOS

NÚMEROS NATURALES

Cuando se agrega el cero a los números naturales, la notación es:

𝑁0 = {0,1,2,3,4, … } es decir que, 𝑁0 = 𝑁 ∪ {0}

Podemos representar a los Números Naturales en una Recta numérica, como puntos aislados, siempre a una misma

distancia entre sí.

En un conjunto ordenado.

Tiene primer elemento: el 1.

No tiene último elemento. Es un conjunto infinito.

Entre dos números naturales hay un número finito de números naturales. Los conjuntos que cumplen con esta propiedad se llaman discretos.

La suma de números naturales es siempre un número natural.

El producto de números naturales es siempre un número natural.

NÚMEROS ENTEROS

El conjunto de los números enteros 𝑍 incluye al conjunto de los números naturales 𝑁. Esto se puede representar a

partir del siguiente diagrama de Venn:

De manera simbólica: 𝑁 ⊂ 𝑍

El conjunto de los números enteros está formado por la unión de los números naturales, el cero y los opuestos

de los naturales. Se simboliza con la letra 𝑍 y se define:

,...3,2,1,0,1,2,3..., Z

El conjunto de los números naturales se simboliza con la letra 𝑁 y se define:

𝑁 = {1,2,3,4, … }


La recta numérica se amplía para el lado izquierdo:

Es ordenado.

No tiene ni primer ni último elemento. Es infinito.

Es discreto.

Si a > 0, a es positivo y está ubicado en la recta numérica a la derecha del cero.

Si a < 0, a es negativo y está ubicado en la recta numérica a la izquierda del cero.

Un número y su opuesto están a la misma distancia del cero.

DIVISIBILIDAD EN Z

Si 𝑎 ∈ 𝑍 , 𝑏 ∈ 𝑍 − {0} y 𝑎 = 𝑏. 𝑐 para 𝑐 ∈ 𝑍 entonces 𝑏 recibe el nombre de “divisor de 𝑎”. En ese caso, también

puede decirse que “𝑎 es dividible por 𝑏”, o que "𝑎 es un múltiplo de 𝑏”.

Para indicar que el número 𝑏 es divisor de 𝑎, se utiliza el símbolo │, de decir:

𝑏│𝑎 Se lee 𝑏 es divisor de 𝑎

𝑎 es divisible por 𝑏

Ejemplo: 35 es divisible por 7 puesto que 28=7.4, entonces 7│28 .

NÚMERO PRIMO

Ejemplo: 17 es un número primo porque sus divisores positivos son 1 y 17.

NÚMERO COMPUESTO

Ejemplo: 75 es un número compuesto dado que 75=3.5.5

NÚMEROS COPRIMOS

Ejemplo: Los números 15 y 28 son coprimos, ya que los únicos divisores que tienen en común son 1 y ─1.

Un número entero se dice que es primo si y sólo si tiene únicamente dos divisores positivos, el propio

número y 1.

Un número entero se llama compuesto si dicho número puede expresarse como el producto de dos o más

números primos.

Se dice que dos números enteros son primos entre sí, o coprimos, cuando sólo tienen como divisores comunes

a 1 y ─1.


TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA:

Ejemplo: 24 = 23. 3

1200 = 24 . 3. 52

No existe ninguna otra factorización de 24 y 1200 en números primos. Como la multiplicación es conmutativa, el orden de los factores es irrelevante.

MÁXIMO COMÚN DIVISOR

Si un número es divisor de varios otros, se dice que es divisor común de todos ellos.

Ejemplo: El número 2 es un divisor común de 12, 18 y 100.

Ejemplo: Determinar el MCD de los números 12, 28 y 32.

Divisores de 12: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

Divisores de 28: ±1, ±2, ±4, ±7, ±14, ±28.

Divisores de 32: ±1, ±2, ±4, ±8, ±16, ±32.

Los divisores comunes son –4, –2, –1, 1, 2 y 4. Luego, el máximo común divisor es 4 y se denota:

𝑚𝑐𝑑(12; 28; 32) = 4

Regla para determinar el máximo común divisor:

Si se descompone cada uno de los números en sus factores primos, el producto formado por los factores comunes considerados con su menor exponente, es el máximo común divisor.

Siguiendo con el ejemplo anterior:

12 = 22 . 3 ; 28 = 22 . 4 ; 32 = 25 entonces 𝑚𝑐𝑑(12; 28; 32) = 22 = 4

Dado un conjunto de números enteros que no son primos entre sí y tienen más de un divisor en común, al mayor de estos divisores se lo llama Máximo Común Divisor (mcd).

factores comunes con

su menor exponente

Todo número natural puede representarse de forma única como producto de factores primos.

PREGUNTA

¿Qué característica deben tener las escrituras de dos números escritos como producto de factores primos

para ser coprimos?

http://es.wikipedia.org/wiki/Conmutatividad

http://es.wikipedia.org/wiki/Producto_(multiplicaci%C3%B3n)

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo


MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

Si un número es múltiplo de varios otros, decimos que es “múltiplo común” de todos ellos.

Ejemplo: 24 es múltiplo común de 2, 6 y 8.

Ejemplo: Dados los números 12, 10 y 15, determinamos el mínimo común múltiplo.

Múltiplos de 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, …

Múltiplos de 10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120, 130, …

Múltiplos de 15: 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, …

Los múltiplos comunes son 60, 120, … por lo tanto el mínimo común múltiplo es 60 y se denota:

𝑚𝑐𝑚(12; 10; 15) = 60

Regla para determinar el máximo común divisor:

Se descompone cada uno de los números en sus factores primos. El producto formado por los factores comunes y no

comunes, con su mayor exponente, es el mínimo común múltiplo.

Apliquemos la regla al ejemplo anterior:

12 = 22 . 3 ; 10 = 2.5 ; 15 = 3.5 entonces 𝑚𝑐𝑚(12; 10; 15) = 22. 3.5 = 60

Al menor de los múltiplos comunes de varios números, se lo llama Mínimo Común Múltiplo (mcm).

factores comunes y no comunes

con su mayor exponente

ACTIVIDADES 1- Determina 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑁/𝑥│30}

𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑁/𝑥│30 ∧ 𝑥 𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜}

𝐶 = {𝑥 ∈ 𝑁/𝑥 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 ∧ 𝑥 < 13}

2- Determina el mcm entre 21 y 30.

3- Determina en mcd entre 24, 36 y 90.

4- En una bodega hay tres toneles de vino cuyas capacidades so 250, 306 y 504 litros, respectivamente.

Su contenido se quiere envasar exactamente en cierto número de botellas iguales. Determine la

capacidad máxima de cada una de las botellas necesarias y cuántas botellas se necesitan.

5-


NÚMEROS RACIONALES

Pueden representarse como fracciones o como números decimales. Y pueden ser decimales exactos o periódicos.

Ejemplos: 1

3; 0,25 ; 0,33333 ; 0,72727272.

El conjunto de los números racionales incluye los naturales, el cero, los enteros

negativos y las fracciones positivas y negativas. De este modo, se amplía el

diagrama de Venn.

Es un conjunto ordenado. No tiene primer ni último elemento. Todo número racional tiene su inverso multiplicativo, salvo el cero.

En símbolos: con 0 y 0, / . 1a b a b

a bb a b a

Entre dos números racionales existen infinitos números racionales. Esta propiedad se conoce con el nombre de Densidad.

FRACCIONES

Llamamos fracción al cociente entre dos números enteros a y b, donde b debe ser distinto de cero y lo escribimos:

b

a (a es el numerador de la fracción y b el denominador). Ejemplo:

5

2

Las fracciones que representan un mismo número se llaman equivalentes.

Por ejemplo, 2

1 y

4

2 son dos fracciones equivalentes, porque representan

la misma parte de un todo.

2

1

4

2

Un número racional es el cociente entre dos números enteros (con divisor no nulo).

El conjunto de los números racionales se simboliza con la letra 𝑄.

En símbolos

0b ; enteros ba y con ,b

aQ


Para obtener una fracción equivalente a una dada, se puede multiplicar o dividir el numerador y el denominador de la

fracción por un mismo número (siempre que sea distinto de cero).

Por ejemplo:

OPERACIONES

SUMA Y RESTA DE FRACCIONES

- De igual denominador: se suman o se restan los numeradores y el denominador no se modifica.

En símbolos: a b a b

c c c

Ejemplo:

7

5

7

3

7

2 .

- De distinto denominador: primero, se reemplazan las fracciones dadas por fracciones equivalentes que tengan igual

denominador y luego se suman o restan como en el caso anterior.

En símbolos: . . . .

. . .

a b a d b c a d b c

c d c d c d c d

Ejemplo: 3 1 15 4 11

4 5 20 20 20 Otra forma:

3

4−

1

5=

15−4

20=

11

20

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES

Se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí.

En símbolos: .

..

a b a b

c d c d Ejemplo:

12

6

3.4

2.3

3

2.

4

3

DIVISIÓN DE FRACCIONES

Para dividir dos fracciones se multiplica el dividendo, por el inverso multiplicativo del divisor.

En símbolos: .

: ..

a b a d a d

c d c b c b Ejemplo

8

15

2.4

5.3

2

5.

4

3

5

2:

4

3

ACTIVIDADES

1- Encuentra dos fracciones equivalentes para cada fracción:

a. 5

3 b.

7

35

2- Realiza las siguientes operaciones:

a. 3

2

3

15 b.

2

3.

5

3 c.

3

2

4

3 d.

5

4:

3

2


NUMEROS IRRACIONALES

Todos los números racionales están representados por puntos sobre la recta numérica pero, ¿todos los puntos de la

recta son representaciones de números racionales? La respuesta es NO. Existen otros números que junto a los

racionales completan a la recta numérica. Ellos son los números irracionales

Son números irracionales todas las raíces cuadradas de números naturales que no son cuadrados perfectos.

Ejemplos: 2 , 3 , 5 , 7 etc.

Son números irracionales los resultados de operar un número racional con racionales.

Ejemplos: 3 3 1

1 2 ; ;2 2 7

Son números irracionales todos los números decimales con infinitas cifras no periódicas. Estas cifras deben

cumplir con una ley de formación.

Ejemplos: 1,123456... ; 0,012013014015016017018... ; = 3,14159….; e = 2,71…

El conjunto de los números irracionales está formado por todos los números que no se pueden expresar

como cociente entre dos números enteros. Es decir, ni como número decimal exacto ni decimal periódico.

Por lo tanto, los números irracionales tienen infinitas cifras decimales no periódicas.

El conjunto de los números irracionales se simboliza con la letra I.

PREGUNTA

Si 𝑛 es un número natural mayor que 1, ¿Cuál de los siguientes números racionales es mayor?

1

1

n

n

o

1

n

n

PREGUNTA

La suma de dos números irracionales ¿siempre es un número irracional? Justifica tu respuesta.


NÚMEROS REALES

El conjunto de los números reales, entonces, incluye a los

números naturales, a los números enteros, a los racionales y a los

irracionales. Se amplía el diagrama de Venn.

Es un conjunto ordenado. No tiene primer ni último elemento. Es un conjunto denso. Es decir que entre dos números reales existen infinitos números reales.

PROPIEDADES DE LA ADICIÓN Y LA MULTIPLICACIÓN EN LOS NÚMEROS REALES: , ,a b c R

PROPIEDAD ADICIÓN MULTIPLICACIÓN

Ley de composición

interna (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝑅 y es único (𝑎. 𝑏) ∈ 𝑅 y es único n

Conmutativa En símbolos: abba

Ejemplo: 3223

En símbolos: abba ..

Ejemplo: 4.55.4

Asociativa En símbolos: cbacba

Ejemplo: )53(25)32(

En símbolos: cbacba ....

Ejemplo: 3.4.23.4.2

Elemento neutro a+0=a

Ejemplo: 11+0=11

a.1=a

Ejemplo: 11.1=11

Elemento opuesto

o inverso

a+(-a)=0

4+(-4)=0

1. 1aa

Ejemplo: 5.1

5= 1

Distributiva

La multiplicación es distributiva respecto de la suma y la resta

En símbolos: cabacba ... ó cabacba ...

Ejemplos: 4.32.342.3 ó 1.53.513.5

El conjunto de los números racionales unidos al conjunto de los números irracionales, forman el conjunto de

los números reales R.

En símbolos: 𝑅 = 𝑄 ∪ 𝐼


POTENCIACIÓN Si 𝑎 es un número real cualquiera y 𝑛 es un entero positivo, entonces la potencia 𝑛-ésima de 𝑎 es:

veces

. . ...n

n

a a a a a El número 𝑎 se denomina base, 𝑛 es el exponente y 𝑎𝑛 es la potencia.

Ejemplo: 23 = 2.2.2 = 8

EXPONENTES CEROS Y NEGATIVOS

Si 𝑎 ≠ 0 es un número real y 𝑛 es un entero positivo, entonces:

0 1 a y n

n

aa

1

Ejemplos: 112590 y 2

2

2

12

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN

PROPIEDAD EN SÍMBOLOS EJEMPLO

Distributiva respecto de la

multiplicación nnn

baba .. 3334.34.3

Distributiva respecto de la división n

nn

b

a

b

a

2

22

3

2

3

2

Multiplicación de potencias de

igual base 532 33.3

División de potencias de igual base 23

44

4

Potencia de una potencia mnmn aa . 632 22

Potencia de exponente

fraccionario n mn

m

aa 33

1

55

RADICACIÓN

Si 𝑛 es un entero positivo, entonces la raíz 𝑛-ésima de 𝑎 se define como:

√𝑎𝑛 = 𝑏 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑏𝑛 = 𝑎 𝑎 es el radicando y 𝑛 es el índice.

Ejemplo: √83

= 2 porque 23 = 8

Si 𝑛 es par, debemos tener 𝑎 ≥ 0 y 𝑏 ≥ 0.

nmnm aaa .

nm

n

m

aa

a


PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN

DESCRIPCIÓN EN SÍMBOLOS EJEMPLO

Distributiva respecto de la

multiplicación nnn baba .. 5.25.2

Distributiva respecto de la división n

n

n

b

a

b

a

3

3

3

2

1

2

1

Raíz de una raíz mnn m aa . 63 88

Simplificación par es si

impar es si

naa

naa

n n

n n

3

3

2

2 2

5 5

IMPORTANTE

La potenciación y la radicación NO son distributivas respecto de la suma y la resta. En símbolos:

nnnbaba y nnn baba

ACTIVIDADES

1- Completar con “SIEMPRE”, “A VECES” o “NUNCA” según corresponda.

a. Un número entero …………..…………… es racional

b. Un número real …………………..……….. es irracional

c. Un número irracional …………………… es real

d. Un número natural ……………..……….. es entero

e. Un número racional …………….……….. es entero

f. Un número natural ………………..…….. es irracional

2- Indica qué propiedades de los números reales se están utilizando en cada caso:

a. 7 + 10 = 10 + 7

b. 2(3 + 5) = 2.3 + 2.5

c. (𝑥 + 2𝑦) + 3𝑧 = 𝑥 + (2𝑦 + 3𝑧)

d. 5𝑥 + 5𝑦 = 5(𝑥 + 𝑦)


VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL

PROPIEDADES:

El valor absoluto de un número es siempre mayor o igual que cero: |𝑎| ≥ 0

Los números opuestos tienen el mismo valor absoluto: |𝑎| = |−𝑎|

El valor absoluto es distributivo respecto de la multiplicación y la división: . . aa

a b a bb b

DISTANCIA ENTRE DOS NÚMEROS REALES

Sean 𝑎 y 𝑏 números reales, se define la distancia entre 𝑎 y 𝑏 como el valor absoluto de la diferencia entre ambos

números.

Simbólicamente : ( , )d a b a b b a

Ejemplo: La distancia entre -3 y 5 es: ( 3,5) 3 5 8 8d

INTERVALOS

Se llama intervalo a un subconjunto de la recta real que contiene a todos los números reales que están comprendidos

entre dos números dados 𝑎 y 𝑏, llamados extremos del intervalo.

El módulo o valor absoluto de un número real es la distancia de dicho número al cero y se lo representa: |x|.

0

0

Si a a a

Si a a a

Ejemplo: 3 3 3 3

3- Indica si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas:

a. a–b=b–a b. 333 5.25.2

c. 03520 d. baba 33

e. 22 23 2 3 2 f. 515135 aa

4- Resuelve:

a. 3.5 4.( 3) 6 1 b. 2.23:3 235

c. 2

3.2 6 : 2.( 1) 2 d. 32 05.3 3 .2 5 . 2

5- Simplifica las siguientes expresiones:

a. 5 2

3

3 .3

3 b.

1 3 2

2

2 .2 .5

2 .5

c. 3 2 6

2

. .

2. .

a b a

a b


Los intervalos pueden ser abiertos, cerrados o semiabiertos.

Dados dos números reales 𝑎 y 𝑏 tales que 𝑎 < 𝑏, se definen los siguientes conjuntos que se llaman intervalos de

extremos 𝑎 y 𝑏:

INTERVALO CERRADO

[𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∈ 𝑅/𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏}

INTERVALO ABIERTO

(𝑎, 𝑏) = {𝑥 ∈ 𝑅/𝑎 < 𝑥 < 𝑏}

INTERVALO SEMIABIERTO: CERRADO POR IZQUIERDA Y ABIERTO POR DERECHA

[𝑎, 𝑏) = {𝑥 ∈ 𝑅/𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏}

INTERVALO SEMIABIERTO: ABIERTO POR IZQUIERDA Y CERRADO POR DERECHA

(𝑎,𝑏] = {𝑥 ∈ 𝑅/𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏}

Se definen también los intervalos infinitos:

(−∞, 𝑏] = {𝑥 ∈ 𝑅/𝑥 ≤ 𝑏}

(−∞, 𝑏) = {𝑥 ∈ 𝑅/𝑥 < 𝑏}

[𝑎, ∞) = {𝑥 ∈ 𝑅/𝑎 ≤ 𝑥}

(𝑎, ∞) = {𝑥 ∈ 𝑅/𝑎 < 𝑥}

ACTIVIDADES

1- Calcula la distancia entre los siguientes números:

a. (2,9)d b. (2, 7)d c. ( 3,6)d

2- Determine el conjunto de todos los números reales tales que su distancia al ─3 sea menor que 5.

3- Un punto 𝑥 está 8 unidades distantes de 3. ¿A qué distancia está el punto 𝑥 de 1?

4- Escribir con notación de intervalos y representar en la recta real los siguientes conjuntos:

a. {𝑥 ∈ 𝑅/3 ≤ 𝑥 < 5} = b. {𝑥 ∈ 𝑅/𝑥 ≥ 2}

5- Escribir con notación de conjuntos y representar en la recta real los siguientes intervalos:

a.[−5,4] b. (3

2, 6) c. [−

1

2, +∞) d. (−∞, 0)


TRABAJO PRÁCTICO N°1

1- Escribir en forma simbólica:

a. x pertenece a los número naturales si y solo si x pertenece a los número enteros y es mayor que cero.

b. Si n es un número natural entonces n es un número entero.

c. Existe un número racional w menor que 7.

d. No existe un número real que al elevarlo al cuadrado de como resultado un número negativo.

e. El conjunto B formado por todos los números reales menores que 3 y por todos los números reales mayores

que 5.

f. Si n es un número natural, entonces el siguiente de n también es un número natural.

2- Escribir en lenguaje coloquial:

a. 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑅/0 ≤ 𝑥 ≤ 1}

b. x Z x I

c. 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑍/𝑥 > 100}

d. 1 1

0 , / . 1a R R aa a

3- Completar los espacios en blanco:

a. Un número real es _______________ si se puede escribir como cociente entre dos números enteros.

b. Los números ____________________ tienen cifras decimales no periódicas infinitas.

c. La distancia entre el origen y un punto que represente un número real en la recta de números reales se

conoce como ___________________________ de los números reales.

d. Un número real que se pueda escribir como el producto de dos o más números primos se llama número

_____________________.

e. Un entero que tenga sólo dos divisores positivos, el mismo número y 1, se llama número

_________________________.

4- Tachar el/los conjuntos numéricos a los que no pertenece el número de la primera columna.


5- Dar un ejemplo de:

a. Un número natural.

b. Un entero que no sea número natural.

c. Un número racional que no sea entero.

d. Un número real.

e. Un número irracional.

6- Indica qué propiedades de los números reales se están utilizando en cada caso:

a. 2(𝑎 + 𝑏) = 2𝑎 + 2𝑏

b. 2𝑥(3 + 𝑦) = (3 + 𝑦)2𝑥

c. 15𝑥 − 3 = (5𝑥 − 1). 3

d. (𝑎 + 𝑏)(𝑥 + 𝑦) = (𝑎 + 𝑏)𝑥 + (𝑎 + 𝑏)𝑦

e. (𝑎 + 3) + 7 = 𝑎 + (3 + 7)

7- Escribe de nuevo la expresión utilizando las propiedades indicadas de los números reales:

a. Propiedad conmutativa de la adición 𝑥 + 3 =…………………………………………………

b. Propiedad asociativa de la multiplicación 7(3𝑥) =…………………………………………………

c. Propiedad distributiva 4(𝑎 + 𝑏) =…………………………………………………

d. Propiedad distributiva 9𝑥 + 12 = …………………………………………………

8- Indica si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas:

a. 3. . .3.a b a b

b. 2525

c. 2 3 6.a a a

d. 3

8

3

8

e. abba ::

f. 2 2b a a ba

9- Resuelve:

a. 1 2 1 3

2 3 2 5

b.

12

22 161 :

3 9

c.

11

1 51 : 11 6

15

d.

2

2

15

3 13:

3 1 15

3


e. 1 16 1 1

1 :2 25 2 3

f.

22

7 53 314 2 : 2 . 2

2

10- Simplificar las siguientes expresiones:

a. 3 7 ( 3) 5

4 ( 2) 9

2 .2 .2 .2

2 .2 .2

b.

2 3 4

2 3

. .

. .

a b c

a b c

c.

33 5

1

23 4

2 . 2

2

d.

27 4 3

6 6 8

14

21

a b c

a b c

11- Determinar el conjunto de todos los números reales tales que su distancia a 5 es mayor o igual que 3.

12- Un número real dista 15 unidades del número ─6. ¿Cuál es el valor absoluto de ese número?

13- La distancia entre 𝑥 − 1 y 6 es 3 3x . Sabiendo que 𝑥 < 0 calcula el valor de 𝑥.

14- Escribir con notación de intervalos y representar en la recta real los siguientes conjuntos:

a. / 8 0A x R x b. / 15B x R x

b. / 5 5C x R x d. / 2D x R x

15- Escribir con notación de conjuntos y representar en la recta real los siguientes intervalos:

a. (−∞, −10) b. [6,14] c. (1,5

2) d. [−2, +∞)

16- Dos ruedas dentadas engranan una con otra. Si se sabe que la mayor tiene 54 dientes y la más pequeña 34,

determine cuántas vueltas dará la pequeña cuando la mayor de 221.

17- Gabriela compra 6 kg de ciruelas para hacer mermelada. Los carozos quitados representan la cuarta parte del

peso de las frutas. Añade una cantidad de azúcar igual al peso de pulpa que queda. Durante la cocción, la mezcla

pierde la quinta parte de su peso. Determina el número de potes de 375 gramos que se podrán llevar con el dulce

de ciruelas elaborado.

18- Tres ómnibus salen de la misma estación terminal en tres direcciones distintas. El primero tarde 1 hora y 45

minutos en volver al punto de partida, y permanece un cuarto de hora en la estación. El segundo tarda 1 hora y

5 minutos, y permanece 7 minutos en la estación. Y el tercero tarde 1 hora y 18 minutos y permanece 12 minutos

en la estación. Sabiendo que todos salieron al mismo tiempo a las 6 de la mañana, determina a qué hora volverán

a salir juntos de la estación.


|EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Por ejemplo: 2 3n ; 2 5x y ; 218 5t t ; 3

9xy

.

Las letras representan la parte variable.

MONOMIOS

Un Monomio es una expresión algebraica entera con un solo término, es decir que no figuran las operaciones de suma

y resta.

Ejemplos: yx2

5

1 t12 x5,3

23y 2

1

POLINOMIOS

De manera informal, definiremos como polinomio a la suma algebraica de monomios.

Ejemplos: 4 1

( ) 122

p x x 2( ) 3 2 5q x x x

3( ) 3 2 1r x x x

El grado de un polinomio es el mayor de los grados de los monomios que lo forman.

El coeficiente del término que determina el grado de un polinomio se denomina coeficiente principal.

Ejemplo

El grado de 𝑝(𝑥) = 5𝑥4 + 3𝑥2 − 1 es 4. Y se denota 𝑔𝑟(𝑝(𝑥)) = 4 . El coeficiente principal es 5.

El grado de 𝑞(𝑧) = 3𝑧5 + 8𝑥3 − 𝑧7 es 7. Y se denota 𝑔𝑟(𝑞(𝑧)) = 7. El coeficiente principal es ─1.

TÉRMINOS SEMEJANTES

Son los términos de una expresión algebraica que tienen idéntica parte variable.

Ejemplos: 3𝑥 y 1

5𝑥 son términos semejantes.

2𝑥2 y −𝑥2 son términos semejantes.

OPERACIONES CON POLINOMIOS

Una expresión algebraica es aquella que vincula números (constantes) y letras (variables) por medio de

las operaciones de suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación.


ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN

Ejemplo:

Dados 235)( 23 xxxxp y 12)( 3 xxxq

Hallar 𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥)

3 2 3 3 2 3 3 2( ) ( ) 5 3 2 2 1 5 3 2 2 1 6 3 3p x q x x x x x x x x x x x x x x

Hallar 𝑝(𝑥) − 𝑞(𝑥)

3 2 3 3 2 3 3 2( ) ( ) 5 3 2 2 1 5 3 2 2 1 4 3 3 1p x q x x x x x x x x x x x x x x

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

Ejemplo:

Dados 132)( 2 xxxp y 2)( 2 xxq , hallar p(x).q(x)

p(x).q(x)= 26532263422.132 234232422 xxxxxxxxxxxx

Productos notables

Algunos productos con binomios tienen formas notables que se presentan con frecuencia en álgebra. No es necesario

memorizar estas fórmulas porque se puede usar la propiedad distributiva para multiplicar, pero familiarizarse con ellas

hace posible que se manipule el álgebra con más rapidez.

Ejemplo 1

La suma de dos polinomios 𝑝(𝑥) y 𝑞(𝑥) es otro polinomio cuyos términos son la suma de los términos

semejantes de ambos polinomios y los monomios no semejantes.

El producto de dos polinomios 𝑝(𝑥) y 𝑞(𝑥) es otro polinomio que se obtiene multiplicando cada término

de uno de ellos por cada término del otro y sumando los términos semejantes, si los hubiera.


Hallar el producto de (5 9)(5 9)x x

2 2 2(5 9)(5 9) (5 ) 9 25 81x x x x

Ejemplo 2

Hallar el producto de ( 2)( 2)x y x y

En este caso, será necesario agrupar (𝑥 + 𝑦) para poder utilizar la fórmula de suma y diferencia de términos iguales.

2 2 2 2( 2)( 2) (( ) 2)(( ) 2) ( ) 2 2 4x y x y x y x y x y x xy y

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

El proceso de escribir un polinomio como un producto se llama factorización, y es una herramienta importante para

resolver ecuaciones y para simplificar expresiones racionales.

Si un polinomio no puede ser factorizado como producto de otros polinomios, entonces decimos que es primo o

irreductible.

El tipo más sencillo de factorización se presenta cuando los términos tienen un factor común. La técnica aquí empleada es la propiedad distributiva 𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐.

ab+ac=a(b+c) a es un factor común

Ejemplo 1

Factorizar el polinomio 36 4x x

3 26 4 2 (3 2)x x x x 2x es un factor común

Ejemplo 2

ACTIVIDADES

1- Determinar el grado y el coeficiente principal de cada uno de los siguientes polinomios:

205)( xxp 2 5( ) 3 2 56q x x x x 31( ) 5 16

2r x x x

2- Dados los polinomios: 2)( xxp 52

3)( 2 xxq

Calcular:

a. 𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥) = b. 3𝑞(𝑥) − 𝑝(𝑥) c. 𝑝(𝑥). 𝑞(𝑥)

3- Encuentra cada producto:

a. 2(5 3)x b. (𝑦 + 2)(𝑦 − 2) c. 3(3 2 )y


Factorizar el polinomio ( 2)2 3( 2)x x x

( 2)2 ( 2)3 ( 2)(2 3)x x x x x x ─2 es un factor común

Factorización de formas notables de polinomios

Algunas expresiones algebraicas notables se pueden factorizar usando las fórmulas que siguen. Las tres primeras son simplemente Fórmulas de Productos Notables escritas a la inversa. Aprender a reconocer estas formas te permitirá factorizar fácilmente tales polinomios.

Factorización por agrupación

A veces, polinomios con más de tres términos se pueden factorizar por el método llamado de factorización por

agrupación. No siempre es obvio cuáles términos agrupar y a veces varias agrupaciones diferentes funcionan.

Ejemplo 1

Factorizar el siguiente polinomio 3 22 3 6x x x

Agrupar términos

Factorizar cada grupo

Propiedad distributiva

Ejemplo 2

Factorizar el siguiente polinomio 3 2 4 4x x x

Agrupar términos

Factorizar cada grupo

Propiedad distributiva

3 2 3 2

2

2

2 3 6 ( 2 ) 3 6

( 2) 3( 2)

( 2)( 3)

x x x x x x

x x x

x x

3 2 3 2

2

2

4 4 ( ) (4 4)

( 1) 4( 1)

( 1)( 4)

x x x x x x

x x x

x x


EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES

Ejemplo: 2 3

5 1

x

x

con 𝑥 distinto de

1

5.

OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES:

SIMPLIFICACIÓN

Sea ( )

( )

p x

q x una expresión fraccionaria donde 𝑝(𝑥) = 𝑝1(𝑥). ℎ(𝑥) y 𝑞(𝑥) = 𝑞1(𝑥). ℎ(𝑥) , entonces:

1 1

1 1

( ). ( ) ( )( )

( ) ( ). ( ) ( )

p x h x p xp x

q x q x h x q x

Para valores de 𝑥 que no anulen el denominador.

Ejemplo

Simplificamos la expresión: 2

2

36 con 0 6

3 18

xx x

x x

2 2

2

36 ( 6) ( 6)( 6) 6= = =

3 18 3 ( 6) 3 ( 6) 3

x x x x x

x x x x x x x

2

2

36 6=

3 18 3

x x

x x x

La expresión simplicada es 6

3

x

x

pero hay que tener presente no sólo que 0 x sino también que 6x , entonces

la simplificación es: 6

con 0 63

xx x

x

ACTIVIDADES

Factorizar los siguientes polinomios:

a. 23 12x b. 2 2( 2)x y c. 2 10 25x x

d. 3 27y e. 3 25 5 25x x x f. 3 22 6 3x x x

Las expresiones algebraicas racionales tienen la forma ( )

( )

p x

q x, donde p(x) y q(x) son polinomios y 𝑞(𝑥) es

distinto de cero.


ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN

Al igual que como sucede con las fracciones, las expresiones algebraicas pueden tener igual o distinto denominador:

- De igual denominador:

Ejemplo

4 1 5 3 54 1 5 3 5 4 1 5 3 5 8 9

2 2 2 2 2 2

x x xx x x x x x x

x x x x x x

Se obtiene otra expresión racional en la que el denominador no se modifica y el numerador es igual a la suma de los

numeradores de las expresiones iniciales.

- De distinto denominador:

Ejemplo

2 2 3 3 2

2 3 2 3 22

3 3 23 3 9 2 3 11

2 3 3 2 6 3 2 62 3

x x x xx x x x x x x x x

x x x x x x x xx x

En este caso, hay que encontrar un denominador común entre ambas expresiones.

MULTIPLICACIÓN

Se procede en forma análoga a la multiplicación de fracciones, se multiplican numeradores y denominadores entre sí.

Ejemplo 2

2 3 2

3 3.

2 3 3 2 6

x x x

x x x x x

DIVISIÓN

También se resuelve de manera análoga que en los números racionales. Se multiplica el dividendo por el recíproco del

divisor. Siendo la expresión recíproca de ( )

( )

p x

q x ,

( )

( )

q x

p x, para valores de 𝑥 que no anulen ni 𝑞(𝑥) ni 𝑝(𝑥).

Ejemplo

2

2 2 3

3 3 3 3 9: .

2 3 2 2

x x x x x

x x x x x x

ACTIVIDADES


a. 3 8

2

x

x

b.

24 8 16

2( 2)

x x

x

c.

2

2

14 48

49

x x

x

2- Resuelve

a. 2

2 3

x

x x

b.

2

5 3.

2 1

x

x x

c.

2 3:

1 1

x x

x x


|ECUACIONES

Una ecuación es una igualdad entre expresiones algebraicas en la que intervienen una o varias incógnitas. Las

soluciones de una ecuación son aquellos valores de la incógnita que hacen verdadera la igualdad.

Los miembros de una ecuación son las expresiones que están a ambos lados del signo igual. Así, se llama primer

miembro a la expresión de la izquierda y segundo miembro al de la derecha.

Ejemplo: 1er. miembro 2do. miembro

20 50 x

En este caso la solución es 30, puesto que 30 verifica que 30+20=50.

VERIFICACIÓN DE LA SOLUCIÓN:

Un valor es solución si se verifica a la ecuación. Es decir, si se sustituyen las soluciones en lugar de las incógnitas,

convierten a la ecuación en una igualdad.

ECUACIONES DE PRIMER GRADO O LINEALES

Ejemplo:

Restamos 24 a ambos miembros

Dividimos por 5 a ambos miembros

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

Para resolver una ecuación utilizamos la Propiedad Uniforme, que dice que si aplicamos la misma operación a ambos miembros de la ecuación, la igualdad se mantiene:

• Si se suma o se resta un mismo número a ambos miembros de la ecuación, sus soluciones no cambian. • Si se multiplica o divide por un mismo número (distinto de cero) a ambos miembros de una ecuación sus soluciones no cambian.

Lo mismo sucede al aplicar otras operaciones como la potenciación o la radicación.

Para resolverlas es fundamental

separar en términos y dejar la

incógnita en un miembro de la

ecuación.

En general son de la forma 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 con 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 y 0a

5 24 54

5 24 24 54 24

5 30

5 30

5 5

6

x

x

x

x

x

ACTIVIDADES 1- Corrige el error cometido, y resuélvelo de manera correcta:

6 36 90

9036

6

15 36

21

x

x

x

x


ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO O CUADRÁTICAS

¿Cómo se resuelve una ecuación cuadrática?

Ejemplo 1

2, 2S

Ejemplo 2

0, 2S

Cuando falta el término lineal o el término independiente se dice que la ecuación de segundo grado está incompleta.

Si la ecuación está incompleta, podemos resolverla utilizando las mismas reglas que aplicamos en las ecuaciones lineales.

Pero si la ecuación está completa, tendremos que utilizar otras técnicas. Una opción es utilizar la fórmula

resolvente: 2

1,2

4

2

b b acx

a

, donde a, b y c son los coeficientes de la ecuación.

En general son de la forma 2

Término cuadrático Término lineal Término independiente

0ax bx c con 𝑎 ≠ 0

2- Resuelve las siguientes ecuaciones:

a. 5 23 11x b. 32 2 12 6x x x

c. 4 5 75x d. 5

15 354

x

2

2

2

2

3 12 0

3 12

4

4

2

x

x

x

x

x

2 2x x

25 10 0

5 ( 2) 0 5 0 2 0

0 2

x x

x x x x

x x


Ejemplo 3

22 1 0x x 2a 1b 1c

1

22

1,2 1,2 1,2

2

1 3 1

4 21 1 4.2.( 1)4 1 9

2 2.2 4

1 31

4

x

b b acx x x

a

x

1, 1

2S

¿Cuántas soluciones reales tiene cada una ecuación cuadrática?

Una ecuación cuadrática puede tener dos raíces reales distintas, dos raíces reales iguales o puede no tener solución en el conjunto de los números reales. Lo que determina la cantidad y la naturaleza de las raíces es el discriminante de la ecuación:

Discriminante: acb 42

Si entonces tiene dos raíces reales y diferentes

Si entonces tiene dos raíces reales e iguales.

Si entonces no tiene raíces reales.

ACTIVIDADES Encuentra el conjunto solución de las siguientes ecuaciones

a. 213 8 60x b. 2 6 5 0x x

c. 24 20 25 50x x d. 26 17 133x

Analicemos lo siguientes casos:

0122 xx 022 xx 523 2 xx

¿Cuántas soluciones tiene cada ecuación?


ECUACIONES RACIONALES

Un número real a es solución de una ecuación racional ( )

0( )

p x

q x si y sólo si 𝑝(𝑎) = 0 y 𝑞(𝑎) ≠ 0..

Es decir que, resolver una ecuación racional es encontrar aquellos valores de la indeterminada que anulan el

numerador pero no anulan el denominador.

Ejemplo 1

30

2 1

x

x

Pata resolverla hay que considerar que una fracción es igual a cero sí y sólo sí su numerador es igual

a cero. Además los valores encontrados serán solución de la ecuación siempre que no anulen el

denominador: Entonces:

30 3 0 0

2 1

xx x

x

Verificamos que no se anule el denominador:

Si 𝑥 = 𝑜 entonces 2𝑥 + 1 = 1

Ejemplo 2

2 1

3 3

x x

x x x

. 3 2 3 1 3 30

3 3

x x x x x x x x

x x x

Sacamos común denominador

Aplicamos la propiedad distributiva

Operamos algebraicamente y resolvemos.

¿Podemos estar seguros de que −𝟑

𝟓 es solución de la ecuación?

Para verificar que −3

5 es solución de nuestra ecuación, tenemos que verificar que no anule los denominadores de la

ecuación inicial:

−3

5− 3 ≠ 0 ; −

3

5+ 3 ≠ 0 ; −

3

5≠ 0

Como −3

5 no anula los denominadores, es posible afirmar que es solución de la ecuación.

3 2 2 3 2 23 2 6 3 9 3 2 6 0

15 9 0

9 3

15 5

x x x x x x x x x

x

x

Llamamos ecuación racional o fraccionaria a toda ecuación de la forma ( )

0( )

p x

q x , donde 𝑝(𝑥) y ( )q x son

polinomios. Con la condición de que ( ) 0q x .


ECUACIONES IRRACIONALES

Las expresiones en las que la variable aparece afectada por la radicación se denominan irracionales.

Las ecuaciones irracionales, entonces, son aquellas en las que la incógnita aparece al menos una vez bajo el signo de

radicación. La resolución se basa en la aplicación de las propiedades de las operaciones de los números reales,

especialmente las de la radicación y/o potenciación.

Ejemplo 1

2 3 5x con 2𝑥 − 3 ≥ 0

2

22 3 5x Elevamos al cuadrado ambos miembros de la ecuación.

2 3 25x Por propiedad de la radicación.

2 3 25x Como 2𝑥 − 3 ≥ 0, entonces 2 3 2 3x x

2 28

14

x

x

Operamos algebraicamente y resolvemos.

Verificación: 2.14 3 5

Ejemplo 2:

8 2 4x x con 𝑥 + 8 ≥ 0

8 4 2x x Dejamos la raíz en un miembro de la ecuación.

2 2

8 2x x Elevamos al cuadrado ambos miembros de la ecuación.

28 4 4x x x Como 𝑥 + 8 ≥ 0, entonces:

28 4 4x x x Operamos algebraicamente y resolvemos.

2 3 4 0x x


a. 4 8 1

16 4

x

x x

b.

2 32

1x x

c. 3 2

02 3x x

d.

7 3

5 2

x x

x x


Aplicamos la fórmula resolvente y obtenemos:

3 9 4.( 4)1; 4

2

¿Podemos estar seguros de que ambas son soluciones de nuestra ecuación?

Verificación:

1 8 2 1 4

5 5

4 8 2 4 4

4 0

La única solución de nuestra ecuación es 𝑥 = 1. (−4) es una raíz extraña que surge por haber elevado al cuadrado

ambos miembros de la igualdad.


a. 5 14 2 1 0x x b. 3 1 2x

c. 2 2 5x x x d. 4 3 1 2 2x x


TRABAJO PRÁCTICO N°2

1- Identifica el grado y el coeficiente principal de cada uno de los siguientes polinomios.

a. 25 3 10x x b. 5 8x c. 34 10x x d. 2 1x

2- Dados los polinomios:

3 4p x x 21( ) 1

2q x x 3( ) 2 5r x x 18542)( 23 xxxxs

Calcula:

a. 𝑝(𝑥) + 𝑟(𝑥) b. 2𝑞(𝑥) − 𝑟(𝑥) c. 𝑝(𝑥). 𝑟(𝑥) d. 2( )( )

2

s xp x

3- Encuentra cada producto:

a. 2(2 )x y b. 3(3 )a b c. (4 − 𝑥)(4 + 𝑥)

d. 2 2x x e. 2

7x f. 3

1 2t

4- Factoriza los siguientes polinomios:

a. 3 23 6 9z z b. 2 64x c. 2 4 1

3 9x x

d. 5 3 22 2x x x e. 5 30y f. 38 1x

g. 2 4 1

3 9x x h. 5 2 38 6 12 9x x x i. 2 29 4x y

j. 4 33 2 6x x x k. 24 4 1t t l. 3 64y


a. 2 2 1

1

x x

x

b.

3

2

8 27

2 3

x

x

c.

24 81

2 3

x

x

6- Resuelve:

a. 3 2 1

2 2

x x

x x

b.

2

2 1.

3 2 2

x x

x x

c.

2 3.

1 1

x x

x x

d. 5 1 2 4

3 5

x x

x x

e.

3 24

2 3

xx

x

f.

2

5 3:

2 1

x

x x

7- Encuentra el conjunto solución de las siguientes ecuaciones:

a. 7 2 25x b. 23 75 6x c. 7 8

42 1 2 1

x

x x

d. 8 5 3 20x x e. 2 2 8 0x x f. 2 1 1x x

g. 3( 3) 5(1 )x x h. 2

1 3 4

2 3 6x x x x

i. 2( 12) 6 10x

j. 2 1 8x x k. 24 12 9x x l. 2 1 1x x

m. 10 12

4 03x x

n. 1 2 5x x o. 22 19 33x x


8- Una presa está construida sobre un río para tener un embalse. El nivel del agua a, en el embalse está dado por la

ecuación 1,4 8a t , donde t es la cantidad de años desde que la presa se construyó y a es el nivel del agua

medido en metros. Suponiendo que la presa está preparada para soportar un nivel máximo de 60 metros de agua

en el embalse. ¿Cuántos años, aproximadamente, tendrán que pasar hasta que alcance su máximo nivel?

9- Si 𝐹 es la longitud focal de un lente convexo y un objeto se coloca a una distancia 𝑥 desde el lente, entonces su

imagen estará a una distancia 𝑦 del lente, donde 𝐹, 𝑥 y 𝑦 están relacionadas por la ecuación de lentes

1 1 1

F x y

Suponga que un lente tiene una longitud focal de 4.8 cm y que la imagen de un objeto está 4 cm más cerca del

lente que el objeto mismo. ¿A qué distancia del lente está el objeto?

10- Un gran estanque es abastecido de peces. La población 𝑃 de peces está modelada con la fórmula 3 10 140t t

donde 𝑡 es el número de días desde que los peces fueron introducidos en el estanque. ¿Cuántos días tardará la población de peces en llegar a 500?

11- Un fabricante de aparatos pequeños encuentra que la utilidad 𝑃 (en dólares), generada por producir 𝑥 hornos de

microondas por semana, está dada por la fórmula 1

(300 )10

x x , siempre que 0 200x . ¿Cuántos hornos

deben ser fabricados en una semana determinada para generar una utilidad de $1250?

12- Una línea aérea ofrece diariamente vuelos entre dos ciudades. El costo 𝐶 total mensual (en millones de dólares)

de estos vuelos es 0,2 1C x donde x es el número de pasajeros (en miles). El costo total de los vuelos

durante junio de 2016 fue 2.5 millones de dólares. ¿Cuántos pasajeros volaron en junio?

13- Se lanza una piedra hacia arriba desde la parte superior de un edificio. Su altura h (en metros) sobre el suelo después de t segundos está dada por la fórmula ℎ = 196 + 7𝑡 − 5𝑡2, donde 𝑡 = 0 es el instante en que se lanza la piedra. Calcula cuántos segundos han pasado desde que se lanzó la piedra si se encuentra a 98 metros de altura.

profesorado en matemáticaisfdyt81.edu.ar/wp-content/uploads/2017/03/modulo-curso... ·...

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