productos notables 3° profr. ricardo a. castro rico

PRODUCTOS NOTABLES

3°

Profr. Ricardo A. Castro Rico

EFECTUAR O SIMPLIFICAR CALCULOS CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS

PRODUCTOS NOTABLES

PRODUCTO DE BINOMIOS CONJUGADOS

( x + a ) ( x – a )

PRODUCTO DE BINOMIOS CON TERMINO COMUN

( x + a ) ( x + b )

BINOMIO AL CUADRADO

( x + a ) 2

PRODUCTO DE BINOMIOS CUALESQUIERA

( a x + c ) ( bx + d )

APLICACION EN LA RESOLUCION DE PROBLEMAS

MULTIPLICA LAS SIGUIENTES EXPRESIONES

( x + 3 ) ( x - 3 ) = x2 - 3x + 3x - 9 = x2 - 9

¿ Qué nombre reciben las cantidades que se multiplican?

( x + 3 ) ( x - 3 ) FACTORES

¿ Qué nombre recibe el resultado de una multiplicación?

PRODUCTO x2 - 9

( x + 3 ) ( x - 3 ) x2 - 9

OBSERVA

=

FACTORES PRODUCTO

ANALIZA LAS EXPRESIONES QUE MULTIPLICASTE

¿ QUE OBSERVAS ?

UN SIGNO ES DIFERENTESON LOS MISMOS TERMINOS


( x + 3 ) ( x - 3 )

( x + 3 ) ( x - 3 )

x2 - 9

OBSERVA

=

PRODUCTO BINOMIOS CONJUGADOS x • x 3 • 3

DIFERENCIA

CUADRADOS


DIFERENCIA DE CUADRADOS

( x + 3 ) ( x - 3 )

x2 9

OBSERVA

=

PRODUCTO BINOMIOS CONJUGADOS x • x 3 • 3

DIFERENCIA

CUADRADOS

¿ COMO SE FORMA LA DIFERENCIA DE CUADRADOS ?

x2 9

x • x 3 • 3

DIFERENCIA

CUADRADO DEL PRIMER TERMINO

CUADRADO DEL SEGUNDO TERMINO

-

-


x • x 9 • 9

DIFERENCIA



( x + 9 ) ( x - 9 ) = x2 81-


CUADRADO DEL SEGUNDO TERMINO-

x • x 8 • 8CUADRADO DEL PRIMER TERMINO


( x + 8 ) ( x - 8 ) = x2 64-

5x • 5x 2 • 2CUADRADO DEL PRIMER TERMINO


( 5x + 2 ) ( 5x - 2 ) = 25x2 4-


3x • 3x 8y • 8yCUADRADO DEL PRIMER TERMINO


( 3x – 8y ) ( 3x + 8y ) = 9x2 64y2-

7x • 7x 2z • 2zCUADRADO DEL PRIMER TERMINO


( 7x - 2z ) ( 7x + 2z ) = 49x2 4z2-

4x • 4x 3y • 3yCUADRADO DEL PRIMER TERMINO


( 4x – 3y ) ( 4x + 3y ) = 16x2 9y2-

EN LOS EJERCICIOS QUE RESOLVISTE ANTERIORMENTE¿CUAL DE LOS CUADRADOS TIENE SIGNO NEGATIVO?

TERMINO QUE TIENE LOS SIGNOS DIFERENTES

3y • 3y 4x • 4x

CUADRADO DEL TERMINO CON

SIGNOS IGUALES

CUADRADO DEL TERMINO CON SIGNOS

DIFERENTES

( -4x + 3y ) ( 4x + 3y ) = 9y2 16x2-

( 7x2 – 3y3 ) ( - 7x2 - 3y3 ) = 9y6 49x4-

3y3 • 3y3 7x2 • 7x2


SIGNOS IGUALES


DIFERENTES

( - 8x – 5y ) ( - 8x + 5y ) = 64x2 25y2

8x • 8x 5y • 5y


SIGNOS IGUALES


DIFERENTES

-


( x2 - y3 ) ( x2 + y3 )

( 9x + 4y4 ) ( 9x – 4y4 ) 81x2 - 16y8

( b5 - 4h2 ) ( b5 + 4h2 ) b10 - 16h4

( xa + yb ) ( xa - yb )

x2a - y2b

( 5 – 4x ) ( - 5 – 4x ) 16x2 - 25

( - m – n ) ( - m + n ) m2 - n2

( 9x-2 + 7 ) ( 9x-2 - 7 ) 81x-4 - 49

Resuelve los ejercicios en tu cuaderno. Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse

x4 - y6


( x6 - y ) ( x6 + y )

( 9xa + 4yb ) ( 9xa – 4yb )

81x2a - 16y2b

( - b7 + 6h-2 ) ( b7 + 6h-2 )

36h-4 - b14

( x2m + y5n ) ( x2m - y5n )

x4m - y10n

( 1 – 8x ) ( - 1 – 8x ) 64x2 - 1

( - m-2 – n ) ( - m-2 + n ) m-4 - n2

( x-2 + 3 ) ( x-2 - 3 ) x-4 - 9


x12 - y2

MENU


( x + 6 ) ( x + 3 ) = x2 + 3x + 6x + 18 = x2 + 18


¿ QUE OBSERVAS ?

( x + 6 ) ( x + 3 )

x SE REPITE EN CADA UNO DE LOS BINOMIOS

RECIBEN EL NOMBRE DE BINOMIOS CON TERMINO COMUN

+ 9x

OBSERVA

( x + 6 ) ( x + 3 ) = x2 + 3x + 6x + 18 = x2 + 18+ 9x

Producto binomios con término común

Tres términoTrinomio cuadrado

Término al cuadrado

Producto de dos binomios con término común es un trinomio cuadrado

( x + 6 ) ( x + 3 ) = x2 + 9x + 18

Trinomio cuadrado es un producto de binomios con término común

( x + 6 ) ( x + 3 )=x2 + 9x + 18

( x + 6 ) ( x + 3 ) = x2 + 3x + 6x + 18 = x2 + 9x + 18

OBSERVA

TERMINO COMUN AL CUADRADOx • x

¿ QUE HICE PARA ENCONTRAR x2 ?

TERMINO COMUN

TERMINOS NO COMUNES

x ( 3 + 6 )

¿ COMO ENCONTRE + 9x ?

MULTIPLIQUE LA SUMA ALGEBRAICA DE LOS TERMINOS NO COMUNES POR EL TERMINO COMUN

x ( 3 + 6 )

MULTIPLIQUE LOS TERMINOS NO COMUNES6 • 3

¿ QUE HICE PARA ENCONTRAR + 18 ?

( x + 9 ) ( x + 5 ) = x2 + 14x + 45


TERMINO COMUN

TERMINOS NO COMUNES

TRINOMIO CUADRADO

CUADRADO DEL TERMINO COMUN( x ) ( x )

SUMA ALGEBRAICA NO COMUNES MULTIPLICADA POR EL TERMINO COMUNx ( 9 + 5 )

PRODUCTO DE TERMINOS NO COMUNES( 9 ) ( 5 )

( 5x - 9 ) ( 5x + 2 ) = 25x2 - 35x - 18

TERMINO COMUN

TERMINOS NO COMUNES

TRINOMIO CUADRADO

CUADRADO DEL TERMINO COMUN( 5x ) ( 5x )

SUMA ALGEBRAICA NO COMUNES MULTIPLICADA POR EL TERMINO COMUN5x ( - 9 + 2 )

PRODUCTO DE TERMINOS NO COMUNES( - 9 ) ( + 2 )

( 3x - 8 ) ( 3x - 1 ) = 9x2 - 27x + 8

TERMINO COMUN

TERMINOS NO COMUNES

3x ( - 8 - 1 ) ( - 8 ) ( - 1 )

( 4x + 8 ) ( 4x - 5 ) = 16x2 + 12x - 40

TERMINO COMUN

TERMINOS NO COMUNES

4x ( + 8 - 5 ) ( + 8 ) ( - 5 )

( 6x - 3 ) ( 6x + 1 ) = 36x2 - 12x - 3

TERMINO COMUN

TERMINOS NO COMUNES

6x ( - 3 + 1 ) ( - 3 ) ( + 1 )

( 9x + 2 ) ( 9x - 7 ) = 81x2 - 45x - 14

TERMINO COMUN

TERMINOS NO COMUNES

9x ( + 2 - 7 ) ( + 2 ) ( - 7 )



( x – 11 ) ( x + 3 ) x2 - 8x - 33

( 4x + 11 ) ( 4x – 2 ) 16x2 + 36x - 22

( x – 10 ) ( x – 3 ) x2 - 13x + 30

( 2x + 5 ) ( 2x – 9 ) 4x2 - 8x - 45

( 11x – 1 ) ( 11x + 7 ) 121x2 + 66x - 7

( x – 12 ) ( x + 14 ) x2 + 2x - 168

( 7x – 5 ) ( 7x + 8 ) 49x2 + 21x - 40



( x – 10 ) ( x + 2 ) x2 - 8x - 20

( 4x + 10 ) ( 4x – 8 ) 16x2 + 8x - 80

( x + 15 ) ( x – 3 ) x2 + 12x - 45

( 3x + 6 ) ( 3x – 7 ) 9x2 - 3x - 42

( 10x – 4 ) ( 10x + 6 ) 100x2 + 20x - 24

( x – 2 ) ( x + 13 ) x2 + 11x - 26

( 6x – 9 ) ( 6x + 1 ) 36x2 - 48x - 9



( x – 1 ) ( x + 6 ) x2 + 5x - 6

( 5x + 10 ) ( 5x – 4 ) 25x2 + 30x - 40

( 11x + 1 ) ( 11x – 3 ) 121x2 - 22x - 3

( 6x + 2 ) ( 6x – 11 ) 36x2 - 54x - 22

( 10x – 1 ) ( 10x + 6 ) 100x2 + 50x - 6

( x – 3 ) ( x + 12 ) x2 + 9x - 36

( 3x – 8 ) ( 3x + 1 ) 9x2 - 21x - 8


MENU

BINOMIO AL CUADRADO


( x + 8 ) ( x + 8 ) = x2 + 8x + 8x + 64 = x2 + 64


¿ QUE OBSERVAS ?

( x + 8 ) ( x + 8 )

LOS BINOMIOS SON IGUALES

¿ DE QUE OTRA MANERA SE PUEDE REPRESENTAR

+ 16x

( x + 8 )2

( x + 8 ) ( x + 8 ) = x2 + 8x + 8x + 64 = x2 + 64+ 16x

2 ( 8 ) ( x )

( x + 8 )2 = x2 + 64+ 16x

BINOMIO AL CUADRO ES IGUAL A UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO FORMADO POR DOS CUADRADO Y UN DOBLE PRODUCTO

2 ( 8 ) ( x )x • x 8 • 8 Cuadrado

del primer términoCuadrado

del segundo término

Doble productoPrimero por segundo


=

x2 + 64 + 16x

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO ES IGUAL A UN BINOMIO AL CUADRADO

( x + 8 )2

CARACTERISTICAS DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

x2 + 64+ 16x

2 ( x ) ( 8 )x • x 8 • 8 Cuadrado

del primer términoCuadrado

del segundo término

Doble productoPrimero por segundo

x2 + 64+ 16x ( x + 8 ) 2 =

1°Cuadrado

2°Cuadrado

BINOMIO AL CUADRADO

Doble producto

x2 + 81- 18x ( x - 9 ) 2 =

1°Cuadrado

2°Cuadrado

Doble producto

4x2 + 9y2+ 12xy ( 2x + 3y ) 2 =

1°Cuadrado

2°Cuadrado

Doble producto

16x2 + 25y2- 40xy ( 4x - 5y ) 2 =

1°Cuadrado

2°Cuadrado

Doble producto

49x6 + 4y4+ 28x3y2 ( 7x3 + 2y2 ) 2 =

1°Cuadrado

2°Cuadrado

Doble producto

64x10 + 25x4- 80x7 ( 8x5 - 5x2 ) 2 =

1°Cuadrado

2°Cuadrado

Doble producto

BINOMIO AL CUADRADO

( x 2 + 7 )2 x4 + 14x2 + 49

( 2x – 5y )2 4x2 - 20xy + 25y2

( 4x3 – 7y2 )2 16x6 - 56x3y2 + 49y4

( a – b )2 a2 - 2ab + b2

( y – 12 )2 y2 - 24y + 144

( 12 – 3b )2 144 - 72b + 9b2

( x + y )2 x2 + 2xy + y2


BINOMIO AL CUADRADO

( x 2 + 7y )2 x4 + 14x2y + 49y2

( 7x – 2y )2 49x2 - 28xy + 4y2

( 9x3 – 7y5 )2 81x6 - 126x3y5 + 49y10

( 11a – b )2 121a2 - 22ab + b2

( 8y – 12z )2 64y2 - 192yz + 144z2

( 2ab – 3ba )2 4a2b - 12abba + 9b2a

( 5x - 6y )2 25x2 - 60xy + 36y2


MENU


( 5x + 8 ) ( 2x + 1 ) = 10x2 + 5x + 16x + 8 = 10x2 + 8


¿ QUE OBSERVAS ?

( 5x + 8 ) ( 2x + 1 )

NO TIENEN TERMINOS COMUNES

ES UN PRODUCTO DE BINOMIOS CUALESQUIERA

+ 21x

( 5x + 8 ) ( 2x + 1 ) = 10x2 + 8 + 21x

10x2 + 5x + 16x + 8 = 10x2 + 8 + 21x( 5x + 8 ) ( 2x + 1 ) =

Producto de binomios cualesquiera

Trinomio cuadrado

+ 5x + 16x

OBSERVA


12x2 - 7 + 17x

+ 21x - 4x

12x2 - 18 + 50x

- 4x + 54x

( 3x - 1 ) ( 4x + 7 ) =

( 2x + 9 ) ( 6x - 2 ) =


49x2 - 1

+ 7x - 7x

4x2 - 18 + 6x

- 6x + 12x

( 7x - 1 ) ( 7x + 1 ) =

( 2x + 6 ) ( 2x - 3 ) =

PRODUCTO BINOMIOS CONJUGADOS

PRODUCTO BINOMIOS CON TERMINO COMUN


( 4x – 7 ) ( 2x + 3 ) 8x2 - 2x - 21

( 5x + 2 ) ( 5x – 2 ) 25x2 - 4

( 6x – 5 ) ( 6x – 3 ) 36x2 - 48x + 15

( 3x + 1 ) ( x + 8 ) 3x2 + 25x + 8

( 2y – 5 ) ( 7y + 3 ) 14y2 - 29y - 15

( 8x + 2 ) ( 3x – 5 ) 24x2 - 34x - 10

( 2x – 1 ) ( 9x + 5 ) 18x2 + x - 5



( 5x – 1 ) ( 2x + 4 ) 10x2 + 18x - 4

( x + 9 ) ( 5x + 3 ) 5x2 + 48x + 27

( 6x + 1 ) ( 7x – 5 ) 42x2 - 23x - 5

( 3x + 5 ) ( x - 8 ) 3x2 - 19x - 40

( 2y + 7 ) ( 7y + 1 ) 14y2 + 51y + 7

( 8x + 4 ) ( 3x – 5 ) 24x2 - 28x - 20

( 2x – 1 ) ( 2x + 1 ) 4x2 - 1


MENU

Aplicación de los productos notables

Se representa como un producto de binomios

55 x 45

( 50 + 5 ) ( 50 - 5 )

=

=

Resolvemos por inspección

( 50 + 5 ) ( 50 - 5 ) = 2500

= 2475

2475

- 25

EJEMPLO 1

Descomponemos en dos números, de uno de ellos conocemos su cuadrado


23 x 25

( 20 + 3 ) ( 20 + 5 )

=

=


( 20 + 3 ) ( 20 + 5 ) = 400 + 160 + 15 = 575

575

EJEMPLO 2



232

( 20 + 3 )2

=

=


( 20 + 3 )2 = 400 + 120 + 9 = 529

529

EJEMPLO 3

El área de un rectángulo equivale a 30 m2, sabemos que su base es un metro mayor que la altura, ¿ qué ecuación cuadrática nos permite encontrar sus dimensiones?

EJEMPLO 4

AREA = 30 m2

base

altura

x

x + 1

Base por altura = área

x2 + x – 30 = 0

Observa la siguiente expresión algebraica escrita en una hoja de papel:

EJEMPLO 5

¿ Qué expresión ha sido cubierta por la camisa ?

x + 3

( x + 5 ) = x2 + 8x + 15

Observa la siguiente figura:Si queremos encontrar el valor de x en la figura, ¿cuál de las siguientes ecuaciones debemos resolver ?

A. 4x2 + 12x – 10 = 0

B. 4x2 + 12x + 5 = 0

C. 4x2 + 12x + 10 = 0

D. 4x2 + 12x = 0

PROBLEMA 6

Area = 5

2x + 5

2x + 1

4x2 + 12x = 0


x

x

y

y

En la ilustración se muestra la maqueta del departamento de Armando.

Escribe la expresión que representa un lado del departamento:

x + y

¿ Qué expresión representa el área?

SALA x2

COCINA xy

BAÑO y2

RECAMARAxy

DEPARTAMENTO

x2 + 2xy + y2Tiene la forma de un cuadrado.

Aplicación de los productos notables


32 x 28

( 30 + 2 ) ( 30 - 2 )

=

=


( 30 + 2 ) ( 30 - 2 ) = 900 = 896

896

- 4

EJEMPLO 8

Descomponemos en dos números, de uno de ellos conocemos su cuadrado

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