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Procesos Aleatorios

Dr. Boris Ramos

Procesos Aleatorios

Existen 2 tipos de modelos matemticos acerca de fenmenos fsicos:

Deterministicos Estocsticos

Un modelo es Deterministico si no hay incertidumbre acerca de su comportamiento dependiente del tiempo en cualquier instante.

Un modelo es Estocstico puede ser descrito en trminos probabilsticos, es la probabilidad de que un valor futuro se encuentre entre 2 limites especficos.

Procesos Aleatorios

No es posible predecir el valor exacto de una seal aleatoria. Sin embargo, es posible describirla en parmetros estadsticos como:

Potencia Promedio

Densidad Espectral de Potencia.

PROPIEDADES DE LOS PROCESOS ALEATORIOS

1. Son funciones del tiempo

2. No es posible definir con anticipacin y exactitud las formas de la seal (experimentales) que se observaran en el futuro.

Procesos Aleatorios

Procesos Aleatorios

El espacio muestral compuesto por

varias funciones (aleatorias) de

tiempo se denomina PROCESO

ALEATORIO O ESTOCSTICO.

Procesos Aleatorios CONJUNTO DE FUNCIONES DE LA

MUESTRA

Procesos Aleatorios

A cada punto S del espacio muestral se le asigna una funcin de tiempo de acuerdo con la regla

Para un punto fijo Sj de la muestra, la funcin de tiempo t recibe el nombre de funcin de la muestra y se denota como:

Una variable aleatoria se constituye por el conjunto de nmeros que se observan para un tiempo fijo tk (dentro del intervalo de informacin):

}{}{ , ,....,, ,, ,...., , 221121 nknkkknkk StXStXStXtXtXtX

TtTstX - ;,

jj stXtx ,

Procesos Aleatorios

El grupo o familia de variables aleatorias {X(t, s)} constituyen un proceso aleatorio. Tambin se puede suprimir la S y simplemente utilizar X(t) para denotar un proceso aleatorio.

DIFERENCIAS ENTRE PROCESOS Y VARIABLES ALEATORIAS

Para una variable aleatoria el resultado de un experimento aleatorio se transforma en un numero.

El resultado de un proceso aleatorio se transforma en una forma de onda que es una funcin del tiempo.

Procesos Aleatorios Procesos Estacionarios

Dr. Boris Ramos

Procesos Estacionarios

Si un proceso aleatorio es dividido en varios intervalos de tiempo, y las distintas secciones de este exhiben en esencia las mismas propiedades estadsticas, este ser ESTACIONARIO.

Un proceso aleatorio X(t) iniciado en t=- es estrictamente estacionario, si las Funciones de Distribucin Conjuntas de cualquier conjunto de variables aleatorias obtenidas al observar el proceso aleatorio X(t), es invariante con respecto a la ubicacin del origen t=0. Esto es:

para todo , k, y todas la elecciones de los tiempos de observacin t1,.,tk

ktkXtXktkXtX XXFXXF ,.....,..... 1......11......1


Se puede afirmar que 2 procesos aleatorios X(t) y Y(t) son en conjunto estrictamente estacionarios, si las Funciones de Distribucin Conjuntas de los 2 conjuntos de variables aleatorias X(t1),.X(tk) y Y(t1),..Y(tj), son invariables con respecto al origen t=0, para todas las elecciones de los tiempos de observacin t1,..tk y t1,.tj


Propiedades de los Procesos Estacionarios

Dado:

Para k=1, tenemos que la Funcin Distribucin de Primer Orden de un Proceso Aleatorio Estacionario es independiente del tiempo:

Para k=2 y =-t1, tenemos que la Funcin Distribucin de Segundo Orden de un Proceso Aleatorio Estacionario solo depende de la diferencia de tiempo entre la observacin y no de los particulares.

ktkXtXktkXtX XXFXXF ,.....,..... 1.....11.....1

y t todopara ;XFXF tXtX

2121,021, y t t todopara ;,, 1221 XXFXXF ttXXtXtX


PROBABILIDAD DE UN EVENTO CONJUNTO


CONCEPTO DE ESTACIONARIEDAD

MEDIA, CORRELACION Y COVARIANZA

Considere un proceso aleatorio estrictamente estacionario.

La media del proceso X(t) se define como el valor esperado de la variable aleatoria obtenida al observar el proceso en algn tiempo t.

Hemos visto que FX(t)(x)=FX(x) no es funcin del tiempo por lo

que X(t)(x) tambin es independiente del tiempo. Entonces la media de un proceso aleatorio estrictamente estacionario es una constante.

dxxxf

tX

tXtX

tX

tXtX todopara ;


La funcin auto correlacin del proceso X(t) es el valor esperado del producto de 2 variables aleatorias X (t1) y X (t2), obtenido al observar el proceso X (t) en los tiempos t1 y t2. De la siguiente manera:

Donde X(t1), X(t2)(x1, x2) es la funcin densidad de

probabilidad de segundo orden del proceso. Este

depende de la diferencia de los tiempos t2 - t1

2121,2121

2121

),(,

,

21dxdxxxxxfxxttR

tXtXttR

ttX

X


La funcin auto correlacin se puede reescribir de la siguiente manera:

La funcin auto covarianza de un proceso estrictamente estacionario se define:

Los procesos aleatorios que satisfacen las ecuaciones (X, Rx(t2-t1), Cx(t2-t1)) se conocen como procesos dbilmente estacionarios o procesos estacionarios

211221 y todopara ;, ttttRttR XX

212

2121,

XX

XXX

ttR

tXtXttC

FUNCIN DE AUTO CORRELACIN

FUNCIN DE CORRELACIN CRUZADA

Transmisin de un Proceso Aleatorio a

travs de un Filtro Lineal Invariante en el

Tiempo

111 dtXhtY

Se puede derivar lo siguiente:

0HtYt

x

Y

Transmisin de un Proceso Aleatorio a

travs de un Filtro Lineal Invariante en el

Tiempo La funcin de auto correlacin del proceso aleatorio a

la salida:

Cuando la entrada X(t) es un proceso estacionario, el

sistema es estable, y el valor cuadrtico medio E[X2(t)]

es finito se tiene:

Puesto que RY(0) = E[Y2(t)] tenemos:

uYtYutRY ,

212121 ddRhhR XY

2112212 ddRhhtY X

Densidad Espectral de

Potencia

La Densidad Espectral de Potencia o Espectro de Potencia del Proceso Estacionario X(t) se define como:

El valor cuadrtico medio del proceso de salida es:

dfjRfHdftY

ddRhhtY

X

X

2exp22

211221

2

dfjRfS XX

2exp

dffSfHtY X22

Densidad Espectral de Potencia

de Un Filtro de Banda Angosta

Si f es mucho mas pequeo que fc y Sx(fc) (densidad espectral de potencia evaluada en f=fc) es una funcin

continua tenemos:

cX fSftY 22

Relacin Entre Densidades Espectrales de

Potencia de Procesos Aleatorios de Entrada

y Salida

Al hacer - 1 + 2 = o y = o + 1 - 2

Lo que nos da: La densidad espectral de potencia del proceso de

salida es igual a la densidad espectral de potencia del proceso de entrada X(t) multiplicado por la magnitud de la respuesta en frecuencia del filtro al cuadrado.

dddfjRhh

dfjRfS

X

YY

212121 2exp

2exp

fSfHfHfS XY *

fSfHfS XY2

Procesos Aleatorios Procesos Gaussiano (PG)

Dr. Boris Ramos

Proceso Gaussiano (PG)

Definamos a Y como una funcional lineal del proceso

aleatorio X(t) de la sgte. manera:

Donde g(t) es una funcin que sirve para ponderar el

proceso aleatorio X(t)

El proceso X(t) es Gaussiano si cada funcional lineal de

X(t) (esto es Y) es una variable aleatoria Gaussiana.

Decimos que la variable aleatoria Y tiene una

distribucin Gaussiana, si su funcin densidad esta

definida como:

T

dttXtgY0

2

2

2exp

2

1

Y

Y

Y

Y

yyf


Propiedad #1

Si se aplica un proceso Gaussiano

X(t) a un filtro lineal e invariante en el

tiempo, entonces el proceso aleatorio

Y(t) que se desarrolla a la salida

tambin es Gaussiano.


Propiedad #2 Consideremos el conjunto de variables aleatorias X(t1), X(t2),

X(t3), ., X(tn), obtenido al observar un proceso aleatorio X(t) en los tiempos t1, t2, t3, , tn.

Si el proceso X(t) es Gaussiano, entonces ese conjunto de variables aleatorias es Gaussiano conjuntamente para toda n, entonces su funcin densidad de probabilidad conjunta ensima est determinada al especificar completamente el conjunto de medias:

Y el conjunto de funciones de covarianza:

n ...., 2, 1,i ; itX tXi

n ...., 2, 1,ik, ; tiXitiXkikX tXtXttC


Propiedad #3

Si un proceso Gaussiano es

estacionario, entonces el proceso

tambin es estrictamente estacionario.


Propiedad #4

Si las variables aleatorias obtenidas al observar un proceso Gaussiano X(t) en los tiempos t1, t2, ., tn, no estn correlacionadas, esto es:

Entonces las variables aleatorias son independientes estadsticamente.

ki para

,0

tiXitkXkik tXtXtXtXCov


Propiedad #4

Entonces las funciones densidad de

probabilidad de las variables aleatorias

individuales del conjunto, pueden

expresarse como:

2

2

21 2

exp2

1

i

xii

i

ixi

xxf

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