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UNIDAD II INTRODUCCIÓN AL UNIDAD II. INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DE PROBABILIDADES

Prof. Eliana Guzmán U. Semestre A-2015

Tema 1. Conceptos Básicos de P b bilid dProbabilidades

Introducción: los fenómenos que, generalmente son Introducción: los fenómenos que, generalmente son objeto de estudio, pueden describirse de dos maneras:

Determinísticos: son aquellos que siguen una ley natural como por ejemplo las leyes de Newton, de Coulomb, de Ohm, de Kirchhoff, entre otras. Esto quiere decir, que si se estudian este tipo de fenómenos, bajo q , q p , jlas mismas condiciones, siempre se obtendrá el mismo resultado.

Tema 1. Conceptos Básicos de P b bilid dProbabilidades

Aleatorios: son aquellos fenómenos que no parecen responder a ninguna ley natural, por tal razón, si se estudian estos fenómenos, bajo las mismas condiciones, no necesariamente se obtiene el mismo resultado. Por esta razón, se indica que los resultados son aleatorios o que están sujetos al azar.

Este tipo de fenómenos se estudian, estadísticamente, usando la teoría de las probabilidades.

La disciplina llamada Probabilidades, trata de obtener leyes y hacer predicciones, sobre aquellos fenómenos que no parecen obedecer a p , q q pninguna ley de la naturaleza.

Experimentop

Los estadísticos utilizan este término para describir Los estadísticos utilizan este término para describir cualquier proceso que genere un conjunto de datos (observaciones). ( )

Ejemplos: Lanzamiento de una moneda al aire Ejemplos: Lanzamiento de una moneda al aire, disparo de un proyectil y observar el comportamiento de la velocidad en el tiempo, resistencia de tubos p ,circulares de acero, edad en que una mujer tiene a su primer hijo, entre otros.

Experimento Aleatoriop

En el caso de la estadística, interesan los resultados En el caso de la estadística, interesan los resultados de experimentos que dependan del azar, y por lo tanto, no puedan pronosticarse con certidumbre., p p


En un estudio estadístico interesa, básicamente, la En un estudio estadístico interesa, básicamente, la presentación e interpretación de resultados aleatorios que se obtienen en un estudio o qinvestigación científica, como por ejemplo:

Estudio de la cantidad de accidentes en una intersección, para justificar la instalación de un semáforo.Cl ifi ió d l tí l d lí d Clasificación de los artículos de una línea de producción, como defectuosos o no defectuosos.


Conocer el volumen de gas que se libera en una Co oce e vo u e de gas que se be a e u a reacción química, cuando la concentración de ácido varía.Nivel de colesterol en sangre.Efectividad de una prueba de embarazo.Longitud de las fisuras por fatiga en estructuras de concreto.R i t i l ió d t i l l d Resistencia a la compresión de un material empleado en la construcción de casas rurales.


Observando estos ejemplos se puede notar que los Observando estos ejemplos se puede notar que los estadísticos frecuentemente manejan datos experimentales que representan:p q p

Conteos o mediciones.Datos categóricos que pueden clasificarse de acuerdo a algún criterio.

Espacio Muestralp

Es el conjunto de todos los posibles resultados de un Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento estadístico y se denota como S.

Por ejemplo, cuando se lanza al aire una moneda j p ,únicamente se tienen dos posibles resultados, por lo cual el espacio muestral de este experimento aleatorio

í S { ll }sería: S={cara, sello}.

Espacio Muestralp

Más de un espacio muestral puede utilizarse para Más de un espacio muestral puede utilizarse para describir los resultados del mismo experimento.

En general, se desea utilizar el espacio muestral que En general, se desea utilizar el espacio muestral que proporcione la mayor cantidad de información posible. p

Espacio Muestralp

Por ejemplo, cuando se lanza al aire una moneda dos Por ejemplo, cuando se lanza al aire una moneda dos veces, se puede definir un espacio muestral como S={cc, cs, sc, ss}, pero si en este mismo experimento { , , , }, p pse está interesado en contar la cantidad de caras obtenidas, el espacio muestral de interés sería: S={0, 1, 2}.

Punto Muestral

Es cada resultado posible de un espacio muestral.Es cada resultado posible de un espacio muestral.En el ejemplo del lanzamiento de una moneda balanceada (S={cara, sello}), existen dos puntos muestrales: Cara y Sello.

Métodos para describir el espacio t l d i t l t imuestral de un experimento aleatorio

Existen dos métodos para facilitar la escritura del Existen dos métodos para facilitar la escritura del espacio muestral:Diagrama de árbol.Diagrama de árbol.Enunciado o regla matemática.


Diagrama de árbol: se emplea para espacios muestrales no muy grandes y discretos.Ejemplo: escriba el diagrama de árbol para el lanzamiento de una moneda dos veces.lanzamiento de una moneda dos veces.

cc

sc

ss

S={CC,CS,SC,SS} → se obtiene escribiendo, cada unas de S {CC,CS,SC,SS} → se obtiene escribiendo, cada unas de las ramas del diagrama de árbol.


Enunciado o regla matemática: describe mejor los Enunciado o regla matemática: describe mejor los espacios muestrales que tienen una gran cantidad o infinita de puntos muestrales.pEjemplo: escriba el espacio muestral para el experimento que consiste en lanzar una flecha p qcontra un blanco de diámetro D y se mide la distancia desde el punto de impacto hasta el centro del blanco.


X: distancia medida desde el punto de impacto en el X: distancia medida desde el punto de impacto en el blanco, hasta el centro del mismo.

S={x/0≤x ≤D/2} S {x/0≤x ≤D/2}

D

x

Evento o Suceso

Es un subcojunto del espacio muestral. Se denota Es un subcojunto del espacio muestral. Se denota usando letras en mayúscula.

A cada evento se le asigna una colección de puntos A cada evento se le asigna una colección de puntos muestrales, que hacen que el evento sea verdadero, es decir, son los resultados del experimento paleatorio que hacen que el evento ocurra.

Evento o Suceso

Cuando se está realizando un estudio, generalmente Cuando se está realizando un estudio, generalmente lo que interesa es la ocurrencia de un evento específico (hecho en particular), y no todos los p ( p ), yposibles resultados del experimento aleatorio.

Un evento puede incluir a todos los elementos del pespacio muestral o no contener ninguno (vacío).

Evento o Suceso

Ejemplo: el experimento aleatorio consiste en lanzar Ejemplo: el experimento aleatorio consiste en lanzar al aire un dado balanceado.Espacio muestral: S={1, 2, 3, 4, 5, 6}.p { , , , , , }Se pueden definir los siguientes eventos:

A: resultado sea par. A={2, 4, 6}.p { , , }B: resultado sea divisible entre 3. B={3, 6}.C: resultado sea mayor que 5. C={6}.D: resultado sea entero. D={1, 2, 3, 4, 5, 6}.E: resultado se mayor que 6. E={∅}.F: resultado sea menor que 3. F={1,2}.

Diagrama de Venng

Permite expresar gráficamente la relación entre Permite expresar gráficamente la relación entre eventos y el espacio muestral, el cual se representa por un rectángulo y los eventos con círculos que se p g y qdibujan dentro del mismo.

SS

AB

C

Complemento de un Eventop

El complemento de un evento A con respecto a S, es El complemento de un evento A con respecto a S, es el conjunto de todos los elementos de S que no pertenecen al evento A. Se denota como Ac.p

S

AA

Del ejemplo anterior: S={1, 2, 3, 4, 5, 6}; A={2, 4, 6}; Ac={1, 3, 5}

Operaciones con eventosp

Intersección: La intersección de dos eventos A y B, Intersección: La intersección de dos eventos A y B, que se presenta por el símbolo ∩ (A ∩ B), es el evento que contiene a todos los elementos comunes qa A y B.

SS

A BA ∩ B


Del ejemplo anterior: S={1, 2, 3, 4, 5, 6}Del ejemplo anterior: S {1, 2, 3, 4, 5, 6}Eventos:A: ocurra un resultado par A={2 4 6}A: ocurra un resultado par. A={2, 4, 6}B: ocurra un resultado mayor que 3. B={4, 5, 6}A B {4 6} A b A ∩ B={4, 6} Ambos eventos ocurren

simultáneamente, si se obtiene alguno de estos resultados resultados.

Por ejemplo, si sale el 4 es un resultado par y mayor a 3a 3.


Unión: La unión de dos eventos A y B, que se Unión: La unión de dos eventos A y B, que se presenta por el símbolo ∪ (A ∪ B), es el evento que contiene a todos los elementos que pertenecen a A, q p ,ó a B ó a ambos.

SA ∪ B

A BA ∪ B


Del ejemplo anterior: S={1, 2, 3, 4, 5, 6}Del ejemplo anterior: S {1, 2, 3, 4, 5, 6}Eventos:A: ocurra un resultado par A={2 4 6}A: ocurra un resultado par. A={2, 4, 6}B: ocurra un resultado mayor que 3. B={4, 5, 6}A B {2 4 5 6}A ∪ B={2, 4, 5, 6}


Diferencia: La diferencia de dos eventos A y B, Diferencia: La diferencia de dos eventos A y B, A - B, es el evento que contiene a todos los elementos que pertenecen a A pero que no q p p qpertenecen a B.

S

A BA - B


Del ejemplo anterior: S={1, 2, 3, 4, 5, 6}Del ejemplo anterior: S {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Eventos:Eventos:A: ocurra un resultado par. A={2, 4, 6}B l d 3 B {4 5 6}B: ocurra un resultado mayor que 3. B={4, 5, 6}A - B={2}.

Eventos Mutuamente Excluyentesy

Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes o Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes o disjuntos, si A ∩ B = ∅, esto es si A y B no tienen elementos en común.

Esto quiere decir que los eventos A y B no pueden ocurrir simultáneamente en el resultado del experimento aleatorio.

Eventos Mutuamente Excluyentesy

Del ejemplo anterior: S={1, 2, 3, 4, 5, 6}Del ejemplo anterior: S {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Eventos:Eventos:B: resultado sea divisible entre 3. B={3, 6}F l d 3 F {1 2}F: resultado sea menor que 3. F={1,2}B ∩ F = ∅ Esto indica que al lanzar un dado no es

ibl b l d di i ibl posible obtener un resultado que sea divisible entre 3 y menor a dicho valor.

Ejemplos de espacios muestrales y teventos

Ocurrencia y Clasificación: conteo de t t lpuntos muestrales

Uno de los factores que deben tomarse en cuenta Uno de los factores que deben tomarse en cuenta cuando se lleva a cabo un experimento, es la aleatoriedad que está asociada a la ocurrencia de qlos eventos de interés.

Ocurrencia y Clasificación : conteo de t t lpuntos muestrales

Dicho factor pertenece al campo de las Dicho factor pertenece al campo de las probabilidades, donde en muchas ocasiones es necesario realizar el conteo de la cantidad de elementos que tiene el espacio muestral del experimento, sin tener que anotar cada uno de ellos.

Ocurrencia y Clasificación : conteo de t t lpuntos muestrales

Algunas de las técnicas de conteo de puntos Algunas de las técnicas de conteo de puntos muestrales son:

Regla de la multiplicación.g pRegla de la suma.Permutaciones.Combinaciones.

Regla de la Multiplicacióng p

Si una operación puede llevarse a cabo en n1 formas Si una operación puede llevarse a cabo en n1 formas diferentes, y si por cada una de estas una segunda operación puede llevarse a cabo de n2 formas p pdiferentes, entonces las dos operaciones se pueden ejecutar juntas de n1x n2 formas.

Regla de la Multiplicacióng p

Ejemplo: lanzamiento de dos dadosEjemplo: lanzamiento de dos dadosn1=6 y n2=6, por lo tanto, n1x n2=6x6=36

Por supuesto que esta regla puede generalizarse para k operaciones diferentespara k operaciones diferentes.

Regla de la Sumag

Si un suceso puede ocurrir de n1 formas diferentes, y Si un suceso puede ocurrir de n1 formas diferentes, y otro suceso puede ocurrir de n2 formas diferentes, si no es posible que los dos sucesos ocurran p qsimultáneamente, habrá n1+n2 formas de que ocurran los sucesos 1 ó 2.

Regla de la Sumag

Ejemplo: Para mañana puede decidir ir a la montaña Ejemplo: Para mañana puede decidir ir a la montaña a pie, en teleférico o en su carro, o puede decidir ir a la playa en bus, en moto, en bicicleta o en su p y , ,vehículo. ¿Cuántos planes hay para decidir lo que va a hacer mañana?

Regla de la Sumag

Ir a la montaña: 3 formas, n1=3Ir a la montaña: 3 formas, n1 3Ir a la playa: 4 formas, n2=4Como no puede ir a la playa y a la montaña a la Como no puede ir a la playa y a la montaña a la

vez, en total hay 3+4=7 planes posibles de paseos para mañana.para mañana.

Permutaciones

Es un arreglo de todos, o parte de, un conjunto de Es un arreglo de todos, o parte de, un conjunto de objetos.

Existen varios tipos de permutaciones:Existen varios tipos de permutaciones:Permutación de n objetos distintos: Pn = n!Permutación de n objetos distintos, tomados en grupos Permutación de n objetos distintos, tomados en grupos de r objetos a la vez:

!P n)!(

Prrn

n−

=

Permutaciones

Permutación circular: acomodar objetos en círculo: e u ac ó c cu a : aco oda obje os e c cu o: Pn=(n-1)!Permutación de n objetos de los cuales n1 son de un tipo, n2 son de un segundo tipo, nk son de un k-ésimo tipo, es: P ió d bj id ld

!!...2!1!

nknnn

Permutación de n objetos a ser repartidos en r celdas, con n1 elementos en la primera celda, n2 elementos en la segunda celda, con nr elementos en la r-ésima celda, g , ,es: donde n=n1+n2+…+nr

!!...2!1!

,...2,1 nrnnn

nrnnn

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Combinaciones

Es la cantidad de posibles formas de seleccionar r Es la cantidad de posibles formas de seleccionar r objetos de un total de n, sin importar el orden de selección. Es como si se tomaran los r objetos al jmismo tiempo.

!nn⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

)!(! rnrr −=⎟⎟

⎠⎜⎜⎝

Noción de Muestreo

Muestreo aleatorio con reemplazo: en este caso, p ,generalmente importa el orden en el cual fueron seleccionados los objetos de la muestra (regla de la

l i li ió k)multiplicación: nk).Muestreo aleatorio sin reemplazo y teniendo en cuenta el orden de selección de la muestra cuenta el orden de selección de la muestra (permutación).Muestreo aleatorio sin reemplazo sin tener en Muestreo aleatorio sin reemplazo sin tener en cuenta el orden de selección de la muestra (combinación).

Noción de Muestreo

Ejemplo: en una caja hay 4 pelotas numeradas 1, 2, Ejemplo: en una caja hay 4 pelotas numeradas 1, 2, 3, 4. ¿Cuántas muestras aleatorias se pueden obtener al seleccionar al azar 3 pelotas?:pCon reemplazo: siempre hay 4 pelotas al momento de hacer la siempre hay 4 pelotas al momento de hacer la selección, por lo tanto se usa la regla de la multiplicación: 4 x 4x 4 = 64 muestras posibles.

Noción de Muestreo

Sin reemplazo teniendo en cuenta el orden de Sin reemplazo teniendo en cuenta el orden de extracción en la muestra:Si importa el orden se usa una permutación Si importa el orden se usa una permutación 4P3=4!/(4-3)! = 24 muestrasSin reemplazo sin tener en cuenta el orden en la Sin reemplazo sin tener en cuenta el orden en la muestra:Si no importa el orden se usa una combinación: Si no importa el orden se usa una combinación: 4C3=4!/(3!(4-3)!) = 4 muestras.

Ejemplos de conteo de puntos t l muestrales

Tema 2. Teoría de las P b bilid dProbabilidadesEl interés del hombre por los juegos de azar, fue lo El interés del hombre por los juegos de azar, fue lo

que condujo al desarrollo de esta teoría. Se acudió a matemáticos para que hicieran estudios y p q ypropusieran estrategias óptimas para diversos juegos de este tipo. Algunos de los matemáticos que accedieron a este pedido fueron Pascal, Leibniz, Fermat y James Bernoulli.

Teoría de las Probabilidades

Esta teoría se ha extendido mucho más allá de los Esta teoría se ha extendido mucho más allá de los juegos de azar para abarcar muchos otros campos que se relacionan con los sucesos aleatorios, como q ,la política, los negocios, el pronóstico del tiempo y la investigación científica.

Teoría de las Probabilidades

Para que las predicciones y generalizaciones sean lo Para que las predicciones y generalizaciones sean lo más exactas posibles, resulta esencial contar con un entendimiento claro de la teoría básica de la probabilidad, de la información que se tiene del pasado y de la comprensión de la estructura del experimento.

Concepto de Probabilidadp

Mide la frecuencia con la que aparece un resultado Mide la frecuencia con la que aparece un resultado específico, cuando se realiza un experimento aleatorio.

Tipos de probabilidadesp p

Según el conocimiento que se tiene antes de realizar Según el conocimiento que se tiene antes de realizar un experimento aleatorio, las probabilidades puede clasificarse como:p

A priori: es necesario conocer, antes de realizar el experimento, cuáles son los posibles resultados y sus probabilidades de ocurrencia.A posteriori: se debe repetir el experimento varias veces para conocer los valores de las probabilidades veces para conocer los valores de las probabilidades de los posibles resultados.

Probabilidades a Priori

Probabilidad de un evento

La probabilidad de un evento A, es la suma de las La probabilidad de un evento A, es la suma de las probabilidades de cada uno de los puntos muestrales de A. Por lo tanto, ,

0 ≤ P(A) ≤ 1P(∅) = 0P(S) = 1

Definición clásica de Probabilidad

Definición clásica ó Regla de Laplace: Si un Definición clásica ó Regla de Laplace: Si un experimento puede tener cualquiera de N resultados diferentes, igualmente factibles , g(equiprobables), y si exactamente n de estos resultados corresponden al evento A, entonces la probabilidad de A es:

NnAP =)(N


Esta definición se conoce como “probabilidad a Esta definición se conoce como probabilidad a priori”, ya que para aplicarla es necesario conocer, antes de realizar el experimento, cuáles son los p ,posibles resultados y saber que todos tienen la misma probabilidad de ocurrir (equiprobables).


Ejemplo: si se lanza al aire una moneda balanceada Ejemplo: si se lanza al aire una moneda balanceada dos veces, ¿cuál es la probabilidad de que caiga cuando menos una vez en cara?

S={CC, CS, SC, SS} C: cara y S: sello.Evento:Evento:A: la moneda caiga cuando menos una vez en

A {CC CS SC}cara. A={CC, CS, SC}


Para aplicar la definición clásica de Para aplicar la definición clásica de probabilidad o Regla de Laplace, se debe conocer de antemano que los 4 posibles conocer de antemano que los 4 posibles resultados de este experimento tienen la misma probabilidad de presentarse Entoncesmisma probabilidad de presentarse. Entonces,

N = 4 resultados que tiene el espacio muestral. 3 l d l An = 3 resultados que pertenecen al evento A.

P(A) = ¾


Esta definición no puede usarse siempre, puesto que Esta definición no puede usarse siempre, puesto que algunas veces los resultados posibles del experimento aleatorio, no son igualmente p , gprobables y otras veces puede existir una infinidad de resultados posibles.

Definición de Probabilidad f i lfrecuencialEn estos casos puede usarse la definición de En estos casos puede usarse la definición de

probabilidad frecuencial (probabilidad a posteriori): si al repetir un experimento N veces, el p ) p p ,evento A se presenta n veces, la frecuencia relativa de A es:

)()( APNnAf ≈=

Definición de Probabilidad f i lfrecuencialEjemplo: Se está interesado en estudiar la cantidad Ejemplo: Se está interesado en estudiar la cantidad

de veces que debe lanzarse una moneda, hasta que se obtenga una cara por primera vez. Todos q g p plos posibles resultados son 1,2,3,4,…

En este caso el resultado 1 tiene probabilidad ½ p(salga cara en el primer lanzamiento), en cambio el resultado 4 (salga cara por primera vez en el cuarto lanzamiento) tiene probabilidad de 1/16.

Definición de Probabilidad f i lfrecuencialPor lo tanto los resultados del experimento NO son Por lo tanto los resultados del experimento NO son

equiprobables, no puede usarse la Regla de Laplace sino la definición de probabilidad p pfrecuencial.

Teoremas Básicos de las P b bilid dProbabilidadesA continuación se presentan los teoremas básicos de A continuación se presentan los teoremas básicos de

las probabilidad a priori:Regla de Laplace.g pSea S un espacio muestral y P una función de probabilidad definida sobre S, la probabilidad de que un evento A no ocurra (complemento de Ac) es:

P(Ac) = 1 – P(A)

Teoremas Básicos de las P b bilid dProbabilidades

Sea S un espacio muestral con su función de Sea S u espac o ues a co su u c ó de probabilidad asociada P, entonces se cumple que 0 ≤ P(A) ≤ 1 para cualquier evento A en S.Sea S un espacio muestral con su función de probabilidad asociada P, si ∅ es el conjunto vacío o nulo entonces P(∅) = 0nulo, entonces P(∅) = 0.

Reglas Aditivasg

Frecuentemente es más fácil calcular la probabilidad Frecuentemente es más fácil calcular la probabilidad de un evento a partir de las probabilidades de otros eventos.

Esto es cierto si el evento en cuestión puede presentarse como la unión de los otros dos eventos po como el complemento de alguno.

Reglas Aditivasg

1 Si A y B son dos eventos cualesquiera, entonces:1. Si A y B son dos eventos cualesquiera, entonces:P(A ∪ B) = P(A)+P(B)-P(A ∩B)

2 Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes 2. Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes, entonces:

P(A ∪ B) = P(A)+P(B)P(A ∪ B) = P(A)+P(B)Demostración: Si A y B son eventos mutuamente

excluyentes A∩B=∅ Además se sabe que excluyentes A∩B=∅. Además se sabe que P(∅)=0, por lo tanto P(A ∩B)=0.

Reglas Aditivasg

Estas reglas se pueden generalizar para 3 o más Estas reglas se pueden generalizar para 3 o más eventos. Por ejemplo para 3 eventos serían:

1 Regla 1:1. Regla 1:P(A ∪ B ∪ C) = P(A)+P(B)+P(C)-P(A ∩ B)-P(A ∩ C)-

P(B ∩ C)+ P(A ∩ B ∩ C)P(B ∩ C)+ P(A ∩ B ∩ C)

2 Regla 2:2. Regla 2:P(A ∪ B ∪ C) = P(A)+P(B)+P(C)

Ejemplos de cálculo de probabilidades y reglas aditivasaditivas

Probabilidad Condicional

Una probabilidad condicional de un evento ocurre, Una probabilidad condicional de un evento ocurre, cuando la probabilidad se afecta por el conocimiento de otras circunstancias.Una característica de todo problema de probabilidad condicional, es que implica una p q preducción del espacio muestral.

Probabilidad Condicional

Sean A y B dos eventos de un espacio muestral S, tal Sean A y B dos eventos de un espacio muestral S, tal que P(B)>0. La probabilidad condicional del evento A, cuando ha ocurrido el evento B, es:, ,

)()()/(

BPBAPBAP ∩

=)(BP

Ejemploj p

Una universidad tiene 30000 estudiantes de los cuales Una universidad tiene 30000 estudiantes de los cuales 16000 son hombres y 14000 son mujeres. Se sabe que 270 hombres y 30 mujeres que estudian en esta universidad, tienen una estatura superior a 190 cm.

a) Determine la probabilidad de que un estudiante elegido al azar tenga una estatura superior a 190 cm.

b) Si se sabe que el estudiante elegido al azar es un hombre, ¿cuál es la probabilidad de que su estatura sea superior a 190 cm?sea superior a 190 cm?

Ejemploj p

Parte a)Parte a)1. Entender el experimento aleatorio.2 Definir los eventos de interés:2. Definir los eventos de interés:A: estudiante tenga una estatura superior a 190 cm.P(A) ?P(A)=?

01000300)( ===nAP

Es muy poco probable que el estudiante tenga una

0100.030000

)( ===N

AP

estatura superior a 190 cm.

Ejemploj p

Parte b)Parte b)Definir los eventos de interés:A: estudiante tenga una estatura superior a 190 cmA: estudiante tenga una estatura superior a 190 cm.B: estudiante seleccionado es hombre.P(A/B) ?P(A/B)=?P(A∩B)=270/30000 0169.016000

30000270

)/( ==BAPP(B)=16000/30000Es muy poco probable que el estudiante que es

3000016000

hombre tenga una estatura superior a 190 cm.

Reglas Multiplicativasg p

Estas reglas permiten calcular la probabilidad de que Estas reglas permiten calcular la probabilidad de que dos eventos ocurran simultáneamente.Regla 1: Si en un experimento pueden ocurrir los Regla 1: Si en un experimento pueden ocurrir los eventos A y B, entonces:

)/()()( ABPAPBAP =∩

como A ∩ B es equivalente a B ∩ A, entonces:)/()()( ABPAPBAP ∩

)/()()( BAPBPABP )/()()( BAPBPABP =∩


Regla 2: Dos eventos A y B son independientes, si y Regla 2: Dos eventos A y B son independientes, si y solo si:

)()()( BPAPBAP =∩ )()()( BPAPBAP ∩


Dos eventos mutuamente excluyentes A y B, noDos eventos mutuamente excluyentes A y B, nopueden ser independientes (excluyendo el caso trivial cuando P(A)=0 ó P(B)=0).( ) ( ) )

SA

B

A∩B = ∅ ∴ P(A∩B)=0 ∴P(A∩B)≠P(A)P(B)A∩B = ∅ ∴ P(A∩B)=0 ∴P(A∩B)≠P(A)P(B)

Ejemplosj p

Ejemplos de cálculo de Probabilidades Condicionales y reglas multiplicativasy reglas multiplicativas

Tema 3. Probabilidades a P i iPosterioriEn el caso de que los resultados de un experimento En el caso de que los resultados de un experimento

aleatorio, no posean igual posibilidad de ocurrencia o que exista una infinidad de posibles q presultados, el problema de asignar probabilidades ocurre a posteriori.

Tema 3. Probabilidades a P i iPosterioriEste cálculo de probabilidades se basa en la Este cálculo de probabilidades se basa en la

experiencia: cuando se realiza un experimento aleatorio una cantidad elevada de veces, las ,probabilidades de los diversos eventos empiezan a converger hacia ciertos valores, que son sus respectivas probabilidades a posteriori.

Tema 3. Probabilidades a P t i iPosterioriEn estos casos puede usarse la definición de En estos casos puede usarse la definición de

probabilidad frecuencial (probabilidad a posteriori): si al repetir un experimento N veces, el p ) p p ,evento A se presenta n veces, la frecuencia relativa de A es:

)()( APNnAf ≈=

Tema 3. Probabilidades a P t i iPosterioriSe observa experimentalmente que a medida que N Se observa experimentalmente que a medida que N

aumenta, la relación n/N tiende a un valor estable p. Este valor p recibe el nombre de probabilidad p p pdel evento A: P(A).

Tema 3. Probabilidades a P t i iPosterioriCualquier problema de este tipo de probabilidades a Cualquier problema de este tipo de probabilidades a

posteriori, se puede resolver usando el:Teorema de la Probabilidad Total, ó,Teorema de Bayes.

Tema 3. Probabilidades a P i iPosteriori

Teorema de la Probabilidad Total.Teorema de la Probabilidad Total.Este teorema permite calcular la probabilidad de un

evento a partir de probabilidades condicionadas. Para que este teorema se pueda aplicar hace falta que los eventos Bi, formen un sistema completo o partición del

i t l S d i t l t d l espacio muestral S, es decir, que contemplen todas las posibilidades, P(B1)+P(B2)+…+P(Bk)=1

Tema 3. Probabilidades a P t i iPosteriori

Teorema de la Probabilidad Total: Si los eventos B1, eo e a de a obab dad o a : S os eve os , B2,…, Bk constituyen una partición del espacio muestral S, de tal forma que P(Bi)≠0 para i=1,2,…,k, entonces para

l A d Scualquier evento A de S:

∑ ∑=∩=k k

iii BAPBPABPAP )/()()()( ∑ ∑= =i i

iii1 1

)()()()(

B1 B3

B2 B4

A


Teorema de BayesTeorema de BayesEste teorema surge al seguir el proceso inverso que se

sigue en el Teorema de la Probabilidad Total: a sigue en el Teorema de la Probabilidad Total: a partir de que ha ocurrido el evento A (p.e. ha ocurrido un accidente), se deducen las )probabilidades de los eventos Bi (¿estaba lloviendo ó estaba soleado?)


Teorema de Bayes: Si los eventos B1, B2,…, Bk eo e a de ayes: S os eve os , ,…, constituyen una partición del espacio muestral S, de tal forma que P(Bi)≠0 para i=1,2,…,k, entonces para

l A d Scualquier evento A de S:

=∩

= rrr BAPBPABPABP )/()()()/(∑∑==

∩k

iii

k

ii

r

BAPBPABPABP

11)/()()(

)/(

B1 B3

A

B2 B4

Ejemplos de cálculo de Probabilidades a Posteriori

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