PROFESOR:

RUBÉN ALVA CABRERA

TRIGONOMETRIA

CONTEMPORANEA

rubalva@hotmail.com

ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO• EL ÁNGULO

TRIGONOMÉTRICO SE OBTIENE GIRANDO UN RAYO ALREDEDOR DE SU ORIGEN.

SENTIDO DE GIRO HORARIO

SENTIDO DE GIRO ANTIHORARIO

OA : LADO INICIAL

)OA

B

<

)< POSITIVO

)< NEGATIVOOB : LADO FINALO: VÉRTICE

SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR

• SISTEMA SEXAGESIMAL (SISTEMA INGLÉS)o1 GRADO : MINUTO : '1 SEGUNDO : "1

'o 601 "' 601 "o 36001

1vuelta= o360

EQUIVALENCIAS

En el sistema sexagesimal los ángulos se pueden expresar en grados ,minutos y segundos

oA B 'C '' oA B ' C '' Los números B y C deben ser menores de 60

RELACIONES DE CONVERSIÓN

GRADOS MINUTOS SEGUNDOS

x 60 x 60

x 3600

: 60 : 60

: 3600

< <

<<

<

<

<

<<<

< <

Para convertir de grados a minutos se multiplica por 60

Para convertir de minutos a grados se divide entre 60

Para convertir de minutos a segundos se multiplica por 60

Para convertir de segundos a minutos se divide entre 60

Para convertir de grados a segundos se multiplica por 3600

Para convertir de segundos a grados se divide entre 3600

EJEMPLO :o20 36 ' 45 ''

EXPRESAR EN GRADOS SEXAGESIMALESo ' ''20 36 45

o oo 36 4520 60 3600

o oo 3 120 5 80

o164980 CONCLUSIÓN:

RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS DE GRADOS ,MINUTOS y SEGUNDOSNÚMERO DE GRADOS SEXAGESIMALES = SNÚMERO DE MINUTOS SEXAGESIMALES ( m ) = 60SNÚMERO DE SEGUNDOS SEXAGESIMALES ( p ) = 3600S

Al número 36 se le divide entre 60 y Al número 45 se le divide entre 3600

EJEMPLOCalcular la medida de un ángulo en el sistema sexagesimal ,sabiendo que su número de minutos sexagesimales más el doble de su número de grados sexagesimales es igual a 155.

SOLUCIÓNSea S = número de grados sexagesimalesEntonces el número de minutos sexagesimales = 60S

Dato :

155 5(31)S 62 2(31)

60S 2S 155 62S 155

5S 2

El ángulo mide : 5º 4º60 ' 22 2 º30 '

ESTAN ENTENDIENDO ?

NO REPITE POR FAVOR

SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR

• SISTEMA CENTESIMAL (SISTEMA FRANCÉS)g1 GRADO : MINUTO :

m1 SEGUNDO : s1

g m1 100 m s1 100 g s1 10000

1vuelta= g400

EQUIVALENCIAS

En el sistema centesimal los ángulos se pueden expresar en grados ,minutos y segundos

g m sA B C g m sA B C Los números B y C deben ser menores de 100

RELACIONES DE CONVERSIÓN

GRADOS MINUTOS SEGUNDOS

x 100 x 100

x 10 000

: 100 : 100

: 10 000

< <

<<

<

<

<

<<<

< <

Para convertir de grados a minutos se multiplica por 100

Para convertir de minutos a grados se divide entre 100

Para convertir de minutos a segundos se multiplica por 100

Para convertir de segundos a minutos se divide entre 100

Para convertir de grados a segundos se multiplica por 10000

Para convertir de segundos a grados se divide entre 10000

RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS DE GRADOS ,MINUTOS y SEGUNDOS

NÚMERO DE GRADOS CENTESIMALES = CNÚMERO DE MINUTOS CENTESIMALES ( n ) = 100C

NÚMERO DE SEGUNDOS CENTESIMALES ( q ) = 10 000C

RELACIÓN ENTRE LOS SISTEMAS SEXAGESIMAL Y CENTESIMAL

gO 109 m' 5027 s" 25081

GRADOS MINUTOS SEGUNDOS

109CS

5027nm

25081qp

SABEMOS QUE SIMPLIFICANDO SE OBTIENE

g180º 200

g9º 10

SABES QUE :

g9(1º) 10(1 )' m9(60 ) 10(100 )

g9º 10

' m27 50

SABES QUE :g9º 10

g9(1º) 10(1 )'' S9(3600 ) 10(10000 )'' s81 250

SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR• SISTEMA RADIAL (SISTEMA CIRCULAR)

UN RADIÁN ES LA MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL QUE SUBTIENDE EN CUALQUIER CIRCUNFERENCIA UN ARCO DE LONGITUD IGUAL AL RADIO.

.. 1rad

1vuelta 2 rad o ' ''1rad 57 17 45

R

R

R)

EN ESTE SISTEMA LA UNIDAD DE MEDIDA ES EL RADIÁN.

RELACIÓN ENTRE LOS TRES SISTEMAS0 g180 200 rad

ESTA RELACIÓN SE USA PARA CONVERTIR DE UN SISTEMA A OTRO.

EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES CASOS CONVERTIR A RADIANES0A) 54

O54o

rad180

3 rad10

gB) 125

grad

200

5 rad8g125

EJEMPLOS

SABES QUE EL ÁNGULO DE UNA VUELTA MIDE :

SIMPLIFICANDO SE OBTIENE :

g360º 400 2 rad

EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES CASOS CONVERTIR AL SISTEMA SEXAGESIMAL

A) 2 rad3 ...........

o2(180 )3 o120

gB)70 ................. g70o

g9

10

o63EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES CASOS CONVERTIR AL SISTEMA CENTESIMAL

A) 3 rad4

...........g3(200 )

4 g150oB)27 ................ o27

g

o109

g30

FACTORES DE CONVERSIÓNDE GRADOS SEXAGESIMALES A RADIANES

DE GRADOS SEXAGESIMALES A CENTESIMALES

DE GRADOS CENTESIMALES A RADIANES

DE GRADOS CENTESIMALES A SEXAGESIMALES

DE RADIANES A GRADOS SEXAGESIMALES

DE RADIANES A GRADOS CENTESIMALES

orad

180

g

o109

grad

200

o

g9

10orad 180

grad 200

ESTAN ENTENDIENDO ?

NO REPITE POR FAVOR

FÓRMULA DE CONVERSIÓN

S180 C

200 R

S : NÚMERO DE GRADOS SEXAGESIMALESC : NÚMERO DE GRADOS CENTESIMALESR : NÚMERO DE RADIANES

EJEMPLOCALCULAR EL NÚMERO DE RADIANES DE UN ÁNGULO ,SI SE CUMPLE:

8R3S 2C 37

EN ESTE TIPO DE PROBLEMA SE DEBE USAR LA FÓRMULA DE CONVERSIÓN

SOLUCIÓN

S C R180 200

K S k180

C k200R k

SE REEMPLAZA EN EL DATO DEL PROBLEMA8( k)3(180k) 2(200k) 37

,SIMPLIFICANDO SE OBTIENE

148k 37 1k 4

FINALMENTE EL NÚMERO DE RADIANES ES : R 14

4

S k9C k10

R 0k2

NOTA : LA FÓRMULA DE CONVERSIÓN EN ALGUNOS CASOS CONVIENE EXPRESARLA DE LA SIGUIENTE MANERA

S9 C

10 20R

OTRAS RELACIONES IMPORTANTES* ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS SUMAN : o g90 100 rad2

* ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS SUMAN : O g180 200 rad

* EQUIVALENCIAS USUALES:orad 603

orad 306

orad 454

SISTEMASEXAGESIMALCENTESIMALRADIAL

COMPLEMENTO SUPLEMENTOSC

R

90 - S 180 - S100 - C 200 - C

R2

R

EJERCICIOS1. CALCULAR :

g

45º rad12E 50 33º

SOLUCIÓNPara resolver este ejercicio la idea es convertir cada uno de los valores dados a un solo sistema ,elegimos el SISTEMA SEXAGESIMAL

rad12

180º12 15º g50; 45º

Reemplazamos en E

45º 15ºE 45º 33º

60º12º 5

g9º( )10

2. El número de grados sexagesimales de un ángulo más el triple de su número de grados centesimales es 78, calcular su número de radianes

SOLUCIÓNSea S = número de grados sexagesimales

C = número de grados centesimalesSabes que : S C

9 10 = K y

Dato : S + 3C = 78

S = 9K C = 10K

9K + 3( 10K ) = 78 39K = 78 K = 2El número de radianes es :

kR 20

2R 20

10

3. Determinar si es verdadero o falso

A ) rad 180 B ) El complemento de esg30 g70C )

g g24º 2º36 3

D )rad

Los ángulos interiores de un triángulo suman

E ) 180º

F ) g1º 1

G ) El número de grados sexagesimales de un ángulo es igual al 90% de su número de grados centesimales

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