problemas y conceptos complementarios
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Problemas y conceptos complementarios
Clase 1
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• El producto vectorial es una operación entre vectores, en la cual el resultado es un vector perpendicular a los vectores operados y cuya magnitud se encuentra establecida por:
• Magnitud del producto vectorial de dos vectores
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• En donde es el Angulo formado por los dos vectores en el espacio.
• La dirección y el sentido del producto vectorial se definen de acuerdo con la ley de la mano derecha: se extienden los dedos de la mano derecha hacia el primer operando y luego se cierrabn hacia el segundo, el pulgar de la mano queda dirigido en el sentido del producto vectorial como se muestra en la siguiente figura.
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• Esta ley, presupone, entonces, que el producto vectorial no cumple la propiedad conmutativa, por lo menos en lo que a dirección y sentido se refiere.
• Sin embargo la figura anterior cumple con la propiedad:
• Anti conmutativa del producto vectorial
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• Hay varias propiedades que se pueden deducir a partir de la ecuación considerando casos especiales:
• El producto vectorial de un vector por si mismo es nulo
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• La magnitud del producto vectorial de dos vectores perpendiculares entre si es igual al producto de sus magnitudes.
• El producto vectorial dos vectores paralelos entre si es nulo
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• A partir de estas propiedades, se puede inferir que el producto vectorial entre los vectores directores del sistema cartesiano es nulo para dos vectores diferentes, y es igual a la unidad para el caso del mismo vector, quedando por definir la dirección de acuerdo a la mano derecha.
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𝑎𝑥×𝑎𝑥=𝑎𝑦×𝑎𝑦=𝑎 𝑧×𝑎𝑧=0
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• •
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• El producto vectorial, al igual que el producto escalar, cumple la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma.
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• Ejemplo 1
• Aplicando la propiedad distributiva del producto vectorial en coordenadas cartesianas.
• Calcule el producto vectorial dados los vectores
•
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• Solucion
• El problema se puede resolver aplicando la propiedad distributiva:
• Se aplica la propiedad distributiva
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• Solucion
• Se anulan las componentes nulas y se obtiene:• Se puede obtener una ecuación para el producto vectorial a
través de las componentes rectangulares de los mismos a partir de la propiedad distributiva:
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• Solucion
•
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• Solucion
• Aplicando la propiedad distributiva y eliminando los componentes nulos queda:
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• Solucion
• Producto vectorial en función de los componentes rectangulares• Esta ecuación resulta un poco difícil de aprender, por lo que suele abreviarse en una forma matricial usando la siguiente determinante:
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• El cual arroja el mismo calculo
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Ejemplo 2Calculo del producto vectorial entre dos vectores a través del determinante.Calcule el producto vectorial de
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Solución