Producto interno DEFINICIÓN DE PRODUCTO INTERNO

El producto interno, en un e.v. V, es una función que se le asigna a cada par

ordenado de vectores elementos de V, un número real: , que

satisface las siguientes propiedades:

ç

OBSERVACIONES:

El producto interno puede ser real o complejo, pero siempre

nos va a dar un número real.

PRODUCTOS INTERNOS COMUNES O USUALES 1. En el

Ejemplo 1:

Encontrar todos los productos internos posibles de los dos vectores dados u,v que

pertenecen a :

2. En el

Ejemplo 1:

Encontrar todos los productos internos posibles de los dos vectores dados u,v que

pertenecen a :

3. En el

4. En el

5. En el

Ejemplo 1:

Encontrar , de los dos vectores dados u,v que

pertenecen a :

1 0

-2 1

-2 3 -8 3

1 -1 -1 -1

-2 1

3 -1

1 -2 -8 3

0 1 3 -1

-2 1

3 -1

-2 3 13

1 -1 2

1 0

-2 1

1 -2 5

0 1 1

En general:

NORMA DE UN VECTOR La longitud, norma o módulo de un vector es igual a la raíz cuadrada del

producto interno del mismo vector.

Es decir:

Observaciones:

Sea (V, k, +,*) en e.v. sobre el cual se ha definido el producto interno

( / ).

llamamos desigualdad triangular

Ejemplo 1:

Calcular la norma de los siguientes vectores:

a)

b)

c)

VECTORES ORTOGONALES Sea (V, k, +,*) en e.v. sobre el cual se ha definido el producto interno

( / ).

1. Sean son ortogonales ssi: .

2. Si , entonces S se dice ortogonal si todo par de elementos distintos de

S son ortogonales

OBSERVACIONES

El Ov es ortogonal a cualquier vector pues .

S debe tener por lo menos dos vectores para verificar si es un conjunto

ortogonal

Al comprobar si todos los productos internos son cero entre los

vectores de S, para tener un S conjunto de vectores ortogonales

Si un conjunto es ortogonal entonces es LI

Si es ortogonal, si a cada vector le

multiplicamos por cualquier escalar, siempre en nuevo conjunto va a ser

ortogonal.

Ejemplo 1:

Dados los vectores que son ortogonales obtener un

tercer vector “w” ortogonal a “u” y “v”.

Hacemos el producto cruz para encontrar el tercer vector

Ejemplo 2:

Dados los vectores que son ortogonales obtener un

tercer vector “w” ortogonal a “u” y “v”.

Hacemos el producto cruz para encontrar el tercer vector

Base ortogonal Sea (V, k, +,*) en e.v. sobre el cual se ha definido el producto interno ( / ) y S un sub espacio vectorial de V.

Es una base ortogonal si:

Sea S base de V

Sean los productos internos de dos a dos ortogonales, es decir todos

sus vectores ortogonales entre si.

Sea LI

Base ortonormal Sea (V, k, +,*) en e.v. sobre el cual se ha definido el producto interno ( / ). Es una base otonormal si:

Si en el conjunto ortogonal se llega a comprobar que la norma de cada

uno de los vectores es igual a cero