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Tesis Doctoral

Producción de hadrones y jets enProducción de hadrones y jets encolisiones de hadrones polarizadoscolisiones de hadrones polarizados

Wagner, Federico

2010

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Wagner, Federico. (2010). Producción de hadrones y jets en colisiones de hadrones polarizados.Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad de Buenos Aires.

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Wagner, Federico. "Producción de hadrones y jets en colisiones de hadrones polarizados".Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad de Buenos Aires. 2010.

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UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

Departamento de Fısica

Produccion de hadrones y jets encolisiones de hadrones polarizados

Tesis presentada para optar por el tıtulo de Doctor de la

Universidad de Buenos Aires en el area de Fısica

Federico Wagner

Director: Dr. Daniel E. de FlorianConsejero de Estudios: Dr. Daniel E. de Florian

Lugar de Trabajo: Grupo de Fısica de altas energıas

Buenos Aires, Febrero 2010

Resumen

En el presente trabajo se aborda el estudio de la seccion eficaz de produccion de

hadrones y jets en colisionadores hadronicos. Los calculos disponibles para estos ob-

servables corresponden a computos a orden fijo en teorıa de perturbaciones y resultan

ser, en muchos casos, poco satisfactorios. Con el objeto de obtener predicciones mas

precisas, se aplican las tecnicas de resumacion umbral a fin de incluir el aporte de la

radiacion de gluones soft o colineales al calculo de orden fijo.

En esta tesis consideraremos a los hadrones colisionantes con todos los posibles

estados de polarizacion: no polarizados, polarizados longitudinalmente y, por ultimo,

polarizados transversalmente. El incluir el estado de polarizacion nos permitira estu-

diar la estructura de spin de dichos hadrones. Existe actualmente una gran actividad

experimental en busca de develar la estructura de spin que presentan los nucleones.

En particular, la determinacion de la distribucion dependiente de spin de los gluo-

nes, ∆g, dentro del nucleon es uno de los desafıos mas importantes en el area. El

colisionador relativista de iones pesados (RHIC), el primer colisionador de protones

polarizados, presenta grandes posibilidades de determinar ∆g(x,Q2) sobre un amplio

rango de fracciones de momento x y escala Q. Las asimetrıas de spin en colisiones

pp a altas energıas son particularmente sensibles a ∆g, y por lo tanto al contenido

gluonico del spin del proton. Los procesos mas relevantes para ese proposito son la

produccion de un hadron con alto momento transverso pp → hX y la produccion

de jet pp → jetX. En esta tesis obtenemos las predicciones mas precisas posibles

para ambos procesos. Presentamos, ademas, resultados fenomenologicos teniendo en

cuenta tanto las facilidades experimentales actuales (RHIC) como las que se espera

contar en un futuro cercano (GSI-FAIR y J-PARC).

Palabras claves: QCD, Resumacion, Spin, Colisionadores hadronicos, Polarizacion.

i

Abstract

Hadron and jet productions in polarized

hadronic collisions

In this thesis we study the jet and hadron production cross sections in hadro-

nic colliders. These observables are usually computed to fixed order in perturbation

theory, approximation that turns out to be not very accurate in some kinematical

regimes. In order to obtain more precise predictions, we apply the soft-gluon-treshold-

resummation techniques.

We consider the colliding hadrons with different states of polarization: unpolarized,

longitudinally polarized and transverselly polarized. Through polarization we are able

to study the spin structure of these hadrons. There is currently much experimental

activity aiming at further unraveling the nucleon’s spin structure. One emphasis is on

the determination of the spin-dependent gluon distribution, ∆g, of the nucleon, which

ultimately would give the gluon spin contribution to the nucleon spin. Particularly

good prospects for determining ∆g(x,Q2) over a wide range of momentum fractions

x and scales Q are offered at the Relativistic Heavy-Ion Collider (RHIC), which is the

first polarized proton-proton collider. Spin asymmetries in high-energy pp scattering

can be particularly sensitive to ∆g. The single-inclusive production of large transverse-

momentum (pT ) hadrons, pp→ hX and the single-inclusive jet production pp→ jetX

are good examples of that. We study in this thesis these processes and compute their

spin asimetries with the most accurate prediction at present.

We present our phenomenological results relevant for planned experiments at the

GSI-FAIR, RHIC-PHENIX and J-PARC facilities.

Keywords: QCD, Resummation, Spin, Hadronic Colliders, Polarization.

iii

A Marcelina y Alfredo, a Lina y Berto, a Martina, a Rosita y Jose,

a Marisa, a Ruben, a Vanina,

y especialmente a mi primo Agustın.

Indice general

1. Introduccion 1

2. Introduccion a la Cromodinamica cuantica y spin 5

2.1. Cromodinamica cuantica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.1. El Lagrangiano en cromodinamica cuantica. . . . . . . . . . . 8

2.1.2. Divergencias ultravioletas. Renormalizacion . . . . . . . . . . 11

2.1.3. Divergencias Infrarrojas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.4. Libertad asintotica y confinamiento de color. . . . . . . . . . . 16

2.1.5. Cromodinamica cuantica perturbativa. . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.6. Funciones de distribucion de partones. . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.7. Funciones de Fragmentacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2. Spin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2.1. La funcion de estructura g1 y distribuciones de partones. . . . 39

2.2.2. Ordenes superiores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2.3. Resultados experimentales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3. Resumacion 53

3.1. El proceso de Drell-Yan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.2. Exponenciacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.3. Resumacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.4. Enfoques alternativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.4.1. Resumacion a partir de las propiedades de factorizacion . . . . 71

3.4.2. Resumacion vista desde el grupo de renormalizacion . . . . . . 73

vii

4. Colision de hadrones no polarizados 85

4.1. pp→ h +X no polarizado a NLL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.1.1. Resultados fenomenologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.2. pp→ h± +X no polarizado a NLL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5. Colision de hadrones polarizados longitudinalmente 101

5.1. pp→ h +X longitudinalmente polarizado a NLL . . . . . . . . . . . 101

5.1.1. La seccion eficaz y asimetrıa de spin en teorıa de perturbaciones 102

5.1.2. Seccion eficaz resumada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.1.3. Resultados Fenomenologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.2. pp→ Jet+X longitudinalmente polarizado a NLL . . . . . . . . . . 113

5.2.1. La seccion eficaz inclusiva de produccion de jet en teorıa de

perturbaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.2.2. Seccion eficaz resumada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.2.3. Resultados fenomenologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

6. Colision de hadrones polarizados transversalmente 127

6.1. Polarizacion transversal y la funcion de estructura g2 . . . . . . . . . 127

6.2. Quiralidad Transversa impar (’Transversidad’) de las Funciones de Es-

tructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

6.3. La seccion eficaz diferencial en teorıa de perturbaciones . . . . . . . 132

6.4. Resultados fenomenologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

7. Conclusiones 145

A. Resultados para los subprocesos partonicos no polarizados 149

B. Resultados para los subprocesos partonicos longitudinalmente pola-

rizados 161

B.1. Produccion de hadrones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

B.2. Produccion de Jets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

viii

C. Resultados para los subprocesos partonicos transversalmente pola-

rizados 167

ix

Capıtulo 1

Introduccion

La seccion eficaz para la produccion de hadrones en colisiones hadronicas,H1H2 →hX, juega un importante rol en cromodinamica cuantica (QCD). Cuando el momen-

to transverso del hadron, pT , es suficientemente grande uno espera que la teorıa de

QCD perturbativa pueda ser utilizada para derivar predicciones importantes de esta

reaccion. Debemos mencionar que altos valores de pT implica una alta transferencia

de momento y la seccion eficaz puede ser factorizada como convolucion de una con-

tribucion de ’distancias largas’, las cuales representan la estructura de los hadrones

iniciales y la fragmentacion de un quark o gluon del estado final en el hadron observa-

do, y otra de ’distancias cortas’ que describen las interacciones hard de los partones.

Las contribuciones de largas distancias son universales, es decir, son las mismas en

cada reaccion inelastica, mientras que las de cortas distancias dependen solamente de

altas escalas relacionadas al alto momento transferido en la reaccion, y por lo tan-

to pueden ser evaluadas usando la teorıa de QCD perturbativa. Por esta razon, la

seccion eficaz de H1H2 → hX ofrece la posibilidad de comprender la dinamica de la

interaccion fuerte.

Si la contribucion de las distancias largas, representadas por las funciones de

distribucion de partones y funciones de frangmentacion, es conocida a traves de otros

procesos, especialmente scattering inelastico profundo y produccion de hadrones en

procesos de aniquilacion e+e−, uno puede evaluar el marco perturbativo mencionado

arriba. En particular, uno puede examinar la relevancia de los ordenes mas altos en

1

2 CAPITULO 1. Introduccion

la expansion perturbativa. Cualquier discrepancia entre las predicciones y los datos

experimentales proveera informacion acerca de las contribuciones de las potencias de

αS suprimidas en la seccion eficaz.

Alternativamente, uno puede tambien ganar informacion acerca de las funcio-

nes de framentacion. Por ejemplo, la aniquilacion e+e− es mayormente sensible a la

fragmentacion de quark en hadron, mientras que las colisiones hadronicas tambien

proveen informacion de la fragmentacion de gluon. Ademas, la reaccion H1H2 → hX

puede ser utilizada para probar la estructura de los hadrones iniciales. Finalmente,

uno de los aspectos mas relevantes aquı son los efectos de spin, asociado a protones

iniciales polarizados. En el colisionador de iones pesados relativistas (RHIC) del labo-

ratorio nacional de Brookhaven (BNL), uno mide las asimetrıas de spin en scattering

polarizado pp→ hX, para investigar la estructura de spin de los nucleones.

Hace bastante tiempo [1] se realizaron los calculos de las secciones eficaces partoni-

cas al orden mas bajo (Lowest-order : LO), y posteriormente se mejoro cuando las

correcciones al siguiente orden (next-to-leading order : NLO) fueron calculadas [2–4].

Por el lado experimental, un conjunto amplio de datos de experimentales fueron com-

pilados para la produccion de hadrones con alto pT . Estos datos provenıan tanto del

scattering sobre blanco fijo como de colisionadores a mas altas energıas. Surgieron,

naturalmente, las comparaciones entre los calculos a NLO y los datos experimen-

tales [5–8] y se concluyo que la teorıa a NLO predecıa a las secciones eficaces sig-

nificativamente por debajo de los datos experimentales a energıas de blanco fijo y

proveıa una aceptable descripcion de los datos experimentales de los colisionadores

hadronicos [8–10].

En la presente tesis, se mejoran los calculos teoricos implementando la resumacion,

a todo orden, de correcciones de grandes logaritmos en la seccion eficaz partonica. En

el umbral partonico, cuando los partones iniciales tienen solamente suficiente energıa

para producir un parton con alto impulso transversal (el cual subsecuentemente se

fragmenta en el hadron observado) y un jet no masivo, el espacio de fases disponi-

ble para el bremsstrahlung de gluon se reduce, generando correcciones logarıtmicas

grandes a la seccion eficaz partonica. Para ser mas especıficos, si consideramos la

seccion eficaz como una funcion del momento transverso pT del hadron, integrando

3

sobre toda rapidity, el umbral partonico se alcanza cuando√s = 2pT , siendo

√s la

energıa partonica de centro de masa (c.m.), y pT = pT/z el momento transverso del

parton producido que se fragmenta en el hadron, llevandose este ultimo una frac-

cion z del impulso del parton. Definiendo xT ≡ 2pT/√s, las grandes contribuciones

dominantes cerca de umbral aparecen, a k-esimo orden en teorıa de perturbaciones,

como αkS ln2k (1 − x2

T ), donde αS es la constante de acoplamiento fuerte. Suficiente-

mente cerca del umbral, la serie perturbativa solamente sera util si tales terminos

se toman en cuenta a todos los ordenes en αS, lo cual es llevado a cabo a traves

de la resumacion [11–13]. Esta resumacion ha sido derivada para numerosos casos

de interes al orden logarıtmico siguiente al dominante (next-to-leading logarithmic :

NLL). Por ejemplo, ha sido investigado tambien para produccion de jet [12, 14], el

cual posee los mismos canales partonicos que el proceso de produccion de hadron,

como analizaremos con detalle en el capıtulo 5 de este trabajo.

Ahora bien, como mencionaramos anteriormente, existe una riqueza adicional en

estudiar estos procesos de colision donde los hadrones iniciales se hallan polarizados.

Esta polarizacion podra ser tanto longitudinal como transversal. Los grados de li-

bertad de spin, pueden ser utilizados en los colisionadores hadronicos para obtener

informacion de las interacciones fundamentales de forma mas precisa que los obteni-

dos con haces no polarizados. Por citar un ejemplo, en el acelerador lineal de Stanford

(SLAC) fue posible determinar sin2θW con una precision mayor usando haces pola-

rizados de e+e− que en los experimentos del colisionador lineal de electron-positron

(LEP) con haces no polarizados [15].

Otro aspecto de la polarizacion es contestar a la pregunta de como el spin de ob-

jetos no puntuales como los nucleones esta compuesto por los spins de sus constitu-

yentes, los quarks y los gluones. Esta pregunta puede ser respondida en experimentos

de alta energıa donde los quarks y gluones se comportan como (casi) partıculas libres

a escalas de momento y energıa Q >> ΛQCD. Es posible atribuir numeros al conte-

nido de spin de quarks y gluones, ∆Σ y ∆g respectivamente, los cuales describen su

contribucion total al spin del nucleon. Desafortunadamente, estas cantidades no son

directamente medibles en los experimentos, y tenemos que acceder a ellas a traves de

mediciones indirectas como por ejemplo, las asimetrıas de spin. A raız de esto es que

4 CAPITULO 1. Introduccion

nos concentramos en calcular de forma precisa los procesos de colision de hadrones

polarizados, teniendo en cuenta las correcciones de los grandes logaritmos a NLL.

Analizaremos a lo largo de este trabajo procesos polarizados tanto longitudinal como

transversalmente donde, a partir del computo de las secciones eficaces se obtienen

predicciones para las mencionadas asimetrıas.

La presente tesis esta organizada de la siguiente manera: En el capıtulo 2, se rea-

liza una breve introduccion a la QCD perturbativa y la fısica de spin, mientras que

en el capıtulo 3 se detallan las tecnicas de resumacion umbral. El capıtulo 4 esta de-

dicado al analisis del proceso de produccion de hadron en colisiones no polarizadas el

cual nos servira como base en el estudio de los procesos polarizados. La polarizacion

longitudinal en la produccion tanto de hadron como de jet se analizan en el capıtulo

5, mientras que la polarizacion transversal se estudia en el capıtulo 6. Finalmente,

presentamos las conclusiones de este trabajo en el capıtulo 7 y luego tres apendi-

ces donde se compilan los valores relevantes para el calculo de las secciones eficaces

en los casos longitudinalmente polarizados de produccion de hadron y Jet (A y B,

respectivamente), y transversalmente polarizado de produccion de hadron (C).

Capıtulo 2

Introduccion a la Cromodinamica

cuantica y spin

Desde la antiguedad el hombre se ha esforzado en clasificar al mundo que le rodea

a traves de sus componentes. Por ejemplo, Empedocles en el siglo V AC postulo que

todo lo existente se podrıa obtener de la mezcla de agua, tierra, fuego y aire. Luego

Democrito fue el primero en indicar la existencia de atomos como una especie de

elementos indivisibles. En la actualidad, la fısica de partıculas elementales o la fısica

de altas energıas es el campo de la ciencia que se encarga de investigar estas partıculas

indivisibles y sus interacciones.

Hasta finales del siglo XIX el atomo era considerado como la partıcula elemen-

tal de la materia hasta que en 1897, J.J. Thomson descubre, en un tubo de rayos

catodicos, una partıcula mas liviana que el atomo y con carga negativa, el electron.

Esto indico que el atomo no era la partıcula elemental de la materia y que existıan

constituyentes mas pequenos. En 1911 E. Rutherford colisionando partıculas α con-

tra platino dilucida la estructura del atomo y concluye que este esta conformado por

un nucleo en su centro. Rutherford darıa el nombre de proton al nucleo del atomo

mas liviano, el hidrogeno. En 1932, J. Chadwick descubre el neutron como otro de

los constituyentes del nucleo. Por aquel tiempo las partıculas que habıan sido des-

cubiertas, tales como proton y neutron se creıan partıculas elementales. En 1935 H.

Yukawa predice la existencia del mediador de las fuerzas nucleares: el pion, el cual es

5

6 CAPITULO 2. Introduccion a la Cromodinamica cuantica y spin

descubierto en rayos cosmicos en 1947 por C. Powell, C. Lattes, y G. Occhialini. Hoy

en dıa entendemos que estas partıculas tambien poseen estructura interna y estan

conformadas por partıculas elementales a las cuales se las denomina partones.

En la actualidad se conocen cuatro fuerzas fundamentales, la gravitatoria, la elec-

tromagnetica, la interaccion nuclear debil y la interaccion nuclear fuerte. En la si-

guiente tabla, normalizando a 1 la intensidad de la fuerza nuclear fuerte, se ordenan

las fuerzas en orden decreciente segun su intensidad:1 2

Fuerza Intensidad Teorıa Mediador Alcance

Fuerte 1 Cromodinamica Cuantica Gluon 10−18 m

Electromagnetica 10−2 Electrodinamica Foton ∞Debil 10−6 Teorıa GWS W y Z 10−15 m

Gravitatoria 10−43 Relatividad Gral., Graviton ∞Teo. de Cuerdas ?

donde el mediador de la fuerza actua como portador de la interacion fundamental

en consideracion. Mas especificamente los mediadores son los bosones de Gauge de

la teorıa de campos que describe esa interaccion. Si bien la fuerza gravitatoria es la

fuerza dominate en el mundo macroscopico, es mucho mas debil que las demas fuerzas

y por lo tanto puede ser despreciada en la fısica de partıculas.

2.1. Cromodinamica cuantica.

El modelo de quarks fue introducido por M. Gell-Mann y G. Zweig en 1964 [16–18]

para explicar el espectro de varios hadrones. Propusieron que tanto el neutron como

el proton estaban constituidos por quarks up (u) y down (d). La idea de un numero

cuantico de color fue introducida para resolver conflictos con la estadıstica de Fermi

por M. Y. Han, Y. Nambu y O. Greenberg en 1965 [19, 20].

1La intensidad de una fuerza es una nocion ambigua, depende de la naturaleza de las partıclas,

cuan distantes estan y su energıa. Por lo tanto los numeros de esta tabla no deben ser tomados tan

literalmente. Se toma como ejemplo la interaccion entre dos quarks separados a 3 × 10−17m.2GWS proviene de las iniciales de Glashow, Weinberg y Salam.

2.1. Cromodinamica cuantica. 7

u d s c b t

Q 13

−23

−13

23

−13

−23

J 12

12

12

12

12

12

Iz12

−12

0 0 0 0

B 13

13

13

13

13

13

S 0 0 −1 0 0 0

C 0 0 0 +1 0 0

b 0 0 0 0 −1 0

T 0 0 0 0 0 +1

M 1,5 ∼ 4 MeV 4 ∼ 8 MeV 80 ∼ 130 MeV 1,15 ∼ 1,35 GeV 4,1 ∼ 4,9 GeV 174 ∼ 178 GeV

Tabla 2.1: Propiedades de los quarks up (u), down (d), strange (s), charm (c), bottom (b) y top (t).Q es la carga electrica, J su spin, Jz el isospin, B es el numero barionico, S la extraneza, C elnumero cuantico de charm, b el numero cuantico de bottom, T el numero cuantico de top y M lamasa.

M. Gell-Mann y Y. Nisijima introducen en 1953 la extraneza (quark strange (s))

como nuevo numero cuantico para explicar la observacion de lo que serıa la primer

partıcula extrana descubierta en 1947 en rayos cosmicos. Luego serıan producidas

nuevas partıculas extranas usando aceleradores en los anos 50’s. El quark charm (c)

fue predicho en 1970 por Glashow, Iliopoulos y Maiani. Mas tarde, en 1974 fue si-

multaneamente detectada la partıcula J/ψ (la primera que estaba compuesta por

quarks charm) en Centro del Acelerador Lineal de Stanford (SLAC) [21] y en Labora-

torio Nacional de Brookhaven (BNL) [22]. El quark bottom (b) fue descubierto en 1977

como estado ligado de quark y anti-quark por el experimento E288 en Fermilab [23].

La primera evidencia de gluones fue a traves de jet de gluones en 1978 por PETRA

en DESY [24]. Muchos anos despues, en 1994, se lograrıa observar el quark top (t) en

el Tevatron en Fermilab [25]. En la tabla 2.1 se muestran las propiedades de quarks.


2.1.1. El Lagrangiano en cromodinamica cuantica.

La Cromodinamica Cuantica (QCD = Quantum chromo dynamics) es uno de los

componentes del modelo estandar SU(3)×SU(2)×SU(1) siendo una teorıa de Gauge

no abeliana, la cual describe la interaccion fuerte entre quarks y gluones. Los quarks

ademas de poseer un sabor especıfico poseen uno de los tres colores; rojo, verde o azul,

mientras que los gluones pueden tener 8 posibles colores. Sin embargo los elementos

que observamos en la naturaleza carecen de color por lo tanto los quarks y gluones

deberan combinarse de forma tal de que las partıculas observables sean incoloras.

Tambien es posible pensar que tanto los quarks y los gluones no pueden ser observados

en forma directa por poseer esta caracterıstica. El lagrangiano correspondiente a QCD

que tiene en cuenta estas propiedades viene dado por:

LQCD = LCl + LF.G + LFant (2.1)

donde cada una de las contribuciones son el Lagrangiano clasico, el de fijado de gauge

y el de los fantasmas, en ese orden. Comencemos con el Lagrangiano clasico. Su

expresion es

LCl = −1

4F (a)

µν F(a)νµ + i

∑

q

ψiqγν(Dµ)ijψ

jq −

∑

q

mqψiqψqi, (2.2)

donde

F (a)µν = ∂µA

aν − ∂νA

aµ − gsfabcA

bµA

cν , (2.3)

(Dµ)ij = δij∂µ + igs

∑

a

λaij

2Aa

µ. (2.4)

donde ψiq(x) son las cuatro componentes del spinor de Dirac asociado al campo de

cada quark de color i y sabor q. Aaµ(x) es el campo (de Yang-Mills) para los gluones.

gs es la costante de acoplamiento para QCD y las fabc son las constantes de estructura

del algebra de SU(3).

El gran obstaculo para cuantizar el Lagrangiano clasico es su invariancia ante una

transformacion de gauge local, dado que es imposible definir el propagador del campo

gluonico sin hacer una eleccion de gauge. La solucion a este problema es agregar al


Lagrangiano original los dos terminos que figuran en la Ecuacion (2.1). Inicialmente

se agrega un termino de fijado de gauge. Hay una infinidad de maneras posibles de

elegir dicho termino; en la practica se recurre habitualmente a dos familias

LF.G = − 1

2λ(∂µAA

µ ) gauge covariante (2.5)

LF.G = − 1

2λ(nµAA

µ ) gauge axial (2.6)

donde λ es un numero real arbitrario. Para el caso de los gauges covariantes, con

λ = 1 se obtiene el gauge de Feynman, y con λ = 0 el gauge de Landau. En los

gauges axiales, eligiendo λ = 0 y n2 = 0 se tiene el llamado gauge del cono de luz. El

caracter no abeliano de la teorıa impone el agregado de un nuevo termino,

LFant = ∂µ(ηA)†DµABη

B (2.7)

donde los campos η son escalares complejos que obedecen la estadıstica de Fermi.

Dichos campos se denominan fantasmas; son simplemente un artilugio para cancelar

la propagacion de grados de libertad no fısicos, y por lo tanto su rol es preservar la

unitariedad de la matriz de scattering. La utilidad de los gauges covariantes radica

en el hecho de que el propagador del gluon adopta una forma muy simple, mientras

que los gauges axiales tienen la ventaja de que no hay que incluir campos fantasmas.

Para un mayor detalle sobre la cuantizacion de una teorıa de gauge no-abeliana y la

introduccion del fijado de gauge y los campos fantasma, se sugiere recurrir a libros

de texto de introduccion a la teorıa de campos, como por ejemplo [26].

Por lo tanto, las reglas de Feynman estaran dadas de la siguiente forma:


B, ν C, ρ

A, µ i δAB

k2+iǫ[−gµν + (1 − λ) kµkν

k2+iǫ]B, ν

A i δAB

k2+iǫB

a , i i δab

k2−m2+iǫ( 6k +m)jib , j

A , µ

b , i c , j

−igtAcbγµji

A, µ

qp

r

A, µ B, ν

D, σC, ρ

−ig2fEADfEBC[gµνgρσ − gµρgνσ]

−ig2fEABfECD[gµρgνσ − gµσgνρ]

−ig2fEACfEBD[gµνgρσ − gµσgνρ]

(q − r)µgνρ + (r − p)gρµ]

−gfABC[(p− q)ρgµν+

k

k

k

gfABCqµ

A , µ

B Cq

Figura 2.1: Reglas de Feynman para los propagadores gluonicos, fermioni-cos y para los fantasmas de Fadeev-Popov y los acoplamientos entre: i)dos fermiones y un gluon. ii) dos fantasmas y un gluon. iii) tres gluones

y iv) cuatro gluones.


2.1.2. Divergencias ultravioletas. Renormalizacion

Al calcular ordenes mas altos en teorıa de perturbaciones inevitablemente encon-

traremos divergencias en las integrales sobre loops. Estas divergencias usualmente

provienen del alto lımite en el impulso de dichas integrales, razon por la cual se deno-

minan divergencias ultravioleta (UV). Por otro lado, si existen partıculas no masivas

en la teorıa se hallan otras divergencias debido al bajo lımite del impulso en las

integrales sobre loops. A estas ultimas divergencias se las denomina infrarrojas (IR).

Como primer paso, concentremos nuestra atencion en las divergencias UV. La ex-

presion correspondiente a un diagrama tıpico, como el de la fig. (2.2), puede escribirse

como:

∼∫

d4k1d4k2 . . . d

4kL

(/ki −m) . . . (k2j ) . . . (k

2n). (2.8)

Para cada loop hay una integral sobre el cuadri-impulso potencialmente divergen-

te. Informalmente, el diagrama diverge a menos que hayan mas potencias del impulso

en el denominador que en el numerador. Por esta razon se define el grado superficial

de divergencia D como la diferencia de potencias del impulo en el numerador y el

denominador. Ingenuamente uno espera que un diagrama que tenga una divergencia

proporcional a ΛD, donde Λ es un momento de corte (cutoff), cuando D > 0. Esto

no es generalmente cierto debido a varias razones. Cuando un diagrama contiene un

subdiagrama divergente su divergencia puede ser peor que la indicada por D. Cuando

ciertas simetrıas (tal como las identidades de Ward) provocan la cancelacion de termi-

nos la divergencia puede ser reducida o incluso eliminada. Finalmente, un diagrama

trivial sin loops ni propagadores tiene D = 0 y sin embargo no posee divergencia.

Es por esto que uno debe centrar su atencion en los diagramas irreducibles de una

partıcula para evaluar si realmente un diagrama es divergente o no. Para mas detalles

se recomienda ver la referencia [26].

Mas alla de esta pequena discusion, el proceso que debe realizarse para eliminar

dichas divergencias es el de renormalizacion. Dicho proceso consta en dos etapas, la

regularizacion y la renormalizacion. La primera consiste en introducir ciertos parame-

tros denominados reguladores, que se insertan con el objetivo de volver finita a la


Figura 2.2: La simple interaccion entre foton-electron en QED que de-termina la carga del electron, contiene diagramas mas complejos donde

hay varios loops.

integral divergente. La segunda consiste en absorver dentro del Lagrangiano original

a estos nuevos parametros que han sido introducidos. Si bien obtendremos que hemos

eliminado la divergencia, inevitablemente introduciremos en nuestra teorıa una nueva

escala de energıa completamente arbitraria µR llamada escala de renormalizacion.

Esta nueva escala puede diferir en distintas integrales y es necesario especificar un

conjunto de reglas. A tal conjunto de reglas se lo denomina esquema de renormaliza-

cion, siendo el esquema de sustraccion mınimo modificado (MS) el que utilizaremos

a lo largo de esta tesis.

2.1.3. Divergencias Infrarrojas.

Como hemos mencionado en la seccion anterior existen, ademas de las divergencias

de caracter ultravioleta, las diverencias infrarrojas (IR). Para describir estas diver-

gencias consideremos, por ejemplo, el proceso de aniquilacion de electron-positron.

Este es un excelente candidato para analizar y desarrollar herramientas que nos

permitan calcular otros procesos en QCD, dado que podemos comparar el proceso

e+e− → hadrones con el puramente electromagnetico e+e− → µ+µ−. La aniquila-

cion de electron-positron en hadrones no contiene color en el estado inicial y sabemos

del teorema de Kinoshita, Lee y Nauenberg [27] que, a cualquier orden en teorıa de

perturbaciones, si sumamos (integramos) sobre todos los estados finales de quark y

gluon el resultado es finito incluso para quarks y gluones no masivos. Sin embargo la


contribucion a la seccion eficaz total para, por ejemplo, la emision real de un gluon

e+e− → qqg es infinita3. Este infinito es cancelado por las correciones de gluon virtual

dando lugar a una seccion eficaz total finita. Veamoslo con algo mas de detalle.

Consideremos un “decaimiento” de foton en par quark-antiquark y un gluon real.

Las dos amplitudes para este proceso se muestran en la figura (2.3).

− i e e( )qγµ

iq , p , s1 1

q , p , sj 2 2

νε’3g , pa

γ , q , εµ∗

ap s( − i g γν ijT )a

iq , p , s1 1

q , p , sj 2 2

γ , q , εµ∗

− i e e( )qγµ

s( − i g γν ijT )a

3g , p νε’a−

bp

A R B R

Figura 2.3: Amplitudes para el ”decaimiento”de un foton virtual en unpar quark-antiquark y un gluon real.

El elemento de matriz al cuadrado promediado sobre spin sera de la forma:

|M(γ∗ → qqg)|2 = |AR|2 + |BR|2 + 2ARB∗R, (2.9)

donde AR y BR se refieren a las amplitudes de los diagramas de la figura (2.3). Ası por

ejemplo,

|AR|2 = 32e2e2qg2s

(1 − x2)

(1 − x1), (2.10)

donde xi = 2Ei/Q es la fraccion adimencional de energıa (1 = quark, 2 = anti-quark, 3 =

gluon), siendo Q la energıa de centro de masa. De esta forma resulta

|M(γ∗ → qqg)|2 = 32e2e2qg2s

x21 + x2

2

(1 − x1)(1 − x2). (2.11)

3Igualmente notemos que este proceso no constituye un observable.


Ahora si queremos calcular la seccion eficaz de emision real de gluon tendremos

que realizar la integral

σ(real) =2αs

3πσ0

∫ 1

0

dx1

∫ 1

1−x1

dx2x2

1 + x22

(1 − x1)(1 − x2), (2.12)

donde αs = g2s

4πla constante de acoplamiento fuerte y σ0 es la seccion eficaz Born. La

seccion eficaz diverge para x1 o x2 tendiendo a 1 y su resultado es infinito. El origen

de esta divergencia es claro. Consideremos, por ejemplo, el invariante de Mandelstan

t = (p2 − p3)2 = Q2(1 − x1) en el lımite no masivo,

t = 2p2 · p3 = 2E2ω(1 − cos θ23), (2.13)

donde θ23 es el angulo entre ~p2 y ~p3 y E2 y ω son las energıas del quark y del gluon

salientes, respectivamente. La amplitud al cuadrado de la ec. (2.9), y por lo tanto

la seccion eficaz diferencial, diverge cuando t → 0, lo cual ocurre cuando la energıa

del gluon tiende a cero (divergencia “soft”) o cuando el quark y el gluon se emiten

paralelos (divergencia “colineal”).

El primer tipo de divergencia esta referido a una divergencia infrarroja (ocurre

en el lımite mg → 0 y mq 6= 0, donde mg y mq son las masas del gluon y del quark

respectivamente), mientras que el segundo esta referido a una singularidad de masa

(ocurre en el lımite mg → 0 y mq → 0).

Con el objeto de resolver este inconveniente debemos proceder a regularizar de al-

guna forma las divergencias infrarrojas y las singularidades de masa. Dado que ningun

observable puede depender de como realicemos nuesta regularizacion escogeremos una

masa ficticia mg para el gluon. De esta manera si bien las integrales no son directas

uno arriba a

σMG(real) =2αs

3πσ0

log2(β) + 3 log(β) − π2

3+ 5

, (2.14)

donde β = m2g/Q

2 y hemos despreciado los terminos que se anulan cuando β → 0.

Si bien uno no ha podido cancelar las divergencias nos resta incluir aun las corre-

ciones virtuales de gluon. Estas contribuciones se muestran en la figura (2.4).


γ , q , εµ∗

− i e e( )qγµ

q , p , s1 1

q , p , s2 2j

−l

k

a

s( − i g γ T )a

s( − i g

jiα pb

i i γ T )a

pa

ilβ

q , p , s1 1

− q , p , s2 2

gs

gs

γ , q , εµ∗

e eq

q , p , s1 1

− q , p , s2 2

gs

gs

γ , q , εµ∗

e eq

Figura 2.4: Correcciones radiativas debido a un gluon virtual.

El calculo de estas correciones virtuales da como resultado:

σMG(virtual) =2αs

3πσ0

− log2(β) − 3 log(β) − 2π2

3− 7

2

, (2.15)

donde β = m2g/Q

2 y Q2 = −q2 > 0. O escrito en terminos de β:

σMG(virtual) =2αs

3πσ0

− log2(β) − 3 log(β) +π2

3− 7

2

, (2.16)

Notemos que al sumar las contribuciones de la radiacion real y virtual ambos

terminos logarıtmicos log2 β y log β se cancelan dando un resultado finito cuando

mg → 0. Por lo tanto la seccion eficaz total sera simplemente σe+e−

tot = σ0(1+ αs

π+ . . . ).

Como se ha discutido en la seccion anterior 2.1.2, las divergencias UV de ordenes

mas altos pueden ser absorvidas en la definicion de la constante de acoplamiento

resultando en

σe+e−

tot = σ0(1 +1

παs(Q

2) + . . . ), (2.17)

donde αs(Q2) = 4π/(β0 log(Q2/Λ2)) es el conocido “running” de la constante de

acoplamiento como veremos a continuacion y Λ es el parametro de escala que separa

la QCD perturbativa con la no perturbativa.


2.1.4. Libertad asintotica y confinamiento de color.

La pregunta que naturalmente surge es ¿que podemos hacer con una teorıa que

tiene un parametro arbitrario µ dentro de ella? El procedimiento para obtener predic-

ciones experimentales es el siguiente. Asumamos, por simplicidad, que tenemos una

teorıa no masiva con una sola constante de acoplamiento g. Si calculamos su seccion

eficaz σ(p, µ), con p que denota el impulso de las partıculas involucradas, la teorıa

de perturbaciones para σ siempre tendra integrales divergentes UV. Por lo tanto si

renormalizamos la serie perturbativa sera de la forma:

σ(p, µ) =A∑

n=1

an(p, µ)g2n, (2.18)

donde A es el orden mas grande que somos capaces de calcular y an son los coeficientes

resultantes de ese computo. Ahora si midiesemos σ(p, µ) para algun conjunto de

momentos p y fijaramos µ como quisiesemos, entonces podrıamos resolver la ec. (2.1.4)

para g con un resultado que lo denotamos como g(µ) (g(µ) tambien es funcion de p

y A). Ası podemos calcular σ para cada valor de p, por lo tanto, haciendo un solo

experimento podremos obtener predicciones para todo un conjunto de experimentos.

Y no solo eso, si g es el unico parametro en la teorıa, tendremos predicciones para

cada seccion eficaz en la teorıa para las cuales estemos dispuestos a calcular su serie

perturbativa.

Ahora dado que σ(p, µ) es una cantidad fısica debe ser independiente de nuestra

eleccion de µ, lo que nos lleva a la ecuacion:

µdσ(p, µ)

dµ= 0, (2.19)

donde debemos recordar que debemos mantener la dependencia de µ en g(µ). Esta

ecuacion se mantiene siempre y cuando tengamos la solucion exacta de la teorıa. Si

aplicamos teorıa de perturbaciones y nos quedamos hasta un orden finito de la ec.

(2.1.4), entonces tendremos errores del orden de los terminos no calculados en la serie

perturbativa. Por lo tanto esta aproximacion sera util siempre y cuando la constante

de acoplamiento sea pequena.


La dependencia en la escala de renormalizacion de la constante efectiva de aco-

plamiento αs = g2s

4πes controlada por la funcion β de la siguiente forma:

µ∂αs

∂µ= 2β(αs) = −β0

2πα2

s −β1

4πα3

s −β2

64πα4

s − . . . , (2.20)

β0 = 11 − 2

3nf , (2.21)

β1 = 51 − 19

3nf , (2.22)

β2 = 2857− 5033

9nf +

325

27n2

f . (2.23)

donde µ es la escala de renormalizacion y nf es el numero de sabores. La solucion

de la ecuacion (2.20) se suele expresar como una expansion en serie de potencias de

la inversa del ln(µ2) como:

αs =4π

β0 ln(µ2/Λ2)

1 − 2β1

β20

ln[ln(µ2/Λ2)]

ln(µ2/Λ2)+ (2.24)

+4β2

1

β40 ln2(µ2/Λ2)

[

(

ln[ln(µ2/Λ2)] − 1

2

)2

+β2β0

8β21

− 5

4

]

,

donde Λ es el parametro de escala de QCD. Es claro de la ecuacion (2.24) que αs tiende

a 0 cuando µ2 tiende a infinito. Esto indica que cuando dos quarks estan cercanos

entre sı la fuerza fuerte es relativamente pequena mientras que si ambos quarks estan

alejados la fuerza se torna de gran intensidad. Esta fuerza es tal que a una dada

distancia de separacion entre quarks es energeticamente mas favorable producir un

nuevo par quark-antiquark que seguir separandolos. Como resultado de esto, cuando

se crean quarks en los aceleradores en lugar de observar quarks se observan jets de

partıculas neutras en color. El proceso de formacion de hadrones a partir de quarks

se denomina hadronizacion o fragmentacion.

La interaccion entre quarks a cortas distancias, o equivalentemente a altas energıa,

es relativamente debil permitıendoles comportarse como partıculas cuasi-libres y no

interactuantes. A esta propiedad se la conoce como libertad asintotica. Sucede lo

opuesto a grandes distancias, la interacion es de gran intensidad impidiendo que los


quarks puedan ser aislados (por lo tanto es imposible observarlos directamente). Este

fenomeno se conoce como confinamiento de color. El comportamiento de αs con la

energıa puede observarse en el siguiente grafico4:

Figura 2.5: Region perturbativa de αs(µ) en funcion de µ. Se muestra el valor central conlınea discontinua. Las lıneas continuas representan los valores distantes a ±σ. Claramente seobserva el decreciemiento de αs cuando µ aumenta. Tambien se grafican (en orden crecienteen µ) los datos experimentales correspondientes a: anchos de µ y τ , decaimiento de Υ, DIS,datos de eventos de e+e− a 22 GeV de JADE y a 58 GeV de TRISTAN, ancho de Z y

eventos e+e− a 135 y 189 GeV.

La libertad asintotica fue descubierta por D. Gross, F. Wilczek y D. Politzer en

1973 [28, 29]. Por dicho trabajo se les otorgo el Premio Nobel en 2004. Debido a la

libertad asintotica es posible calcular observables, como por ejemplo la seccion eficaz,

de forma perturbativa, esto es:

σ = A1 αs + A2 α2s + A3 α

3s + . . . (2.25)

donde los coeficientes Ai deben ser calculados a traves de los diagramas de Feynman

correspondientes. Este metodo se conoce como cromodinamica cuantica perturbativa

4Esta figura fue tomada del Particle Data Group.


(pQCD). Basicamente puede aplicarse este metodo perturbativo cuando la escala µ

es mayor a 1 GeV.

2.1.5. Cromodinamica cuantica perturbativa.

La interacion de hadrones a altas energıas se describe en QCD a traves del modelo

de partones [30]. En este modelo, el proceso de hard scattering entre los dos hadrones

es representado como la interaccion de los quarks y gluones que constituyen cada

uno de los hadrones colisionantes. Por medio del teorema de factorizacion, la seccion

eficaz, por ejemplo de produccion de un hadron h en colision de protones, se puede

escribir entonces como:

dσpp→hX

dP=∑

a,b,c

∫ 1

0

dx1 fpa

(

x1, µ2)

∫ 1

0

dx2 fpb

(

x2, µ2)

∫ 1

0

dzdσab→cX

dP(x1p1, x2p2, ph, µ)Dh/c

(

z, µ2)

+ O((

Λ

Q

)n)

.

(2.26)

siendo Q la energıa tıpica del proceso y P corresponde a alguna variable cinematica

apropiada para el proceso. Los terminos que rompen la factorizacion pueden despre-

ciarse cuando esta energıa es mucho mayor a Λ. f pa (x1, µ

2) es la funcion de distribucion

de partones y representa la probabilidad de encontrar a un parton a dentro del proton

p con una fraccion x1 del impulso p1 inicial del proton. Aquı µ es la escala de facto-

rizacion, o sea la escala a la cual puede separarse la seccion eficaz en dos terminos:

uno de interaccion hard entre partones (region perturbativa) y otro correspondiente

a la estructura de los hadrones que dan origen a los partones mencionados (region no

perturbativa). dσab→cX

dPcorresponde a la seccion eficaz partonica de la interaccion de

los partones a y b que da como resultado un parton c mas algun otro parton cual-

quiera que tambien se hadronizara pero no sera observado. A todos estos productos

de la colision que no son el hadron h observado los representamos como X. Final-

mente Dh/c (z, µ2) es la probabilidad de que el parton c se hadronice en el hadron h,

llevandose este una fraccion z del impulso del parton c. A la funcion Dh/c se la llama

funcion de fragmentacion. Podemos representar graficamente el contenido fısico de la

ec. (2.26) en la figura (2.6):


P

P

f a

bf

p

p

p

p1

2

1x p1

2p2x

D c

h

h

ph

^σ

X

Figura 2.6: Representacion de la colision pp → hX. Se muestran lasfunciones de distribucion de partones fp

i , la funcion de fragmentacionDh

c y la seccion eficaz partonica σ.

Podemos ver entonces que la ec. (2.26) consta de tres partes, la relacionada a las

funciones de distribucion de partones, la relacionada a la funcion de fragmentacion

y la que contiene la seccion eficaz partonica. La funcion de distribucion de partones

y la funcion de fragmentacion representan los constituyentes intrınsecos del proton y

el mecanismo de hadronizacion respectivamente. Ambas estan fuera del alcance de la

pQCD y no pueden ser calculadas perturbativamente desde primeros principios. Por

otro lado la seccion eficaz partonica sı puede ser calculada de forma perturbativa.

2.1.6. Funciones de distribucion de partones.

Con el fin de analizar como es posible obtener las funciones de distribucion de

partones es util considerar el proceso de colision inelastica profunda (DIS =Deep

Inelastic Scattering) donde un electron colisiona con un proton. En el esquema (2.7) se

muestra el proceso de DIS al orden mas bajo en teorıa de perturbaciones y suponiendo

que este esta dominado por el intercambio de un foton.

Es habitual en este tipo de procesos escribir la seccion eficaz en terminos de la

contraccion de dos tensores, uno leptonico y otro hadronico. Si consideramos el caso

mas sencillo donde no hay polarizacion, el tensor hadronico puede ser escrito mediante


X

x P

Proton

P

’

k k’

q

l l’

q q’

γ∗

Figura 2.7: Esquema de la colision de DIS lp → l′X.

dos funciones de estructura W1(Q2, ν) y W2(Q

2, ν) [31]:

Wµν = −W1(Q2, ν)(gµν −

qµqνq2

) +W2(Q

2, ν)

m2p

(pµ − p · qq2

qµ)(pν −p · qq2

qν), (2.27)

donde q es el cuadri-impulso del foton intercambiado, p y mp son el cuadri-impulso y

la masa del proton respectivamente. Los invariantes del Lorentz Q2 y ν estan dados

por:

Q2 ≡ −q2 = −(k − k′)2, ν = p.q/M. (2.28)

Ahora bien, si introducimos las variables de escala:

x ≡ Q2

2mp ν=

Q2

2p · q , y ≡ ν

E, (2.29)

donde x representa la fraccion de impulso del proton llevada por el quark e y el

cociente entre la energıa transferida y la energıa del haz de leptones. Estas variables

estan acotadas con 0 ≤ x ≤ 1 y 0 ≤ y ≤ 1. Ası cuando y = 1 toda la energıa del

electron es transferida por el foton.

Como es costumbre se reemplaza W1 y W2 por las funciones de estructura F1 y


F2 que estan definidas de la forma siguiente:

F1(x,Q2) = W1(x,Q

2),

F2(x,Q2) =

ν

mpW2(x,Q

2). (2.30)

En el lımite de Bjorken, se observa que estas funciones de estructura dependen

de una sola variable. Explıcitamente, cuando Q2 → ∞ y ν → ∞ de forma tal que x

permanezca fijo se cumple que:

limBj mPW1(ν,Q2) = F1(x), limBj νW2(ν,Q

2) = F2(x). (2.31)

Ası, en este lımite, las funciones de estructura se vuelven independientes del valor

particular de Q2 y se lo conoce como escaleo (scaling) de Bjorken. En el modelo

partonico naive las funciones de estructura tienen una interpretacion clara y pueden

ser escritas en la forma:

F1(x) =1

2

∑

i

e2qifi(x), (2.32)

F2(x) = x∑

i

e2qifi(x), (2.33)

donde la suma se realiza sobre todos los posibles partones que constituyen el nucleon.

Aquı eqies la carga del parton del tipo i y la distribucion fi(x) es la probabilidad de

encontrar a un parton de tipo i llevando una fraccion x del impulso total del nucleon.

A las distribuciones de partones fi(x) las denominaremos pdfs (parton distribution

functions). De las ecuaciones (2.32) y (2.33) es facil ver que se satisface la relacion de

Callan-Gross:

2 xF1(x) = F2(x). (2.34)

Estas relaciones son exactas en el modelo de partones naive, donde se tratan

a los quarks como partıculas libres, no interactuantes, de spin 1/2 que se mueven

colinealmente con el proton. En QCD este escaleo no se cumple debido a logaritmos de

Q2. La razon es debido a que el momento transverso del parton no es necesariamente

pequeno. Como veremos mas adelante un quark puede emitir un gluon y adquirir un

momento transverso kT con probabilidad proporcional a αS dk2T/k

2T para pequenos

kT .


Debemos notar que gracias al teorema de factorizacion [32] las distribuciones de

partones seran de gran utilidad debido a que nos permite escribir una seccion eficaz

cualquiera como convolucion de pdfs con las secciones eficaces partonicas. Por ejemplo

en el caso de DIS:

σ(eP −→ eX) =

∫ 1

0

dx∑

i

fi/P (x,Q2) σ(ei −→ eX), (2.35)

donde debemos sumar sobre todos los partones i dentro del proton, tanto de valencia

como de mar. σ es la seccion eficaz partonica que puede ser calculada en teorıa de

perturbaciones.

Si bien estas pdfs no pueden calcularse de primeros principios y son fundamen-

talmente no perturbativas, el hecho remarcable es que son universales, es decir, son

independientes del proceso en cuestion. Por lo tanto, pueden ser ajustadas a traves

de procesos sencillos (tales como DIS) para luego poder ser utilizadas para procesos

mas complejos.

Ahora bien, al incluir las correciones al modelo naive debida a los gluones sur-

ge el incoveniente de que las pdfs no pueden distinguir entre un parton hard y un

parton hard mas uno soft o cuando tenemos dos partones colineales. Esto genera una

cancelacion incompleta de divergencias IR, sobreviviendo las divergencias colineales.

Exactamente como en el caso de la renormalizacion de la constante de acoplamien-

to, podemos absorver las singularidades en una distribucion desnuda a una escala de

factorizacion µF , la cual juega un rol similar al de la escala de renormalizacion.

Con dos escalas con las cuales tratar, resulta sorprendente que se puedan hacer

calculos predictivos precisos. La forma usual de lidiar con estas escalas es variarlas

entre Q20/2 y 2Q0, donde Q0 es un valor de energıa tıpico que depende del proceso

que estemos considerando. El valor central se considerara cuando µR = µF = Q0. Al

realizar este tipo de variaciones con respecto al valor central obtendremos “bandas”

que se consideraran como una estimacion de la incerteza teorica debido a las escalas.

Debemos notar que a medida que uno puede calcular ordenes cada vez mas altos en

teorıa de perturbaciones, esta incerteza se reduce dado que la introduccion de estas

escalas es simplemente un artificio para poder calcular perturbativamente.

Dado que la funcion de estructura F2 es un observable, no podra depender de la


escala de factorizacion, lo cual puede escribirse como:

µ2F

dF2(x,Q2)

dµ2F

= 0. (2.36)

A partir de la ec. (2.36) podemos calcular la evolucion de las pdfs a traves de

las ecuaciones de Dokshitzer-Gribov-Lipatov-Altarelli-Parisi (DGLAP) [33–36]. Cal-

culando la dependencia en Q2, o en la variable t = ln(

Q2

µ2

)

, se obtiene:

dqi(x, t)

dt=

αs(t)

2π

∫ 1

x

dy

y

2Nf∑

j=1

qj(y, t)Pqiqj

(

x

y

)

+ g(y, t)Pqig

(

x

y

)

, (2.37)

dg(x, t)

dt=

αs(t)

2π

∫ 1

x

dy

y

2Nf∑

j=1

qj(y, t)Pgqj

(

x

y

)

+ g(y, t)Pgg

(

x

y

)

, (2.38)

donde las funciones de separacion Pab representan la probabilidad de que un parton

del tipo b emita otro parton del tipo a con una fraccion de impulso del parton inicial

x/y. Por ejemplo, la figura (2.8) muestra la funcion de separacion de un parton con

impulso p que se separa en otros dos, uno de ellos lleva una fraccion z del impulso

mientras que el otro, por conservacion, lleva la fraccion restante 1 − z.

Pq(p)

q(zp)

g((1−z)p)

qq(z)g(z)

q(zp)

q((1−z)p)

qgP (z)

Figura 2.8: Esquema de la separacion de a) q(p) → q(zp)g ((1 − z)p) yb) g(p) → q(zp)q ((1 − z)p). Las funciones de separacion correspondientes son

a) Pqq(z) y b) Pqg(z).

Obviamente debe verificarse que z ≤ 1. Es facil notar las siguientes propiedades:

Pqq(z) = Pgq(1 − z),

Pqg(z) = Pqg(1 − z), (2.39)

y Pgg(z) = Pgg(1 − z).


Tambien para garantizar que el momento de un hadron permanecera constante debe

cumplirse:

∫ 1

0

dz z [Pqq(z) + Pgq(z)] = 0, (2.40)

∫ 1

0

dz z [2NfPqg(z) + Pgg(z)] = 0, (2.41)

donde Nf es la cantidad de sabores.

A LO estas funciones de separacion adquieren la forma:

P (0)qiqj

(z) = δijP(0)qq (z), (2.42)

P(0)qiqj

(z) = 0, (2.43)

P (0)qq (z) =

8

3

[

1 + z2

[1 − z]++

3

2δ(1 − z)

]

, (2.44)

P (0)qig

(z) =1

NfP (0)

qg (z) = z2 + (1 − z)2, (2.45)

P (0)gq (z) =

8

3

[

1 + (1 − z)2

z

]

, (2.46)

P (0)gg (z) = 12

[

z

[1 − z]++

1 − z

z+ z(1 − z)

]

(2.47)

+

(

44

9− 2

3Nf

)

δ(1 − z). (2.48)

Donde el subındice + en el ultimo termino de la ecuacion anterior se refiere a las

distribuciones ’+’, definidas como

(F (x))+ ≡ lımβ→0

F (x)θ(1 − x− β) − δ(1 − x− β)

∫ 1−β

0

F (y)dy

. (2.49)

donde θ(x) es la funcion de Heaviside. Otra forma de definir estas distribuciones ’+’,

que tal vez sea mas util dada nuestras expresiones es a traves de la convolucion:

∫ 1

0

dxf(x)+g(x) =

∫ 1

0

dxf(x)(g(x) − g(1)). (2.50)

Las funciones de distribucion de partones son extraıdas de los distintos resultados

experimentales y su modelado es de gran importancia ya que permiten describir la


estructura partonica de los nucleones. En la figura (2.9) se observa el resultado de

la extracion de la distribucion de partones a partir de los datos experimentales de la

funcion de estuctura F2. Cabe destacar que esta figura representa uno de los grandes

exitos de la QCD perturbativa, por al altısimo grado de acuerdo que hay antre los

resultados experimentales y las predicciones teoricas.

Existen dos grupos destacados en lo que a funciones de distribucion de partones no

polarizados se refiere, uno de ellos es el grupo compuesto por A. Martin, R. Roberts,

W.Stirling y R. Thorne (MRST) (actualmente MSTW) [37] y el otro es el grupo del

proyecto coordinado teorico-experimental en QCD (CTEQ) [38].

La figura (2.10) muestra las funciones de distribucion de partones del grupo

CTEQ(2002): Las funciones de distribucion de MRST(2001) no poseen grandes dife-

rencias con los resultados de CTEQ, excepto por el valor de la distribucion de gluones

como puede observarse de la figura (2.11). Si bien ambos sets utilizan escencialmente

los mismos resultados experimentales el tratamiento de los errores es algo distinto.

La diferencia en cuanto a los datos experimentales es que CTEQ no incluyen en su

analisis ni los datos de SLAC, debido a que son datos a valores de Q2 pequeno, ni

tampoco utilizan los datos de produccion de quark charm en HERA dado que los

errores son grandes.

A lo largo de esta tesis utilizaremos las pdfs tanto del grupo de MRST como

de CTEQ en las colisiones no polarizadas. En cuanto a las colisiones polarizadas,

utilizaremos las pdfs de dos grupos, a saber, el de “de Florian- Sassot” (DS) [39],

el de “de Florian- Sassot- Startmann- Vogelsang” (DSSV) [40] y el de “Gluck-Reya-

Stratmann-Vogelsang” (GRSV) [41], etc. El analisis de dichas pdfs se describe en el

capıtulo 5.


Figura 2.9: Resultados experimentales de la funcion de estructura F2 dela colaboracion de HERA y de experimentos de blanco fijo. Los datos sepresentan como funcion de Q2 para varios valores fijos de x. Tambien

se muestran los resultados del ajuste de QCD a NLO.


Figura 2.10: Funciones de distribucion de partones CTEQ6M a NLO paraQ = 2GeV (izq.) y Q2 = 100GeV (der.) del grupo CTEQ.

Figura 2.11: Comparacion de las funciones de distribucion de partones de los setsCTEQ6M y MRST2001 a NLO para Q = 2GeV.


2.1.7. Funciones de Fragmentacion.

Tal como hemos mencionado, la funcion Dhc (z, µ2) representa la probabilidad de

que un parton del tipo c se hadronice en un hadron h llevando una fraccion z del

impulso del parton c. La evolucion de estas funciones esta dada por las ecuaciones

integro-diferenciales de DGLAP:

dDhq (z, t)

dt=

αs(Q2)

2π

∫ 1

z

dy

y

[

Dhq (y, t)Pqq

(

z

y

)

+ 2fDhg (y, t)Pgq

(

z

y

)]

,(2.51)

dDhg (z, t)

dt=

αs(Q2)

2π

∫ 1

z

dy

y

[

Dhq (y, t)Pqg

(

z

y

)

+Dhg (y, t)Pgg

(

z

y

)]

, (2.52)

donde t esta definido como en la ecuacion (2.37).

Es importante remarcar tambien que las funciones de fragmentacion cumplen con

la regla de suma de conservacion del impulso:

∑

h

∫ 1

0

z Dhq (z,Q2) = 1, (2.53)

que analogamente tambıen se verifica para la distribucion gluonica Dhg (z,Q2). Note-

mos que esto implica que todos los partones se hadronizan. Ası como las pdfs, las

funciones de fragmentacion tambien son extraıdas de resultados experimentales da-

do que no pueden ser obtenidas de primeros principios. Aquı dos de los grupos mas

distinguidos son el de S. Albino, B. Kniehl y G. Kramer (AKK) [42] y el compuesto

por D. de Florian, R. Sassot y M. Stratmann (DSS) [43]. En la extraccion de las

funciones de fragmentacion se utilizan los datos experimentales de diferentes proce-

sos: aniquilacion de electron-positron de SLD, ALEPH, DELPHI y TPC, ”tagging

probabilities”ηpi (xp)

5 de OPAL y en el caso del set de DSS tambien se incluye la

produccion de hadron inclusivo en colisiones proton-proton en BNL-RHIC y SIDIS

(Semi Inclusive DIS).

La figura (2.12) muestra las funciones de fragmentacion DSS para el proton

Dpi (z,Q

2) a Q2 = M2Z . Los resultados del ajuste concuerdan bien para la combi-

nacion de singlete zDpΣ con otras extracciones previas basadas solamente en datos de

5ηpi (xp) representa la probabilidad de que un quark de sabor i produzca un jet que contenga al

proton (anti-proton) con una fraccion de momento z mayor que xp.


aniquilacion de electron-positron, aunque se encuentran diferencias significativas en

la funcion de fragmentacion de gluon, la cual esta restringida no solo por la dependen-

cia de escala sino tambien por los datos experimentales de STAR. Tambien se puede

observar la diferencia con los resultados de AKK en el cuadro inferior de la figura.

Figura 2.12: Resultados para la funcion de fragmentacion del proton Dpi (z, Q2) a

Q2 = M2Z para DSS. En el cuadro inferior se observa la comparacion con los valores

de AKK.

2.2. Spin.

Si bien la fısica de spin puede ser utilizada en colisiones hadronicas de alta energıa

para obtener informacion de las interacciones fundamentales de forma mas precisa que

con haces no polarizados, el aspecto mas relevante quizas sea contestar a la pregunta

de como el spin de partıculas no elementales (proton, neutron, etc.) esta formado

por el spin de sus constituyentes (quarks y gluones). Ciertamente la mejor respuesta

provendra de experimentos de altas energıas donde los quarks y gluones se comportan

como partıculas cuasi-libres.

2.2. Spin. 31

Es usual describir el spin de un nucleon de la siguiente forma:

1

2=

1

2∆Σ + ∆g + Lz , (2.54)

el lado izquierdo de la ec. (2.54) es el spin (+12) del nucleon mientras que en el lado

derecho tenemos la descomposicion de acuerdo a sus constituyentes quarks ∆Σ(Q2)

y gluones ∆g(Q2) mas el impulso angular Lz correspondiente. Mas aun, la canti-

dad ∆Σ(Q2) puede ser descompuesta en terminos de las varias especies de quarks,

∆Σ = ∆u + ∆d + ∆s + ∆u + . . . . Desafortunadamente la descomposicion de la ec.

(2.54) no puede ser medida directamente de los experimentos. En su lugar aparecen

combinaciones entre ∆Σ y ∆g. La pregunta es entonces ¿como extraer la informa-

cion del spin de los constituyentes? Nuevamente analicemos el proceso de colision

inelastica profunda pero considerando ahora que tanto el nucleon como el lepton

estan polarizados, inmediatamente veremos porque esto es importante.

En el proceso de DIS no polarizado (donde hemos promediado sobre spin) descripto

en la seccion 2.1.6 mencionamos que la seccion eficaz es proporcional al producto de

los tensores leptonico Lµν y hadronico Wµν , donde ambos tensores son simetricos. Si

consideramos ahora el proceso polarizado, existira una nueva contribucion en cada

uno de los tensores debida al spin. Formalmente para el tensor leptonico:

Lµν = tr[

(1 + γ5s/)(k/ +ml)γµ(k/′ +ml)γν

]

. (2.55)

Obviamente, Lµν consiste en una parte independiente de spin y otra lineal en su spin

sβ.

Lµν = Lµν(sim.) + 2imlεµναβqαsβ, (2.56)

ǫµνρσ es el tensor de Levi-Civita en 4 dimensiones, ǫ0123 = 1, ǫ1023 = −1, etc. La parte

antisimetrica se debe a γ5 en ec. (2.55).

De igual forma el tensor hadronico sera modificado y tendra una contribucion

asimetrica:

Wµν =

∫

d4xeiqx < PS|Jµ(x)Jν(0)|PS >=

= Wµν(sim.) +iM

P · q εµνρσqρ

[

Sσg1(x,Q2) + (Sσ − Sq

P · qPσ)g2(x,Q

2)

]

, (2.57)


el vector de polarizacion del proton esta normalizado a S2 = −1. Wµν(sim.) es la

parte simetrica del tensor hadronico dada en la ec. (2.27), Q2 y x son las variables

usuales de DIS definidas en la seccion 2.1.6. g1(x,Q2) y g2(x,Q

2) son las funciones de

estructura para la parte antisimetrica del tensor hadronico.

La seccion eficaz σ ∼ LµνWµν sera:

LµνWµν = Lµν (sim.) W µν (sim.) + Lµν (antisim.) W µν (antisim.) . (2.58)

De aquı es claro que no se podrıa obtener informacion del spin a menos que tanto el

lepton como el hadron se encuentren polarizados. Inmediatamente surge la pregunta

¿como medir g1(x,Q2) y g2(x,Q

2)? Uno deberıa deshacerse del primer termino del

lado derecho de la ec. (2.58) dado que corresponde a la seccion eficaz no polarizada.

Una posibilidad es considerar la diferencia de secciones eficaces en donde el nucleon

posea polarizaciones opuestas como se muestra en la figura (2.13) a continuacion.

l NN σ σ− g1:a)

lb) N N σ σ− g1Q

M ( y2

)+ g 2:

∼

∼

Figura 2.13: Esquema de los experimentos polarizados lepton (l)-Nucleon (N). Se reresentanlos vectores de spin del lepton (→) y del nucleon (⇒). Observese que el caso a) corresponde

a la polarizacion longitudinal, mientras que b) a la polarizacion transversal.

En la diferencia entre polarizaciones longitudinales (caso a) de la figura (2.13), las

funciones de estructura no polarizadas (F1 y F2) se cancelan dejando el termino pro-

porcional a g1 (el termino correspondiente a g2 se encuentra suprimido por (2yx2M2/Q2),

donde y = P ·qP ·k). Analogamente en la diferencia entre polarizaciones transversales

(k ·S = ~k · ~S = 0), aparece la suma y2g1 + g2, y si bien g1 aparece multiplicado por un

factor 2xM/√

Q2, g2 podrıa ser obtenido en experimentos de baja energıa.

Para ser mas especıficos escribamos la diferencia mas general para el proceso DIS

2.2. Spin. 33

polarizado,

d3[σ(α) − σ(α + π)]

dxdydφ=

8α2s

Q2

cosα[

(1 − y

2− y2γ2

4)g1(x,Q

2) − y

2γ2g2(x,Q

2)]

− sinα cos φγ

√

1 − y − y2γ2

4[y

2g1(x,Q

2) + g2(x,Q2)]

,(2.59)

donde γ2 = 4M2x2/Q2, α es el angulo entre la direccion del haz leptonico ~k y el

spin del nucleon ~S. φ es el angulo entre los planos k−S y k− k′ (vease la fig.(2.14)).

k

α

φ

s

k ’

Figura 2.14: Representacion de los vectores de un proceso de DIS pola-

rizado. α es el angulo entre la direccion del haz leptonico ~k y el spin delnucleon ~S. φ es el angulo entre los planos k − S y k − k′.

Podemos considerar los casos mas interesantes experimentalmente, a saber, cuando

el nucleon se encuentra longitudinalmente polarizado y cuando se encuentra trans-

versalmente polarizado. Siguiendo con la notacion compacta como en la figura (2.13)

se puede arribar a las expresiones [44],

Para lepton y nucleon blanco longitudinalmente polarizado, la diferencia de

secciones eficaces esta dada por

d2σ

→⇐

dx dy− d2σ

→⇒

dx dy=

16πα2

Q2

[

(

1 − y

2− y2(M2x2 +m2)

Q2

)

g1 −2M2x2y

Q2g2

]

.

(2.60)


Para nucleones polarizados transversalmente se encuentra que

d2σ→⇑

dx dy−d

2σ→⇓

dx dy= −16α2

Q2

(

2Mx

Q

)

√

1 − y − M2x2y2

Q2

[

y

2

(

1 +2m2y

Q2

)

g1 + g2

]

.

(2.61)

En principio estos dos observables independientes nos permiten medir g1 y g2

(como ha sido hecho en SLAC y en Jefferson Lab’s ), aunque la diferencia de secciones

eficaces transversal es generalmente mucho mas pequena debido a su cinematica y por

lo tanto mas dificil de medir, observemos que en el caso de polarizacion transversal

la asimetrıa es no nula por factores de masa.

Es habitual considerar las siguientes asimetrıas en lugar de diferencias entre las

secciones eficaces.

A(α) =σ(α) − σ(α + π)

σ(α) + σ(α + π), (2.62)

como, por ejemplo, la asimetrıa longitudinal

AL =σ←⇒ − σ←⇐σ←⇒ + σ←⇐

, (2.63)

obtenida para α = 0, y la asimetrıa transversal AT obtenida para α = π/2 con una

integracion asimetrica sobre φ como en [45].

Tambien es posible escribir g1(x,Q2) y g2(x,Q

2) en terminos de las asimetrıas de

foton virtual A1 y A2 las cuales consideran la interaccion entre el foton virtual con el

nucleon. Las secciones eficaces de absorcion de foton virtual transverso por el nucleon

σT1/2 y σT

3/2 son para los procesos donde la proyeccion del momento angular total del

sistema a lo largo de la direccion del foton incidente es 1/2 y 3/2 respectivamente.

El termino σTL1/2 proviene de la interferencia entre las amplitudes longitudinal y trans-

versal [46]. Las secciones eficaces estan relacionadas con las funciones de estructura

2.2. Spin. 35

como se muestra en las siguientes ecuaciones:

σT1/2 =

4π2α2s

MK

[

F1 + g1 −(

2Mx

ν

)

g2

]

, (2.64)

σT3/2 =

4π2α2s

MK

[

F1 − g1 +

(

2Mx

ν

)

g2

]

, (2.65)

σL1/2 =

4π2α2s

K

[

F2

ν

(

1 +ν2

Q2

)

− F1

M

]

, (2.66)

σT1/2 =

4π2α2s

K

√

Q2

M(g1 + g2) . (2.67)

donde K = ν −Q2/2M es el flujo de los fotones virtuales entrantes.

De estas relaciones y de las definiciones de A1 y A2, es posible expresar las asi-

metrıas en terminos de las funciones de estructura polarizadas y no polarizadas.

A1 =σT

1/2 − σT3/2

σT1/2 + σT

3/2

=g1(x,Q

2) − γ2g2(x,Q2)

F1(x,Q2).

A2 =2σTL

1/2

σT1/2 + σT

3/2

= γg1(x,Q

2) + g2(x,Q2)

F1(x,Q2). (2.68)

Finalmente R(x,Q2) es el cociente entre las secciones eficaces para los fotones

virtuales longitudinalmente y transversalmente polarizados sobre un blanco no pola-

rizado,

2xF1(x,Q2) = F2(x,Q

2)1 + γ2

1 +R(x,Q2). (2.69)

Notese que en el lımite γ2 ≡ 4M2x2/Q2 ≪ 1,

R =FL

2xF1, (2.70)

donde FL ≡ F2 − 2xF1. Ademas, en el orden logarıtmico dominante de QCD se llega

a la relacion de Callan-Gross 2xF1(x,Q2) = F2(x,Q

2).

Uno puede invertir las ecuaciones (2.68) y expresar g1 y g2 en terminos de las

asimetrıas A1 y A2 de foton virtual

g1(x,Q2) =

F2(x,Q2)

2x[1 +R(x,Q2)](A1 + γA2) , (2.71)

g2(x,Q2) =

F2(x,Q2)

2x[1 +R(x,Q2)](A2/γ − A1) . (2.72)


Una ventaja de expresar las funciones de estructura g1 y g2 en funcion de las

asimetrıas de foton virtual es que existen lımites rigurosos para A1 y A2 [47],

|A1| ≤ 1, (2.73)

|A2| ≤√R. (2.74)

En el lımite de scaling Q2 → ∞ del modelo naive de partones las funciones de

estructura solo dependen de x y pueden ser relacionadas con la distribucion de spin

de los quarks. Las funciones promediadas sobre spin pueden ser escritas en terminos

de qi mientras que las funciones de spin polarizadas estan relacionadas a la diferencia

∆qi:

qi(x) = [q↑i (x) + q↓i (x)], (2.75)

∆qi(x) = [q↑i (x) − q↓i (x)]. (2.76)

donde q↑i (x)(

q↓i (x))

corresponde a la distribucion de quarks con spin alineado (anti-

alineado) con el spin del nucleon que lo contiene.

Como hemos mencionado anteriormente g1 esta relacionada con la polarizacion

longitudinal mientras que g2 con la componente transversal. Recordemos que en el

modelo naive de partones se asume que los partones constituyentes no poseen spin

transversal al spin del nucleon ası como tampoco impulso transversal al momento del

nucleon y ademas son considerados libres o no interactuantes. Por lo tanto el modelo

naive, en el lımite de scaling, da cuenta de las distribuciones de quarks sin momento

transversal, lo cual describe bien a g1 y da un valor nulo para g2 para quarks no

masivos.

g1(x) =1

2

∑

i

e2i [∆qi(x) + ∆qi(x)] , (2.77)

g2(x) = 0. (2.78)

Vale la pena comentar que dada la naturaleza quiral impar de la transversidad no

hay distribucion transversa gluonica, esto lo veremos con detalle en la seccion 6.2 del

capıtulo 6.

2.2. Spin. 37

Reescribamos la expresion para g1 de la ec. (2.77), en terminos de combinacio-

nes lineales de las densidades de quarks que tienen propiedades de transformacion

especıficas frente al grupo de sabor SU(3)F :

∆q3 = (∆u+ ∆u) − (∆d+ ∆d) (2.79)

∆q8 = (∆u+ ∆u) + (∆d+ ∆d) − 2(∆s+ ∆s) (2.80)

∆Σ = (∆u+ ∆u) + (∆d+ ∆d) + (∆s+ ∆s). (2.81)

Estas cantidades transforman como la tercera componente de un triplete de sabor, la

octava componente de un octete de SU(3)F , y un singlete de sabor. Entonces

g1(x) =1

9

[

3

4∆q3(x) +

1

4∆q8(x) + ∆Σ(x)

]

. (2.82)

Y tomando su primer momento, para protones,

Γp1 ≡

∫ 1

0

g1(x)dx =1

9

[

3

4a3 +

1

4a8 + a0

]

, (2.83)

donde

a3 =

∫ 1

0

dx ∆q3(x),

a8 =

∫ 1

0

dx ∆q8(x),

a0 = ∆Σ ≡∫ 1

0

dx ∆Σ(x). (2.84)

Los valores de a3 y a8 son conocidos de mediciones de decaimiento beta:

a3 ≡ gA = 1,2670± 0,0035 a8 = 0,585 ± 0,025. (2.85)

Por esta razon, al medir Γp1, ec. (2.83), se puede conocer el valor del singlete de sabor

a0. De esta forma el resultado que obtuvo la colaboracion europea EMC (European

Muon Collaboration) [48] fue:

aEMC0 ≃ 0. (2.86)

Pero en el modelo partonico naive:

a0 = ∆Σ = a8 + 3(∆s+ ∆s) (2.87)


donde ∆Σ esta dado en la ec. (2.81).

En 1974 Ellis y Jaffe [49] sugirieron que se puede ignorar la contribucion de los

quarks extranos (∆s + ∆s) implicando que

a0 ≃ a8 ≃ 0,59. (2.88)

Por lo tanto las expresiones para los momentos segun Ellis y Jaffe seran:

Γp(EJ)1 ≃ 1

9

[

3

4a3 +

1

4a8 + a8

]

≃ 0, 188 (2.89)

Γn(EJ)1 ≃ 1

9

[

−3

4a3 +

1

4a8 + a8

]

≃ −0, 023 (2.90)

Este resultado de Ellis y Jaffe esta obviamente en claro desacuerdo con los resultados

de EMC en la ec. (2.86) lo que desperto gran interes en el resultado de EMC, aunque

rapidamente se vislumbraron consecuencias mas serias.

Consideremos el significado fısico de ∆Σ(x), q±(x) contabiliza el numero de quarks

de fraccion de momento x con componente de spin ±12

a lo largo de la direccion de

movimiento del proton (digamos en la direccion z), entonces la contribucion de un

quark de un dado sabor a Jz esta dada por

〈Sz〉 =

∫ 1

0

dx

(

1

2

)

q+(x) +

(

−1

2

)

q−(x)

=1

2

∫ 1

0

dx ∆q(x) . (2.91)

Pero entonces ,

a0 = 2〈Squarksz 〉, (2.92)

donde 〈Squarksz 〉 es la contribucion a Jz del spin de todos los quarks y antiquarks.

En un modelo con constituyentes no-relativistas uno podrıa esperar que todo

el spin del proton sea debido al spin de sus quarks. Pero en un modelo relativista

mas realista uno espera que 2〈Squarksz 〉 ≈ 0,6 [50], mas cercano al valor esperado

despreciando la contribucion de la polarizacion extrana en ec. (2.87) aunque con gran

discrepancia con el valor de EMC para a0 en la ec. (2.86).

2.2. Spin. 39

Fue esta discrepancia entre las contribuciones del spin de quarks al momento

angular del proton calculadas en ambos modelos, relativistas y no-relativistas, lo que

se denomino “Crısis de spin en el modelo partonico ” [51].

La interpretacion naive del experimento de EMC se basa en considerar la fraccion

del spin llevado por los quarks como a0 en la aproximacion de quarks libres. Sin

embargo la situacion cambia drasticamente al incluir las interacciones.

2.2.1. La funcion de estructura g1 y distribuciones de parto-

nes.

Volvamos a centrarnos en las funciones de estructura. Es sabido que g1(x,Q2)puede

ser descompuesta en una componente de sabor no singlete (NS) y una singlete (S) [52]:

g1(x,Q2) = g1,NS(x,Q2) + g1,S(x,Q2), (2.93)

donde la componente no singlete g1,NS se expresa como,

g1,NS =1

2

∑

q

(e2q− < e2 >)(∆q), (2.94)

con < e2 >= 1f

∑

q e2q, siendo f es el numero de sabores. Por lo tanto para cumplir

con la ecuacion (2.93) la componente singlete debe ser

g1,S =1

2< e2 >

∑

q

(∆q) ≡ 1

2< e2 > ∆Σ. (2.95)

En la ultima ecuacion se ha definido la combinacion singlete ∆Σ como la suma

sobre quarks y antiquarks (generalmente los sabores livianos u, d, s, mientras que las

contribuciones de quarks pesados c, b y t son calculados perturbativamente).

La dependencia en Q2 de las funciones de estructura y distribuciones partonicas

polarizadas se introduce dinamicamente debido a los procesos de radiacion de gluones

q → qg y de gluones en el estado inicial g → qq, al orden logarıtmico dominante (LO)

de QCD. Tales correcciones se muestran en la figura (2.15).

Una de las principales contribuciones que aporta la QCD es la aparicion de dis-

tribuciones de gluones en el nucleon en la forma ∆g(x,Q2), la cual es la distribucion


Figura 2.15: Subprocesos partonicos γ∗q → gq y γ∗g → qq.

polarizada de gluones longitudinalmente. Para cada estado de polarizacion se puede

atribuir una densidad gluonica g+(x,Q2) y g−(x,Q2). La distribucion de gluon no

polarizada esta dada por g(x,Q2) = g+(x,Q2)+ g−(x,Q2), mientras que ∆g se define

como ∆g(x,Q2) = g+(x,Q2)−g−(x,Q2). Las distribuciones de partones con helicidad

definida f±(x,Q2), f = q, q, g, son por definicion definidas positivas y sus diferencias

∆f tienen que satisfacer [46]

|∆f(x,Q2)| ≤ f(x,Q2). (2.96)

Si bien a LO la distribucion de gluon no contribuye directamente a la funcion de

estructura g1(x,Q2) (lo hace a traves de las ecuaciones de evolucion DGLAP), es un

singlete de sabor como ∆Σ(x,Q2), ya que cada sabor de quarks sin masa es producido

por gluones en la misma proporcion.

Ahora bien, solo las combinaciones de valencia no singletes de sabor ∆qNS [=

δu − δu, δd − δd, (δu + δu) − (δd + δd), (δu + δu) + (δd + δd) − 2(δs + δs), etc.],

evolucionan de la misma manera a LO:

d

dt∆qNS(x,Q2) =

αs(Q2)

2π∆P

(0)NS ⊗ ∆qNS , (2.97)

donde t = lnQ2

Q20, con Q2

0 la escala inicial y tal que :

αs(Q2)

4π≃ 1

β0lnQ2

Λ2LO

, (2.98)

2.2. Spin. 41

donde β0 = 11 − 23f . Donde hemos introducido la convolucion ⊗ dada por

(P ⊗ q)(x,Q2) =

∫ 1

x

dy

yP (x

y)q(y,Q2). (2.99)

con motivo de simplificar las expresiones.

La funcion de separacion no singlete a LO,

∆P(0)NS(x) = ∆P (0)

qq (x) ≡ P(0)q↑q↑ − P

(0)q↓q↑, (2.100)

donde P(0)q↑(↓)q↑ corresponde a transiciones de un quark con helicidad positiva a uno

con helicidad positiva (negativa), esta dada por:

∆P (0)qq (x) = P (0)

qq (x) = CF

(

1 + x2

1 − x

)

+

. (2.101)

donde recordemos que el subındice + se refiere a las distribuciones definidas en las

ecs. (2.49-2.50).

Centrando nuevamente la atencion en la ecuacion (2.101) podemos notar el hecho

de que P(0)qq es igual a la funcion de separacion no polarizada, esto es debido a que

P(0)q↓q↑ = 0 como consecuencia de la conservacion de helicidad.

Las ecuaciones integro-diferenciales de evolucion a LO para el sector singlete de

sabor son acopladas y vienen dadas por:

d

dt∆Σ(x,Q2) =

αs(Q2)

2π(∆P (0)

qq ⊗ ∆Σ + 2f∆P (0)qg ⊗ ∆g), (2.102)

d

dt∆g(x,Q2) =

αs(Q2)

2π(∆P (0)

gq ⊗ ∆Σ + ∆P (0)gg ⊗ ∆g). (2.103)

La resolucion de estas ecuaciones se puede realizar de forma mas sencilla consi-

derando la transformada de Mellin [53]. Dicha transformada para una dada funcion

f(x) se define de acuerdo con:

fN =

∫ 1

0

dx xN−1f(x). (2.104)

Ciertamente las ecuaciones de evolucion de DGLAP se tornan mas sencillas en

este espacio de momentos. Observemos que la convolucion (2.99) que aparece en las


ecuaciones (2.97), (2.102) y (2.103) se factoriza en simples productos ordinarios,

∫ 1

0

dx xn−1f ⊗ g ≡∫ 1

0

dx xn−1

∫ 1

x

dy

yf(y)g(

x

y)

=

∫ 1

0

dx xn−1

∫ 1

0

dydzδ(x− zy) f(y)g(z) = fngn. (2.105)

Ası las ecuaciones a LO en el espacio de momentos para los sectores singlete y no

singlete se reescriben de la forma:

d

dt∆qn

NS(Q2) =αs(Q

2)

2π∆P (0)n

qq ∆qnNS(Q2), (2.106)

d

dt

(

∆Σn(Q2)

∆gn(Q2)

)

=αs(Q

2)

2π

(

∆P(0)nqq 2f∆P

(0)nqg

∆P(0)ngq ∆P

(0)ngg

)(

∆Σn(Q2)

∆gn(Q2)

)

, (2.107)

donde ∆P(0)nij son simplemente los momentos n-esimos de las funciones de separacion

∆P(0)ij .

Las ecuaciones de evolucion (2.106) y (2.107) en el espacio de momentos se las

conocen como ecuaciones del grupo de renormalizacion [54]. Los momentos ∆P(0)nij

estan relacionados con la dimension anomala 6 ya que determina la dependencia

logarıtmica en Q2 de los momentos de las distribuciones partonicas y por lo tanto de

g1.

La solucion a la ecuacion (2.106) es directa:

∆qnNS(Q2) = L

− 2β0

∆P(0)nqq ∆qn

NS(Q20), (2.108)

con L(Q2) ≡ αs(Q2)/αs(Q

20), y ∆qn

NS(Q20) es la combinacion NS apropiada de densi-

dad de partones a una escala fija Q20.

La solucion de las ecuaciones acopladas del sector singlete es formalmente similar

a (2.108):(

∆Σn(Q2)

∆gn(Q2)

)

= L− 2

β0∆P (0)n

(

∆Σn(Q20)

∆gn(Q20)

)

, (2.109)

6La dimension anomala ∆γn, definida usualmente como una expansion en αs

4π, ∆γn = αs

4π∆γ(0)n+

(αs

4π)2∆γ(1)n + · · · , en terminos de LO (1-loop) ∆γ(0)n y NLO (2-loop) ∆γ(1)n, estan relacionadas

con ∆Pn vıa ∆P(0)nij = − 1

4∆γ(0)nij , ∆P

(1)nij = − 1

8∆γ(1)nij , etc. donde las funciones de separacion a

2-loop ∆P(1)ij son importantes para la evolucion a NLO.

2.2. Spin. 43

1 c

ϕ

Figura 2.16: Contorno de integracion en el espacio N para invertir la transformada de Mellin.

donde ∆P (0)n refiere a la matriz de 2×2 de las funciones de separacion en la ec. (2.107).

Para obtener la dependencia en x de las funciones de estructura y las distribuciones

partonicas, es necesario realizar una integral numerica con el objetivo de invertir la

transformacion de Mellin (2.104):

f(x,Q2) =1

π

∞∫

0

dzIm[

eiϕx−c−zeiϕ

fn=c+zeiϕ

(Q2)]

, (2.110)

donde el contorno de integracion, y por lo tanto el valor de c, tiene que estar a la

derecha de todas las singularidades de fn(Q2) en el plano complejo, por ej. c > 0 dado

que el polo dominante de todas las δP nij esta localizado en n = 0. La figura (2.16)

esquematiza este contorno de integracion. Trataremos este punto con mas detalle en

la seccion 3.3.

2.2.2. Ordenes superiores.

Los resultados a LO discutidos hasta aquı son originados al calcular las contribu-

ciones logarıtmicas O(αs) de los subprocesos partonicos γ ∗ q → gq y γ ∗ g → qq al


termino de orden cero desnudo γ ∗ q → q de g1 (figura (2.15)):

g1(x,Q2) =

1

2

∑

q,q

e2q∆q0(x) +αs(q

2)

2π

∫ 1

x

dy

y∆q0(y)[t∆P

(0)qq (

x

y) + ∆fq(

x

y)]

+1

2(∑

q,q

e2q)αs(q

2)

2π

∫ 1

x

dy

y∆g0(y)[t∆P

(0)qg (

x

y) + ∆fg(

x

y)], (2.111)

donde ∆q0 y ∆g0 son las distribuciones desnudas no renormalizadas, dependientes de

la escala. Las funciones fq y fg son las llamadas funciones coeficientes porque estan

relacionadas con terminos independientes del lnQ2 y con los coeficientes de Wilson

usualmente introducidos por la expansion de productos de operadores (OPE). En

el LO se asume que dominan los terminos de la forma t = ln Q2

Q20

(donde Q0 es una

escala de corte arbitraria) los cuales son independientes del esquema de regularizacion

adoptado.

La ecuacion (2.111) carece de sentido fısico dado que Q20 es una escala completa-

mente arbitraria. Por lo tanto es necesario “vestir” (renormalizar) la distribucion de

quarks:

∆q(x,Q2) ≡ ∆qo(x) +αs(Q

2)

2πt(∆q0 ⊗ ∆P (0)

qq + ∆g0 ⊗ ∆P (0)qg ), (2.112)

analogamente para la distribucion de gluones ∆g(x,Q2).

Como es sabido el calculo a LO es en general insuficiente, ya que ni el parametro

Λ en αs(Q2) puede ser definido sin ambiguedad a este orden, ni uno puede probar

la fiabilidad de los resultados y es necesario al menos el calculo al orden siguiente

al dominante NLO. Al considerar este orden, deben ser incluıdos los terminos finitos

∆fq,g en la ecuacion (2.111), ası como tambien las contribuciones de dos loops a las

funciones de separacion ∆P(1)ij (x). Estas cantidades adicionales dependen del esquema

de regularizacion que uno utilice para tratar las divergencias. Por conveniencia a la

hora de calcular generalmente se escoge la regularizacion dimensional en D = 4 − 2ǫ

2.2. Spin. 45

dimensiones, con lo cual se obtiene:

g1(x,Q2) =

1

2

∑

q,q

e2q∆q0(y) +αs(Q

2)

2π

∫ 1

x

dy

y∆q0(x)[(ln

Q2

µ2− 1

ǫ+ γE − ln 4π)

∆P (0)qq (

x

y) + ∆Cq(

x

y)]

+1

2(∑

q,q

e2q)αs(Q

2)

2π

∫ 1

x

dy

y∆g0(y)[(ln

Q2

µ2− 1

ǫ+ γE − ln 4π)

∆P (0)qg (

x

y) + ∆Cg(

x

y)], (2.113)

donde el parametro de regularizacion µ usualmente se elige para que sea Q, y donde

∆Cj son los coeficientes de Wilson. Por lo tanto se definen las distribuciones de quarks

renormalizadas como:

∆q(x,Q2) ≡ ∆q0+αs(Q

2)

2π(ln

Q2

µ2−1

ǫ+γE−ln 4π)(∆q0⊗∆P (0)

qq +∆g0⊗∆P (0)qg ), (2.114)

y similarmente para la densidad de gluones.

La ecuacion (2.114) se refiere al esquema de factorizacion de Mınima Substraccion

Modificada MS, donde el termino γE−ln 4π es absorbido, junto con −1ǫ

en la definicion

de la distribucion ∆q(x,Q2). Dentro de este esquema las contribuciones a NLO de la

funcion de estructura polarizada g1 vienen dadas por:

g1(x,Q2) =

1

2

∑

q

e2q∆q(x,Q2) + ∆q(x,Q2)

+1

2

∑

q

e2qαs(Q

2)

2π[∆Cq ⊗ (∆q + ∆q) + 2∆Cg ⊗ ∆g] (2.115)

Las distribuciones partonicas a NLO evolucionan de acuerdo con ecuaciones de

evolucion a NLO, donde se tienen en cuenta las funciones de separacion de dos loops

∆P(1)ij . Debemos generalizar las ecuaciones (2.97), (2.102) y (2.103) teniendo en cuenta

ahora que la funcion de separacion a dos loops ∆P(1)ij permite transiciones entre quarks

y antiquarks y entre diferentes sabores de quarks como se esquematiza en la figura

(2.17). De esta manera tenemos para el no singlete de sabor a NLO:

d

dt∆qNS±(x,Q2) = ∆PNS± ⊗ ∆qNS±, (2.116)


Figura 2.17: Diagramas de los subprocesos partonicos relevantes para las funciones de separacion

∆P(1)ij (x).

donde ∆PNS± es:

∆PNS± =αs(Q

2)

2π∆P (0)

qq (x) + (αs(Q

2)

2π)2∆P

(1)NS±(x), (2.117)

y donde αs(Q2) es la constante de acoplamiento calculada a NLO [55].

Debido a las transiciones entre diferentes sabores (u → d, u → s, etc) y mezcla

de qq que aparecen en diagramas de dos loops de orden α2s, existen dos ecuaciones

de evolucion del no singlete de sabor independientes a NLO. Por lo tanto, ∆qNS+

corresponde a combinaciones no singlete ∆u−∆u ≡ ∆uv y ∆d−∆d ≡ ∆dv, mientras

que ∆qNS− corresponde a las combinaciones ∆q + ∆q. Para el caso del esquema

de factorizacion MS las funciones de separacion de dos loops del caso polarizado,

coinciden con las del caso no polarizado ∆P(1)NS± = P

(1)NS±.

Las ecuaciones de evolucion a NLO del singlete de sabor son similares a las de

LO:d

dt∆Σ(x,Q2) = ∆P ⊗ (∆Σ + ∆g) (2.118)

d

dt∆g(x,Q2) = ∆P ⊗ (∆Σ + ∆g), (2.119)

donde

∆P =αs(Q

2)

2π∆P (0)(x) + (

αs(Q2)

2π)2∆P (1)(x), (2.120)

con ∆P (0)(x) la matriz de 2 × 2 del LO y ∆P (1)(x) una matriz de 4x4 que contiene

las funciones de separacion de dos loops ∆P(1)ij , ij = q, g. Como el caso del LO es

conveniente trabajar en el espacio de los momentos de la transformada de Mellin para

poder resolverlas analıticamente.

2.2. Spin. 47

Veamos ahora las contribuciones gluonicas a NLO. Se puede demostrar que en

el lımite de Bjorken, para el caso longitudinalmente polarizado, se involucra la ver-

sion gluonica del triangulo anomalo de Adler [56], Bell y Jackiw [57] mostrado en

la figura (2.18). El resultado neto de esta contribucion anomala al singlete de sabor

a0 [58]

agluones0 (Q2) = −3

αs(Q2)

2π

∫ 1

0

dx ∆G(x,Q2)

≡ −3αs(Q

2)

2π∆G(Q2). (2.121)

Notese que el factor 3 corresponde al numero de sabores de quarks livianos: u, d, s,

los sabores pesados no contribuyen.

Figura 2.18: Diagrama de Feynman responsable de la anomalıa.

Por lo tanto, existe una contribucion gluonica al primer momento de g1:

Γgluonico1 (Q2) = −1

3

αs(Q2)

2π∆G(Q2) ! (2.122)

Este resultado es de fundamental importancia. Esto implica que la formula del modelo

partonico para a0 (y por lo tanto para Γp1) en terminos de ∆qf es incompleta y deberıa

ser:

a0 = ∆Σ − 3αs

2π∆G. (2.123)

Sin embargo debe notarse que el resultado de la ec. (2.123) depende del esquema

de factorizacion utilizado. La ec. (2.123) es correcta en los esquemas AB y JET,

pero en el esquema MS la contribucion gluonica a a0 es cero. Ahora la crisis de spin

emerge de comparar ∆Σ con lo que esperarıamos si los spins de los quarks dominaran


el momento angular del nucleon. Pero a NLO, en el esquema MS, ∆Σ varia con

Q2, y uno podrıa argumentar que no puede ser interpretado directamente como la

contribucion de spin de los quarks. La conclusion es que el pequeno valor medido de

a0 no necesariamente implica que ∆Σ sea pequeno.

2.2.3. Resultados experimentales.

Los primeros resultados experimentales se obtuvieron en 1976 en SLAC en el

experimento E80. Aquı los electrones tenıan energıas de 6 a 13 GeV y colisionaban

contra un blanco de butanol polarizado. En promedio la polarizacion de los electrones

y del blanco eran del 50 % y 60 % respectivamente. Aunque el experimento era limitado

en varios aspectos fue posible determinar la asimetrıa A1 (ec. (2.68)) del proton para

varios valores de x entre 0,1 y 0,5, y valores de Q2 alrededor de 2 GeV2. Si bien

las incertezas son grandes, los valores obtenidos estaban en acuerdo con los valores

predichos por el modelo de quarks y partones. En 1983, se llevo a cabo un segundo

experimento en SLAC (E130), donde la energıa de los electrones era de 23 GeV. La

polarizacion del haz de electrones se incremento al 80 % y se extendio el rango de x

de 0,2 a 0,65 y Q2 de 3,5 a 10 GeV2. Se muestran los resultados experimentales para

E80 y E130 en la figura (2.19).

El promedio del primer momento [59]:

Γp1(< Q2 >≃ 4 GeV 2) = 0,17 ± 0,05 (SLAC E80,E130) (2.124)

estaba en acuerdo con el valor (59) del modelo de quarks de SU(6) [60] y la regla

de suma de Ellis-Jaffe [49] de la ec. (2.89) que discutimos en la seccion anterior.

Igualmente debemos notar que el resultado en la ec. (2.124) tiene grandes incertezas

debido principalmente a la extrapolacion de valores de x que no han sido medidos,

en particular para x → 0. Afortunadamente se desarrollaron en CERN una serie de

experimentos donde se pudieron medir valores para x mas pequenos (0,01 ≤ x ≤ 0,1).

En el experimento EMC llevado a cabo en el CERN se colisionaba un haz de

muones polarizados, con energıas Eµ = 100 − 200 GeV, contra un blanco polarizado

de amonıaco (NH3). Debido a la gran energıa del haz de muones se alcanzaron valores

de x tan pequenos como 0,01. La polarizacion de estos muones era cercana al 80 %.

2.2. Spin. 49

Figura 2.19: Resultados experimentales para la asimetrıaA1. Los datos corresponden a los experimentos E80 y E130

realizados en SLAC.

Los resultados mostraron acuerdo con las mediciones de SLAC para la region de

valores de x grandes, pero sorprendentemente para valores pequenos de x se hallaron

valores de la asimetrıa por debajo de lo predicho por Ellis y Jaffe y el modelo naive

de partones. En la figura (2.20) se muestran los datos combinados de SLAC y CERN

para la funcion de estructura gp1. El primer momento para la funcion de estructura:

Γp1(< Q2 >) = 0,126 ± 0,010 ± 0,015 (EMC, SLAC) (2.125)

donde el primer error indica el error estadıstico mientras que el segundo es el error

sistematico producto de la extrapolacion a x→ 0.

Los experimentos demostraron que la regla de suma de Ellis-Jaffe (vease la ec. (2.89))

es violada implicando, dentro del modelo de partones, que la contribucion de spin de

los quarks ∆Σ al spin del proton es pequena.

Otro de los grandes logros del experimento de CERN, fue realizado por el gru-

po SMC quienes determinaron la funcion de estructura gn1 para el neutron. Esto se

logro cambiando el blanco de amonıaco por uno de butanol. En el butanol los unicos

nucleones polarizados son los protones (12 %) y los deuterones (19 %), ası se pudo

inferir informacion del neutron a traves de la diferencia gd1 − gp

1. gn1 (x,Q2) puede


Figura 2.20: Resultados experimentales para la funcion de estructura gp1 .

Los datos corresponden a los experimentos en SLAC y CERN.

obtenerse por medio de la relacion

gd1(x,Q

2) =1

2[gp

1(x,Q2) + gn

1 (x,Q2)](1 − 3

2wD), (2.126)

donde wD(≃ 0,058) proviene de la mezcla del estado D de la funcion de onda del

deuteron. La figura (2.21) presenta los resultados para gn1 dando un primer momento:

Γn1 (Q2 = 5 GeV 2) = −0,08 ± 0,04 ± 0,04 (SMC) (2.127)

el cual se desvıa de el valor esperado por Ellis-Jaffe Γn1 = −0,002 ± 0,005.

Estos sorprendentes resultados estimularon a un gran trabajo teorico y experimen-

tal acerca de las funciones de estructura. La siguiente generacion de experimentos se

dieron en CERN, en SLAC y principalmente en DESY por la colaboracion HERMES.

Redujeron notablemente la incerteza sistematica y estadıstica de las mediciones y ex-

tendieron el rango cinematico a x = 0,003. Por el lado teorico se interpreto la violacion

de la regla de Ellis-Jaffe en el modelo de partones como debida a la contribucion po-

sitiva de la distribucion de gluones y/o una contribucion negativa de la distribucion

de quark strange. Esto es:

Γ(p,n)1 = Γ

(p,n)(EJ)1 +

1

3(∆s+ ∆s) + Γgluonico

1 (Q2) (2.128)

2.2. Spin. 51

Figura 2.21: Resultados experimentales para la funcion de estructura gn1 en

funcion de x para Q2 = 5 Gev2. Los cırculos llenos se corresponden con datosde SLAC del experimento E142.

tal que para lograr un acuerdo, ∆s deberıa ser del orden de ∆s ≃ −0, 09 o bien ∆g

(Q2 = 10 GeV) ≃ 5, lo cual serıa antinatural.

Finalmente se desarrollo un programa experimental para el estudio del spin en el

Colisionador de hadrones pesados relativistas (RHIC) en el Laboratorio Nacional de

Brookhaven (BNL). En RHIC se colisionan haces de protones cada uno con energıa

de 250 GeV, ambos polarizados alrededor del 70 %. Debido a su gran luminosidad del

orden de ∼ 1032cm−2s−2 (correspondiente a una luminosidad integrada de alrededor

de 800 pb−1) las colisiones de proton-proton en RHIC juegan un rol decisivo para medir

la densidad de gluones polarizados. Esto puede alcanzarse o bien por produccion de

piones (pp → π + X) o via produccion de jets (pp → Jet + X). Mas aun, tambien

sera posible estudiar las funciones de distribucion transversal. Uno de los mas recientes

analisis acerca de las distribucion de partones, utilizando datos de RHIC recientes,

es del grupo DSSV [40]. Obtuvieron que en la region medida (bajos valores de x) la

distribucion de gluones ∆g es pequena.

Capıtulo 3

Resumacion

El objetivo del presente capıtulo es el de introducir el formalismo de la tecnica

de resumacion a traves de los procesos de Drell-Yan y el de DIS. Estos procesos

nos serviran como pilares para analizar algunos detalles importantes y luego para

extender la tecnica de resumacion a diversos procesos, como por ejemplo el proceso

semi-inclusivo de colision de dos protones que da lugar a la formacion de un hadron.

3.1. El proceso de Drell-Yan

Estudiaremos a NLO un proceso particularmente sencillo con motivo de ilustrar la

tecnica de resumacion. Dicho proceso, llamado de Drell-Yan, consiste en la interaccion

de dos hadrones a traves de un boson de gauge, como por ejemplo un foton, creando

un par leptonico. Esto es simplemente (ver figura 3.1):

H1(P1) +H2(P2) → l+l−, (3.1)

dondeH1 yH2 son los hadrones que colisionan con momentos P1 y P2 respectivamente.

Q es el momento del foton virtual y l+, l− son los leptones del estado final. Para este

proceso se suele definir la variable x como:

x ≡ Q2

S, (3.2)

53

54 CAPITULO 3. Resumacion

donde S = (P1 + P2)2 es el invariante usual Mandelstam que puede ser interpretado

como la energıa de centro de masa. Es claro que la ec. (3.2) representa la fraccion de

energıa que los hadrones transfieren al foton y por lo tanto, 0 ≤ x ≤ 1.

γ

−

∗x1 P1

l

l+

−

2f (x )q

f (x )q 1

2P2x

H1 P )( 1

H2 ( )P2

Figura 3.1: Proceso de Drell Yan H1H2 → l+l−.

De acuerdo con la expresion factorizada para la seccion eficaz en la ec. (2.26), a

LO la seccion eficaz diferencial en Q2 se expresa como:

dσ

dQ2(x,Q2)=

∑

i

∫ 1

0

dx1dx2

[

fqi/H1(x1, µ

2)fqi/H2(x2, µ

2) + (1 ↔ 2)] dσi

dQ2, (3.3)

dondedσi

dQ2= σDY

0 (Q2, x)e2qiδ(x1x2 − x), σDY

0 (Q2, x) =4πα2

9Q4x. (3.4)

Las funciones fqi/Hj(xj , µ

2) (fqi/Hj(xj , µ

2)) en las ec. (3.3) y (3.4) son las densidades

partonicas de quarks (anti-quarks) de sabor i en el hadron j = 1, 2 a la escala µ2, α

es la constante de estructura fina y eqies la fraccion de carga electrica del quark qi.

Ahora si definimos la seccion eficaz adimensional σ(x,Q2) como

σDY (x,Q2) ≡ 1

σDY0

dσ

dQ2(x,Q2), (3.5)

y usamos la identidad

δ(x1x2 − x) =

∫ 1

0

dzδ(1 − z)δ(x1x2z − x), (3.6)

las ecuaciones (3.3) y (3.4) se convierten en:

3.1. El proceso de Drell-Yan 55

σDY (x,Q2)=∑

i

∫ 1

0

dx1dx2dz[

fqi/H1(x1, µ

2)fqi/H2(x2, µ

2) + (1 ↔ 2)]

e2qiCqq(z)δ(x1x2z−x)

=∑

i

∫ 1

x

dx1

x1

∫ 1

x/x1

dx2

x2

[

fqi/H1(x1, µ

2)fqi/H2(x2, µ

2) + (1 ↔ 2)]

e2qiCqq

(

x

x1x2

)

, (3.7)

donde Cqq(z) = δ(1 − z) es la funcion coeficiente de Drell-Yan a LO. De la primera

de las ecuaciones (3.7), podemos observar que la nueva variable z introducida viene

dada por,

z =x

x1x2

. (3.8)

Esto quiere decir que a nivel partonico podemos pensar a z como la fraccion de energıa

que los partones colisionantes tranfieren al foton virtual. A LO es claro que z = 1 como

puede verse explıcitamente de la segunda de las ecs. (3.7), dado que no hay emision

salvo la del foton virtual. A ordenes mas alla de LO, los partones extra radiados en

el estado final pueden llevar algo de energıa (por lo tanto z < 1) y contribuyen los

canales de gluones.

La funcion coeficiente Cab(z)(a, b = q, g) a NLO recibe contribuciones infrarrojas.

Las singularidades infrarrojas se cancelan (ver por ejemplo [31]). Las divergencias

colineales pueden ser absorvidas en la redefinicion de las densidades partonicas, por lo

tanto incluyendo toda la dependencia de la fısica soft en las distribuciones de partones.

Las densidades de partones a cierta escala estan determinadas por un proceso de

referencia y su dependencia con la escala esta determinada por las ecuaciones de

DGLAP (vease la seccion 2.1.6). Sin embargo existe una ambiguedad en como definir

el proceso de referencia, relacionado al hecho de que las divergencias colineales pueden

ser factorizadas junto con los terminos finitos. La eleccion de dichos terminos finitos

define el esquema de factorizacion. El mas usual de los esquemas de factorizacion es

el esquema MS en el cual la divergencia colineal (la cual es en d = 4−2ε dimensiones

un polo simple) es factorizada junto con los terminos finitos −γE + log 4π, donde

γE = 0, 5772 . . . es denominada Gama de Euler.

Ahora bien, para evitar contribuciones grandes en la serie perturbativa, las escalas

de renormalizacion y de factorizacion se eligen del mismo orden que la escala del

proceso Q2. Aquı por simplicidad escogeremos la escala de factorizacion µ2 igual a la

escala de renormalizacion µ2r. A NLO la seccion eficaz de Drell-Yan [30]:


σDY (x,Q2) =∑

i

Q2qi

∫ 1

x

dx1

x1

∫ 1

x/x1

dx2

x2

[

fqi/H1(x1, µ2)fqi/H2(x2, µ

2)]

Cqq

(

z,Q2

µ2, αs(µ

2)

)

+[

fg/H1(x1, µ2)(

fqi/H2(x2, µ2) + fqi/H2(x2, µ

2))]

Cqg

(

z,Q2

µ2, αs(µ

2)

)

+ (1 ↔ 2)

(3.9)

donde en el esquema MS,

Cqq

(

z,Q2

µ2, αs(µ

2)

)

= δ(1 − z) +αs(µ

2)

2π

4

3

[

(

2π2

3− 8

)

δ(1 − z)

+4(1 + z2)

[

log(1 − z)

1 − z

]

+

− 21 + z2

1 − zlog z

]

+8

3

[

1 + z2

[1 − z]++

3

2δ(1 − z)

]

log(Q2

µ2)

, (3.10)

y

Cqg

(

z,Q2

µ2, αs(µ

2)

)

=αs(µ

2)

2π

1

2

[

(

z2 + (1 − z)2)

log(1 − z)2

z+

1

2+ 3z

−7

2z2]

+1

2

[

z2 + (1 − z)2]

log(Q2

µ2)

, (3.11)

donde las distribuciones + son las definidas en las ec. (2.49) y (2.50).

Hemos dado una breve introduccion de los procesos de DIS y DY en esta seccion

y en la seccion 2.1.6 respectivamente, y hemos discutido brevemente como calcular

analıticamente a NLO las secciones eficaces inclusivas de ambos procesos. Sin embar-

go, en muchos casos, el calculo a NLO puede resultar insuficiente.

En todo proceso que involucre contribuciones grandes de logaritmos donde apa-

rezcan diferentes escalas, el calculo mas alla del NLO sera necesario. En estos casos,

dichos logaritmos deben ser resumados, siendo este el tema principal de la presen-

te tesis. Un primer ejemplo de estas grandes contribuciones aparece en la ecuacion

(3.10). En efecto es facil notar que dichas contribuciones se volveran grandes cuando

z → 1 para el canal quark-antiquark en el caso de DY (y para el canal de quark para

la funcion de estructura F2 en el caso de DIS). Estos terminos son proporcionales a:

αs

[

log(1 − z)

1 − z

]

+

, αs

[

1

1 − z

]

+

(3.12)

3.1. El proceso de Drell-Yan 57

Los terminos del tipo de la ec. (3.12) provienen de la cancelacion infrarroja entre

emision real y virtual y puede ser demostrado que contribuciones del mismo tipo apa-

recen en todos los ordenes. Mas aun, a orden O(αns ) hay contribuciones proporcionales

a [62–64]:

αns

[

logm(1 − z)

1 − z

]

+

, m ≤ 2n− 1. (3.13)

Es habitual trabajar en el espacio de Mellin donde la contribucion soft es de la

forma:∫ 1

0

dzzN−1

[

logk(1 − z)

1 − z

]

+

=

∫ 1

0

dzzN−1 − 1

1 − zlogk(1 − z), (3.14)

donde a N grandes es facil probar que

∫ 1

0

dzzN−1

[

logk(1 − z)

1 − z

]

+

=(−1)k + 1

k + 1logk+1N + O(logk N) (3.15)

y por lo tanto, las contribuciones dominates en el lımite umbral son de la forma

αnS log2nN .

Estos terminos tambien se vuelven importantes en el lımite z → 1 o N → ∞arruinando la validez de la expansion perturbativa de QCD a orden fijo aun cuando

αS << 1 porque αnS log2nN no es necesariamente pequeno. Por esta razon, estos

terminos logarıtmicos deben ser resumados a todos los ordenes de pQCD. El lımite

z → 1 (N → ∞) corresponde en general con el lımite cinematico donde los partones

emitidos son soft (como sucede en el caso de DY) o colineales (como sucede en DIS).

En el caso de DY si consideramos la contribucion de la funcion coeficiente con

n partones extra radiados con momentos k1, . . . , kn, la conservacion del cuadrado de

cuadrimomento (p1 + p2 = Q+ k1 + · · ·+ kn ) implica:

x1x2S(1 − z) =

n∑

i,j=1

ki · kj + 2

n∑

i

Q · ki (3.16)

=n∑

i,j=1

k0i k

0j (1 − cos θij) + 2

n∑

i

k0i (

√

Q2 + | ~Q|2 − | ~Q| cos θi), (3.17)

donde θij es el angulo entre ~ki y ~kj y θi es el angulo entre ~ki y ~Q. Dado que todos los

terminos de la primer suma de la ec. (3.17) son positivos y los terminos


(

√

Q2 + | ~Q|2 − | ~Q| cos θi) son positivos para todo valor de θi, en el lımite z = 1

solo puede alcanzarse la igualdad si k0i = 0 para todo i. Esto significa que cuando z

se aproxima a 1 todos los partones emitidos en el proceso de Drell-Yan son soft y que

hemos alcanzado el umbral de energıa para la produccion de un foton virtual o un

boson vectorial real.

En el caso de DIS a nivel partonico tenemos:

p+ q = Q+ k1 + · · ·+ kn + kn+1, (3.18)

donde kn+1 es el momento del parton saliente del LO. Elevando al cuadrado la ultima

ecuacion se obtiene:Q2(1 − z)

z=

n+1∑

i,j=1

k0i k

0j (1 − cos θij) (3.19)

donde nuevamente θij indica el angulo entre ~ki y ~kj . La ec. (3.19) evaluada en el lımite

z → 1 muestra que no solo puede haber partones soft radiados en el estado final sino

que tambien pueden ser colineales (θij = 0).

La inclusion de los terminos provenientes de m = 2n define el orden logarıtmico

dominante (LL=leading logarithmic), la inclusion de los terminos con m = 2n − 1

define el orden siguiente al logarıtmico dominante (NLL=next-to-leading logarithmic)

y ası sucesivamente, (vease la seccion 3.3).

Veremos que la forma de reorganizar e incluir a estos estos logaritmos en la serie

perturbativa de forma sistematica conduce a la tecnica de Resumacion. Para ello

necesitaremos la propiedad de exponenciacion de los grandes logaritmos.

3.2. Exponenciacion

La exponenciacion de los grandes logaritmos soft y su resumacion ha sido demos-

trada en QCD mediante la aproximacion Eikonal [63] o gracias a las propiedades de

factorizacion de la seccion eficaz en el lımite soft [62].

Primero consideraremos el caso mas sencillo de QED (electrodinamica cuantica).

En QED la exponenciacion de los grandes logaritmos soft a sido probada gracias a la

aproximacion eikonal en la referencia [65]. Reportaremos aquı los pasos basicos de la

3.2. Exponenciacion 59

prueba para el caso de QED y daremos una breve descripcion de la generalizacion al

caso de QCD.

Consideremos una lınea fermionica con momento p′ de un diagrama de Feynman

generico de QED como se muestra en la figura (3.2). Anadiremos n fotones soft a esta

lınea fermionica con momentos k1, . . . , kn. Por el momento no nos preocuparemos si

dichos fotones son externos, virtuales conectados entre sı, o virtuales conectados a

otras lıneas fermionicas.

...p

k k k1 2 n

,

k3

Figura 3.2: Diagrama de Feynman generico de QED con una lınea fermionica conmomento p′ del cual se emiten n fotones soft.

La amplitud para tal diagrama en el lımite soft tiene la siguiente estructura:

u(p′)(−ieγµ1)i/p′

2p′ · k1(−ieγµ2)

i/p′

2p′ · (k1 + k2). . . (−ieγµn)

i/p′

2p′ · (k1 + · · ·+ kn)iMh

(3.20)

donde e = −|e| es la carga del electron y iMh es la amplitud de la parte hard del

proceso sin la lınea fermionica final que estamos considerando. Notemos que hemos

despreciado la masa del electron. Entonces usando la ecuacion de Dirac u(p′)/p′ = 0

podemos llevar a /p′ hacia la izquierda:

u(p′)γµ1/p′γµ2/p′ . . . γµn/p′ = u(p′)2p′µ1γµ2/p′ . . . γµn/p′ = u(p′)2p′µ12p′µ2 . . . 2p′µn . (3.21)

Entonces la ec. (3.20) se transforma en

enu(p′)

(

p′µ1

p′ · k1

)(

p′µ2

p′ · (k1 + k2)

)

. . .

(

p′µn

p′ · (k1 + . . . kn)

)

iMh. (3.22)

Aun trabajando con una sola lınea fermionica final, debemos sumar sobre todos los

posibles ordenamientos de los momentos k1, . . . , kn. Existen n! diagramas diferentes


para sumar correspondientes a las n! permutaciones de los n momentos de los fotones.

Denotemos con P a una de tales permutaciones, por lo que P (i) es el numero entre

1 y n que tomara i. Ahora bien, usando la identidad

∑

P

1

p · kP (1)

1

p · (kP (1) + kP (2)). . .

1

p · (kP (1) + · · · + kP (n))=

1

p · k1. . .

1

p · kn, (3.23)

la suma sobre todas las permutaciones de los fotones de la ec. (3.22) es:

enu(p′)

(

p′µ1

p′ · k1

)(

p′µ2

p′ · k2

)

. . .

(

p′µn

p′ · kn

)

iMh. (3.24)

En este punto, consideramos una lınea femionica inicial con momento p. En este

caso el momento del foton en los denominadores de los propagadores fermionicos tie-

nen distinto signo. Por lo tanto, si sumamos sobre todos los diagramas conteniendo un

total de n fotones soft, conectados en cualquier orden posible a un numero arbitrario

de lıneas fermionicas iniciales o finales, la ec. (3.24) se convierte en:

eniM0

n∏

r=1

∑

i

ηipµi

pi · kr, (3.25)

donde iM0 es la amplitud completa de la parte hard del proceso y donde el ındice

r corre sobre los fotones radiados y el ındice i sobre las lıneas fermionicas iniciales y

finales con

ηi =

1 para lınea fermionica final

−1 para lınea fermionica inicial

Si solamente un foton real soft es radiado, debemos multiplicar por su vector de

polarizacion, sumar sobre todas las polarizaciones, e integrar el elemento de matriz

al cuadrado sobre el espacio de fase del foton. En el gauge de Feynman esto da un

factor

Y =

∫

d3k

(2π)32k0e2

(

∑

i

ηipi

pi · k

)2

(3.26)

en la seccion eficaz final. Si n fotones reales son emitidos, tendremos n de tales factores

Y de la ec. (3.26), y tambien un factor 1/n! debido a que hay n bosones identicos en

el estado final. La seccion eficaz resumada para la emision de un numero arbitrario

3.2. Exponenciacion 61

de fotones soft es entonces:

σres(i→ f) = σ0(i→ f)∞∑

n=0

Y n

n!= σ0(i→ f)eY , (3.27)

donde σ0(i → f) es la seccion eficaz para el proceso hard sin emisiones soft extras.

Este resultado muestra que todas las emisiones reales soft posibles se exponencian

y que solamente la emision de uno solo contribuye al exponente. Sin embargo, eso

no es el final del analisis dado que el exponente Y de la ec. (3.26) tiene divergencias

infrarrojas. De hecho, para obtener un resultado finito debemos incluir tambien las

correcciones de loops a todos los ordenes. Para un analisis detallado acerca de la

inclusion de loops vease por ejemplo la referencia [66]. Aquı solo daremos el resultado

final el cual es:

σres(i→ f) = σ0(i→ f)eσ(1)

, (3.28)

donde σ(1) es la seccion eficaz relativa a la emision de un foton soft por el proceso hard.

A eσ(1)se lo conoce como factor de Sudakov. Notemos que este factor es universal,

es decir no depende del proceso en particular que se este considerando. Claramente,

la precision de esta formula de resumacion para emision de fotones depende de la

precision a la cual es exponente de emision es calculado.

En la referencia [63] la exponenciacion de las emisiones soft, aquı analizadas para

QED, es generalizada para el caso de QCD. A diferencia de QED, QCD es una teorıa

de gauge no abeliana lo que implica que esta generalizacion es altamente no trivial.

Recordemos que los gluones pueden interactuar unos con otros. Por lo tanto, la emision

de un gluon soft puede proceder tanto de una lınea fermionica como de una gluonica.

Sin embargo, al escribir de forma explıcita dicho factor eikonal, se deduce que la

emision soft es independiente del spin de la partıcula emisora. La otra complicacion

que trae el hecho de tener un grupo con mas de un generador es que el factor soft se

vuelve una matriz en el espacio de color. El elemento de la matriz S es ahora un vector

en el mencionado espacio. Claramente, la corriente eikonal debe ser una matriz, ya que

los gluones siempre llevan color, independientemente de que sean soft. Por lo tanto,

ahora la emision multiple presenta correlaciones dinamicas, pero no cinematicas. Es

decir, despues de emitir un gluon soft, el parton emisor conserva su momento, pero


no ya su color. Sin embargo, es posible mostrar [67, 68] que en la llamada IR leading

approximation, las correlaciones de emision de ordenes superiores para emision real y

virtual se cancelan entre sı por invariancia de gauge. En consecuencia, resulta que en

QCD la radiacion de gluones soft tambien se exponencia.

De acuerdo con este resultado, en la ref. [63] se muestra como la exponenciacion

de emision soft funciona en la resumacion con QCD. Aquı mostraremos los resultados

resumados a NLL para la funcion coeficiente en el espacio de Mellin para los procesos

inclusivos de DIS y DY en el esquema MS en forma compacta (vease la ref. [63]):

CNLL(N,Q2/µ2, αs(µ2)) = exp

a

∫ 1

0

dxxN−1 − 1

1 − x

[

∫ Q2(1−x)a

µ2

dk2

k2A(αs(k

2))

+B(a)(

αS(Q2(1 − x)a))

]

, (3.29)

donde el numerador en la primer integral de la ec. (3.29) esta compuesto por las

emisiones reales: xN−1 y virtuales: −1, y el denominador 1− x muestra el comporta-

miento infrarrojo debido al bremsstrahlung de gluon soft. Entre llaves se encuentran,

primero el termino integral que tiene como lımites de integracion la escala de facto-

rizacion µ, la cual sirve como corte a fin de regularizar la singularidad colineal (dk2

k2 ),

y el maximo valor de momento transferido Q2(1 − x)a. Este primer termino tiene

en cuenta las contribuciones soft y colineal en los estados inicial o final. El segundo

de estos terminos, B(a), describe las contribuciones colineales no-soft del estado final

(solo para DIS, vease la ec. (3.31)). Estos terminos pueden ser escritos como:

A(αs) = A1αs + A2α2s + . . .

B(a)(αs) = B(a)1 αs + . . . (3.30)

con

A1 =CF

π, A2 =

CF

2π2

[

CA

(

67

18− π2

6

)

− 5

9Nf

]

, B(a)1 = −(2 − a)3CF

4π. (3.31)

Aquı a = 1 para el caso de DIS y a = 2 para el caso de DY.

3.3. Resumacion 63

3.3. Resumacion

En la presente seccion introduciremos formalismo de la tecnica de resumacion.

Si bien daremos en la siguiente seccion otros enfoques al mismo tema es, el que

aquı trataremos, el lenguaje que utilizaremos a lo largo de esta tesis.

Consideremos, por simplicidad, el proceso partonico iniciado por los partones a y b

cuyo estado final sea una partıcula sin color [69]. Tal puede ser el caso de aniquilacion

qq o fusion de gluones gg como se analiza en [70]. La seccion eficaz partonica en el

espacio de Mellin se escribe como

σab, N = σ(Born)ab, N

1 +

+∞∑

n=1

αnS

2n∑

m=0

σ(n,m)ab logmN

+O(1/N) = σ(res)ab, N+O(1/N) , (3.32)

donde se ha considerado el lımite umbral (z → 1 o en espacio de momentos N → ∞) y

se consideran las contribuciones dominantes en N . La expresion (3.32) puede, gracias

a la exponenciacion, reorganizarse como

σ(res)ab, N = σ

(Born)ab, N Cab

(

αS(µ2R),

Q2

µ2R

,Q2

µ2F

)

exp

Gab

(

αS(µ2R), logN,

Q2

µ2R

,Q2

µ2F

)

. (3.33)

La funcion Cab(αS) contiene todas las contribuciones que son constantes en el lımite

de N grande. Las mismas tienen su origen en las correciones virtuales hard y las

contribuciones soft no logarıtmicas y pueden ser calculadas en teorıa de perturbaciones

en αS:

Cab

(

αS(µ2R))

= 1 ++∞∑

n=1

(

αS(µ2R)

π

)n

C(n)ab . (3.34)

Todos los terminos logarıtmicos grandes de la forma αnS logmN (donde 1 ≤ m ≤

2n), que se deben a la radiacion de gluones soft, se encuentran incluıdos en el factor

de Sudakov, expG, el cual puede ser expandido en serie de potencias de αS como

Gab

(

αS(µ2R), logN ;

Q2

µ2R

,Q2

µ2F

)

= logN g(1)ab (λ) + g

(2)ab

(

λ,Q2

µ2R

,Q2

µ2F

)

+ αS(µ2R) g

(3)ab

(

λ,Q2

µ2R

,Q2

µ2F

)

+ O(αS(αS logN)k)

(3.35)


donde λ = b0αS(µ2R) logN y b0 es el primer coeficiente de la funcion β de QCD. Es

importante notar que las funciones g(i) heredan la universalidad del factor de Sudakov,

ya que las mismas solo contienen informacion sobre la radiacion soft.

Volviendo a la Ecuacion (3.35), el termino logN g(1) resuma todas las contri-

buciones al orden logarıtmico dominante (LL) de la forma αnS logn+1N . La funcion

g(2) contiene las contribuciones al orden logarıtmico siguiente al dominante (NLL),

αnS lognN , mientras que αSg

(3) incluye los terminos logarıtmicos que corresponden al

orden siguiente al orden siguiente al dominante (NNLL), αn+1S lognN , y ası sucesi-

vamente. Es importante notar que dentro de este contexto, el producto αS logN se

considera formalmente de orden uno. Por lo tanto, el cociente de dos terminos sucesi-

vos en la expansion (3.35) es de orden O(αS). En consecuencia, la misma resulta ser

tan sistematica como la expansion usual de orden fijo en potencias de la constante de

acoplamiento αS.

La figura (3.3) describe de forma esquematica la estructura de la resumacion. Las

filas se corresponden al desarrollo en orden fijo donde se han puesto explıtamente los

terminos αnS logm N . De esta forma cada columna representa un orden en el desarro-

llo de los logaritmos dominantes, por ejemplo la primer columna contiene al LL, la

segunda al NLL, y ası sucesivamente.

El proposito de la resumacion de gluones soft es el de evaluar de manera explıcita

las funciones g(n) en funcion de unos pocos coeficientes que puedan ser calculados

perturbativamente. Para ello, es usual reescribir la ecuacion (3.33) de la siguiente

manera [70]

σ(res)ab, N = σ

(0)ab, N Cab∆

abN (αS(µ2

R), logN ;Q2/µ2R, Q

2/µ2F ) + O(1/N) , (3.36)

donde el coeficiente Cab en la Ecuacion (3.36) es completamente analogo al factor

Cab de la ecuacion (3.33). La unica diferencia entre ambos es debido al hecho de que

algunos terminos constantes en el lımite de N grande han sido trasladados de Cab a

∆N .

Ya estamos en condiciones de analizar un proceso mas complejo. Consideremos el

proceso semi-inclusivo de produccion de un hadron en colisionadores hadronicos

H1(P1) +H2(P2) → h(P3) +X , (3.37)

3.3. Resumacion 65

αs ~ 1L

Resum

acion’

Orden fijo

αs

LOkN

αsL

αs

αsL3

αsL

αsL αsL

αsL3

αs

αsL

αs

αs

αsL

αsL αsL

αs

αs

LO

NLO

NNLO

1

. .

.

. .

.

. .

.

. .

.

. .

.

LL LL LLN NN

+ . . .

+ . . .

L2

4

L2

2

k −2k −1k k −3+ . . . .

. .

+ . . .

L11 L

L

L = ln N

Figura 3.3: Esquema de la resumacion.


donde el hadron h se produce con un momento transversal pT grande. Se integrara so-

bre todos los angulos del hadron producido ( utilizaremos equivalentemente la variable

de pseudorapidity η1), vease la figura (3.4).

θ 450=

=θ 00

θ = 900

θ = 100

η = 2.44

η = 0.88η = 0

Figura 3.4: La variable η de pseudorapidity con respecto al angulo θ.

Ademas se considerara la region umbral, siendo alcanzado este cuando√s = 2pT ,

donde s es la enegıa partonica de centro de masa, y con pT = pT/z el momento trans-

verso del parton que se fragmenta, donde z es la fraccion de momento de dicho parton.

Definiendo xT ≡ 2pT/√s, las grandes contribuciones dominantes cercanas al umbral

provendran de terminos αkS ln2k (1 − x2

T ) a k-esimo orden en teorıa de perturbaciones.

Suficientemente cerca del umbral, la serie perturbativa sera util solamente si dichos

terminos son considerados a todos los ordenes en αS, lo cual es llevado a cabo por la

resumacion.

La seccion eficaz factorizada correpondiente sera entonces [71]

p3T dσ(xT )

dpT=∑

a,b,c

∫ 1

0

dx1 fa/H1

(

x1, µ2FI

)

∫ 1

0

dx2 fb/H2

(

x2, µ2FI

)

∫ 1

0

dz z2Dh/c

(

z, µ2FF

)

∫ 1

0

dxT δ

(

xT − xT

z√x1x2

)∫ η+

η−

dηx4

T s

2

dσab→cX(x2T , η)

dx2Tdη

, (3.38)

donde η es la variable de pseudorapidity a nivel partonico, con η+ = −η− =

ln[

(1 +√

1 − x2T )/xT

]

. La suma en la ec. (3.38) es sobre todos los subprocesos

partonicos ab → cX , con seccion eficaz partonica dσab→cX , fa/H1 y fb/H2 son las

1η esta relacionada con el angulo θ que forma el hadron h con la direccion de los hadrones

incidentes mediante η = ln tg(

θ2

)

, vease la figura (3.4).

3.3. Resumacion 67

pdfs, mientras que Dh/c es la funcion de framentacion. Las escalas µFI y µFF denotan

las escalas de factorizacion del los estados inicial y final respectivamente. La seccion

eficaz partonica de la ec. (3.38) contiene implıcitamente la dependencia sobre estas

escalas y sobre la escala de renormalizacion µR.

La resumacion de las contribuciones de gluones soft se realiza en el espacio de

Mellin donde las convoluciones de la ec. (3.38) entre pdfs, funcion de fragmentacion y

secciones eficaces de los subprocesos se factorizan en productos ordinarios. Tomaremos

los momentos de Mellin en la variable x2T de la forma

σ(N) ≡∫ 1

0

dx2T

(

x2T

)N−1 p3T dσ(xT )

dpT. (3.39)

La seccion eficaz partonica para cada subproceso sera similar a la de la ec. (3.33)

y podra ser escrita entonces de la forma [71]

σ(res)ab→cd(N) = Cab→cd ∆a

N ∆bN ∆c

N JdN

[

∑

I

GIab→cd ∆

(int)ab→cdI N

]

σ(Born)ab→cd(N) , (3.40)

donde la suma sobre I corre sobre todas las posibles configuraciones de color, y GIab→cd

es el peso de cada configuracion, tal que∑

I GIab→cd = 1. Cada una de las funciones

∆iN , Jd

N y ∆ab→cdIN son exponenciales. La funcion ∆a

N contiene los efectos debido a las

radiacion de gluones soft-colineales al parton a, y esta dada en el esquema MS por

ln ∆aN =

∫ 1

0

dzzN−1 − 1

1 − z

∫ (1−z)2Q2

µ2F I

dq2

q2Aa(αS(q2)) , (3.41)

donde Aa corresponde al coeficiente soft de los nucleos (kernels) de Altarelli-Parisi.

Para ∆bN y ∆c

N se tienen expresiones similares, con la salvedad de que para c la escala

de factorizacion µFI debe reemplazarse por µFF . La radiacion colineal emitida por

el parton no observado d en el estado final esta contenida en la funcion JdN , cuya

expresion resulta

ln JdN =

∫ 1

0

dzzN−1 − 1

1 − z

[

∫ (1−z)Q2

(1−z)2Q2

dq2

q2Aa(αS(q2)) +

1

2Ba

(

αS

(

(1 − z)Q2))

]

. (3.42)

La emision soft a grandes angulos (no colineal) puede escribirse como

ln ∆(int)ab→cdI N =

∫ 1

0

dzzN−1 − 1

1 − zDI ab→cd(αS((1 − z)2Q2)) . (3.43)


Finalmente, los coeficientes Cab→cd que contienen la contribuciones hard independien-

tes de N provienen de las correcciones virtuales a un loop. La figura (3.5) es una

representacion grafica de la ec. (3.40).

h

f a

bf

p

p1

2

h 2

1h

a

b ∆ b

∆

∆

a

Dh

c

c

J d

cc

c

d

∆(int)

Figura 3.5: Esquema de la ec. de resumacion (3.40).

En las formulas anteriormente mencionadas, ecs. (3.41)-(3.43), se ha definido

Q2 = 2p2T . Cada una de las funciones F ≡ Aa, Ba, DI ab→cd admite un desarrollo

perturbativo en αS,

F(αS) =αS

πF (1) +

(αS

π

)2

F (2) + . . . , (3.44)

con [72]:

A(1)a = Ca , A(2)

a =1

2Ca

[

CA

(

67

18− π2

6

)

− 5

9Nf

]

, B(1)a = γa , (3.45)

donde Nf es el numero de sabores, y

Cg = CA = Nc = 3 , Cq = CF = (N2c − 1)/2Nc = 4/3

γq = −3CF/2 = −2 , γg = −2πb0 , b0 =1

12π(11CA − 2Nf) . (3.46)

La expansion de los coeficientes Cab→cd sera:

Cab→cd = 1 +αS

πC

(1)ab→cd + O(α2

S) . (3.47)

3.3. Resumacion 69

Daremos entonces las expresiones para las funciones ∆iN y Jd

N al orden NLL. Dicho

orden es el que usaremos durante el resto de esta tesis. Debemos mencionar que las

funciones ∆iN y Jd

N son “universales” en el sentido de que dependen solamente en el

tipo de parton, pero no del subproceso partonico particular, sus expansiones son:

ln ∆aN(αS(µ2

R), Q2/µ2R;Q2/µ2

F )=lnN h(1)a (λ)+h(2)

a (λ,Q2/µ2R;Q2/µ2

F )+O(

αS(αS lnN)k)

,

ln JaN(αS(µ2

R), Q2/µ2R)=lnN f (1)

a (λ) + f (2)a (λ,Q2/µ2

R) + O(

αS(αS lnN)k)

, (3.48)

donde λ = b0αS(µ2R) lnN . Las funciones h(1,2) y f (1,2) estan dadas por

h(1)a (λ) =

A(1)a

2πb0λ[2λ+ (1 − 2λ) ln(1 − 2λ)] , (3.49)

h(2)a (λ,Q2/µ2

R;Q2/µ2F ) = − A

(2)a

2π2b20[2λ+ ln(1 − 2λ)] − A

(1)a γE

πb0ln(1 − 2λ)

+A

(1)a b1

2πb30

[

2λ+ ln(1 − 2λ) +1

2ln2(1 − 2λ)

]

+A

(1)a

2πb0[2λ+ ln(1 − 2λ)] ln

Q2

µ2R

− A(1)a

πb0λ ln

Q2

µ2F

, (3.50)

f (1)a (λ) = − A

(1)a

2πb0λ

[

(1 − 2λ) ln(1 − 2λ) − 2(1 − λ) ln(1 − λ)]

, (3.51)

f (2)a (λ,Q2/µ2

R)=− A(1)a b1

2πb30

[

ln(1 − 2λ) − 2 ln(1 − λ) +1

2ln2(1 − 2λ) − ln2(1 − λ)

]

+B

(1)a

2πb0ln(1 − λ) − A

(1)a γE

πb0

[

ln(1 − λ) − ln(1 − 2λ)]

(3.52)

− A(2)a

2π2b20

[

2 ln (1 − λ) − ln(1 − 2λ)]

+A

(1)a

2πb0

[

2 ln(1 − λ) − ln(1 − 2λ)]

lnQ2

µ2R

.

Siendo b0 como en la ec. (3.46) y

b1 =1

24π2

(

17C2A − 5CANf − 3CFNf

)

. (3.53)

Las funciones h(1) y f (1) contienen todos los terminos LL en la serie perturbativa,

mientras que h(2) y f (2) contienen los de NLL. Para completar la resumacion al orden


NLL necesitamos tambien los coeficientes ln∆(int)ab→cdI N cuya expansion al orden NLL

es:

ln ∆(int)ab→cdI N (αS(µ2

R), Q2/µ2R) =

D(1)I ab→cd

2πb0ln(1 − 2λ) + O

(

αS(αS lnN)k)

.(3.54)

Tal como mencionamos anteriormente, los terminos D(1)I ab→cd, y su correspondiente

“peso de color” GI ab→cd, son dependientes del proceso y de la “configuracion de

color”.

Como hemos discutido con anterioridad la resumacion es llevada a cabo en el es-

pacio de momentos de Mellin. Por lo tanto para obtener la seccion eficaz resumada en

el espacio de x2T , necesitamos invertir la transformacion tal como lo hemos comentado

en la seccion 2.2.1. Se requiere una prescripcion para tratar con las singularidades en

la constante de acoplamiento en las ecs. (3.41)-(3.43) o en las de las expansiones a

orden NLL, ecs. (3.49)-(3.54). Usaremos la Prescripcion Mınima desarrollada en la

referencia [73], la cual consiste en escoger un contorno en el espacio momentos que

este a la derecha de todas las singularidades que presentes y a la izquierda de los

polos de Landau λ = 1/2 y λ = 1, esto es N ∼ O(1000):

p3T dσ

(res)(xT )

dpT

=

∫ CMP +i∞

CMP−i∞

dN

2πi

(

x2T

)−Nσ(res)(N) , (3.55)

donde la constante CMP es la que define a tal contorno.

Hasta aquı hemos dado las generalidades del proceso de resumacion. En la practi-

ca, cuando realizamos la resumacion disponemos de los resultados para la seccion

eficaz a orden fijo, en nuestro caso NLO (O(α3S)), que claramente uno quiere aprove-

char. Por lo tanto, se realiza un empalme (matching) entre la seccion eficaz resumada

y la de orden fijo de la siguiente forma; a la seccion eficaz resumada se le resta su

expansion hasta el orden del orden fijo (en nuestro caso O(α3S)), y a este resultado se

le agrega la seccion eficaz a orden fijo (en nuestro caso NLO). De esta forma hacemos

uso completo de la seccion eficaz a orden fijo y evitamos cualquier tipo de conteo

doble. Por lo tanto, la seccion eficaz resumada al orden NLL sera:

3.4. Enfoques alternativos 71

p3T dσ

(match)(xT )

dpT=∑

a,b,c

∫ CMP +i∞

CMP−i∞

dN

2πi

(

x2T

)−N+1fa/h1(N, µ

2FI) fb/h2(N, µ

2FI)

×Dc/h(2N + 1, µ2FF )

[

σ(res)ab→cd(N) − σ

(res)ab→cd(N)

∣

∣

∣

O(α3S)

]

+p3

T dσ(NLO)(xT )

dpT,

(3.56)

donde σ(res)ab→cd(N) es la seccion eficaz resumada para el canal partonico ab → cd tal

como el dado en la ec. (3.40).

3.4. Enfoques alternativos

Daremos aquı un breve resumen de las distintas corrientes que conducen a la re-

sumacion. Nos centraremos escencialmente en los procesos mas sencillos de DIS y DY

e introduciremos la tecnica de resumacion mediante las propiedades de factorizacion

de la seccion eficaz y a traves del grupo de renormalizacion.

3.4.1. Resumacion a partir de las propiedades de factoriza-

cion

Este enfoque esta basado en la referencia [62]. Mediante este punto de vista se

recobran los resultados dados en la ec. (3.29) de la seccion 3.2. Aquı daremos una

breve descripcion de este metodo basado en las propiedades de factorizacion de la

seccion eficaz en QCD.

Esencialmente se asume que en la frontera del espacio de fase, la seccion eficaz se

factoriza en una parte hard y una soft y eventualmente en otro fractor asociado a jets

colineales como en el caso de DIS donde hay un quark saliente emitido. El resultado

final es obtenido exponenciando los factores soft y colineales. Esto se hace resolviendo

sus ecuaciones de evolucion.

En la referencia [62] se muestra que la seccion eficaz semi-inclusiva puede ser

factorizada en tres factores relativos a las tres diferentes regiones del proceso en el

espacio de momentos: los partones fuera de capa de masa que participan del proceso


partonico hard H , los partones colineales J y los partones soft S en capa de masa.

La seccion eficaz esta dada entonces por:

σ(w) = H

(

p1

µ,p2

µ, ζi

)∫

dw1

w1

dw2

w2

dw3

w3

J1

(

p1 · ζ1µ

, w1

(

Q

µ

)a)

J2

(

p2 · ζ2µ

, w2

(

Q

µ

)a)

S

(

wsQ

µ, ζi

)

δ(w − w1 − w2 − w3), (3.57)

donde a es el numero de hadrones en el estado inicial, µ es la escala de factorizacion

y ζi son los parametros del gauge. La integracion de las variables w1, w2 y w3 estan

referidas a los dos jets colineales y a la radiacion soft respectivamente. Cada factor

de la ec.(3.57) es evaluado a la escala tıpica de la region del espacio de momentos a

la cual esta asociada. La funcion delta impone que

w = w1 + w2 + w3 =

1 − xBjpara DIS

1 −Q2/S para DY

La convolucion de la ec. (3.57) se torna en un producto ordinario luego de aplicar

la transformacion de Mellin:

σ(N) =

∫ ∞

0

dwe−Nwσ(w) = H

(

p1

µ,p2

µ, ζi

)

S

(

Q

µN, ζi

)

×J1

(

p1 · ζ1µ

,Q

µN1/a

)

J2

(

p2 · ζ2µ

,Q

µN1/a

)

. (3.58)

Cada factor H, Ji, S satisface las siguientes ecuaciones de evolucion:

µ2 ∂

∂µ2lnH = −γH(αs(µ

2)), (3.59)

µ2 ∂

∂µ2lnS = −γS(αs(µ

2)), (3.60)

µ2 ∂

∂µ2ln Ji = −γJi

(αs(µ2)), (3.61)

donde las dimensiones anomalas fısicas γH(αs), γJi(αs) y γS(αs) son calculadas en

teorıa de perturbaciones y deben satisfacer, de acuerdo con la invariancia de la seccion

eficaz frente al grupo de renormalizacion, la relacion:

γH(αs) + γS(αs) +

2∑

i=1

γJi(αs) = 0 (3.62)


Resolviendo las ecuaciones (3.59-3.61) e imponiendo la invariancia del grupo de re-

normalizacion ec. (3.62), la seccion eficaz resumada puede escribirse de la siguiente

forma

σ(N) = exp

D1(αs(Q2)) +D2(αs(

Q2

N2)) − 2

a− 1

∫Q

N1/a

QN

dξ

ξln

(

ξN

Q

)

A(αsξ2)

−2

∫ Q2

Q

N1/a

dξ

ξ

[(

Q

N

)

A(αs(ξ2)) − B(αs(ξ

2))

]

, (3.63)

donde las funciones A(αs), B(αs) y Di(αs) estan determinadas en terminos de las

dimensiones anomalas y de la funcion beta. Finalmente, puede observarse que este

resultado puede ser llevado a la forma de la ec. (3.29) de la seccion 3.2 para la funcion

cociente resumada.

3.4.2. Resumacion vista desde el grupo de renormalizacion

El objetivo de la resumacion es incluir los logaritmos de la forma de la ec. (3.13)

de la seccion 3.1 con una cierta jerarquıa como hemos definido en la seccion anterior

y esquematizado en la figura (3.3).

Hemos visto en este capıtulo que una seccion eficaz en QCD puede ser escrita como

convolucion de las densidades partonicas fHia (xi, µ

2) por una seccion eficaz partonica.

Para Drell-Yan:

σDY (x,Q2) =∑

a,b

[

fH1a (µ2) ⊗ fH2

b (µ2) ⊗ Cab(Q2/µ2, αs(µ

2))]

(x), (3.64)

y para el caso de DIS:

σDIS(x,Q2) =∑

a

[

fHa (µ2) ⊗ Ca(Q

2/µ2, αs(µ2))]

(x), (3.65)

donde el producto ⊗ se define como:

(f1 ⊗f2 ⊗· · ·⊗fn)(x) =

∫ 1

0

dx1dx2 . . . dxn

(

f1(x1)f2(x2) . . . fn(xn))

δ(x1x2 . . . xn −x).(3.66)


Introduciendo la transformada de Mellin transformamos estas convoluciones en

productos ordinarios.

σDY (N,Q2) ≡∑

a,b

σa,b(N,Q2)

=∑

a,b

fH1a (N, µ2)fH2

b (N, µ2)Cab(N,Q2/µ2, αs(µ

2)), (3.67)

σDIS(N,Q2) ≡ σa(N,Q2) =

∑

a

fHa (N, µ2)Ca(N,Q

2/µ2, αs(µ2)), (3.68)

donde

Ca(b)(N,Q2

µ2, αs(µ

2)) =

∫ 1

0

dzzN−1Ca(b)(z,Q2

µ2, αs(µ

2)), (3.69)

fHja (N, µ2) =

∫ 1

0

dxxN−1fHja (x, µ2), (3.70)

y donde el segundo ındice entre parentesis (b) se considera solo cuando hay dos ha-

drones en el estado inicial de DY.

De esta manera los logarıtmos de 1− z de la ec. (3.13) de la seccion 3.1 son trans-

formados en logarıtmos de N a traves de la transformada de Mellin. Mientras que la

seccion eficaz σ(N,Q2) es claramente independiente de µ2, no lo es cada contribucion

σa(b)(N,Q2). Sin embargo, la dependencia en µ2 de cada contribucion a la suma a, (b)

en las ecs. (3.67) y (3.68) incluye a los terminos no diagonales de las dimensiones

anomalas γqg y γgq. En el lımite de grandes N , estos estan suprimidos por un factor1N

en comparacion con γqq y γgg, o equivalentemente, las correspondientes funcio-

nes de separacion estan suprimidas por un factor de 1 − z en el lımite de grandes z

(vease las ecs. (2.42) de la seccion 2.1.6). Por lo tanto, en el lımite de N grande, cada

subproceso partonico puede ser tratado independientemente, especıficamente, cada

Ca(b) es invariante del grupo de renormalizacion. Dado que estamos interesados en el

comprotamiento de Ca(b)(N,Q2/µ2, αs(µ

2)) en el lımite N → ∞ podemos tratar cada

subproceso independientemente.

Ya que la resumacion toma la forma de una exponenciacion, definimos la llamada

dimension anomala implıcitamente a traves de la ecuacion:

Q2∂σa(b)(N,Q2)

∂Q2= γa(b)(N,αs(Q

2))σa(b)(N,Q2). (3.71)


La dimension anomala fısica γa(b) en la ec. (3.71) es independiente de la escala de

factorizacion, y esta relacionada con la dimension anomala diagonal estandar γAPcc ,

definida por

µ2∂Fc(N,Q2)

∂µ2= γAP

cc (N,αs(µ2))Fc(N, µ

2), (3.72)

de acuerdo a

γa(b)(N,αs(Q2)) =

∂ lnCa(b)(N,Q2/µ2, αs(µ

2))

∂ lnQ2= γAP

aa (N,αs(Q2)) (3.73)

+ γAP(bb)(N,αs(Q

2)) +∂ lnCa(b)(N, 1, αs(Q

2))

∂ lnQ2. (3.74)

Remarcamos que tanto la dimension anomala estandar (funciones de separacion

de Altarelli-Parisi) y las funciones coeficientes son calculables en teorıa de pertur-

baciones. Por lo tanto la dimension anomala fısica difiere de la estandar solamente

mas alla del LO en αS como puede ser observado directamente de la ec. (3.74). En

terminos de la dimension anomala fısica, la seccion eficaz puede ser escrita como:

σ(N,Q2) =∑

a,(b)

Ka,(b)(N ;Q20, Q

2)σa(b)(N,Q20) (3.75)

=∑

a,(b)

exp[

Ea,(b)(N ;Q20, Q

2)]

σa(b)(N,Q20) (3.76)

donde

Ea,(b)(N ;Q20, Q

2) =

∫ Q2

Q20

dk2

k2γa,(b)(N,αs(k

2)) (3.77)

=

∫ Q2

Q20

dk2

k2

[

γAPaa (N,αs(k

2)) + γAP(bb)(N,αs(k

2))]

(3.78)

+ lnCa(b)(N, 1, αs(Q2)) − lnCa(b)(N, 1, αs(Q

20)). (3.79)

Nos concentraremos ahora sobre el subproceso de los partones entrantes a, (b). La

resumacion de los grandes logaritmos de N en la secion eficaz son obtenidos mediante

la resumacion de la dimension anomala fısica:

σres(N,Q2) = exp

∫ Q2

Q20

dk2

k2γres(N,αs(k

2))

σres(N,Q20). (3.80)


Esto muestra como en general los grandes logaritmos de N pueden ser exponenciados.

Para el caso de DY solamente el canal quark-antiquark debe ser resumado y en el

caso de DIS solamente el canal de quark. Esto es consecuencia del hecho de que las

funciones de separacion no diagonales estan suprimidas en el lımite de grandes N

como hemos discutido anteriormente.

Aquı la precision de la resumacion depende de la precision con la cual es calculada

la dimension anomala γ. Diremos que la dimension anomala esta resumada con pre-

cision de: siguientek−1 al orden logarıtmico dominante (nextk−1-to-leading-logaritmic

accuracy) (Nk−1LL) cuando todas las contribuciones de la forma

αn+ms (Q2) lnmN ; n = 0, . . . , k − 1 (3.81)

sean incluidas en el calculo.

El objetivo es el de determinar la resumacion de la dimension anomala fısica a

partir de algun calculo de esta a orden finito. Claramente, una vez que la dimen-

sion anomala fısica resumada es determinada, se puede predecir las contribuciones

logarıtmicas dominantes, siguientes a la dominante, etc, a la seccion eficaz a todos los

ordenes.

Si bien no sera un estudio exhaustivo, daremos aquı una descripcion de las ideas

principales de la resumacion desde el enfoque del grupo de renormalizacion.

La aproximacion a la resumacion desde el grupo de renormalizacion esta escen-

cialmente dividida en dos pasos. El primero consiste en analizar el espacio de fases

generico en d = 4−2ε dimensiones y ver por consiguiente donde se generan los grandes

logaritmos en las funciones coeficientes y en la dimension anomala fısica. El segundo

paso consiste en resumarlos imponiendo la invariancia de la dimension anomala fısica

frente al grupo de renormalizacion.

Por lo tanto consideremos una medida generica dφn del espacio de fases para

la emision de n partones no masivos con momentos p1, . . . , pn. Podemos decir que

la medida del espacio de fases para la emision de n partones puede ser vista como

la de la emision de dos partones (uno con momento pn y los restantes con momento

Pn = p1+· · ·+pn−1). Entonces, usando recursivamente este procedimiento, obtenemos

que el espacio de fase de n cuerpos se descompone en n − 1 espacios de fase de dos


cuerpos. Esto significa que hemos reducido el estudio de la emision soft del espacio

de fases de n cuerpos al estudio de la emision soft del espacio de dos cuerpos.

El espacio de fases de dos cuerpos con momento entrante P y dos momentos

salientes Q y p en d = 4 − 2ε dimensiones esta dado por

dφ2(P ;Q, p) = N(ε)(P 2)−ε

(

1 − Q2

P 2

)1−2ε

dΩd−1 , N(ε) =1

2(4π)2−2ε, (3.82)

donde dΩd−1 es el angulo solido en d − 1 dimensiones. Podemos pensar que es el

espacio de fases de emision soft de un proceso del tipo de DIS o de DY con momento

p. Por lo tanto tendremos,

emision tipo DIS: P 2 ∝ (1 − zDIS); Q2 = 0 (3.83)

emision tipo DY:

(

1 − Q2

P 2

)

∝ (1 − zDY ); P 2 = sDY , (3.84)

donde zDIS, zDY son cercanos a 1 para la emision soft. Por consiguiente, tenemos

que el espacio de fases de dos cuerpos para emision soft contribuye con un factor

(1 − z)−aε con a = 1 para emision tipo DIS y a = 2 para tipo DY. Cada uno de los

factores (1 − z)−aε que proviene del espacio de fases esta asociado a la emision real

entonces aparecera en la funcion coeficiente junto con una potencia de la constante

de acoplamiento fuerte desnuda α0. En d dimensiones, la constante de acoplamiento

no es adimensional y por lo tanto esta acompanada de un factor

α0

[

Q2(1 − z)a]−ε

, (3.85)

donde Q2 es ahora la escala perturbativa tıpica del proceso. Bajo la transformacion

de Mellin se convierte en

α0

[

Q2

Na

]−ε

. (3.86)

El analisis de la estructura de los diagramas muestra que en el lımite soft (grandes

N), toda la dependencia sobre N aparece a traves de la variable Q2/Na. Finalmente,

un argumento del grupo de renormalizacion muestra que toda esta dependencia puede

ser reabsorvida en el running de la constante de acoplamiento. De hecho, el primer


orden renormalizado de la constante de acoplamiento a la escala de renormalizacion

µ

α0 = µ2εαS(µ2) + O(α2S), (3.87)

y la invariancia frente al grupo de renormalizacion de la dimension anomala fısica

implica que

α0

[

Q2

Na

]−ε

= αS(µ2)

[

Q2

µ2Na

]−ε

+ O(α2S)

= αS(Q2/Na) + O(α2S) (3.88)

donde α0 es la constante de acoplamiento desnuda, αS(µ2) la constante de acopla-

miento renormalizada y los terminos de orden mas altos contienen divergencias las

cuales se cancelan en la seccion eficaz. Siguiendo este argumento uno puede mostrar

que la expresion finita de la constante de acoplamiento renormalizada es una fun-

cion de αS(Q2) y αS(Q2/Na) con coeficientes numericos hasta correcciones de orden

O(1/N).

Ahora bien, nuestro proposito es imponer restricciones a la seccion eficaz me-

diante la invariancia frente al grupo de renormalizacion. Nuestra unica suposicion

es que la funcion coeficiente sea multiplicativamente renormalizable. Esto significa

que todas las divergencias podran ser removidas de la funcion coeficiente desnuda,

C(0)(N,Q2, α0, ǫ), definiendo una constante de acoplamiento renormalizada de acuer-

do a la ecuacion:

α0(µ2, αs(µ

2), ǫ) = µ2ǫαs(µ2)Z(αs)(αs(µ

2), ǫ), (3.89)

y una funcion coeficiente renormalizada

C

(

N,Q2

µ2, αs(µ

2, ǫ)

)

= Z(C)(N,αs(µ2), ǫ)C(0)(N,Q2, α0, ǫ), (3.90)

donde µ es la escala de renormalizacion (escogida aquı igual a la escala de facto-

rizacion) y Z(αs)(αs(µ2), ǫ) y ZC(N,αs(µ

2), ǫ) son calculables en teorıa de pertur-

baciones y tienen multiples polos en ǫ = 0. La funcion coeficiente renormalizada

C(N,Q2/µ2, αs(µ2, ǫ)) es finita en ǫ = 0 y puede depender de Q2 solamente en la

forma Q2/µ2, porque αs(µ2) es adimensional.


La dimension anomala fısica esta dada por

γ(N,αs(Q2), ǫ) = Q2 ∂

∂Q2lnC

(

N,Q2

µ2, αs(µ

2), ǫ

)

= Q2 ∂

∂Q2lnC(0)

(

N,Q2, α0, ǫ)

= −ǫ(α0Q−2ǫ)

∂

∂(α0Q−2ǫ)lnC(0)

(

N,Q2, α0, ǫ)

, (3.91)

donde se ha utilizado el hecho de que C(0) depende de Q2 a traves de la combinacion

α0Q−2ǫ. Esto implica que la dimension anomala fısica γ tiene la expresion perturbativa

γ(N,αs(Q2), ǫ) =

∞∑

i=0

n∑

j=0

γij(ǫ)[α0(Q2)−ǫ](i−j)

[

α0

(

Q2

Na

)−ǫ]j

+ O

(

1

N

)

. (3.92)

La expresion renormalizada de la dimension anomala fısica se obtiene reescribiendo

los terminos en funcion de la constante de acoplamiento renormalizada en lugar de

sus terminos desnudos haciendo uso de la ec.(3.89). Estas funciones

(Q2)−ǫα0 =

(

Q2

µ2

)−ǫ

αs(µ2)Z(αs)(αs(µ

2), ǫ) (3.93)

(Q2/Na)−ǫα0 =

(

Q2/Na

µ2

)−ǫ

αs(µ2)Z(αs)(αs(µ

2), ǫ) (3.94)

son invariantes frente al grupo de renormalizacion, esto es, independientes de µ2. Por

lo tanto,

(Q2)−ǫα0 = αs(Q2)Z(αs)(αs(Q

2), ǫ) (3.95)

(Q2/Na)−ǫα0 = αs(Q2/Na)Z(αs)(αs(Q

2/Na), ǫ). (3.96)

La dimension anomala fısica renormalizada se halla sustituyendo las ecs.(3.95,3.96)

en la ec.(3.92) y expandiendo Z(αs) en potencias de la constante de acoplamiento

renormalizada. Ası obtenemos:

γ(N,αs(Q2), ǫ) =

∞∑

m=1

m∑

n=0

γRmn(ǫ)αm−n

s (Q2)αns (Q2/Na) + O

(

1

N

)

. (3.97)

Debemos mencionar que no podemos concluir aun que la dimension anomala fısica

cuadri-dimensional admita una expresion de la forma de la ec.(3.97), a raız de que los

coeficientes γRmn(ǫ) no son necesariamente finitos cuando ǫ→ 0. Para comprender esto,


es conveniente separar los terminos independientes de N en la dimension anomala

fısica renormalizada, esto es los terminos con n = 0 en la suma de la ec.(3.97).

Escribamos,

γ(N,αs(Q2), ǫ) = γ(l)(αs(Q

2), αs(Q2/Na), ǫ) + γ(c)(αs(Q

2), ǫ) + O

(

1

N

)

, (3.98)

donde hemos definido

γ(l)(αs(Q2), αs(Q

2/Na), ǫ) =∞∑

m=0

∞∑

n=1

γRm+nn(ǫ)αm

s (Q2)αns (Q2/Na) (3.99)

γ(c)(αs(Q2), ǫ) =

∞∑

m=1

γRm0(ǫ)α

ms (Q2). (3.100)

Mientras que γ(N,αs(Q2), ǫ) es finita en el lımite ǫ → 0, coincide con la dimension

anomala cuadri-dimensional, γ(l) y γ(c) no son necesariamente finitas para ǫ→ 0. Sin

embargo, la ec. (3.98) implica que γ(l) y γ(c) pueden convertirse en finitas agregando

y sustrayendo el contratermino

Z(γ)(αs(Q2), ǫ) = γ(l)(αs(Q

2), αs(Q2), ǫ). (3.101)

De esta forma la dimension anomala fısica de la ec. (3.98) se convierte en


2), αs(Q2/Na), ǫ) + γ(c)(αs(Q

2), ǫ) + O

(

1

N

)

, (3.102)

donde


2/Na), ǫ) = γ(l)(αs(Q2), αs(Q

2/Na), ǫ) +

−γ(l)(αs(Q2), αs(Q

2), ǫ), (3.103)

γ(c)(αs(Q2), ǫ) = γ(c)(αs(Q

2), ǫ) + γ(l)(αs(Q2), αs(Q

2), ǫ).(3.104)

Ahora, es claro que γ(c) es finito en ǫ = 0, porque a N = 1 γ(l) se anula y es

independiente de N . Esto tambien implica que γ(l) es finita para todo N , dado que γ

debe ser finita para todo N . Por lo tanto, γ(l) provee una expresion de la dimension

anomala fısica resumada en el lımite de grandesN , hasta los terminos no-logarıtmicos:


2), αs(Q2/Na), ǫ) + O(N0). (3.105)


Es aparente de la ec.(3.104) que γ(c) es una serie de potencias en αs(Q2) con coeficien-

tes finitos en el lımite ǫ→ 0. Para comprender tambien la estructura perturbativa de

γ(l), definimos implıcitamente la funcion g(αs(Q2), αs(Q

2/n), ǫ) como


2/Na), ǫ) =

∫ Na

1

dn

ng(αs(Q

2), αs(Q2/n), ǫ), (3.106)

donde

g(αs(Q2), αs(µ

2), ǫ) ≡ −µ2 ∂

∂µ2γ(l)(αs(Q

2), αs(µ2), ǫ) (3.107)

= −β(d)(αs(µ2), ǫ)

∂

∂αs(µ2)γ(l)(αs(Q

2), αs(µ2), ǫ),(3.108)

donde β(d)(αs) es la funcion Beta d-dimensional

β(d)(αs(µ2), ǫ) − ǫαs(µ

2) + β(αs(µ2)) (3.109)

y donde hemos hecho el cambio de variable n = Q2/µ2. Inmediatamente de las

ecs. (3.99-3.108) surge que g es una serie de potencias en αs(Q2) y αs(µ

2) con coefi-

cientes finitos en el lımite ǫ→ 0:

lımǫ→0

g(αs(Q2), αs(µ

2), ǫ) ≡ g(αs(Q2), αs(µ

2))

=∞∑

m=0

∞∑

n=1

gmnαms (Q2)αn

s (µ2). (3.110)

Por lo tanto, el resultado final para la dimension anomala fısica resumada a todos los

ordenes esta dada por

γres(N,αs(Q2)) =

∫ Na

1

dn

ng(αs(Q

2), αs(Q2/n)) + O(N0). (3.111)

Obviamente la resumacion tratada desde el punto de vista del grupo de renorma-

lizacion constituye un tema por demas extenso. Sin embargo, no es el tema central de

esta tesis tratar la resumacion de esta forma, nuestro objetivo aquı es dar un esquema

general del tipo de expresiones y como deben tratarse dentro de este marco.

Basandose en los argumentos del grupo de renormalizacion descriptos, las refe-

rencias [74–76] utilizan el teorema de factorizacion para expresar la seccion eficaz


hadronica como una convolucion de las densidades partonicas junto con una seccion

eficaz a nivel partonico. Esto luego es refactorizado en funciones asociadas a la emi-

sion soft y colineal de gluones de los partones del estado inicial y final, una funcion

asociada con la emision gluonica soft no colineal que involucra la estructura de color

del scattering hard, y una funcion de hard-scattering de corta distancia. Las propie-

dades del grupo de renormalizacion de estas funciones permite la exponenciacion de

las contribuciones de gluones soft proveyendo la seccion eficaz resumada. Para una

revision detallada, vease [77]. Naturalmente la resumacion de los logaritmos umbrales

se lleva a cabo en el espacio de momentos y la seccion eficaz partonica toma la forma

σ(N) =∫

dzzN−1σ(z). Los logaritmos ahora en la variable N se exponencian y la

funcion de hard scattering resumada a NLL para rapidity fija se escribe de la forma:

σres(N) = exp

[

∑

i

Efi(N)

]

exp

[

∑

j

E ′fj (N)

]

× exp

[

∑

i

2

∫

√s

µF

dµ

µγi/i (αs(µ))

]

exp

[

2 dαs

∫

√s

µR

dµ

µβ (αs(µ))

]

×Tr

Hfifj (αs(µR)) exp

[

∫

√s/N

√s

dµ

µΓ† fifj

S (αs(µ))

]

Sfifj

(

αs(√s/N)

)

× exp

[

∫

√s/N

√s

dµ

µΓ

fifj

S (αs(µ))

]

, (3.112)

donde N = NeγE , con γE la constante de Euler. La suma sobre i corre sobre los

partones del estado inicial, mientras que sobre j sumamos los partones del estado

final. Aquı se han suprimido todos los terminos dependientes del gauge dado que se

cancelan explıcitamente. Daremos las expresiones explıcitas a un loop necesarias para

el calculo a NLL.

El primero de los exponentes en la ec. (3.112) esta dado en el esquema MS por

Efi(N) = −∫ 1

0

dzzN−1 − 1

1 − z

∫ 1

(1−z)2

dλ

λAi (αs(λs)) + νi

[

αs((1 − z)2s)]

, (3.113)

con Ai(αs) = A(1)i αs/π + A

(2)i (αs/π)2 + A

(3)i (αs/π)3 + · · · . Aquı A

(1)i = Ci con Ci =

CF = (N2c −1)/(2Nc) para quark o antiquark y Nc para gluon, donde Nc es el numero


de colores. A(2)i = CiK/2 con K = CA (67/18−π2/6)−5nf/9, siendo nf es el numero

de sabores. Tambien νi = (αs/π)ν(1)i + (αs/π)2ν

(2)i + (αs/π)3ν

(3)i + · · · , con ν

(1)i = Ci.

El segundo de los exponentes es de la forma

E ′fj(N) =

∫ 1

0

dzzN−1 − 1

1 − z

∫ 1−z

(1−z)2

dλ

λAj (αs (λs)) (3.114)

−Bj [αs((1 − z)s)] − νj

[

αs((1 − z)2s)]

,

donde Bj = (αs/π)B(1)j + (αs/π)2B

(2)j + (αs/π)3B

(3)j + · · · con B

(1)q = 3CF/4 y B

(1)g =

β0/4, donde β0 es el orden mas bajo de la funcion β, β0 = (11CA − 2nf )/3.

En el tercer exponente γi/i es la dimension anomala en espacio de momentos de

la densidad φi/i en el esquema MS. En el cuarto exponente se encuentra la funcion

β. La constante dαs = 0, 1, 2 dependiendo del orden de la seccion eficaz Born, α0s , α

1s,

α2s, respectivamente.

Hfifj son las funciones de hard-scattering para la colision de partones fi and fj ,

mientras que Sfifj son las funciones soft que describen emision de gluones soft no coli-

neal. Aquı se usan las expansiones H = αdαss H(0)+(α

dαs+1s /π)H(1)+(α

dαs+2s /π2)H(2)+

(αdαs+3s /π3)H(3) + · · · y S = S(0) + (αs/π)S(1) + (αs/π)2S(2) + (αs/π)3S(3) + · · · . De-

bemos notar que tanto H como S son matrices en el espacio de color y que la traza

debe ser tomada. Al orden mas bajo, la traza del producto de las matrices hard H y

soft S reproduce la seccion eficaz Born de cada proceso partonico,

σBorn = αdαss tr[H(0)S(0)]. (3.115)

A traves de propiedades del grupo de renormalizacion puede verse que la evolucion

de la funcion soft esta dada en terminos de la matriz de dimension anomala soft

ΓS [12]. En procesos mas simples de color ΓS es una matriz trivial 1× 1 mientras que

en procesos complejos debe ser escogida una base de color. Para quark-(anti)quark

scattering, ΓS es una matriz de 2 × 2 [12]; Para quark-gluon scattering es de 3× 3 y

para gluon-gluon scattering es de 8× 8 [12].

Capıtulo 4

Colision de hadrones no

polarizados

En el presente capıtulo abordaremos el estudio de la resumacion en procesos no

polarizados de colision de protones que dan lugar a hadrones con alto impulso trans-

versal pp→ h+X. Comenzaremos por estudiar los procesos donde el hadron creado

es neutro y luego extenderemos el analisis para hadrones cargados. Estos procesos

nos serviran de referencia para luego, en el capıtulo siguiente analizar dicha colision

cuando ambos protones se encuentran polarizados longitudinalmente. Mostraremos

con detalle como se obtienen cada uno de los coeficientes de la expresion (3.40) intro-

ducidos en el capıtulo 3.

4.1. pp→ h +X no polarizado a NLL

Continuemos nuestro estudio de produccion de hadrones con un ejemplo. Con-

sideremos el proceso semi-inclusivo de produccion de un pion pp → π0 + X donde

los protones colisionantes no se encuentran polarizados. Para calcular su seccion efi-

caz resumada al orden NLL (ec. 3.56), debemos computar todos los terminos de la

85

86 CAPITULO 4. Colision de hadrones no polarizados

ecuacion (3.40) de la seccion 3.3:

σ(res)ab→cd(N) = Cab→cd ∆a

N ∆bN ∆c

N JdN

[

∑

I

GIab→cd ∆

(int)ab→cdI N

]

σ(Born)ab→cd(N) , (4.1)

donde debemos considerar todos los subprocesos partonicos ab → cd que dan lugar

a la produccion del pion. Por ejemplo, el scattering de quarks contendra los canales

qq′ → qq′ y qq → qq, donde q y q′ indican quarks de distinto sabor. La aniquilacion

quark-antiquark, qq → qq, qq → gg, qq′ → qq′, y qq → q′q′. El scattering de quark-

gluon, qg → qg y qg → gq. Finalmente, la fusion de gluones aportara los subprocesos:

gg → gg y gg → qq. Vale la pena recordar aquı que el orden de los partones en el

estado final es de importancia dado que uno de ellos (el que es considerado parton c)

sera el que se fragmente en el pion observado, mientras que el otro (d) si bien tambien

se fragmentara no sera observado. Por este motivo, por ejemplo, los subprocesos

qg → qg y qg → gq son considerados distintos.

Comencemos por analizar la seccion eficaz Born de la ec. (4.1). Para ello recorde-

mos de la ec. (3.115) de la seccion 3.4.2 que la seccion eficaz Born puede ser calculada

tomando la traza del producto de las matrices de hard-scattering H y funciones soft S

al orden mas bajo. Mostraremos un ejemplo sencillo para un subproceso en particular,

los resultados de los demas subprocesos se compilan en el Apendice A.

Analicemos el scattering qq → qq como se muestra en la figura (4.1).

q (p ,r ) q (p ,r )a a bb

c

g

q (p ,r ) q (p ,r )1 1 2 2

q (p ,r ) q (p ,r )a a bb

c

g

q (p ,r ) q (p ,r )1 1 2 2

(A) (B)

Figura 4.1: Diagramas de Feynman para qq → qq. Los terminos pi, con i = 1, 2,a o b, indicanel impulso del (anti-)quark correspondiente, mientras que ri indica el color.

Remarcamos el hecho de que debemos escoger una base de color, tomaremos al

4.1. pp→ h+X no polarizado a NLL 87

igual que en la referencia [76] la base de singlete-octete en el canal t:

cqq→qq1 = (T c)r1ra(T

c)r2rb, (4.2)

cqq→qq2 = δrar1δrbr2. (4.3)

Usando las identidades δrr = Nc, siendo Nc el numero de colores, y

T aijT

alk = 1

2

[

δilδjk − 1Ncδijδlk

]

, podemos escribir S al orden mas bajo como Sij = c†icj .

Por lo tanto las componentes seran:

S11 = c†1c1 = (T c)r2rb(T c)rar1(T

d)r1ra(Td)rbr2 = (4.4)

=1

4

[

δr2raδrbr1 −1

Ncδr2rb

δrar1

] [

δr1rbδrar2 −

1

Ncδr1raδrbr2

]

=1

4

[

N2c − 1

]

,(4.5)

S12 = c†1c2 = S21 = c†2c1 = δr1raδr2rb(T c)r1ra(T

c)rbr2 = (T c)rr(Tc)r′r′ = 0, (4.6)

S22 = c†2c2 = δr1raδr2rbδrar1δrbr2 = δrrδr′r′ = N2

c . (4.7)

De esta manera, la matriz soft para el subproceso qq → qq esta dada por:

Sqq→qq =

14(N2

c − 1) 0

0 N2c

. (4.8)

El mecanismo para construirse la matriz hard H tambien necesita de la misma

base de color. Lo que haremos es ver como se reescriben las matrices de color de las

amplitudes de los diagramas de Feynman en esta base. Mientras que el diagrama de

Feynman para el canal u (diagrama (B) de la fig. (4.1)) tiene la estructura de color

(T c)r2ra(Tc)r1rb

, el canal t (diagrama (A) de la fig. (4.1)) es de la forma (T c)r1ra(Tc)r2rb

.

Dado que la base escogida corresponde a la estructura del singlete-octete de color del

canal t, la ultima de las expresiones en esta base sera simplemente c1, mientras que

para la primera deberemos descomponerla en dicha base,

(T c)rar1(Tc)ra1rb

=CF

Nc

c2 −1

Nc

c1 (4.9)

donde CF = N2c−1

2Nc. De esta manera la amplitud al cuadrado sera de la forma:

|M|2 =

(

µA1 +

CF

NcµB

2 − 1

NcµB

1

)2

= µA1

2 − 2

NcµA

1 µB1 +

1

N2c

µB1

2+

2CF

NcµA

1 µB2 − 2CF

N2c

µB1 µ

B2 +

C2F

N2c

µB2

2,(4.10)


donde µ indica la amplitud descompuesta en cada base de color y los supraındices

indican si provienen del diagrama A (canal t) o B (canal u). Ya estamos en condiciones

de escribir H , por ejemplo el elemento H22 sera:

H22 =2C2

F

N4c

t2 + s2

u2(4.11)

donde la dependencia en las variables de Mandelstan es la tıpica de una amplitud

proveniente del canal u al cuadrado. De esta misma forma,

H11 =2

N2c

[

s2 + u2

t2− 2

Nc

s2

tu+

1

N2c

s2 + t2

u2

]

, (4.12)

H12 = H21 =2CF

N3c

[

s2

tu− 1

Nc

t2 + s2

u2

]

. (4.13)

Ası la matriz H sera:

Hqq→qq = α2S

H11 H12

H21 H22

. (4.14)

con H11, H12 y H22 dados en ecs. (4.11-4.13).

Una vez calculadas S y H , la expresion para la seccion eficaz Born es inmediata:

σ(Born)qq→qq =

1

sTr Sqq→qqHqq→qq

= α2S

CF

Ncs

[

s2 + u2

t2+s2 + t2

u2− 2

Nc

s2

tu

]

. (4.15)

Ahora bien en el espacio de momentos la expresion sera:

σ(Born)qq→qq =

π

2

∫ 1

0

dv (4v(1 − v))N+1 1

sTr Sqq→qqHqq→qq (4.16)

donde en la matriz H se toma u = −vs y t = −(1 − v)s. Aquı es interesante notar

que en el lımite umbral w → 1, corresponde a N → ∞ y uno tiene una expresion del

tipo:

∫ 1

0

dv [4v(1 − v)w]N+1 f(v) =

∫ 1

0

dv [4v(1 − v)w]N+1

[

f

(

1

2

)

+ O(

1

N

)]

,

(4.17)


lo que implica que a grandes N , la variable v se “concentra” en v = 1/2, y por lo

tanto, la rapidity partonica es forzada a η = 0. Esto significa, por ejemplo, que cerca

del umbral este justificado tomar la seccion eficaz partonica a NLO como proporcional

a la seccion eficaz Born.

Al resolver la integral de la ec. (4.16) y utilizar algunas propiedades conocidas de

la funcion Gama Γ(x), se llega a:

σ(Born)qq→qq(N) =

2πCF

3C2A

(

CA(5N2 + 15N + 12) − 2N(3 + 2N))

B

(

N,5

2

)

, (4.18)

donde CA = Nc como en la ec. (3.46) de la seccion 3.3, B(a, b) es la funcion Beta

B(a, b) =

∫ 1

0

dxxa−1(1 − x)b−1 =Γ(a)Γ(b)

Γ(a + b), (4.19)

siendo Γ(x) la funcion Gama definida como:

Γ(x) =

∫ ∞

0

e−yyx−1dy (x > 0). (4.20)

Sabiendo ya calcular la seccion eficaz Born, pasemos ahora a describir el computo

de los coeficientes dependientes de color GIab→cd y ∆

(int)ab→cdI N de la ec. (4.1). Para ello

es necesario analizar la traza de la ec. (3.112), donde para desarrollar la exponencial

de la matriz anomala Γs es necesario diagonalizarla. Por lo tanto, la traza sera:

Tr[H eR

Γ†s S e

R

Γs ]. (4.21)

Si consideramos el mismo proceso partonico qq → qq debemos solamente agregar

la expresion para Γs. Dichas expresiones se encuentran en las referencias [75, 76] :

Γqq→qqs =

−1CA

(log[−t/s] + log[−u/s]) +D 2 log[−u/s]CF

CAlog[−u/s] 2CF log[−t/s] +D

. (4.22)

donde s, t y u son las variables de Mandelstan y D es un termino diagonal, que

a continuacion definiremos. Aunque la seccion eficaz es independiente de gauge, las

funciones en las cuales es factorizada son, en general, dependientes de la eleccion de

nµ, el vector axial de gauge (Vease las referencias [12,75,76]). Habiendo mencionado


esto, el termino diagonalD es de forma, D = 12CF (4−log[2νqa]−log[2νqb]−log[2νq1]−

log[2νq2]), donde νi ≡ (vi·n)2

|n|2 , siendo vi la vector velocidad de la partıcula i

Con esto es posible calcular y reescribir la traza de la forma:

Tr[H eR

Γ†s S e

R

Γs ] = σ(Born)

G1[1 − 2αSb0 lnN ]D1 +G2[1 − 2αSb0 lnN ]D2

,

(4.23)

donde precisamente G1 y G2 son los pesos de color que cumplen G1 + G2 = 1. D1 y

D2 son los terminos de la ec. (3.43) para ∆(int)ab→cdI N .

Por ultimo nos resta comentar como se determinan los coeficientes Cab→cd, donde

contaremos con la ventaja de conocer las expresiones a NLO. El proceso consiste en

lo siguiente: Para cada canal partonico se expande la seccion eficaz resumada de la

ecuacion (4.1) a primer orden en αS. Cerca del umbral, uno puede tomar directamen-

te la transformada de Mellin de las expresiones analıticas para el NLO. Comparando

ambos resultados, primero se verifica que todos los terminos logarıtmicos sean repro-

ducidos correctamente por el formalismo de la resumacion. Los terminos restantes,

independientes de N , en la seccion eficaz a orden NLO dan los coeficientes C(1)ab→cd.

Habiendo analizado cada termino de la ecuacion (4.1) ya estamos en condiciones

de presentar los resultados de la resumacion a NLL para el proceso pp→ π0 +X.

4.1.1. Resultados fenomenologicos

Comenzando de la ecuacion (3.56) de la seccion 3 debemos especificar cuales son

nuestras elecciones para las pdf’s y ff’s. Usaremos MRST2002 para la densidad de

partones [78] y las funciones de fragmentacion para pion “KKP” de la referencia [79].

Tal como hemos discutido en el capıtulo anterior, generalmente se esperan grandes

contribuciones de la resumacion de gluones soft para produccion de hadrones. Es im-

portante estar seguros de que los terminos de resumacion de gluones soft constituyen

la parte dominante de la seccion eficaz y que por ejemplo no se tienda a sobreesti-

mar los ordenes mas altos. Por esta razon comenzaremos por identificar las regiones

cinematicas donde las contribuciones de gluones soft dominan la seccion eficaz. Una

medida de esto se obtiene comparando la seccion eficaz resumada expandida hasta

el NLO con el calculo completo a orden fijo de NLO, esto es comparando los dos


ultimos terminos de la ec. (3.56). La figura (4.2) muestra esta comparacion para una

energıa tıpica de blanco fijo√S = 31,5 GeV, y para RHIC a

√S = 200 GeV. Como

puede observarse, la expansion reproduce el resultado a orden fijo de gran manera.

Para el regimen de blanco fijo el acuerdo es excelente, excepto tal vez para pequenos

momentos transversos del pion pT ∼ 3 GeV, donde la aproximacion soft tiende li-

geramente a sobreestimar al orden fijo. Esto esta relacionado con el hecho de que

para pequenos valores de pT (a energıa fija), uno esta lejos de la region umbral y

por lo tanto la aproximacion soft se vuelve menos precisa. Lo mismo se espera si uno

aumenta la energıa mientras se mantiene el momento transverso fijo. De hecho, tal

como muestran las curvas para√s = 200 GeV en fig. (4.2), el resultado resumado

expandido a NLO da un escenario menos preciso que el de blanco fijo aunque sin

embargo la prediccion sigue siendo remarcablemente cercana a la prediccion de orden

fijo a NLO. Por lo tanto, la conclusion de la figura (4.2) es que las contribuciones

asociadas a una region cercana a la umbral son dominantes en el regimen de blanco

fijo, implicando que la resumacion es relevante y precisa aun para valores pequenos

de momento transverso. Para colisionadores hadronicos tales como RHIC la secion

resumada aparenta sobreestimar los resultados. Retornaremos sobre este punto mas

adelante. Ahora nos concentraremos en el regimen de blanco fijo.

El paso siguiente es investigar cuan grandes son las contribuciones de los ordenes

superiores dadas por la resumacion a NLL. Para esto volvamos a la ec. (3.56) y

tomemos el resultado resumado completo. Definimos los factores “K” como el cociente

de la seccion eficaz resumada con la seccion eficaz a orden fijo,

K(res) =dσ(match)/dpT

dσ(NLO)/dpT, (4.24)

el cual se muestra en el regimen de blanco fijo, y para escalas µR = µFI = µFF = pT ,

por una lınea solida en la figura (4.3). Como puede observarse, el valor de K(res)

es realmente grande significando que los resultados resumados conducen a un gran

aumento sobre el NLO. Es interesante ver como se construyen estos aumentos orden

por orden en la seccion eficaz resumada, por esta razon se define los factores “Kn”

Kn ≡dσ(match)/dpT

∣

∣

O(α2+nS )

dσ(NLO)/dpT, (4.25)


pT(GeV)

pp → π0+X pT∗ dσ/dpT (nb∗ GeV2)pp → π0+X p3

RHIC √s=200 GeV

NLOExpansion

MRST2002 KKP all | η |

E706 √s=31.5 GeV

10-2

1

10 2

10 4

10 6

10 8

10 9

3 4 5 6 7 8 9 10 11

Figura 4.2: Comparacion de la seccion eficaz a orden fijo NLO (lıneas solidas) para pp → π0X conla seccion eficaz resumada extendida a orden NLO (O(α3

S)) (lıneas de trazos), para dos energiasdiferentes. Se han escojido las escalas de factorizacion y renormalizacion iguales a pT .

donde n = 2, 3, . . . da el incremento sobre el NLO debido a los terminos de orden

O(α2+nS ) en la formula resumada. Formalmente, K1 = 1 y K∞ = K(res). Los re-

sultados para K2,3,4,5,6 tambien se muestran en la Fig. (4.3). Como se puede ver las

contribuciones son grandes incluso mas alla del NNLO, en particular a grandes valores

de pT . Claramente aquı se requiere la resumacion completa la cual esta representada

por la lınea solida.

Como hemos mencionado con anterioridad, nuestro analisis determina la seccion

eficaz resumada donde se ha integrado sobre todo rapidity. Sin embargo, en los expe-

rimentos solo una region es cubierta por los detectores. Con el objeto de obtener una

prediccion comparable con los datos experimentales, aproximamos la seccion eficaz

resumada en una region de rapidity por,

p3T dσ

(match)

dpT(η in exp. range) = K(res) p

3T dσ

(NLO)

dpT(η in exp. range) , (4.26)

donde K(res) es tal como se definio en la ec. (4.24) en terminos de la seccion eficaz

resumada integrada sobre todo rapidity. En otras palabras, reescaleamos los resultados


1

2

3

4

5

6

Resummed

pT

Kn

√s = 31.5 GeV

0

1

2

3

4

5

6

2 3 4 5 6 7 8 9 10

Figura 4.3: Factores “Kn” relativos al NLO definidos en las ecs. (4.24) y (4.25)para pp → π0X en el regimen de blanco fijo.

resumados a traves del cociente de la seccion eficaz a NLO integrada sobre el rango

de rapidity relevante experimentalmente con el integrado sobre todo η.

En la figura (4.4) se comparan las predicciones resumadas a NLL y las de NLO

con los datos experimentales de E706 [80] para pp → π0X a√S = 31,5 GeV. Los

datos cubren la region de |η| < 0,75. Los resultados se presentan para tres escalas

diferentes, µR = µFI = µFF = ζpT , donde ζ = 1/2, 1, 2. Es evidente que el NLO

no reproduce correctamente los resultados experimentales tal como se ha observado

en [5–7]. Mas aun, a NLO hay una gran dependencia de la escala. La situacion es

claramente mejorada cuando se considera la resumacion a NLL. Tal como hemos

observado en la fig. (4.3), la seccion eficaz a NLL es considerablemente mas grande que

a NLO haciendo que la comparacion con los datos de E706 sea altamente satisfactoria.

Tambien la dependencia de escala es reducida notablemente en comparacion al NLO,

mejorando la precision de la prediccion.

Como hemos mencionado, las predicciones resumadas constituyen una mejora no-


pT(GeV)

pp → π0+X E∗ d3σ/dp3 (nb/GeV2)

ζ=1

ζ=1/2ζ=2

NLO NLL

MRST2002 KKPE706 √s=31.5 GeV | η | < 0.75

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

1

10

10 2

10 3

3 4 5 6 7 8 9 10 11

Figura 4.4: Resultados a NLO y NLL de la seccion eficaz pp → π0X para lacinematica del experimento E706. Los resultados estan dados para tres escalasdistintas, µR = µFI = µFF = ζpT , donde ζ = 1/2, 1, 2. Los datos experimen-

tales provienen de la referencia [80].

table respecto de las predicciones de orden fijo en el regimen de blanco fijo. En el regi-

men de colisionadores hadronicos tales como RHIC observamos que a altas energıas,

como ser√S = 200 GeV, la expresion resumada expandida sobreestima los valores de

orden fijo. Sin embargo a energıas mas bajas, donde se esta mas cerca del umbral la si-

tuacion cambia notablemente pudiendose obtener predicciones mas precisas. Por este

motivo analizaremos el regimen de colisiones hadronicas en RHIC a√S = 62,4 GeV,

ya que a esta energıa mas baja se experimento con el detector PHENIX. La figura

(4.5) muestra los resultados de la prediccion de la seccion eficaz a NLO, resumada

expandida a orden O(α3S) y la NLL para el proceso pp → π0X a

√S = 62,4 GeV.

Se ha considerado las escalas de factorizacion y renormalizacion iguales a pT y se

ha integrado sobre todo η. Tal como puede observarse, el orden resumado expandido

a O(α3S) reproduce el NLO mejor que en la situacion de mayor energıa. Si bien a

valores pequenos de pT esta diferencia es importante, a medida que nos aproximamos

al umbral (mayores pT ) esta discrepancia se torna pequena pudiendose considerar la


aproximacion soft como suficiente. Tambien debemos notar que la seccion eficaz se

incrementa con la prediccion a NLL que la considerada a orden NLO.

Figura 4.5: Resultados a NLO, resumado expandido a O(α3S) y a NLL de la

seccion eficaz pp → π0X para RHIC a√

S = 62,4 GeV. Se ha considerado laregion completa de η y las escalas µR = µFI = µFF = pT .

El analisis para obtener una prediccion que se ajuste al experimento, es el mis-

mo que detallamos anteriormente. Dado que la cobertura del detector es solo en una

region del espacio, debemos reescalear nuestros resultados integrados para todo η.

Como se ha dicho, utilizamos los factores K con este fin. Experimentalmente PHE-

NIX tiene un rango de cobertura de |η| < 0,35. La figura (4.6) muestra los resultados

de la seccion eficaz a NLO y resumada a NLL. Hemos considerado aquı las distribu-

ciones de partones de “MRST” [37] junto con las funciones de fragmentacion “DSS”.

Los datos experimentales son de la referencia [81]. Se analizan tres diferentes escalas:

µR = µFI = µFF = ζpT , donde ζ = 1/2, 1, 2. Como puede observarse, la prediccion

a orden fijo (izquierda de la figura (4.6)) reproduce razonablemente los resultados

experimentales, aunque sin embargo con un valor central por debajo. Tambien debe-

mos notar que la incerteza provocada por las distintas escalas es sin dudas demasiado

grande. La situacion mejora notablemente al considerar la resumacion a NLL (dere-

cha de la figura (4.6)). Aquı los resultados experimentales son reproducidos con gran


precision y la incerteza disminuye notablemente.

Figura 4.6: Resultados a NLO y NLL de la seccion eficaz pp → π0X para RHIC

a√

S = 62,4 GeV. Los resultados se muestran para tres escalas distintas,µR = µFI = µFF = ζpT , donde ζ = 1/2, 1, 2. Los datos experimentales provie-

nen de la referencia [81].

4.2. pp→ h± +X no polarizado a NLL

Habiendo analizado ya el proceso de colision de protones no polarizados que da

origen a un hadron neutro, nos proponemos extender el analisis al caso donde el

hadron del estado final se encuentra cargado. La unica diferencia con el analisis ante-

rior radica en que debemos tomar funciones de fragmentacion distintas para este caso.

Por esta razon hemos utilizado en nuestro estudio el nuevo conjunto de funciones de

fragmentacion de “de Florian-Stratmann-Sassot ” (DSS) de las referencias [82, 83].

Debemos mencionar tambien que dicho set de funciones de fragmentacion son las pri-

meras en determinar de forma individual las funciones de fragmentacion para quark

y anti-quarks para todos los sabores, ası como tambien para gluones.

Antes de presentar los resultados obtenidos vale la pena mencionar las diferencias

que poseen las funciones de fragmentacion para hadrones cargados con las de hadrones

4.2. pp→ h± +X no polarizado a NLL 97

neutros1.

Para ajustar los datos experimentales de colisiones lepton-nucleon y hadron-hadron,

se toma una distribucion parametrizada a µ0 = 1 GeV como:

DHi (z, µ0) =

Nizαi(1 − z)βi[1 + γi(1 − z)δi ]

B[2 + αi, βi + 1] + γiB[2 + αi, βi + δi + 1], (4.27)

donde B[a, b] representa la funcion Beta de Euler, Ni es una normalizacion segun

la regla de suma∑

H

∫ 1

0dzzDH

i (z,Q2) = 1. Tanto α, β, γ y δ son los parametros de

ajuste.

Para u, u, d, d → π+ se impone simetrıa de isospin, i.e.,

Dπ+

u = Dπ+

d , (4.28)

Aunque permite normalizaciones distintas en la suma q + q:

Dπ+

d+d = NDπ+

u+u. (4.29)

Para quarks extranos se asume que

Dπ+

s = Dπ+

s = N ′Dπ+

u (4.30)

con N ′ independiente de z.

Analogamente para kaones se pide que:

DK+

u = DK+

s = DK+

d = DK+

d . (4.31)

Con estas funciones de fragmentacion correspondientes a hadrones cargados es

posible, mediante la ec.(3.56) del capıtulo 3 calcular la seccion eficaz a NLL.

Dado que proximamente en RHIC se llevara a cabo la observacion del proceso

pp → h±X es de nuestro interes obtener la seccion eficaz para este proceso. Por

este motivo consideraremos una energıa de√S = 62,4 GeV, junto con una pseudo-

rapidity |η| < 0,35, tal cual lo hemos hecho para el proceso considerado anteriormente

de produccion de pion neutro. Hemos utilizado las pdf’s de MRST [37] como en el

1No haremos aquı un estudio exhaustivo, simplemente mostramos las diferencias escenciales. Para

mayor profundidad es recomendable ver [82, 83].


caso anterior. La figura (4.7) muestra los resultados obtenidos para la seccion eficaz

del proceso pp → π±X a NLO (izquierda) y NLL (derecha). Tal como sucede para

π0 la seccion eficaz se incrementa al pasar de NLO a NLL y tambien tiene lugar la

misma reduccion en la incerteza de escalas.

Figura 4.7: Resultados a NLO (izq.) y a NLL (der.) de la seccion eficaz pp → π±X para

RHIC a√

S = 62,4 GeV. Se ha considerado la region de |η| < 0,35 con tres distintas escalasµR = µFI = µFF = ζpT .

Analogamente en la figura (4.8) se pueden observar los resultados de la seccion

eficaz para el proceso de produccion de kaones cargados pp → K±X a NLO (izq.)

y NLL (der.). Tal como es de esperarse la seccion eficaz es algo menor que para

produccion de piones. Nuevamente la seccion eficaz se incrementa al considerar la

resumacion de los logaritmos dominantes con respecto al NLO. Tambien se observa

una gran disminucion en la incerteza de escala al pasar de NLO a NLL.

Finalmente nos resta considerar los procesos de produccion de proton pp → pX

y anti-proton pp → pX . La funcion de fragmentacion sigue los mismos lineamientos

anteriores y se encuentra en la referencia [83]. En la figura (4.9) presentamos nuestros

resultados para estos procesos. El comportamiento es analogo a los casos anteriores,

la seccion eficaz se incrementa al considerar el orden NLL con respecto al orden fijo

4.2. pp→ h± +X no polarizado a NLL 99

Figura 4.8: Idem figura (4.7) para la seccion eficaz pp → K±X.

NLO y sigue siendo importante la reduccion en la incerteza de escalas.

Habiendo analizado ya los procesos de produccion de piones, kaones y protones

estamos en condiciones de predecir la seccion eficaz de produccion de hadrones car-

gados en general. Para ello debemos considerar los hadrones remanentes que tambien

pueden crearse en esta colision. Si bien contribuyen en pequena medida, aportan lo

suficiente como para no ser despreciados. Considerandolos entonces, es posible sumar

las contribuciones de piones, kaones, protones (anti-protones) y los hadrones remantes

para obtener la seccion eficaz del proceso de produccion de hadrones cargados. En la

figura (4.10) se pueden observar nuestras predicciones a NLO (izq.) y a NLL (der.)

para el proceso pp → h±X relevante para RHIC a√S = 62,4 GeV. Logicamente

muestra el mismo comportamiento que para los hadrones anteriormente descriptos,

su seccion eficaz se incrementa al considerar el NLL con respecto al orden fijo de NLO

y la incerteza de escalas disminuye notablemente haciendo que la prediccion a NLL

sea mucho mas precisa y por lo tanto mas confiable.


Figura 4.9: Idem figura (4.7) para la seccion eficaz pp → pX y pp → pX.

Figura 4.10: Idem figura (4.7) para la seccion eficaz pp → h±X.

Capıtulo 5

Colision de hadrones polarizados

longitudinalmente

Comenzaremos este capıtulo analizando el proceso de colision de protones pola-

rizados pp → h + X del cual hemos dado los lineamientos generales en el capıtulo

anterior. Describiremos de que forma se modifican nuestras expresiones para la seccion

eficaz en el caso polarizado. A partir de nuestro analisis podremos evaluar la asimetrıa

Aπ0

LL la cual esta estrechamente ligada a ∆g y que ha sido medida recientemente en

RHIC. A partir de este analisis veremos tambien que nos sera posible considerar el

proceso de produccion de jets pp → Jet + X cuando ambos protones se encuentran

polarizados.

5.1. pp → h + X longitudinalmente polarizado a

NLL

Habiendo analizado ya el proceso de colision de protones no polarizados que da

origen a un pion neutro, nos proponemos extender el analisis al caso donde ambos

protones se encuentran linealmente polarizados.

Como es sabido, la contribucion de spin total de quarks y anti-quarks (sumado

sobre todos los sabores) al spin del nucleon es solamente de alrededor del ∼ 25 %,

101

102 CAPITULO 5. Colision de hadrones polarizados longitudinalmente

implicando que la contribucion de spin del gluon y/o el momento orbital angular

juegan un importante rol. Existe actualmente mucha actividad experimental en busca

de develar la estructura de spin que presentan los nucleones. La determinacion de la

distribucion dependiente de spin de los gluones, ∆g, dentro del nucleon es uno de los

desafıos actuales donde se ha puesto un gran enfasis.

El scattering inelastico profundo, DIS, ha provisto la mayorıa de la informacion de

la estructura de spin del nucleon, aunque sin embargo, ha dejado esencialmente a ∆g

sin restricciones de ningun tipo [39, 41, 84]. Afortunadamente existen proyectos para

determinar ∆g(x,Q2) sobre un amplio rango de fracciones de momento x y escalas

Q en el Relativistic Heavy-Ion Collider (RHIC) en el Brookhaven National Labora-

tory (BNL), el cual es el primer colisionador proton-proton donde ambos protones se

encuentran polarizados.

Las asimetrıas de spin en colisiones pp a altas energıas pueden ser particularmente

sensibles a ∆g, en aquellos procesos donde los gluones del estado inicial contribuyen

al primer orden en teorıa de perturbaciones [85]. Un ejemplo es el de producion semi-

inclusiva de hadrones con un alto impulso transversal pT . De hecho, los resultados

obtenidos por RHIC para las asimetrıas ALL para pp→ πX [86] y para pp→ jetX [87]

estan restringiendo de forma significativa a ∆g [39].

Sin embargo RHIC no es el primer experimento que investigo la asimetrıa AπLL

para pp → πX . El experimento E704 de blanco fijo en Fermilab analizo AπLL con

energıa de centro de masa de√S = 19,4 GeV [88]. Se hallo una asimetrıa consistente

con cero para piones producidos con momento transverso 1 ≤ pT ≤ 4 GeV.

5.1.1. La seccion eficaz y asimetrıa de spin en teorıa de per-

turbaciones

Consideraremos el proceso

p(p1,Λ1) + p(p2,Λ2) → h(p3) +X , (5.1)

donde Λi denota las helicidades de los protones iniciales, y pi (i = 1, 2, 3) se corres-

ponde con los cuadri-momentos de los hadrones “observados”. Las secciones eficaces

5.1. pp→ h+X longitudinalmente polarizado a NLL 103

promediadas sobre spin y dependientes de spin se definen de acuerdo a

dσ =1

2[dσ(Λ1 = +,Λ2 = +) + dσ(Λ1 = +,Λ2 = −)] ,

d∆σ =1

2[dσ(Λ1 = +,Λ2 = +) − dσ(Λ1 = +,Λ2 = −)] , (5.2)

respectivamente, y su asimetrıa de spin como

ALL =d∆σ

dσ. (5.3)

Nuevamente consideraremos que el hadron h es producido con alto impulso trans-

versal pT . El teorema de factorizacion [32] establece que la seccion eficaz puede ser

factorizada en terminos de convoluciones de funciones de distribucion de partones,

funcion de fragmentacion para el hadron del estado final, y terminos de corta distan-

cia que describen las interacciones hard de los partones. Las contribuciones de larga

y corta distancia son separadas por la escala de factorizacion.

Como se discute en la referencia [71] y en la seccion anterior, una simplificacion

importante del formalismo de la resumacion ocurre cuando la seccion eficaz se integra

sobre toda pseudo-rapidity η del pion producido. Tambien consideraremos esto mismo

para nuestro analisis. La seccion eficaz dependiente de spin factorizada para el proceso

pp→ hX puede ser escrita entonces como

p3T d∆σ(xT )

dpT

=∑

a,b,c

∫ 1

0

dx1 ∆fa

(

x1, µ2)

∫ 1

0

dx2 ∆fb

(

x2, µ2)

∫ 1

0

dz z2Dh/c

(

z, µ2)

×∫ 1

0

dxT δ

(

xT − xT

z√x1x2

)∫ η+

η−

dηx4

T s

2

d∆σab→cX(x2T , η)

dx2Tdη

.

(5.4)

Aquı ∆fa,b corresponde a la funcion de distribucion de partones dependiente de spin

en el proton,

∆fa(x, µ2) = f+

a (x, µ2) − f−a (x, µ2) (5.5)

con f+a (f−a ) indicando a distribucion de partones del tipo a con helicidad positiva

(negativa) en un proton de helicidad positiva. Dh/c es la funcion de fragmentacion

del parton c que dara lugar al hadron observado h con alto impulso transversal pT .


La suma en la ec. (5.4) corre sobre todos los canales partonicos asociados a la sec-

cion eficaz partonica dependiente de spin d∆σab→cX . Esta ultima expresion se define

analogamente a la ec. (5.2), con helicidades correspondientes a los partones. Posee

una expansion perturbativa de la forma

d∆σab→cX = d∆σ(0)ab→cX +

αs

πd∆σ

(1)ab→cX + . . . (5.6)

donde αS es la constante de acoplamiento fuerte. La escala µ en la ec. (5.4) es la es-

cala de factorizacion. En principio prodrıamos distinguir entre escala de factorizacion

para el estado inicial (distribucion de partones) y del estado final (funcion de fragmen-

tacion) pero por simplicidad llamaremos a ambas escalas µ. Tambien esta presente

la escala de renormalizacion, al cual la constante de acoplamiento fuerte es evalua-

da, que la denotaremos tambien como µ ya que finalmente igualaremos todas las

escalas. Finalmente, η es la pseudorapidity del pion a nivel partonico, relacionada

con su contraparte hadronica por η = η − 12ln(x1/x2). Los lımites estan dados por

η+ = −η− = ln[

(1 +√

1 − x2T )/xT

]

donde, como ya hemos dicho, xT ≡ 2pT/√S,

con contraparte partonica xT ≡ 2pcT/

√s = xT /z

√x1x2.

Vale la pena mencionar que la expresion de la seccion eficaz factorizada indepen-

diente de spin puede ser obtenida de la ec. (5.4), eliminando todos los ∆’s, o sea,

las distribuciones de partones dependientes de spin deben ser reemplazadas por las

distribuciones no polarizadas y las secciones eficaces partonicas por sus expresiones

promediadas sobre spin, recuperando las expresiones del capıtulo anterior.

5.1.2. Seccion eficaz resumada

Tal como hemos mencionado anteriormente, seguiremos los lineamientos de la

referencia [71] para llevar a cabo la resumacion de la seccion eficaz considerando la

region umbral e integrando en el rango completo de pseudorapidity. La resumacion

de las contribuciones de gluones soft, al igual que en caso no polarizado, se lleva a

cabo tomando la transformada de Mellin de la seccion eficaz en la variable x2T :

∆σ(N) ≡∫ 1

0

dx2T

(

x2T

)N−1 p3T d∆σ(xT )

dpT. (5.7)


Para la seccion eficaz integrada en todo el rango de η, las convoluciones de la ec. (5.4)

entre distribucion de partones, funciones de fragmentacion, y secciones eficaces de los

distintos subprocesos partonicos se vuelven un producto ordinario [71, 73]:

∆σ(N) =∑

a,b,c

∆fa(N + 1, µ2) ∆fb(N + 1, µ2)Dh/c(2N + 3, µ2) ∆σab→cX(N) , (5.8)

donde

∆σab→cX(N) ≡∫ 1

0

dx2T

(

x2T

)N−1∫ η+

η−

dηx4

T s

2

d∆σab→cX(x2T , η)

dx2Tdη

. (5.9)

En el espacio de momentos de Mellin, los logaritmos se convierten ahora en logaritmos

de la variable de momento N . Nuevamente los logaritmos dominantes son de la forma

αkS ln2k N ; los siguientes a los dominantes son aquellos en el que se ha disminuıdo el

exponente de lnN en una o mas unidades.

De esta forma la resumacion resulta en una exponenciacion de las correcciones

de los gluones soft en el espacio de momentos [12,62–64]. Los logaritmos dominantes

estan contenidos en los factores radiativos para los partones del estado inicial y final.

A causa de las interferencias de color y correlaciones de emision de gluones soft a

grandes angulos al orden NLL, el hard scattering de la seccion eficaz resumada se

convierte en una suma de exponenciales en lugar de una sola [12,71], a menos que se

considere los casos mas sencillos como la seccion eficaz de Drell-Yan o produccion de

Higgs [62–64].

Combinando entonces los resultados de [12, 62–64, 89], podemos escribir la sec-

cion eficaz partonica resumada dependiente de spin de una forma relativamente sim-

ple [71]1:

∆σ(res)ab→cd(N) = ∆Cab→cd Da

N DbN Dc

N JdN

[

∑

I

∆GIab→cd D

(int)ab→cdI N

]

∆σ(Born)ab→cd(N) ,

(5.10)

1Debemos notar que los sımbolos DiN ,D(int)ab→cd

I N en la ecuacion de arriba usualmente son re-

feridos en la literatura (vease [71]) como ∆iN , ∆

(int)ab→cdI N . Hemos cambiado esta notacion con el

objeto de evitar confusiones con el termino “∆” el cual hemos utilizado con el caracter de indicar

la dependencia de spin.


donde ∆σ(Born)ab→cd(N) se refiere a el termino de LO en la expansion perturbativa de la

ec. (5.9) para cada proceso. Las expresiones para todas las secciones eficaces Born

dependientes de spin en espacio de momentos se presentan en el apendice B. Cada

una de las funciones JdN ,Di

N ,D(int)ab→cdI N de la ec. (5.10) es una exponencial cuyas ex-

presiones se corresponden con las ecuaciones (3.41-3.43) de la seccion 3.3 del capıtulo

3.

La mayorıa de los ingredientes en la ec. (5.10) son bien conocidos en la literatura

dado que coinciden con los resultados obtenidos para el scattering promediado sobre

spin. Este es el caso de las funciones Aa y DI ab→cd, que estan asociadas a la emision

soft de gluones, lo cual es independiente del spin, y de la funcion Ba asociada a la

emision colineal del estado final que tambien es identica al caso no polarizado. Las

unicas diferencias entre los casos polarizado y no polarizado reside en los coeficientes

∆GIab→cd,∆Cab→cd y, por supuesto, en las secciones eficaces Born. Todos estos terminos

estan relacionados con radiacion hard, la cual depende del estado de polarizacion y

por lo tanto en general difiere en los casos polarizado y no polarizado.

Con el objeto de determinar los efectos de interferencias de color para emision

soft de gluones a grandes angulos en los procesos “2 a 2” ab → cd, seguiremos el pro-

cedimiento que hemos presentado en la seccion anterior y en las referencias [12, 13].

Las dimensiones anomalas y factores soft determinados en la referencia [12] y listados

en el apendice A son identicas en los casos dependiente e independiente de spin. Las

diferencias provienen unicamente en las conexiones de color de las secciones eficaces

Born. Por lo tanto solo necesitamos derivar estas ultimas para el proceso polariza-

do, utilizando las mismas bases de color listadas en el apendice A. Los resultados

de la referencia [12] han sido provistos para rapidity arbitraria, en nuestro caso de

integracion completa de η es suficiente considerar η = 0 (vease la seccion 3.3 o la

referencia [71] para mayor detalle). Sin embargo, presentamos las conexiones de co-

lor de las secciones eficaces Born dependientes de spin tambien el caso de rapidity

arbitraria. Los resultados se compilan en el apendice B.

Analogamente al caso no polarizado los coeficientes ∆Cab→cd se desarrollan per-


turbativamente

∆Cab→cd = 1 +αS

π∆C

(1)ab→cd + O(α2

S) . (5.11)

Para determinar los coeficientes ∆C(1)ab→cd, hacemos uso de el calculo analıtico a NLO

dado en la referencia [4]. Para cada canal partonico se expande la seccion eficaz

resumada en la ec. (5.10) a primer orden en αS. Cerca del umbral, se puede tomar

directamente los momentos de Mellin de las expresiones a NLO. Comparando los dos

resultados se verifica primero que todos los terminos logarıtmicos en el resultado de

orden fijo sean reproducidos correctamente por el formalismo de la resumacion. Los

terminos restantes independientes de N en la seccion eficaz a orden fijo proveen los

coeficientes ∆C(1)ab→cd. Estos resultados son presentados en el apendice B.1.

Esto completa la coleccion de ingredientes para el calculo de las secciones eficaces

partonicas resumadas. Luego para obtener la seccion eficaz resumada en el espacio de

x2T , se invierte la transformacion de Mellin. El procedimiento es el mismo que en el

caso no polarizado utilizando la Prescripcion Mınima [73].

Finalmente, para hacer uso de el calculo completo a orden fijo [3, 4], en nuestro

caso es NLO (O(α3S)), realizamos un ajuste de la secion eficaz resumada con la de

orden fijo. Expandimos la seccion eficaz resumada a orden O(α3S), se sustrae este

resultado expandido a la seccion eficaz resumada y se le agrega la seccion eficaz a

NLO:

p3T d∆σ

(match)(xT )

dpT=∑

a,b,c

∫ CMP +i∞

CMP−i∞

dN

2πi

(

x2T

)−N+1∆fa/P1(N, µ

2) ∆fb/P2(N, µ2)

×Dc/h(2N + 1, µ2)

[

∆σ(res)ab→cd(N) − ∆σ

(res)ab→cd(N)

∣

∣

∣

O(α3S )

]

+p3

T d∆σ(NLO)(xT )

dpT,

(5.12)

donde ∆σ(res)ab→cd(N) es la seccion eficaz resumada polarizada para el canal partonico

ab→ cd como se presento en la ec. (5.10). De esta forma tenemos en cuenta el orden

NLO completo y las contribuciones soft de gluones mas alla del NLO estan resumadas

a NLL.


5.1.3. Resultados Fenomenologicos

Ya estamos en posicion de presentar los resultados numericos para la seccion

eficaz resumada en el caso polarizado y de la asimetrıa de spin en el proceso semi-

inclusivo de produccion de un pion en colisiones hadronicas. Nos concentraremos

en los procesos pp → π0X en el scattering de blanco fijo a√S = 19,4 GeV y a√

S = 62,4 GeV del colisionador RHIC. Afortunadamente en ambos casos existen

datos experimentales [81, 88].

Para nuestros calculos necesitamos elegir un conjunto de distribucion de partones

y funciones de fragmentacion para el pion. Para analizar la sensibilidad de las asi-

metrıas de spin medidas con respecto a las pdf’s, en particular la densidad del gluon

∆g, usaremos las densidades de “Gluck-Reya-Stratmann-Vogelsang (GRSV)” [41] y

de “de Florian-Sassot (DS)” [39]. Ambas ofrecen varios conjuntos de distribuciones,

distinguidos mayormente por la magnitud de ∆g. El set denominado “GRSV” se

corresponde con el set estandar. Usaremos tambien la distribucion de GRSV denomi-

nada “max G”, la cual tiene la mayor distribucion de gluones ∆g posible, asumiendo

que ∆g(x) = g(x) a la escala inicial de la evolucion. De la misma forma el set “i+”

de las distribuciones DS tiene mucho menor contribucion de ∆g que en “iii+”. Para

la seccion eficaz promediada sobre spin utilizamos las distribuciones MRST2002 [78]

con las cuales hemos trabajado en los procesos del capıtulo anterior. Las funciones

de fragmentacion de pion son tomadas de los recientes analisis de datos de colisiones

e+e−, ep y pp, “de Florian-Sassot-Stratmann (fDSS)” Ref. [90].

Vale la pena mencionar que acorde a la ec. (5.12), nos gustarıa tener las pdf’s y

las funciones de fragmentacion en el espacio de momentos de Mellin. Tecnicamente,

dado que la mayorıa de las funciones se encuentran disponibles solo en espacio de x,

primero realizamos un ajuste de las distribuciones con una forma funcional sencilla, de

forma tal de tomar momentos analıticamente. Esto se ha realizado en forma separada

para cada tipo de parton y para cada escala de factorizacion.

En la Fig. 5.1 presentamos nuestros resultados para el caso dependiente de spin

de la seccion eficaz a√S = 19,4 GeV, integrada sobre toda pseudorapidity η del

pion, para varios conjuntos de distribuciones de partones polarizadas [39,41]. Hemos


Figura 5.1: Secciones eficaces a NLO y resumada a NLL para el proceso polarizado pp → π0X a√

S =

19,4 GeV, para varios conjuntos de funciones de distribucion de partones dependientes de spin [39, 41].

Tambien se presenta la expansion de la seccion eficaz resumada a orden O(α3S) y los resultados analogos

para el caso no polarizado. Para evitar superposiciones y mejorar la visibilidad, hemos aplicado distintos

factores a los resultados los cuales se indican en la figura. El cuadro situado en el extremo superior derecho

muestra el cociente entre las secciones eficaces resumada a NLL y a NLO.

escogido todas las escalas como µ = pT . La seccion eficaz a NLO mostrada se basa

en los calculos de la referencia [4]. Tambien presentamos las predicciones resumadas

a NLL y la expansion de esta ultima a orden O(α3S), el cual es el primer orden mas

alla del LO. Como puede observarse, la expansion reproduce satisfactoriamente el

orden fijo, implicando que los logaritmos provenientes de la resumacion dominan la

seccion eficaz en este regimen cinematico, por esta razon se espera que la resumacion

en esta caso sea particularmente importante.

Para impulsos transversales del pion menores a pT ∼ 3 GeV, la seccion eficaz

expandida ligeramente sobreestima a la de orden NLO, lo cual es esperable ya que

uno se encuentra lejos del regimen umbral y por lo tanto la aproximacion de gluones

soft se torna menos precisa. Por completitud tambien el caso no polarizado se presenta

en la figura (5.1).


El cuadro de la figura (5.1) muestra los factores “K” resumados para la seccion

eficaz, definido como en la ec. (4.24) tanto para el caso polarizado como no polarizado.

Tal como se puede apreciar, los valores de K(res) son muy grandes, implicando que

los resultados se incrementaran drasticamente con respecto al NLO. Para el caso no

polarizado, estos resultados se corresponden con los resultados de la referencia [71].

Es interesante observar que K(res) tambien es grande para todos los conjuntos de

distribucion de partones dependientes de spin, si bien es evidente que el incremento

es menor que en el caso no polarizado. Esto inmediatamente implica que la asimetrıa

de spin AπLL se reducira al ir del NLO al orden resumado NLL. Tambien se puede

observar que los efectos de la resumacion varıan ligeramente entre cada uno de las

densidades de partones. Esto puede entenderse del hecho de que ∆g posee diferentes

magnitudes en cada una de las pdf’s. Tıpicamente, los efectos de resumar son mas

importantes para los canales partonicos con mayor numero de gluones externos [71],

por lo cual la magnitud de ∆g es importante.

De forma similar, la figura (5.2) muestra los resultados para pp → π0X a√S =

62,4 GeV. Como es de esperarse del hecho de que aquı uno esta mas lejos del umbral,

la aproximacion de gluones soft se vuelve un poco menos precisa en esta caso, en

particular a bajos valores de pT . Uno puede observar que los efectos de la resumacion

son considerablemente mas pequenos a√S = 62,4 GeV que a

√S = 19,4 GeV.

Como hemos mencionado anteriormente, determinamos la seccion eficaz en el ran-

go completo de pseudorapidity, mientras que en los experimentos tıpicamente se cubre

un rango limitado de η. Con el objeto de comparar con los resultados experimenta-

les aproximamos la seccion eficaz (polarizada y no polarizada) en la region accesible

experimentalmente por

p3T dσ

(match)

dpT(η in exp. range) = K(res) p

3T dσ

(NLO)

dpT(η in exp. range) , (5.13)

donde K(res) es el definido en la ec. (4.24) en terminos de la seccion eficaz integrada

en el rango completo de η. En otras palabras, reescaleamos el resultado ajustado por

el cociente de la seccion eficaz a NLO integrada sobre la rapidity relevante experi-

mentalmente o sobre todo η, respectivamente. [75]

La figura 5.3 muestra los resultados para la asimetrıa AπLL a

√S = 19,4 GeV, para


Figura 5.2: Analogo a la figura (5.1) pero para√

S = 62,4 GeV.

los casos de orden NLO y para el caso resumado a NLL, definida como en la ec. (5.3),

promediada sobre el parametro de Feynman del pion xF = xT sinh(η), |xF | ≤ 0,1.

Nuevamente hemos escogido las escalas iguales a µ = pT . Tambien se presentan los

datos experimentales obtenidos por el experimento de Fermilab E704 [88]. Como es

de esperarse de la figura (5.1), AπLL decrece significativamente al pasar de NLO a

NLL. Luego de la resumacion, aun conjuntos con grandes valores de ∆g, tal como

GRSV “maximal” (el cual es actualmente excluıdo por otras mediciones [61, 86, 87])

muestra un ligero acuerdo con los datos experimentales, dadas las grandes incertezas

experimentales.

Retornamos al caso de colisiones hadronicas pp polarizadas en RHIC a√S =

62,4 GeV. Recientemente se han medido, primero la seccion eficaz de produccion de

pion con alto impulso transversal pT en el caso promediado sobre spin (tal como he-

mos mostrado en la figura(6.5)), y luego la asimetrıa de spin AπLL que fuera reportada

por la colaboracion de Phenix [91]. Los resultados cubren la region de |η| ≤ 0,35. La


Figura 5.3: Resultados para la doble asımetrıa de spin AπLL para los casos a NLO y resumado a orden

NLL para varios conjuntos de distribucion de partones polarizadas a√

S = 19,4 GeV. Tambıen se muestran

los resultados experimentales de [88].

figura (5.4) compara los resultados para la asimetrıa de spin AπLL a

√S = 62,4 GeV,

tanto para el calculo a NLO como para el resumado a NLL junto con los resultados

experimentales de Phenix [81]. Como puede observarse de la fig. (5.4), el conjunto de

distribucion de partones “GRSV max G”, muestra un claro desacuerdo con los resul-

tados experimentales. Nuevamente la asimetrıa AπLL decrece al considerar el calculo

resumado a NLL en lugar de NLO, aunque los efectos de la resumacion son aquı algo

menores que los encontrados a√S = 19,4 GeV.

5.2. pp→ Jet+X longitudinalmente polarizado a NLL 113

Figura 5.4: Idem figura (5.3) a√

S = 62,4 GeV. Tambıen se muestran los resultados experimentales de [81].

5.2. pp → Jet + X longitudinalmente polarizado a

NLL

Hemos visto en las secciones anteriores el gran impacto fenomenologico de la

resumacion en procesos tanto polarizados como no polarizados.

Mientras que la descripcion general de produccion de jet en colisionadores hadroni-

cos no polarizados utilizando los calculos a NLO es bastante satisfactoria, se ha de-

mostrado que las contribuciones de ordenes superiores originadas por terminos de

radiacion soft de gluones no son despreciables [14, 92]. Si consideramos el analisis

hecho por de Florian y Vogelsang en la referencia [92] podremos observar que los

terminos originados por radiacion soft de gluones en la seccion eficaz no polarizada

para el proceso pp → Jet + X pueden alterar la prediccion a orden fijo hasta en un

10 % para RHIC. Por lo tanto, es interesante estudiar si una correccion similar ocurre

para el caso polarizado. Mas especıficamente, nos interesa saber como se modifica la


asimetrıa debido a la resumacion umbral y como podrıa afectar a la extraccion de la

distribucion de gluones polarizada de los datos experimentales.

Continuando la misma lınea presentada en la ref. [92] trabajaremos sobre la apro-

ximacion de cono pequeno (“small-cone approximation” (SCA)) [93] para produccion

inclusiva de jets con motivo de que sea posible llevar a cabo la resumacion en una

forma completamente analıtica.

5.2.1. La seccion eficaz inclusiva de produccion de jet en

teorıa de perturbaciones

Consideraremos la produccion inclusiva de jet en colisiones proton-proton a altas

energıas cuando ambos protones se encuentran longitudinalmente polarizados, i.e.

p(p1,Λ1)+p(p2,Λ2) → Jet(pJ)+X donde pi (i = 1, 2) representa los cuadrimomentos

de los protones iniciales y pJ el cuadrimomento del jet. Λi denota la helicidad de los

protones iniciales.

Nuestro principal objetivo sera calcular la seccion eficaz para este proceso a NLL

y evaluar la asimetrıa de doble-spin AjetLL. Nuevamente recordemos que las secciones

eficaces promediadas sobre spin y dependientes de spin se pueden escribir como:

dσ =1

2[dσ(Λ1 = +,Λ2 = +) + dσ(Λ1 = +,Λ2 = −)] ≡ dσ++ + dσ+−

2

d∆σ =1

2[dσ(Λ1 = +,Λ2 = +) − dσ(Λ1 = +,Λ2 = −)] ≡ dσ++ − dσ+−

2(5.14)

respectivamente, y su correspondiente asimetrıa

AjetLL =

d∆σ

dσ. (5.15)

En este estudio el cuadrimomento del jet esta definido como la suma de los cuadri-

momentos de todas las partıculas dentro de un cono de apertura R en pseudo-rapidity,

R =√

∆η2 + ∆φ2, y angulo azimutal alrededor del eje del jet.

Para llevar a cabo nuestros computos de forma totalmente analıtica contamos con

la aproximacion de cono pequeno (SCA), tal como ha sido exitosamente utilizada

en el caso no polarizado [94]. La aproximacion SCA asume que el cono del jet es


estrecho y que la seccion eficaz puede ser calculada como una expansion alrededor

de δ ≡ R/cosh η, donde η es la pseudo-rapidity del jet. A pequenos valores de δ el

comportamiento de la seccion eficaz de produccion de jet es de la forma A log(δ) +

B + O(δ2). Es mas, la aproximacion SCA sigue siendo una muy buena aproximacion

aun para tamanos de cono relativamente grades como R ≃ 0,7 [92, 94].

El jet es producido con alto momento transverso pT . Por lo tanto, el teorema de

factorizacion nos permitira expresar la seccion eficaz dependiente de spin en terminos

de la convolucion funciones de distribucion de partones, y funciones partonicas de

hard-scattering. Luego de la integracion sobre pseudo-rapidity del jet, la seccion eficaz

puede escribirse entonces como: 2

p3Td∆σ

SCA(xT )

dpT=∑

a,b

∫

dx1dx2 ∆fa/H1

(

x1, µ2F

)

∆fb/H2

(

x2, µ2F

)

×∫ 1

0

dxT δ

(

xT − xT

z√x1x2

)∫ η+

η−

dηx4

T s

2

d∆σab(x2T , η, R, µR)

dx2Tdη

.

(5.16)

donde ∆fa,b son las distribuciones de partones dependientes de spin del hadron co-

rrespondiente,

∆fa(x, µ2F ) = f+

a (x, µ2F ) − f−a (x, µ2

F ) (5.17)

con f+a (f−a ) denotando la distribucion del parton de tipo a con helicidad positiva

(negativa) en un hadron de helicidad positiva a la escala de factorizacion µF . La

suma en la ec. (5.16) corre sobre todos los canales partonicos, junto con sus seccio-

nes eficaces partonicas asociadas d∆σab→JetX . Los subprocesos relevantes aquı son

aquellos iniciados por qq′, qq′, qq, qq, qg, and gg. La dependencia de la seccion eficaz

con la escala de renormalizacion µR se muestra de forma explıcita en la ec.(5.16).

Finalmente, η es la pseudorapidity del jet a nivel partonico, la cual esta relacionada

con la pseudorapidity a nivel hadronico η = η − 12ln(x1/x2). Los lımites estan dados

por η+ = −η− = ln[

(1 +√

1 − x2T )/xT

]

donde, como se mencionara anteriormente,

xT ≡ 2pT/√S. La correspondiente contraparte partonica es xT ≡ 2pT/

√s, donde

2Vale la pena recordar que eliminando todas las ∆’s en la ec. (5.16) se recobra la seccion eficaz

no polarizada.


s = x1x2S. Como hemos discutido previamente y como se ha hecho en la Ref. [71],

una notable simplificacion del formalismo de resumacion ocurre cuando la seccion

eficaz se integra sobre toda pseudorapidy η. Por lo tanto, los resultados obtenidos a

lo largo de esta seccion son aplicables para la distribucion de momento transverso

inclusivo. No obstante, los efectos de la resumacion pueden ser aplicados a la seccion

eficaz diferencial para rapidities centrales simplemente reescaleando los resultados

resumados con el apropiado cociente de la seccion eficaz a NLO [75].

5.2.2. Seccion eficaz resumada

Para llevar a cabo la resumacion umbral de las contribuciones de gluones soft

nuevamente tomaremos la transformada de Mellin de la seccion eficaz integrada en

todo rapidity en la varible de scaling x2T :

∆σ(N) ≡∫ 1

0

dx2T

(

x2T

)N−1 p3T d∆σ(xT )

dpT. (5.18)

Recordemos que en el espacio de momentos de Mellin, las convoluciones de la

ec. (5.16) entre distribuciones de partones y las secciones eficaces de los subprocesos

se transforman en productos ordinarios mientras que los logaritmos umbrales ahora

corresponden a la variable de momento N .

Combinando los resultados de [12, 14, 62–64, 92, 95], podemos expresar la seccion

eficaz partonica dependiente de spin para cada subproceso de una forma relativamente

simple 3:

∆σ(res)ab (N) =

∑

c,d

∆Cab DaN Db

N J′cN J

dN

[

∑

I

∆GIab→cd D

(int)ab→cdI N

]

∆σ(Born)ab→cd(N) ,

(5.19)

aquı c y d son los partones del estado final, mientras que el ındice I corresponde a

las configuraciones de color del hard-scattering. ∆σ(Born)ab→cd(N) son los mismos que para

3Notar que los sımbolos DiN ,D(int)ab→cd

I N en la ecuacion de arriba son usualmente referidos co-

mo ∆iN , ∆

(int)ab→cd

I N en la literatura [71]. Hemos cambiado esta notacion con el objeto de evitar

confusiones con el termino “∆” indicando dependencia de spin.


los de produccion de hadrones y pueden encontrarse en el apendice B. Como mencio-

naramos anteriormente cada una de las funciones J iN ,Di

N ,D(int)ab→cdI N en la ec. (5.19)

esta dada por una exponencial. DaN representa los efectos de la radiacion de gluones

soft colineal al parton inicial a y esta dado, en el esquema MS, por

lnDaN =

∫ 1

0

zN−1 − 1

1 − z

∫ (1−z)2Q2

µ2

dq2

q2Aa(αS(q2))dz , (5.20)

similarmente para DbN . Aquı, Q2 = 2p2

T . La funcion JdN toma cuenta de la emision

colineal, soft o hard, por el parton no observado d:

ln JdN =

∫ 1

0

zN−1 − 1

1 − z

[

∫ (1−z)Q2

(1−z)2Q2

dq2

q2Ad(αS(q2)) +

1

2Bd(αS((1 − z)Q2))

]

dz (5.21)

mientras que el jet masivo observado se expresa por [92]:

ln J′cN =

∫ 1

0

zN−1 − 1

1 − zC

′

c(αS((1 − z)2Q2))dz. (5.22)

Los coeficientes C′(1)c necesarios en el caso masivo de jet en el umbral se obtienen

por comparacion de los resultados analiticos a NLO en la aproximacion SCA con el

primer orden de la expansion de la formula resumada. Son universales y se expresan

como:

C′(1)c = −Ca log(

δ2

8), (5.23)

donde Cg = Nc y Cq = (N2c − 1)/2Nc. Este coeficiente contiene la dependencia en

log(δ) que regulariza la configuracion colineal del estado final. Luego la exponenciacion

de la ec.(5.22) provee una potencia de log(δ) para cada orden perturbativo.

Nuevamente la emision de gluones soft a grandes angulos esta descripta por

D(int)ab→cdI N , el cual depende de la configuracion de color I de los partones participan-

tes. La suma sobre color en la ec. (5.19) es pesada para cada configuracion de color

por ∆GIab→cd, satisfaciendo

∑

I ∆GIab→cd = 1. Cada uno de los D(int)ab→cd

I N esta dado

por

lnD(int)ab→cdI N =

∫ 1

0

zN−1 − 1

1 − zDI ab→cd(αS((1 − z)2Q2))dz . (5.24)


Finalmente, los coeficientes ∆Cab contienen las contribuciones hard independientes

de N provenientes de las correcciones virtuales a un loop y contribuciones soft no

logarıtmicas.

Las funciones Aa, Ba, y DI ab→cd en las ecs. (5.20)-(5.24) estan asociadas a emision

de gluones soft o bien a emision colineal en el estado final, ambas son independientes

de la polarizacion de los partones del estado inicial. Por lo tanto, sus expresiones son

exactamente las mismas que aquellas utilizadas en el scattering promediado sobre

spin. Cada una de ellas F ≡ Aa, Ba, DI ab→cd puede ser escrita como una serie

perturbativa en αS,

F(αS) =αS

πF (1) +

(αS

π

)2

F (2) + . . . , (5.25)

donde los coeficientes A(1)a , A

(2)a , B

(1)a y D

(1)I ab→cd necesarios para alcanzar la precision

de NLL pueden encontrarse en el capıtulo 4, o bien en la referencia [71].

Las unicas diferencias entre los casos dependientes de spin y de spin promediado

reside en los coeficientes ∆GIab→cd,∆Cab y la seccion eficaz Born, las cuales dependen

de la polarizacion del estado inicial. No obstante, ambos coeficientes ∆σ(Born)ab→cd(N)

y ∆GIab→cd solamente dependen del correspondiente subproceso partonico ab → cd,

y por lo tanto son los mismos para produccion de jet o produccion de hadrones.

Implementaremos entonces en la ec. (5.19) los resultados correpondientes de nuestros

calculos previos.

Solamente es necesario calcular los coeficientes ∆Cab para realizar al computo de

pp→ JetX y su expansion perturbativa es:

∆Cab = 1 +αS

π∆C

(1)ab + O(α2

S) . (5.26)

El metodo que empleamos para calcularlos es el mismo descripto anteriormente. To-

mamos cuenta de la expresion analıtica completa a NLO de la Ref. [94]. Para cada

canal partonico expandimos la seccion eficaz resumada de la ec. (5.19) a primer orden

en αS. Cerca del umbral, se puede tomar momentos de Mellin directamente de las

expresiones a NLO de [94]. Comparando ambos resultados, se verifica que todos los

terminos logarıtmicos del resultado a NLO sean correctamente reproducidos por el


formalismo de la resumacion. Los restantes terminos independientes de N en la sec-

cion eficaz a NLO dan los coeficientes ∆C(1)ab→cd. Dichos coeficientes son presentados

en el Apendice B.2.

En este punto vale la pena mencionar que uno espera que la seccion eficaz de jet

definida por el algoritmo del cono sea sensible tambien a la radicacion en una parte

limitada del espacio de fases. Tal radiacion da lugar a logaritmos no-globales (non-

global logarithms) [96]. Por ejemplo, emisiones secundarias coherentemente radiadas

dentro del cono por un gluon soft de grandes angulos origina estos terminos no-

globales. Tales contribuciones aparecen por primera vez a NNLO (next-to-next-to-

leading order) aunque pueden producir logarıtmos umbrales a NLL [97]. Tal como ha

sido calculado en el caso no polarizado [92], en nuestra aproximacion despreciamos

tales contribuciones.

Finalmente, teniendo en cuenta la Prescripcion Mınima para invertir la transfor-

macion de Mellin y haciendo uso de la seccion eficaz a orden fijo [94], en nuestro caso

NLO (O(α3S)), ajustamos la seccion eficaz resumada a la de NLO. Expandimos la

seccion eficaz resumada a O(α3S), sustraemos el resultado expandido y sumamos la

seccion eficaz a NLO:

p3T d∆σ

(match)(xT )

dpT

=∑

a,b,c

∫ CMP +i∞

CMP−i∞

dN

2πi

(

x2T

)−N+1∆fa/H1

(N, µ2) ∆fb/H2(N, µ2)

×[

∆σ(res)ab→cd(N) − ∆σ

(res)ab→cd(N)

∣

∣

∣

O(α3S)

]

+p3

T d∆σ(NLO)(xT )

dpT

,

(5.27)

donde ∆σ(res)ab→cd(N) es la seccion eficaz resumada polarizada para el canal partonico

ab→ cd como en la ec. (5.19).

5.2.3. Resultados fenomenologicos

Estamos en posicion de presentar los resultados numericos para la seccion eficaz

resumada dependiente de spin y para la asimetrıa de la produccion inclusiva de jet

en colisiones pp. Nos centraremos aquı en pp → JetX a√S = 200 GeV y a

√S =

500 GeV relevantes para el colisionador RHIC.


Para nuestro computo es necesario seleccionar un conjunto de distribuciones de

partones. Para estudiar la sensibilidad de la asimetrıa de spin con las densidades de

partones dependientes de spin, en particular con la densidad de gluon ∆g, escoge-

remos las distribuciones de “de Florian-Sassot-Stratmann-Vogelsang (DSSV)” [40] y

las de “Gluck-Reya-Stratmann-Vogelsang” [41]. Las distribuciones de GRSV ofrecen

varios sets, distinguidas mayormente por la magnitud de ∆g. El set llamado “GRSV”

corresponde al set estandar. Para calcular la asimetrıa de spin tambien haremos uso

de las distribuciones de “de Florian-Sassot” [39] “DSiii+” y de GRSV “max G”, la

cual describe la mayor polarizacion de gluones. Si bien los sets con un gran contenido

de gluones polarizados han sido excluıdos por los datos experimentales actuales [40],

nosotros los usaremos de todas formas con el objeto de analizar el impacto de la resu-

macion en escenarios donde los subprocesos iniciados por gluones dominan la seccion

eficaz polarizada. Para la seccion eficaz promediada sobre spin emplearemos el set

CTEQ6M [38].

En la Fig. 5.5 presentamos nuestros resultados para las secciones eficaces prome-

diada sobre spin y dependiente de spin a√S = 200 GeV, integrada sobre todas las

posibles pseudo-rapidities η del jet. Hemos escogido las escalas como µR = µF = pT

y el tamano del cono del jet como R = 0,4. La seccion eficaz a NLO se basa en el

computo de la referencia [94]. Tambien se pueden ver las predicciones resumadas a

NLL y la expansion de esta a orden O(α3S), el cual es el primer orden mas alla del LO.

Como puede ser observado, en el caso promedado sobre spin, las secciones eficaces

a NLO, resumada al orden O(α3S) y a NLL son practicamente indistinguibles. Sin

embargo en el proceso dependiente de spin, para valores de pT . 35 GeV, la expan-

sion sobreestima levemente los resultados de la seccion eficaz a NLO, siendo esto algo

esperable ya que uno esta lejos del regimen umbral y por lo tanto la aproximacion de

gluones soft se vuelve menos precisa.

En el cuadro de la figura 5.5 mostramos los factores “K” resumados para la seccion

eficaz, definidos como el cociente de las secciones eficaces resumadas a NLL y a NLO

(tanto en el caso polarizado como en el no polarizado):

K(res) =dσ(match)/dpT

dσ(NLO)/dpT. (5.28)


Figura 5.5: Secciones eficaces a NLO y resumada a NLL para el proceso polarizado pp → Jet X a√

S =

200 GeV, para varios sets de distribucion de partones dependientes de spin [40,41]. Tambien se muestra la

expansion de la seccion eficaz resumada a orden O(α3S), y los resultados analogos para el caso no polarzado.

Para una mejor visualizacion, hemos aplicado factores multiplicativos, como se indican en la figura. En el

cuadro ubicado en el extremo superior derecho, se presentan los cocientes entre la seccion eficaz resumada

a NLL y a NLO.

Figura 5.6: Contribuciones relativas a NLO y a NLL de los diferentes subprocesos para la seccion eficaz

de produccion inclusiva de jet en colisiones pp polarizadas a√

S = 200 GeV con tamano de cono R = 0,4.

Tal como se puede apreciar, K(res) es mayor a 1 y crece con el momento transverso

del jet, significando que la resumacion resulta en un incremento de la seccion eficaz


sobre el NLO. Es interesante notar que el factor K(res) polarizado es aun mayor,

para ambos sets de distribucion de partones dependientes de spin, que en el caso

promediado sobre spin. Esto inmediatamente implica que la asimetrıa de spin AJetLL

sera levemente incrementada cuando los efectos a NLL sean tomados en cuenta, al

reves de lo que hemos encontrado en el caso de produccion de hadrones production

pp→ π0X en la seccion anterior [95, 98].

Para estudiar el rol de cada canal partonico y las diferencias originadas por el uso

de los diferentes sets de pdfs DSSV y GRSV, mostramos en la figura 5.6 las contribu-

ciones relativas a la seccion eficaz de las diferentes combinaciones de partones en el

estado inicial. Hemos agrupado los procesos qq′, qq′, qq y qq en uno solo denominado

como QQ. Como es de esperarse, para un set con menos polarizacion de gluon como

es DSSV, el impacto de una contribucion puramente de quarks es mayor que para

GRSV. La variacion de los correspondientes cocientes partonicos debido a la inclusion

de los efectos umbrales es bastante moderada, con un impacto mayor en escenarios

con gran polarizacion de gluones, que puede ser facilmente entendido debido a que el

factor de color es mayor para los gluones del estado inicial.

Figura 5.7: Idem Fig. 5.5 pero para√

S = 500 GeV y R = 0,7.


En la figura 5.7 presentamos nuestras predicciones fenomenologicas correspondien-

tes a pp→ Jet X a√S = 500 GeV, tambien relevantes para el programa de fısica de

spin de RHIC. Aquı hemos escogido R = 0,7. Del cuadro de la figura 5.7 se puede

observar que los efectos de la resumacion son generalmente menores a√S = 500 GeV

que a√S = 200 GeV como es de esperarse del hecho de que uno esta mucho mas

lejos del umbral aquı. Las contribuciones partonicas relativas a√S = 500 GeV son

muy similares a las obtenidas a√S = 200 GeV.

Figura 5.8: Secciones eficaces a NLO y a NLL para pp → JetX a√

S = 200 GeV para diferentes escalas µR =

µF = ζpT donde ζ = 1/2, 1, 2. La seccion eficaz no polarizada se muestra a la izquierda mientras que los resultados

para el caso polarizado se analizan con los sets DSSV (centro) y con GRSV std (derecha).

Luego de haber establecido la importancia de las correcciones de umbral para

la produccion de jet en colisiones hadronicas polarizadas a las escalas habituales

µR = µF = pT , nos concentramos en el impacto de la resumacion sobre la dependencia

en las escalas de factorizacion y renormalizacion. La figura 5.8 muestra las secciones

eficaces a orden NLO y a NLL a√S = 200 GeV para elecciones de escalas µR =

µF = ζpT donde ζ = 1/2, 1, 2. El mas notable de los efectos es la gran reduccion en

la dependencia de escala para ambas secciones eficaces, polarizada y no polarizada,

cuando los efectos umbrales son resumados al orden NLL. Por ejemplo, en el caso

polarizado a pT = 40 GeV el ancho de la banda de dependencia de escala se reduce

desde un 9 % a NLO a un 1 % a NLL. En el cuadro superior se puede observar

los factores K correspondientes a las diferentes escalas. Los resultados para pp →


Jet X a√S = 500 GeV se muestran en la figura 5.9, los cuales muestran el mismo

comportamiento con respecto a la reduccion de la dependencia de escalas.

Figura 5.9: Idem figura 5.8, pero para√

S = 500 GeV.

Finalmente presentamos en la figura 5.10 nuestras predicciones fenomenologicas

para la asimetrıa de spin AJetLL a

√S = 200 GeV y a

√S = 500 GeV. Con el objeto

de ajustar a las condiciones experimentales de la colaboracion de STAR, la cual cu-

bre solo una region finita en rapidity |η| ≤ 1, multiplicamos los factores K−factors

definidos en la ec.(5.28) por la seccion eficaz a NLO cross section calculada en el

regimen de rapidity experimentalmente accesible. Por simplicidad hemos escogido las

escalas de factorizacion y de renormalizacion como las habituales. Como mencionara-

mos anteriormente, los sets GRSV “G-max” y “DSiii+” fueron usados con el objeto

de estudiar a AJetLL para diferentes funciones de distribucion de partones. Como puede

observarse en la fig. 5.10 los resultados a NLO y a NLL son similares hasta aproxi-

madamente pT ≈ 30 GeV en el caso a√S = 200 GeV y pT ≈ 80 GeV en el caso a√

S = 500 GeV. Para valores mayores de pT observamos un pequeno incremento de

AJetLL cuando consideramos la resumacion a NLL con respecto al orden NLO, como

habıamos predicho anteriormente. Esto es mas notable en el caso de distribuciones de

partones con mayor polarizacion de gluones, como lo es el set de GRSV “G-max”. De

estos resultados uno puede concluir que los efectos de las correcciones de resumacion

de grandes logarıtmos para la produccion inclusiva de jet en colisiones pp polarizadas


es bastante modesto al nivel de la asimetrıa y puede ser omitido en un primer analisis

de los datos experimentales.

Figura 5.10: Resultados para la asimetrıa de doble-spin AJetLL a NLO (lınea punteada) y a

NLL (lınea solida) para varios sets de dstribucion de partones, a√

S = 200 GeV (izquierda)

y a√

S = 500 GeV (derecha).

Capıtulo 6

Colision de hadrones polarizados

transversalmente

En el presente capıtulo investigamos la resumacion de las contribuciones pertur-

bativas de los grandes logaritmos en las secciones eficaces partonicas de produccion de

hadrones con alto impulso transversal pT . Dicha produccion se establece mediante la

colision de hadrones que se encuentran transversalmente polarizados. Por esta razon,

comenzaremos con una breve descripcion de este tipo de colisiones y como la funcion

de estructura g2 aparece ligada a dichas colisiones polarizadas. Luego se muestran

los resultados fenomenologicos para colisiones pp y pp transversalmente polarizados a

distintas energıas relevantes para los experimentos de GSI-FAIR, RHIC y J-PARC.

6.1. Polarizacion transversal y la funcion de es-

tructura g2

Recordemos de la ec.(2.57) del capıtulo 2 que para el proceso de DIS con inter-

cambio puro de foton, la parte del tensor hadronico antisimetrico es:

WAµν = i

M

Pqεµνρσq

ρ

Sσg1(x,Q2) + (Sσ − Sq

PqP σ)g2(x,Q

2)

. (6.1)

Para polarizacion longitudinal y Q2 mayor que M2 hemos visto que g1 nos da la

contribucion dominate, siendo g2 suprimido por un factor x2M2/Q2 de acuerdo con la

127

128 CAPITULO 6. Colision de hadrones polarizados transversalmente

ec.(2.59). Sin embargo, para un nucleon polarizado transversalmente con respecto a

su direccion de movimiento, WAµν es proporcional a xM

Q(g1 + g2), y por lo tanto g1 y g2

aparecen con igual factor aunque la contribucion total esta suprimida por un factorxMQ

con respecto a g1 en el caso de polarizacion longitudinal. Esto puede ser derivado

nuevamente de la seccion diferencial inclusiva de la ec.(2.59). Experimentalmente la

medicion de g2 tiene mucha menos precision que g1. Mas aun, es la combinacion

gT ≡ g1 + g2 la que realmente es la “funcion de estructura de spin transversal”,

aunque uno usualmente se refiera a ella como simplemente g2 [99].

Si bien g2 esta relacionado con la polarizacion transversal, no es facil encontrar

una interpretacion partonica [100–102]: En un nucleon polarizado transversalmente,

el operador de spin del quark proyectado sobre el spin del nucleon, ΣT = γ0γ5S/T

donde S/T ∼ γ1, no conmuta con el Hamiltoniano de quark libre H0 = αzpz y por

lo tanto no hay autoestados de energıa |pz〉 tales que ΣT |pz〉 = λT |pz〉. Por lo tanto,

ΣT no es un “buen” operador y depende de la dinamica. Sin embargo, un spin trans-

verso promediado puede definirse para los quarks en el nucleon. gT ≡ g1 + g2, que es

sensible a las interacciones de quarks-gluones, es una clara muestra de que no puede

hacerse una interpretacion simple en el modelo de partones [99, 103]. En contraste,

la polarizacion longitudinal del nucleon esta dada por el operador de helicidad del

quark Σ|| = γ0γ5S/||, con S/|| ∼ γ3, que conmuta con H0 y por lo tanto g1(x) mide

directamente la distribucion de helicidades.

Para entender g2 apropiadamente es necesario tratar con el metodo de expansion

de producto de operadores (OPE: Operator Product Expansion). En el OPE, despre-

ciando las masas de los quarks, g2 puede separarse en un termino de twist-2 (gWW2 )

y de twist–3 (g2)**,

g2 = gWW2 + g2 (6.2)

La contribucion de twist-2 gWW2 se la conoce como de ’Wandzura-Wilczek’ [104] y

puede ser escrita como:

gWW2 (x,Q2) = −g1(x,Q

2) +

∫ 1

x

dy

yg1(y,Q

2) (6.3)

**Twist = Dimension - spin

6.1. Polarizacion transversal y la funcion de estructura g2 129

Los terminos de mayor twist surgen de las correlaciones de quarks y gluones. De esta

forma g2 provee una forma de estudiar los efectos de mayor twist.

Experimentalmente, g2 puede ser extraıdo de las mediciones combinadas de las

secciones eficaces polarizadas longitudinal y transversalmente, o bien de sus corres-

pondientes asimetrıas A||, A⊥. Estas mediciones demandan una alta precision y gran

luminosidad dado que los factores multiplicativos de g2 tienden a ser relativamente

pequenos.

El experimento en SLAC, E155 [105] fue dedicado a medir g2 con mas precision.

Los datos experimentales mayormente provienen de la segunda corrida de E155, tanto

para proton como para deuteron, con g2 para el neutron extraıda de la diferencia.

En lıneas generales, los datos experimentales siguen la forma de Wandzura-Wilczek

(Ec. 6.3), aunque existen algunas desviaciones para el proton, especialmente a bajos

valores de x.

La figura (6.1) muestra los resultados de SLAC para proton, deuteron (panel

superior izquierdo) y neutron (panel superior derecho) como funcion de x. Tambien

en el panel superior derecho de la fig. (6.1) se muestran los resultados para neutron

de JLab con 3He polarizado: Hall A E99-117 [106] y E97-103 [107]. E97-103 es una

medicion precisa de gn2 en DIS a bajo Q2 para estudiar la dependencia en Q2. Se

cubren cinco valores diferentes de Q2 entre 0,58 y 1,36 GeV2 a x ≈ 0,2. Los resultados

sobre la dependencia en Q2 de gn2 estan dados en el panel inferior de la fig. (6.1). La

region sombreada clara da la contribucion al twist dominante, obtenidas de distintos

ajustes [108] y evolucionando hasta los valores de Q2 del experimento. Los errores

sistematicos se muestran en el area sombreada oscura cerca del eje horizontal. La

precision alcanzada es mas de un orden de magnitud que la alcanzada en SLAC [105].

La diferencia de g2 con el twist dominante (gWW2 ) es debida a los efectos de twist de

orden mayor, los cuales son sensibles a las correlaciones de quark-gluon. Los valores

medidos de gn2 son consistentemente mayores a gWW

2 , y esto es una clara indicacion

de que los efectos de twist de orden mayor son significantemente positivos a Q2 por

debajo de 1 GeV2, a diferencia de lo que predicen los modelos de bag model [109]

y de Chiral Soliton model [112, 113] donde los efectos de twist de orden mayor son

negativos o cercanos a cero. Los datos obtenidos para gn1 del mismo experimento


Figura 6.1: Resultados para g2 de proton y deuteron (panel superior izquierdo) y de neutron (panel superior

derecho) como funcion de x de SLAC [105] y JLab Hall A [106, 107], en comparasion con gWW2 (curvas solidas).

El panel izquierdo tambien muestra los calculos basados en el bag model de Stratmann [109] (lınea-punto-punto) y

Song [110] (puntos) y basados en los modelos de soliton quiral de Weigel [111,112] (lınea - punto) y Wakamatsu [113]

(lınea). El grafico inferior muestra los resultados para gn2 de JLab Hall A [107] como funcion de Q2 a un valor de x

de alrededor de 0,2, en comparacion con gWW2 .

esta en acuerdo con las predicciones de twist dominante dentro de las incertezas.

6.2. Quiralidad Transversa impar (’Transversidad’) de las Funciones de Estructura131

6.2. Quiralidad Transversa impar (’Transversidad’)

de las Funciones de Estructura

En analogıa con las funciones de estructura no polarizadas y polarizadas F1 y g1,

la funcion de estructura ‘transversa’ [101, 102, 114–119] es, a LO, formalmente dada

por

h1(x,Q2) =

1

2

∑

q

e2q[

δq(x,Q2) + δq(x,Q2)]

(6.4)

donde, similarmente a la ec. (2.70),

δ(−)q (x,Q2) ≡

(−)q ↑(x,Q2) −

(−)q ↓(x,Q2) (6.5)

describe la distribucion de (anti-)quark ‘transversa’ siendo(−)q ↑ (

(−)q ↓) la probabilidad

de encontrar un (anti-)quark en un proton transversalmente polarizado con spin pa-

ralelo (antiparalelo) al spin del proton. La polarizacion de un quark se obtiene usando

u(p, s) u(p, s) = −p/ s/ γ5 para sus espinores u(p, s) con s ·p = 0. Usando los operadores

de proyeccion transversos P⇑⇓ = 12(1±γ5S/T ) en lugar de PR,L = 1

2(1±γ5), los nucleones

y quarks polarizados transversalmente son autoestados del operador de spin transver-

sal proyectado de Pauli-Lubanski γ5S/T (o mas familiarmente Wµ = −12εµνρσJ

νρP σ,

γ5S/Tu(Pz, ST ) = ±u(Pz, ST )). El operador de Pauli-Lubanski γ5S/T conmuta con el

Hamiltoniano de quark libre H0 = αzpz, y por lo tanto h1(x,Q2) puede ser interpre-

tado en terminos del modelo partonico como se hizo en la ec. (6.4).

Las δ(−)q estan relacionadas con el tensor de corriente q iσµνγ5q el cual es de quirali-

dad (y conjugacion de carga) impar, i.e. mide las correlaciones entre quarks izquierdos

y derechos, qL ↔ qR, inducido por ejemplo por condensados no perturbativos 〈qL qR〉en el nucleon. A diferencia del caso familiar de q(x,Q2) y ∆q(x,Q2), no hay densidad

transversa gluonica a twist dominante [120–122].

q, ∆q y δq juntos proveen una descripcion completa del momento y spin de quarks

a twist dominante como puede ser visto de forma generica por la representacion

matricial de densidad de spin en las bases de helicidad de quark y nucleon,

F(x,Q2) =1

2q(x,Q2)I⊗I+1

2∆q(x,Q2)σ3⊗σ3+

1

2δq(x,Q2)(σ+⊗σ− + σ−⊗σ+) . (6.6)


Por consiguiente, las δ(−)q (x,Q2) son las densidades de twist-2 dominantes y comple-

tan el sector de twist-2 de las distribuciones de partones nucleonicas. Desafortuna-

damente, las densidades δ(−)q son experimentalmente difıciles de medir y hasta ahora

desconocidas.

Deberıamos recordar que las densidades de quark no polarizadas y longitudinal-

mente polarizadas q y ∆q, respectivamente, consideradas hasta ahora estan relacio-

nadas a los elementos de matriz de corrientes vectoriales y axial-vectoriales, qγµq y

qγµγ5q = qLγµγ5qL + qRγµγ5qR, respectivamente, las cuales preservan quiralidad, i.e.

son quiral -par (qL → qL, qR → qR) en contraste a las δq quiral -impar. De esta mane-

ra, la funcion de estructura de spin transverso gT = g1 + g2 (o g2) de la seccion previa

Sec. 6.1, la cual preserva quiralidad, no debe ser confundida con h1 que si cambia la

quiralidad.

Hemos visto que para g2, proveniente de los nucleones transversalmente polariza-

dos, la seccion eficaz viene dada con un factor de M√Q2

dado que en estos procesos

la helicidad del nucleon cambia pero la quiralidad del quark en los subprocesos de

scattering hard no [101,102,123]. Por lo tanto no es posible medir la quiralidad impar

de la funcion de estructura transversa h1(x,Q2) en el proceso usual de DIS.

6.3. La seccion eficaz diferencial en teorıa de per-

turbaciones

A pesar de los estudios intensivos de los ultimos tiempos, la estructura partoni-

ca de los nucleones de spin-1/2 no es completamente conocida. De las distribuciones

partonicas no polarizadas (f), longitudinalmente polarizadas (∆f), y transversalmen-

te polarizadas (δf), sabemos muy poco acerca de esta ultima. Estas distribuciones

trasversas δf son definidas [114, 117, 124] como las diferencias de probabilidades de

encontrar un parton de sabor f a una escala µ y fraccion de momento x con su spin

alineado (↑↑) o anti-alineado (↑↓) con el del nucleon transversalmente polarizado:

δf(x, µ) ≡ f↑↑(x, µ) − f↑↓(x, µ) . (6.7)

6.3. La seccion eficaz diferencial en teorıa de perturbaciones 133

Como hemos mencionado, no hay distribucion transversa de gluon a twist dominan-

te, debido a la quiralidad impar de la transversidad y la conservacion de momento

angular. Las distribuciones de parton no polarizado se recobran tomando la suma en

la ec. (6.7).

A diferencia de las funciones de distribucion longitudinalmente polarizadas, las

cuales pueden ser medidas directamente en DIS, las transversas no son accesibles en

DIS debido a su naturaleza quiral impar [114]. Solo recientemente se ha vislumbrado

algo de la transversidad del analisis combinado [125] de datos para asimetrıas de

spin transverso en procesos de DIS semi-inclusivos (SIDIS) [126] y en aniquilacion

e+e− [127]. Este analisis consiste en la extraccion de las funciones de Collins [128] de

los datos de e+e−, las cuales permiten el acceso a la transversidad en las asimetrıas

de spin en procesos de SIDIS. Aparte de continuar con estos estudios, es deseable en

un futuro contar con pruebas mas directas de transversidad. Estas se podran dar en

las asimetrıas de doble spin en colisionadores hadronicos,

ATT ≡12[dσ(↑↑) − dσ(↑↓)]

12[dσ(↑↑) + dσ(↑↓)] ≡

dδσ

dσ, (6.8)

donde las flechas denotan la polarizacion transversal del scattering de hadrones. Un

programa de colisiones polarizadas en colisiones pp esta siendo llevado a cabo en RHIC

y pronto se podran medir las asimetrıasATT de varios procesos [129]. En un futuro mas

distante, se espera tambien contar con colisiones pp transversalmente polarizadas en

GSI-FAIR, donde hay planes de formar un colisionador pp polarizado asimetrico [130].

Asimismo, existe la posibilidad de colisiones pp transversalmente polarizadas en J-

PARC [131]. En vista de esto, es importante describir adecuadamente los procesos de

interes de forma teorica, para permitir la extraccion de la transversidad de los futuros

datos experimentales.

Por este motivo, nos concentraremos en la produccion de hadrones en colisiones

hadronicas polarizadas transversalmente, p↑p↑ → hX, p↑p↑ → hX, donde el hadron h

(para nuestros propositos sera un pion neutro) posee un alto momento transverso pT .

Comparado con el proceso de Drell-Yan, el cual se considera el “canal de oro” para

medir transversidad en colisiones hadronicas [114, 118,132–138], la asimetrıa de spin

para produccion de hadrones es considerablemente menor, mayormente debida a las


grandes contribuciones de scattering gluonico en el denominador de la asimetrıa [117,

134,139]. Por otra parte, los piones son producidos en gran escala en los colisionadores

hadronicos, aportando menores incertezas estadısticas, y siendo ATT de produccion

de hadrones una alternativa a los procesos de Drell-Yan.

Consideraremos la seccion eficaz integrada sobre toda rapidity del hadron produ-

cido h, lo cual simplifica notablemente el analisis [71,95]. La seccion eficaz diferencial

en el momento transverso pT del hadron y en su angulo azimutal φ con respecto al

spin transverso inicial, dependiente de spin, puede escribirse como: [71]

p3T dδσ(xT )

dpTdφ=∑

a,b,c

∫ 1

0

dx1 δfa

(

x1, µ2)

∫ 1

0

dx2 δfb

(

x2, µ2)

∫ 1

0

dz z2 Dh/c

(

z, µ2)

∫ 1

0

dxT δ

(

xT − xT

z√x1x2

)∫ η+

η−

dηx4

T s

2

dδσab→cX(x2T , η, αS(µ), µ)

dx2Tdηdφ

,

(6.9)

donde δfa,b son las funciones de distribucion de partones transversales definidas en la

ec. (6.7), y donde Dh/c son las funciones de fragmentacion de parton a hadron. Las

contribuciones de larga y corta distancia son separadas por la escala de factorizacon

µ. Nosotros, al igual que como hemos hecho en los capıtulos anteriores, tomaremos

esta escala igual que la escala de renormalizacion en la constante de acoplamiento

fuerte. Tal como antes, xT ≡ 2pT/√S, con su contraparte partonica xT . Nuevamente

los lımites para η son los mismos que aquellos de la ec. (3.36). De similar forma,

la suma en la ec. (6.9) corre sobre todos los subprocesos partonicos ab → cX , con

seccion eficaz partonica dδσab→cX , definida similarmente al numerador de la ec. (6.8)

para partones iniciales polarizados. Como mencionaramos anteriormente, para el caso

transversal no hay subprocesos con gluones en el estado inicial. Por lo tanto, solo hay

cuatro subprocesos que contribuyen: [45]:

qq → qX, qq → qX, qq → q′X, qq → gX.

La seccion eficaz para estos tienen una dependencia caracterıstica en el angulo azi-

mutal φ bien conocida. En el sistema de referencia de centro de masa (c.m), tomando

las direcciones de los momentos y de spin en la direccion inicial de los hadrones como

6.3. La seccion eficaz diferencial en teorıa de perturbaciones 135

los ejes z y x, respectivamente, esta dependencia es de la forma cos(2φ) (Vease la fi-

gura (2.14) de la seccion 2.2 del capıtulo 2). Notemos que la expresion para la seccion

eficaz promediada sobre spin es identica a aquella de la ec. (6.9), donde las distribu-

ciones transversales y secciones eficaces partonicas polarizadas son reemplazadas por

sus contrapartes promediadas sobre spin. Aquı la suma obviamente corre sobre todos

los canales partonicos incluyendo tambien gluones en el estado inicial.

Brevemente describiremos los aspectos tecnicos de la resumacion de los logarıtmos

umbrales remarcando especıficamente el caso transversal. Todos los demas detalles

pueden ser encontrados en el capıtulo anterior o bien en las referencias [71, 95]. La

resumacion de las contribuciones soft de gluones se lleva a cabo tomando la transfor-

macion de Mellin de la seccion eficaz en la variable de scaling x2T :

dδσ(N)

dφ≡∫ 1

0

dx2T

(

x2T

)N−1 p3T dδσ(xT )

dpTdφ. (6.10)

Del mismo modo, la seccion eficaz partonica puede ser escrita en la forma:

dδσab→cX(N)

dφ≡∫ 1

0

dx2T (x2

T )N−1

∫ η+

η−

dηx4

T s

2

dδσab→cX(x2T , η)

dx2Tdηdφ

, (6.11)

desde aquı en adelante suprimiremos la dependecia de escala de la seccion eficaz.

En el espacio de momentos de Mellin las convoluciones de la ec. (6.9) se convierten

en productos ordinarios, y los logaritmos umbrales aparecen como logaritmos en la

variable de momento N . Tal como hemos discutido en los capıtulos anteriores, la

seccion eficaz partonica resumada para cada proceso puede ser escrita como:

dδσ(res)ab→cd(N)

dφ= δCab→cd ∆a

N ∆bN ∆c

N JdN

[

∑

I

δGIab→cd ∆

(int)ab→cdI N

]

dδσ(Born)ab→cd(N)

dφ,

(6.12)

donde δσ(Born)ab→cd(N) denota el termino a LO en la expansion perturbativa de la ec. (6.11)

para un dado proceso partonico. Cada una de las funciones JdN , ∆i

N , ∆(int)ab→cdI N es una

exponencial y expresa una parte de la resumacion. Todos estos terminos coinciden con

los correspondientes al caso promediado sobre spin, y pueden ser encontrados en el

capıtulo 4. ∆a,bN representa los efectos de radiacion colineal a los partones a, b del es-

tado inicial, y similarmente ∆cN para el parton del estado final c que se fragmenta. La


funcion JdN tiene en cuenta la emision colineal, soft o hard, del parton “no-observado”

d. Las emisiones de gluones soft a grandes angulos estan tenidas en cuenta por los

factores ∆(int)ab→cdI N , el cual depende de la configuracion de color de los partones par-

ticipantes. Cada una de las ∆(int)ab→cdI N es dada por:

ln ∆(int)ab→cdI N =

∫ 1

0

zN−1 − 1

1 − zDI ab→cd(αS((1 − z)2p2

T ))dz . (6.13)

En la ec. (6.12) debemos realizar una suma sobre las configuraciones de color donde

δGIab→cd representa el peso para cada I, tal que

∑

I δGIab→cd = 1. Finalmente, los

coeficientes δCab→cd contienen contribuciones hard provenientes de las correcciones

virtuales a un loop independientes de N . Su expansion perturbativa es:

δCab→cd = 1 +αS

πδC

(1)ab→cd + O(α2

S) . (6.14)

Estos pueden ser determinados para cada canal partonico expandiendo la seccion

eficaz resumada de la ec. (6.12) a primer orden en αS y comparandola con el calculo

analıtico completo a NLO de la referencia [45].

Las unicas diferencias entre las formulas de resumacion del caso independiente de

spin y el caso transversalmente polarizado reside en los coeficientes δGIab→cd, δCab→cd

y por su puesto en la seccion eficaz Born. Todos estos terminos estan relacionados

al scattering hard, el cual es, en general, independiente de spin. Las expresiones en

espacio de momentos para las secciones eficaces dependientes de spin a nivel Born,

junto con los coeficientes δGIab→cd y δCab→cd para todos los subprocesos se hallan

agrupados en el apendice C. Las expresiones correspondientes al caso promediado

sobre spin pueden ser halladas en el apendice A.

Ahora bien, para recobrar la seccion eficaz resumada en el espacio x2T , necesita-

mos invertir la transformacion de Mellin. Para ello utilizamos la prescripcion mınima

propuesta por Catani en la ref. [73] (y comentada en la seccion 3.3 del tercer capıtulo)

para tratar con la singularidad de la constante de acoplamiento perturbativa en el

exponente resumado. Con el objeto de utilizar completamente el resultado a orden

fijo disponible, en nuestro caso NLO (O(α3S)) [45], realizamos el ajuste o matching de

esta seccion eficaz. Expandimos el resultado de la seccion eficaz a O(α3S), substraemos

6.4. Resultados fenomenologicos 137

el resultado expandido a la expresion resumada y agregamos la seccion eficaz a orden

NLO:

p3T dδσ

(match)(xT )

dpT dφ=∑

a,b,c

∫

Min.Prescr.

dN

2πi

(

x2T

)−N+1δfa(N, µ

2) δfb(N, µ2) Dc/h(2N + 1, µ2)

×

dδσ(res)ab→cd(N)

dφ− dδσ

(res)ab→cd(N)

dφ

∣

∣

∣

∣

∣

O(α3S)

+p3

T dδσ(NLO)(xT )

dpT dφ,

(6.15)

donde δσ(res)ab→cd(N) es la seccion eficaz resumada transversalmente polarizada para el

canal partonico ab → cd como fue dado en la ec. (6.12), y donde la integracion del

contorno es escogida segun la preescripcion mınima. De esta manera el NLO es tenido

en cuenta de forma completa, las contribuciones de gluones soft mas alla del NLO

son resumadas a NLL y cualquier doble conteo es evitado.

6.4. Resultados fenomenologicos

Aplicaremos ahora el formalismo de la resumacion umbral desarrollado en los

capıtulos anteriores con el fin de obtener predicciones precisas tanto para la seccion

eficaz como para la asimetrıa de spin para el caso de produccion de un hadron a

partir de la colision de hadrones (proton o anti-proton) polarizados transversalmente.

Especıficamente, consideraremos la produccion de π0 en colisiones pp con una energıa

de centro de masa de√S = 14,5 GeV, y en colisiones pp con energıas de

√S = 62,4

GeV y√S = 10 GeV. Estas condiciones corresponden a posibles experimentos en

GSI-FAIR [130], RHIC y J-PARC [131], respectivamente, como mencionaramos ante-

riormente. En el caso de GSI, la energıa considerada podrıa ser alcanzada mediante un

colisionador asimetrico en donde los anti-protones polarizados con energıa de Ep = 15

GeV colisionarıan con protones polarizados de energıa Ep = 3,5 GeV, mientras que

para el experimento de blanco fijo de J-PARC es el de configuracion tıpica. Debemos

mencionar tambien que si bien la energıa predeterminada para la colision polarizada

de protones en el colisionador RHIC es√S = 200 GeV, se ha llevado a cabo un expe-

rimento a√S = 62,4 GeV, como hemos mostrado en el capıtulo anterior. Dado que


a mas altas energıas el regimen de umbral partonico contribuye de forma menos do-

minante a la seccion eficaz, nos abstendremos de los resultados a√S = 200 GeV. Tal

como hemos mostrado en el capıtulo anterior y en la referencia [95], a√S = 62,4 GeV

la aproximacion de umbral sigue siendo razonablemente buena. De hecho la resuma-

cion mejora notablemente la descripcion teorica y los resultados experimentales [91].

De cualquier modo, aun no se ha decidido a que energıa trabajara RHIC para medir

la asimetrıa ATT .

Tal como antes, debemos comenzar por escoger un set de distribucion de parto-

nes y funciones de fragmentacion para el pion. Para el caso promediado sobre spin,

utilizamos las distribuciones CTEQ6M [38]. Para el caso polarizado, seguimos la refe-

rencia [133] para modelar las escencialmente desconocidas distribuciones transversales

saturando la desigualdad de Soffer [140] a baja escala inicial Q0 ∼ 0,6 GeV para la

evolucion (para mas detalles vease la ref. [133]). Finalmente, para las funciones de

fragmentacion de pion utilizamos el set de “de Florian-Sassot-Stratmann” [82].

De acuerdo con la ec. (6.15), es una gran ventaja tener las distribuciones de

partones y las funciones de fragmentacion en espacio de momentos. Ya que tıpicamente

las distribuciones de partones solamente estan disponibles en el espacio x, primero

realizamos un ajuste de las distribuciones con una forma funcional simple y luego

tomamos momentos de Mellin analıticamente. Esto se realiza de forma separada para

cada tipo de parton y para cada escala.

Como hemos mencionado previamente, la dependencia con el angulo azimutal φ

de la seccion eficaz dependiente de spin es de la forma cos(2φ). Nuestra convencion

sigue la de la ref. [45] para los casos de GSI-FAIR y J-PARC y consiste en integrar la

seccion eficaz transversalmente polarizada sobre los cuatro cuadrantes en φ alternan-

do los signos en la forma (∫

π4

−π4−∫

3π4

π4

+∫

5π4

3π4

−∫

7π4

5π4

) cos(2φ)dφ = 4. La seccion eficaz

no polarizada es integrada sobre todo φ, resultando en un factor 2π. Para RHIC,

adaptamos nuestros resultados a los del detector PHENIX el cual cubre solamente la

mitad del angulo azimutal del pion. Por lo tanto, siguiendo la referencia [45], integra-

mos aquı solamente sobre los dos cuadrantes −π/4 < Φ < π/4 y 3π/4 < Φ < 5π/4,

lo cual da (∫

π4

−−π4

+∫

5π4

3π4

) cos(2φ)dφ = 2, y π para la seccion eficaz promediada sobre

spin. Debemos mencionar que adaptar nuestros resultados al detector STAR serıa


Figura 6.2: Seccion eficaz completamente integrada en rapidity a orden NLL, su expansion a orden O(α3S),

y la seccion eficaz a NLO, para los casos no polarizado (izquierda) y transversalmente polarizado (derecha)

pp→ π0X a√

S = 14,5 GeV. En los cuadros superiores de cada figura presentamos los cocientes entre las

secciones eficaces resumadas a NLL y a orden fijo NLO.

inmediato. A rapidity media, esperamos resultados muy similares a los mostrados a

continuacion para el caso de PHENIX.

Presentaremos primero nuestros resultados para las colisiones pp a√S = 14,5

GeV, correspondientes al proyecto GSI-FAIR. A esta relativamente modesta energıa

uno espera que las correcciones perturbativas umbrales que resumamos sean particu-

larmente importantes. En la figura (6.2), mostramos las secciones eficaces integrada

sobre spin (izquierda) y dependiente de spin (derecha) a la energıa mencionada. Se

presentan separadamente la seccion eficaz resumada a NLL, su expansion a primer

orden (O(α3S)), y la seccion eficaz a NLO.

Tal como se puede observar en ambos casos, no polarizado y transversalmente

polarizado, la expansion a orden O(α3S) reproduce de forma satisfactoria los resultados

a NLO, implicando que las correcciones a ordenes mas altos estan dominadas por

logarıtmos umbrales. En el cuadro superior derecho de cada figura, mostramos el


factor “K” para la seccion eficaz resumada sobre la de orden fijo,

K(res) =dσ(match)/dpTdφ

dσ(NLO)/dpTdφ. (6.16)

Es interesante notar que los factoresK son grandes, lo cual significa que la resumacion

resultara en un gran incremento sobre el orden fijo. Vale la pena mencionar que pre-

viamente en estudios del proceso de Drell-Yan a esta energıa tambien se encontraron

factores K >> 1 para la seccion eficaz [136].

Con el objeto de ajustar a las condiciones experimentales de forma mas realista,

hemos tomado en cuenta el rango de rapidity que es cubierto por los experimentos.

Asumimos que este rango es −1 < ηlab < 2,5, donde ηlab es la pseudorapidity del pion

en el sistema de referencia de laboratorio. Contamos rapidity positiva en la direccion

del antiproton. ηlab se relaciona con la pseudorapidity de centro de masa ηcm por

ηlab = ηcm +1

2lnEp

Ep. (6.17)

Por lo tanto el intervalo de rapidity que hemos usado corresponde aproximadamente

con |ηcm| . 1,75 en el sistema de c.m. Para obtener la seccion eficaz resumada para

este intervalo, usamos la aproximacion

p3T dσ

(match)

dpTdφ(η en rango experimental) = K(res) p

3T dσ

(NLO)

dpTdφ(η en rango experimental) ,

(6.18)

donde K(res) se define como en la ec. (6.16) en terminos de la seccion eficaz integrada

sobre toda la region de rapidity. En otras palabras, “re-escaleamos” el resultado de

la seccion eficaz resumada por el cociente de la seccion eficaz integrada sobre toda la

region de rapidity relevante experimentalmente o sobre toda η, respectivamente. Para

los valores considerados aquı de pT , la region −1 < ηlab < 2,5 practicamente coincide

con el rango completo de ηcm cinematicamente permitido.

Los resultados para la seccion eficaz resumada a NLL integrada sobre el rango

−1 < ηlab < 2,5 estan mostrados en la figura 6.3. Tambien presentamos en la figura

las incertezas de la prediccion resultantes de la variacion de escala µ en el rango

pT 6 µ 6 4pT . Uno puede ver que la incerteza de escala permanece bastante grande

aun incluso luego de resumar.


Figura 6.3: Seccion eficaz resumada a NLL para los casos no polarizados y transversalmente polarizados

de la colision pp → π0X a√

S = 14,5 GeV con −1 < ηlab < 2,5. Las bandas representan el cambio de los

resultados al variar la escala de factorizacion/renormalizacion en el rango pT ≤ µ ≤ 4pT . La lınea solida

corresponde a µ = 2pT .

Luego, investigamos como la resumacion a NLL influye sobre la doble asimetrıa

de spin AπTT para la produccion de π0. Los resultados pueden verse en la figura (6.4),

donde hemos escogido la escala µ = pT . Tal como se puede observar, hay una reduccion

significante de la asimetrıa AπTT cuando se incluye la resumacion a NLL. Aun luego

de la resumacion la asimetrıa parece ser lo bastante grande como para ser accesible

experimentalmente.

Ahora volvamos sobre el proceso p↑p↑ → hX donde discutiremos, como anterior-

mente habıamos mencionado, la produccion de pion neutral a√S = 62,4 GeV y a√

S = 10 GeV, relevantes para los experimentos de RHIC (aquı consideraremos el

detector PHENIX) y J-PARC, respectivamente.

Tal como antes en la figura (6.2) presentamos en la fig. (6.5) las secciones eficaces

integradas sobre el rango completo de rapidity para los casos promediados sobre spin

y dependientes de spin para J-PARC (izquierda) and RHIC (derecha). Nuevamente,

la expansion a orden O(α3S) reproduce satisfactoriamente los resultados a NLO, im-

plicando que los logaritmos umbrales de la resumacion dominan la seccion eficaz en


Figura 6.4: Resultados a NLL y NLO de la doble asimetrıa de spin AπTT en colisiones pp a

√S = 14,5 GeV,

usando el “modelo” de distribuciones transversales que saturan la desigualdad de Soffer [140] a una escala

baja.

estos regımenes cinematicos. Esto es particularmente cierto a√S = 10 GeV donde

uno esta mucho mas cerca del regimen de umbral. El acuerdo es aun mas notable pa-

ra la seccion eficaz no polarizada dado que el peso de la contribucion de los grandes

logaritmos proviene de los subprocesos con estados iniciales de gluon, mientras que

en el scattering polarizado transversalmente los resultados expandidos sobreestiman

ligeramente a los del NLO.

Como es de esperarse, los efectos de la resumacion son mucho mas grandes a√S = 10 GeV que a

√S = 62,4 GeV. Es tambien interesante notar que los factores

K son nuevamente mucho mas grandes para la seccion eficaz promediada sobre spin

que para el caso transversalmente polarizado, especialmente a√S = 10 GeV. Esto

inmediatamente implica que la asimetrıa doble de spin AπTT se reducira drasticamente

cuando se pase del orden NLO al caso resumado a NLL.

Con el objeto de permitir una comparacion de nuestras predicciones teoricas con

futuros datos experimentales integraremos sobre las regiones de pseudo-rapidity ηcm >

0 y |η| < 0,38 para J-PARC y RHIC (PHENIX), respectivamente. La primera de

estas elecciones esta basada en la suposicion de la geometrıa del espectrometro con


Figura 6.5: Seccion eficaz resumada a NLL integrada completamente sobre rapidity, su expansion a O(α3S),

y la seccion eficaz a NLO, tanto para los casos no polarizados y transversalmente polarizados del proceso

pp → π0X a√

S = 10 GeV (izquierda), y a√

S = 62,4 GeV (derecha). En los cuadros superiores de cada

figura se presentan los cocientes entre la seccion eficaz resumada a NLL y el orden fijo NLO.

una aceptancia de 200 mrad, similar al utilizado en el experimento de COMPASS

en el CERN, como se ha considerado en la referencia [141]. Los resultados para los

dos casos se presentan en la figura (6.6) en donde se muestran las secciones eficaces

a NLL promediada sobre spin y dependiente de spin. Tal como antes, tuvimos en

cuenta las incertezas teoricas producto de la variacion de la escala de factorizacion

y renormalizacion µ = ζpT , con ζ = 1, 2, 4. Vale la pena notar que luego de la

resumacion la dependencia de escala se reduce considerablemente en el caso de RHIC.

Finalmente, mostramos en la figura (6.7) nuestras predicciones teoricas para la

asimetrıa de spin Aπ0

TT para J-PARC (izquierda) y RHIC (derecha). Como hemos

anticipado, las correcciones a NLL reducen de forma notable la asimetrıa de spin

con respecto a los resultados a NLO. Esta reduccion es muy significativa para los

experimentos de blanco fijo de J-PARC, mientras que es bastante mas modesta para

RHIC a 62,4 GeV.


Figura 6.6: Secciones eficaces resumadas a NLL para los casos no polarizados y transversalmente pola-

rizados del proceso pp → π0X a√

S = 10 GeV con blanco fijo para ηcm > 0 (izquierda) y a 62,4 GeV

para |η| < 0,38 (derecha). Las bandas representan los cambios en los resultados si la escala de factoriza-

cion/renormalizacion se varıa en el rango pT ≤ µ ≤ 4pT . La lınea solida se corresponde con µ = 2pT .

Figura 6.7: Igual que la fig. 6.4, pero para colisiones pp a√

S = 10 GeV (izq.) y a√

S = 62,4 GeV (der.).

Capıtulo 7

Conclusiones

En la presente tesis hemos estudiado la resumacion a NLL de los logaritmos umbra-

les de todo orden en la seccion eficaz partonica relevante en los procesos de produccion

de hadrones pp→ hX y pp→ JetX , donde el hadron h o bien el Jet son producidos

con un alto momento transversal pT . El analisis ha sido tanto para hadrones del es-

tado inicial no polarizados como tambien para estados de polarizacion longitudinal y

transversal.

El estudio de pp → hX no polarizado, en el capıtulo 4, fue en parte motivado

por la notoria diferencia que se observa entre la seccion eficaz calculada a orden fijo

(NLO) con los datos experimentales especialmente en el regimen de blanco fijo, en

contraste con el excelente acuerdo de los colisionadores hadronicos a mayores energıas.

Sin embargo, como hemos visto, en colisionadores hadronicos a energıas medias, tales

como RHIC a√S = 62,4 GeV, nuestros resultados numericos tambien muestran un

claro aumento de la seccion eficaz sobre el orden fijo mejorando significativamente

el acuerdo entre los datos experimentales [91] y las predicciones teoricas. Tambien

hemos notado que a traves de la resumacion la incerteza teorica, producto de las

escalas de factorizacion y renormalizacion, se ve notablemente disminuıda obteniendo

de esta manera una prediccion teorica mas precisa. Debemos remarcar tambien que

este proceso nos sirvio como base para analizar otros casos, como por ejemplo el

computo de la seccion eficaz de procesos donde el hadron producido fuese cargado.

Hemos enfatizado tambien que las contribuciones generadas por la resumacion son

145

146 CAPITULO 7. Conclusiones

correcciones de orden superior que estan presentes en la serie perturbativa completa

y que en ciertos regımes cinematicos son los terminos dominantes. Hay varios puntos

mas que serıan interesantes desarrollar, como por ejemplo, realizar la resumacion de

la seccion eficaz tambien dependiente de rapidity. Tal como se ha observado en ref. [7]

las discrepancias entre el NLO y los datos experimentales se incrementan (a pT fijo)

a medida que se aumenta rapidity. Esperamos que los efectos de resumacion sean

mas importantes a mayor η, simplemente porque uno se acerca aun mas a la region

umbral. Tambien es posible mejorar la resumacion teniendo en cuenta tambien los

terminos de la forma αkS ln2k−1(N)/N en la seccion eficaz partonica. Tales terminos,

provenientes de emisiones colineales [70,142,143], estan suprimidos con respecto a los

terminos de LL y NLL aunque puede ser relevantes cuando uno se encuentra lejos de

la region umbral, como por ejemplo en el regimen de blanco fijo a bajos valores de pT ,

o a altas energıas en colisionadores hadronicos. Tambien podemos esperar que tales

contribuciones adicionales hagan decrecer la dependencia de escala.

A partir del analisis desarrollado en el capıtulo 4, fuimos capaces de estudiar, en

el capıtulo 5, la resumacion a NLL de los logaritmos umbrales en la seccion eficaz

partonica relevantes en los procesos de produccion de hadrones y Jets, cuando los

protones iniciales se encuentran longitudinalmente polarizados. En el primero de los

procesos analizados, pp → hX donde el hadron h posee un alto momento transver-

so, encontramos que al igual que en el caso promediado sobre spin, los efectos de

la resumacion de la seccion eficaz son grandes en el tıpico regimen de blanco fijo a√S ∼ 20 GeV. La asimetrıa de spin Aπ

LL se ve significativamente reducida por la

resumacion. Otra consecuencia fenomenologica a destacar aquı es que los datos expe-

rimentales de Fermilab E704 [88] son compatibles esencialmente con todos los sets de

funciones de distribucion partonicas dependientes de spin, aun aquellos sets con una

gran polarizacion gluonica.

Tambien aplicamos la resumacion al caso de√S ∼ 62,4 GeV, en el cual los datos

preliminares de RHIC estuvieron disponibles recientemente para la doble asimetrıa

de spin [81]. Para este caso, los sets con gran polarizacion gluonica en el rango 0,05 .

x . 0,2 son descartados y las distribuciones con una polarizacion gluonica moderada o

baja son las que mejor se ajustan a los resultados experimentales. Hemos encontrado

147

que la resumacion mejora la descripcion de la seccion eficaz aunque su efecto en

la asimetrıa de spin es bastante modesto. Vale la pena recordar que en este regimen

cinematico uno esta mas lejos del umbral que en el caso de blanco fijo y la resumacion

umbral es algo menos precisa aquı, por esta razon las correcciones perturbativas de los

terminos menos pueden ser relevantes. Podrıa ser importante en un futuro mejorar el

calculo resumado a√S = 62,4 GeV incluyendo los terminos menos dominantes cerca

del umbral, pudiendose ası obtener mejores conclusiones a traves de la asimetrıa AπLL.

En el mismo capıtulo 5, hemos estudiado la resumacion de los logaritmos umbrales

a NLL para la seccion eficaz partonica relevante en el proceso pp→ Jet X, donde los

protones iniciales se encuentran longitudinalmente polarizados y los jets se producen

con alto impulso transversal. Hemos encontrado que los efectos de la resumacion,

en el caso dependiente de spin, incrementa la seccion eficaz aunque en una forma

bastante modesta. Podrıa decirse que el principal efecto de la resumacion consiste

en una considerable reduccion en la incerteza de escala resultando, al mismo tiempo,

en una estabilizacion y confirmacion de las predicciones de orden fijo. Analizamos el

impacto de la resumacion en la asimetrıa de spin AJetLL en los casos de

√S = 200 GeV

y√S = 500 GeV relevantes para RHIC, encontrando que la modificacion introducida

debido a las correcciones a NLL pueden ser despreciadas en un primer analisis de los

datos experimentales.

Por ultimo, en el capıtulo 6, hemos estudiado la resumacion a NLL de los loga-

ritmos umbrales en la seccion eficaz partonica relevante para los procesos pp → hX

y pp → hX, con el hadron h saliente llevando un alto impulso transversal, y donde

los nucleones iniciales estan transversalmente polarizados. Hemos aplicado aquı la

resumacion al scattering de proton-antiproton a√S = 14,5 GeV, dicha energıa

sera posiblemente a la cual los experimentos de GSI-FAIR sean llevados a cabo, y

al scattering de proton-proton a√S = 62,4 GeV y a

√S = 10 GeV, relevantes para

RHIC y J-PARC respectivamente. Encontramos aquı que la resumacion produce un

incremento en las secciones eficaces tanto en la promediada sobre spin como tambien

en la polarizada transversalmente. Su efecto sobre la asimetrıa de spin consiste en una

significante reduccion de esta, especialmente en los experimentos de blanco fijo de J-

PARC ası como tambien a√S = 14,5 GeV para el proyecto de GSI-FAIR. Mientras

148 CAPITULO 7. Conclusiones

que para RHIC a√S = 62,4 GeV esta reduccion es bastante modesta.

Estos calculos contribuiran significativamente a permitir una extraccion mas pre-

cisa de ∆g y resolver la “Crısis de spin” iniciada hace dos decadas.

Apendice A

Resultados para los subprocesos

partonicos no polarizados

En este apendice compilamos las expresiones para las matrices Soft S, hard H y

la dimension anomala Γs, junto con su respectivas bases de color para cada proceso.

Incluimos la seccion eficaz Born en espacio de momentos para los distintos subprocesos

partonicos. Tambien mostramos los resultados de los coeficientes C(1)ab→cd, DI ab→cd, y

GIab→cd.

Dado que los coeficientes C(1)ab→cd tienen expresiones demasiado extensas, daremos

aquı sus valores numericos para Nf = 5 y con las escalas de factorizacion y renorma-

lizacion µFI = µFF = µR = Q = 2pT .

Aniquilacion quark-antiquark.

Comenzamos con el proceso de aniquilacion quark-antiquark

q (pa, ra) + q (pb, rb) → q (p1, r1) + q (p2, r2) , (A.1)

donde pi y ri son los cuadrimomentos y los ındices de color, respectivamente.

En la base de color singlete-octete del canal t

cqq→qq1 = δrar1δrbr2 , cqq→qq

2 = (T cF )r1ra(T

cF )rbr2 , (A.2)

149

150 CAPITULO A. Resultados para los subprocesos partonicos no polarizados

donde los T cF son los generadores de SU(3) en la representacion fundamental, la

matriz soft S al orden mas bajo con elementos SLI = Tr[c†LcI ], se expresa como

Sqq→qq =

N2c 0

0 (N2c − 1)/4

, (A.3)

y la matriz de dimension anomala soft a un loop ΓS es

Γqq→qqS =

αs

π

2CFT −CF

NcU

−2U − 1Nc

(T − 2U)

+D. (A.4)

Donde D es el termino diagonal de la ec. (4.22) y T y U estan dados por:

T ≡ ln(−ts

) (A.5)

U ≡ ln(−us

). (A.6)

Tenemos tres diferentes subprocesos quark-antiquark que considerar dependien-

do del sabor,

qj qj → qj qj

La matriz hard para el proceso qj qj → qj qj , al orden mas bajo, cuyos elementos

provienen de la descomposicion en color del cuadrado de las tres amplitudes,

esta dado por:

Hqj qj→qj qj = α2s

Hqj qj→qj qj

11 Hqj qj→qj qj

12

Hqj qj→qj qj

12 Hqj qj→qj qj

22

, (A.7)

donde

Hqj qj→qj qj

11 =2C2

F

N4c

(t2 + u2)

s2,

Hqj qj→qj qj

12 =2CF

N3c

[

−(t2 + u2)

Ncs2+u2

st

]

,

Hqj qj→qj qj

22 =1

N2c

[

2

N2c

(t2 + u2)

s2+ 2

(s2 + u2)

t2− 4

Nc

u2

st

]

. (A.8)

151

La seccion eficaz Born, usando la ec. (4.16), y el resto de los coeficientes, es

entonces:


πCF

15C2A

(

CA(11N3 + 59N2 + 102N + 60) +N(N + 3)(5 + 2N))

B

(

N,7

2

)

,

G1 qq→qq = 5/21 , G2 qq→qq = 16/21 , D(1)1 qq→qq = −10/3 ln 2 , D

(1)2 qq→qq = 8/3 ln 2 ,

C(1)1 qq→qq = 19,9643 (Nf = 5) . (A.9)

qj qj → qkqk

La matiz hard al orden mas bajo para este proceso es

Hqj qj→qk qk = α2s

(C2F/N

2c )hqj qj→qkqk −(CF/N

2c )hqj qj→qkqk

−(CF/N2c )hqj qj→qkqk hqj qj→qkqk/N2

c

, (A.10)

donde

hqj qj→qkqk =2

N2c

(t2 + u2)

s2. (A.11)

Con seccion eficaz Born y demas coeficientes:

σ(Born)

qq→q′q′(N) =

πCF

6CA

(N + 1) (N + 3)B

(

N + 1,5

2

)

,

G1 qq→q′q′ = 1 , D(1)

1 qq→q′q′= −10/3 ln 2 , ,

C(1)

1 qq→q′q′= 7,91881 (Nf = 5) . (A.12)

qj qk → qj qk

Por ultimo nos resta considerar la aniquilacion quark antiquark qj qk → qj qk.

Para este proceso partonico tenemos que la matriz hard al orden mas bajo se

escribe como:

Hqj qk→qj qk = α2s

0 0

0 2(s2 + u2)/(N2c t

2)

. (A.13)


Siendo su Seccion eficaz Born y coeficientes:

σ(Born)

qq′→qq′(N) =

πCF

3CA

(

5N2 + 15N + 12)

B

(

N,5

2

)

,

G1 qq′→qq′ = 1/9 , G2 qq′→qq′ = 8/9 ,

D(1)

1 qq′→qq′= −10/3 ln 2 , D

(1)

2 qq′→qq′= 8/3 ln 2 ,

C(1)

1 qq′→qq′= 22,4483 (Nf = 5) . (A.14)

quark-quark scattering.

A continuacion analizamos los procesos de quark-quark scattering,

q (pa, ra) + q (pb, rb) → q (p1, r1) + q (p2, r2) . (A.15)

En la base de color de singlete-octete del canal t

cqq→qq1 = (T c

F )r1ra(TcF )r2rb

, cqq→qq2 = δrar1δrbr2 , (A.16)

la matriz soft al mas bajo orden estara dada entonces por

Sqq→qq =

(N2c − 1)/4 0

0 N2c

, (A.17)

con matriz de dimension an’mala soft a un loop

Γqq→qqS′ =

αs

π

− 1Nc

(T + U) + 2CFU 2U

CF

NcU 2CFT

. (A.18)

Hay dos diferentes tipos de procesos quark-quark a considerar dependiendo de

los sabores de los quarks.

qjqj → qjqj

La matriz hard para este proceso al mas bajo orden es

Hqjqj→qjqj = α2s

Hqjqj→qjqj

11 Hqjqj→qjqj

12

Hqjqj→qjqj

12 Hqjqj→qjqj

22

, (A.19)

153

donde

Hqjqj→qjqj

11 =2

N2c

[

(s2 + u2)

t2+

1

N2c

(s2 + t2)

u2− 2

Nc

s2

tu

]

,

Hqjqj→qjqj

12 =2CF

N4c

[

Ncs2

tu− (s2 + t2)

u2

]

,

Hqjqj→qjqj

22 =2C2

F

N4c

(s2 + t2)

u2. (A.20)

Para la seccion eficaz Born y coeficientes se obtiene:


2πCF

3C2A

(

CA(5N2 + 15N + 12) − 2N(3 + 2N))

B

(

N,5

2

)

,

G1 qq→qq = 9/11 , G2 qq→qq = 2/11 , D(1)1 qq→qq = −4 ln 2 , D

(1)2 qq→qq = 0 ,

C(1)1 qq→qq = 19,535 (Nf = 5) . (A.21)

qjqk → qjqk

Al orden mas bajo la matriz hard puede ser escrita como:

Hqjqk→qjqk = α2s

2(s2 + u2)/(N2c t

2) 0

0 0

. (A.22)

Sus coeficientes y seccion eficaz Born vienen dados por

σ(Born)qq′→qq′(N) =

πCF

3CA

(

5N2 + 15N + 12)

B

(

N,5

2

)

,

G1 qq′→qq′ = 1/3 , G2 qq′→qq′ = 2/3 , D(1)1 qq′→qq′ = −4 ln 2 , D

(1)2 qq′→qq′ = 0 ,

C(1)1 qq′→qq′ = 20,2389 (Nf = 5) . (A.23)

Procesos qq → gg y gg → qq.

Analizamos los procesos qq → gg y gg → qq.

Para el proceso

q (pa, ra) + q (pb, rb) → g (p1, r1) + g (p2, r2) , (A.24)


en la base de color del canal s

cqq→gg1 = δrarb

δr1r2 , cqq→gg2 = dr1r2c(T c

F )rbra, cqq→gg

3 = if r1r2c(T cF )rbra

,

(A.25)

donde dabc y fabc son los tensores invariantes de SU(3) totalmente simetrico y

antisimetrico. Su matriz soft al orden mas bajo es

Sqq→gg =

Nc(N2c − 1) 0 0

0 (N2c − 4)(N2

c − 1)/(2Nc) 0

0 0 Nc(N2c − 1)/2

, (A.26)

y la matriz de dimension anomala soft a un loop es,

Γqq→ggS′ =

αs

π

0 0 U − T

0 CA

2(T + U) CA

2(U − T )

2 (U − T ) N2c−4

2Nc(U − T ) CA

2(T + U)

. (A.27)

Estas mismas dos matrices describen el proceso con tiempo revertido

g (p1, r1) + g (p2, r2) → q (pa, ra) + q (pb, rb) . (A.28)

qq → gg

A este proceso le corresponde al orden mas bajo la siguiente matriz hard,

Hqq→gg = α2s

Hqq→gg11 Hqq→gg

12 Hqq→gg13

Hqq→gg12 Hqq→gg

22 Hqq→gg23

Hqq→gg13 Hqq→gg

23 Hqq→gg33

, (A.29)

155

donde

Hqq→gg11 =

1

2N4c

(

u

t+t

u

)

,

Hqq→gg12 = NcH

qq→gg11 ,

Hqq→gg22 = N2

cHqq→gg11 ,

Hqq→gg13 = − 1

2N3c

(u2 − t2)

tu− 1

N3c

(u− t)

s,

Hqq→gg23 = NcH

qq→gg13 ,

Hqq→gg33 =

1

2N2c

s2

tu+

4

N2c

tu

s2− 3

N2c

. (A.30)

Su seccion eficaz Born y coeficientes estan dados por

σ(Born)qq→gg(N) =

πCF

3CA(2CF (N + 2)(5 + 2N) − CA(N + 1)(N + 3))B

(

N + 1,5

2

)

,

G1 qq→gg = 5/7 , G2 qq→gg = 2/7 , D(1)1 qq→gg = −10/3 ln 2 , D

(1)2 qq→gg = 8/3 ln 2 ,

C(1)1 qq→gg = 12,4329 (Nf = 5) . (A.31)

gg → qq

Salvo factores de color, la matriz hard para este proceso es la misma que para

qq → gg:

Hgg→qq =N2

c

(N2c − 1)2

Hqq→gg . (A.32)

Entonces para el proceso

g (pa, ra) + g (pb, rb) → q (p1, r1) + q (p2, r2) , (A.33)

la seccion eficaz en espacio de momentos y coeficientes es

σ(Born)gg→qq(N) =

π

12CACF(2CF (N + 2)(5 + 2N) − CA(N + 1)(N + 3))B

(

N + 1,5

2

)

,

G1 gg→qq = 5/7 , G2 gg→qq = 2/7 , D(1)1 gg→qq = 0 , D

(1)2 gg→qq = 6 ln 2 ,

C(1)1 gg→qq = 16,7962 (Nf = 5) . (A.34)


Procesos qg → qg y qg → gq.

Aquı discutimos el scattering de quark-gluon,

q (pa, ra) + g (pb, rb) → q (p1, r1) + g (p2, r2) (A.35)

y

q (pa, ra) + g (pb, rb) → g (p1, r1) + q (p2, r2) y (A.36)

En la base de color del canal t

cqg→qg/gq1 = δrar1δrbr2 , c

qg→qg/gq2 = drbr2c(T c

F )r1ra, c

qg→qg/gq3 = if rbr2c(T c

F )r1ra,

(A.37)

la matriz soft al orden mas bajo es

Sqg→qg/gq =

Nc(N2c − 1) 0 0

0 (N2c − 4)(N2

c − 1)/(2Nc) 0

0 0 Nc(N2c − 1)/2

,

(A.38)

con matriz de dimension anomala soft a un loop

Γqg→qg/gqS′ =

αs

π

(CF + CA)T 0 U

0 CFT + CA

2U CA

2U

2U N2c−42Nc

U CFT + CA

2U

. (A.39)

La matriz hard al mas bajo orden viene dada por

Hqg→qg/gq = α2s

Hqg→qg/gq11 H

qg→qg/gq12 H

qg→qg/gq13

Hqg→qg/gq12 H

qg→qg/gq22 H

qg→qg/gq23

Hqg→qg/gq13 H

qg→qg/gq23 H

qg→qg/gq33

, (A.40)

157

donde

Hqg→qg/gq11 = − 1

2N3c (N2

c − 1)

(

t2

su− 2

)

,

Hqg→qg/gq12 = NcH

qg→qg11 ,

Hqg→qg/gq22 = N2

cHqg→qg11 ,

Hqg→qg/gq13 =

1

N2c (N2

c − 1)

[

−1 − 2s

t+

u

2s− s

2u

]

,

Hqg→qg/gq23 = NcH

qg→qg13 ,

Hqg→qg/gq33 =

1

Nc(N2c − 1)

[

3 − 4su

t2− t2

2su

]

. (A.41)

A diferencia de sus expresiones matriciales, para la seccion eficaz Born y coefi-

cientes importa el orden del estado final

qg → qg

σ(Born)qg→qg(N) =

π

6CA

(

CFN(7 + 5N) + 2CA(5N2 + 15N + 12))

B

(

N,5

2

)

,

G1 qg→qg = 45/88 , G2 qg→qg = 25/88 , G3 qg→qg = 18/88 ,

D(1)1 qg→qg = −14/3 ln 2 , D

(1)2 qg→qg = 10/3 ln 2 , D

(1)3 qg→qg = −2/3 ln 2 ,

C(1)1 qg→qg = 15,4167 (Nf = 5) . (A.42)

qg → gq

σ(Born)qg→gq(N) =

π

6CA

(

CFN(7 + 5N) + 2CA(5N2 + 15N + 12))

B

(

N,5

2

)

,

G1 qg→gq = 45/88 , G2 qg→gq = 25/88 , G3 qg→gq = 18/88 ,

D(1)1 qg→gq = −8 ln 2 , D

(1)2 qg→gq = 0 , D

(1)3 qg→gq = −4 ln 2 ,

C(1)1 qg→gq = 22,4474 (Nf = 5) . (A.43)


Proceso gg → gg.

Finalmente, consideraremos el scattering gluon-gluon,

g (pa, ra) + g (pb, rb) → g (p1, r1) + g (p2, r2) . (A.44)

La descomposicion de color de este proceso es por demas complicado. Por sim-

plicidad usaremos Nc = 3 explicitamente. Una base de color para este proceso

gg → gg esta dado por las ochoestructuras de color

cgg→gg1 =

i

4

[

f rarbldr1r2l − drarblf r1r2l]

, cgg→gg2 =

i

4

[

f rarbldr1r2l + drarblf r1r2l]

,

cgg→gg3 =

i

4

[

f rar1ldrbr2l + drar1lf rbr2l]

, cgg→gg4 =

1

8δrar1δrbr2 ,

cgg→gg5 =

3

5drar1cdrbr2c , cgg→gg

6 =1

3f rar1cf rbr2c ,

cgg→gg7 =

1

2(δrarb

δr1r2 − δrar2δrbr1) −1

3f rar1cf rbr2c ,

cgg→gg8 =

1

2(δrarb

δr1r2 + δrar2δrbr1) −1

8δrar1δrbr2 −

3

5drar1cdrbr2c . (A.45)

La matriz soft al orden mas bajo es

Sgg→gg =

Sgg→gg3×3 03×5

05×3 Sgg→gg5×5

, (A.46)

donde

Sgg→gg3×3 =

5 0 0

0 5 0

0 0 5

, Sgg→gg5×5 =

1 0 0 0 0

0 8 0 0 0

0 0 8 0 0

0 0 0 20 0

0 0 0 0 27

. (A.47)

La matriz de dimension anomala soft es

Γgg→ggS′ =

[

Γgg→gg3×3 03×5

05×3 Γgg→gg5×5

]

, (A.48)

159

donde

Γgg→gg3×3 =

αs

π

3T 0 0

0 3U 0

0 0 3 (T + U)

(A.49)

y

Γgg→gg5×5 =

αs

π

6T 0 −6U 0 0

0 3T + 3U2

−3U2

−3U 0

−3U4

−3U2

3T + 3U2

0 −9U4

0 −6U5

0 3U −9U5

0 0 −2U3

−4U3

−2T + 4U

. (A.50)

La matriz hard al orden mas bajo:

Hgg→gg = α2s

03×3 03×5

05×3 Hgg→gg5×5

, (A.51)

donde

Hgg→gg5×5 =

Hgg→gg11 Hgg→gg

12 Hgg→gg13 0 Hgg→gg

15

Hgg→gg12 Hgg→gg


25

Hgg→gg13 Hgg→gg


35

0 0 0 0 0

Hgg→gg15 Hgg→gg


55

, (A.52)


donde

Hgg→gg11 =

9

16

(

1 − tu

s2− st

u2+t2

su

)

,

Hgg→gg12 =

1

2Hgg→gg

11 ,

Hgg→gg13 =

9

32

(

st

u2− tu

s2+u2

st− s2

tu

)

,

Hgg→gg15 = −1

3Hgg→gg

11 , Hgg→gg22 =

1

4Hgg→gg

11 ,

Hgg→gg23 =

1

2Hgg→gg

13 , Hgg→gg25 = −1

6Hgg→gg

11 ,

Hgg→gg33 =

27

64− 9

16

(

su

t2+

tu

4s2+

st

4u2

)

+9

32

(

u2

st+s2

tu− t2

2su

)

,

Hgg→gg35 = −1

3Hgg→gg

13 , Hgg→gg55 =

1

9Hgg→gg

11 . (A.53)

Su seccion eficaz Born y demas coeficientes son:

σ(Born)gg→gg(N) =

πCA

5CF

(

9N3 + 45N2 + 72N + 40)

B

(

N,7

2

)

,

G1 gg→gg = 1/3 , G2 gg→gg = 1/2 , G3 gg→gg = 1/6 ,

D(1)1 gg→gg = 0 , D

(1)2 gg→gg = −10 ln 2 , D

(1)3 gg→gg = 6 ln 2 ,

C(1)1 gg→gg = 21,1977 (Nf = 5) . (A.54)

En todas estas expresiones, B(a, b) es la funcion Beta,

B(a, b) =

∫ 1

0

dxxa−1(1 − x)b−1 =Γ(a)Γ(b)

Γ(a+ b), (A.55)

y donde Γ(x) es la funcion Gama definida como:

Γ(x) =

∫ ∞

0

e−yyx−1dy (x > 0). (A.56)

Apendice B


partonicos longitudinalmente

polarizados

En este apendice reunimos las expresiones para las secciones eficaces Born de-

pendientes de spin para los subprocesos partonicos, y los coeficientes polarizados

dependientes del proceso que contribuyen en la ec. (5.10): ∆C(1)ab→cd y ∆GI ab→cd.

Nuestra eleccion para las bases de color siguen precisamente las de la referencia [?]

y han sido dadas en el apendice A. No repetiremos las expresiones para las matrices

soft S ni las matrices de dimension anomala Γ en estas bases dado que, como mencio-

naramos, son independientes de spin y pueden ser consultadas del apendice A. Como

antes, presentamos nuestros resultados para una pseudorapidity partonica arbitraria,

aun para nuestro estudio que ha sido sobre la integracion completa de η. Para cada

reaccion partonica ab → cd, definimos las variables de Mandelstam s = (pa + pb)2,

t = (pa−pc)2, u = (pa−pd)

2, donde t, u son funciones de η. Como hemos mencionado

en el texto principal, los coeficientes DI ab→cd son los mismos que en el caso no pola-

rizado y han sido dados en el apendice A. Nuevamente debido a que las expresiones

para ∆C(1)ab→cd son extremadamente extensas, daremos solamente sus valores numeri-

cos para Nf = 5 y con escalas de renormalizacion y factorizacion iguales a µ = Q. En

todas las expresiones siguientes, CA = 3 y CF = (C2A − 1)/2CA = 4/3.

161

162CAPITULO B. Resultados para los subprocesos partonicos longitudinalmente polarizados

B.1. Produccion de hadrones.


Comenzaremos con los procesos de aniquilacion de quark-antiquark. Existen tres

subprocesos partonicos a considerar dependiendo de los sabores de los quarks,

qj qj → qj qj , qj qj → qkqk y qj qk → qj qk. Cada uno de ellos posee sus propios

elementos de matriz hard ∆Hij

qj qj → qj qj

∆Hqj qj→qj qj

11 = −Hqj qj→qj qj

11 = −α2s

2C2F

N4c

(t2 + u2)

s2,

∆Hqj qj→qj qj

12 = −Hqj qj→qj qj

12 = −α2s

2CF

N3c

[

−(t2 + u2)

Ncs2+u2

st

]

,

∆Hqj qj→qj qj

22 = α2s

1

N2c

[

− 2

N2c

(t2 + u2)

s2+ 2

(s2 − u2)

t2+

4

Nc

u2

st

]

. (B.1)

donde Hab→cdij se refiere en cada caso a a los elementos de matriz correpondientes

para el caso no polarizado dado en el apendice A.

La seccion eficaz Born escrita en el espacio de momentos de Mellin N , junto

con los coeficientes ∆C(1)qj qj→qj qj

y ∆G(1)I qj qj→qj qj

, se escriben como:

∆σ(Born)qq→qq(N) = α2

s

πCF

15C2A

N (CA(2 +N)(11 + 5N) − (N + 3)(5 + 2N))B

(

N,7

2

)

,

∆G1 qq→qq = − 3/13 , ∆G2 qq→qq = 16/13 , ∆C(1)1 qq→qq = 24,2465 (Nf = 5) .(B.2)

qj qj → qkqk

Aquı simplemente se obtiene:

∆Hqj qj→qkqk = −Hqj qj→qkqk . (B.3)

Mientras que su seccion eficaz Born y coeficientes dependientes de spin se ex-

presan en la forma:

∆σ(Born)

qq→q′q′(N) = −σ(Born)

qq→q′q′(N),

∆G(1)

1 qq→q′q′= G

(1)

1 qq→q′q′, ∆C

(1)

1 qq→q′q′= C

(1)

1 qq→q′q′. (B.4)

B.1. Produccion de hadrones. 163

qj qk → qj qk

La matriz hard polarizada al mas bajo orden puede ser expresada como,

∆Hqj qk→qj qk = α2s

0 0

0 2(s2 − u2)/(N2c t

2)

. (B.5)

Cuya ∆σ(Born) y demas coeficientes:

∆σ(Born)

qq′→qq′(N) = α2

s

πCF

3CA

(

3N2 + 5N)

B

(

N,5

2

)

,

∆G1 qq′→qq′ = G1 qq′→qq′, ∆G2 qq′→qq′ = G2 qq′→qq′ ,

∆C(1)

1 qq′→qq′= 20,7021 (Nf = 5) . (B.6)

qq → q′q′:

∆σ(Born)

qq→q′q′(N) = −σ(Born)

qq→q′q′(N),

∆G(1)

1 qq→q′q′= G

(1)

1 qq→q′q′, ∆C

(1)

1 qq→q′q′= C

(1)

1 qq→q′q′. (B.7)

qq′ → qq′:

∆σ(Born)qq′→qq′(N) = α2

s

πCF

3CA

(

3N2 + 5N)

B

(

N,5

2

)

,

∆G1 qq′→qq′ = G1 qq′→qq′, ∆G2 qq′→qq′ = G2 qq′→qq′ ,

∆C(1)1 qq′→qq′ = 17,9311 (Nf = 5) . (B.8)

qq → qq:

∆σ(Born)qq→qq (N) = α2

s

2πCF

3C2A

(

CA(3N2 + 5N) − 2N(3 + 2N))

B

(

N,5

2

)

,

∆G1 qq→qq = 7/5 , ∆G2 qq→qq = −2/5 ,

∆C(1)1 qq→qq = 14,5364 (Nf = 5) . (B.9)

qq → gg:

∆σ(Born)qq→gg(N) = −σ(Born)

qq→gg(N), ∆C(1)1 qq→gg = C

(1)1 qq→gg,

∆G1 qq→gg = G1 qq→gg, ∆G2 qq→gg = G2 qq→gg . (B.10)


qg → qg:

∆σ(Born)qg→qg(N) = α2

s

π

6CA

(CF + 2CA) (3N2 + 5N)B

(

N,5

2

)

,

∆G1 qg→qg = G1 qg→qg, ∆G2 qg→qg = G2 qg→qg, ∆G3 qg→qg = G3 qg→qg ,

∆C(1)1 qg→qg = 14,2048 (Nf = 5) . (B.11)

qg → gq:

∆σ(Born)qg→gq(N) = α2

s

π

6CA

(CF + 2CA) (3N2 + 5N)B

(

N,5

2

)

,

∆G1 qg→gq = G1 qg→gq, ∆G2 qg→gq = G2 qg→gq, ∆G3 qg→gq = G3 qg→gq ,

∆C(1)1 qg→gq = 21,2354 (Nf = 5) . (B.12)

gg → gg:

∆σ(Born)gg→gg(N) = α2

s

πCA

15CF

(

21N3 + 89N2 + 92N)

B

(

N,7

2

)

,

∆G1 gg→gg = G1 gg→gg, ∆G2 gg→gg = G2 gg→gg, ∆G3 gg→gg = G3 gg→gg ,

∆C(1)1 gg→gg = 20,3233 (Nf = 5) . (B.13)

gg → qq:

∆σ(Born)gg→qq(N) = −σ(Born)

gg→qq(N), ∆C(1)1 gg→qq = C

(1)1 gg→qq,

∆G1 gg→qq = G1 gg→qq, ∆G2 gg→qq = G2 gg→qq . (B.14)

B.2. Produccion de Jets.

Tal como hemos menconado la seccion eficaz Born dependiente de spin y los

coeficientes ∆GI ab→cd son los mismos que para la produccion de hadrones y

pueden ser encontrados en el Apendice B, o bien en la referecencia [95]. Los

coeficientes DI ab→cd son los mismos que para el caso no polarizado y pueden

ser tomados del Apendice A, o bien de la referencia [71]. Solamente es necesario

calcular los coeficientes ∆C(1)ab→cd. Dado que estos poseen expresiones extrema-

damente largas daremos aquı solamente sus valores numericos para Nf = 5 y

escalas de factorizacion y renormalizacion iguales a µ = Q.

B.2. Produccion de Jets. 165

qq′ → JetX:

∆C(1)1 qq′→JetX = 15,5934 + 1,38763 log(

R

2). (B.15)

qq′ → JetX:

∆C(1)

1 qq′→JetX= 18,3644 + 1,38763 log(

R

2). (B.16)

qq → JetX:

∆C(1)1 qq→JetX = −29,5367 + 4,18905 log(

R

2). (B.17)

qq → JetX:

∆C(1)1 qq→JetX = 12,1987 + 1,38763 log(

R

2). (B.18)

qg → JetX:

∆C(1)1 qg→JetX = 13,2364 + 2,58824 log(

R

2). (B.19)

gg → JetX:

∆C(1)1 gg→JetX = 13,6432 + 3,94682 log(

R

2). (B.20)

En las expresiones de arriba, R corresponde al tamano del cono del Jet.

Apendice C


partonicos transversalmente

polarizados

En este apendice compilamos las expresiones para la seccion eficaz Born para los

subprocesos partonicos dependientes de spin y para los coeficientes polarizados

dependientes del proceso: δC(1)ab→cd, δGI ab→cd que contribuyen en la ec. (6.12).

Todos los demas ingredientes de la formula de resumacion coinciden con sus ex-

presiones del caso promediado sobre spin y pueden encontrarse en el Apendice

A o bien en la referencia [71]. Tal como hemos comentado en los apendices ante-

riores, las expresiones de los coeficientes δC(1)ab→cd son extremadamente extensas

y, por lo tanto, daremos simplemente sus valores numericos para un numero ac-

tivo de sabores de Nf = 5, y para las escalas de factorizacion y renormalizacion

µ = Q =√

2pT . En todas las expresiones a continuacion, CA = 3, Nc = 3 y

CF = (C2A − 1)/2CA = 4/3.

El subındice I de los coeficientes δGIab→cd corre sobre los elementos de la base

de color relevante en cada caso. Nuestra eleccion para las bases de color siguen

precisamente las de la referencia [12] y han sido dadas en el apendice A. No

repetiremos las expresiones para las matrices soft S ni las matrices de dimension

167

168CAPITULO C. Resultados para los subprocesos partonicos transversalmente polarizados

anomala Γ en estas bases dado que, como mencionaramos, son independientes de

spin y pueden ser consultadas del apendice A. Unicamente las matrices hard δH

para el caso polarizado son diferentes. Como en la referencia [12] , presentamos

nuestros resultados para una pseudorapidity partonica arbitraria, aunque en

nuestro estudio solo es necesario el caso η = 0.


Existen tres subprocesos partonicos a considerar dependiendo de los sabo-

res de los quarks, qj qj → qj qj , qj qj → qkqk y qj qj → gg. Cada uno de ellos

posee sus propios elementos de matriz hard δHij.

qj qj → qj qj

δHqj qj→qj qj

11 = α2s

4C2F

Nc4

tu

s2cos(2φ) ,

δHqj qj→qj qj

12 = α2s

2CF

N3c

(−2tu

Ncs2+u

s

)

cos(2φ) = δHqj qj→qj qj

21 ,

δHqj qj→qj qj

22 = α2s

1

N3c

(

4tu

Ncs2− 4u

s

)

cos(2φ) . (C.1)

La seccion eficaz Born escrita en el espacio de momentos de Mellin N ,

junto con los coeficientes δC(1)qj qj→qj qj

y δG(1)I qj qj→qj qj

, se escriben como:

dδσ(Born)qq→qq(N)

dφ= α2

s

π

4

CF

C2A

[CA(N + 2) + 2N + 5] cos(2φ)B

(

N + 2,3

2

)

,

δG1 qq→qq = 1, δG2 qq→qq = 0 , δC(1)1 qq→qq = 10,9783 (Nf = 5) . (C.2)

qj qj → qkqk

En este caso la matriz hard es:

δHqj qj→qkqk = α2s

C2F h

qj qj→qkqk −CF hqj qj→qkqk

−CF hqj qj→qk qk hqj qj→qkqk

, (C.3)

donde hqj qj→qkqk = 4tu cos(2φ)/(N4c s

2).

169

Siendo su seccion eficaz y demas coeficientes:

dδσ(Born)

qq→q′q′(N)

dφ= α2

s

π

15

CF

CA

N(N + 1)(N + 2) cos(2φ)B

(

N,7

2

)

,

δG(1)

1 qq→q′q′= 1 , δC

(1)

1 qq→q′q′= C

(1)

1 qq→q′q′. (C.4)

qq → gg

Para la aniquilacion de quark-antiquark que da lugar a la formacion de un

par de gluones se obtiene la siguiente matriz δHij.

δHqq→gg11 = α2

s

1

Nc4 cos(2φ) ,

δHqq→gg12 = Nc δH

qq→gg11 = δHqq→gg

21 ,

δHqq→gg22 = N2

c δHqq→gg11 ,

δHqq→gg13 = α2

s

1

Nc3

u− t

scos(2φ) = δHqq→gg

31 ,

δHqq→gg23 = Nc δH

qq→gg13 = δHqq→gg

32 ,

δHqq→gg33 = α2

s

1

Nc2

(t− u)2

s2cos(2φ) . (C.5)

Con una seccion eficaz y coeficientes dados por:

dδσ(Born)qq→gg(N)

dφ= α2

s

π

4

CF

C2A

[

C2A(2N + 6) − 2(2N + 5)

]

cos(2φ)B

(

N + 2,3

2

)

,

δG1 qq→gg =5

7, δG2 qq→gg =

2

7, δC

(1)1 qq→gg = C

(1)1 qq→gg . (C.6)

170CAPITULO C. Resultados para los subprocesos partonicos transversalmente polarizados

quark-quark scattering.

Finalmente, existe un solo proceso de scattering de quark-quark a consi-

derar, qq → qq. Cuya matriz hard se expresa como:

δHqq→qq11 = α2

s

4

N3c

cos(2φ) ,

δHqq→qq12 = −α2

s

2CF

N3c

cos(2φ) = δHqq→qq21 ,

δHqq→qq22 = 0 . (C.7)

Su seccion eficaz y coeficientes resultan ser:

dδσ(Born)qq→qq(N)

dφ= α2

s

π

2

CF

C2A

cos(2φ)B

(

N + 2,1

2

)

,

δG1 qq→qq = −1 , δG2 qq→qq = 2 ,

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[143] A. Kulesza, G. Sterman and W. Vogelsang, Phys. Rev. D 66, 014011

(2002) [arXiv:hep-ph/0202251].

Agradecimientos

Quiero agradecer a mi familia por haberme apoyado incondicionalmente en este

proyecto. A mi mama, mi papa, mi abuela, mis hermanas, mis sobrinas, mi

sobrino, a mi futuro/a sobrino/a y especialmente a Vani que me aguanto en lo

momentos mas difıles.

Especialmente a mi director, Daniel, que me guio, aconsejo, ayudo y finalmente

hizo que esta tesis fuese posible.

Al grupo de fısica de altas energıas: A Rodolfo, Ezequiel, Ricardo, Gaby, Jose,

Leandro, Pıa, Daniel, German y especialmente a Carlos con quien compartı dis-

cusiones mas alla de la fısica.

A Werner Vogelsang y Marco Stratmann aunque no los conozca personalmente.

A mis amigos, Marce y Marıa, Nico, Pablo, Tomas, Juan, Guille, Lucas y Fede.

A mis companeros de facultad, Fede, Pablo, Seba, Carla, Juan Manuel, Lorena,

Luz, Mauro, Martın y Gustavo.

producción de hadrones y jets en colisiones de hadrones ... · en esta tesis consideraremos a los...

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