problemes matemàtics...dues possibles relacions, la de suma-resta i la de multiplicació-divisió....

Boira Editorial

Pro

blem

es m

atem

àtic

s se

nse

esfo

rç -

Com

ens

enya

r el

pro

cés

men

tal a

Prim

ària

i S

ecun

dària

Com ensenyar el procés mental a Primària i Secundària

Daniel Gabarró i Marta Bellmunt

Basat en una metodologia deJavier López Apesteguía

Problemesmatemàtics

...pas a pas

Problemesmatemàtics

Com ensenyarel procés mental

a Primària i Secundària

...pas a pas

Boira Editorial

Redacció: Marta Bellmunt – [email protected]ó d’art: Jorge Herreros – [email protected]

© Boira [email protected]

Primera edició: gener de 2018

Dipòsit legal: L 39 - 2019ISBN: 978-84-16680-66-5

1. Introducció:ensenyarapensarmatemàticament ................. 06

2. Com ensenyar… ...................................................................... 08

2.1 Problemes de suma-resta ............................................... 09

2.2 Problemesdemultiplicació-divisió ................................. 19

2.3 Adistingirproblemesdesuma-restadeproblemes demultiplicació-divisió .................................................. 29

2.4 Problemes de dues operacions ...................................... 31

2.5 Problemes de fraccions ................................................... 41

2.6 Problemes amb sistema mètric decimal ....................... 55

2.7 Problemesdesuperfíciesivolums ................................. 63

3. Ampliació: cicle superior i ESO ................................................ 70

3.1 Problemesdediversesoperacionsperdoscaminsdiferents ........................................................................... 71

3.2 Problemesdepercentatges ............................................ 85

4. Conclusió ................................................................................ 100

Índe

x

/ 6 /

1INTRODUCCIÓ:

ENSENYAR A PENSAR MATEMÀTICAMENT

/ 7 /

Perresoldrequalsevolproblemamatemàtic,laclauésensenyar a pensar matemàticament.Ésadir,adeduirquinaéslarelacióquehihaentrelesdadesiaplicar-la.Així,podremdecidirdeformaraonadaencadascundelsquatrepassosdelprocésderesolució.Aquestssón:

(1) Llegir per identificar les dades

(2) Ordenar les dades en un diagrama de resolució

(3) Decidir, a partir del diagrama, quina operació cal fer i calcular-la

(4) Escriure la resposta i valorar si és lògica

Seguintaquestsquatrepassosdemaneraordenada,descobriremlarelacióquehihaentrelesdadesi,gràciesaaquestarelació,trobaremlasoluciódelproblema.Conseqüentment,ésmoltimportantensenyaralnostrealumnataexecutarcorrectamentcadapasperevitarembussoscognitius.

Senseunmètodeclarperensenyararesoldreelsproblemes,l’alumnatnotindràeinesperenfrontar-s’hiitendiràaviurelesmatemàtiquescomunaàreaincomprensibleiinsuperable.Encanvi,sielsensenyemaresoldreunproblemapasapas,elsajudaremacrearunamentmatemàticaqueelsacompanyaràalllargdelasevavida.

Aquestametodologiaésútilperatotl’alumnati,especialment,peraaquellsambdificultatsperresoldreelsproblemeso,simplement,quenoelsagradenlesmatemàtiquesperquènolesentenen.Aplicant-la,sabràsquanunalumneestàraonantcorrectamenti,quannohoestiguifent,onfallaicomensenyar-li-hocorrectament.L’alumne/a,perlasevapart,sabrà què està fent, per què i per a què.D’aquestamanera,elprocésderesoluciódeproblemesmatemàticstéunsentitievitemqueesrebutgi.Perquèalsalumnessíqueelsagradaresoldreproblemes,elquenoelsagradaéslaincomprensió.

Et ve de gust conèixer aquesta metodologia i ajudar el teu alumnat?

/ 8 /

2COM ENSENYAR...

/ 9 /

Enl’apartatanterior,hemafirmatqueperensenyararesoldreelsproblemesmatemàticsésfonamentalensenyarapensarmatemàticament.Ésadir,veurelarelacióquehihaentrelesdades.

Iquinaéslarelacióquehihaentotselsproblemesdesuma-resta?

Com podem ensenyar els passos anteriors aplicats a un problema de suma-resta?Vegem-hoatravésdel’exemplesegüent:

El meu avi té a la seva granja ovelles i gallines. Si hi ha 25 animals i 15 són ovelles, quantes gallines té el meu avi?

Llegir per identificar les dades

Enaquestprimerpas,s’acostumenacometrealgunserrors,jaqueescreuquenomés“entenentelproblema”jan’hihaprou.Peròaixònoéscert.Lacomprensiólectoraésnecessàriaperònosuficient.Elquenos’explicaésque“entendreelproblema”comportaidentificarlarelacióqueconnectalesdadesidescobrirquinpaperjugacadadadaenaquestarelació.

2.1 PROBLEMES DE SUMA-RESTA

En els problemes d’una operació de suma-resta, la relació entre les xifressempreéslamateixa:hihaduesomésParts (P) i un Total (T). SiensdonenelvalordelesPartsienspreguntenpelTotal,estemdavantd’unproblemadeSUMA.SisabemelTotaliunadelesParts,ésunproblemadeRESTA.

/ 10 /

Tenintencompteaquestobjectiu,ésfonamentalidentificarlesdadesdesdetresperspectivesdiferents:dades simbòliques, dades explicatives i dades numèriques.

• Dades simbòliques (Part-Part-Total= PPT):Lesnecessitemperquèensindiqueneltipusderelacióqueconnectalesdades.Solamenthihaduespossiblesrelacions,ladesuma-resta i la de multiplicació-divisió. Enelsproblemesdesuma-restasemprehihaurà:

Duesomésparts,quesempreseranquantitatsméspetitesqueeltotal,alesqualsdenominarem“P”.

UnaquantitatTOTAL,quesempreseràmésgranquelesparts,alaqualdenominarem“T”.

• Dades explicatives (dades redactades amb paraules): les necessitem perconcretaraquèesrefereixenlesparts(PiP)iaquinaeltotal(T)encada problema.

• Dades numèriques (quantitats):lesnecessitemperpoderrealitzarlesoperacions.

Enaquestproblema,elTotal(T)sónelconjuntd’animalsquehihaalagranja,ésadir,25animals.LesPartsqueelcomponensón15ovelles(unapart,P)iunnombredesconegutdegallines(unaaltrapart,P).

PPT

/ 11 /

Aquestarelacióesrepresentavisualmentdelamanerasegüent:

Dada simbòlica

Dada numèrica

Dada explicativa

15Ovelles Gallines Animals a

la granja

? 25TP P

Per resoldre de forma raonada un problema de suma-resta,ésconvenientpracticarambelnostrealumnataquestprimerpasabansdepassaralpuntsegüent.Nos’hadesaltar,nifer-seambpresses.Sidonemproutempsperquètotalaclassehodomini,larestadelprocésseràextremadamentsenzill.Sensedominaraquestpunt,resultaràgairebéimpossible.

2 Ordenar les dades en un diagrama de resolució:

Estractad’elaborarunpladeresoluciódeformaexplícita.Hemdesaberquinadadaenspregunteniquinesdadesnecessitemperesbrinar-ho.D’aquestamanera,veuremquinarelaciólesconnectaiquinpaperjugacadascuna en aquesta relació.

Aixípodremdeduir,deformaraonada,l’operacióquehemderealitzarperresoldre el problema.

/ 12/

) Quina dada em pregunten? ) Quines dades necessito per esbrinar-ho?

25

15 Ovelles

GallinesAnimals a la granja

?PP T

Comespotobservar,siesdominaelprimerpunt,aquestpasésmoltsenzill.Aquestdiagramaensportadeformalògicaalpassegüent,ondecidiremquinaoperaciórealitzar.

3 Decidir, a partir del diagrama, quina operació cal fer i calcular-la

> Decidir, a partir del diagrama, quina operació cal fer

Gràciesaldiagrama,ésevidentquinaoperacióescollir.Perquè?Perquèenelsproblemesdesuma-restanoméshihaduesoperacionssegonselquebusquem:

• PertrobarelTotal(T),SUMOlesParts(P).Explicatdeformasimbòlica,seria:

T = P + P

• PertrobarunaPart(P),RESTOl’altraPart(P)delTotal(T).Explicatdeformasimbòlica,seria:

P = T - P

P = T - P

/ 13 /

ComquebusquemunadelesParts(P)delproblema,l’operacióquehemdeferésunaresta.Enaquestcas,l’operacióqueescollimfareferènciaala(P)deladadaexplicativa“gallines”:

P = T - P

T = P + PP = T - P

> Calcular l’operació

Unavegadahemescollitl’operació,lacalculemenl’espaireservatperfer-ho:

25- 15

10_______

4 4. Escriure el resultat i valorar si la resposta és lògica

> Escriure el resultat

Enaquestúltimpunt,s’escriuelresultatresponentalapreguntadelproblema: quantes gallines té el meu avi?

Elresultats’hadecomprendreenelmomentdellegir-lo,perlaqualcosanopotestarescritúnicamentambnombres.Escriuresolament“10”noseriacorrecte,comtampoc“10gallines”,jaquenosónunesgallinesqualsevol.

Resultat: El meu avi té 10 gallines

/ 14 /

> Valorar si la resposta és lògica

Entotselsproblemesdesuma-resta,elTotal(T)sempreseràmésgranquelesParts(P).Peraixò,animareml’alumnatacomprovarsielresultatquehanescritconcordaambaquestaafirmació.Pervalorar,primercompletemlarelacióambtoteslesdadesidesprésresponemalapregunta:elTotalésmésgranquelesParts(P)?

15Ovelles Gallines Animals

a la granja

10 25TP P

ElTotal(T)esmésgranquelesParts(P)?Sí/No

D’aquestamanera,l’alumnatpodràdeduirsilarespostaquehanescritéslògica.Quanfemaquestpas,nopodemsaberambcertesasielresultatdel’operacióéscorrecte,noméssiéslògic.SicadascunadelesParts(P)ésméspetitaqueelTotal(T),oelTotal(T)ésmésgranquelesduesParts(P),sabremquelarespostatésentit.

/15/

COM AVALUAR UN PROBLEMA DE SUMA-RESTA? Acontinuació,usproposemunaorientacióperalapuntuaciód’unúnicproblemadesuma-resta:

1. Llegirperidentificarlesdades:0,3punts

a)0,1perlesdadessimbòliques

b)0,1perlesdadesnumèriques

c)0,1perlesdadesexplicatives

2. Organitzarlesdadesenundiagramaderesolució:0,3punts

3. Calcular:0,2punts

a)0,1perl’operaciótriada

b)0,1pelcàlcul

4. Respondreivalorar:0,2punts

a) 0,1perlaresposta

b)0,1perlavaloració

NOTA:fallarenqualsevolpasdelproblemasuposaràperdrelapuntuaciódelspassosposteriors.Exemple:sil’alumne/afallaeneltercerpas,al’horadecalcular,il’anteriornoéscorrecte,tindrà0,6punts.Aixídonemvaloralprocésmentalipodemdescobrirquinspassosdelprocésnodomina.Saberexactamentenquinspassostémésdificultatésfonamental:arasabremenquèfallai,gràciesaaquestametodologia,comensenyar-li-hocorrectament!

/ 16 /

ERRORS A EVITAR EN ELS PROBLEMES DE SUMA-RESTA: 1. Hauríemd’evitarfrasesdeltipus:“si hi ha la paraula “més”, “guanyar”… és un problema de suma; si hi ha la paraula “menys”, “perdre”…és un problema de resta”. Aixòésaplicarlalògicalingüísticaenllocd’aplicarlalògicamatemàtica,laqualcosaelspotportaraerror.Aixòs’evidenciaenelcassegüent:

Exemple: El Joan té 40 anys i la seva filla 16. Quants anys té el pare més que la filla?

Siapliquéssimlalògicalingüísticasumaríemilarespostaseriaque,encaraqueelparesolamentté40anys,lafillaenté56.I,pertant,seriamésgranqueelpare.Absurd!

2. “Ves al teu lloc i pensa-ho una altra vegada”. En els problemes d’unaoperacióaquestafraseimplicaquel’alumne/acanviaràl’operació,perònopensarà.Finsitot,creuràquepensarés “provar” i aixòcrearàunembúscognitiu.

3. Evitemqueelsproblemesesconverteixinenunaodiversesoperacionsaresoldre.Noelsagrupemperl’operacióqueelsresol.Sil’alumne/aintueixqueelsproblemesestanagrupatsd’aquestamanera,lasevatascaesreduiràaagafarlesdadesnumèriquesiaferl’operaciócorresponent.“Estemtreballantaclasselasuma,doncshedesumar”.D’aquestamanera,nohiharaonament.Perquèsifoselcas,hauríemd’identificarquinesdadessónlespartsiquinadadaéseltotalperveurecomestanrelacionades.

4. I,finalment,nodonemindicacionsdeltipus:“utilitza la resta/suma per resoldre aquests problemes”.

/ 17 /

Perpracticaraquesttipusdeproblemes,enelsquadernsDominar els problemes matemàtics 1 i 2 de Boira Editorial,disposemdediversosexercicisqueajudenaintegrarcadascundelspassos.Amés,inclouenunaplantillacomaquestaqueespotfotocopiar,enlaqualestreballendeformaexplícitaelsquatrepassosdelprocés:

/ 18 /

PLANTILLA FOTOCOPIABLE

/ 19 /

2.2 PROBLEMES DE MULTIPLICACIÓ I DIVISIÓ

Enelprimerapartat,hemafirmatqueperensenyararesoldreelsproblemesmatemàticsésfonamentalensenyarapensarmatemàticament.Ésadir,veurelarelacióquehihaentrelesdades.

Iquinaéslarelacióquehihaentotselsproblemesdemultiplicació-divisió?

Com podem ensenyar els passos anteriors aplicant-los en un problema de multiplicació-divisió?Vegem-homitjançantl’exemplesegüent:

L’Anna ha col·locat 6 llapis en cadascun dels tres pots que hi ha damunt la taula. Quants llapis hi ha en total?


Hemvistquelacomprensiólectoraésnecessària,perònosuficient.Peraixò,ésfonamentalidentificarlarelacióqueconnectalesdadesidescobrirquinpaperjugacadadadaenaquestarelació.

En els problemes de multiplicació-divisiótambéhihaunarelaciódeduïbleentrelesxifres.SemprehihaunaQuantitat Unitària estable (U) que es repeteix un nombre de Vegades (V) i una Quantitat Total (T). SisabemlaQuantitatUnitàriailesVegades,trobaremlaQuantitatTotalMULTIPLICANT.SisabemlaQuantitatTotalilaQuantitatUnitària,olaQuantitatTotalilesVegades,trobaremelqueens falta DIVIDINT.

/ 20/

Ambaquestobjectiu,calidentificarlesdadesdesdetresperspectivesdiferents: dades simbòliques, dades explicatives i dades numèriques.

• Dades simbòliques(QuantitatUnitària-Vegades-QuantitatTotal = UVT).Lesnecessitemperquèensindiquineltipusderelacióqueconnectalesdades.Enelsproblemesdemultiplicació-divisiósempresón:

U UnaQuantitatUnitària(U),queéslaquantitatqueesvarepetint.

V UnnombredeVegades(V), queesrepeteixlaQuantitatUnitària.

T LaQuantitatTotal(T), queinclouràlaQuantitatUnitàriaundeterminatnombredevegades.

• Dades explicatives (dades redactades en paraules): les necessitem per concretaraquèesrefereixenlaQuantitatUnitària(O),lesVegades(V)ilaQuantitatTotal(T)encadaproblema.

• Dades numèriques (quantitats):lesnecessitemperpoderrealitzarlesoperacions.

EnaquestproblemasabemquehihaunaQuantitatUnitàriaqueesrepeteix:elnombredellapisencadapot(6).TambésabemqueaquestaquantitatesrepeteixtresVEGADES(3).Finalment,enspreguntenperlaQuantitatTotal,ésadir,pelnombredellapisenTOTSelspots.

/21/

Aquestarelacióespotrepresentarvisualmentdelamanerasegüent:

Dada simbòlica

Dada numèrica

Dada explicativa

6Llapis en UN pot

Pots Llapis entre

TOTS els pots

3 ?TU V

Igualqueenelsproblemesdesuma-resta,perresoldredeformaraonadaun problema de multiplicació-divisió,ésrecomanablepracticarambelnostrealumnataquestprimerpasabansdepassaralsegüentpunt.Nos’hadesaltar,nifer-seambpresses.Sidonemeltempssuficientperquètotalaclassehodomini,larestadelprocésseràextremadamentsenzill.Sensedominaraquestpunt,resultaràgairebéimpossible.


Estractad’elaborarunpladeresoluciódeformaexplícita.Hemdesaberquinadadaenspregunteniquinesdadesnecessitemperesbrinar-ho.D’aquestamanera,veuremquinarelaciólesconnectaiquinpaperhitenenen aquesta relació.

Aixípodremdeduir,d’unamaneraraonada,l’operacióquehemderealitzarper resoldre el problema.

/ 22/

) ¿Que dato me preguntan? ) ¿Que datos necesito para averiguarlo?

3

6Llapis en UN pot

Llapis entre

TOTS els pots

Pots?

UVT

3 Decidir, a partir del diagrama, quina operació cal realitzar i calcular-la

> Decidir, a partir del diagrama, quina operació cal realitzar

Enelsproblemesdemultiplicació-divisió:

• Per trobar la Quantitat Total (T), MULTIPLICOlaQuantitatUnitària(U)perlesVegades(V).Aquestarelacióexplicadadeformasimbòlica,seria:

T = U × V• Per trobar la Quantitat Unitària (U), DIVIDEIXOlaQuantitatTotal(T)entrelesVegades(V).Aquestarelacióexplicadadeformasimbòlica,seria:

U = T : V•PertrobarlesVegades(V),DIVIDEIXO la Quantitat Total (T) entre la QuantitatUnitària(O).Aquestarelacióexplicadadeformasimbòlica,seria:

V = T : U

/23/

Enaquestcas,busquemlaQuantitatTotal(T).Pertant,marcaremambunacreul’operacióquecalferentreaquestestresopcions:

T = U × V

U = T : V

V = T : U

x

> Calcular l’operació

Enaquestpunt,calculareml’operaciócorresponentenl’espaireservatperfer-ho:

6x 3

18_______

4 Escriure el resultat i valorar si la resposta és lògica


Enaquestúltimpunts’escriuelresultatdonantrespostaalapreguntaqueensformulavenenelproblema:quantsllapishihaentotal?

Remarquemqueésimportantnoescriureúnicamentlaxifra,sinólarespostacompleta.Ésadir,lainformaciónumèricahad’anaracompanyadadelainformacióexplicativa.

Resultat: Entre tots els pots hi ha 18 llapis

/ 24/


Entotselsproblemesdemultiplicació-divisiólaQuantitat Total (T) éselresultatdemultiplicarlaQuantitat Unitària (U) per les Vegades (V). Peraixò,animareml’alumnatacomprovarsielresultatquehanescritconcordaambaquestaafirmació.

Pervalorar,primercompletemlarelacióambtoteslesdadesidesprésresponemalapregunta:ÉslaQuantitat Total (T)elresultatderepetirdiversesVegades (V) les Unitats (U)?

6Llapis en UN pot

Pots Llapis entre TOTS els pots

3 18TU V

TÉselresultatderepetirvegadesunitats?-Sí/No18

V3

U6

/25/

COM AVALUAR UN PROBLEMA DE MULTIPLICACIÓ-DIVISIÓ? Acontinuació,usproposemunaorientacióperalapuntuaciód’unúnicproblemademultiplicació-divisió: 1. Llegirperidentificarlesdades:0,3punts

a)0,1perlesdadessimbòliques b)0,1perlesdadesnumèriques c)0,1perlesdadesexplicatives 2. Organitzarlesdadesenundiagramaderesolució:0,3punts 3. Calcular:0,2punts

a)0,1perl’operaciótriada b)0,1pelcàlcul 4. Respondreivalorar:0,2punts

a) 0,1perlaresposta b)0,1perlavaloració NOTA:fallarenqualsevolpasdelproblemasuposaràperdrelapuntuaciódelspassosposteriors.Exemple:sil’alumne/afallaeneltercerpas,al’horadecalcular,il’anteriornoéscorrecte,tindrà0,6punts.Aixídonemvaloralprocésmentalipodemdescobrirquinspassosdelprocésnodomina.Saberexactamentenquinspassostémésdificultatésfonamental:arasabremenquèfallai,gràciesaaquestametodologia,comensenyar-li-hocorrectament!

/ 26/

Perpracticarelsproblemesdemultiplicació-divisió,enelsquadernsDominar els problemes matemàtics 3 i A1 de Boira Editorial, s’hanseqüenciatelsexercicis,demaneraquepodràstrobar,desdeproblemesenelsqualss’abordanomésunapartfinsaexercicisenelsqualss’abordaelproblemaenlasevatotalitat.

Així,s’aconsegueixintegrarpasapaselprocésmentalquepermetdominarelsproblemesmatemàtics.Amés,inclouunaplantillaqueespotfotocopiarperquèl’alumnatpuguiresoldretotselsproblemesdelquadern.Aquestaéslaplantilla:

/27/


/29/

2.3 A DIFERENCIAR PROBLEMAS DE SUMA-RESTA DE PROBLEMAS DE MULTIPLICACIÓN-DIVISIÓN

Hihaduesmaneresperdistingirunproblemadesuma-restad’unaltredemultiplicació-divisió:

1. Observant com es forma la QUANTITAT TOTAL (T).

Tinc2estoigs.Enunhiha5 retoladorsienl’altre8. Quants retoladors tinc entre els dos estoigs?

Tinc4estoigs.Encadaestoighiha9 retoladors. Quants retoladors tinc entre tots els estoigs?

LaQUANTITAT TOTAL (T) es forma apartirdequantitatsdiferentsqueno es repeteixen (P i P)

LaQUANTITAT TOTAL (T) es forma repetintlamateixaquantitat(U) unnombredeVegades(V)

En aquesta situació, es repeteix alguna quantitat

Sí,quina?/No

En aquesta situació, es repeteix alguna?

Sí, quina? El 9/No

PROBLEMES DE SUMA-RESTA

PROBLEMES DE MULTIPLICACIÓ-DIVISIÓ

5 9 9 9 98

P5

P8

T?

U9

V4

T?

/ 30 /

2 Observant si fan referència al MATEIX concepte o a DOS CONCEPTES DIFERENTS.

Tinc2estoigs.Enunhiha5 retoladorsienl’altre8. Quants retoladors tinc entre els dos estoigs?

Tinc4estoigs.Encadaestoighiha9 retoladors. Quants retoladors tinc entre tots els estoigs?

ToteslesdadesfanreferènciaalMATEIXconcepte

(ex: RETOLADORS)

LesdadesfanreferènciaaDOSconceptes diferents

(ej:RETOLADORS i ESTOIGS)

PROBLEMES DE SUMA-RESTA

PROBLEMES DE MULTIPLICACIÓ-DIVISIÓ

? ?

5 8

T T

P P

Retoladors en els dos estoigs

Retoladors en TOTS els

estoigs

Retoladors en un estoig

Retoladors en UN estoig

Retoladors en l’altre estoig

Estoigs

9 4U V

/ 31 /

2.4 PROBLEMES DE DUES OPERACIONS

Ensenyaral’alumnatapensarmatemàticamentésensenyar-liaveurelarelacióentrelesdades.Comesfaenproblemesdeduesoperacions?

Comensenyar-hod’unamanerafàcilisenzilla?Vegem-hoambl’exemplesegüent:

En un avió hi ha 125 maletes petites i 35 maletes grans. Si sabem que cada passatger porta dues maletes, quants passatgers viatgen a l’avió?

En un problema d’una operació, comelsquehemexplicatanteriorment,sempretindremelvalordetoteslesdadesquenecessitemperrespondrealapreguntadelproblema.

Encanvi,en els problemes de dues operacions, ensfaltaràelvalord’unadelesdades,quedescobriremmitjançantunaoperacióprèvia.Aaquestadadal’anomenarem“dada d’enllaç” iéslaqueuneixlesduesrelacions.Peridentificar-la,l’assenyalaremambunasterisc(*). Unavegadahàgimdescobertelseuvalor,podremcalcularl’operacióquedonarespostaalapreguntadelproblema.

Pertant,quanensenfrontemaunproblemadeduesoperacions,necessitaremidentificarduesrelacions,unaperacadaoperació.Icomhemvistenelsapartatsanteriors,aquestespodenserdedostipus:PPT(suma-resta),enlesqualshihadues o més Parts (P) i un Total (T); o UVT (multiplicació-divisió),enlesqualssemprehihaunaQuantitat Unitària (U) que es repeteix una sèrie de Vegades (V) i una Quantitat Total (T).

/ 32/


Volemremarcarquelafinalitatdelalecturaésidentificarlesrelacionsentrelesdades.Amés,lalecturaensajudaarebutjarlainformaciódelesdadesquenoésrellevantperresoldreelproblema.Perexemple,enaquestcas,“petites”i“grans”noésrellevant,elqueésimportantésquesónmaletes.

Enelsproblemesdeduesoperacions,hemd’identificarlesdadesdelesduesrelacionsdesdetresperspectives:dades simbòliques, dades explicatives i dades numèriques.

D’unabanda,buscaremlarelació principal.Aquestarelaciócontélapreguntadelproblema,perònopodemcalcular-laperquèensfaltaelvalord’unadelesdades.

D’altra,trobemlarelació complementària. Aquesta relació ens permet descobrirelvalordeladadad’enllaçqueensfaltavaenlarelacióanterior.

Enaquestproblema,larelacióprincipal,laquecontélapreguntadelproblema,ésunarelacióUVT(multiplicació-divisió)querepresentaríemdelamanerasegüent:

2

35

Maletes que duu un passatger

Maletes petites

U

P

?

125

Passatgers

Maletes grans

V

P

Maletes que duen entre TOTS els

passatgers

Maletes entre tots els

passatgers

T

T

Enaquestproblema,larelació complementària, la queenspermetràdescobrirelvalorladadad’enllaç,ésuna relació PPT(suma-resta),querepresentaríemdelasegüentmanera:

Dada d’enllaç

/ 33 /


Estractad’elaborarunpladeresoluciódeformaexplícita.Hemdesaberquinadadaenspregunteniquinesdadesnecessitemperesbrinar-ho.D’aquestamanera,veiemquinesrelacionslesconnecteniquinpaperjugacadascunad’ellesenaquestesrelacions.

Així,podremdeduir,d’unamaneraraonada,lesduesoperacionsquehemde fer per resoldre el problema.

Estracta,pertant,deconnectarlesduesrelacions.

1. Per què necessitem la RELACIÓ PRINCIPAL? Perrespondrealapreguntadelproblema(?).

2. Per què necessitem la RELACIÓ COMPLEMENTÀRIA? Per esbrinar el valordeladadaquenecessitemenlarelacióprincipal(*).

PP

Passatgers

Maletes du UN passatger

Maletes petites

Maletes gransMaletes duen TOTS

els passatgers

?

RELACIÓCOMPLEMENTÀRIARELACIÓPRINCIPAL

VU

T T

/ 34 /

3 Decidir, a partir del diagrama, quines operacions cal fer i calcular-les

Enprimerlloc,decidiml’operacióquecorresponalarelaciócomplementària.ComqueésunarelacióPPT(suma-resta),tenimtresopcions,entrelesqualshemd’assenyalarquinaéslacorrecta:

T = P + P

P = T - P

P = T - P

x

Acontinuació,calculeml’operació.Aixídescobriremelvalordeladadad’enllaç,laqueuneixlesduesoperacions.

Operació corresponent a la relació complementària:

125+ 35

160_______

/35/

Totseguit,japodemdecidirl’operaciódelarelació principal amb la dada queensfaltavaperrespondrealapreguntadelproblema.Enaquestcas,comqueésunarelacióUVT(multiplicació-divisió),tenimtresopcions,entrelesqualshemd’assenyalarquinaéslacorrecta:

T = U × V

U = T : V

V = T : Ux

Ambelvalordeladadaquenoteníem,iquehemdescobertgràciesal’operacióanterior,calculeml’operaciócorresponentalarelacióprincipal.

Operació de la relació complementària:

160 280_______



Comhemcomentatanteriorment,escriureelresultatnoconsisteixúnicamentaescriurelaxifra.Aquestahad’anaracompanyadadelasevaexplicació.Enaquestacas,seria:

Resultat: A l’avió viatgen 80 passatgers

/ 36 /


SilarelacióprincipalfosPPT(suma-resta),enspreguntaríemsielTotal(T)ésmésgranquelesParts(P)percomprovarsilarespostaéslògica.ComqueenaquestcaslarelacióprincipalésUVT(multiplicació-divisió),enspreguntaremsilaQuantitatTotal(T)ésfruitdemultiplicarlaQuantitatUnitària(U)undeterminatnombredevegades(V).

Enaquestexemple,primercompletemlarelacióprincipalescrivintlesdadesidesprésresponemlapregunta.

2Maletes duu UN

passatger

Passatgers Maletes entre TOTS els

passatgers

80 160TU V

T V UÉselresultatderepetirvegades?-Sí/No160 80 2

/ 37 /

COM AVALUAR UN PROBLEMA DE DUES OPERACIONS? Acontinuació,usproposemunaorientacióperalapuntuaciód’unsol problema de dues operacions: 1. Llegirperidentificarlesdades:0,3punts

a)0,1perlesdadessimbòliquesd’ambduesrelacions b)0,1perlesdadesnumèriquesd’ambduesrelacions c)0,1perlesdadesexplicativesd’ambduesrelacions 2. Organitzarlesdadesenundiagramaderesolució:0,3punts 3. Calcular:0,2punts

a)0,1pertriarlesoperacionscorrectes b)0,1pelcàlculdelesoperacions 4. Respondreivalorar:0,2punts

a) 0,1perlaresposta b)0,1perlavaloració NOTA:fallarenqualsevolpasdelproblemasuposaràperdrelapuntuaciódelspassosposteriors.Exemple:sifallaeneltercerpas,al’horadecalcular,il’anteriornoéscorrecte,l’alumne/atindrà0,6punts.Saberexactamentenquinspassostémésdificultatésfonamental:arasabremenquèfallai,gràciesaaquestametodologia,comensenyar-li-hocorrectament!

Sil’alumne/afacorrectamentelprimerielsegonpas,potobtenir0,6punts.Perquè?Perquèenrealitat,identificarlesdadesiorganitzar-lesenundiagramaésnuclear.Apartird’aquí,ésinevitablededuirelsresultats.Amés,lesdificultatsquepodensorgirenelsúltimspassossónmésfàcilsdesuperarqueenelsprimers,perlaqualcosahemdeprestar,aaquestsprimerspassos,lamàximaatenció.

/ 38 /

Perpracticarelsproblemesdeduesoperacions,enelquadernDominar els problemes matemàtics 4 de Boira Editorial,s’hanseqüenciatelsexercicis,detalmaneraquepodràstrobar,desdeproblemesenelsqualss’abordanomésunapartfinsaexercicisenelsqualss’abordaelproblemaenlasevatotalitat.

Així,s’aconsegueixintegrarpasapaselprocésmentalquepermetdominarelsproblemesmatemàtics.Amés,inclouunaplantillaqueespotfotocopiarperquèl’alumnatpuguiresoldretotselsproblemesdelquadern.Aquestaéslaplantilla:

/ 39 /


/ 40 /

/ 41 /

2.5 PROBLEMA DE FRACCIONS

Perensenyarapensarmatemàticament,ésadir,perquèelnostrealumnatvegilarelacióentrelesdadesipuguideduirlesoperacionsquecalfer,hemd’evitarexplicareltruchabitualde“multiplicarpeldedaltidividirpeldebaix”.Elqueconvéfer,encanvi,ésensenyar-losapensaratravésd’unmètodequecondueixideformalògicaalaresoluciódelproblema.

L’únicacosaqueaconseguimambl’úsdelstrucsésgenerarembussoscognitiusenelnostrealumnat.L’alumnecreuqueestàresolentelproblemaquanenrealitatnol’enténi,conseqüentment,nopotavançar.

Vegem-hoambelsegüentexemple:

Si s’han venut les 5/7 parts de 560 entrades, quantes entrades s’han venut?

Sifemcasdeltruc,primermultiplicaríempelnumerador,ésadir:

560 x 5 = 2.800 entrades

Peròaquestaoperacióésabsurda:sisolamenttenia560entrades,d’onhansortitaquestes2.800?quèelsestemensenyantmitjançantaquesttruc?

Elqueéslamentabled’aquesttrucésqueensportaalresultatcorrecte.Noobstantaixò,generaunsembussoscognitiusenelnostrealumnatque,alallarga,seranmoltdifícilsdesuperar.

Peraixò,noésmillorensenyarapensaralnostrealumnatmitjançantelssenzillspassosanteriors?

Vegem-hoalespàginessegüents.

/ 42/

Enunproblemareferentalafracciód’unnombre,hihaduesmaneresdeformularlapreguntadelproblema

? ?______ ______

1 2

de de= =

D’unabanda,vegemunexempledelaprimera:

En un jardí volen plantar 125 arbres. Si ahir en van plantar 2/5, quants arbres han plantat?

> Llegir per identificar les dades

Aixòsignificaveurequinaéslarelacióentrelesdadestenintencomptequèensestanpreguntant.Enaquestcas,seria:

?______ de =2

5125

D’aquests5grups, 2jas’hanplantat

Els125arbresestandividitsen5 grups

Arbres que jaestanplantats al jardí

Arbresquevolenplantaraljardí

/ 43 /

> Ordenar les dades en un diagrama de resolució:

TU

Arbres en TOTS els grups plantats

Grups d’arbres plantats

Arbres que volen plantar al jardí

Grups en els que están dividits els arbres

Arbres en UN grup

?


TU

V V

> Decidir, a partir del diagrama, quina operació cal realitzar i calcular-la

Enprimerlloc,decidiml’operacióquecorresponalarelaciócomplementària.ComqueésunarelacióUVT(multiplicació-divisió),tenimtresopcions,entrelesqualshemd’assenyalarquinaéslacorrecta.Enaquestcas,busquemlaQuantitatUnitària(U),pertantl’opcióvàlidaserà:

T = U × V

U = T : V

V = T : U

x

Unavegadahemdeciditl’operació,calculem.Aixídescobriremelvalordeladadad’enllaç,laqueuneixlesduesoperacions.

/ 44 /


125 525_______

Acontinuació,japodemdecidirl’operaciócorresponentalarelacióprincipalambladadaqueensfaltavaperrespondrealapreguntadelproblema.Enaquestcas,comqueésunarelacióUVT(multiplicació-divisió),tenimtresopcions,entrelesqualshemd’assenyalarquinaéslacorrecta.ComqueestembuscantlaQuantitatTotal(T),assenyalaremaquesta opció:

T = U × V

U = T : V

V = T : U

x

Araquejahemdescobertelvalordeladadaquenoteníem,calculareml’operacióquecorresponalarelacióprincipal.

Operació corresponent a la relació principal:

25x 2

50_______

/45/

> Escriure el resultat i valorar si la resposta és lògica


Comenelsexemplesanteriors,hemd’escriureunarespostaquedonisentitalapreguntadelproblema.Ésadir,nopodemescriureúnicamentlesdadesnumèriques.Enaquestcas,lapreguntaera:quants arbres han plantat?

Resultat: Han plantat 50 arbres


Finalment,valoremelresultatcompletantlarelacióprincipaliresponemaunapreguntareferentalarelacióUVT:

25Arbres en UN grup

Grups d’arbres plantats

Arbres en TOTS els grups

2 50TU V


/ 46 /

Ara,vegemun exemple de la segona opció possible en un problema referent a la fracció d’un nombre.

En Marc ha llegit 3/5 parts d’un llibre. Ara va per la pàgina 72. Quantes pàgines té el llibre?


Enaquestprimerpas,veuremquinessónlesrelacionsentrelesdades.Enaquestcas,seria:

?______ de =3

572

D’aquests5grups,3jaelshellegit

Grupsdepàginesquetéelllibre

Pàginesques’hallegit

Pàginesquetéelllibre

/ 47 /


TV

Pàgines que té el llibre

Grups de pàgines que té el llibre

Págines llegides

Grups llegitsPàgines en UN grup

?


TV

U U

5

72

3

3 Decidir, a partir del diagrama, quines operacions realitzar i calcular-les

Enprimerlloc,decidiml’operacióquecorresponalarelació complementària. ComqueésunarelacióUVT (multiplicació-divisió), tenimtresopcions,entrelesqualshemd’assenyalarquinaéslacorrecta.Enaquestcas,busquemlaQuantitatUnitària(U),pertantl’opcióvàlidaserà:

T = U × V

U = T : V

V = T : U

x

/ 48 /

Després,calculeml’operació.Aixídescobriremelvalordeladadad’enllaç,el que uneix les dues operacions.


72 324_______

Acontinuació,japodemdecidirl’operaciócorresponentalarelació principalambladadaqueensfaltavaperrespondrealapreguntadelproblema.Enaquestcas,comqueésunarelació UVT (multiplicació-divisió),tenimtresopcions,entrelesqualshemd’assenyalarquinaéslacorrecta.ComqueestembuscantlaQuantitatTotal(T),marcaremambunacreu aquesta opció:

T = U × V

U = T : V

V = T : U

x

Ambelvalordeladadaquenoteníem,iquehemdescobertambl’operacióanterior,calculeml’operaciócorresponentala relació principal.

/ 49 /


24x 5

120_______

4 Escriure el resultat i valorar si és lògic


Peracabar,hemd’escriureunarespostaquedonisentitalapreguntadelproblema.Ésadir,nopodemescriureúnicamentlesdadesnumèriques.Enaquestproblemaenspreguntaven:quantes pàgines té el llibre?

Resultat: El llibre té 45 pàgines

/ 50/


Finalment,valoremelresultatcompletantlarelacióprincipaliresponemaunapreguntaquehifacireferència:

24Pàgines en UN grup

Grups de pàgines que té el llibre

Pàgines que té el llibre

5 120TU V


/51/

COM AVALUAR UN PROBLEMA DE FRACCIONS? Acontinuació,usproposemunaorientacióperalapuntuaciód’unproblema de fraccions:








b)0,1pelcàlcul


a) 0,1perlaresposta


NOTA:fallarenqualsevolpasdelproblemasuposaràperdrelapuntuaciódelspassosposteriors.Exemple:sil’alumne/as’equivocaeneltercerpas,al’horadecalcular,il’anterioréscorrecte,tindria0,6punts.Saberexactamentenquinspassostémésdificultatésfonamental:arasabremenquèfallai,gràciesaaquestametodologia,comensenyar-li-hocorrectament!

/ 52/

Perpracticarelsproblemesdefraccionsd’unnombre,elsquadernsDominar els problemes matemàtics 5 de Boira Editorial, no solament inclouenaquestaplantillaperal’alumnat,sinóunagranvarietatd’exercicisquepermetenafermarelprocésmental.Així,espotavançarambseguretatcapaproblemesdeméscomplexitat.

/53/


/55/

2.6 PROBLEMES AMB SISTEMA MÈTRIC DECIMAL

× 10

Km Hm Dam M Dm Cm Mm

: 10

Enunproblemadelsistemamètricdecimal,ésmoltimportantconèixerlesrespectivesunitatsilessevesequivalències.

Perexemple,quanparlemdemesuresdelongitud:

> Fixa’tenl’exemplesegüent:

El carrer principal de la meva ciutat mesura 4 km de longitud. Cada 200 metres hi ha un tram amb un semàfor. Quants trams amb semàfor hi ha?


Enaquestprimerpasveiemcomesrelacionenlesdades.EnlesduesrelacionsestanimplicadesduesunitatsSMD.Enaquesttipusdeproblemes,calveurequinesoperacionshihaentrelesduesperconvertir-les en la mateixa unitat.

/ 56/

Quinesduesunitats es relacionen en el problema i quines operacionshihaentreelles?

x 1.000

Km

M

: 1.000

Pertant,1m és 1.000 vegades més petit que 1km.

RELACIÓ COMPLEMENTÀRIARELACIÓ PRINCIPAL

200 4Metres de cada tram amb semàfor

Km mesura el carrerU U

? 1.000Metres que mesura el carrer VegadesV VTrams entre semàfors

Metres mesura el carrerT T

Hihaunaaltramaneraderesoldreaquestproblema,queésestablintlarelació principal en Km:U=Kmdecadatramambsemàfor(*),V=tramsentresemàfors(?)iT=Kmquemesuraelcarrer(4).Ladadad’enllaçcorrespondriaalsquilòmetresdecadatramentresemàfors.Enaquestcas,establiremlarelaciócomplementàriapercalcularaquestvalor,queseria:U=Kmdecadatramentresemàfors(*),V=vegades(1.000),T=Mdecadatramentresemàfors.Noobstantaixò,nosaltreshoresoldremdelaprimera.

/57/


UV

Trams entre semàfors

Metres en cada tram entre semàfors

Km mesura el carrer

VegadesMetres mesura

el carrer

?


VU

T T

200

4

1.000

3 Decidir, a partir del diagrama, quines operacions realitzar i calcular-les

Enprimerlloc,decidiml’operacióquecorresponalarelació complementària. ComqueésunarelacióUVT (multiplicació-divisió), tenimtresopcions,entrelesqualshemd’assenyalarquinaéslacorrecta.Enaquestcas,busquemlaQuantitatTotal(T)il’assenyalemambunacreu:

T = U × V

U = T : V

V = T : U

x

Després,calculeml’operació.Aixídescobriremelvalordeladadad’enllaç,el que uneix les dues operacions.

/ 58/


1.000x 4

4.000_______

Acontinuació,japodemdecidirl’operaciódelarelació principal amb la dadaqueensfaltavaperrespondrealapreguntadelproblema.Enaquestcas,comqueésunarelacióUVT (multiplicació-divisió), tenimtresopcions,entrelesqualshauremd’assenyalarquinaéslacorrecta.ComqueestembuscantlesVegades(V),assenyalaremaquestaopció:

T = U × V

U = T : V

V = T : Ux

Uncoptenimelvalordeladadaquedesconeixíemgràciesal’operaciódelarelaciócomplementària,calculeml’operaciódelarelacióprincipal.


4.000 20020_______

/59/



Enaquestpunt,hemd’escriureunarespostaquedonisentitalapreguntadelproblema.Ésadir,nopodemescriureúnicamentlesdadesnumèriques.Enaquestproblemaenspreguntaven:quants trams amb semàfor hi ha?

Resultat: Hi ha 20 trams amb semàfor


Finalment,valoremelresultatcompletantlarelacióprincipaliresponemaunapreguntaquehifacireferència:

200Metres en cada tram en què hi ha un semàfor

Trams en què hi ha un

semàfor

Metres que mesura el carrer

20 4.000

TU V

T V UÉselresultatderepetirvegades?-Sí/No4.000 20 200

/ 60 /

COM AVALUAR UN PROBLEMA DEL SISTEMA MÈTRIC DECIMAL? Acontinuació,usproposemunaorientacióperalapuntuaciód’unproblema amb sistema mètric decimal:








b)0,1pelcàlcul


a) 0,1perlaresposta


NOTA:fallarenqualsevolpasdelproblemasuposaràperdrelapuntuaciódelspassosposteriors.Exemple:sil’alumne/as’equivocaeneltercerpas,al’horadecalcula,il’anterioréscorrecte,tindria0,6punts.Saberexactamentenquinspassostémésdificultatésfonamental:arasabremenquèfallai,gràciesaaquestametodologia,comensenyar-li-hocorrectament!

/ 61 /

Perpracticarelsproblemesambsistemamètricdecimal,elsquadernsDominar els problemes matemàtics 5 de Boira Editorial, no solament inclouenaquestaplantillaperal’alumnat,sinóunagranvarietatd’exercicisquepermetenafermarelprocésmental.Així,espotavançarambseguretatcapaproblemesdeméscomplexitat.

/ 62/


/ 63 /

2.7 PROBLEMES DE PERÍMETRES, SUPERFÍCIES I VOLUMS

Enaquestapartat,aprendremcompodemensenyaradominarproblemesdesuperfíciesivolums.

Enelsproblemesdeperímetres,superfíciesiàrees,ésimportanttenir clar a què fan referència aquests conceptes.

El perímetreéslasumadeleslongitudsdelscostatsd’unafigurageomètricaplana.

L’àreaéslamesuradelasuperfíciequeocupaunafigura.Permesurarsuperfíciess’utilitzacomaunitatelmetrequadrat(m2).

El voluméslaquantitatd’espaiqueocupauncos.Laprincipalunitatdevoluméselmetrecúbic(m3).

Acontinuació,vegemcompodemaplicarelsquatrepassosenunproblemadesuperfícies.Fixa’tenl’exemplesegüent:

Volem canviar les rajoles del fons de la nostra piscina. És de forma rectangular i fa 20 metres de llarg i 12 metres d’ample. Si volem col·locar rajoles de 25 dm2, quantes n’utilitzarem?


Enaquestprimerpas,veuremcomestanrelacionadeslesdades.

Hemdetenirencomptequeenelsproblemesdesuperfíciesivolums,unadelesrelacionscorresponalafórmuladelafigura.Perexemple,enaquestproblema,se’nsparlad’unapiscinaambformarectangular.

/ 64 /

Lafórmulapertrobarl’àreaserialasegüent:

Llargària Amplària SuperfícieTU V× =

LlargàriaAmplàriaV

U

Arajatenimtoteslesdadesperescriurelesrelacionsdelproblema.Aquestes serien:

m2/rajola

Metres de llargària

Metres d’amplada

M2 de superfície

m2/rajolaU

U

U) M2 i rajoles ) M2 / rajola

) M2 SUPERFÍCIE PISCINA

20 12

Rajoles VegadesV

V

V? 100

m2 en total m2 en rajolaT

T

T 25

× =

/65/


Arajatenimlestresrelacionsquenecessitemperelaborareldiagramaderesolució.

Perfer-lo,posaremenprimerlloclarelacióprincipal,laquecontélapreguntadelproblema.Enaquestcasés:m2 i rajoles. En aquesta ocasió la relacióprincipaltéduesdadesd’enllaç,perlaqualcosanecessitaremduesrelacions complementàries.

Fixa’t-hi:

?


V

V

U

T

V

U U

T T

100

25

20

12


Enaquestaocasió,podemdecidirlesoperacionsdelesrelacionscomplementàriesindistintament,ésadir,podemcomençarperlarelacióde dalt o per la de baix.

/ 66 /

Enprimerlloc,comencemperdecidirl’operacióquecorresponalarelació complementària dedalt.ComqueésunarelacióUVT (multiplicació-divisió), tenimtresopcions.Enaquestcas,busquemlaQuantitatUnitària(U),pertant:

T = U × V

U = T : V

V = T : U

x

Acontinuació,femelcàlculd’aquestarelació.

> Operació corresponent a la relació complementària:

25 1000,25_______

Ensegonlloc,decidiml’operaciódel’altrarelaciócomplementària.Enaquestcas,hemdecalcularl’àrea:

U × V = TLlargària Amplària Superfície

x

L’operaciód’aquestasegonarelaciócomplementàriaserialasegüent:

/ 67 /


20x 12

+ 2040

60

_______

_______

Finalment,decidiml’operaciódelarelacióprincipal.ComqueésunarelacióUVT(multiplicació-divisió),tenimtresopcions.Enaquestcas,busquemlesVegades(V),pertant:

T = U × V

U = T : V

V = T : UxI,ambelsdosvalorsdeladadad’enllaçquehemdescobertenlesrelacionscomplementàries,calculeml’operacióprincipal.

> Operació corresponent a la relació principal:

240 0,25960_______

/ 68 /



Enaquestpunt,escriuremunarespostaquedonisentitalapreguntadelproblema.Enaquestcas,enspreguntaven:quantes rajoles utilitzarem?

Resultat: Per al fons de la piscina utilitzarem 960 rajoles

> Valoro si la resposta és lògica

Finalment,valoremelresultatcompletantlarelacióprincipaliresponemaunapreguntaquehifareferència:

0,25M2/rajola Rajoles M2 en total

960 240

TU V

T V UÉselresultatderepetirvegades?-Sí/No240 960 0,25

/ 69 /

/ 70 /

3AMPLIACIÓ: CICLE SUPERIOR I ESO

/ 71 /

3.1 PROBLEMES DE DIVERSES OPERACIONS PER DOS CAMINS DIFERENTS

SegonsvaafirmarKenRobinson,educadoriconferenciantbritànic,“l’escolamatalacreativitat”.Enlasevaopinió,elsistemaeducatiuestàbasatenl’habilitatacadèmica,però,encanvi,nos’educaenl’úsdelcos,nienlacapacitatdecrearnid’imaginar.

Siaixòéscert,unabonamaneraderevertiraquestasituacióésensenyantal nostre alumnat com resoldre problemes per dos camins diferents.

Enelsproblemesdediversesoperacionspercaminsdiferents,hauremdeveuretoteslesrelacionsdesdeduesperspectives:aquelles relacions que parlen d’un mateix concepte (seran relacions PPT) i aquelles que parlen de dos conceptes (seran relacions UVT).

Unavegadahaguemdetectattoteslesrelacions,identificaremquinessón les dues relacions principals,ésadir,aquelles que contenen la pregunta del problema.

Després,elaboraremdos plans de resolució diferents(PlaAiPlaB),cadascunambelseupropidiagramaderesolució,queensconduiran,deformalògica,alarespostadelproblema.

Vegem-hod’unamanerafàcilmitjançantl’exemplesegüent:

L’equip femení i el masculí del meu col•legi han comprat 55 pilotes de bàsquet. Cada pilota els ha costat 4€. Si l’equip femení s’ha gastat 104€, quants diners s’ha gastat l’equip masculí?

/ 72/


Talcomhemvist,enaquestprimerpasdetectemdequinamaneraesrelacionen les dades. Dues de les relacions descobertes correspondran a les dues relacions principals del problema.

D’unabanda,identificaremlesrelacionsPPT(suma-resta),ésadir,aquellesquefanreferènciaaunsolconcepte.Sit’hifixes,enaquestproblemaesparla de PILOTES i d’EUROS.

Acontinuació,hemd’escriureaquestesdadesdesdelestresperspectives.Sidesconeixemelvalord’algunadada,posaremunasteriscenlasevacasellacorresponent(*)itambéescriuremuninterrogantenlacaselladeladadaquesiguilapreguntadelproblema(?).Enaquestcas,enspregunten:quants diners s’ha gastat l’equip masculí?

DelesduesrelacionsPPT,laquecontinguilapreguntadelproblemaseràlarelacióprincipald’undelscaminsqueenspermetràresoldre’l.

Vegem-ho:

) PPT - Pilotes ) PPT - Euros

Pilotes comprades per l’equip masculí

€ gastats per l’equip masculí

€ gastats per l’equip femení

P PPilotes comprades per l’equip femeníP PPilotes comprades per ambdós equips

€ gastats pels dos equipsT T

104

55

?

/ 73 /

> Quina de les dues relacions conté la pregunta del problema? PPT - Euros

D’altrabanda,identifiquemlesrelacionsUVT (multiplicació-divisió),ésadir,aquellesquefanreferènciaados conceptes, EUROS i PILOTES. En aquestcas,tenimtresrelacions.Fixa-t’hi:

) UVT - Equip masculí ) UVT - Equip femení ) UVT - Els dos equips

€ que val UNA pilota € que val UNA pilota € que val UNA pilotaU U U

Pilotes que ha comprat l’equip masculí

Pilotes que ha comprat l’equip femení

Pilotes que han comprat entre els dos equips

V V V

€ que valen TOTES les pilotes de l’equip masculí

€ que valen TOTES les pilotes de l’equip femení

€ que valen TOTES les pilotes entre els dos equips

T T T

4 4 4

55

104?

> Quina de les tres relacions UVT conté la pregunta del problema? UVT – Equip masculí

ArapodemdissenyardosPlansdeResolució,unperacadarelacióprincipal:PLAAiPLAB.CadaPlaésundelscaminspossiblesperresoldreelproblema.Vegem-hoacontinuació.

/ 74 /


Enprimerlloc,dissenyaremelPLA AutilitzantlarelacióprincipalPPT – Euros, doncséslaquecontélapreguntadelproblema(quantsdinerss’hagastatl’equipmasculí).Abansdefereldiagrama,situaremenuncostatlarelacióprincipali,enl’altre,larelaciócomplementàriaqueensajudaràadescobrirelvalordeladadad’enllaç.AquestarelaciócomplementàriaésUVT-ELSDOSEQUIPS,jaqueinclouladadaquecontéelvalorquenecessitem en la relació principal.

) PPT - Euros ) UVT - Els dos equips

€ gastats per l’equip masculí

€ que val UNA pilota


P U€ gastats per l’equip femeníP V€ gastats pels dos equips


T T55

4

104

?

RELACIÓPRINCIPAL RELACIÓCOMPLEMENTÀRIA

Pla A

/75/

Arajatenimlesduesrelacionsquenecessitàvemperelaborareldiagramade resolució:

UV

?


PP

T T

104

4

55

Pla A

Ara,femelmateixambl’altrarelacióprincipal.Enaquestcas,seràUVT – Equip masculí, i dissenyem el nostre PLA Bque,coml’anterior,tambéensconduiràdemaneralògicaalasoluciódelproblema.

Enelmargeesquerre,situaremlarelacióprincipal,laquecontélapreguntadelproblema.Alcostat,larelaciócomplementàriaUVT-EQUIPFEMENÍ,queenspermetràdescobrirelvalordeladadad’enllaç“Pilotesquehacompratl’equipmasculí”.Tanmateix,enaquestarelaciócomplementariahihaunaaltradadaquedesconeixem“Pilotesquehacompratl’equipfemení”,quèfemllavors?Triarunaaltrarelaciócomplementàriaqueenspermetidescobrirelvalord’aquestasegonadadad’enllaç.IaquestarelacióseràUVT-ELSDOSEQUIPS.Fixa-t’hi:

/ 76 /

) UVT - Equip masculí ) PPT - Equip femení ) UVT - Els dos equips

€ que val UNA pilota Pilotes comprades per l’equip masculí

€ que val UNA pilotaU P U

Pilotes que ha comprat l’equip masculí

Pilotes que ha comprat l’equip femení


V P V

€ que valen TOTES les pilotes de l’equip masculí

€ que valen TOTES les pilotes de l’equip femení


T T T

4 4

55 104?

RELACIÓPRINCIPAL

RELACIÓCOMPLEMENTÀRIA


Pla B

/ 77 /

Arajatenimlestresrelacionsquenecessitàvemperelaborareldiagramade resolució:

Pla B

T

TPU

?TUV P V

4

554

104


RELACIÓPRINCIPAL


3 Decidir, a partir del diagrama, quines operacions cal fer i calcular-les:

Enprimerlloc,decidimlesoperacionsquecorresponenalPLA A: PPT - Euros

Recordeml’enunciatieldiagrama:

L’equip femení i el masculí del meu col·legi han comprat 55 pilotes de bàsquet. Cada pilota els ha costat 4€. Si l’equip femení s’ha gastat 104€, quants diners s’ha gastat l’equip masculí?

UV

?


PP

T T

104

4

55

/ 78 /

Comsempre,comencemperdecidirl’operacióquecorresponalarelació complementària. ComqueésunarelacióUVT(multiplicació-divisió),tenimtresopcions,entrelesqualshemd’assenyalarquinaéslacorrecta.Enaquestcas,busquemlaQuantitatTotal(T),“€quevalenTOTESlespilotesentreelsdosequips”,pertant:

T = U × V

U = T : V

V = T : U

x

Totseguit,calculeml’operacióassenyalada:


55x 4

220_______

Acontinuació,japodemdecidirl’operaciódelarelació principal amb la dadaqueensfaltavaperrespondrealapreguntadelproblema.Enaquestcas,comqueésunarelacióPPT(suma-resta),tenimtresopcions.ComquebusquemunadelesParts(P),“€gastatsperl’equipmasculí”,assenyalaremaquesta opció:

/ 79 /

T = P + P

P = T - P

P = T - P

x

Ambelvalordeladadad’enllaçquehemdescobertenl’operacióanterior,calculeml’operacióprincipal:


220- 104

116_______

/ 80 /

PLA B

Després,decidimlesoperacionsquecorresponenalPLA B: UVT – Equip masculí.


L’equip femení i el masculí del meu col·legi han comprat 55 pilotes de bàsquet. Cada pilota els ha costat 4€. Si l’equip femení s’ha gastat 104€, quants diners s’ha gastat l’equip masculí?

T

TPU

?TUV P V

4

554

104


RELACIÓPRINCIPAL


Enprimerlloc,comencemperdecidirl’operacióquecorresponal’últimarelació complementària,laqueestàsituadaaladretadeldiagrama.ComqueésunarelacióUVT(multiplicació-divisió),tenimtresopcions,entrelesqualshemd’assenyalarquinaéslacorrecta.Enaquestcas,busquemlesVegades(V),“lespilotesquehacompratl’equipfemení”,pertant:

T = U × V

U = T : V

V = T : Ux

/ 81 /

Uncopl’haguemassenyalat,calculeml’operació.


104 426_______

Després,japodemescollirl’operaciódel’altrarelaciócomplementària,laqueestrobaenelcentredeldiagrama.Enaquestcas,comqueésunarelacióPPT(suma-resta),tenimtresopcions.Comquenecessitemesbrinarunadelesparts(P),“lespilotesquehacompratl’equipmasculí”,marcarem aquesta opció:

T = P + P

P = T - P

P = T - P

x

Uncopl’haguemassenyalat,calculeml’operació.


55- 26

29_______

/ 82/

Finalment,decidiml’operacióquecorresponalarelació principal, laquecontélapreguntadelproblema.ComqueésunarelacióUVT (multiplicació-divisió),tenimtresopcions,entrelesqualshemd’assenyalarquinaéslacorrecta.Enaquestcas,busquemlaQuantitatTotal(T),“€gastatsperl’equipmasculí”,pertant:

T = U × V

U = T : V

V = T : U

x

Uncopdescobertl’últimvalordeladadad’enllaç,calculeml’operació.


29x 4

116_______



Enaquestpunt,compararemelsresultatsd’ambdósPlansi,desprésdecomprovarqueaquestscoincideixen,escriuremlarespostadelproblema.

/ 83 /

Comenelsexemplesanteriors,hemd’escriureunarespostaquedonisentitalapreguntadelproblema.Ésadir,nopodemescriureúnicamentlesdadesnumèriques.Enaquestproblema,enspreguntaven:quants diners s’ha gastat l’equip masculí?

Resultat: L’equip masculí s’ha gastat 116€


Finalment,valoremelresultatresponentaunapreguntaiaunaafirmació,queenspermetencomprovarsilarespostaquehemdonatéscoherent.

Et sembla que té sentit? Sí/No

L’equipmasculís’hagastatMÉS/menysdinersquel’equipfemení.Pertant,hacomprat MÉS/menyspilotesquel’altreequip.

Perpracticaraquesttipusdeproblemes,elsquadernsDominar els problemes matemàtics de Boira Editorial, inclouenunaplantillaperfotocopiar,quepermetal’alumnatintegrarcadascund’aquestspassosambèxit.

Aquestaplantillaésespecialmentútilquanesdominacadapas(llegirperidentificarlesdades;ordenarlesdadesenundiagramaderesolució;decidir,apartirdeldiagrama,quinaoperaciócalfericalcular-la;ivalorarsilarespostaéslògica).

D’aquestamanera,elsquadernsacompanyenl’alumnatpasapas,posantl’accentprincipalmentencadapartfinsaarribaralaresoluciódelproblema.

/ 84 /


/85/

Enaquestapartat,aprendremcomdominarelsproblemesdepercentatges.

Enelsproblemesdepercentatges,podemelaborarrelacionstenintencomptelaquantitatoriginal,peròtambétenintencomptelaquantitatresultantd’aplicarl’augmentolarebaixaalaquantitatoriginal.

Comenelcasanterior,hauremdebuscarquinessónlesrelacionsprincipals,ésadir,lesquecontenenla pregunta del problema. A partird’aquí,dissenyaremunPlaAiunPlaBqueensconduiranalmateix resultat.

Acontinuació,vegemcompodemaplicarelsquatrepassosenunproblemadepercentatges.Fixa’tenl’exemplesegüent:

El preu de cada bicicleta tàndem és de 800€. Com que tinc una botiga de lloguer de bicicletes, per les rebaixes n’he comprat 12. Si m’han fet un descompte del 20%, quants diners m’han costat?


Enprimerlloc,establimlesrelacionsentrelesdades.Enaquestcas,trobarem tres relacions, tenint en compte el preu sense rebaixar de les bicicletes i tres relacions més, tenint en compte el preu rebaixat de les bicicletes.

3.2 PROBLEMES DE PERCENTATGES

/ 86 /

Després,escriuremcadadadaenelllocquelicorrespongui.Comenelscasosanteriors,escriuremunasterisc(*)enlescasellesdelesdadesquedesconeixemiuninterrogantenlacaselladeladadaquefacireferènciaalapreguntadelproblema(?).

Vegem-hoacontinuació:

Primer,observaremelproblematenintencompteelPreu Sense Descompte. Enaquestcas,tenimtresrelacions.

Perpodersituarlesdades,recordeml’enunciatdelproblema:


PREU SENSE DESCOMPTE D’UNA I DE TOTES LES BICICLETES

Preud’unabicicleta sese descompte

€ / BicicletaU 800

Bicicletes que hecomprat

BicicletesV 12

Preu de totes les bicicletes sense descompte

€ totes les bicicletesT

1. € I BICICLETES

/ 87 /

GRUPSDE100€QUEPODEMFERAMBELPREUD’UNABICICLETA

20%=20/100=decada100€me’ndescompten20€ipertantpagaré80€.

Pertant,necessitosaberelsgrupsde100€quepucferambelpreud’UNAbicicleta

Els100€quehiha acadagrup

€ / GrupU 100

Elsgrupsde100€ per puc fer

GrupsV800Elpreud’unabicicleta

sense descompte€ tots els grupsT

2. € I GRUPS DE 100 (una bicicleta)

/ 88 /

GRUPSDE100€QUEPUCFERAMBELPREUDETOTESLESBICICLETES

20%=20/100=decada100€me’ndescompten20€i,pertant,pagaré80€.

Aixídoncs,necessitosaberelsgrupsde100€quepucferambelpreudeTOTES les bicicletes.

Els100€quehiha acadagup

€ / GrupU 100

Elsgrupsde100€ que puc fer

GrupsVEl preu de totes les bicicletes sense descompte

€ tots els grupsT

3. € i GRUPS DE 100 (totes les bicicletes)

Ara,observaremelproblematenintencompteelPreu Rebaixat. Aixòsignificaque,siensfanundescomptedel20%,decada100€ensdescomptaran20€.Pertant,decada100€enpagarem80€.

Enaquestcas,enstrobemtambéambtresrelacions.Recordemelproblema per situar totes les dades:

El preu de cada bicicleta tàndem és de 800€. Com tinc una botiga de lloguer de bicicletes, per les rebaixes n’he comprat 12. Si m’han fet un descompte del 20%, quants diners m’han costat?

/ 89 /

PREU AMB DESCOMPTED’UNAIDETOTESLESBICICLETES

Preud’unabicicleta amb descompte

€ / BicicletaUBicicletes que hecomprat

BicicletesV 12

Preu de totes les bicicletes amb descompte

€ totes les bicicletesT

4. € I BICICLETES AMB DESCOMPTE

?

GRUPDE80€ENELPREUD’UNABICICLETA

Recorda,decada100€,noméspagarem80€.

Els80€quepago decadagrup

€ / GrupU 80

Elsgrupsde80€que puc fer

GrupsVElpreud’unabicicleta amb descompte

€ tots els grupsT

5. € I GRUPS DE 80 (una bicicleta)

/ 90 /

GRUPSDE80€ENELPREUDETOTESLESBICICLETES

Recorda,decada100€,noméspagarem80€.

Els80€quepago decadagrup

€ / GrupU 80

Elsgupsde80€ que puc fer

GrupsVEl preu de totes les bicicletes amb descompte

€ tots els grupsT

6. € i GRUPS DE 80 (totes les bicicletes)

?

Uncoptinguemtoteslesrelacions,enspreguntarem:

Delessisrelacions,quines relacions contenen la pregunta del problema?

Enaquestcas,sóndues:UVT - € i bicicletes amb descompte i UVT - € i grups de 80 (totes les bicicletes).


Enprimerlloc,dissenyaremelPLAAutilitzantlarelacióprincipalUVT - € i bicicletes amb descompte, perquèéslaquecontélapreguntadelproblema(quantsdinersenshancostatlesbicicletes).Abansdefereldiagrama,escriuremlarelacióprincipali,alseucostat,lesrelacionsqueensajudaranadescobrirelvalordelesdadesd’enllaç.

/ 91 /

) UVT - €ibicicletesambdescompte

) UVT - €igrupsde80€(una bicicleta)

) UVT - €igrupsde100€(una bicleta)

Pla A

€ / bicicleta € / grup € / grupU U U

Bicicletes Grups GrupsV V V

€ totes les bicicletes € tots els grups € tots els grupsT T T

100

800

12

80

?

RELACIÓPRINCIPAL



Pla A

U

TVU

?TVU T

12

80100

800


RELACIÓPRINCIPAL


V

/ 92/

Arafemelmateixambl’altrarelació principal. Enaquestcas,UVT - € i Grups de 80 (totes les bicicletes), idissenyemelnostrePLABque,coml’anterior,tambéensconduiràdemaneralògicaalasoluciódelproblema.

Escriuremlarelacióprincipali,alseucostat,lesrelacionsqueensajudaranadescobrirelvalordelesdadesd’enllaç.

) UVT - €igrupsde80€(totes les bicicletes)

) UVT - €igrupsde100€(totes les bicicletes)

) UVT - €i bicicletes

Pla B

€ / grup € / grup € / bicicletaU U U

Grups Grups BicicletesV V V

€ tots els grups € tots els grups € totes les bicicletesT T T

80 800

12

100

?

RELACIÓPRINCIPAL



/ 93 /

Pla B

U

VT U?T

UV V

80

100800

12


RELACIÓPRINCIPAL


T


> PLA A

Enprimerlloc,decidimlesoperacionsquecorresponenalPLA A: UVT - € i bicicletes amb descompte.



U

TVU

?TVU T

12

80100

800


RELACIÓPRINCIPAL


V

/ 94 /

Enprimerlloc,comencemperdecidirl’operacióquecorresponal’últimarelació complementària.ComqueésunarelacióUVT(multiplicació-divisió),tenimtresopcions.Enaquestcas,busquemlesVegades(V),pertantassenyalarem aquesta operació:

T = U × V

U = T : V

V = T : UxUncopl’haguemdecidit,calculemelvalordeladadad‘enllaç.


800 1008_______

Després,decidiml’operacióquecorresponal’altrarelació complementària.ComquetambéésunarelacióUVT(multiplicació-divisió),tenimtresopcions.Enaquestcas,busquemlaQuantitatTotal(T),per tant:

T = U × V

U = T : V

V = T : U

x

Araquejatenimelvalordeladadad’enllaçquehemaconseguitgràciesal’operacióanterior,calculeml’altrarelaciócomplementària.

/95/


80x 8

640_______

Finalment,decidiml’operaciódelarelació principal amb la dada que ens faltavaperrespondrealapreguntadelproblema.TambéésunarelacióUVT,enlaqualbusquemlaQuantitatTotal(T):

T = U × V

U = T : V

V = T : U

x

Ambelvalordeladadad’enllaçdelarelaciócomplementària,calculeml’operacióprincipal.


640x 12

+ 6401.280

7.680

_______

_______

/ 96 /

> PLA B

Acontinuació,decidimlesoperacionsquecorresponenalPLA B: UVT - € i Grups de 80 (totes les bicicletes).



U

VT U?T

UV V

80

100800

12


RELACIÓPRINCIPAL


T

Comencemperdecidirl’operacióquecorresponal’últimarelació complementària, laqueestàsituadaaladretadeldiagrama.ComqueésunarelacióUVT(multiplicació-divisió),tenimtresopcions,entrelesqualshemd’assenyalarquinaéslacorrecta.Enaquestcas,busquemlaQuantitatTotal(T),pertant:

T = U × V

U = T : V

V = T : U

x

/ 97 /

Uncopdecidida,femelcàlcul:


800x 12

+ 8001.600

9.600

_______

_______

Després,escolliml’operaciódel’altrarelació complementària,laqueestrobaenelcentredeldiagrama.ComquetambéésunarelacióUVT(multiplicació-divisió),tenimtresopcions.Enaquestcas,busquemlesVegades(V),pertant:

T = U × V

U = T : V

V = T : Ux

Uncopjatenimelvalordeladadad’enllaçquehemesbrinatgràciesal’operacióanterior,calculeml’altraoperaciócomplementària:

/ 98 /


9.600 10096_______

Finalment,decidiml’operacióquecorresponalarelació principal, la que contélapreguntadelproblema.Estractad’unarelacióUVT (multiplicació-divisió) i,pertant,tenimtresopcions.Enaquestcas,busquemlaQuantitatTotal(T):

T = U × V

U = T : V

V = T : U

x

Araqueteniml’últimvalordeladadad’enllaç,calculeml’operacióprincipal.


80x 96

+ 7.2004.800

7.680

_______

_______

/ 99 /



Enaquestpunt,compararemelsresultatsdelsdosPlansi,desprésdecomprovarquelesrespostescoincideixen,escriuremlarespostadelproblema.

Igualqueenelsexemplesanteriors,hemd’escriureunarespostaquedonisentitalapreguntadelproblema.Ésadir,noescriureúnicamentlesdadesnumèriques.Enaquestproblema,enspreguntaven: quants diners m’han costat les bicicletes?

Resultat: Les bicicletes m’han costat 7.680 €


Finalment,valoremelresultatresponentalapreguntaiaunaafirmació,queenspermetcomprovarsilarespostaquehemdonatéscoherent.

Et sembla que té sentit? Sí/No

Perquèlesbicicletesenshancostatmés/MENYSdinersqueabansd’aplicareldescompte.

/ 100 /

4CONCLUSIÓ

/ 101 /

AquestametodologiaestàrecollidaenelsquadernsDominar els problemes matemàtics de Boira Editorial, queetconvidemaconèixeralseu lloc web.

Amésamés,etconvidemaveurealgunadelesbreusconferènciesonlinequeensenyencadatipologiadeproblemaperseparat.Estractad’unaopciómoltútilirecomanableperveureamblarestadedocentsdelcicleoambelclaustre,icomentar-ho.Lestrobaràsalasevapaginaweb:https://boiraeditorial.com/recursos/recursos-dominar-los-problemas-matematicos/formacion-online

SivolsseguirdescobrintméssobreelsquadernsDominarelsproblemesmatemàtics,potsdescarregar-teunamostragratuïtaenPDFenlasevapàginaweb:https://boiraeditorial.com/ca/recursos/recursos-dominar-els-problemes-matematics

O,sihoprefereixes,pots començar a obtenir resultats increïbles amb el teualumnatdesd’aquestmateixinstant.Com?Noméscalqueaccedeixisalapàginaweb(https://boiraeditorial.com/ca/recursos/recursos-dominar-els-problemes-matematics)idemaniselmaterialperalatevaescola.Aixíde fàcil.

Abansd’acabar,volemrecordarbreumentelsaspectesclauperdominarelsproblemesmatemàtics.Sitensalgundubte,t’animemaconsultarelcapítol dedicat a cada apartat.

/ 102/

PROBLEMES ASPECTES CLAU1. Suma-resta Enaquestsproblemes,enscentraremaensenyarque

larelacióentrelesxifressempreéslamateixa:hi ha dues o més Parts (P) i un Total (T). Amés,explicaremquesiensdonenelvalordelesPartsiensdemanenelTotal,ésunproblemadeSUMA; mentre que si sabem elTotalielvalord’unadelesParts,ésunproblemadeRESTA.

2. Multiplicació- divisió

Enaquestsproblemes,faremesmentdelfetquetambéhihaunarelaciódeduïbleentrelesxifres.Aixímateix,exposaremquesemprehihaunaQuantitat Unitària (U) que es repeteix un nombre de Vegades (V)iunaQuantitat Total(T).Paral•lelament,ensenyaremal’alumnatquesisabemlaQuantitatUnitàriailesVegades,trobaremlaQuantitatTotalMULTIPLICANT.Encanvi,sitenimlaQuantitatTotalilaQuantitatUnitària,olaQuantitatTotalilesVegades,trobarem el que ens falta DIVIDINT.

3. De dues operacions

Enaquestapartat,ésmoltimportantqueexpliquemal’alumnatladiferènciaentreunproblemad’unaoperacióiunproblemadeduesoperacions.L’explicacióéssenzilla:enun problema d’una operació,sempretindremelvalordetoteslesdadesperrespondrealapreguntadelproblema.Alcontrari,enelsproblemesdeduesoperacionsensfaltaràelvalord’unadelesdades,quedescobrirematravésd’unaoperacióprèvia.Aaquestadadal’anomenaremdada d’enllaç perquèéslaqueuneixlesduesrelacions.Peridentificar-la,l’assenyalaremambunasterisc(*).Uncophaguemdescobertelseuvalor,gràciesal’operaciócomplementària,podremcalcularl’operaciódelarelacióprincipal,quedonarespostaalapreguntadelproblema.Convérecordaral’alumnatquelesrelacionssempreseran:obéPPT(suma-resta),enquèhihaduesomésParts(P)iunTotal(T);obéUVT(multiplicació-divisió),enquèsemprehihaunaQuantitatUnitària(U),queesrepeteixunasèriedeVegades(V)iunaQuantitatTotal(T).

PPT

T

UV

/ 103 /

PROBLEMES ASPECTES CLAU4. Fraccions Enunproblemaquefareferènciaalafracciód’unúnic

nombre,mostraremquesemprehihaduesmaneresdeformularlapreguntadelproblema.Laclauesbasaensaberquinaopcióensestanpreguntantisituarlesdadesperpoderfereldiagramaderesolució.1)2)

?______ de = ?______ de =

5. Sistema mètric decimal

Enunproblemadelsistemamètricdecimal,ésmoltimportantconèixerlesrespectivesunitatsilesequivalències.Peraixò,vallapenarepassarambl’alumnattoteslesequivalènciesprèviament:mesuresdelongitud,capacitat,tempsipes.Aixísabranentotmomentquinesdues unitats es relacionen en el problema i quines operacionshihaentrelesdues.

6. Superfícies i volums

Enelsproblemesdeperímetres,superfíciesiàrees,ésimprescindiblequel’alumnatconeguiaquèfareferènciacada concepte.Elperímetreéslasumadeleslongitudsd’unafigurageomètricaplana.EscalculasumanttoteslesParts(P).L’àreaéslamesuradelasuperfíciequeocupaunafigura.Escalculatenintencomptelessevesduesdimensions.Enaquestsproblemes,“U”seràlamesurad’unadelesdimensionsi“V”seràl’altradimensió,quecorresponalnombredevegadesqueesrepeteixlaprimera.Elvoluméslaquantitatd’espaiqueocupauncos.Pertant,elcalcularemtenintencomptelessevestresdimensions:U(seràlamesurad’unadelesdimensions),V1(lesvegadesqueesrepeteixU)iV2(lesvegadesqueesrepeteixlasuperfícieUxV1).

/ 104 /

PROBLEMES ASPECTES CLAU7. Diverses

operacions per dos camins diferents

Enelsproblemesdediversesoperacionsperdoscaminsdiferents,ésfonamentalrecalcarquehemd’observarlesrelacionsdesdeduesperspectives:aquellesrelacionsqueparlend’unmateix concepte(seranrelacionsPPT),i aquelles que parlen de dos conceptes (seran relacions UVT).Uncoptinguemtoteslesrelacions,ajudaremal’alumnataidentificarquinessónlesrelacions principals,ésadir,aquellesquecontenenlapreguntadelproblema.Quanleshaguemidentificat,elsensenyaremcomelaborardos Plans de resolució diferents (Pla A i Pla B) que ens conduiran,deformalògica,alarespostadelproblema.CadaPlatindràelseupropidiagramaderesolució,enelqualhauremdesituarunadelesduesrelacionsprincipalsilessevescorresponentsrelacionscomplementàries.

8. Percentatges Comenlarestadeproblemesdemésd’unaoperació,enelsproblemesdepercentatgespodemelaborarrelacionstenintencompte,obélaquantitatoriginal,obélaquantitatresultantd’aplicarunaugmentounarebaixadelaquantitatoriginal.

editorialBoira

Dominar els problemes matemàticsSèrie de quaderns - 1r a 6è de primària i ESO

PVP: 10 € /ud.

Autor: Javier López Apesteguía

Idioma: Català

Idiomes disponibles:

A la venda en llibreries de tot l’estat espanyol, i a www.boiraeditorial.com

Oferta* 25% DTE. i ENVIAMENT GRATUÏT comprant 20 o més unitats.

Utilitza el codi:

PROMOESCUELAS a la nostra botiga online

Oferta vàlida només dins l’estat espanyol i Andorra.

PersonalitzacióAfegiu el LOGOTIP del vostre centre als quaderns escolars de Boira Editorial *

* Comprant 25 unitats o més

Més informació: www.boiraeditorial.cat

25% dte.*

enviamentgratuït

i

Formació onLine gratuïta per al professoratDominar els problemes matemàtics és un vídeo-curs gratuït dirigit al professorat d’Educació Primària i Secundària.

Disponible a: www.boiraeditorial.com/ca/formacio

/ 108 /

editorialboiraeditorial.com

BoiraISBN: 978-84-16680-66-5

Com ensenyar el procés mental a Primària i Secundària

Problemes matemàtics

Perresoldrequalsevolproblemamatemàtic,laclauésensenyar a pensar matemàticament.Ésadir,adeduirquinaéslarelacióquehihaentrelesdadesiaplicar-la.Així,podremdecidirdeformaraonadaencadascundelsquatrepassosdelprocésderesolució.Aquestssón:

(1) Llegir per identificar les dades

(2) Ordenar les dades en un diagrama de resolució

(3) Decidir, a partir del diagrama, quina operació cal fer i calcular-la

(4) Escriure la resposta i valorar si és lògica

Seguintaquestsquatrepassosdemaneraordenada,descobriremlarelacióquehihaentrelesdadesi,gràciesaaquestarelació,trobaremlasoluciódelproblema.Conseqüentment,ésmoltimportantensenyaralnostrealumnataexecutarcorrectamentcadapasperevitarembussoscognitius.

Senseunmètodeclarperensenyararesoldreelsproblemes,l’alumnatnotindràeinesperenfrontar-s’hiitendiràaviurelesmatemàtiquescomunaàreaincomprensibleiinsuperable.Encanvi,sielsensenyemaresoldreunproblemapasapas,elsajudaremacrearunamentmatemàticaqueelsacompanyaràalllargdelasevavida.

problemes matemàtics...dues possibles relacions, la de suma-resta i la de multiplicació-divisió....

Documents