Procesamiento digital de ImágenesTomografía

Introducción

• Uso mas frecuente en medicina

• Acústica

• Microondas

• Geología

• Microscopios electrónicos

• Radiotelescopios

• Rayos-X Positrones Rayos gama

Fundamentos• Concepto de proyección

Aplicación en Geología

hT

hR

TxRx

Concepto de proyección

X-RAY

1 2( , )c

L

f t t du

oI I e

Densidad de un objeto

Bidimensional

Intensidad atenuada de un rayo a medida que se propaga a través del objeto a lo largo

de una línea L(θ,t)

2t

1t

ut

θ = Angulo de la proyecciónt = Ubicación del detector

fc(t1,t2)

Concepto de proyección•

X-RAY

Fundamentos Proyección:

Es la operación matemática cuyo resultado es similar a la operación física de tomar una foto irradiada por un haz colimado de rayos X

Objetivo: Reconstruir el objeto en 2D a partir de proyecciones en diferentes ángulos

Fundamentos

Desconocido

Proyección

Projection Slice Theorem

X-RAY

Existe alguna relación

matematica entre la proyección

p(θ,t) y la función bidimensional

fc(t1,t2) ?

p(θ,t)

2t

1t

ut

fc(t1,t2)

Projection Slice Theorem

1 2( , )c

L

f t t du

oI I e

1 2ln ( , ) ( , )oc

L

If t t du p t

I

Projection Slice Theorem

2t

1t

ut

( )u sen

u

t

cos( )t

1t

1 cos( ) ( )t t u sen

Encontramos ahora la relación entre ambos sistemas coordenados.

Projection Slice Theorem

2t

1t

ut

cos ( )u u

t

( )t sen 2t

2 ( ) cos ( )t t sen u

Projection Slice Theorem

1

2

cos( ) ( )( ) cos( )

( , ) 1 2( , )t t u sent t sen uL

p t ducf t t

De aquí en mas nuestro objetivo será encontrar una relación entre la TF 2D de fc(t1,t2) y la TF 1D de p(θ,t).

Esto se puede hacer mediante lo que se conoce como Projection Slice Theorem

Projection Slice Theorem

Empecemos por encontrar la TF de fc(t1,t2)

1 2 1 2( , ) 2 ( , )c cF D CTFT f t t

1 1 2 2

1 2

1 2 1 2 1 2( , ) ( , ) j t j tc c

t t

F f t t e e dt dt

1 1 2 2

1 2

1 2 1 2 1 22

1( , ) ( , )

4j t j t

c cf t t F e e d d

A su vez la 2D CIFTde Fc(Ω1Ω2) será:

Projection Slice Theorem

Por otro lado la TF 1D de p(θ,t) es:

( ) 1 ( , )P D CTFT p t

( ) ( , ) j t

t

P p t e dt

Projection Slice Theorem

Ahora el Projection Slice Theorem establece que:

1

2

cos1 2( ) ( , )csen

P F

( ) ( cos , )cP F sen

Slice of Fc

1

2

1 2( , )cF

( )P

Projection Slice Theorem

Este teorema es de gran utilidad ya que si tomamos múltiples proyecciones a diferentes ángulos podemos reconstruir la transformada de fourier de fc(t1,t2).Luego aplicando la Transfomada inversa obtenemos el objeto original.

1 2

1 2 3

( ) ( cos , ) ( , )

, ,c cP F sen f t t

Técnicas de reconstruccion

1. Simple : - Nearest Neighbor (interpolacion de orden cero)

- Interpolación de primer orden.

2. Formula de inversión de Radon

3. Técnicas Iterativas

Reconstrucción de la TransformadaPolar Sampling: Ej:. DFT de 9 puntos en cada direccion , 8 proyeccionesLas muestras están igualmente espaciadas

2

1

Debemos encontrar los valores de la transformada en La grilla cartesiana a partir delos valores de la misma enforma polar (puntos rojos).La solución es Interpolar.Los métodos mas simplesson:

Zeroth order Nearest NeighborFirst order Weighed Sum of

neighbor samples (Average)

Reconstrucción de la Transformada

Si modificamos la distancia entre las muestras en función del ángulo (obtenemos cuadrados concéntricos).

Formula de inversion de Radon

Partiendo de la IDFT 2D de Fc(Ω1, Ω2)

1 1 2 2

1 2

1 2 1 2 1 22

1( , ) ( , )

4j t j t

c cf t t F e e d d

Vamos a convertirla a coordenadas polares esto

es: (Ω1, Ω2) (ω, θ). Para realizar la conversión deberemos hacer uso del jacobiano

2

1

Formula de inversion de Radon

Recordando que :

( , ) ( , ) :

( , ) ( ( , ), ( , ))

( ) ( )

( ) ( )( , ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( , ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

si x g u v y y h u v entonces

f x y dxdy f g u v h u v J dudv donde

x x

u vx y x y y xJ

y yu v u v u v

u v

Formula de inversion de Radon

Entonces fc(t1, t2) nos queda

1 2( , ) cos ( , )

:

cos( , )

cos( , )

si g y h sen

entonces

senx yJ

senu v

1 2( cos )1 2 2

0

1( , ) ( cos , )

4j t t sen

c cf t t F sen e d d

Formula de inversion de Radon Observemos que:

1 2( cos )1 2 2

0

1( , ) ( cos , )

4j t t sen

c cf t t F sen e d d

( )P

1 2( cos )1 2 2

0

1( , ) ( )

4j t t sen

cf t t P e d d

I

Formula de inversion de Radon Observemos que:

1 2( cos )1 2 2

0

1( , ) ( )

4j t t sen

cf t t P e d d

I

1 2

( ) ( ) ( ) ( )

cos

G P IDFT G g t

y t t t sen

( ) :j tI G e d donde

Es una IDFT

Formula de inversion de Radon En definitiva nos queda que:

1 2cos( )

t t t senI g t

1 2( cos )I g t t sen

1 2 1 220

1( , ) ( cos )

4cf t t g t t sen d

Reemplazando en fc(t1, t2) nos queda:

Formula de inversion de Radon Interpretacion

1 2 1 220

1( , ) ( cos )

4cf t t g t t sen d

1 2

( ) ( ) ( ) ( , )

cos

G P g t p t IDFT

y t t t sen

Formula de inversion de Radon Resulta que:

( )( ) ( , )

Pdg t p t IDFT d

dt t

1- Encontramos2- Hallamos

3- Reemplazamos este resultado en fc(t1, t2)

( )( ) ( , )

Pdg t p t IDFT d

dt t

( , )p t

1 2 1 220

1( , ) ( cos )

4cf t t g t t sen d

Convolution Backprojection Interpretación

2t

1t

t

0t

0( )g t01t

02t

( )g t

0 01 2 0( , ) ( )cf t t g t

0t 02t

01t

1 2 20

1( , ) ( )

4cf t t g t d

Matlab Support

RADON TRANSFORM Obtiene las proyecciones a partir de la imagen

Matlab Support

RADON TRANSFORM Para ver la transformación para varios ángulos

se suele verlas como una imagen.

Matlab Support

INVERSE RADON TRANSFORM Podemos reconstruir la imagen a partir de las proyecciones.

Matlab Support

INVERSE RADON TRANSFORM Podemos reconstruir la imagen a partir de las proyecciones.