Prof.: Estela Muñoz

Alumno: Andrés Tapia

Los Nueve Acertijos

Hace Mucho tiempo, en una pequeña aldea muy apartada de la sociedad,

en la que todos parecían ser muy amables y todos se conocían entre sí, se

ubicaba una pequeña casa de madera, en la que vivía la familia Rodríguez. La

familia era muy pobre, y con suerte les alcanzaba el dinero para alimentar a los 9

hermanos y pagar los impuestos que el alcalde del pueblo les solicitaba. Estos

hermanos tenían entre 13 y 26 años de edad, y no tenían padres, por lo que

debían mantenerse solos.

Un día, el hermano de al medio, Matías, dijo a los demás que no podían

seguir en esa situación de tan malas condiciones. Todos los hermanos eran muy

inteligentes, y después de haberlo conversado, tomaron la decisión de irse del

pueblo en busca de una vida mejor.

Salieron de noche, para no tener que despedirse de sus amigos y no

arrepentirse de la decisión que tomaron. Se dirigieron a una gran planicie, en

donde se podían ver algunos campos cultivados, y más allá los Rodríguez

encontraron un gran castillo, hecho en su mayoría de oro, y que tenía una

inscripción en la entrada que decía: “Sólo los sabios que respondan los acertijos

correctamente, tendrán acceso a las riquezas del castillo”. Los nueve se miraron

entre ellos y sin pensarlo dos veces entraron a la gran estructura.

Una vez adentro, apareció un hombre con apariencia de rey, vestido muy

elegantemente, con cara muy pálida, como la de un muerto. Rafael, el mayor, le

preguntó quién era él, y el hombre dijo: Soy el rey Antonio IV, y este es mi

castillo. No tienen nada que temer. Me mataron hace 500 años, y soy prisionero

de una maldición. Deben ayudarme a responder los 9 acertijos para romper mi

maldición y poder salir de aquí.

Los hermanos aceptaron el desafío, ya que eran muy listos. El rey sonrió, y

les preguntó en qué área tenían más facilidad para responder. Ellos se pusieron

de acuerdo y le dijeron que lo más fácil para ellos era la matemática. El hombre

sonrió nuevamente, y dijo: Entonces los 9 acertijos serán sobre factorización,

deberán factorizar los problemas.- Los hermanos parecían preocupados, puesto

que ni siquiera sabían factorizar, pero aun así pensaron que no sería muy difícil

inferirlo.

Entonces, el rey dijo: El primer acertijo se llama sacar el mayor factor

común. Deben factorizar en el siguiente caso:“Un hombre tenía 6x2y5monedas en

el banco y decide guardar otras 15xy7 monedas”

José, el hermano menor, no tuvo que pensarlo mucho para saber qué

hacer. Lo que hizo él para factorizar fue lo siguiente:

1.- Descomponer en factores cada término.

2.- Tachar los factores comunes.

3.- Lo que son los factores tachados corresponden al MCD, y los que

sobraron (los que no se tacharon) se encierran entre paréntesis y se escriben tal

y como quedaron.

6x2y5 + 15xy7= ?

2 x 3 x XxXxY x Y x Y x Y x Y + 3 x 5 x XxY x Y x Y x Y x Y x Y x Y

No tachados

(no comunes)

Tachados

(comunes)

El rey, al oír la asombrosa respuesta del joven de tan sólo 13 años de

edad, quedó asombrado por su gran capacidad matemática. Luego dijo:

¡Correcto! Nunca se me hubiera ocurrido a mí tal desarrollo para el problema.

Pero aun quedan 8 acertijos más. Este se llama sacar factor común polinomio,

factorizando en el siguiente caso: “Un panadero tenía 5(x + y) Kg de harina,

hasta que utilizó m(x + y) Kg para hacer más pan.”

El octavo hermano, llamado Sebastián, lo pensó muy bien y luego de un

rato dijo su respuesta al acertijo, explicando su desarrollo:

1.- El polinomio común (x + y) se escribe adelante y luego se abre

paréntesis y se anota lo que sobra (5 - m).

Entonces, la correcta factorización termina siendo:

El rey, tras escuchar la respuesta se quedó muy sorprendido, ya que por

mucho tiempo trató de descubrir la respuesta, y nunca se imaginó que hubiera

sido tan fácil y corto algo que parecía complicadísimo. Entonces dijo: No está

nada mal para un joven como tú, pero estoy seguro que el siguiente acertijo les

resultará más difícil. Este se llama factorizar por agrupación, y el problema dice

así: “Un granjero plantó ax + ay zanahorias, y luego plantó otras bx + by”

5 (x + y) – m (x + y)= ?

Polinomio común Lo que sobró

5 (x + y) – m (x + y) = (x + y) (5 - m)

Los hermanos se quedaron pensando unos minutos, hasta que Isaías, el

séptimo hermano, descubrió la respuesta. Él explicaba los pasos que hizo para

llegar a su conclusión:

1.- Cuando tenemos una expresión algebraica con varios términos, pero

no existe uno de ellos común a todos, primero se debe agrupar con los que sí

tienen.

2.- Luego se factoriza, agrupando y sacando los factores comunes (lo que

se hizo en el primer acertijo).

3.- Y se vuelve a factorizar, utilizando la misma estrategia que el problema

anterior.

ax + ay + bx + by = ?

El hombre quedó sin palabras. No podía creer la gran capacidad que tenía

el joven Isaías. Por unos segundos hubo un silencio total, y todos lo miraban.

Entonces el rey se empezó a reír bruscamente, y dijo: ¡Sorprendente! Por casi

500 años estuve intentando resolver este problema, pero tú sólo necesitaste

unos pocos minutos para resolverlo de manera perfecta. Permítanme decirles

que estoy muy asombrado por sus capacidades matemáticas. Bueno, pero

todavía quedan más acertijos, que no son nada fáciles. El siguiente se llama

factorizar diferencias de cuadrados, y el problema es el siguiente: “Un hombre

tenía 25 cerdos en su campo y murieron a2 cerdos el siguiente año.”

El hermano mayor a Isaías, Manuel, no le resultó difícil responder el

cuarto acertijo. Él explicaba de manera muy simple y breve su razonamiento:

1.- Cuando hay una diferencia entre dos cuadrados, simplemente se debe

poner entre paréntesis una suma entre las raíces cuadradas de estos cuadrados,

y luego otro paréntesis en donde estará la diferencia entre estos mismos

números.

Entonces los hermanos Rodríguez se dieron cuenta que a medida que iban

respondiendo y acertando los acertijos sin dificultad alguna, el rey comenzaba a

ponerse levemente más iluminado, como un fantasma, y su cara se ponía cada

vez menos pálida. El rey no tuvo palabra alguna, lo único que dijo fue: El quinto

acertijo trata de factorizar diferencia de cubos. Esta es la situación: “Un pastor

cuidaba a3 ovejas de un rebaño, pero un día 27 se las llevaron los lobos.”

25 – a2 = ?

5 x 5 a x a Suma de

raíces

Diferencia

de raíces

Este problema no resultó tan sencillo como el anterior, y después de

varios minutos, el quinto hermano, Matías, expuso su conclusión:

1.- Primero se encierra entre paréntesis las raíces cúbicas de ambos

números, poniéndolos como una resta.

2.- Después se abre otro paréntesis, donde se coloca: el primer número

(del otro paréntesis) al cuadrado; sumándole el primer número multiplicado por

el segundo; y después se le suma el segundo número al cuadrado.

*El 32 se puede escribir como 9, pero para entenderlo mejor está escrito como 32.

De pronto, tras esta explicación, el rey parecía tener un aspecto extraño.

La voz se le puso un poco más aguda, lo que parecía bastante aterrador, pero

como se veía cada vez más agitado, dijo rápidamente: No están lejos para

completar este gran desafío, pero todavía les quedan unos pocos acertijos nada

fáciles de resolver. Veamos si sus habilidades matemáticas pueden resolver este

problema sobre factorizar suma de cubos, diciendo así: “Un mes, un manzano

dio 27 manzanas, y el mes siguiente dio otras 8y3.”

a3– 27 = ?

(a - 3)… Raíces:

a3 = a

27 = 3

Primer

número

Segundo

número

1er

número

al cuadrado

2º número

al cuadrado

1er

y 2º número

multiplicados

No tardaron mucho en descubrir la respuesta, ya que este

acertijo era bastante parecido al anterior, sólo que este se trataba de una suma.

El primero que habló fue el cuarto hermano, Joaquín, quien dijo de manera muy

simple el proceso que hizo:

1.- Al igual que el ejercicio anterior, se debe encerrar entre paréntesis

las raíces cúbicas de ambos números, pero esta vez sumándolos.

2.- Luego se abre otro paréntesis, donde se coloca: el primer

número (del otro paréntesis) al cuadrado; restándole el primer número

multiplicado por el segundo (del otro paréntesis); y después se le suma el

segundo número al cuadrado.

*El 32 se puede escribir como 9, pero para entenderlo mejor está escrito como 32.

El rey de pronto, al escuchar esto, quedó con la boca abierta del intelecto

que tenían todos estos hermanos, y repentinamente puso una expresión como

de estar ocultando algo.

27 + 8y3= ?

(3 + 2y)… Raíces:

27 = 3

8y3 = 2y

Primer

número Segundo

número

1er

número

al cuadrado

1er

y 2º número

multiplicados 2

º número

al cuadrado

Entonces dijo: Están llegando a su destino. Pronto conocerán mis secretos

y las enormes riquezas gracias a su gran capacidad. Sólo quedan 3 acertijos más.

El siguiente se llama factorizar trinomios cuadrados perfectos, y el acertijo dice:

“Un caballero para la cruzada tenía 9 soldados, luego en el camino se le sumaron

12, y al otro día otros 4.”

Este problema fue más difícil de descubrir su factorización, pero aun así

Melchor, el tercer hermano, como era muy listo al igual que los otros, logró

descifrar el acertijo. Él lo explicaba así:

1.- Identificar los términos como el cuadrado de binomio, aplicando la

fórmula (a + b)2 = (a2 + 2ab + b2), quedando así:

2.- Ocupar el caso inverso del producto notable, transformando la suma

en el cuadrado de un binomio.

Melchor agregó como conclusión que en caso de que fuera 9 - 12 + 4, la

respuesta sería (3 - 2)2, es decir, que si en el trinomio el primer signo fuera una

resta, el resultado sería una diferencia del cuadrado del binomio.

9 + 12 + 4 = ?

9 + 12 + 4 = (3)2 + 2(3 x 2) + (2)2

9 + 12 + 4 = (3)2 + 2(3 x 2) + (2)2= (3 + 2)2

Estos signos siempre

son iguales

El rey, sorprendido como siempre, brillaba cada vez más, pero los

hermanos Rodríguez fingieron que no pasaba nada. Entonces dijo: ¡Correcto

nuevamente! Ya sólo les faltan los dos últimos acertijos de factorización, pero no

se confíen demasiado, porque estos dos últimos me parece que son de los más

difíciles. El siguiente es de factorizar trinomios de la forma x2 + bx + c, y este es

el problema: “En el mercado llegó un comerciante, luego se fueron 7, y después

llegaron otros 12.”

El hermano mayor a Melchor, Andrés, fue el primero que resolvió el

acertijo. Decía que no era nada fácil, pero que lo explicaría de la mejor manera

posible:

1.- Para factorizar un trinomio x2 + bx + c, se debe buscar una pareja de

números que multiplicados den “c” (12) y la suma de estos dos den “b” (-7),

buscando todos los factores de “c”.

2.- En este caso, la pareja de números que multiplicados dan 12 y sumados

dan -7, es -3 y -4. Ahora lo que se debe hacer es encerrar entre paréntesis “x” (1)

más uno de los números de la pareja, y después en otro paréntesis “x” más el

otro número de la pareja.

*En caso de que “x” no fuera uno (ej: 9) la respuesta sería la raíz cuadrada más la pareja de

números. (ej: (3 - 3)(3 - 4))

x2 + bx + c = 1 - 7 + 12

Factores de 12:

1 x 12 -1 x -12

2 x 6 -2 x -6

3 x 4 -3 x -4

x2 + bx + c = 1 – 7 + 12 = (1 - 3)(1 - 4)

-3 x -4 = 12

-3 + -4 = -7

Los hermanos, tras oír esta asombrosa respuesta, notaron que de

pronto el rey comenzó a elevarse del suelo levemente, y se le puso la voz muy

aguda, y su cuerpo brillaba más que nunca. Ellos estaban muy asustados, pero

permanecían quietos, listos para el último acertijo, que parecía ser el más difícil

de todos. El rey, con su aterradora voz, lo único que dijo fue: El último acertijo se

llama factorizar trinomios de la forma ax2 + bx + c, y es el siguiente: “Un

artesano fabricó 2x2 vasijas una semana, 5x a la semana siguiente, y luego otras

3 en la siguiente.”

Los hermanos pensaron, y pensaron, pero nada se les ocurrió. Hasta

que varios minutos después, Rafael, el hermano mayor, expuso su resultado,

explicando cuidadosamente el complejo proceso de la factorización:

1.- Al igual que en el problema anterior, primero se debe buscar una

pareja de números que multiplicados den “a” x “c” y que sumados den “b”. Para

esto, se debe multiplicar a y c (2 x 3), que en este caso nos dará 6.

2.- Ahora hay que buscar una pareja de números que multiplicados en

este caso den 6 y sumados den 5.

ax2 + bx + c = 2x2 + 5x + 3

En este caso la pareja de números

que estábamos buscando era 2 y 3.

3.- Cuando tengamos la pareja de números, lo siguiente que hay que

hacer es descomponer “bx”, que en este caso es “5x”. Para hacer esto,

multiplicamos ambos números de la pareja de números por “x”, pero por

separado, como se muestra en el dibujo:

4.- Lo siguiente es aplicar lo que se vio en el primer acertijo, que es

sacar factor común (2x2 + 2x = 2x (x + 1) y 3x + 3 = 3 (x + 1)), y después aplicar lo

del segundo acertijo, que es sacar factor común polinomio (2x (x + 1) + 3 (x + 1) =

(x + 1) (2x + 3)) este número y factorizarlo:

2x2 + 2x + 3x + 3 =

2x (x + 1) + 3 (x + 1) =

(x + 1) (2x + 3)

Aquí se aplica el primer acertijo,

que es sacar el factor común.

En resumen…

Y finalmente se aplica el

segundo acertijo, que es sacar

factor común polinomio.

Luego de la larga y buena explicación de Rafael, pasó algo muy extraño. De

pronto, el fantasma (que ahora parece más fantasma que rey, porque estaba

volando y brillando) comenzó a desaparecer, poco a poco, hasta que no se vio

nada, sólo se escuchó una voz en la cabeza de los hermanos, que decía: Sólo los

sabios que respondan los acertijos correctamente, tendrán acceso a las riquezas

del castillo. Los 9 hermanos, Rafael, Andrés, Melchor, Joaquín, Matías, Manuel,

Isaías, Sebastián y José Rodríguez son aquellos que me sacaron de mi maldición y

me ayudaron a responder los acertijos. Ahora, ustedes recibirán todas mis

riquezas y legados.

Los hermanos, que estaban más que asustados en el momento en que el

fantasma del rey Antonio IV les hablaba con una voz muy extraña, se pusieron

muy contentos de haber logrado el desafío y tener el acceso a las enormes

riquezas del castillo. Descubrieron que, factorizar es muy importante para

simplificar problemas complicados, y que para un problema se puede aplicar

más de un caso, transformando varios términos en uno solo, que por lo general

es una multiplicación.

Sin duda, los Rodríguez obtuvieron lo que estaban buscando: una vida

mejor. Años después, ellos se transformaron en poderosos hombres, pero

siempre fueron personas muy humildes y buenas con los demás. Vivieron todos

en el dorado castillo del antiguo rey, para recordar lo sabios que son y de sus

grandes capacidades, y todo gracias a la matemática.