problemas+resueltos+de+fuerzas+en+vigas+y+cables-ms+1-2013

7/25/2019 Problemas+Resueltos+de+fuerzas+en+VIGAS+y+CABLES-MS+1-2013

1/16

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE INGENIERA ELCTRICA Y ELECTRNICAESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERA ELCTRICA

CURSO :MECNICA DE SLIDOS I

PROFESOR :Ing. JORGE MONTAO PISFIL

PROBLEMAS RESUELTOS DE FUERZAS EN VIGAS Y CABLES

PROBLEMA N 1

La viga compuesta tiene un soporte fijo en A, est conectada mediante un pasador en B y se sostiene

por medio de un rodillo en C. Trace los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la

viga.

Resolucin

Para resolver este problema, primero analizamos la viga completa o viga compuesta ABC (viga

conformada por las vigas AB y BC) y luego una de sus partes, de esta manera determino las

reacciones en los apoyosA, By C.

Anlisis de la viga c om puesta ABC

Por segunda condicin de equilibrio: 0 TotalesAM

A BC

3 pies 6 pies

piebf /500

A B

C

3 pies 6 pies

bf4500 4,5 pies

CR YA

R

XAR

AM

+


2/16

0)5,4(45009 CA RM piebfRM CA 202509 . . . (1)

Por primera condicin de equilibrio:

0 XF 0XAR

0

Y

F

bfRRCAY

4500. . . (2)

Anlis is d e la vi ga BC

Por segunda condicin de equilibrio: 0 TotalesBM

0)3(3000)6( piesbfpiesRC bfRC 1500


0 XF 0XBR

0 YF bfRR CBY 3000 bfR YB 1500

Reemplazando en la ecuacin (1), tenemos que: piebfMA 6750

Reemplazando en la ecuacin (2), tenemos que: bfRYA

3000

Determin acin del nmero de co rtes y anlis is d e segm entos de vig a obtenid os

Desde el extremo A de la viga compuesta hasta el extremo C, es suficiente hacer un solo corte, porque

entre dichos extremos solo hay un tipo de fuerzas distribuidas y no actan ms fuerzas o momentos

externos sobre esta viga. Si asumimos que el punto de corte es el punto D, a una distancia x del

extremo A, tenemos que:

CB

3 pies 3 pies

bf3000

CR YB

R

XBR

+


3/16

Por segunda condicin de equilibrio: 0 TotalesDM

030006750)2/(500 xxxMD

piebfxxMD )67502503000( 2

bfxdx

dMV DD )5003000(

* Si evaluamos las ecuaciones del cortante y del momento flector para 0x , tenemos:

piebfMbfV DD 6750;3000

* Si evaluamos las ecuaciones del cortante y del momento flector para piesx 9 , tenemos:

0;1500 DD MbfV

Diagramas V vs. x (fuerza cortante en funcin de la posicin x) y M vs. x (momento

flector en funcin de la posicin x)Para realizar estos diagramas se recomienda primero hacer el DCL de la viga completa y debajo de

este dibujar los diagramas solicitados.

A

x

bfx )500(

DV

bf3000

piebf6750 DM x/2

D

+


4/16

* De estos diagramas se observa que:

piebfMybfV MAXIMOMAXIMO 67503000

3000

3000 lbf

4500 lbf

1500 lbf

-1500

2250

-6750

6 9 x (pies)

x (pies)

6

90

0

V (lbf)

M (lbf.pie)

6750 lbf.pie


5/16

1 m 1m

4 m

1 m 1 m

6 kN 6 kN5 kN/m

A B

w

PROBLEMA N 2

Si se supone que la reaccin del suelo sobre la viga AB que muestra la figura est dirigida hacia arriba

y es uniformemente distribuida, trace los diagramas de fuerza cortante y de momento flector.

Determine asimismo los valores absolutos mximos de la fuerza cortante y del momento flector.

Resolucin

Para resolver problemas de vigas, primero se hace el DCL de la viga completa y se hallan las

reacciones en los apoyos. A continuacin, se determina el nmero de cortes imaginarios que se

deben realizar a la viga y se hallan las ecuaciones de Vy de M, en funcin de x, para cada uno de los

segmentos de viga que resulten despus de realizar los cortes. Finalmente se dibujan los diagramas

de V vs x y M vs x a partir de las ecuaciones halladas anteriormente.

DCL de la viga completa y clculo de w (reaccin por unidad de longitud que ejerce

el suelo sobre la viga)

1 m 1m

4 m

1 m 1 m

6 kN 6 kN

20 kN

A B

R =8w

En este diagrama de cuerpo libre, las

fuerzas de 20 kNy 8w representanlas fuerzas resultantes de las fuerzas

distribuidas que actan sobre la viga.

Recuerde que estas fuerzas estn

aplicadas en un punto de la viga que

tiene la misma direccin de la recta

que pasa por el centroide del rea de

la figura formada por las fuerzas

distribuidas (o rea encerrada por lacurva de carga).

1 m 1m 4 m 1 m 1 m

6 kN 6 kN

5 kN/m

A B

Por condicin del problema, la

reaccin del suelo sobre la viga AB

est dirigida hacia arriba y es

uniformemente distribuida, por lo

tanto la figura dada equivale a la que

se muestra a continuacin. En ella,

w representa la reaccin por

unidad de longitud que ejerce el

suelo sobre la vi a.


6/16


0 yF 0328 kNw mkNw /4

Determinacin del nmero de cortes imaginarios que se deben realizar a la viga y

del nmero de segmentos de viga que se deben analizar

Analizando las fuerzas que actan sobre la viga completa (observe su DCL) concluimos que, desde el

extremo A hasta el extremo B de la viga, debemos realizar CINCO cortes imaginarios (puntos C, D,

E, Fy G en la figura siguiente).

Al realizar los CINCO cortes imaginarios y observando el lado izquierdo de cada corte, tenemos

CINCO SEGMENTOS DE VIGA que debemos analizar. Asumiendo que el extremo A de la viga es el

origen de coordenadas (ver la figura), la posicinxdel punto de corte viene dada por:

- Para el segmento de viga AC: mx 10

- Para el segmento de viga AD: mxm 21

- Para el segmento de viga AE: mxm 62

- Para el segmento de viga AF: mxm 76

- Para el segmento de viga AG: mxm 87

Anlisis del segmento de viga AC(0 < x < 1 m)

Observando el segmento de viga AC notamos que sobre el actan: la resultante de las fuerzas

distribuidas igual a 4x (reaccin hacia arriba ejercida por el suelo sobre la viga), la fuerza cortante VCy

el momento de flexin MC, como se muestra en la figura siguiente.

A B

y

x (m)0 1 2 6 7 8

xx

xx

x

1er corte

2do corte

3er corte4to corte

5to corte

C D E F G

Por segunda condicin de equilibrio: 0 TotalesCM 0)2/(4 xxMC

mkNxMC )2( 2

Luego:

kNxdx

dMV CC )4(

(Es una ecuacincuadrtica)

(Es una ecuacinlineal)

+

4x VC

MC

CA

x

x /2


7/16

Anlisis del segmento de viga AD(1 m < x < 2 m)

Sobre este segmento de viga actan: la resultante de las fuerzas distribuidas igual a 4x (reaccin

hacia arriba ejercida por el suelo sobre la viga), la fuerza concentrada de 6 kNdirigida hacia abajo, la

fuerza cortante VDy el momento de flexin MD(ver figura siguiente).

Anlisis del segmento de viga AE(2 m < x < 6 m)

Sobre este segmento de viga actan: la resultante de las fuerzas distribuidas igual a 4x (reaccin

hacia arriba ejercida por el suelo sobre la viga), la fuerza concentrada de 6 kN dirigida hacia

abajo, la fuerza resultante de las fuerzas distribuidas igual a 5(x-2) dirigida hacia abajo, la fuerza

cortante VEy el momento de flexin ME (ver figura siguiente).

Anlisis del segmento de viga AF(6 m < x < 7 m)

En este caso, sobre este segmento de viga actan: la resultante de las fuerzas distribuidas igual a 4x

(reaccin hacia arriba ejercida por el suelo sobre la viga), la fuerza concentrada de 6 kNdirigida hacia

abajo, la fuerza resultante de las fuerzas distribuidas igual a 20 kN dirigida hacia abajo, la fuerza

cortante VF y el momento de flexin MF (ver figura siguiente).

4x VF

MF

FA

x

6 kN

1 m

20 kN

1 m

2 m 2 m

4xVD

MD

DA

x

6 kN

1 m

4x VE

ME

EA

x

6 kN

1 m

5(x-2)

1 m

Por segunda condicin de equilibrio: 0 TotalesDM 0)2/(4)1(6 xxxMD

mkNxxMD )662( 2

Luego:

kNxdx

dMV CD )64(

Por segunda condicin de equilibrio: 0 TotalesFM 0)2/(4)4(20)1(6 xxxxMF

mkNxxMF )86262( 2

Luego:

kNxdx

dMV CF )264(

Por segunda condicin de equilibrio: 0 TotalesEM

0)2/(4)1(62/)2(5 2 xxxxME

mkNxxME )442

1( 2

Luego:

kNxdx

dMV CE )4(


8/16


9/16

De la figura se concluye que:

kNV 4.max ; mkNM 4.max

PROBLEMA N 3

Un cable de transmisin elctrica de 240 m de longitud y masa por unidad de longitud 0,6 kg/m se

suspende entre dos puntos que tienen la misma altura. Si la flecha es de 24 m. Calcule la tensin

mxima en el cable y el claro (distancia horizontal entre los dos puntos de apoyo).

Resolucin

Segn el enunciado se trata de un cable flexible sujeto a la accin de su propio peso, por lo tanto laforma que adopta es de una catenaria tal como se muestra en la figura siguiente:

M kN.m

x (m)

2

4

0 1 2 4 6 7 8

Parbo las

x

y

xBxA

c

yB

24m

BA

C

Cable


10/16

Si consideramos que el origen del sistema de coordenadas se halla a una distancia vertical c debajo

del punto ms bajo del cable (ver la figura anterior), la longitud S del segmento de cable CB y la

coordenada y del punto B, vienen dados por:

mS 120 ; mcy 24

Adems, se cumple que:

222 cSy

Reemplazamos y y S :

222 120)24( cc

Despejando c (parmetro de la catenaria) , obtenemos: mc 288

Clc u lo demaxT del cable:

Se sabe que la tensin del cable es mxima en el punto donde el cable tiene mayor pendiente o mayor

inclinacin. En nuestro caso sera cualquiera de los apoyos, dado que los dos estn al mismo nivel.

Para calcular esta tensin mxima aplicamos la ecuacin

22 ScwT

Al reemplazar la carga por unidad de longitud w, igual a 5,886 N (0,6 kg x 9,81 m/s2), el parmetro

c de la catenaria, igual a 288 m, y la longitud S del cable, igual a 120 m, obtenemos:

NT 432,1836max

Clculo del claro (distancia h orizontal entre los dos pun tos d e apoyo)

De la figura se observa que el claro viene dado por la suma de las distancias xA y xB , pero como

estas distancias son iguales, la suma de ambas es igual al doble de una de ellas. Adems, de la

ecuacin de la catenaria

c

xhCoscy , despejando x obtenemos:

c

yharcocx cos

Luego:

m

mmharcomc

yharcocxClaro BB288

24288cos)288(2cos22

mClaro 5479,233


11/16

PROBLEMA N 4

Un cable elctrico cuelga entre un poste y una casa. Si la masa por unidad de longitud del cable es de

2,1 kg/m, determine:

a) La distancia desde la casa hasta el punto ms bajo, C, del cable.

b) La tensin mxima del cable.

c) La longitud del cable.

Resolucin

Por tratarse de un cable que tiene la forma de una catenaria, elijo primero un sistema de coordenadascuyo origen se encuentre a una distancia vertical c debajo del punto ms bajo de la catenaria (ver

figura siguiente).

Se sabe que la ecuacin de la catenaria es:


12/16

c

xhCoscy

Adems, cuando los apoyos estn a diferente nivel el cable se analiza por partes.

Para el segmento de cable AC, tenemos:

cxhCoscy AA , Donde: )(5,0 menycy AA

Reemplazando Ay y despejando Ax obtenemos:

1

5,0cosh

carcocxA

Para el segmento de cable CB, tenemos:

c

xhCoscy BB , Donde: )(2,1 menycy

BB

Reemplazando By y despejando Bx obtenemos:

1

2,1cosh

carcocxB

De la figura dada observamos que:

mxx BA 8

Reemplazando Ax y Bx tenemos

812,1cosh15,0cosh

carcoc

carcoc . . . (1)

Para resolver esta ecuacin (1) tenemos dos mtodos:

Primer mtodo:utilizando una calculadora programable

Si utilizamos, por ejemplo, una calculadora CASIO FX570 PLUS, obtenemos que:

mc 99873243,9

Segundo mtodo:por TANTEOS

Para aplicar este mtodo, primero hallo el valor referencial de c aplicando la ecuacin de la parbola.

Es decir:

0

2

2T

xwy , donde: cwT 0

Luego, para el segmento de cable AC, tenemos:

cw

xw A

25,0

2

cxA


cw

xw B

22,1

2

cxB 4,2


13/16

Adems: mxx BA 8 mcc 84,2

Resolviendo esta ecuacin obtenemos: mc 848598,9

A partir de este valor referencial de c ( mc 848598,9 ) hallo el verdadero valor de c. Para ello

construyo la tabla siguiente, colocando como primer valor de c a este valor referencial, los dems

valores que asumimos deben ser siempre mayores, hasta hallar el verdadero valor de c.

)(mc

1

2,1cosh1

5,0cosh

carcoc

carcoc

La suma

debe

resultarigual a

8 m

848598,9 , m9388135,7

9,9 m959815,7 10 m0005,8

99,9 m99645391,7

998,9 m9997026,7

De la tabla se concluye que el valor que ms se aproxima a 8 m (sin sobrepasarlo) es 7,9997026

m, por lo tanto asumimos que:

mc 998,9 NOTA.- para mayor exact i tud (que la suma se aproxim a muc ho ms a 8m) po demo s agregar

ms decimales al valor de c, es decir asum ir que c es por ejemp lo m9985,9 , hasta

hallar su valor verdadero. En eso consis te el mtod o de tanteos.

a) Clculo de Ax (distancia de la casa hasta el p un to ms b ajo del cab le):

Se hall que: cxA

Reemplazando mc 998,9 (el valor hallado por el mtodo de tanteos), obtenemos:

mxA 162,3

b) Clcu lo de la tensin mxim a del cable

La tensin del cable es mxima en el punto que tiene mayor pendiente, es decir en el apoyo B.

NywTT BBima 69,230max

Donde: mcyB 2,1 ; siendo mc 998,9 (el valor hallado por el mtodo de tanteos)

Valor

referencial


14/16

c) Clcu lo de la lon gitu d del cable ( TOTALs )

Para calcular la longitud del cable utilizo la ecuacin siguiente:

xs c senh

c

Esta ecuacin se aplica por separado a los segmentos de cable AC y CB, luego la longitud total del

cable viene dada por:

)/()/( cxhsenccxhsencsss BACBACTOTAL

Reemplazando mxA 162,3 , mxB 838,4 y mc 998,9 (el valor hallado por el mtodo

de tanteos), obtenemos que:

msTOTAL 244,8

PROBLEMA N 5

El cable de transmisin elctrica tiene un peso por unidad de longitud de 15 piebf / . Si el punto ms

bajo del cable debe estar al menos 90 pies sobre el suelo, determine la tensin mxima desarrollada

en el cable y la longitud del cable entre A y B.

Resolucin

Por tratarse de una catenaria, primero elijo un sistema de coordenadas cuyo origen se halla a una

distancia vertical c debajo del punto ms bajo del cable (ver la figura siguiente).


15/16

Se sabe que la ecuacin de la catenaria es:

c

xhCoscy

Como los apoyos estn a diferente nivel, el cable se analiza por partes.

Para el segmento de cable AC, tenemos:

c

xhCoscy AA , Donde: )(90 piesenycy AA

Reemplazando Ay y despejando Ax obtenemos:

carcocxA

901cosh


cxhCoscy BB , Donde: )(30 piesenycy BB

Reemplazando By y despejando Bx obtenemos:

carcocxB

301cosh

De la figura dada observamos que:

piesxx BA 300

Reemplazando Ax y Bx tenemos que:

piesc

arcocc

arcoc 30030

1cosh90

1cosh

C


16/16

Para resolver la ecuacin anterior utilizamos una calculadora programable CASIO FX570 PLUS,

y obtenemos que:

piesc 3054592,211

a) Clcu lo de la tensin mxima de l cabl e

La tensin del cable es mxima en el punto que tiene mayor pendiente, es decir en el apoyoA.

bfywTT AAima 58188,4519max

Donde: piescyA 90 ; siendo piesc 3054592,211

b) Clcu lo de la lon gitu d del cable ( TOTALs )

Para calcular la longitud del cable utilizo la ecuacin siguiente:

xs c senh

c

Esta ecuacin se aplica por separado a los segmentos de cable AC y CB, luego la longitud total del

cable viene dada por:

)/()/( cxhsenccxhsencsss BABCABTOTAL

Reemplazando:

piesxA 6932526,188 , piesxB 3067474,111 y piesc 3054592,211 , obtenemos que:

piessTOTAL 3166362,331

problemas+resueltos+de+fuerzas+en+vigas+y+cables-ms+1-2013

Documents