problemas resueltos listo
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19. Demuestre que Q=(23
13
23
13
23
−23
−13
23
13
) es una matriz ortogonal.
Solución:
Si Qes ortogonal →QQt=QtQ=I
(23
13
23
13
23
−23
−13
23
13
)(23
13
23
13
23
−23
−13
23
13
)t
=I
(23
13
23
13
23
−23
−13
23
13
)(23
13
−13
13
23
23
23
−23
13
)=I ( 1 0
29
0 119
29
19
23)≠ I→A noesunamatriz ortogonal
20. Demuestre que si P yQson matrices ortogonales de nxn, entonces PQ es ortogonal.
Solución:
Si P es ortogonal entonces P Pt=P tP=I
Si Q es ortogonal entonces QQt=QtQ=I
Por demostrar que PQ (PQ)t=(PQ )t PQ=I
De (PQ )t PQ=I
Qt Pt PQ=I , ademá s Pt P=I →Qt IQ=I
Finalmente QtQ=I
21. Verifique el resultado del problema 20 con
P=(1
√2−1√2
1√2
1√2
) y Q=(13
−√83
√83
13
)Solución:
Se debe verificar P Pt=P tP=I
→(1
√2−1√2
1√2
1√2
)(1
√2−1√2
1√2
1√2
)t
=(1
√2−1√2
1√2
1√2
)t
(1
√2−1√2
1√2
1√2
)=I(1
√2−1√2
1√2
1√2
)(1
√21
√2−1√2
1√2
)=(1
√21
√2−1√2
1√2
)(1
√2−1√2
1√2
1√2
)=I (1 00 1)=(1 0
0 1)=ITambién QQt=QtQ=I
→( 13 −√83
√83
13
)( 13 −√83
√83
13
)t
=( 13 −√83
√83
13
)t
( 13 −√83
√83
13
)=I ( 13 −√8
3√83
13
)( 13
√83
−√83
13
)=( 13
√83
−√83
13
)( 13 −√83
√83
13
)=I (1 0
0 1)=(1 00 1)=I
Por demostrar PQ (PQ )t=(PQ )tPQ=I
[( 1√2 −1√2
1
√21
√2)( 13 −√8
3√83
13
)][( 1√2 −1√2
1
√21
√2)( 13 −√8
3√83
13
)]t
=I
[( 1−√83√2
−1−√83√2
53√2
1−√83√2
)][( 1−√83√2
−1−√83√2
53√2
1−√83√2
)]t
=I
(1−√83√2
−1−√83√2
53√2
1−√83√2
)(1−√83√2
53√2
−1−√83√2
1−√83√2
)=I (1 0
0 1)=I
22. Demuestre que si Q es una matriz ortogonal simétrica, entonces Q2=I .
Solución:
Si Q es ortogonal →QQt=QtQ=I
Si Q es simétrica →Q=Qt
Como QQt=QtQ=I reemplazoQ=Qt
QQ=QQ=I→Q2=I
23. Demuestre que si Q es una matriz ortogonal, entonces det (Q )=±1 .
Solución:
Si Q es una matriz ortogonal →QQt=QtQ=I
det (QQ t )=det (QtQ )=I ,
Q2=I →Q=±1
24. Demuestre que para cualquier número real t , la matriz A=( sin t cos tcos t −sin t) es ortogonal.
Solución:
Si A es ortogonal entonces: A At=At A=I
→( sin t cos tcos t −sin t)( sin t cos t
cos t −sin t)t
=( sin t cos tcos t −sin t)
t
(sin t cos tcos t −sin t)=I
( sin t cos tcos t −sin t)( sin t cos t
cos t −sin t)=(sin t cos tcos t −sin t )(sin t cos t
cos t −sin t )=I
(1 00 1)=I