Repaso de Procesos Estocásticos Normales y Estacionarios de Covarianza.

CLASE 4 – Parte 1

1. Introducción

Una aproximación al problema del desarrollo de modelos matemáticos para fenómenos empíricos que se desarrollan de acuerdo con leyes probabilísticas consiste en caracterizar tales fenómenos en función del comportamiento de sus momentos primero y segundo. Esta aproximación ha encontrado aplicaciones importantes en la teoría estadística de las comunicaciones y el control y análisis de las series cronológicas.

2. La Función de Valor Medio y el Núcleo de Covarianza de un Proceso Estocástico

En general, sólo se puede determinar la ley de probabilidad de una variable aleatoria a partir de su media y su varianza cuando se conozca hasta varios parámetros no especificados de la forma funcional de la ley de probabilidad. Si no se conoce la forma funcional de la ley de probabilidad de la v.a., la media y la varianza puede utilizarse para resumir la ley de probabilidad pues, p.e., mediante el uso de la desigualdad de Chebyshev, se pueden formar estimaciones aproximadas de varias formas de la ley de probabilidad.

Se puede hacer la analogía entre la media y la varianza para una v.a. simple y la función de valor medio y la covarianza de un proceso estocástico.

Sea {X(t), t  T} un proceso estocástico con momentos segundos finitos. Su función de valor medio, representada por m(t), se define para todo t en T mediante:

m(t) = E [X(t)]

y su núcleo de covarianza, representado por K(s,t), se define para todo s y t en T mediante:

K(s,t) = Cov [X(s), X(t)]

Ejemplo 1:

Supóngase que X(t) representa la posición de una partícula en movimiento con velocidad constante. Se supone que X(t) tiene la siguiente forma:

X(t) = X0 + Vt

Donde X0 y V son variables aleatorias, que representan respectivamente la posición inicial y la velocidad. La función de valor medio y el núcleo de covarianza de {X(t), t   0} vienen dadas por:

m(t) = E [X(t)] = E[X0] + tE[V]

K(s,t) = Cov[X(s), X(t)] = Var[X0] + (s+t)Cov[X0, V] + st Var[V]

Se ve que a fin de obtener la función de valor medio y el núcleo de covarianza de {X(t), t   0}, no se necesita saber la ley de probabilidad conjunta de X0 y V, sino solamente sus medias, varianzas y covarianza.

Ejemplo 2:

Sea {X(t), t   0} un proceso de Wiener con parámetro 2. Como X(t) tiene incrementos independientes, y X(0) = 0, para establecer la ley de probabilidad del proceso estocástico X(t) basta establecer la ley de probabilidad del incremento X(t) – X(s) para todo s < t. Como X(t) – X(s) es normal, su ley de probabilidad se determina mediante su media y su varianza. Se tiene que:

E¨[X(s) – X(t)] = 0

X(t) –X(s) (u) = exp{- 0.5 u2 Var[X(t) – X(s)]}

A partir del hecho que X(t) tiene incrementos independientes estacionarios se puede demostrar que hay una constante positiva, representada por 2 tal que para t  s  0:

Var[X(t) – X(s)] = 2t - s

De donde se puede deducir que la ley de probabilidad de un proceso de Wiener está determinada por los axiomas I) a IV) hasta un parámetro 2(que es una característica empírica del proceso que se tiene que determinar a partir de observaciones).

Se puede deducir además que Var[X(t)] = 2t

1 Se dice que un proceso estocástico {X(t), t   0} es un proceso de Wiener si:

I. {X(t), t   0} tiene incrementos independientes estacionarios.II. Para todo t > 0, X(t) tiene una distribución normal.III. Para todo t > 0, E[X(t)] = 0IV. X(0) = 0

2 Un proceso estocástico de parámetro continuo {X(t), 0 < t <  } tiene incrementos independientes si X(0) = 0 y, para cualquier elección de índices t0 < t1 < … < tn, las n variables aleatorias X(t1) – X(t0), …, X(tn) – X(tn-1) son independientes. El proceso tiene incrementos independientes estacionarios, si, además X(t2+h) – X(t1+h) tiene la misma distribución que X(t2) – X(t1) para toda elección de los índices t1 y t2, y todo h > 0. Para un proceso estocástico con incrementos independientes, se tiene que

 X(t1) … X(tn) (u1, … ,un) =  X(t1)(u1+…+un)   X(tk) - X(tk-1) (uk+…+un)

Se calcula entonces el núcleo de covarianza K(s,t) para s < t:

Cov[X(s), X(t)] = Cov [X(s), X(t)- X(s)+ X(s)]

= Cov [X(s), X(t)- X(s)]+ Cov[X(s),X(s)]

= Var[X(s)] = 2s

El núcleo de covarianza del proceso de Wiener está dado por:

K(s,t) = 2 min (s,t) para todo s, t  0

En conclusión, normalmente es mucho más fácil hallar la función de valor medio y el núcleo de covarianza de un p.e. que hallar su ley de probabilidad completa.

Además, el conocimiento de la función de valor medio y de la covarianza puede contestar muchas preguntas importante sobre un proceso estocástico.

Ejemplo 3:

Sea {N(t), t  0} un proceso de Poisson de intensidad v y sea L una constante positiva. Se define un nuevo p.e. {X(t), t  0} mediante:

X(t) = N(t+L) – N(t)

Por ejemplo, si N(t) representa el número de sucesos de una cierta clase que ocurren en el intervalo 0 a t, entonces X(t) representa el número de sucesos que ocurren en un intervalo de longitud L que comienza en t. Mientras que inicialmente se puede determinar la ley de probabilidad conjunta X(t1), …, X(tn) para n instantes t1, …., tn, es más conveniente empezar el estudio de un proceso estocástico calculando su función de valor medio y su covarianza.

Para {X(t), t  0}, la función de valor medio es:

m(t) = E[X(t)] = E[N(t + L) – N(t)] = vL

Supóngase que s  t. Se distinguen dos casos:

t  s + L y t > s + L.

Ya que X(s) y X(t) son v.a. independientes, su covarianza es 0 y se tiene que:

K(s,t) = Cov[N(s+L) – N(s), N(t+L) – N(t)]

= Cov[N(s+L) – N(t) + N(t) – N(s), N(t+L) – N(t)]

= Cov[N(s+L) – N(t), N(t+L) – N(t)]

ya que N(t) – N(s) y N(t+L) – N(t) tienen covarianza 0. Después al escribir N(t+L) – N(t) = N(t + L) – N(s + L) + N(s + L) – N(t), se deduce que:

K(s,t) = Var[N(s+ L)-N(t)] = v {s + L – t} = v {L – (t-s)}

Se ha establecido el núcleo de covarianza del proceso {X(t), t  0} es para todo s, t  0:

K(s,t) = v { L -  t-s } si  t-s L

= 0 si t-s >L

3. Procesos Estacionarios y Evolutivos

Un proceso estacionario es aquel cuya distribución permanece la misma a lo largo del tiempo, poque el mecanismo aleatorio que produce el proceso no varía con el tiempo.

(Ejemplo anterior, no depende de t)

Conjunto Índice Lineal Se dice que T es un conjunto índice lineal si tiene la propiedad de que la suma t + h, de dos miembros cualesquiera t y h de T, pertenece también a T.

Un p.e. {X(t), t  T}, cuyo conjunto índice sea lineal, se dice que e:

o Estrictamente estacionario de orden k, donde k es un entero positivo dado, si para k puntos t1, …,tkcualesquiera de T, y cualquier h de T, los vectores aleatorios de k dimensiones:

(X(t1), …, X(tk)) y (X(t1+h), …, X(tk+h))

están distribuidos idénticamente.

o El proceso es estrictamente estacionario si para un entero k cualquiera es estrictamente estacionario de orden k.

o Un p.e. es estacionario de covarianza si posee momentos segundos finitos, si su conjunto índice T es lineal, y si su núcleo de covarianza K(s,t) es una función sólo de la diferencia absoluta  t-s , en el sentido que exista una función R(v) tal que para todo s y t en T:

K(s,t) = R(s-t)

O más precismanete, R(v) tiene la propiedad de que para todo t y v en T:

Cov [X(t), X(t+v)] = R(v)

Se llama R(v) a la función de covarianza de la serie temporal estacionaria de covarianza {X(t), t  T}

Se debe considerar que a fin de que un proceso estacionario con segundos momentos finitos sea estacionario de covarianza no es necesario que su función de valor medio sea una constante.