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Procesos Multivariables
Prof. Mª Jesús de la FuenteISA-UVA
Prof. Cesar de Prada ISA-UVA 2
Indice
InteracciónControl de sistemas multivariables con lazos simplesSelección de lazos de controlRGAControl por desacoploControl multivariable
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Sistemas MIMO
u1
u2
y1
y2
y3
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
)s(U)s(U
)s(G)s(G)s(G)s(G)s(G)s(G
)s(Y)s(Y)s(Y
2
1
3231
2221
1211
3
2
1Interacción
Direcciones
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Reactor
Reactor
TT
T
RefrigeranteProducto
Interacción entrada salida en ambas variables
Interacción en lazo abierto
uReactante
AT
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GRADOS DE LIBERTAD
¿Cómo se determina el máximo número de variables que pueden ser controladas en un
proceso?
v1
Hot Oil
v2
v3
L1
v7
v5 v6
Hot Oil
F1 T1 T3
T2
F2
T4T5
F3 T6
T8
F4
L1
v8
T7
P1F5
F6T9
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GRADOS DE LIBERTAD
Un requisito básico :
El número de válvulas (actuadores) ≥número de variables controladas
v1
Hot Oil
v2
v3
L1
v7
v5 v6
Hot Oil
F1 T1 T3
T2
F2
T4T5
F3 T6
T8
F4
L1
v8
T7
P1F5
F6T9
esto es una condición necesariaPero no suficiente para satisfacer los objetivos de control!
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CONTROLABILIDAD
Un proceso es controlable si las variables controladas pueden ser mantenidas en sus valoresde consigna, en estado estacionario, a pesar de las
perturbaciones que afectan la planta.
Matemáticamente, un proceso es controlable cuando la matriz of ganancias del proceso puede invertirse, i.e., cuandoel determinante de K ≠ 0.
DKK
MVMV
KKKK
CVCV
d
d⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
2
1
2
1
2221
1211
2
1
00Modelo
para un sistema2x2.
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los autos de la figura
• ¿Son controlables de forma independiente?
• ¿Existe interacción?
Un ejemplointuitivo!!!
Interacción
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Vinculados por un resorte
los autos de la figura
• ¿Son controlables de forma independiente?
• Existe interacción?
Interacción
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Vínculo rígido.
los autos de la figura
• ¿Son controlables de forma independiente?
• ¿Existe interacción?
Interacción
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FA, xA
FS, xAS = 0FM, xAM
SssAs
AAA
ssAs
AAAM
SA
AAAM
SAMSAM
FFFxF
FFF
Fxx
FFxF
x
FFFFFF
Δ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
−+Δ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+
−=Δ⇒
+=
Δ+Δ=Δ⇒+=
22 )()()1(
En el proceso de mezclado
• Son controlables de forma independiente FM, xAM?
• Existe interacción en el proceso?
Controlabilidad
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FA, xA
FS, xAS = 0FM, xAM
0)()(
)1()(
)( 222 ≠+−
=+−
−+
−=
SA
A
SA
AA
SA
AA
FFF
FFxF
FFxF
KDet
Sí, este sistema es controlable!
¿Sería controlable el sistema si xAS es distinto de cero?
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ΔΔ
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ΔΔ
S
A
ssAs
AA
ssAs
AA
AM
M
FF
FFxF
FFFx
xF
22 )()()1(
11
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Interacción
G11
G21
G12
G22u2
u1y1
y2
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
)s(U)s(U
)s(G)s(G)s(G)s(G
)s(Y)s(Y
2
1
2221
1211
2
1
Lazo abierto
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Interacción
G11
G21
G12
G22u2
u1
y1
y2
R1
R2
w1
w2
Control con lazos SISO
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Lazo cerrado
G11
G21
G12
G22u2
u1
y1
y2
R1
R2
w1
w2
)yw(RG)yw(RGuGuGy
)yw(RG)yw(RGuGuGy
2222211121
2221212
2221211111
2121111
−+−==+=
−+−==+=
2222
22211
222
1212
22111
2121
111
1111
wRG1
RG)yw(RG1
RGy
)yw(RG1
RGwRG1
RGy
++−
+=
−+
++
=
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Interacción
2121212222111
2121
121212222111
1212122221111
2222
22211
222
1212
111
2121
111
1111
wRGRG)RG1)(RG1(
RGwRGRG)RG1)(RG1(
RGRG)RG1(RGy
)wRG1
RG)yw(RG1
RGw(RG1
RGwRG1
RGy
−+++
−++−+
=
+−−
+−
++
+=
G11
G21
G12
G22u2
u1
y1
y2
R1
R2
w1
w2
2222
22211
222
1212
22111
2121
111
1111
wRG1
RG)yw(RG1
RGy
)yw(RG1
RGwRG1
RGy
++−
+=
−+
++
=
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Interacción (Lazo 1)
2121212222111
2121
121212222111
1212122221111 w
RGRG)RG1)(RG1(RGw
RGRG)RG1)(RG1(RGRG)RG1(RGy
−+++
−++−+
=
G11
G21
G12
G22u2
u1
y1
y2
R1
R2
w1
w2
w1 y w2 influyen en y1
Si G12 ó G21 son = 0 no hay cambio de dinámica sobre un sistema SISO u1 --- y1
Si R2 pasa a manual se modifica la dinámica del lazo 1
2222111
2121
111
1111 w
)RG1)(RG1(RGw
)RG1(RGy
+++
+= 1
111
1111 w
)RG1(RGy
+=
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Interacción
TT
u1
q T
Condensado
Fv
u2
FT
u2
u1 Tq
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Reactor
Reactor
TT
T
RefrigeranteProducto
Interacción entrada salida en ambas variables
Interacción en lazo abierto
uReactante
AT
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Reactor
Reactor
TT
T
RefrigeranteProducto
TC
Interacción entrada salida en ambas variables
Interacción en lazo cerrado
uReactante
AT
AC
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Interacción
Medir el grado de interacción¿Se puede funcionar con lazos simples? En caso afirmativo, ¿Cual es el mejor emparejamiento de variables entrada-salida?
u1
u2
y1
y2
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Matriz de ganancias estacionarias
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
2
1
2221
1211
2
1
uu
kkkk
yy
No es una buena medida de interacción:
Depende de las unidades en las que se exprese
No refleja el hecho característico de la interacción multivariable: los cambios en un lazo cuando otros pasan de automático a manual
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Matriz de Ganancias Relativas (RGA) Matriz de Bristol
2221
1211
2
1
21
uu
yy
λλλλ
G
u1
u2
y1
y2
cteyj
i
cteuj
i
j,i
uy
uy
=
=
∂∂
∂∂
=λ
λ11
G
u1
u2
y1
y2
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Deseable1j,i =λ
0j,i =λ
∞=λ j,i2.08.0u8.02.0u
yy
2
1
21
RGA
Puede emplearse para hacer una adecuada selección de pares entrada-salida para controlar un sistema MIMO escogiendo la mínima interacción en estado estacionario o a una frecuencia dada
cteyj
i
cteuj
i
j,i
uy
uy
=
=
∂∂
∂∂
=λ
0j,i <λ
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RGA
G
u1
u2
y1
y2
λ11
2221212
2121111
ukuk0yukuky
Δ+Δ==ΔΔ+Δ=Δ
21122211
2211
22
21122211
1111
22
21122211
ctey1
1
122
21121111
kkkkkk
kkkkk
k
kkkkk
uy
uk
kkuky
2
−=
−=λ
−=
ΔΔ
Δ−Δ=Δ
=21122211
2211
21122211
2112
21122211
2112
21122211
2211
2
1
21
kkkkkk
kkkkkk
kkkkkk
kkkkkk
uu
y y
−−−
−−
−
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Columna
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=6.1092.1084.868.87
)0(G
V
L
x1
x2
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−1.351.341.341.35
VL
x x 21
Muy fuerte interacción con el emparejamiento ( L x1) (V x2)
Inestabilidad asegurada con el emparejamiento ( L x2) (V x1)
RGA
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RGA
T1)G(G)G()G(RGA −×=Λ=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=×=Λ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
−
−
4.06.06.04.0
)G(G)G(
1.03.02.04.0
G
4321
G
T1
1
La suma de los elementos de una fila o columna de la RGA es 1
Es independiente del escalado de u e y
Para procesos asimétricos, la inversa puede sustituirse por la pseudoinversa Matlab RGA = G.*pinv(G)’
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RGA
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−=
40.51.5427.141.10.317.163.45.308.16
G
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−
03.295.008.045.097.041.048.199.050.1
uuu
y y y
3
2
1
321
El unico emparejamiento SISO admisible resulta ser:
y1 ---- u1 y2 ---- u2 y3 ---- u3
con una interacción mayor en el tercer lazo
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Columna de destilación
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Interacción entre lazos de control
CONTROLProcess 1
INTERACT 12PV1
response toCO2
INTERACT 21PV2
response toCO1
CONTROLProcess 2
PROCESS 11PV1
response toCO1
PROCESS 22PV2
response toCO2
+- ++
+- ++
1y
2y
1setpointy
2setpointy
1u
2u
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Proceso de mezcla
FT AT
1u
2u
11 xF
22 xFxF
21 FFF +=Balance global:
Balance de componente:
2211 xFxFxF +=
Eliminando F2 entre las dos ecuaciones:
2
211 .
xxxxFF
−−
= FF
xxxx
xxxxFF
1
21
2
2
21,
11
=−−
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
=λ
2211222121112211121112 xFxFxFxFxFxFFxxFxFFxxFxFFxFx +=++−=+−=⇒−=−
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Proceso de mezcla(Cont.)
La matriz de ganancias relativas RGA es:
¿Cuál es el mejor emparejamiento entre variables manipuladas y controladas? ¿De qué dependerá la respuesta?
1F 2F
FF 1
FF 1
FF 11 −
FF 11 −
F
x
1F 2F
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Proceso de mezcla
Para F1 = 10, F = 15
F
1F 2F
x
0.67 0.33
0.33 0.67
1F 2F
FF 1
FF 1
FF 11 −
FF 11 −
F
x
1F 2F
Para F1 = 3, F = 15
F
1F 2F
x
0.2 0.8
0.8 0.2
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RGA(jω)
))j(G(RGA ω
La RGA se formuló originalmente sobre la matriz de ganancias estacionarias, frecuencia 0, pero puede evaluarse y dar información útil a cualquier otra frecuencia
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Dos enfoques alternativos
MULTILOOP vs Centralizado
L
F
T
A
Multiloop: varios controladoresPID independientes
Centralizado
L
FT
A
Controlador
Centralizado
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Desacoplo
G
u1 y1
y2
R1
w1
R2
w2u2
D
Encontrar la matriz D, tal que GD se comporte como una matriz diagonal o casi diagonal
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Desacoplo en estado estacionario
G
u1 y1
y2G(0)-1
R1
w1
R2
w2u2
Si D = G(0)-1 , entonces G(s) G(0)-1 es diagonal en estado estacionario de modo que, en reposo, no hay interacción. Fácíl de implementar y calcular, G(0)-1 = inversa de la matriz de ganancias estacionarias.
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Estructura de control con desacople
CONTROLProcess 1
CONTROLProcess 2
DECOUPLER 12PV1
decoupled fromCO2
DECOUPLER 21PV2
decoupled fromCO1
+- ++ ++
+- ++ ++
1feedbacku
2feedbacku
1totalu
2totalu
1y
2y
1setpointy
2setpointy
)(12 sD
)(21 sD
)(11 sG
)(21 sG
)(12 sG
)(22 sG
2decoupleu
1decoupleu
PROCESS 11PV1
response toCO1
INTERACT 21PV2
response toCO1
PROCESS 22PV2
response toCO2
INTERACT 12PV1
response toCO2
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2x2 Multivariable Decoupling
Requiere 4 modelos dinámicos– Process 11 (como CO1 impacta en PV1)– Interact 12 (como CO2 impacta en PV1)– Interact 21 (como CO1 impacta en PV2)– Process 22 (como CO2 impacta en PV2)
Estos models deben construirse a partir de datos de planta, validados e incluidos en el diseño del controlador.El desacople de lazos no es una técnica muyempleada industrialmente porque su empleorequiere un esfuerzo significativo de modelado, sintonía y mantenimiento.
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Control multivariable
G
u1 y1
y2
w1R
w2 u2
El controlador recibe señales de todas las salidas y simultáneamente calcula todas las señales de control teniendo en cuenta la interacción
Prof. Cesar de Prada ISA-UVA 41
ReactorFT
FT
FC
FC
TT AT
MBPC
Temp Conc.
Refrigerante
Producto
u1u2
Control Predictivo multivariable
DMC, GPC, EPSAC, HITO, PFC,....