prof. rafael cristancho subproyecto: ecuaciones

Prof. Rafael Cristancho 1

Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

ECUACIONES DIFERENCIALES

En cursos de cálculos anteriores se estudió que, dada una función ( )y f x ,

podemos encontrar su derivada ( )y f x , utilizando algunos métodos apropiados. En el

Subproyecto Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, estudiaremos métodos para resolver el

problema siguiente: Dada la ecuación ( , )dy

f x y ydx

, encontrar una función ( )y y x

que satisface dicha ecuación.

Definición: Una Ecuación Diferencial es una igualdad que contiene las derivadas de una o

más variables dependientes respecto a una o más variables independientes.

Son Ecuaciones Diferenciales 2 3 ( )y xy xy sen x , ( 3) ( ) 0x dy x y dx

2

2

u u v vsenx x y

x y y

, x y dy

e x ydx

.

CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES SEGÚN LA

DERIVADA, EL ORDEN, EL GRADO Y LA LINEALIDAD.

1.- Según el tipo de derivada:

Se dice que una Ecuación Diferencial es Ordinaria si y sólo si es una igualdad que

contiene las derivadas ordinarias de una o más variables dependiente respecto a una sola

variable independiente. Son Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, 3 xdye xsenx

dx ,

2cosdu dz

x xdx dx

, 24 tan(ln ) 5y x y xy .

Se dice que una Ecuación Diferencial es Parcial si y sólo si es una igualdad que

contiene las derivadas parciales de una o más variables dependiente respecto a dos o más



variables independientes. Son Ecuaciones Diferenciales Parciales, 0u v

x y

,

2 2u vu v

x y x y

.

Observación: Para el Subproyecto nos limitaremos al estudio de las Ecuaciones

Diferenciales Ordinarias.

2.- Según el orden: El orden de una Ecuación Diferencial es la derivada de mayor orden

que aparece en la ecuación.

Ejemplos:

a) 33 ( ) 3 0y x y x es una Ecuación Diferencial de segundo orden.

b) 1

2dy xy dx es una Ecuación diferencial de primer orden, ya que se puede expresar

como 1

2dy

xydx

c) 2 3

2 30

u v

x y

es una Ecuación Diferencial parcial de tercer orden.

Observación: Denotaremos las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de orden n como

( )( , , , ,..., ) 0nF x y y y y

3.- Según el grado: El grado de una Ecuación Diferencial, que puede escribirse como un

polinomio en la variable dependiente y sus derivadas, es la potencia a la cual está elevada la

derivada de mayor orden.

Ejemplos:



a) 5 7 3( ) 3 ( ) 4 5y y y y xsenx es una Ecuación Diferencial Ordinaria de grado 5.

Obsérvese que la variable dependiente es y y la variable independiente es x.

b)

73

34

d y dyy x

dx dx

es una Ecuación Diferencial Ordinaria de grado uno.

c) ( ) 2iv yy xy x y e senx es una Ecuación Diferencial Ordinaria que no tiene grado,

pues ye no representa un polinomio.

4.- Según la linealidad: Una Ecuación Diferencial Ordinaria en la variable independiente x

y la variable dependiente y es lineal si y sólo si tiene la siguiente forma:

( ) ( 1)

1 1 0( ) ( ) ....... ( ) ( ) ( )n n

n na x y a x y a x y a x y g x

.

Observación: Recuérdese que ( )

nn

x

d yy

dx ,

1( 1)

1

nn

n

d yy

dx

,….,

dyy

dx . Cada coeficiente

depende solamente de la variable x, y la variable dependiente junto con sus derivadas tienen

potencia uno.

Las siguientes Ecuaciones Diferenciales Ordinarias son lineales: 0dy

x ydx

,

2 2 xy x y senxy xy e . Las siguientes Ecuaciones Diferenciales Ordinarias no son

lineales: 1

2dy

xydx

, 2 1yy y x , 3

3

3

d yy senx

dx . El estudiante identificará los

términos para los cuales no se cumple la linealidad.

Problemas Propuestos.

Clasifique las siguientes Ecuaciones Diferenciales según: Derivada, Orden, Grado y

Linealidad. Además, identifique la variable dependiente e independiente.

1.- 2

25 2 9 2cos3

d x dxx t

dt dt 2.-

2

1dy

y cdx

, c es constante.



3.- 4

48 (1 )

d yx x

dx 4.- (4 )(1 )

dxk x x

dt , k es una constante.

5.- ( )dp

kp P pdt

donde k y p son constantes. 6.- 2

2

2(1 ) 9 0

d y dyy y

dx dx donde

es una constante.

7.- 2 1n

n

d xy

dy 8.-

2

2 2

d R k

dt R k es una constante.

9.- ( ) ''' (cos ) ' 2sen y y 10.- 3

2

4 823

25 2 9 2

d y dyx y x

dx dx

SOLUCIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES.

Soluciones explícitas e implícitas:

Definición: Una solución explícita de una Ecuación Diferencial ( )( , , , ,..., ) 0nF x y y y y

en un intervalo I, es una función ( )y x que satisface la ecuación diferencial para todos los

valores de x en I.

Ejemplo: 2 cos2y asen x b x es solución explícita de la ecuación diferencial

4 0y y . En efecto:

:: 2 cos2 2 cos2 2 2 4 2 4 cos2y asen x b x y a x bsen x y asen x b x . Luego

tenemos que:

4 4 2 4 cos 2 4( 2 cos 2 )

4 4 2 4 cos 2 4 2 4 cos 2 0 4 0

y y asen x b x asen x b x

y y asen x b x asen x b x y y

Para todo número real x.



Definición: Se dice que una relación ( , ) 0G x y es una solución implícita de la ecuación

diferencial ( )( , , , ,..., ) 0nF x y y y y en un intervalo I si define dos o más soluciones

explícitas en I.

Ejemplo: La relación 2ln 1y y x es una solución implícita de la ecuación diferencial

2

1

dy xy

dx y

, en efecto derivando la ecuación

2ln 1y y x implícitamente respecto a x

tenemos que: 1 1

2 0 2dy dy y dy

x xdx y dx y dx

2

1

dy xy

dx y

.

Problemas Resueltos:

1.- Determinar si la función 2 3x xy e e es solución explícita de la ecuación diferencial

2

22 0

d y dyy

dx dx

Solución:

Veamos si la función 2 3x xy e e es solución explícita de la ecuación diferencial

2

22 0

d y dyy

dx dx . Para esto debemos derivar dos veces la función

2 3x xy e e ,

sustituirla en la ecuación diferencial y verificar si se cumple la igualdad. Veamos:

22 2 2

2:: 3 2 3 4 3x x x x x xdy d y

y e e e e e edx dx

. Luego se tiene que:

2

2 2 2

22 4 3 2 3 2 3x x x x x xd y dy

y e e e e e edx dx

22 2 2

22 4 3 2 3 2 6x x x x x xd y dy

y e e e e e edx dx



22 2

22 4 4 6 6x x x xd y dy

y e e e edx dx

2

22 0

d y dyy

dx dx . Por lo tanto, la función

2 3x xy e e es solución explícita de la ecuación diferencial 2

22 0

d y dyy

dx dx .

2.- Verifique que la relación 2 2 1x y es una solución implícita de la ecuación diferencial

2 1

dy xy

dx x

.

Solución:

Veamos si la relación 2 2 1x y es solución implícita de la ecuación diferencial

2 1

dy xy

dx x

. Para esto debemos derivar implícitamente la relación

2 2 1x y .

2 2 2 2:: 1 ( ) ( ) (1) 2 2 0d d d dx dy

x y x y x ydx dx dx dx dx

22 2 0 2 2

2

dy dy dy xx y y x

dx dx dx y

2

dy x dy xy

dx y dx y

2 2 2 2

2:: 1 1

1

dy xyx y y x

dx x

2 2( 1) 1

dy xy dy xy

dx x dx x

. Luego la

relación 2 2 1x y es solución implícita de la ecuación diferencial

2 1

dy xy

dx x

SOLUCIONES GENERALES, PARTICULARES Y SINGULARES.

Definición: Una solución general de una Ecuación Diferencial Ordinaria de orden n

( )( , , , ,..., ) 0nF x y y y y , es una familia de soluciones que contiene n parámetros o

constantes arbitrarias 1 2( , , , ,..., ) 0nG x y c c c .

La solución general para la ecuación diferencial 4 0y y es

1 22 cos2y c sen x c x donde 1c y 2c son constantes arbitrarias.



Definición: Una solución particular de una Ecuación Diferencial Ordinaria es una solución

que se obtiene asignándole valores específicos a las constantes que intervienen en la

solución general.

Si hacemos 1 3c y 2 2c en el ejemplo anterior, obtenemos la función

3 2 2cos2y sen x x que representa una solución particular de la ecuación diferencial

4 0y y .

Definición: Una solución singular de una Ecuación Diferencial Ordinaria es una solución

que no puede obtenerse a partir de la solución general, asignándole valores a las constantes

arbitrarias.

1

yx c

es solución general de la ecuación diferencial 2 0y y . En efecto:

1y

x c

0y es una solución de la ecuación diferencial

2 0y y que no se obtiene

dándole valores específico a la constante c en la solución general. Por lo tanto 0y es una

solución singular de la ecuación diferencial.


1.- Demuestre que 1 2( ) cosx c senx c x es solución de la ecuación diferencial

2

20

d yy

dx para cualquier elección de las constantes 1 2 y c c . De este modo,

1 2 cosc senx c x es una familia biparamétrica de soluciones de la ecuación diferencial dada.

Grafique algunas curcas solución.

Demostración:



Q.D.Q: 1 2( ) cosx c senx c x es solución de la ecuación diferencial 2

20

d yy

dx para

cualquier elección de las constantes 1 2 y c c . Sea ( )y x , entonces derivando la función

dos veces se tiene que:

1 2 1 2 1 2:: ( ) ( ) cos cos cosdy

y x x c senx c x y c senx c x c x c senxdx

2

1 22cos ( )

d yc senx c x I

dx . Ahora, veamos si se (I) satisface la ecuación diferencial

2

20

d yy

dx .

2 2

1 2 1 22 2cos cos 0

d y d yy c senx c x c senx c x y

dx dx . Con lo cual,

1 2( ) cosx c senx c x es una familia biparamétrica de soluciones de la ecuación

diferencial 2

20

d yy

dx . La gráfica de algunas soluciones se representara por medio del

paquete matemático MAPLE.



2.- Verifique que 2

( )1 x

xce

, donde c es una constante arbitraria, es una familia

uniparamétrica de soluciones de la ecuación diferencial ( 2)

2

dy y y

dx

. Grafique las curcas

solución correspondiente a 0, 1, 2c c c usando los mismos ejes de coordenadas.

Solución:

Sea 2

( )1 x

y xce

. Veamos si es solución de la ecuación diferencial ( 2)

2

dy y y

dx

2 2

2 2( ) 2:: ( )

1 (1 ) (1 )

x x

x x x

dy ce dy cey I

ce dx ce dx ce

2 2:: (1 ) 2 1

1

x x

xy y ce ce

ce y

21 xce

y

2( )x y

ce IIy

. Sustituyendo

(II) en (I) se tiene que:

2

22

2

y

dy y

dx

y

2

2

2( 2)

2( 2) ( 2)

4 4 2

y

dy dy y y dy y yy

dx dx y dx

y

. Luego podemos

concluir que: 2

( )1 x

xce

es una familia uniparamétrica de soluciones de la ecuación

diferencial ( 2)

2

dy y y

dx

. Las gráficas de las curvas solución correspondiente a

0, 1, 2c c c está dada por:



3.- Determinar si la relación 3 2seny xy x es solución implícita de la Ecuación

Diferencial 3 2

2

6 ' ( ') 2( ')''

3

xy y seny yy

x y

Solución. Veamos si 3 2seny xy x es solución implícita de la Ecuación Diferencial

3 2

2

6 ' ( ') 2( ')''

3

xy y seny yy

x y

. Para esto procedamos a derivar implícitamente la relación

3 2seny xy x .

3 3 3:: 2 ( ) ' 2' ( ) ' ( ) ' ( ) ' 0seny xy x seny xy x seny xy x 2(cos ) ' ' ' 3 ' 0y y x y xy x x 2(cos ) ' ' 3 0y y y xy x

2(cos ) ' 3 ( )y x y x y i

Derivando implícitamente la relación 2(cos ) ' ' 3 0y y y xy x tenemos que:



2 2:: (cos ) ' ' 3 0 ((cos ) ' ' 3 ) ' 0'y y y xy x y y y xy x

(cos ) ' ' (cos )( ') ' ' ' ' ( ') ' 6 ' 0'y y y y y x y x y xx

( ') ' (cos )( '') ' ' '' 6 0seny y y y y y y xy x

2( ') cos ( '') 2 ' '' 6 0seny y y y y xy x 2(cos ) '' 6 ( ') 2 'y x y x y seny y

26 ( ') 2 '''

cos

x y seny yy

y x

2(6 ( ') 2 ') '''

(cos ) '

x y seny y yy

y x y

3 26 ' ( ') 2( ')'' ( )

(cos ) '

xy y seny yy ii

y x y

Sustituyendo (i) en (ii) se tiene que:

3 2

2

6 ' ( ') 2( ')''

3

xy y seny yy

x y

Luego

3 2seny xy x es solución implícita de la

Ecuación Diferencial 3 2

2

6 ' ( ') 2( ')''

3

xy y seny yy

x y

.

4.- Compruebe que 2 2 2

1

xx t x

oy e e dt c e es una familia de soluciones de la ecuación

diferencial ' 2 1y xy

Demostración. QDQ 2 2 2

1

xx t x


diferencial ' 2 1y xy . En efecto:

2 2 2 2 2 2'

1 1:: 'x x

x t x x t x

o oy e e dt c e y e e dt c e

2 2 2

1: ( ) ' ( ) 'x

x t x

oy e e dt c e

2 2 2 2 2

1' ( ) ' ( ) ' ( ) ' ( )x x

x t x t x

o oy e e dt e e dt c e i

Determinemos 2

( ) 'xe



2 2 2 22( ) ' ( ) ' ( ) ' 2 ( )x x x xe e x e xe ii

Ahora determinemos 2

( ) 'x

t

oe dt . Por el Primer Teorema Fundamental el cual dice que: Sea

f una función continua en un intervalo cerrado ,a b y sea x cualquier número de ,a b . Si

F es una función definida por ( ) ( )x

aF x f t dt entonces

'( ) ( ) ( ) ( )x

a

dF x f x f t dt f x

dx se tiene que:

2 2 2 2

( ) ' ( ) ' ( )x x x

t t t x

o o o

de dt e dt e dt e iii

dx . Sustituyendo (ii) y (iii) en (i) se tiene que:

2 2 2 2 2

1' 2 2x

x t x x x

oy xe e dt e e c xe

2 2 2

1' 2 1 2x

x t x

oy xe e dt c xe Luego

tenemos que:

2 2 2 2 2 2

1 1' 2 2 1 2 2 ( )x x

x t x x t x

o oy xy xe e dt c xe x e e dt c e

2 2 2 2 2 2

1 1' 2 2 1 2 2 2x x

x t x x t x

o oy xy xe e dt c xe xe e dt c xe ' 2 1y xy con lo

cual se tiene que 2 2 2

1

xx t x


diferencial ' 2 1y xy

Problemas Propuestos.

1.- Demuestre que la ecuación 2 1

ln1

xt

x

es solución implícita particular de la

Ecuación Diferencial ( 1)(1 2 )dx

x xdt



2.- Compruebe que 1

11

t

t

c eP

c e

, donde 1c es una constante, es una familia uniparamétrica

de soluciones de la Ecuación Diferencial (1 )dP

P Pdt

3.- Las gráficas de los miembros de una familia uniparamétrica 3 3 3x y cxy se llama

folium de Descartes. Compruebe que esta familia es una solución implícita general de la

Ecuación Diferencial de primer orden 3 3

3 3

( 2 )

(2 )

dy y y x

dx x y x

4.- Demuestre que la función 22 1y c x es solución explícita general de la Ecuación

Diferencial 2(1 ) ' 2x y xy x

5.- Demuestre que ( )arcsen cxy e es solución explícita general de la Ecuación Diferencial

' (ln )xy ytg y

6.- Verifique que 2

0

xx t xy e e dt ce donde c es una constante, es una familia

uniparamétrica de soluciones de la Ecuación Diferencial 2

' x xy y e

7.- Determinar si las ecuaciones paramétricas cos ,x t y sent es solución de la Ecuación

diferencial ' 0x yy

8.- Verifique que 2y x cx es solución general de la Ecuación Diferencial

2 2( ) 3 0x y dx xydy

9.- Determinar si la ecuación lnx y cy es solución de la Ecuación Diferencial

'( )y x y y



10.- Determinar si la relación 2 2ln 0y

arctg c x yx

es solución implícita de la

Ecuación Diferencial ( ) ( ) 0x y dx x y dy

11.- Demuestre que la relación 2

0

x

x y sent dt es solución implícita de la Ecuación

Diferencial 2 2'y xy y senx

12.- Compruebe que 0

lnx sent

x dt y yt

es solución implícita de la Ecuación Diferencial

' ln lnxy x y xsenx y y

13.- Verifique si la relación 1ye cx es o no solución de la Ecuación Diferencial

' 1 yxy e

PROBLEMAS DE VALOR INICIAL Y PROBLEMAS DE VALOR LÍMITES

Definición: Una Ecuación diferencial junto con las condiciones complementarias de la

variable dependiente y sus derivadas, todas dadas para el mismo valor de la variable

independiente, constituye un problema de valor inicial y las condiciones complementarias

se llaman condiciones iniciales.

Ejemplo: El problema 2 xy y e ; ( ) 1; ( ) 2y y es un problema de valor inicial.

Definición: Una Ecuación diferencial junto con las condiciones complementarias de la

variable dependiente y sus derivadas, dadas para más de un valor de la variable

independiente, constituye un problema de valor límite y las condiciones complementarias

se llaman condiciones límites.

Ejemplo: El problema 2 xy y e ; (0) 1; (1) 1y y es un problema de valor límite.



Definición: Una solución para un problema de valor inicial o un problema de valor límite

es una función ( )y x que satisface tanto la ecuación diferencial como todas las condiciones

complementarias.


1.- Demuestre que la función 2

1 2

x xy c e c e es solución de la ecuación diferencial

2

22 0

d y dyy

dx dx para cualquier elección de las constantes 1 2 y c c . Determine 1 2 y c c , de

tal manera que se satisfaga las condiciones iniciales (0) 2; '(0) 1y y

Solución:

Q.D.Q: la función 2

1 2

x xy c e c e es solución de la ecuación diferencial

2

22 0

d y dyy

dx dx para cualquier elección de las constantes 1 2 y c c . Para esto debemos ver

que la función 2

1 2

x xy c e c e satisface la ecuación diferencial 2

22 0

d y dyy

dx dx . En

efecto:

22 2 2

1 2 1 2 1 22:: 2 4x x x x x xdy d y

y c e c e c e c e c e c edx dx

. Con lo cual se tiene que:

22 2 2

1 2 1 2 1 222 4 2 2( )x x x x x xd y dy


22 2 2

1 2 1 2 1 222 4 2 2 2x x x x x xd y dy


2

22 0

d y dyy

dx dx . Con

lo cual 2

1 2

x xy c e c e es solución de la ecuación diferencial 2

22 0

d y dyy

dx dx . Ahora

procedamos a determinar 1 2 y c c tal que se satisfaga las condiciones iniciales

(0) 2; '(0) 1y y



2 0 2.0

1 2 1 2:: (0) 2 2x xy y c e c e c e c e 1 2 2 ( )c c I

2 0 2.0

1 2 1 2:: '(0) 1 ' 2 1 2x xdyy y c e c e c e c e

dx

1 22 1( )c c II

De (I) y (II) se tiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales:1 2

1 2

2

2 1

c c

c c

1 2 1 2 1 2 1 2 2 2:: 2 2 1 2 2 1 3 3 1c c c c c c c c c c

2 1 2 1 1:: 1 2 1 2 1c c c c c . Por lo tanto el valor de 1 2 y c c que satisface las

condiciones iniciales (0) 2; '(0) 1y y , son: 1 21 y 1c c , así la función queda expresada

de la siguiente manera: 2x xy e e . La gráfica de esta solución es:

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN.

Definición: La forma estándar de una ecuación diferencial, de primer orden es ( , )y f x y

Definición: La forma diferencial de una ecuación diferencial, de primer orden tiene la

forma ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy .

Observación: Una Ecuación Diferencial en la forma estándar se puede escribir en la forma

diferencial y una Ecuación Diferencial en la forma diferencial puede escribirse en la forma

estándar.



Ejemplo: Sea la ecuación diferencial 2dy x y

dx x y

, expresemos dicha ecuación en la forma

diferencial. En efecto. 2

2:: ( ) ( )dy x y

x y dy x y dxdx x y

2( ) ( ) 0x y dx x y dy siendo ( , )M x y x y y 2( , ) ( )N x y x y .

Ahora, veamos la ecuación diferencial 2 2( 4) 0x dx y dy , vamos a expresarla en la

forma estándar. En efecto. 2 2 2 2:: ( 4) 0 ( 4) 0dy

x dx y dy x ydx

22 2 2 2

2:: ( 4) 0 ( 4)

4

dy xy x y y y y x y

dx y

Teorema: Si ( , )f x y y f

y

son continuas en el rectángulo 0 0: ,R x x a y y b ,

entonces existe un intervalo alrededor de 0x en el cual el problema de valor inicial

0 0( , ), ( )y f x y y x y tiene una solución única. El teorema permite establecer que

cumpliéndose las condiciones siempre es posible encontrar una única solución.

CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER

ORDEN.

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN LINEALES.

Definición: Una Ecuación Diferencial, de primer orden en la variable dependiente y es

lineal si tiene la forma ( ) ( )dy

p x y q xdx

, la cual puede escribirse en la forma

( ) ( )dy

p x y q xdx

. Como dy

ydx

, tenemos que ( ) ( )y p x y q x o su equivalente

( ) ( )y p x y q x .



Observación: Si la variable dependiente es x, y la variable independiente es y, la ecuación

diferencial lineal, de primer orden tiene la forma ( ) ( )dx

p y x q ydy

. Los ejemplos los

puede conseguir en la página http://ecuacionesytransformadas.jimdo.com/libros

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN HOMOGÉNEAS.

Definición: Una Ecuación Diferencial de primer orden, en la forma estándar es homogénea

si y sólo se cumple que ( , ) ( , )f tx ty f x y para todo número real 0t

Ejemplo: Veamos si la ecuación diferencial y x

yx

es homogénea. En efecto.

:: ( , ) ( , ) ( , )y x y x ty tx

y f x y y f x y f tx tyx x tx

( )( , ) ( , )

t y x y xf tx ty f tx ty

tx x

. Pero ( , ) ( , ) ( , )

y xf x y f tx ty f x y

x

con

lo cual la Ecuación Diferencial es homogénea.

Observación: El término homogénea se usa solo para la definición anterior, pues en

términos generales es completamente diferente.

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN DE VARIABLE

SEPARABLE.

Definición: Una Ecuación Diferencial de primer orden, es de variable separable si y sólo si

tiene la forma ( ) ( ) 0A x dx B y dy , donde A(x) depende sólo de x y B(y) depende sólo de

y, o si es posible encontrar una expresión D (que dependa de x, de y, o de ambas) tal que al

multiplicarla por la ecuación diferencial en la forma diferencial se obtiene una ecuación

diferencial de la forma ( ) ( ) 0A x dx B y dy .

Ejemplos:



1.- cos 3 0xdx ydy es una Ecuación Diferencial Ordinaria de primer orden de Variable

Separable, ya que tiene la forma ( ) ( ) 0A x dx B y dy con ( ) cosA x x y ( ) 3B y y

2.- 2

2

10dx y dy

x es una Ecuación Diferencial Ordinaria de primer orden de Variable

Separable, con 2

1( )A x

x y

2( )B y y .

3.- 2 2sec tan sec tan 0x ydx y xdy no tiene la forma ( ) ( ) 0A x dx B y dy , sin embargo

si se multiplica por 1

tan tanx y obtenemos la ecuación diferencial

2 2sec sec0

tan tan

x ydx dy

x y que tiene la forma ( ) ( ) 0A x dx B y dy . Por lo tanto la ecuación

diferencial 2 2sec tan sec tan 0x ydx y xdy es de Variable Separable.

4.- 2( ) cos( ) 0xyx y dx e x y dx , no es de Variable Separable ya que no tiene la forma

( ) ( ) 0A x dx B y dy y es imposible encontrar una expresión que al multiplicarla por la

ecuación diferencial se convierta en la forma ( ) ( ) 0A x dx B y dy

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN EXACTAS

Definición: Una Ecuación Diferencial Ordinaria, de primer orden en la forma diferencial es

exacta si y sólo si M N

y x

Ejemplos:1.- La Ecuación Diferencial 2 2sec tan sec tan 0x ydx y xdy es exacta. En

Efecto. Sean 2( , ) sec tanM x y x y y

2( , ) sec tanN x y y x , entonces 2 2sec sec

My x

y

y

2 2sec secN

y xx

M N

y x



2.- Veamos si la Ecuación Diferencial 25 0xydx x ydy es exacta. Sean ( , ) 5M x y xy y

2( , )N x y x y , entonces 5M

xy

y 2

Nxy

x

M N

y x

con lo cual la Ecuación

Diferencial no es exacta.

SOLUCIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN.

SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN DE

VARIABLE SEPARABLE.

La solución general de la Ecuación Diferencial de primer orden de variable

separable ( ) ( ) 0A x dx B y dy es ( ) ( )A x dx B y dy c , donde c es una constante

arbitraria. El problema de valor inicial 0 0( ) ( ) 0; ( )A x dx B y dy y x y tiene por solución

0 0

( ) ( ) 0x y

x yA x dx B y dy


1.- Obtenga la solución de la ecuación diferencial 2(1 ) 'x y y

Solución:

2:: (1 ) 'x y y está en la forma estándar Hallemos su forma diferencial.

2 2 2:: (1 ) ' ' (1 ) (1 )dy dy

x y y y x y x dy y dxdx dx

2 1

dy dx

y x

2( )

1

dy dxI

y x

Determinemos 2

dy

y.

2 1 12

1 1 12 2 2 2

1( )

2 1 1

dy dy y dy y dyy dy c c c II

y y y y y



Determinemos ahora 1

dx

x. Sea 1u x du dx du dx . Por lo tanto tenemos

que: 2 2ln ln 1 ( )

1 1 1 1

dx du dx du dx dxu c x c III

x u x u x x

Sustituyendo (II) y (III) en (I) se tiene que:

1 2

1ln 1c x c

y

2 1

1 1ln 1 ln 1 lnx c c x c

y y

11 1ln 1 ln ln (1 ) (1 )yx c c x e c x

y y

2.- Obtenga la solución del problema de valor inicial ; ( ) 3dy

ysenx ydx

Solución:

Para obtener la solución del problema de valor inicial ; ( ) 3dy

ysenx ydx

, se procede de

la siguiente manera:

1. Se obtiene la solución de la ecuación diferencial dy

ysenxdx

2. Se obtiene el valor de la constante tal que cumpla que ( ) 3y

Procedamos primero a obtener la solución de la ecuación diferencial dy

ysenxdx

.

cos:: ln cos x cdy dy dyysenx senxdx senxdx y x c y e

dx y y

. Así la

solución de la ecuación diferencial dy

ysenxdx

es cos x cy e . Ahora determines el valor

de la constante c talque se cumpla que ( ) 3y .



cos cos:: ( ) 3 3x c cy y e e ( 1) 13 3 3c c ce e ee

133c ce e e

e

. Luego se tiene que:

cos cos cos 1:: ( 3 )x c x c xy e y e e y e e cos 1 cos 1:: 3 3x xy y e e y e .

En conclusión la solución del problema de valor inicial ; ( ) 3dy

ysenx ydx

está dado

por cos 13 xy e . La gráfica de esta solución es

SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

HOMOGÉNEAS.

Para obtener la solución de una ecuación diferencial de primer orden homogéneo se

hace el cambio y vx y su respectiva derivada dy vdx xdv o su equivalente

dy dvv x

dx dx . Si al aplicar este método las integrales resultantes son muy complejas se

aplica el método alterno. Se hace el cambio x uy y sus respectivas derivadas

dx udy ydu .




1.- Obtenga la solución de la ecuación diferencial 2 2( ) 2 0x y dx xydy

Solución:

Se puede verificar que la ecuación diferencial 2 2( ) 2 0x y dx xydy es homogénea, ie, la

ecuación diferencial satisface la condición ( , ) ( , )f tx ty f x y . (Verifíquela!!!. Observe que

la ecuación está en la forma diferencial, debe transformarla a la forma estándar).

Sea y ux dy udx xdu . Luego se tiene que:

2 2 2 2 2:: ( ) 2 0 ( ) 2 ( ) 0x y dx xydy x u x dx xux udx xdu

2 2 2(1 ) 2 ( ) 0x u dx x u udx xdu 2 2[(1 ) 2 ( )] 0x u dx u udx xdu

2(1 ) 2 ( ) 0u dx u udx xdu 2 2(1 2 ) 2 0u u dx uxdu 2(1 3 ) 2 0u dx uxdu

2

20

1 3

dx du

x u

2

2

1 3

dx duc

x u

. Pero lndx

xx . Ahora determinemos

2

2

1 3

du

u. Hacemos el cambio 21 3 6 3.2 2

3

dww u dw udu dw du du .

Luego:

2

2 2 2

2 1 2 1 2 1ln ln 1 3

1 3 3 1 3 3 1 3 3

du dw du duw u

u w u u

. Luego:

2

2 2

2 2 1:: ln ln 1 3

1 3 1 3 3

dx du dx duc x u

x u x u

21

ln ln 1 33

x u c

2 3 23ln ln 1 3 3 ln ln 1 3x u c x u k , 3k c

3 2 3 2ln (1 3 ) (1 3 ) kx u k x u e 3 2

1(1 3 )x u c



23 3 2

1 12(1 3 ) 3

y yy ux u x c x xy c

x x

PROBLEMAS RESUELTOS

Objetivo #1: Clasificar las Ecuaciones Diferenciales según: Derivada, Orden, Grado y

Linealidad. Valor: 2%. Criterio de aprobación: 100%.

1.- Clasifique las siguientes Ecuaciones Diferenciales según: Derivada, Orden, Grado y

Linealidad:

1.1.- 2

20

d Q dQ QR

dt dt C 1.2.-

4 53 2

3 20

d y d yy

dx dx

1.3.- ' cosy y x

1.4.- 2 3

4 2 4

2 3

dy d y d yx x y

dx dx dx 1.5.-

2

2

x d y dye senx x

dx dx

RESPUESTAS:

1.1.- La Ecuación Diferencial 2

20

d Q dQ QR

dt dt C es una Ecuación Diferencial Ordinaria

(la derivada ordinaria), de Orden dos (derivada de mayor orden), Grado uno (El grado de

una Ecuación Diferencial que puede escribirse como un polinomio en la variable

dependiente y sus derivadas es el exponente de la derivada de mayor orden), Lineal (los

coeficientes de la variable dependiente y sus derivadas están compuesta solamente de la

variable independiente y el grado de la variable dependiente y sus derivadas es de grado

uno). En este caso la variable dependiente es Q e independiente t.

1.2.- La Ecuación Diferencial

4 53 2

3 20

d y d yy

dx dx

es una Ecuación Diferencial

Ordinaria, de Orden tres, Grado cuatro, no lineal ya que la variable dependiente y sus

derivadas deben de ser de grado uno. En este caso la variable dependiente es y e

independiente es x.

1.3.- La Ecuación Diferencial ' cosy y x es una Ecuación Diferencial Ordinaria, de

Orden Uno (La derivada de mayor orden que se encuentra en la Ecuación Diferencial), no

tiene grado ya que no se puede expresar como un polinomio en la variable dependiente y



sus derivadas y por lo tanto es no lineal. En este caso la variable dependiente es y e

independiente es x.

1.4.- La Ecuación Diferencial 2 3

4 2 4

2 3

dy d y d yx x y

dx dx dx es una Ecuación Diferencial

Ordinaria, de orden tres, grado uno, no lineal por el término 4y . En este caso la variable

dependiente es y e independiente es x.

1.5.- La Ecuación Diferencial 2

2

x d y dye senx x

dx dx es una Ecuación Diferencial Ordinaria,

de Orden dos, Grado uno, Lineal. En este caso la variable dependiente es y e independiente

es x.

Objetivo #2: Determinar si una función dada en o no solución explícita o implícita general,

particular o singular de una Ecuación Diferencial Ordinaria. Valor: 2%. Criterio de

aprobación: 90%.

2.1.- Demuestre que la ecuación 2 1

ln1

xt

x

es solución implícita particular de la


x xdt

Solución: Veamos que 2 1

ln1

xt

x

es solución implícita de la Ecuación Diferencial

( 1)(1 2 )dx

x xdt

. En efecto: 2 1

:: ln1

xt

x

2 1ln

1

d x dt

dt x dt

ln(2 1) ln( 1)d dt

x xdt dt

ln(2 1) ln( 1)d d dt

x xdt dx dt

2 11

2 1 1

dx dx

x dt x dt

2 11

2 1 1

dx

x x dt

2( 1) (2 1)1

(2 1)( 1)

x x dx

x x dt

2 2 2 11

(2 1)( 1)

x x dx

x x dt

11

(2 1)( 1)

dx

x x dt

(2 1)( 1)

dxx x

dt



(1 2 )( 1)dx

x xdt

con lo cual se tiene que 2 1

ln1

xt

x

es solución implícita de la


x xdt

.

2.2.- Las gráficas de los miembros de una familia uniparamétrica 3 3 3x y cxy se llama

folium de Descartes. Compruebe que esta familia es una solución implícita general de la

Ecuación Diferencial de primer orden 3 3

3 3

( 2 )

(2 )

dy y y x

dx x y x

Demostración: Q.D.Q:3 3 3x y cxy es solución implícita de la Ecuación Diferencial

3 3

3 3

( 2 )

(2 )

dy y y x

dx x y x

. En efecto:

3 3:: 3x y cxy 3 3 3d d

x y cxydx dx

3 3( ) ( )

3d x d y d

c xydx dx dx

2 23 3 3dy dy dx

x y c x ydx dx dx

2 23 3 3 3dy dy

x y cx cydx dx

2 23 3 3 3dy dy

y cx cy xdx dx

2 23 3 (3 3 )dy

y cx cy xdx

2

2

3 3( )

3 3

dy cy xi

dx y cx

3 3:: 3x y cxy 3 3

3 ( )x y

c iixy

Sustituyendo (ii) en (i) se tiene que:

3 32

3 32

3

3

x yy x

dy xy

x ydxy x

xy

3 32

3 32

3

3

x yx

dy x

x ydxy

y

3 3 3

3 3 3

3

3

x y x

dy x

y x ydx

y

3 3

3 3

2

2

y x

dy x

y xdx

y

3 3

3 3

( 2 )

(2 )

dy y y x

dx x y x

. Así se tiene que

3 3 3x y cxy es solución implícita de la Ecuación

Diferencial 3 3

3 3

( 2 )

(2 )

dy y y x

dx x y x

.

2.3.- Demuestre que la función 22 1y c x es solución explícita general de la

Ecuación Diferencial 2(1 ) ' 2x y xy x



Demostración: Q.D.Q.: La función 22 1y c x es solución explícita general de la

Ecuación Diferencial 2(1 ) ' 2x y xy x

2:: 2 1y c x 2' 2 ' ( 1 ) 'y c x 2

'1

cxy

x

. Luego tenemos que:

2 2 2

2(1 ) ' (1 ) (2 1 )

1

cxx y xy x x c x

x

2 2 2(1 ) ' 1 2 1x y xy cx x x cx x 2(1 ) ' 2x y xy x . Con lo cual tenemos

que la función 22 1y c x es solución explícita general de la Ecuación Diferencial

2(1 ) ' 2x y xy x

2.4.- Demuestre que ( )arcsen cxy e es solución explícita general de la Ecuación Diferencial

' (ln )xy ytg y

Demostración: Q.D.Q.: ( )arcsen cxy e es solución explícita general de la Ecuación

Diferencial ' (ln )xy ytg y

( ):: arcsen cxy e ln ( )y arcsen cx (ln )sen y cx ( (ln )) ' ( ) 'sen y cx

cos(ln )(ln ) ' ( ) 'y y c x cos(ln )

'y

y cy

'cos(ln )

cyy

y Pero :: (ln )sen y cx

(ln )sen yc

x con lo cual tenemos que

(ln )

'cos(ln )

sen yy

xyy

1 (ln )

'cos(ln )

sen yy y

x y

' (ln )xy ytg y así concluimos que ( )arcsen cxy e es solución explícita general de la

Ecuación Diferencial ' (ln )xy ytg y

Objetivo #3: Determinar si una función dada es solución de un Problema de Valor Inicial o

Valor Límite. Valor: 3%. Criterio de aprobación: 90%.

3.1.- Demuestre que 2 2

1 2cosx xy c e x c e senx es solución de la ecuación diferencial

'' 4 ' 5 0y y y para cualesquiera constantes arbitrarias de 1 2 y c c . Hallar los valores de

1 2 y c c tal que se cumpla que: 2 2( ) 4 ; '( ) 5y e y e



Demostración: Q.D.Q.: 2 2


'' 4 ' 5 0y y y . Veamos:

2 2

1 2:: cosx xy c e x c e senx 2 2 2 2

1 1 2 2' 2 cos 2 cosx x x xy c e x c e senx c e senx c e x

2 2

1 2 1 2' (2 ) cos ( 2 )x xy c c e x c c e senx

2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2'' 2(2 ) cos (2 ) 2( 2 ) ( 2 ) cosx x x xy c c e x c c e senx c c e senx c c e x

2 2

1 2 1 2 1 2 1 2'' (4 2 ( 2 )) cos ( (2 ) ( 2 4 ))x xy c c c c e x c c c c e senx

2 2

1 2 1 2 1 2 1 2'' (4 2 2 ) cos ( 2 2 4 )x xy c c c c e x c c c c e senx

2 2

1 2 1 2'' (3 4 ) cos ( 4 3 )x xy c c e x c c e senx . Luego tenemos que:

2 2 2

1 2 1 2 1 2

2 2 2

1 2 1 2

'' 4 ' 5 (3 4 ) cos ( 4 3 ) 4((2 ) cos

( 2 ) ) 5( cos )

x x x

x x x

y y y c c e x c c e senx c c e x

c c e senx c e x c e senx

2 2 2

1 2 1 2 1 2

2 2 2

1 2 1 2

'' 4 ' 5 (3 4 ) cos ( 4 3 ) ( 4(2 ) cos

4( 2 ) ) (5 cos 5 )

x x x

x x x



2 2 2

1 2 1 2 1 2

2 2 2

1 2 1 2

'' 4 ' 5 (3 4 ) cos ( 4 3 ) ( 8 4 ) cos

(4 8 ) 5 cos 5

x x x

x x x



2 2

1 2 1 2 1 1 2 1 2 2'' 4 ' 5 (3 4 ( 8 4 ) 5 ) cos ( 4 3 (4 8 ) 5 )x xy y y c c c c c e x c c c c c e senx

2 2'' 4 ' 5 0 cos 0x xy y y e x e senx '' 4 ' 5 0y y y

con lo cual tenemos que 2 2


'' 4 ' 5 0y y y

Ahora determinemos los valores de 1 2 y c c tal que 2 2( ) 4 ; '( ) 5y e y e

2 2

1 2:: cosx xy c e x c e senx 2 2 2

1 24 cose c e c e sen

2 2 2

1 24 ( 1) (0)e c e c e 2 2

14e c e 14 c

1 4 ( )c i 2 2

1 2 1 2:: ' (2 ) cos ( 2 )x xy c c e x c c e senx

2 2 2

1 2 1 25 (2 ) cos ( 2 )e c c e c c e sen

2 2 2

1 2 1 25 (2 ) ( 1) ( 2 ) (0)e c c e c c e 2 2

1 25 (2 )e c c e 1 25 2c c



1 22 5 ( )c c ii . Sustituyendo (i) en (ii) tenemos que:

22( 4) 5c 28 5c 2 5 8c 2 3c con lo cual se tiene que:

2 24 cos 3x xy e x e senx

Objetivo #4: Determinar si una Ecuación Diferencial de Primer Orden es Lineal,

Homogénea, Variable Separable y Exacta. Valor: 2%. Criterio de aprobación: 90%.

4.1.- Demuestre que la Ecuación Diferencial Ordinaria (2 3 ) (3 8 ) 0x y dx x y dy es una

Ecuación diferencial Ordinaria de Primer Orden Homogénea y Exacta pero no de Variable

separable no lineal.

Demostración: Q.D.Q.: la Ecuación Diferencial Ordinaria (2 3 ) (3 8 ) 0x y dx x y dy es

una Ecuación diferencial Ordinaria de Primer Orden Homogénea y Exacta pero no de

Variable separable no lineal. Probemos primero que la Ecuación Diferencial Ordinaria de

Primer Orden es Homogénea y es Exacta. Para esto debemos probar que:

* : ( , ) ( , )t R f tx ty f x y (Homogénea) y además se cumple que: M N

y x

(Exacta)

:: (2 3 ) (3 8 ) 0x y dx x y dy está en la forma diferencial Veamos que se cumple

M N

y x

con ( , ) 2 3M x y x y y ( , ) (3 8 )N x y x y .

:: ( , ) 2 3M x y x y ( , ) 3M

x yy

:: ( , ) (3 8 )N x y x y 3N

x

por lo tanto

M N

y x

y en consecuencia la Ecuación

Diferencial Ordinaria es Exacta.

:: (2 3 ) (3 8 ) 0x y dx x y dy está en la forma diferencialhallemos su forma estándar

:: (2 3 ) (3 8 ) 0x y dx x y dy (2 3 ) (3 8 ) 0dx dy

x y x ydx dx

2 3 (3 8 ) ' 0x y x y y ya que 'dy

ydx

2 3 (3 8 ) 'x y x y y



2 3'

3 8

x yy

x y

:: ' ( , )y f x y

2 3( , )

3 8

x yf x y

x y

2( ) 3( )( , )

3( ) 8( )

tx tyf tx ty

tx ty

(2 3 )( , )

(3 8 )

t x yf tx ty

t x y

2 3( , )

3 8

x yf tx ty

x y

( , ) ( , )f tx ty f x y con lo cual la Ecuación

Diferencial Ordinaria es Homogénea. Veamos ahora que la Ecuación Diferencial no es de

Variable Separable. En Efecto. La Ecuación Diferencial (2 3 ) (3 8 ) 0x y dx x y dy no

puede expresarse de la forma ( ) ( ) 0A x dx B y dy con lo cual la Ecuación Diferencial

Ordinaria no es de Variable Separable. La Ecuación Diferencial 2 3

'3 8

x yy

x y

no puede

expresarse de la forma ' ( ) ( )y P x y Q x o su equivalente ' ( ) ( )y P x y Q x así tenemos

que la Ecuación Diferencial Ordinaria no es Lineal.

Objetivo #5: Determinar la solución de una Ecuación Diferencial de Primer Orden de

Variable separable. Valor: 3%. Criterio de aprobación: 80%.

5.1.- Obtenga la solución de la Ecuación Diferencial 2

(1 ) ' 0ln

y yy e y

x x .

Solución: 2

(1 ) ' 0ln

y yy e y

x x

2

(1 ) 0ln

y dy yy e

dx x x

2

(1 )0

ln

yy e dxdy

y x x

2

(1 )( )

ln

yy e dxdy c i

y x x

.Calculemos

2

(1 ) yy edy

y

. Aplicando integración por

partes se tiene que: udv uv vdu . Sea (1 ) ((1 ) )y yu y e du d y e

(1 ) (1 ) ( )y ydu d y e y d e (1 )y ydu e dy y e dy ( )y y ydu e e ye dy

ydu ye dy ; 2 2

dy dydv dv

y y

1v

y . Luego tenemos que:

2

(1 ) 1 1(1 ) ( )

yy yy e

dy y e ye dyy y y

2

(1 ) 1 1 1( ( ) )

yy yy e

dy y e ye dyy y y y



2

(1 ) 1( 1)

yy yy e

dy e e dyy y

2

(1 ) y yy yy e e

dy e ey y

2

(1 )( )

y yy e edy ii

y y

. Calculemos ahora

ln

dx

x x . Sea lndx

w x dwx

con lo

cual tenemos que ln

dx dw

x x w ln

ln

dxw

x x ln ln ( )

ln

dxx iii

x x . Sustituyendo

(ii) y (iii) en (i) tenemos que: ln lnye

x cy

ln lnye

x cy

ln ln yy x e cy

Objetivo #6: Determinar la solución de una Ecuación Diferencial de Primer Orden

Homogénea. Valor: 3%. Criterio de aprobación: 80%.

6.1.- Obtenga la solución de la Ecuación Diferencial Ordinaria de Primer Orden

2 2 2 22 '( ) ( 2 )xy x y y y x

Solución: 2 2 2 2:: 2 '( ) ( 2 )xy x y y y x es una Ecuación Diferencial Ordinaria de Primer

Orden Homogénea sea y ux dy udx xdu . Luego tenemos que:

2 2 2 2:: 2 '( ) ( 2 )xy x y y y x 2 2 2 22 ( ) ( 2 )dy

x x y y y xdx

2 2 2 22 ( ) ( 2 )x x y dy y y x dx 2 2 2 22 ( ( ) )( ) (( ) 2 )x x ux udx xdu ux ux x dx

2 2 2 2 2 22 ( )( ) ( 2 )x x u x udx xdu ux u x x dx

3 2 3 22 (1 )( ) ( 2)x u udx xdu ux u dx 2 22(1 )( ) ( 2)u udx xdu u u dx

2 2 22(1 ) 2(1 ) ( 2)u udx u xdu u u dx 2 2 22(1 ) 2(1 ) ( 2) 0u udx u xdu u u dx

2 2 2(2(1 ) ( 2)) 2(1 ) 0u u u u dx u xdu 3 3 2(2 2 2 ) 2(1 ) 0u u u u dx u xdu

3 22(1 ) 0u dx u xdu 2

3

2(1 )0

dx u du

x u

2

3

2(1 )dx u duc

x u

2

3

12

dx udu c

x u

3

1 12 2

dxdu du c

x u u

3 12 2

dxu du du c

x u

2

ln 2 2ln2

ux u c

2

1ln 2lnx u c

u 2

2

1ln lnx u c

u



2

2

1ln xu c

u

2

1

2c

uxu e

2

1

2 c uxu e e 2

1

2 uxu ke

::y

y ux ux

2

1

2 y

xyx ke

x

2

2

1

2

2

y

xy

x kex

2

22 x

yyke

x

2

22

x

yy kxe

ECUACIONES DIFERENCIALES REDUCIBLES A HOMOGÉNEAS O A

SEPARABLES.

Sea la ecuación diferencial 1 1 1 2 2 2( ) ( ) 0a x b y c dx a x b y c dy , no homogénea

ni de variable separable.

Si 1 1

2 2

0a b

a b , entonces la ecuación diferencial se transforma en variable separable en la

variable w y x haciendo 1 1w a x b y y 1

1

dw a dxdy

b

Si 1 1

2 2

0a b

a b , entonces la ecuación diferencial se transforma en homogénea en las

variables u y w, haciendo x u m y y w n , donde ( , )m n es solución del sistema de

ecuaciones 1 1 1

2 2 2

0

0

a x b y c

a x b y c

1.- Obtenga la solución de la ecuación diferencial ( 1) (2 2 1) 0x y dx x y dy

Solución:

:: ( 1) (2 2 1) 0x y dx x y dy tiene la forma 1 1 1 2 2 2( ) ( ) 0a x b y c dx a x b y c dy

entonces veamos si 1 1

2 2 es igual o diferente de cero.



1 1::

2 2 tiene dos columnas iguales

1 10

2 2 con lo cual la ecuación diferencial

( 1) (2 2 1) 0x y dx x y dy es reducible a variable separable. Sea

w x y dw dx dy dy dw dx . Luego

:: ( 1) (2 2 1) 0 ( 1) (2 1)( ) 0x y dx x y dy w dx w dw dx

( 1) (2 1) (2 1) 0w dx w dw w dx ( 1 2 1) (2 1) 0w w dx w dw

( 2) (2 1) 0w dx w dw ( 2) (2 1) 0w dx w dw 2 1

02

wdx dw

w

2 1 2 1( )

2 2

w wdx dw dx dw I

w w

Determinemos 2 1

2

wdw

w

. Sea 2z w dz dw .

:: 2 2 2 2 4z w w z w z 2 1 2 3w z . Luego.

2 1 2 3 2 1 32

2 2

w z wdw dz dw dz

w z w z

2 12 3

1

w dzdw dz

w z

1 1

2 1 2 12 3ln 2( 2) 3ln 2

2 2

w wdw z z c dw w w c

w w

1

2 12 4 3ln 2

1

wdw w w c

w

2

2 12 3ln 2 ( )

1

wdw w w c II

w

Por otro

lado 3 ( )dx x c III . Sustituyendo (II) y (III) en (I) se tiene que:

3 22 3ln 2 3ln 2 2x c w w c w w x c 3ln 2 2w w x c

Pero w x y 3ln 2 2 2x y x y x c ln 2 2x y x y c

2.- Obtenga la solución de la ecuación diferencial (2 ) (4 6) 0x y dx x y dy

Solución:



:: (2 ) (4 6) 0x y dx x y dy tiene la forma 1 1 1 2 2 2( ) ( ) 0a x b y c dx a x b y c dy

entonces veamos si 2 1

4 1

es igual o diferente de cero.

2 12 4 6 0

4 1

la ecuación diferencial (2 ) (4 6) 0x y dx x y dy es

reducible a homogénea. Sea x u m y y w n , donde ( , )m n son las soluciones de

x y respectivamente del sistema de ecuaciones 2 0( )

4 6 0( )

x y I

x y II

Sumando (I) y (II) se tiene que: 2 4 6 0 6 6 0x y x y x 1x

:: 1 2 0 2 0 2x x y y y

Con lo cual se tiene que: 1 2x u y w dx du dy dw

:: (2 ) (4 6) 0 (2( 1) ( 2)) (4( 1) 2 6) 0x y dx x y dy u w du u w dw

(2 2 2) (4 4 2 6) 0u w du u w dw (2 ) (4 ) 0u w du u w dw donde la

nueva ecuación diferencial es homogénea. Sea w zu dw zdu udz teniéndose que:

:: (2 ) (4 ) 0 (2 ) (4 )( ) 0u w du u w dw u zu du u zu udz zdu

(2 ) (4 )( ) 0u z du u z udz zdu (2 ) (4 )( ) 0z du z udz zdu

(2 ) (4 ) (4 ) 0z du z udz z zdu 2(2 4 ) (4 ) 0z z z du z udz

2(2 3 ) (4 ) 0z z du z udz 2

(4 )0

3 2

du z dz

u z z

2

(4 )( )

3 2

du z dzc i

u z z

Determinemos du

u. Trivial. ln ( )

duu ii

u . Ahora determinemos

2

(4 )

3 2

z dz

z z

2

2

(4 ) (4 )3 2 ( 1)( 2)

3 2 ( 1)( 2)

z dz z dzz z z z

z z z z

. Aplicando fracciones parciales

tenemos que:



44 ( 2) ( 1)

( 1)( 2) 1 2

z a bz a z b z

z z z z

:: 1 4 ( 1) ( 1 2) ( 1 1)z a b 3a

:: 2 4 ( 2) ( 2 2) ( 2 1)z a b 2 2b b . Luego tenemos que:

2 2

4 3 2 (4 ) 3 2

3 2 1 2 3 2 1 2

z z dz dz dz

z z z z z z z z

2

(4 )3ln 1 2ln 2 ( )

3 2

z dzz z iii

z z

. Sustituyendo (ii) y (iii) en (i) tenemos que:

ln 3ln 1 2ln 2u z z c . Aplicando propiedades logarítmicas tenemos que:

33 2

2

( 1)ln ln 1 ln 2 ln

( 2)

u zu z z c c

z

3 3

2 2

( 1) ( 1)

( 2) ( 2)

cu z u ze k

z z

.

Pero w

w zu zu

con lo que se tienen que:

3

3

22

( 1)

2( 2)

w uw uuuu k k

w w uu u

3

3

2

2

( )

( 2 )

w uu

u kw u

u

3

2

( )

( 2 )

w uk

w u

3 2( ) ( 2 )w u k w u . :: 1 2 1 2x u y w u x w y

3 2( 2 1) ( 2 2( 1))y x k y x 3 2( 3) ( 2 4)y x k y x

3.- Obtenga la solución de la Ecuación Diferencial ' ( )y sen x y

Solución: Sea ' 1 ' ' 1 'u x y u y y u con lo cual se tiene que:

:: ' ( ) 1 ' 1du

y sen x y u senu senudx

1du

senudx

(1 )du senu dx

(1 )

1 1 ( 1)(1 )

du du senu dudx dx dx

senu senu senu senu



2 2

(1 ) (1 )

1 cos

senu du senu dudx dx

sen u u

2 2

1

cos cos

senudu dx

u u

2 2cos cos

du senudu dx

u u

2sec sec tanudu u udu dx 1

tan seccos cos

senuu u x C x C

u u

1

cos

senux C

u

1 cos ( ) ( ) 1 cos( )( )senu u x C sen x y x y x C

SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS.

Definición: La diferencial total de la función ( , )g x y , denotada por ( ( , ))d g x y está dada

por ( , ) ( , )

( ( , ))g x y g x y

d g x y dx dyx y

Definición: La expresión ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy es una diferencial exacta, si existe una

función ( , )g x y tal que ( , )

( , )g x y

M x yx

y

( , )( , )

g x yN x y

y

Teorema: ( , ) ( , )M x y dx N x y dy es una diferencial exacta si y sólo si M N

y x

De lo anterior tenemos que para obtener la solución de una ecuación diferencial

exacta se procede de la siguiente manera

( , )( , )

g x yM x y

x

(I)

( , )( , )

g x yN x y

y

(II) ( , )g x y c (III)

Problemas Resueltos.

1.- Obtenga la solución de la ecuación diferencial 2 2 2(1 ) ( 2 ) 0y xy dx x y y xy dy

Solución:



Veamos si la Ecuación Diferencial 2 2 2(1 ) ( 2 ) 0y xy dx x y y xy dy es exacta, i.e,

veamos si M N

y x

siendo

2 2( , ) 1M x y y xy y 2( , ) 2N x y x y y xy

2 2:: ( , ) 1 2 2 ( )M

M x y y xy y xy iy

2:: ( , ) 2 2 2 ( )N

N x y x y y xy xy y iix

De (i) y (ii) se tiene que M N

y x

. Con lo cual la Ecuación Diferencial

2 2 2(1 ) ( 2 ) 0y xy dx x y y xy dy es exacta. Sean:

2 2( , ) 1 ( )g g

M x y y xy Ix x

, 2( , ) 2 ( )

g gN x y x y y xy II

y y

,

( , ) ( )g x y c III

De (I) integramos respecto a x y se tiene que:

2 2 2 2 2 2 211 ( , ) (1 ) ( , ) ( ) ( )

2

gy xy g x y y xy dx g x y x xy x y h y IV

x

De (IV) derivamos respecto a y y se tiene que:

2 2 2 21( , ) ( ) 2 '( ) ( )

2

gg x y x xy x y h y xy x y h y V

y

. De (II) y (V) igualamos y

se tiene que: 2 22 2 '( ) '( ) ( )x y y xy xy x y h y h y y h y ydy

21( ) ( )

2h y y VI . Sustituyendo (VI) y (III) en (IV) se tiene que:



2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 12 2 2 2 2

2 2c x xy x y y c x xy x y y k x xy x y y

2.- Obtenga la solución del problema de valor inicial:

2 2( 2 3) 2( ) ; (1) 1xy x y dx x ydy x y dy y

Solución:

Obtener primero la solución de la Ecuación Diferencial Ordinaria

2 2( 2 3) 2( )xy x y dx x ydy x y dy y luego la solución particular para las

condiciones iniciales.

2 2 2 2:: ( 2 3) 2( ) ( 2 3) ( 2( )) 0xy x y dx x ydy x y dy xy x y dx x y x y dy

Veamos si la Ecuación Diferencial Ordinaria es Exacta, i.e, veamos si M N

y x

siendo

2( , ) 2 3M x y xy x y y 2( , ) 2( )N x y x y x y

2:: ( , ) 2 3 2 2 ( )M

M x y xy x y xy Ay

2:: ( , ) 2( ) 2 2 ( )N

N x y x y x y xy Bx

De (A) y (B) se tiene que M N

y x

con lo cual la Ecuación Diferencial Ordinaria es

Exacta. Sean: 2( , ) 2 3 ( )g g

M x y xy x y ix x

, ( , ) ( )g x y c iii

2( , ) 2( ) ( )g g

N x y x y x y iiy y

De (ii) integramos respecto a y y se tiene que:



2 2 2 2 21:: 2( ) ( , ) ( 2( )) ( , ) 2 ( ) ( )

2

gx y x y g x y x y x y dy g x y x y xy y h x iv

y

De (iv) derivamos respecto a x y se tiene que:

2 2 2 21:: ( , ) 2 ( ) 2 '( ) ( )

2

gg x y x y xy y h x xy y h x v

x

. De (i) y (v) igualamos y

se tiene que: 2 22 '( ) 2 3xy y h x xy x y '( ) 3h x x ( ) ( 3)h x x dx

21( ) 3 ( )

2h x x x vi . Sustituyendo (iii) y (vi) en (iv) se tiene que:

2 2 2 21 12 3

2 2c x y xy y x x

2 2 2 2 2 2 2 22 4 2 6 4 2 6c x y xy y x x k x y xy y x x . Ahora hallemos la

solución particular cuando (1) 1y .

2 2 2 2 2 2 2 2:: (1) 1 4 2 6 1 .1 4.1.1 2.1 1 6.1y k x y xy y x x k

1 4 2 1 6 2k k , por lo tanto la solución del problema de valor inicial está

dada por: 2 2 2 22 4 2 6x y xy y x x

3.- Obtenga la solución de la Ecuación diferencial

2 2(3 2 ) ( 2 2 ) 0y y sen x dx x xy ysen x dy

Solución: Veamos si la Ecuación Diferencial dada es exacta, ie, veamos si se cumple que:

M N

y x

con

2 2( , ) 3 2M x y y y sen x y ( , ) 2 2N x y x xy ysen x

2 2 2:: ( , ) 3 2 1 4M

M x y y y sen x ysen xy



:: ( , ) 2 2 1 2 2 cos2 1 2 (1 cos2 )N N

N x y x xy ysen x y y x y xx x

pero

2 21 cos22 1 cos 2

2

xsen x sen x x

con lo cual se tiene que 21 2 (2 )

Ny sen x

x

21 4N

ysen xx

::M N

y x

la Ecuación Diferencial dada es exacta. Sean:

2 2:: ( , ) 3 2 ( )g g

M x y y y sen x ix x

:: ( , ) 2 2 ( )

g gN x y x xy ysen x ii

y y

( , ) ( )g x y C iii

De ( )ii integramos respecto a y y se tiene que:

:: 2 2 ( , ) ( 2 2 )g

x xy ysen x g x y x xy ysen x dyy

2 21( , ) 2 ( ) ( )

2g x y xy xy y sen x h x iv

De ( )iv derivamos respecto a x y se tiene que:

2 2 2 21:: ( , ) 2 ( ) cos2 '( )

2

gg x y xy xy y sen x h x y y y x h x

x

2 (1 cos2 ) '( )g

y y x h xx

2 (1 cos 2 ) '( )g

y y x h xx

2 22 '( ) ( )g

y y sen x h x vx

De ( )i y ( )v igualamos y se tiene que:

2 2 2 22 '( ) 3 2 '( ) 3 ( ) 3y y sen x h x y y sen x h x h x dx ( ) 3 ( )h x x vi



Sustituyendo ( )iii y ( )vi en ( )iv se tiene que:

2 2 2 212 3 2 2 2 6

2C xy xy y sen x x C xy xy y sen x x

FACTOR DE INTEGRACIÓN.

Definición: Si la ecuación diferencial ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy no es exacta, pero la

ecuación ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0x y M x y dx x y N x y dy es exacta, la cual resulta de multiplicar

a la ecuación diferencial por la función ( , )x y , entonces ( , )x y se llama factor de

integración de la ecuación diferencial ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy

Teorema: Si ( )

M N

y xg x

N

es continua, entonces

( )

( , )g x dx

x y e es un factor de

integración de ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy . Si ( )

M N

y xh y

M

es continua, entonces

( )

( , )h y dy

x y e es un factor de integración de ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy


1.- Obtenga la solución de la Ecuación Diferencial Ordinaria

2 2( 1) ( 2 ) 0x y dx x x y dy .

Solución:

Veamos si la Ecuación Diferencial es Exacta, i.e, veamos si M N

y x

siendo

2 2( , ) 1M x y x y y ( , ) ( 2 )N x x x x y .

2 2:: ( , ) 1 2 ( )M

M x y x y y Ay

, :: ( , ) ( 2 ) 2 2 ( )

NN x x x x y x y B

x



De (A) y (B) se tiene que M N

y x

con lo cual la Ecuación Diferencial no es Exacta.

Veamos si tiene un Factor de Integración.

2 (2 2 ) 4 2 2( 2 )

( 2 ) ( 2 ) ( 2 )

M N M N M N

y x y y x x yy x y x y x

N x x y N x x y N x x y

2( )

M N

y xg x

N x

con lo cual

( )

( , )g x dx

x y e es un factor de integración de la

Ecuación Diferencial 2 2( 1) ( 2 ) 0x y dx x x y dy . Luego.

22:: ( ) ( ) 2ln ( ) lng x g x dx x g x dx x

x

2( ) ( )ln 2 2( , )g x dx g x dxx

e e e x x y x

. Por lo tanto la Ecuación Diferencial

2 2 2 2( 1) ( 2 ) 0x x y dx x x x y dy es exacta (VERIFICAR). Sean

2 2 2( 1) ( )g

x x y ix

1( 2 ) ( )

gx x y ii

y

( , ) ( )g x y c iii

De (ii) integramos respecto a y y se tiene que:

1 1 1:: ( 2 ) 1 2 ( , ) (1 2 )g g

x x y x y g x y x y dyy y

1 2( , ) ( ) ( )g x y y x y t x iv . De (iv) derivamos respecto a x y se tiene que:

1 2 2 2:: ( , ) ( ) '( ) ( )g

g x y y x y t x x y t x vx

. De (v) y (i) igualamos y se tiene que:



2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2'( ) ( 1) '( ) 1 '( ) 1x y t x x x y x y t x x y x t x x

2 1( ) (1 ) ( ) ( )t x x dx t x x x vi . Sustituyendo (iii) y (vi) en (iv) se tiene que:

1 2 1 2 2 1c y x y x x cx xy y x

2.- Obtenga la solución de la Ecuación Diferencial 2 2(3 1) 0y dx xy y dy

Solución: Veamos si la Ecuación Diferencial 2 2(3 1) 0y dx xy y dy es exacta, i.e,

veamos si M N

y x

siendo

2( , )M x y y y 2( , ) 3 1N x y xy y

2:: ( , ) 2 ( )M

M x y y y Ay

, 2:: ( , ) 3 1 3 ( )

NN x y xy y y B

x

. De (A) y (B) se

tiene que M N

y x

con lo cual la Ecuación Diferencial no es exacta. Veamos si tiene un

Factor de Integración.

2 2

2 3( )

3 1 3 1

M N M N

y y yy x y xg x

N xy y N xy y

2 2

2 3 1( )

M N M N M N

y y yy x y x y xh y

M y M y M y

por lo tanto

( )

( , )h y dy

x y e es un Factor de Integración de la Ecuación Diferencial dada.

ln1:: ( ) ( ) ( ) ln ( , ) ( , )

ydyh y h y dy h y dy y x y e x y y

y y así la

nueva Ecuación Diferencial 3 2(3 1) 0y dx y xy y dy es Exacta. Sean:



3 ( )g

y ix

2(3 1) ( )

gy xy y ii

y

( , ) ( )g x y c iii

De (i) integramos respecto a x y se tiene que:

3 3 3:: ( , ) ( , ) ( ) ( )g

y g x y y dx g x y xy t y ivx

. De (iv) derivamos respecto a y y

se tiene que:

3 2:: ( , ) ( ) 3 '( ) ( )g

g x y xy t y xy t y vy

. De (ii) y (v) igualamos y se tiene que:

2 2 2 2 3 33 '( ) (3 1) 3 '( ) 3 '( )xy t y y xy y xy t y xy y y t y y y

3 4 21 1( ) ( ) ( ) ( )

4 2t y y y dy t y y y vi . Sustituyendo (iii) y (vi) en (iv) se tiene

que: 3 4 2 3 4 2 3 4 21 14 4 2 4 2

4 2c xy y y c xy y y k xy y y

SOLUCIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE

PRIMER ORDEN.

Sea la ecuación diferencial de primer orden lineal en y ( ) ( )y P x y Q x .Dicha

ecuación se puede expresar en la forma diferencial como sigue:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0

( ) ( ) 0

dyy P x y Q x P x y Q x dy P x y Q x dx

dx

P x y Q x dx dy

:: ( ) ( ) 0 ( , ) ( ) ( ) ( , ) 1P x y Q x dx dy M x y P x y Q x N x y



( ) 0M N

P xy x

por lo tanto la ecuación ( ) ( )y P x y Q x no es exacta, sin

embargo ( )

M N

y xP x

N

con lo cual

( )

( , )P x dx

x y e es un factor de integración de la

ecuación diferencial ( ) ( )y P x y Q x . Multiplicando a la ecuación diferencial

( ) ( )y P x y Q x por ( )

( , )P x dx

x y e se tiene que: ( ) ( )

( ) ( )P x dx P x dx

e y P x y e Q x

Pero ( ) ( ) ( )P x dx P x dx P x dxd d

ye y e y edx dx

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )P x dx P x dx P x dx P x dx P x dxd d

ye y e yP x e ye e y P x ydx dx

Luego tenemos que

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )P x dx P x dx P x dx P x dxd

ye Q x e ye Q x edx

o su equivalente

( ) ( )

( )P x dx P x dx

y e Q x e dx

Así la ecuación diferencial ( ) ( )y P x y Q x tiene por solución la función

( ) ( )

( )P x dx P x dx

y e Q x e dx


1.- Obtenga la solución de la ecuación diferencial 5( 3 ) 0x y dx xdy

Solución:



5 5 5:: ( 3 ) 0 ( 3 ) 0 3 ' 0dx dy

x y dx xdy x y x x y xydx dx

5' 3xy y x

43'y y x

x la ecuación diferencial es lineal con lo cual la solución está dada por:

( ) ( )

( )P x dx P x dx

y e Q x e dx siendo 43

( ) ( )P x Q x xx

33 3:: ( ) ( ) ( ) 3ln ( ) lnP x P x dx dx P x dx x P x dx x

x x

3( ) lnP x dx x

3 3( ) ( ) ln ln 4 3 3 4:: ( )P x dx P x dx x x

y e Q x e dx y e e x dx y x x x dx

3y x xdx 3 2 5 3 5 31 1( ) 22 2

y x x c y x cx y x kx

2.- Obtenga la solución de la ecuación diferencial 2 2 2 2 2( ) 2 ( ) 3x a dy x x a y dx ,

donde a es una constante.

Solución:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2:: ( ) 2 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 3dy dx

x a dy x x a y dx x a x x a ydx dx

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ' 2 ( ) 3 ( ) ' 2 ( ) 6x a y x x a y x a y x x a xy 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

6 2 ( )( ) ' 6 2 ( ) '

x x x ax a y xy x x a y y

x a x a

2 2

2 2

6' 2 ( )

xy y x x a

x a

con lo cual la ecuación diferencial tiene la forma

' ( ) ( )y P x y Q x siendo 2 2

2 2

6( ) ( ) 2 ( )

xP x Q x x x a

x a



2 2

2 2 2 2

6 2:: ( ) ( ) 3 ( ) 3ln

x xdxP x P x dx P x dx x a

x a x a

32 2( ) lnP x dx x a

3

2 2 2 2( ) 3ln ( ) lnP x dx x a P x dx x a por lo

tanto la ecuación diferencial tiene por solución la función ( ) ( )

( )P x dx P x dx

y e e Q x dx

3 32 2 2 2( ) ( ) ln ln 2 2:: ( ) 2 ( )

P x dx P x dx x a x ay e e Q x dx y e e x x a dx

2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2y x a x a x x a dx y x a x a xdx

Sea 2 2 2u x a du xdx . Por lo tanto se tiene que:

3 2 3 1 2 2 3

2 2

1( ) ( ) ( )y u u du y u u c y x a c

x a

2 2 2 2 2 3( ) ( )y x a c x a

ECUACIÓN DE BERNOULLI.

Definición: la ecuación diferencial ( ) ( ) ny P x y Q x y con n R , 0n y 1n , recibe

el nombre de Ecuación de Bernoulli en honor al matemático suizo Jacobo Bernoulli.

1:: ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( )n n n ny P x y Q x y y y P x y Q x y y P x y Q x .

Hacemos 1 1( 1)

1

n n nw y w n y y y y wn

y tenemos que

1( ) ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( )

1w P x w Q x w n P x w n Q x

n

siendo esta nueva ecuación

diferencial lineal.


1.- Obtenga la solución de la Ecuación diferencial 3 2' xy y xy e



Solución:

3 2 3 2 3 2 2:: ' ' 'x x xy y xy e y y xy e y y y xe . Ahora se realiza el cambio.

Sea 2 3' 2 'z y z y y 3'

'2

zy y con lo cual se tiene que: 2'

2

xzz xe

2' 2 2 xz z xe con lo cual la nueva ecuación diferencial es lineal por lo tanto la

solución está dada por: ( ) ( )

( )p x dx p x dx

z e e Q x dx con

2( ) 2 ( ) 2 xp x Q x xe

:: ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2p x p x dx dx p x dx x p x dx x . Luego se tiene que:

( ) ( ) 2 2 2:: ( ) 2p x dx p x dx x x xz e e Q x dx z e e xe dx

22 xz e xdx

2 212

2

xze x c

2 212 2

2

xze x c 2 2 ( 2 )xze x k k c . Luego

22 2 2 2 2 2 2 2

2:: ( )

xx xe

z y y e x k x k e y x ky

2.- Obtenga la solución de la Ecuación Diferencial Ordinaria ( )dy

sen x ydx

Solución: :: ( )dy

sen x ydx

sea 1 1du dy dy du

u x ydx dx dx dx

con lo cual se

tiene que: 1 u 11

du du dusen senu dx

dx dx senu

( )

1

dudx i

senu

1 ( )dx x c ii Por otro lado tenemos que: (1 )

1 (1 )(1 )

du senu du

senu senu senu



2

(1 )

1 1

du senu du

senu sen u

2

(1 )

1 cos

du senu du

senu u

2 2

1

1 cos cos

du senudu

senu u u

2 1sec

1 cos cos

du senuu du

senu u u

2sec tan sec1

duu u u du

senu

2sec tan sec

1

duudu u udu

senu

2tan sec ( )1

duu u c iii

senu

Sustituyendo (ii) y (iii) en (i) se tiene que:

tan secu u x c pero u x y con lo que se tiene que: tan( ) sec( )x y x y x c

3.- Obtenga la solución de la Ecuación diferencial Ordinaria

( tan ln ) tan 0y x x y dx xdy

Solución:

:: ( tan ln ) tan 0 ( tan ln ) tan 0dy

y x x y dx xdy x x y dx xy

.Sea lndy

z y dzy

con lo cual tenemos que: :: ( tan ln ) tan 0 ( tan ) tan 0y x x y dx xdy x x z dx xdz

tan tan 0dz

x x z xdx

tan ' tan 'tan

zxz z x x z x

x ' ( )z ctgx z x

con lo cual la nueva ecuación diferencial es lineal en la variable dependiente z e

independiente x, por lo tanto tiene por solución ( ) ( )

( )p x dx p x dx

z e e Q x dx con

( )p x ctgx y ( )Q x x .

:: ( ) ( ) ( ) ln( )p x ctgx p x dx ctgxdx p x dx senx ( ) ln( )p x dx senx 1( ) ln( )p x dx senx . Luego tenemos que:

1( ) ( ) ln( ) ln( ):: ( ) ( )p x dx p x dx senx senxz e e Q x dx z e e x dx

1( )z senx xsenxdx

1z xsenxdx

senx

zsenx xsenxdx Aplicando integración por partes se tiene que:



;u x du dx dv senxdx dv senxdx cosv x , así tenemos que:

:: ( cos cos )zsenx xsenxdx zsenx x x xdx cos coszsenx x x xdx coszsenx x x senx c

:: ln ln cosz y senx y x x senx c

4.- Obtenga la solución de la ecuación Diferencial Ordinaria 2 2' tan 2 cosy xsen y sen x y

Solución: Sea 2cos ' 2cos ( ) 'z y z y seny y ' 2 cos 'z seny yy ' 2 'z sen yy

' 2 'z sen yy

2 2 2 2:: ' tan 2 cos tan 2 ' cosy xsen y sen x y xsen yy sen x y 2tan ( ')x z sen x z

2(tan ) ' zx z sen x 2z

'tan tan

sen xz

x x ' z cosz ctgx senx x con lo cual la

nueva ecuación diferencial es lineal así la solución está dada por

( ) ( )

( )p x dx p x dx

z e e Q x dx con ( )p x ctgx y Q( ) cosx senx x

:: ( ) ( ) ( ) ln( ) ( ) ln( )p x ctgx p x dx ctgxdx p x dx senx p x dx senx 1( ) ln( )p x dx senx Luego tenemos que:

1( ) ( ) ln( ) ln( ):: ( ) ( cos )p x dx p x dx senx senxz e e Q x dx z e e senx x dx

1( ) ( cos )z senx senx senx x dx

21cosz sen x xdx

senx

2 coszsenx sen x xdx 31

3zsenx sen x c

33 3zsenx sen x c

33 3zsenx sen x c 33zsenx sen x k

2:: cosz y 2 33cos ysenx sen x k 2 2(3cos )y sen x senx k



PROBLEMAS RESUELTOS

Objetivo #7: Determinar la solución de una Ecuación Diferencial de Primer Orden

Reducibles a Variable Separable u Homogénea. Valor: 5%. Criterio de aprobación: 80%.

7.1.- Obtenga la solución de la Ecuación Diferencial 2 2 1 '( 2) 0x y y x y

Solución: :: 2 2 1 '( 2) 0 'dy

x y y x y ydx

2 2 1 ( 2) 0dy

x y x ydx

(2 2 1) ( 2) 0x y dx x y dy

2 2:: 0

1 1 La Ecuación Diferencial 2 2 1 '( 2) 0x y y x y es reducible a

Variable Separable. Sea u x y du dx dy du dx dy luego tenemos que:

:: (2 2 1) ( 2) 0x y dx x y dy (2( ) 1) ( 2) 0x y dx x y dy

(2 1) ( 2)( ) 0u dx u du dx (2 1) ( 2) ( 2) 0u dx u du u dx

(2 1 ( 2)) ( 2) 0u u dx u du (2 1 2) ( 2) 0u u dx u du

( 1) ( 2) 0u dx u du 2

01

udx du

u

2( )

1

udx du c i

u

( )dx c ii 2 ( 1) 3

1 1

u udu du

u u

2 1 3

1 1 1

u udu du

u u u

2 3

1 1

udu du du

u u

2

3ln 1 ( )1

udu u u iii

u

. Sustituyendo (ii) y (iii) en

(i) se tiene que: 3ln 1x u u c 3ln 1x x y x y c

2 3ln 1x y x y c 2 3ln 1x y c x y 3

2 ln 1x y c x y



2 3( 1)x y ce x y 2 3( 1)x y ce e x y 2 3( 1)x yke x y

7.2.- Obtenga la solución de la Ecuación Diferencial ( 3) (3 1) 0x y dx x y dy

Solución: 1 1

:: 4 03 1

La Ecuación Diferencial ( 3) (3 1) 0x y dx x y dy es

reducible a Homogénea. Sean x u m y y v n , donde m y n son soluciones de x y y

respectivamente del sistema de ecuaciones 3 0

3 1 0

x y

x y

Resolviendo el sistema tenemos

que: 3 0

4 4 0 13 1 0

x yx x

x y

:: 3 0 1x y x 1 3 0y 2y . Luego tenemos que: 1x w y 2y z

1x w dx dw ; y 2y z dy dz

:: ( 3) (3 1) 0x y dx x y dy ( 1 ( 2) 3) (3( 1) 2 1) 0w z dw w z dz

( ) (3 ) 0w z dw w z dz así la nueva Ecuación Diferencial es Homogénea.

Sea w uz dw udz zdu ( )( ) (3 ) 0uz z udz zdu uz z dz

( 1)( ) (3 1) 0z u udz zdu z u dz ( 1) ( 1) (3 1) 0u udz u zdu u dz

2( 3 1) ( 1) 0u u u dz u zdu 2( 2 1) ( 1) 0u u dz u zdu

2

10

2 1

dz udu

z u u

2

10

( 1)

dz udu

z u

2

1( )

( 1)

dz udu c i

z u

ln ( )dz

z iiz

2

1

( 1)

udu

u

. Sea 1p u dp du ; 1 2 1p u p u



2 2

1 2

( 1)

u pdu dp

u p

2 2

1 1 12

( 1)

udu dp dp

u p p

2

1 2ln

( 1)

udu p

u p

2

1 2ln 1 ( )

( 1) 1

udu u iii

u u

. Luego, sustituyendo (ii) y (iii) en (i) se tiene que:

2ln ln 1

1z u c

u

::

ww uz u

z

2ln ln 1

1

wz c

wz

z

2ln ln

w zz c

w zz

z

2ln

w z zz c

z w z

2ln

zw z c

w z

( ) ln 2 ( )w z w z z c w z Pero 1x w y 2y z 1x w y 2y z con

lo cual tenemos que: ( 1 2)ln 1 2 2( 2) ( 1 2)x y x y y c x y

( 1) ln 1 2( 2) ( 1)x y x y y c x y

7.3.- Obtenga la solución de la Ecuación Diferencial (3 7 7) (3 7 3) 0y x dx x y dy

Solución: 7 3

:: 40 03 7

La Ecuación Diferencial es reducible a Homogénea. Sean

x w m y z n donde m y n son soluciones de x y y respectivamente del sistema de

Ecuaciones Lineales 3 7 7 0

3 7 3 0

y x

x y

3 7 7 0::

3 7 3 0

y x

x y

7 3 7

3 7 3

x y

x y

3( 7 3 ) 3( 7)

7( 3 7 ) 7( 3)

x y

x y

21 9 21

21 49 21

x y

x y

40 0y 0y ::3 7 7 0 0y x y 3(0) 7 7 0x 7 7x

1x . Luego tenemos que: 1x w y z dx dw dy dz con lo cual tenemos

que:



:: (3 7 7) (3 7 3) 0y x dx x y dy (3 7( 1) 7) (3( 1) 7 3) 0z w dw w z dz

(3 7 ) (3 7 ) 0z w dw w z dz por lo tanto la nueva Ecuación Diferencial es

Homogénea. Sea w uz dw udz zdu

(3 7 ) (3 7 ) 0z w dw w z dz (3 7 )( ) (3 7 ) 0z uz udz zdu uz z dz

(3 7 )( ) (3 7) 0z u udz zdu z u dz (3 7 )( ) (3 7) 0u udz zdu u dz

(3 7 ) (3 7 ) (3 7) 0u udz u zdu u dz (3 7 (3 7)) (3 7 ) 0u u udz u zdu

(3 7 3 7) (3 7 ) 0u u udz u zdu (10 10 ) (3 7 ) 0u udz u zdu

10(1 ) (3 7 ) 0u udz u zdu 3 7

10 0(1 )

dz udu

z u u

7 310 0

( 1)

dz udu

z u u

7 310 ( )

( 1)

dz udu c i

z u u

10 10ln ( )dz

z iiz

7 3

( 1)

udu

u u

Aplicando Fracciones Parciales tenemos que:

7 3

( 1) 1

u A B

u u u u

7 3 ( 1)

( 1) ( 1)

u Au B u

u u u u

7 3 ( 1)u Au B u

:: 0 7(0) 3 (0) (0 1)u A B 3 ( 1)B 3B

:: 1 7(1) 3 (1) (1 1)u A B 7 3 (1) (0)A B 4 A Luego:

7 3::

( 1) 1

u A B

u u u u

7 3 4 3

( 1) 1

u

u u u u

7 34 3

( 1) 1

u du dudu

u u u u

7 34ln 1 3ln ( )

( 1)

udu u u iii

u u

Sustituyendo (ii) y (iii) en (i) se tiene que:



10ln 4ln 1 3lnz u u c 10 4 3ln ln ( 1) lnz u u c

10 4 3ln ( 1)z u u c 10 4 3( 1) cz u u e 10 4 3( 1)z u u k Pero

ww uz u

z con

lo cual 10 4 3( 1) ( )w w

z kz z

4 310

4 3

( )w z wz k

z z

3 4 3( )z w z w k .

:: 1x w y z 1x w y z 3 4 3( 1 ) ( 1)y x y x k

3 4 3( 1) ( 1)y x y x k

Objetivo #8: Determinar la solución de una Ecuación Diferencial de Primer Orden exacta.

Valor: 5%. Criterio de aprobación: 80%.

8.1.- Obtenga la solución de la Ecuación Diferencial 2 2 2 2(2 ) ( 2 ) ' 0x x y y x y y

Solución: 2 2 2 2:: (2 ) ( 2 ) ' 0x x y y x y y 2 2 2 2(2 ) ( 2 ) 0

dyx x y y x y

dx

2 2 2 2(2 ) ( 2 ) 0x x y dx y x y dy . Veamos si la Ecuación Diferencial es Exacta, i.e.

veamos si se cumple que M N

y x

con

2 2 2 2( , ) (2 ) ( , ) ( 2 )M x y x x y N x y y x y

2 2 2 2:: ( , ) (2 ) ( , ) ( 2 )M x y x x y N x y y x y

3 2 2 3( , ) 2 ( , ) 2M x y x xy N x y yx y 2 ( , ) 2M N

xy x y yxy x

M N

y x

con lo cual la Ecuación Diferencial es Exacta. Sean ( , )g

M x yx

2 2(2 ) ( )g

x x y ix



( , )g

N x yy

2 2( 2 ) ( )g

y x y iiy

y ( , ) ( )g x y c iii . De (i) integramos respecto a x y

se tiene que: 2 2:: (2 )g

x x yx

2 2( , ) (2 )g x y x x y dx 3 2( , ) (2 )g x y x xy dx

3 2( , ) 2g x y x dx xy dx 4 2 21 1

( , ) ( ) ( )2 2

g x y x x y h y iv De (iv) derivamos

respecto a y y se tiene que: 4 2 21 1:: ( , ) ( )

2 2g x y x x y h y 2 '( ) ( )

gx y h y v

y

. De (ii)

y (v) igualamos y tenemos que: 2 2 2( 2 ) '( )y x y x y h y 2 3 22 '( )yx y x y h y

3'( ) 2h y y 3( ) 2h y y dy 41

( ) ( )2

h y y vi . Sustituyendo (iii) y (vi) en (iv)

tenemos que: 4 2 2 41 1 1

2 2 2c x x y y

4 2 2 42c x x y y 4 2 2 4k x x y y

8.2.- Obtenga la solución del Problema de Valor Inicial

2 2 2 2(1 ) (1 ) 0; (2) 1xy dx y x xy dy y

Solución: Determinemos primero la solución de la Ecuación Diferencial

2 2 2 2(1 ) (1 ) 0xy dx y x xy dy . Para esto veamos si la Ecuación Diferencial dada

es Exacta, i.e., veamos si se cumple que: M N

y x

con

2 2 2 2( , ) (1 ) ( , ) (1 )M x y xy N x y y x xy

2:: ( , ) (1 )M x y xy 32(1 ) ( )M

xy xy

3

2( )

(1 )

M xI

y xy

2 2 2:: ( , ) (1 )N x y y x xy 2 2 32 (1 ) ( 2)(1 ) ( )N

x xy x xy yx



2

2 3

2 2

(1 ) (1 )

N x x y

x xy xy

2

3

2 (1 ) 2

(1 )

N x xy x y

x xy

2 2

3

2 2 2

(1 )

N x x y x y

x xy

3

2( )

(1 )

N xII

x xy

. Luego de (I) y (II) se tiene que:

M N

y x

con lo cual la ecuación

diferencial es exacta. Sean: 2( , ) (1 ) ( )g g

M x y xy ix x

2 2 2( , ) (1 ) ( )g g

N x y y x xy iiy y

y ( , ) ( )g x y c iii

De (ii) integramos respecto a y, y se tiene que:

2 2 2:: (1 )g

y x xyy

2 2 2( , ) ( (1 ) )g x y y x xy dy

2 2 2( , ) (1 )g x y y dy x xy dy 2 2 2( , ) (1 )g x y y dy x xy dy

2 31

3y dy y Calculemos 2 2(1 )x xy dy Sea 1u xy du xdy

dudy

x así

tenemos que: 2 2 2 2(1 )du

x xy dy x ux

2 2 2(1 )x xy dy x u du

12 2(1 )

1

ux xy dy x

2 2 1

(1 )x xy dy xu

2 2(1 )

1

xx xy dy

xy

2 2 2:: ( , ) (1 )g x y y dy x xy dy 31

( , ) ( ) ( )3 1

xg x y y h x iv

xy

De (iv) derivamos respecto a x y se tiene que:

31:: ( , ) ( )

3 1

xg x y y h x

xy

2

1 ( )'( )

(1 )

g xy x yh x

x xy

2

1'( )

(1 )

g xy xyh x

x xy



2

1'( ) ( )

(1 )

gh x v

x xy

De (i) y (v) igualamos y se tiene que:

2

2

1'( ) (1 )

(1 )h x xy

xy

2 2

1 1'( )

(1 ) (1 )h x

xy xy

'( ) 0h x ( ) 0 ( )h x vi

Sustituyendo (iii) y (vi) en (iv) tenemos que:

310

3 1

xc y

xy

33 (1 ) (1 ) 3c xy y xy x 3 4(1 ) 3k xy y xy x

Ahora determinemos el valor de la constante k tal que (2) 1y .

3 4:: (1 ) 3 (2) 1k xy y xy x y 3 4(1 (2)(1)) 1 2(1) 3(2)(1)k

(1 2) 1 2 6k 5k 5k , así tenemos que:

3 4 35(1 ) 3xy y xy xy 3 4 35 5 3xy y xy xy 3 45 3 5y xy x xy

4 3 5 3 5xy y xy x . Así la solución del Problema de Valor Inicial

2 2 2 2(1 ) (1 ) 0; (2) 1xy dx y x xy dy y está dada por 4 3 5 3 5xy y xy x

Objetivo #9: Determinar la solución de una Ecuación Diferencial de Primer Orden por

factor de integración. Valor: 5%. Criterio de aprobación: 80%.

9.1.- Obtenga la solución de la Ecuación Diferencial (8 9 ) 2 ( 3 ) 0y x y dx x x y dy

Solución: Veamos si la Ecuación Diferencial (8 9 ) 2 ( 3 ) 0y x y dx x x y dy es Exacta,

i.e., veamos si se cumple que: M N

y x

con ( , ) (8 9 ) ( , ) 2 ( 3 )M x y y x y N x y x x y

:: ( , ) (8 9 ) ( , ) 2 ( 3 )M x y y x y N x y x x y



8 9 (0 9) 2( 3 ) 2 (1 0)M N

x y y x y xy x

8 9 9 2 6 2M N

x y y x y xy x

8 18 4 6

M Nx y x y

y x

::M N

y x

La Ecuación Diferencial no es Exacta. Veamos si tiene un Factor de

Integración: 8 18 (4 6 )M N

x y x yy x

8 18 4 6

M Nx y x y

y x

4 12M N

x yy x

4( 3 )

M Nx y

y x

4( 3 )

( , ) 2 ( 3 )

M N

x yy x

N x y x x y

2( )

( , )

M N

y xh x

N x y x

( )

( , )h x dx

x y e Es un factor de integración de la Ecuación

Diferencial (8 9 ) 2 ( 3 ) 0y x y dx x x y dy

2:: ( )h x

x

2( )h x dx dx

x ( ) 2

dxh x dx

x ( ) 2lnh x dx x

2( ) lnh x dx x

( )

:: ( , )h x dx

x y e 2ln

( , )x

x y e 2( , )x y x Con lo cual la Ecuación Diferencial

2 2(8 9 ) 2 ( 3 ) 0yx x y dx xx x y dy es Exacta.

2 2:: (8 9 ) 2 ( 3 ) 0yx x y dx xx x y dy 2 3(8 9 ) 2 ( 3 ) 0yx x y dx x x y dy . Sean

2 (8 9 ) ( )g

yx x y ix

32 ( 3 ) ( )

gx x y ii

y

( , ) ( )g x y c iii

De (i) integramos respecto a x y se tiene que:



2:: (8 9 )g

yx x yx

2( , ) (8 9 )g x y yx x y dx 3 2 2( , ) (8 9 )g x y yx y x dx

3 2 2( , ) 8 9g x y yx dx y x dx 3 2 2( , ) 8 9g x y y x dx y x dx

4 32( , ) 8 9 ( )

4 3

x xg x y y y f y 4 2 3( , ) 2 3 ( ) ( )g x y yx y x f y iv

De (iv) derivamos respecto a y, y tenemos que:

4 2 3:: ( , ) 2 3 ( )g x y yx y x f y 4 32 6 '( ) ( )g

x yx f y vy

De (ii) y (v) igualamos y tenemos que: 4 3 32 6 '( ) 2 ( 3 )x yx f y x x y

4 3 4 32 6 '( ) 2 6x yx f y x yx '( ) 0f y ( ) 0 ( )f y vi

Sustituyendo (iii) y (vi) en (iv) tenemos que: 4 2 32 3 0c yx y x 3(2 3 )c yx x y

9.2.- Obtenga la solución de la Ecuación Diferencial 2( ) 2 0x y dx xydy

Solución: Veamos si la Ecuación Diferencial 2( ) 2 0x y dx xydy es exacta, i.e., veamos

si se cumple que: M N

y x

con

2( , ) ( , ) 2M x y x y N x y xy .

2:: ( , ) ( , ) 2M x y x y N x y xy 2 2M N

y yy x

M N

y x

con lo cual la

Ecuación Diferencial 2( ) 2 0x y dx xydy no es exacta. Veamos si tiene un factor de

integración. 2 ( 2 )

( , ) 2

M N

y yy x

N x y xy

2 2

( , ) 2

M N

y yy x

N x y xy

4

( , ) 2

M N

yy x

N x y xy



2( )

( , )

M N

y xh x

N x y x

( )

( , )h x dx

x y e es un factor de integración de la Ecuación

Diferencial 2( ) 2 0x y dx xydy .

2:: ( )h x

x

2( )h x dx dx

x

( ) 2

dxh x dx

x

( ) 2lnh x dx x 2( ) lnh x dx x

2ln( , )

xx y e

2( , )x y x con lo cual la

Ecuación Diferencial 2 2 2( ) 2 0x x y dx x xydy es Exacta.

2 2 2:: ( ) 2 0x x y dx x xydy 1 2 2 1( ) 2 0x x y dx x ydy . Sean:

1 2 2 ( )g

x x y ix

12 ( )

gx y ii

y

( , ) 0 ( )g x y iii

De (ii) integramos respecto a y, y se tiene que: 1:: 2g

x yy

1( , ) 2g x y x ydy

1( , ) 2g x y x ydy 1 2( , ) ( ) ( )g x y x y f x iv . De (iv) derivamos respecto a x y

se tiene que: 1 2:: ( , ) ( )g x y x y f x 2 2 '( ) ( )

gx y f x v

x

. De (i) y (v) igualamos y

se tiene que: 2 2 1 2 2'( )x y f x x x y

1'( )f x

x ( )

dxf x

x ( ) ln ( )f x x vi

Sustituyendo (iii) y (vi) en (iv) se tiene que: 1 2 lnc x y x 2 lncx y x x

Objetivo #10: Determinar la solución de una Ecuación Diferencial de Primer Orden Lineal.

Valor: 5%. Criterio de aprobación: 80%.

10.1.- Obtenga la solución de la Ecuación Diferencial 2

' 2 2 xy xy xe



Solución: 2

:: ' 2 2 xy xy xe tiene la forma ' ( ) ( )y P x y Q x la Ecuación Diferencial es

Lineal con 2

( ) 2 ( ) 2 xP x x Q x xe con lo cual la solución está dada por:

( ) ( )

( )P x dx P x dx

y e e Q x dx

:: ( ) 2P x x ( ) 2P x dx xdx 2( )P x dx x

2( )P x dx x . Luego tenemos

que:

( ) ( )

:: ( )P x dx P x dx

y e e Q x dx

2 2 2

2x x xy e e xe dx 2

2 xy e xdx

2 212

2

xy e x k

2 2212 2

2

x xy x e k e 2 2( )xy e x c

10.2.- Obtenga la solución de la Ecuación Diferencial 2 4 2(2 ) (1 ) 0xy x x dx x dy

Solución: 2 4 2:: (2 ) (1 ) 0xy x x dx x dy 2 4 2(2 ) (1 ) 0

dx dyxy x x x

dx dx

2 4 22 (1 ) ' 0xy x x x y 2 2 4(1 ) ' 2 ( )x y xy x x

2 2 2(1 ) ' 2 (1 )x y xy x x 2 2

2 2

2 (1 )'

(1 ) (1 )

x x xy y

x x

2

2

2'

1

xy y x

x

la Ecuación Diferencial tiene la forma ' ( ) ( )y P x y Q x con

2

2

2( ) ( )

1

xP x Q x x

x

, por lo tanto la solución está dada por:

( ) ( )

( )P x dx P x dx

y e e Q x dx .

2

2:: ( )

1

xP x

x

2

2( )

1

xP x dx dx

x



2( ) ln 1P x dx x 1

2( ) ln 1P x dx x

2( ) ln 1P x dx x . Luego tenemos

que: ( ) ( )

:: ( )P x dx P x dx

y e e Q x dx

12 2ln1 ln1 2x x

y e e x dx

2 2 1 2(1 ) (1 )y x x x dx

22

2(1 )

1

xy x dx

x

2

2

2

1 1(1 )

1

xy x dx

x

2

2

2 2

1 1(1 )

1 1

xy x dx

x x

2

2(1 )

1

dxy x dx

x

2 1(1 ) tan ( )y x x x c

Objetivo #11: Determinar la solución de una Ecuación de Bernoulli. Valor: 5%. Criterio de

aprobación: 80%.

11.1.- Determinar la solución de la Ecuación Diferencial ' 1 6 x yy xe

Solución: Sea u x y ' 1 'u y ' 1 'y u . Luego tenemos que:

:: ' 1 6 x yy xe 1 ' 1 6 uu xe 6 uduxe

dx 6

u

duxdx

e 6ue du xdx

6ue du xdx 23ue x c pero u x y

( ) 23x ye x c

23y xe x c

11.2.- Obtenga la solución de la Ecuación Diferencial 2( ) 2 cos 0seny x seny dx x ydy

Solución: Sea u seny cosdu ydy . Luego tenemos que:

2:: ( ) 2 cos 0seny x seny dx x ydy 2( ) 2 0u x u dx x du 2( ) 2 0dx du

u x u xdx dx

2 22 ' 0xu u x u 2 22 'x u xu u 2

2 2'

2 2

x uu u

x x



2 22 2

2 2'

2 2

x u uu u uu

x x

2 1

2

1 1'

2 2u u u

x x

. Sea 1z u 2' 'z u u

2' 'z u u 2

1 1'

2 2z z

x x

2

1 1'

2 2z z

x x con lo cual la nueva Ecuación

Diferencial es lineal con 2

1 1( ) ( )

2 2P x Q x

x x , así la solución está dada por:

( ) ( )

( )P x dx P x dx

z e e Q x dx

1:: ( )

2P x

x

1( )

2

dxP x dx

x

1( ) ln

2P x dx x

12( ) lnP x dx x

12( ) lnP x dx x . Luego tenemos que:

( ) ( )

:: ( )P x dx P x dx

z e e Q x dx

1 12 2ln ln

2

1

2

x x

z e e dxx

1 1

2 2

2

1

2z x x dx

x

512 2

1

2z x x dx

32

12

1

322

xz x c

312 2

1 2

2 3z x x c

3 1 12 2 2

2 1 1

3 2 2z x x c x

1211

3z x kx

12

1

13z c x

x

32

13 1zx c x

1:: z u3

21

13 1u x c x 3

2

13 1x

c xu

3

2

13 ( 1)x c x u . Pero u seny con lo cual

tenemos que: 3

2

13 ( 1)x c x seny

ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN.

TEORÍA GENERAL DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES.

Una ecuación diferencial de orden n es lineal si tiene la forma

( ) ( 1)

1 2 1 0( ) ( ) .... ( ) ( ) ( ) ( )n n

n nb x y b x y b x y b x y b x y g x



donde ( )g x y los coeficientes ( )jb x , 1,2,...,j n depende únicamente de la variable x.

Si ( ) 0g x , entonces la ecuación diferencial se llama homogénea. Si ( )jb x , 1,2,...,j n

son constantes, se dice que la ecuación diferencial tiene coeficientes constantes, en caso

contrario se dice que tiene coeficientes variables.

Teorema: Sea la ecuación diferencial lineal

( ) ( 1)

1 2 1 0( ) ( ) .... ( ) ( ) ( ) ( )n n


y las n condiciones iniciales ( 1)

0 0 0 1 0 1( ) , ( ) ,..., ( )n

ny x c y x c y x c

. Si ( )g x y ( )jb x ,

1,2,...,j n son continuos en algún intervalo I que contiene a 0x y si ( ) 0nb x en I,

entonces el problema de valor inicial tiene una solución única en I.

Observación: Si ( ) 0nb x , la ecuación diferencial

( ) ( 1)

1 2 1 0( ) ( ) .... ( ) ( ) ( ) ( )n n


se puede escribir como

( ) ( 1)

1 2 1 0( ) .... ( ) ( ) ( ) ( )n n

ny a x y a x y a x y a x y x

, donde

( )( ) , 0,1,2,..., 1

( )

j

j

n

b xa x j n

b x y

( )( )

( )n

g xx

b x

Definición: Se define y denota el operador lineal como:

( ) ( 1)

1 1 0( ) ( ) ... ( ) ( )n n

nL y y a x y a x y a x y

Teorema: El operador ( )L y es una transformación lineal.

Teorema: Si 1 2, ,..., ky y y son soluciones de ( ) 0L y , entonces 1 1 2 2 ... k kc y c y c y es

también una solución de ( ) 0L y para constantes arbitrarias 1 2, ,..., kc c c



Definición: El conjunto de funciones 1 2( ), ( ),..., ( )ny x y x y x es linealmente independientes

si y sólo si 1 1 2 2 1 2( ) ( ) ... ( ) 0 ... 0n n nc y x c y x c y x c c c

Definición: El conjunto de funciones 1 2( ), ( ),..., ( )ny x y x y x es linealmente dependiente si

y sólo si existen escalares 1 2, ,..., nc c c , no todos nulos tal que

1 1 2 2( ) ( ) ... ( ) 0n nc y x c y x c y x

Teorema: Es posible determinar n soluciones linealmente independientes de la ecuación

diferencial ( ) ( )L y x

Definición: Sea 1 2( ), ( ),..., ( )nz x z x z x un conjunto de funciones en ,a b , cada una de las

cuales tiene n-1 derivadas. El determinante

1 2

1 21 2

( 1) ( 1) ( 1)

1 2

...

...( , ,..., )

: : : :

...

n

nn

n n n

n

z z z

z z zw z z z

z z z

se llama Wronskiano del conjunto de funciones dadas.

Teorema: Supongamos que 1 2( ), ( ),..., ( )ny x y x y x es un conjunto se n soluciones para la

ecuación diferencial lineal homogénea de orden n ( ) 0L y . El conjunto

1 2( ), ( ),..., ( )ny x y x y x es linealmente independiente en ,a b si y sólo si el Wronskiano

del conjunto es diferente de cero.

Teorema: Si 1 2( ), ( ),..., ( )ny x y x y x son n soluciones linealmente independientes de

( ) 0L y , entonces cualquier solución ( )y x de ( ) 0L y se puede escribir como



combinación lineal de 1 2( ), ( ),..., ( )ny x y x y x , ie, existen constantes 1 2, ,..., nc c c tal que

1 1 2 2( ) ( ) ( ) ... ( )n ny x c y x c y x c y x

Teorema: La ecuación diferencial lineal homogénea de orden n ( ) 0L y tiene siempre n

soluciones linealmente independientes. Si 1 2( ), ( ),..., ( )ny x y x y x representan estas

soluciones, entonces la solución general de ( ) 0L y es

1 1 2 2( ) ( ) ( ) ... ( )n ny x c y x c y x c y x , donde 1 2, ,..., nc c c son constantes arbitrarias. El

conjunto 1 2( ), ( ),..., ( )ny x y x y x se llama conjunto fundamental de soluciones.

Teorema: Dada la ecuación diferencial lineal ( ) ( )L y x , no homogénea. Si py es

solución particular de ( ) ( )L y x y hy es la solución general asociada a la ecuación

diferencial ( ) 0L y , entonces la solución general de la ecuación diferencial ( ) ( )L y x es

G p hy y y

SOLUCIÓN GENERAL DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

HOMOGÉNEAS DE SEGUNDO ORDEN CON COEFICIENTES CONSTANTES

Teorema: mxy e es solución de la ecuación diferencial 2 1 0 0a y a y a y si y sólo si m

es una raíz de la ecuación 2

2 1 0 0a r a r a . La ecuación 2

2 1 0 0a r a r a se llama

ecuación característica de la ecuación diferencial 2 1 0 0a y a y a y .

Teorema: Si m y n son soluciones de la ecuación 2

2 1 0 0a r a r a y m n , entonces

,mx nxy e y e forman un conjunto fundamental de soluciones a la ecuación diferencial

2 1 0 0a y a y a y y la solución general está dada por 1 2

mx nxy c e c e

Teorema: Si m es una raíz de multiplicidad dos de la ecuación 2

2 1 0 0a r a r a , entonces

,mx mxy e y xe forman un conjunto fundamental de soluciones a la ecuación diferencial

2 1 0 0a y a y a y y la solución general está dada por 1 2

mx mxy c e c xe .



Teorema: Si ,m a bi n a bi son dos raíces complejas de la ecuación

2

2 1 0 0a r a r a , entonces cos ,ax axy e bx y e senbx forman un conjunto fundamental

de soluciones y la solución general está dada por 1 2cosax axy c e bx c e senbx

1.- Obtenga la solución de la ecuación diferencial '' 2 ' 3 0y y y

Solución:

:: '' 2 ' 3 0y y y la ecuación característica asociada a la ecuación diferencial está dada

por 2 2 3 0r r . Para obtener la solución de la ecuación 2 2 3 0r r se aplica la

resolvente cuadrática.

2:: 2 3 0 ( 3)( 1) 0 3 0 1 0r r r r r r 3 1r r

:: 3 1r r es solución de la ecuación característica 2 2 3 0r r 3

1 2,x xy e y e

constituye un conjunto fundamental de soluciones de la ecuaciones diferenciales

'' 2 ' 3 0y y y , por lo tanto la solución general de la ecuación diferencial

'' 2 ' 3 0y y y es 3

1 2

x x

hy c e c e

2.- Obtenga la solución de la ecuación diferencial ''' 3 '' 4 ' 0y y y

Solución:

:: ''' 3 '' 4 ' 0y y y la ecuación característica asociada a la ecuación diferencial está

dada por: 3 23 4 0r r r

3 2 2:: 3 4 0 ( 3 4) 0 ( 4)( 1) 0r r r r r r r r r 0 4 0 1 0r r r

0 4 1r r r

:: 0, 4, 1r r r es solución de la ecuación 3 2 4

1 2 33 4 0 1, ,x xr r r y y e y e

constituye un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial



''' 3 '' 4 ' 0y y y , por lo tanto la solución general de la ecuación diferencial

''' 3 '' 4 ' 0y y y es: 4

1 2 3

x xy c c e c e

3.- Obtenga la solución de la ecuación diferencial ( ) 6 ''' 9 '' 0ivy y y

Solución:

( ):: 6 ''' 9 '' 0ivy y y la ecuación característica asociada a la ecuación diferencial está

dada por: 4 3 26 9 0r r r . Factorizando tenemos que:

2 2 2 2( 6 9) 0 ( 3) 0 0 3r r r r r r r

:: 0, 3r r es solución de la ecuación característica 4 3 26 9 0r r r

3 3

1 2 3 41, , ,x xy y x y e y xe constituyen un conjunto fundamental de soluciones de la

ecuación diferencial ( ) 6 ''' 9 '' 0ivy y y , con lo cual la solución general de la ecuación

diferencial ( ) 6 ''' 9 '' 0ivy y y es: 3 3

1 2 3 4

x xy c c x c e c xe

4.- Obtenga la solución de la Ecuación Diferencial 4 ''' 13 ' 6 0y y y

Solución:

:: 4 ''' 13 ' 6 0y y y la ecuación característica asociada a la Ecuación Diferencial está

dada por: 34 13 6 0r r . Determinemos las posibles raíces del polinomio de grado tres.

(6) 1, 2, 3, 6D , (4) 1, 2, 4D 3 31 11, , , 2, 3, , , 62 4 2 4

PR

Aplicando el Teorema del Resto se tiene que:

Sea 3( ) 4 13 6 (1) 4 13 6 (1) 15 0P r r r P P .



3(2) 4.2 13.2 6 (2) 32 26 6 (2) 0P P P . Luego 2r es una raíz de la

Ecuación Característica 34 13 6 0r r

SOLUCIÓN GENERAL DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO

HOMOGÉNEAS DE SEGUNDO ORDEN CON COEFICIENTES CONSTANTES.

Método de los coeficientes indeterminados: Dada la ecuación diferencial de orden dos

lineal no homogénea, 2 1 0 ( )a y a y a y x . Para obtener la solución de la ecuación

diferencial se procede de la siguiente manera. Se determina la solución homogénea general,

hy asociada a la ecuación diferencial 2 1 0 0a y a y a y . Para obtener la solución

particular de la ecuación diferencial 2 1 0 ( )a y a y a y x , se debe considerar a la

función ( )x como sigue:

1. ( ) px a y A , siendo a y A constantes arbitrarias

2. 1 1

1 1 0 1 1 0( ) ... ...n n n n

n n p n nx a x a x a x a y A x A x A x A

3. ( ) cos( ) ( ) cos( ) ( )px a x bsen x y A x Bsen x

4. ( ) mx mx

px ae y Ae

5. ( ) ( ) ( )mx mx

n p nx p x e y P x e , 1

1 1 0( ) ...n n

n n np x a x a x a x a

y

1

1 1 0( ) ...n n

n n nP x A x A x A x A

6. ( ) ( )cos( ) ( ) ( ) ( )cos( ) ( ) ( )n m p N Nx p x x q x sen x y P x x Q x sen x

1

1 1 0( ) ...m m

m m mq x b x b x b x b

y 1

1 1 0( ) ...n n

n n nQ x B x B x B x B

donde

,N máx n m

7. ( ) ( ) cos( ) ( ) ( ) ( )cos( )

( ) ( )

mx mx mx

n m p N

mx

N

x p x e x q e x sen x y P e x x

Q x e sen x



8. ( ) cos( ) ( ) cos( ) ( )mx mx mx mx

px ae x be sen x y Ae x e Bsen x

Así la solución general está dada por G h py y y . Si para la solución de py , esta contiene

soluciones de hy , entonces a la solución py se multiplicara por sx hasta que esta no

coincida con la solución hy .

Método de variación de parámetros: Si 1 1 2 2( ) ( )hy c y x c y x es solución homogénea de

la ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden 2 1 0 0a y a y a y y si

1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )py v x y x v x y x donde 1 2( ) y ( )v x v x satisfacen las condiciones

1 1 2 2

1 1 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

v x y x v x y x

v x y x v x y x x

entonces py es solución de la ecuación diferencial lineal de segundo orden

2 1 0 ( )a y a y a y x y la solución general está dada por G h py y y

SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES POR SERIES DE POTENCIAS.

Definición: Una serie de potencias en torno al punto 0x es una expresión de la forma

2 3

0 0 1 0 2 0 3 0

0

( ) ( ) ( ) ( ) ......n

n

n

a x x a a x x a x x a x x

, donde x es una variable y

los coeficientes na son constantes. Se dice que la serie de potencias

2 3

0 0 1 0 2 0 3 0

0

( ) ( ) ( ) ( ) ......n

n

n

a x x a a x x a x x a x x

converge en el punto x r

si la serie infinita (de números reales) 0

0

( )n

n

n

a r x

converge; i.e, el límite de las sumas

parciales, 0

0

lim ( )N

n

nN

n

a r x

existe. Si el límite no existe, se dice que la serie de potencias



diverge en x r . Nótese que la serie de potencias 0

0

( )n

n

n

a x x

converge en 0x x ya

que 2 3

0 0 0 1 2 3 0

0

( ) 0 0 0 ......n

n

n

a x x a a a a a

.

Teorema: Para cada serie de potencias de la forma 0

0

( )n

n

n

a x x

, existe un número

(0 ) , llamado radio de convergencia de la serie de potencias, tal que la serie

0

0

( )n

n

n

a x x

converge absolutamente para 0x x y diverge para 0x x . Si la

serie 0

0

( )n

n

n

a x x

converge para todo valor real x , entonces . Si la serie

0

0

( )n

n

n

a x x

converge solamente en 0x , entonces 0

Observación: El teorema resuelve la cuestión de la convergencia excepto en los extremos

0x . De manera que estos dos puntos requieren un análisis separado. Para determinar el

radio de convergencia , un método que resulta fácil de aplicar es el criterio del cociente.

Teorema: Si 1lim n

nn

aL

a

, donde 0 L , entonces el radio de convergencia de la serie

de potencias 0

0

( )n

n

n

a x x

es 1

L , con sí 0L y 0 si L .

Observación: Si el límite del cociente 1n

n

a

a

no existe, entonces se deben aplicar otros

métodos distintos del criterio del cociente para determinar a .

Teorema: Si la serie de potencias 0

0

( ) ( )n

n

n

f x a x x

tiene un radio de convergencia

positivo, entonces la diferenciación término a término da lugar a la serie de potencias de la



derivada de f como: 1

0

1

( ) ( )n

n

n

f x na x x

para 0x x , y la integración término a

término de la serie de potencias de la integral de f como 1

0

0

( ) ( )1

nn

n

af x dx x x C

n

para 0x x .

Definición: Se dice que una función f es analítica en 0x , si f es derivable en 0x , o si, en

un intervalo abierto en torno a 0x , esta función es la suma de una serie de potencias

0

0

( )n

n

n

a x x

que tiene un radio de convergencia positivo.

Teorema: Si f es analítica en 0x , entonces la representación

( ) 2

0 0 00 0 0 0

0

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ....

! 2

nn

n

f x f x x xf x x x f x f x x x

n

es válida en cierto intervalo abierto con centro en 0x . La serie ( )

00

0

( )( ) ( )

!

nn

n

f xf x x x

n

se llama serie de Taylor de f en torno a 0x . Cuando 0 0x , se le conoce como la serie de

Maclaurin de f .

Definición: Un punto 0x se llama punto ordinario de la ecuación diferencial ordinaria

2 1 0( ) ( ) ( ) 0a x y a x y a x y si 1

2

( )( )

( )

a xp x

a x y 0

2

( )( )

( )

a xq x

a x son analíticas en 0x . Si 0x

no es un punto ordinario, se llama punto singular de la ecuación diferencial.

Teorema: Supóngase que 0x es un punto ordinario de la ecuación diferencial

2 1 0( ) ( ) ( ) 0a x y a x y a x y . Entonces la ecuación diferencial tiene dos soluciones

analíticas linealmente independientes de la forma 0

0

( ) ( )n

n

n

y x a x x

. Además el radio de



convergencia de cualquier solución en serie de potencias de la forma 0

0

( ) ( )n

n

n

y x a x x

es por lo menos igual a la distancia de 0x al punto singular (real o complejo) de la ecuación

diferencial 2 1 0( ) ( ) ( ) 0a x y a x y a x y más cercano.

PROBLEMAS RESUELTOS

Objetivo #14: Determinar la solución de una Ecuación Diferencial Ordinaria lineal de

Orden dos con coeficientes constantes no Homogénea usando el método de los coeficientes

indeterminados. Valor: 5%. Criterio de aprobación: 80%.

14.1.- Obtenga la solución de la Ecuación Diferencial 2'' 3 ' 2 12y y y x

Solución: Determinemos la solución General Gy asociada a la Ecuación Diferencial

2'' 3 ' 2 12y y y x usando el método de los coeficientes indeterminados.

Paso #1: Determinar la solución homogénea asociada a la Ecuación Diferencial

'' 3 ' 2 0y y y

:: '' 3 ' 2 0y y y La Ecuación Característica asociada a la Ecuación Diferencial está

dada por: 2 3 2 0r r ( 1)( 2) 0r r 1 0 2 0r r 1 2r r

2

1 2;x xy e y e constituyen un conjunto fundamental de soluciones de la Ecuación

Diferencial '' 3 ' 2 0y y y y la Solución Homogénea está dada por: 2

1 2

x x

hy c e c e

Paso #2: Determinar la Solución Particular py asociada a la Ecuación Diferencial

2'' 3 ' 2 12y y y x .

2 2

1 2:: ( ) 12 x x

hx x y c e c e 2

0 1 2py A A x A x ,

1 22py A A x ,,

22py A .

Luego tenemos que: 2:: '' 3 ' 2 12y y y x 2 2

2 1 2 0 1 22 3( 2 ) 2( ) 12A A A x A A x A x x



2 2

2 1 2 0 1 22 3 6 2 2 2 12A A A x A A x A x x

2 2

2 1 0 2 1 2(2 3 2 ) (6 2 ) 2 12A A A A A x A x x

2 1 0

2 1

2

2 3 2 0

6 2 0

2 12

A A A

A A

A

0 2 1

1 2

2

3

2

3

6

A A A

A A

A

0

1

2

21

18

6

A

A

A

221 18 6py x x

Paso #3: Determinar la Solución General Gy asociada a la Ecuación Diferencial

2'' 3 ' 2 12y y y x

:: G h py y y 2 2

1 2 21 18 6x x

Gy c e c e x x

2.- Obtenga la Solución de la Ecuación Diferencial '' (2 4cos )xy y e senx x

Solución: Determinemos la solución General Gy asociada a la Ecuación Diferencial

'' (2 4cos )xy y e senx x usando el método de los coeficientes indeterminados.

Paso #1: Determinar la solución homogénea asociada a la Ecuación Diferencial '' 0y y

:: '' 0y y La Ecuación Característica asociada a la Ecuación Diferencial está dada por:

2 1 0r 2 1r 2 1r 1r 1r

1 2;x xy e y e constituyen un

conjunto fundamental de soluciones de la Ecuación Diferencial '' 0y y y la solución

Homogénea está dada por: 1 2

x x

hy c e c e

Paso #2: Determinar la Solución Particular py asociada a la Ecuación Diferencial

'' (2 4cos )xy y e senx x .



1 2:: ( ) (2 4cos )x x x

hx e senx x y c e c e cosx x

py Ae senx Be x

, cos cosx x x x

py Ae senx Ae x Be x Be senx

, ( ) cos ( )x x

py A B e x A B e senx

,, ( ) cos ( ) ( ) ( ) cosx x x x

py A B e x A B e senx A B e senx A B e x

,, ( ( ) ( )) cos ( ( ) ( ))x x

py A B A B e x A B A B e senx

,, ( ) cos ( )x x

py A B A B e x A B A B e senx

,, 2 cos 2x x

py Ae x Be senx . Luego tenemos que:

:: '' (2 4cos )xy y e senx x

2 cos 2 ( cos ) (2 4cos )x x x x xAe x Be senx Ae senx Be x e senx x

( 2 ) cos ( 2 ) 2 4 cosx x x xA B e x A B e senx e senx e x

2 4

2 2

A B

A B

2 4

2 4 4

A B

A B

2 2 4 4 4A B A B 5 0B 0B

:: 2 2 0A B B 2(0) 2A 2A 2A

:: cosx x

py Ae senx Be x 2 0 cosx x

py e senx e x 2 x

py e senx

Paso #3: Determinar la Solución General Gy asociada a la Ecuación Diferencial

'' (2 4cos )xy y e senx x .

:: G h py y y 1 2 2x x x

Gy c e c e e senx 1 2( 2 )x x

Gy e c senx c e



3.- Obtenga la solución del Problema de Valor Inicial 3'' 4 ' 5 10 ;xy y y e

(0) 4; '(0) 0y y

Solución: Para determinar la solución del Problema de Valor Inicial, debemos obtener una

función que sea solución de la Ecuación Diferencial dada y satisfaga las condiciones

iniciales, i.e., determinar primero la solución de la Ecuación Diferencial Ordinaria y luego

determinar los valores de la constantes que satisfagan las condiciones iniciales dadas.

3:: '' 4 ' 5 10 xy y y e Determinar la solución general Gy asociada a la Ecuación

Diferencial Ordinaria dada usando el método de los coeficientes indeterminados.

Paso #1: Determinar la solución homogénea hy asociada a la Ecuación Diferencial

'' 4 ' 5 0y y y

:: '' 4 ' 5 0y y y La Ecuación Característica asociada a la Ecuación Diferencial está

dada por: 2 4 5 0r r

2 4

2

b b acr

a

donde 1; 4; 5a b c

24 4 4(1)(5)

2(1)r

4 16 20

2r

4 4

2r

4 4( 1)

2r

4 4 1

2r

4 2

2

ir

2r i 2 2

1 2cosx xy e x y e senx

constituyen un conjunto fundamental de soluciones de la Ecuación Diferencial

'' 4 ' 5 0y y y y la solución homogénea está dada por: 2 2

1 2cosx x

hy c e x c e senx

Paso #2: Determinar la solución particular py asociada a la Ecuación Diferencial

3'' 4 ' 5 10 xy y y e

3 2 2

1 2:: ( ) 10 cosx x x

hx e y c e x c e senx 3x

py Ae , 33 x

py Ae ,, 39 x

py Ae

Luego tenemos que: 3:: '' 4 ' 5 10 xy y y e 3 3 3 39 4( 3 ) 5 10x x x xAe Ae Ae e



3 3 314 12 10x x xAe Ae e 3 32 10x xAe e 2 10A 5A 35 x

py e

Paso #3: Determinar la solución general Gy asociada a la Ecuación Diferencial

3'' 4 ' 5 10 xy y y e .

:: G h py y y 2 2 3

1 2cos 5x x x

Gy c e x c e senx e

Luego, la Ecuación Diferencial 3'' 4 ' 5 10 xy y y e tiene por solución la función

2 2 3

1 2cos 5x x x

Gy c e x c e senx e . Ahora, determinemos los valores de 1 2c c tal que

(0) 4; '(0) 0y y

2 2 3

1 2:: cos 5x x x

Gy c e x c e senx e

, 2 2 2 2 3

1 1 2 22 cos 2 cos 15x x x x x

Gy c e x c e senx c e senx c e x e

, 2 2 3

1 2 1 2( 2 ) cos ( 2 ) 15x x x

Gy c c e x c c e senx e

:: (0) 4y 2(0) 2(0) 3(0)

1 24 cos(0) (0) 5c e c e sen e 0 0 0

1 24 (1) (0) 5c e c e e

1 24 (1) (0) 5c c 14 5c 14 5 c 11 c

:: '(0) 0y 2(0) 2(0) 3(0)

1 2 1 20 ( 2 ) cos(0) ( 2 ) (0) 15c c e c c e sen e

1 20 2 15c c 20 2( 1) 15c 20 2 15c 20 13c 213 c . Por lo

tanto la solución del Problema de Valor Inicial está dada por:

2 2 3cos 13 10x x x

Gy e x e senx e



Objetivo #15: Determinar una Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de orden dos con

coeficientes constantes no homogénea a partir de la solución general. Valor: 5%. Criterio

de aprobación: 80%.

1.- Determinar una Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de Orden dos con Coeficientes

Constantes no homogénea que tiene por solución la función 3 2

1 2

1( )

2

x x x

Gy c x e c e e

Solución: Determinemos una Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de Orden Dos con

Coeficientes Constantes no homogénea que tenga por solución la función

3 2

1 2

1( )

2

x x x

Gy c x e c e e

3 2

1 2

1:: ( )

2

x x x

Gy c x e c e e 3 2

1 2

1

2

x x x x

Gy c e xe c e e

3 2

1 2

1

2

x x x x

Gy c e c e xe e G h py y y con 3 2

1 2

1

2

x x x x

h py c e c e y xe e

3

1 2:: x x

hy c e c e 3

1 2

x xy e y e constituyen un conjunto fundamental de

soluciones de una Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de Orden Dos con coeficientes

constantes homogénea 1 3r r son raíces de una Ecuación Característica

asociada a una Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de Orden Dos con coeficientes

Constantes Homogénea ( 1)( 3) 0r r 2 4 3 0r r '' 4 ' 3 0y y y es la

Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de Orden Dos con coeficientes constantes

homogénea. Ahora determinemos ( )x tal que '' 4 ' 3 ( )y y y x para 21

2

x x

py xe e

21::

2

x x

py xe e 1 2p p py y y con

1 2

21

2

x x

p py xe y e 1 2( ) ( ) ( )x x x

1 2

21::

2

x x

p py xe y e 2

1 0 1 2( ) ( ) ( )x xx A A x e x Be



2

0 1( ) ( ) x xx A A x e Be Con lo cual tenemos que: 2

0 1'' 4 ' 3 ( ) x xy y y A A x e Be

21::

2

x x

py xe e , 21 12

2 2p

x x xy e xe e ,, 21 1 14

2 2 2p

x x x xy e e xe e

,, 214

2p

x x xy e xe e . Luego: 2

0 1:: '' 4 ' 3 ( ) x xy y y A A x e Be

2 2 2 2

0 1

1 1 1 14 4( 2 ) 3( ) ( )

2 2 2 2

x x x x x x x x x xe xe e e xe e xe e A A x e Be

2 2 2 2

0 1

1 34 2 2 8 3 ( )

2 2

x x x x x x x x x xe xe e e xe e xe e A A x e Be

2 2

0 115 ( )x x x xe e A A x e Be 0 1 1

15

A A x

B

0

1

1

0

15

A

A

B

Luego tenemos que:

2'' 4 ' 3 (1 0 ) 15x xy y y x e e 2'' 4 ' 3 15x xy y y e e

2.- Obtenga una Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de Orden Dos con Coeficientes

Constantes No Homogénea que tenga por solución la función 1 2 2x x x

Gy c e c e e senx

Solución: Determinemos una Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de Orden Dos con

Coeficientes Constantes No Homogénea que tenga por solución la función

1 2 2x x x

Gy c e c e e senx . 1 2:: 2x x x

Gy c e c e e senx G h py y y con

1 2

x x

hy c e c e y 2 x

py e senx . 1 2:: x x

hy c e c e 1 2

x xy e y e Constituyen un

conjunto fundamental de soluciones de una Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de

Orden Dos con Coeficientes Constantes Homogénea 1 1r r son raíces de una

Ecuación Característica asociada a una Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de Orden

Dos con Coeficientes Constantes Homogénea, con lo cual la Ecuación Característica está

dada por: ( 1)( 1) 0r r 2 1 0r . Así la Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de



Orden Dos con Coeficientes Constantes Homogénea está dada por: '' 0y y . Ahora

determinemos ( )x tal que '' ( )y y x donde tiene como solución particular la función

2 x

py e senx . :: 2 x

py e senx ( ) cosx xx Ae x Be senx . Así tenemos que:

'' cosx xy y Ae x Be senx :: 2 x

py e senx , 2 2 cosp

x xy e senx e x

,, 2 2 cos 2 cos 2p

x x x xy e senx e x e x e senx ,, 4 cosp

xy e x . Luego tenemos

que: :: '' cosx xy y Ae x Be senx 4 cos ( 2 ) cosx x x xe x e senx Ae x Be senx

4 cos 2 cosx x x xe x e senx Ae x Be senx 4 2A B . Así tenemos que la

Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de Orden Dos con Coeficientes Constantes No

Homogénea que tiene por solución la función 1 2 2x x x

Gy c e c e e senx está dada por:

'' 4 cos 2x xy y e x e senx '' (4cos 2 )xy y e x senx


Orden dos con coeficientes constantes no Homogénea usando el método de Variación de

parámetros. Valor: 5%. Criterio de aprobación: 80%.

1.- Obtenga la solución de la Ecuación Diferencial Ordinaria 4'' secy y x

Solución: Determinar la solución general Gy asociada a la Ecuación Diferencial

4'' secy y x usando el método de Variación de Parámetros.


'' 0y y . :: '' 0y y La Ecuación Característica asociada a la Ecuación Diferencial

está dada por: 2 1 0r 2 1r 2 1r r i r i



0 0

1 2cosx xy e x y e senx Constituyen un conjunto fundamental de soluciones de la

Ecuación Diferencial Ordinaria '' 0y y y la solución homogénea está dada por:

1 2coshy c x c senx


4'' secy y x . 1 2:: coshy c x c senx 1 2( )cos ( )py v x x v x senx tal que

1 2( ) ( )v x v x satisface las siguientes condiciones: 1 2

1 2

, ,

, , 4

( )cos ( ) 0

( ) ( )cos sec

v x x v x senx

v x senx v x x x

1 2

1 2

, ,

, , 4

( )cos ( ) 0::

( ) ( )cos sec

v x x v x senx

v x senx v x x x

1 2

1 2

, , 2

, , 2 4

( ) cos ( ) 0

( )cos ( )cos sec cos

v x senx x v x sen x

v x xsenx v x x x x

2 2

, 2 , 2 4( ) ( )cos sec cosv x sen x v x x x x 2

, 2 2 3( )( cos ) secv x sen x x x 2

, 3( ) secv x x

3

2( ) secv x xdx . Aplicando integración por partes tenemos que:

3 2sec sec secxdx x xdx .

Sean 2 2sec sec tan ; sec sec tanu x du x xdx dv xdx v xdx v x . Luego:

3 2sec sec sec sec tan tan sec tanxdx x xdx x x x x xdx

3 2sec sec tan sec tanxdx x x x xdx 3 2sec sec tan sec (sec 1)xdx x x x x dx

3 3sec sec tan (sec sec )xdx x x x x dx

3 3sec sec tan sec secxdx x x xdx xdx 32 sec sec tan secxdx x x xdx

32 sec sec tan ln sec tanxdx x x x x 3 1 1

sec sec tan ln sec tan2 2

xdx x x x x



2

1 1( ) sec tan ln sec tan

2 2v x x x x x

1 2 2

, , , 3:: ( )cos ( ) 0 ( ) secv x x v x senx v x x 1

, 3( )cos sec 0v x x xsenx

1

, 3( )cos secv x x xsenx 1

,

3

1( )

cos cos

senxv x

x x

1

,

4( )

cos

senxv x

x

1 4( )

cos

senxv x dx

x . Sea cosw x dw senxdx

1 4:: ( )

cos

senxv x dx

x 1 4

( )cos

senxv x dx

x

1 4

( )dw

v xw

4

1( )v x w dw

3

1( )3

wv x

1 3

1 1( )

3v x

w 1 3

1 1( )

3 cosv x

x 3

1

1( ) sec

3v x x . Luego se tiene

que:

1 2:: ( )cos ( )py v x x v x senx

31 1 1( sec )cos ( sec tan ln sec tan )

3 2 2py x x x x x x senx

21 1 1sec sec tan ln sec tan

3 2 2py x x xsenx senx x x

2

1 1 1 1 1ln sec tan

3 cos 2 cos cos 2p

senxy senx senx x x

x x x

2

2 2

1 1 1 1ln sec tan

3 cos 2 cos 2p

sen xy senx x x

x x

2

2

1 1 1 1( ) ln sec tan

cos 3 2 2py sen x senx x x

x



2

2

1 2 3 1ln sec tan

cos 6 2p

sen xy senx x x

x

2 2

2

1 2 2 1ln sec tan

cos 6 2p

sen x sen xy senx x x

x

2 2

2

1 2(1 ) 1ln sec tan

cos 6 2p

sen x sen xy senx x x

x

2 2

2

1 1( 2cos ) ln sec tan

6cos 2py x sen x senx x x

x

2 2

2 2

1 1 12cos ln sec tan

6cos 6cos 2py x sen x senx x x

x x

21 1 1tan ln sec tan

3 6 2py x senx x x

Paso #3: Determinar la solución general Gy asociada a la Ecuación Diferencial Ordinaria

4'' secy y x .

:: G h py y y 2

1 2

1 1 1cos tan ln sec tan

3 6 2Gy c x c senx x senx x x

2.- Obtenga la solución de la Ecuación Diferencial Ordinaria '' 3 ' 2 cos( )xy y y e

Solución: Determinar la solución general Gy asociada a la Ecuación Diferencial

'' 3 ' 2 cos( )xy y y e usando el método de variación de parámetros.


'' 3 ' 2 0y y y . :: '' 3 ' 2 0y y y La Ecuación Característica asociada a la Ecuación

Diferencial está dada por: 2 3 2 0r r ( 2)( 1) 0r r 2 0 1 0r r



2 1r r 2

1 2

x xy e y e Constituyen un conjunto fundamental de soluciones de

la Ecuación Diferencial '' 3 ' 2 0y y y y la solución homogénea está dada por:

2

1 2

x x

hy c e c e


'' 3 ' 2 cos( )xy y y e . 2

1 2:: x x

hy c e c e 2

1 2( ) ( )x x

py v x e v x e tal que 1 2( ) ( )v x v x

satisface las siguientes condiciones , 2 ,

1 2

, 2 ,

1 2

( ) ( ) 0

2 ( ) ( ) cos( )

x x

x x x

v x e v x e

v x e v x e e

, 2 ,

1 2

, 2 ,

1 2

( ) ( ) 0::

2 ( ) ( ) cos( )

x x

x x x

v x e v x e

v x e v x e e

, 2 ,

1 2

, 2 ,

1 2

( ) ( ) 0

2 ( ) ( ) cos( )

x x

x x x

v x e v x e

v x e v x e e

, 2 , , 2 ,

1 2 1 2( ) ( ) 2 ( ) ( ) cos( )x x x x xv x e v x e v x e v x e e , 2

1( ) cos( )x xv x e e

,

1 2

cos( )( )

x

x

ev x

e

, 2

1( ) cos( )x xv x e e 2

1( ) cos( )x xv x e e dx

1( ) cos( )x x xv x e e e dx . Sea x x xw e dw e dx dw e dx . Luego tenemos

que: 1:: ( ) cos( )x x xv x e e e dx 1( ) cos( )( )v x w w dw 1( ) cosv x w wdw .

Aplicando integración por partes se tiene que: ; cosu w du dw dv wdw v senw

1:: ( ) cosv x w wdw 1( )v x wsenw senwdw 1( ) cosv x wsenw w

1( ) cosv x wsenw w 1( ) cosx x xv x e sene e . Por otro lado tenemos que:

, 2 , , 2

1 2 1:: ( ) ( ) 0 ( ) cos( )x x x xv x e v x e v x e e 2 2 ,

2cos( ) ( ) 0x x x xe e e v x e

,

2cos( ) ( ) 0x xe v x e ,

2( ) cos( )x xv x e e ,

2

cos( )( )

x

x

ev x

e



,

2( ) cos( )x xv x e e 2( ) cos( )x xv x e e dx 2 ( ) ( )xv x sen e .

2

1 2:: ( ) ( )x x

py v x e v x e 2( cos ) ( ( ))x x x x x x

py e sene e e sen e e

2 2 cos ( )x x x x x x x

py e e sene e e e sen e

2 cos ( )x x x x x x

py e sene e e e sen e 2 cosx x

py e e

Paso #3: Determinar la solución general Gy asociada a la Ecuación Diferencial Ordinaria

'' 3 ' 2 cos( )xy y y e . :: G h py y y 2 2

1 2 cosx x x x

Gy c e c e e e


Orden dos con coeficientes constantes o variables Homogénea no Homogénea por series de

potencias. Valor: 5%. Criterio de aprobación: 80%.

1.- Obtenga la solución de la Ecuación Diferencial Ordinaria '' 3 ' 3 0y xy y alrededor

del punto 0x .

Solución: Determinar la solución de la Ecuación Diferencial Ordinaria por series de

potencias. :: '' 3 ' 3 0y xy y ( ) 3 ; ( ) 3; ( ) 0p x x q x r x son analíticas en todo R, por

lo tanto son analíticas en 0x , con lo cual 0x es un punto ordinario de la Ecuación

Diferencial '' 3 ' 3 0y xy y y en consecuencia tiene por solución la función 0

n

n

n

y a x

0

:: n

n

n

y a x

1

1

' n

n

n

y na x

2

2

'' ( 1) n

n

n

y n n a x


:: '' 3 ' 3 0y xy y 2 1

2 1 0

( 1) 3 3 0n n n

n n n

n n n

n n a x x na x a x



2

2 1 0

( 1) 3 3 0n n n

n n n

n n n

n n a x na x a x

. Realicemos cambios de variables en los

exponentes. 2

2

( 1) n

n

n

n n a x

Sea 2 2; 2 0;m n n m n m n m

Así tenemos que: 2

2

2 0

( 1) ( 2)( 1)n m

n m

n m

n n a x m m a x

. De la misma manera

tenemos que:

1

3 n

n

n

na x

. En este caso hacemos m n y tenemos que: 1 1

3 3n m

n m

n m

na x ma x

.

Similarmente: 0

3 n

n

n

a x

, hacemos m n y tenemos que: 0 0

3 3n m

n m

n m

a x a x

. Luego:

2

2 1 0

:: ( 1) 3 3 0n n n

n n n

n n n

n n a x na x a x

2

0 1 0

( 2)( 1) 3 3 0m m m

m m m

m m m

m m a x ma x a x

. Observe que cada polinomio tiene

el mismo exponente pero no inician en el mismo elemento. Vamos a desarrollar la primera

y tercera sumatoria para el primer término para que así tenga el mismo exponente e inicien

en el mismo elemento. Por lo tanto tenemos que:

2 2 0

1 1 1

2 ( 2)( 1) 3 3 3 0m m m

m m m

m m m

a m m a x ma x a a x

2 0 2

1

(2 3 ) ( 2)( 1) 3 3 0m

m m m

m

a a m m a ma a x

2 0 2

1

(2 3 ) ( 2)( 1) 3( 1) 0m

m m

m

a a m m a m a x

2 0

2

2 3 0( )

( 2)( 1) 3( 1) 0; 1( )m m

a a I

m m a m a m II

. De (I) tenemos que: 2 02 3 0a a



2 02 3a a 2 0

3( )

2a a III . De (II) tenemos que:

1 2 11 (1 2)(1 1) 3(1 1) 0m a a 3 13(2) 3(2) 0a a 3 16 6 0a a

3 1 ( )a a IV

2 2 22 (2 2)(2 1) 3(2 1) 0m a a 4 2(4)(3) 3(3) 0a a 4 24 3 0a a

4 24 3a a 4 2

3

4a a . Pero 2 0

3

2a a con lo cual

4 0

3 3

4 2a a

4 0

9( )

8a a V

3 2 33 (3 2)(3 1) 3(3 1) 0m a a 5 3(5)(4) 3(4) 0a a 5 35 3 0a a

5 35 3a a 5 3

3

5a a Pero 3 1a a con lo cual 5 1

3( )

5a a

5 1

3( )

5a a VI .

Luego tenemos que:

0

:: n

n

n

y a x

2 3 4 5

0 1 2 3 4 5 ......y a a x a x a x a x a x

2 3 4 5

0 1 0 1 0 1

3 9 3( ) ( ) ( ) ( ) ......

2 8 5y a a x a x a x a x a x

2 3 4 5

0 1 0 1 0 1

3 9 3......


2 4 3 5

0 0 0 1 1 1

3 9 3( ....) ( ...)




2 4 3 5

0 1

3 9 3(1 ....) ( ...)

2 8 5y a x x a x x x

2.- Obtenga la solución de la Ecuación Diferencial Ordinaria 2( 4) '' 6 ' 4 0x y xy y

alrededor de 0x .

Solución: Determinemos la solución de la Ecuación Diferencial Ordinaria

2( 4) '' 6 ' 4 0x y xy y por series de potencias.

2:: ( 4) '' 6 ' 4 0x y xy y 2 2 2

6 4 0'' '

4 4 4

xy y y

x x x

2 2

6 4'' ' 0

4 4

xy y y

x x

2 2

6 4( ) ; ( ) ; ( ) 0

4 4

xp x q x r x

x x

son funciones

analíticas en todo R, en particular en 0x , i.e., ( ); ( ); ( )p x q x r x son analíticas en 0x ,

por lo tanto 0x es un punto ordinario de la Ecuación Diferencial

2( 4) '' 6 ' 4 0x y xy y , así la Ecuación Diferencial tiene por solución la función

0

n

n

n

y a x

. 0

:: n

n

n

y a x

1

1

' n

n

n

y na x

2

2

'' ( 1) n

n

n

y n n a x

, Luego tenemos

que:

2:: ( 4) '' 6 ' 4 0x y xy y 2 '' 4 '' 6 ' 4 0x y y xy y

2 2 2 1

2 2 1 0

( 1) 4 ( 1) 6 4 0n n n n

n n n n

n n n n

x n n a x n n a x x na x a x

2

2 2 1 0

( 1) 4 ( 1) 6 4 0n n n n

n n n n

n n n n

n n a x n n a x na x a x

. Realicemos cambios de

variables en los exponentes de tal manera que todos los polinomios tengan el mismo



exponente. 2

( 1) n

n

n

n n a x

en este caso hacemos m n y tenemos que:

2 2

( 1) ( 1)n m

n m

n m

n n a x m m a x

.

2

2

4 ( 1) n

n

n

n n a x

para este caso hacemos 2 2;m n n m 2 0;n m

n m , así tenemos que: 2

2

2 0

4 ( 1) 4( 2)( 1)n m

n m

n m

n n a x m m a x

1

6 n

n

n

na x

acá hacemos m n y tenemos que: 1 1

6 6n m

n m

n m

na x ma x

. Para 0

4 n

n

n

a x

hacemos m n con lo cual 0 0

4 4n m

n m

n m

a x a x


2

2 2 1 0

:: ( 1) 4 ( 1) 6 4 0n n n n

n n n n

n n n n

n n a x n n a x na x a x

2

2 0 1 0

( 1) 4( 2)( 1) 6 4 0m m m m

m m m m

m m m m

m m a x m m a x ma x a x

. Se ha resuelto

el primer problema, ya todos los polinomios tienen el mismo exponente. Nuestro siguiente

problema es que cada sumatoria no inicia en el mismo elemento, por lo tanto debemos

desarrollar el segundo, tercero y cuarto polinomio hasta 2m con lo cual se tiene que:

2 3 2 1 0

2 2 2

1

2

( 1) 8 24 4( 2)( 1) 6 6 4

4 4 0

m m m

m m m

m m m

m

m

m

m m a x a a x m m a x a x ma x a

a x a x

2 0 3 1 2

2

(8 4 ) (24 10 ) ( 1) 4( 2)( 1) 6 4 0m

m m m m

m

a a a a x m m a m m a ma a x



2 0

3 1

2

8 4 0( )

24 10 0( )

( 1) 4( 2)( 1) 6 4 0; 2( )m m m m

a a I

a a II

m m a m m a ma a m III

De (I) tenemos que: 2 08 4 0a a 2 08 4a a 2 0

4

8a a

2 0

1( )

2a a IV

De (II) tenemos que: 3 124 10 0a a 3 124 10a a 3 1

10

24a a

3 1

5( )

12a a V

De (III) t5enemos que:

2 2 2 2 22 2(2 1) 4(2 2)(2 1) 6(2) 4 0m a a a a 2 4 2 22 48 12 4 0a a a a

4 248 18 0a a 4 248 18a a 4 2

18

48a a 4 2

3

8a a pero 2 0

1

2a a con lo

cual 4 0

3 1

8 2a a

4 0

3( )

16a a VI

3 3 2 3 33 2(3 1) 4(3 2)(3 1) 6(3) 4 0m a a a a 3 5 3 34 80 18 4 0a a a a

5 380 26 0a a 5 380 26a a 5 3

26

80a a 5 3

13

40a a pero 3 1

5

12a a con lo

que se tiene que: 5 1

13 5

40 12a a

5 1

13( )

96a a VII . Luego:

0

:: n

n

n

y a x

2 3 4 5

0 1 2 3 4 5 ......y a a x a x a x a x a x

2 3 4 5

0 1 0 1 0 1

1 5 3 13......

2 12 16 96y a a x a x a x a x a x

2 4 3 5

0 0 0 1 1 1

1 3 5 13.... ....

2 16 12 96y a a x a x a x a x a x



2 4 3 5

0 1

1 3 5 131 .... ....

2 16 12 96y a x x a x x x

Observación: Obsérvese que la Ecuación Diferencial 2( 4) '' 6 ' 4 0x y xy y es una

Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de Orden dos, por lo tanto tiene dos soluciones

linealmente independiente. Dichas soluciones se encuentran expresadas en series de

potencias. Las series de Taylor se define como ( )

0

0

( ) ( )( )

!

n n

n

n

x x f xf x

n

mientras que la

serie de Maclaurin se define como ( )

0

(0)( )

!

n n

n

x ff x

n

TRANSFORMADA DE LAPLACE

Definición: Sea ( )f t una función en 0, . La TRANSFORMADA DE LAPLACE

de ( )f t es la función ( )F s definida por la integral 0

( ) ( )stF s e f t dt

. El dominio de

( )F s consta de todos los valores para los cuales la integral existe. La transformada de

Laplace de ( )f t se denota por medio de los símbolos ( )F s y ( )f t

Observación: 0 0

( ) lim ( )N

st st

Ne f t dt e f t dt

es una integral impropia y existe siempre

que el límite exista.

Teorema: Transformadas de algunas funciones Especiales.

1.- 1

1s

2.- 1

!,n

n

nt n N

s 3.-

1ates a

4.- 2 2

asenat

s a

5.- 2 2cos

sat

s a



Definición: Se dice que una función ( )f t es continua por segmentos en un intervalo

finito ,a b si ( )f t es continua en todo punto de ,a b , excepto posiblemente en un

número finito de puntos en los que ( )f t tiene discontinuidad de salto.

Se dice que una función ( )f t es continua por segmentos en 0, si ( )f t es

continua por segmentos en 0, N para todo 0N

Definición: Se dice que una función ( )f x es de orden exponencial si existen constantes

positivas T y M tales que ( ) ,tf t Me t T

Teorema: Si ( )f t es continua por segmentos en 0, y de orden exponencial ,

entonces ( )f t existe para s

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Teorema: Sean 1 2 y f f funciones cuyas transformadas de Laplace existen para s , y

sea c una constante. Entonces

i) 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )f t f t f t f t ii) 1 1( ) ( )cf t c f t

Teorema: Si la Transformada de Laplace ( )f t existe para s , entonces

( ) ( )ate f t F s a para s a

Observación: ( ) ( ) ( ) ( )atf t F s e f t F s a

Teorema: Sea ( )f t continua en 0, y '( )f t continua por segmentos en 0, ,

siendo ambas de orden exponencial . Entonces, para s , '( ) ( ) (0)f t s f t f



Teorema: Sean ( 1)( ), '( ),...., ( )nf t f t f t

continuas en 0, y ( ) ( )nf t continua por

segmentos en 0, , siendo todas las funciones de orden exponencial . Entonces, para

s , ( ) 1 2 ( 1)( ) ( ) (0) '(0) .... (0)n n n n nf t s f t s f s f f

Teorema: Sea ( )f t continua en 0, y continua por segmentos en 0, , siendo

ambas de orden exponencial . Entonces, para s ( )

( ) ( 1)n

n n

n

d F st f t

ds , siendo

( ) ( )f t F s

Teorema: 0

( )( )

t F sf d

s siendo ( ) ( )f t F s

TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

Definición: La transformada inversa de Laplace de ( )F s es aquella función única ( )f t que

es continua en 0, y satisface ( ) ( )f t F s , i.e, 1( ) ( ) ( ) ( )F s f t F s f t

Teorema: Supóngase que 1 1

1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )f t F s f t F s existen y son continuas en

0, , y sea c cualquier constante, entonces:

i) 1 1 1

1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )F s F s F s F s ii) 1 1

1 1( ) ( )cF s c F s

Teorema: Si 1 ( ) ( )F s f t , entonces 1 1( ) ( )atF s a e F s

Teorema: Transformadas de algunas funciones Especiales.

1.- 11 11 1

s s

2.- 1

1 1

! !,n n

n n

n nt t n N

s s

3.- 11 1at ate es a s a

4.- 1

2 2 2 2

a asenat senat

s a s a



5.- 1

2 2 2 2cos cos

s sat at

s a s a

Teorema: 1

0

( )( )

tF sf d

s

siendo 1 ( ) ( )F s f t

Definición: Sean ( ) ( )f t g t continuas por segmentos en 0, . La Convolución de

( ) ( )f t g t , denotada por ( ) ( )f t g t , se define como 0

( )( ) ( ) ( )t

f g t f t v g v dv

Teorema: Sean ( ), ( ) ( )f t g t h t continuas por segmentos en 0, . Entonces:

1. f g g f

2. ( ) ( * ) ( * )f g h f g f h

3. ( * ) ( * )*f g h f g h

4. 0 0f

Teorema: Supóngase que ( ) ( )f t g t continuas por segmentos en 0, y de orden

exponencial , supóngase además que ( ) ( ) ( ) ( )F s f t G s g t . Entonces

1( * )( ) ( ) ( ) ( * )( ) ( ) ( )f g t F s G s f g t F s G s

EJERCICIOS PROPUESTOS

En los ejercicios 1 al 26, obtenga la solución general de la ecuación diferencial

1.- '' 2 ' 0y y 2.- 2

26 0

d y dyy

dx dx 3.- ''' 3 '' 4 ' 0y y y 4.- ''' 6 '' 11 ' 6 0y y y y

5.- ( )4 4 ''' 13 '' 7 ' 6 0ivy y y y y 6.- 4 ''' 7 ' 3 0y y y

7.- ''' 2 '' 5 ' 6 0; (0) 1; '(0) 7; ''(0) 1y y y y y y y 8.- 4 ''' 4 '' ' 0y y y



9.- ( ) ''' 0vy y 10.- 4 ''' 3 ' 0y y y 11.-

( ) 3 ''' 6 '' 28 ' 24 0ivy y y y y

12.- ( )4 4 ''' 23 '' 12 ' 36 0ivy y y y y 13.-

( )27 18 ''' 8 ' 0ivy y y y

14.- ( )4 15 ''' 5 '' 15 ' 9 0vy y y y y 15.-

( ) ( )5 7 ''' '' 8 ' 4 0v ivy y y y y y

16.- ''' 3 ' 2 0; (0) 0; '(0) 9; ''(0) 1y y y y y y 17.- '' 2 ' 2 0y y y

18.- '' 4 ' 7 0y y y 19.- ''' 2 '' ' 2 0y y y y 20.- ( ) 2 ''' 10 '' 0ivy y y

21.- ( ) 18 '' 81 0ivy y y 22.-

( ) ( )9 24 '' 16 0vi ivy y y y 23.- 2 ''' '' 36 ' 18 0y y y y

24.- ''' 7 '' 19 ' 13 0; (0) 0; '(0) 2; ''(0) 12y y y y y y y

25.- 2

2

02

(0)0; (0) 0; ; constante

d x dxk x x v k

dt dt

26.- 2

2

022 0; 0; (0) 0; '(0)

d x dxb k x k b x x v

dt dt

En los ejercicios 27 al 40, obtenga la solución de las ecuaciones diferenciales dadas usando

el método de los coeficientes indeterminados.

27.- '' 6 ' 9 xy y y e 28.- 2'' 3 ' 2 12y y y x 29.- '' 9 5 162xy y e x

30.- '' 3 ' 4 30 xy y y e 31.- 4'' 3 ' 4 30 xy y y e 32.- '' ' 2 6 6 xy y y x e

33.- '' 4 ' 3 2cos 4y y y x senx 34.- 3'' 4 ' 5 50 13 xy y y x e 35.- '' cosy y x

36.- '' 8 xy y xe 37.- 2'' 10y y sen x 38.-

2'' 12cosy y x 39.- 2'' 4 4y y sen x

40.- 2'' 9 81 14cos4 ; (0) 0; '(0) 3y y x x y y



En los ejercicios 41 al 58, obtenga la solución de la ecuación diferencial dada usando el

método de variación de parámetros

41.- '' csc coty y x x 42.- '' cscy y x 43.- '' 2 ' 2 cscxy y y e x

44.- 3'' secy y x 45.-

4'' secy y x 46.- '' tany y x 47.- 2'' tany y x

48.- '' sec cscy y x x 49.- 2'' sec cscy y x x 50.-

2 2'' 2 ' ( 1)x xy y y e e

51.- 2

2'' 3 ' 2

1

x

x

ey y y

e

52.- '' 3 ' 2 cos( )xy y y e 53.-

12 2'' 2(1 )xy y e

54.- 2'' x xy y e sene 55.-

2 2'' 2 (1 )x xy y e e 56.- 2'' sec tany y x x

57.- 2

''1 x

y ye

58.- '' 4 ' 3 ( )xy y y sen e

En los ejercicios 59 al 72, obtenga la solución de la ecuación diferencial, por medio de

series de potencia, alrededor del punto 0x

59.- '' 3 ' 3 0y xy y 60.- 2(1 4 ) '' 8 0x y y 61.-

2(1 ) '' 4 ' 6 0x y xy y

62.- 2( 4) '' 2 ' 12 0x y xy y 63.- '' 2 ' 5 0y xy y 64.-

2'' 0y x y

65.- 2'' ' 3y xy y x 66.- 2 '' 9 ' 36 0y xy y 67.- (2 3) '' ' 0x y xy y

68.- '' 3 ' 0; (0) 2; '(0) 0y xy y y y 69.- '' 2 ' 2 0; (0) 1; '(0) 2y xy y y y

70.- 2( 2) '' 2 ' 3 0; (0) 1; '(0) 2x y xy y y y

71.- 2( 1) '' ' 0; (0) 0; '(0) 1x x y y y y y

72.- '' ( 2) ' 0; (0) 1; '(0) 0y x y y y y



73.- Obtenga, mediante series de potencias, la solución de la ecuación diferencial

'' 2( 3) ' 3 0y x y y alrededor de 3x


'' ( 2) 0y x y alrededor de 2x


2( 2 2) '' 4( 1) ' 6 0x x y x y y alrededor de 1x

En los ejercicios 76 al 87, obtenga la Transformada de Laplace, ( )f t usando la

definición.

76.- ( )f t t 77.- 2( )f t t 78.-

6( ) tf t e 79.- 3( ) tf t te 80.- ( ) cos2f t t

81.- ( ) cosf t bt 82.- ( ) 2tf t e sen t 83.- 2( ) cos3tf t e t

84.- 1 ,0 1

( )0, 1

t tf t

t

85.-

,0( )

0,

sent tf t

t

86.-

2 ,0 3( )

1, 3

te tf t

t

87.- 0, 0 2

( ), 2

tf t

t t

En los ejercicios 88 al 104, obtenga la transformada de Laplace usando propiedades.

88.- 2 23 tt e 89.- 2 2tt e sen t 90.- 6cos3 1t te t e 91.- 4 23 2 1t t

92.- 2 3 22t te sen t e t 93.- 22 cos4tt e t t 94.- 4( 1)t 95.- 2(1 )te

96.- 2 cos5tte t 97.- 2te tsen t 98.- 3 cos3sen t t 99.- 2sen t

100.- 7 2te sen t 101.- 3cos t 102.- 2tsen t 103.- 2 5sen sen t



104.- 2 5tsen sen t

105.- Demuestre que 1

!

( )

at n

n

ne t

s a

106.- Demuestre que 2 2

3

2 2 2 2

( 7 )cos

( )( 9 )

s s kkt

s k s k

Bibliografía

1. Fundamentos de ecuaciones diferenciales. Kent Nagle y Edward Saft

2. Ecuaciones Diferenciales. Earl Rainville

3. Ecuaciones diferenciales. Dennis Zill

4. Ecuaciones Diferenciales. Makarenko y otros

5. El Cálculo con Geometría Analítica. Louis Leithold

6. Análisis de las Ecuaciones Diferenciales. Tom Apostol

7. Cálculo con Geometría Analítica. Larson y otros

prof. rafael cristancho subproyecto: ecuaciones

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