UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

CURSO : MECÁNICA DE SÓLIDOS I

PROFESOR : Ing. JORGE MONTAÑO PISFIL

PROBLEMAS RESUELTOS DE CINEMÁTICA

DE UNA PARTÍCULA

PROBLEMA Nº 1

Una partícula recorre una línea recta de tal forma que la magnitud de su velocidad viene dada por

spieseV t /)1(60 , en donde t se expresa en segundos. Determine la distancia recorrida cuando

st 3 y la magnitud de su aceleración en ese instante.

Resolución

En un movimiento rectilíneo de partículas, la ecuación de V viene dada por: dt

dsV

Reemplazando )1(60 teV en esta ecuación, tenemos:

dt

dse t )1(60 dsdte t )1(60

A continuación integramos:

S

t

t

dsdte00

)1(60 )1(60 tets

Evaluando para st 3 , obtenemos que la distancia recorrida es: piess 98,122

Para calcular la magnitud de la aceleración cuando st 3 utilizamos la ecuación: dt

dVa

Entonces: t

t

edt

eda

60)]1(60[

Evaluando para st 3 , obtenemos que la magnitud de la aceleración es: 2/99,2 spiesa

PROBLEMA Nº 2

Si una partícula recorre una línea recta de tal modo que durante un breve intervalo de tiempo

sts 62 , su movimiento se describe por spiesaV /)/4( , en donde a se expresa en 2/ spies .

Si spiesV /6 y piess 10 cuando st 2 , determine la magnitud de la aceleración y la posición de

la partícula cuando st 3 .

Resolución

Para calcular la magnitud de la aceleración cuando st 3 utilizamos la ecuación: dt

dVa

De la condición dada: spiesaV /)/4( , despejamos a y obtenemos: )/4( Va

Reemplazando este valor de a en la ecuación inicial, tenemos:

dt

dV

V

4 dtdVV 4

A continuación integramos: dtdVV

tV

26

4 208 tV

Evaluando para st 3 , obtenemos que: spiesV /44

Por lo tanto, la magnitud de la aceleración cuando st 3 es: 2/603,0

44

44spies

Va

Para calcular la posición de la partícula cuando st 3 , utilizamos la ecuación: dt

dsV

En esta ecuación reemplazo 208 tV y tenemos: dt

dst 208 dsdtt 208

Integrando esta última ecuación, tenemos:

s

dsdtt10

3

2

208 s = 16,32 pies

PROBLEMA Nº 3

El movimiento curvilíneo de una partícula está dado por mjtitr ])5(8[ 32

, en donde t se

expresa en segundos. Determine las magnitudes de la velocidad y la aceleración de la partícula

cuando st 3 . Asimismo, determine la ecuación )(xfy de la trayectoria.

Resolución

Sabemos que la ecuación de

r , en coordenadas cartesianas y en el plano, viene dada por:

)(

jyixr

Comparando esta ecuación con la dada en el enunciado: mjtitr ])5(8[ 32

, tenemos que:

)5(,8 32 tytx

* Recuerde que si derivamos yex obtenemos las componentes YX VyV de la velocidad.

Cálculo de “V” (magnitud de la velocidad) y “a” (magnitud de la aceleración) cuando t = 3s

En coordenadas cartesianas y en el plano, la magnitud de la velocidad viene dada por:

22

YX VVV . . . (1)

Dónde:

xdt

dxVX tVX 16

ydt

dyVY

23tVY

Reemplazando en (1), tenemos: 222 )3()16( ttV

Evaluando V para st 3 obtenemos que: smV /07,55

Para calcular la magnitud de la aceleración, en coordenadas cartesianas y en el plano, utilizamos:

22

YX aaa . . . (2)

Dónde:

xdt

dVa X

X 16Xa

ydt

dVa Y

Y taY 6

Reemplazando en (2), tenemos: 22 )6()16( ta

Evaluando a para st 3 obtenemos que: 2/08,24 sma

Cálculo de la ecuación )(xfy de la trayectoria

De la condición del problema, tenemos que: )5(,8 32 tytx

Despejamos t de la ecuación de x :

88 2 x

ttx

Luego, reemplazamos t en función de x en la ecuación de y y obtenemos la ecuación )(xfy de

la trayectoria.

58

)5(

2/3

3

xyty

PROBLEMA Nº 4

Un automóvil recorre una pista circular cuyo radio es de 250 pies de tal forma que su rapidez, durante

un breve intervalo de tiempo st 40 , es spiesttV /)(3 2 , donde t se expresa en

segundos. Determine la magnitud de la aceleración cuando st 3 . ¿Qué distancia habrá recorrido

desde 0t hasta st 3 ?

Resolución

En un movimiento curvilíneo la magnitud de la aceleración, en coordenadas n-t, viene dada por:

22

tn aaa . . . (1)

Dónde:

2Van y

dt

dVat

Para calcular na primero hallo V utilizando la ecuación )(3 2ttV . Evaluando esta ecuación en

st 3 obtenemos spiesV /36 . Luego:

pies

spiesVan

250

)/36( 22

2/184,5 spiesan

Para calcular ta derivo V respecto al tiempo, luego evalúo para st 3 y obtengo:

2/21 spiesat

Reemplazamos los valores na y ta en la ecuación (1):

22 )21()184,5( a 2/6,21 spiesa

Para calcular la distancia recorrida desde 0t hasta st 3 , utilizo: dt

dsV . . . (2)

Por condición del problema )(3 2ttV . Si a continuación reemplazamos V en la ecuación (2), y

luego integramos y despejamos s , obtenemos: piess 5,40

t

n

na

ta

V

PROBLEMA Nº 5

Una partícula describe la trayectoria ftr 2 . Si radt 2 , calcule:

a) La velocidad de la partícula cuando 060 . Aplicar coordenadas polares y comprobar el

resultado aplicando coordenadas cartesianas.

b) La aceleración de la partícula cuando 060 . Aplicar coordenadas polares y comprobar el

resultado aplicando coordenadas cartesianas

Resolución

a) Cálculo de

V cuando 060

Primero hallo “t” cuando rad)3/(600 . Para ello aplico la condición: radt )( 2

Igualando valores de “ ” tenemos: radtrad )()3/( 2 st 023,1

a.1) Hallo

V en coordenadas polares:

Se sabe:

rrrV

Luego:

)2()2(4 2 ttrtV . . . (1)

Reemplazando st 023,1 en la ecuación (1), obtenemos:

smrV /)282,4092,4(

smV /92,5

060

r

x

y Datos:

sradt /)2(

radt )( 2

2/2 srad

fttftr )2()2( 2

sfttr /)4(

2/4 sftr

En la figura siguiente se muestra el vector velocidad y sus componentes en coordenadas polares.

a.2) Hallo

V en coordenadas cartesianas:

Cuando el movimiento se realiza en el plano, se cumple que:

jyixjViVV yx . . . (2)

Para hallar

x y

y debemos recordar que:

cosrx

senry

Luego:

)2/1(42)2/3(2cos)( 2 tttrsenrx

smx /6626,1

senrry

)(cos smy /685,5

Reemplazamos

x y

y en (2): smjiV /)685,56626,1(

smV /92,5

b) Cálculo de

a cuando 060

b.1) En coordenadas polares:

Se sabe:

)2())(( 2 rrrrra . . . (3)

)2)4(2)2(2())2(24( 222 tttrtta 2/)93,2076,4( smra

Magnitud de la aceleración: 2/46,21 sma

r

x

y

x

y

060

r

x

y

rV

V

V

En la figura siguiente se muestra el vector aceleración y sus componentes en coordenadas polares.

b.2) En coordenadas cartesianas:

Para un movimiento en el plano se cumple:

jyixjaiaa yx …(4)

Hallando

x y

y se obtiene que: 2/51,20 smx

y 2/34,6 smy

Reemplazando en (4), tenemos: 2/)34,651,20( smjia

2/46,21 sma

PROBLEMA Nº 6

Un caballo en un carrusel se mueve de acuerdo con las ecuaciones piesr 8 , srad /2

y

piessenz )5,1( , donde t se expresa en segundos. Determine las magnitudes de la velocidad y

aceleración máximas y mínimas del caballo durante su movimiento.

Resolución

Según el enunciado el movimiento curvilíneo esta dado en coordenadas cilíndricas, por lo tanto la magnitud de la velocidad viene dada por:

222

Zr VVVV . . . (1)

Para calcular rV , V y zV necesito conocer la primera y segunda derivada de zr , , así como la

segunda derivada de . Estas derivadas, son:

)(5,1;)(cos5,1;0;0;0

senzzrr

Luego:

rVr 0rV

rV spiesspiesV /16/)2(8

060

r

x

y

ra

a

a

zVz spiesVz /cos3)(cos5,1

Reemplazando en (1) tenemos:

222 )cos3()16(0 V

De esta última ecuación se concluye que los valores mínimo y máximo de V son:

spiesVspiesV MAXIMAMINIMA /27,16;/16

Para calcular la magnitud de la aceleración, utilizamos:

222

Zr aaaa . . . (2)

Donde:

2)(

rrar 22 /32)2(80 spiesar

rra 2 0a

zaz 2/6)(3 spiessensenaz

Reemplazando en (2) tenemos:

22 )6()32( sena

De esta última ecuación se concluye que los valores mínimo y máximo de a son:

22 /5576,32;/32 spiesaspiesa MAXIMAMINIMA