UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE BOLIVARFACULTAD DE CIENCIAS BSICAS

Curso de Ecuaciones diferenciales y en diferencia

1. Supoga que el PNB (producto nacional bruto) de cierto pas observa una tasa decrecimiento que es proporcional al PNB, esto es dP

dt= kP . Si el PNB correspon-

diente al 1 enero 2000 fue de 80000 millones (de dlares) y para el 1 enero del 2004 fuede 96000 millones, Cundo se espera que sea de 128000 millones?

Solucin

Sea P (t) el producto nacional bruto (PNB), en un instante t, donde t se mide en aos y Pen millones de dlares: Dado que la tasa de crecimiento dP

dt; es proporcional al PNB,

se tienedP

dt= kP: (1)

Sujeta a las condiciones

P (0) = 80000 (2)

P (4) = 96000: (3)

Para responder a la pregunta; Cuando se espera que sea de 128000 millones?, se resuelve laecuacin.

P (t) = 128000: (4)

La solucin de la ecuacin diferencial (1) se obtiene separando variable e integrandoZdP

P= k

Zdt

ln jP j = kt+ c1P = ekt+c1 = ektec1

P (t) = cekt donde c = ec1 : (5)

Note que P (t) tiene las constantes c y k cuyo valor se calcula con las condiciones (2) y (3)respectivamente. Utilizando la condicin (2) en (5) se recibe

P (0) = 80000 = cek(0) = c;

remplazando en (5) obtenemos

P (t) = 80000ekt (6).

Para calcular el valor de k utilizamos la condicin (3) en (6)

P (4) = 96000 = 80000e4k

e4k =96000

80000=6

5

4k = ln

65

k =ln65

4

= 0:0456:

Luego sustituyendo en (6)P (t) = 80000e0:0456t:

Finalmente, para responder a la pregunta (4), resolvemos

P (t) = 128000 = 80000e0:0456t

e0:0456t =128000

80000=8

5

0:0456t = ln

85

t =ln85

0:0456

t = 10:307:

Esto signica que el PNB es de 128000 millones de dlares, en 10 aos +3 meses + 18 das,es decir, aproximadamente el 18 de marzo del 2010.

1

2 El valor de reventa V de cierta maquinaria industrial decrece a un ritmo proporcionala la diferencia entre su valor actual V y su valor residual de $ 5000: La maquinariase compr nueva por $ 40000 y vala $ 30000 despus de 4 aos. Cunto valdr lamaquinaria cuando tenga 8 aos?

SOLUCIN

dVdt: ritmo a la cual decrce

Como dVdtdecrece a un ritmo proporcional a la diferencia V 5000, entonces la ecuacin es

dV

dt= k(V 5000) (1).

La ecuacin (1) est sujeta a las condiciones

V (0) = 40000 valor inicial

V (4) = 30000 valor de la mquina 4 aos despus.

La ecuacin (1) es una ecuacin de variable separable, su solucin se obtiene via integral

dVV5000 = kdt separando variable en (1)Z

dVV5000 = k

Zdt integrando

ln jV 5000j = kt+ C1

V 5000 = ekt+C1

V = Cekt + 5000 C = eC1

Con la condicin V (0) = 40000 tenemos

40000 = Ce0 + 5000 remplazando en V

40000 5000 = C

C = 35000

Luego

V (t) = 35000ekt + 5000 (2).

Hallamos el valor de k con la condicin V (4) = 30000

30000 = 35000e4k + 5000 remplazando en (2)

30000 5000 = 35000e4k

25000 = 35000e4k

e4k = 2500035000

4k = ln2535

k =

lnj 2535 j4

= 0:0841:

2

Replazando k en (2)

V (t) = 35000e0:0841:t + 5000:

En t = 8 aos el valor de la mquina es V (8) = 35000e0:0841(8) + 5000 = $22860:

2 Supongamos que un fabricante calcula que un nuevo operario producir A objetos elprimer da de trabajo y que cuando va adquiriendo experiencia, producir los objetosms rpidamente hasta que produzca un mximo de M objetos por da. Sea Q (t) lacantidad de artculos producidos el da t > 1, y suponga que el ritmo de produccin esproporcional a M Q

a Obtenga una frmula para Q (t)

b Suponiendo que M = 30, y Q (1) = 5; Q (2) = 8; estime el nmero de objetosproducidos en el vigsimo da

SOLUCIN (a)

Como el primer dia produce A objetos entonces

Q (1) = A:

Para t > 1 tenemos que Q (t) es la cantidad de artculos producidos el da t > 1:

dQdt: ritmo de produccin.

Sabiendo que el ritmo de produccin dQdtes proporcional a M Q; entonces la ecuacin

deiferencial esdQ

dt= k (M Q) , (1)

donde M el el nmero mximo de objetos que alcanza a producir por da.

La ecuacin (1) es de variable separable, su solucin se presenta a continuacin

:

dQ(MQ) = kdt integrandoZ

dQ(MQ) = k

Zdt

ln jM Qj = kt+ C1

ln jM Qj = kt C1 multiplicando por 1

M Q = ektC1

M Q = Cekt C = eC1

Q = M Cekt (2)

Para hallar la constante C; usamos la condicin Q (1) = A; esto es t = 1; Q = A; en (2)

A = M Cek

Cek = M A

se sigue que

C =M Aek

(3).

3

Remplazando (3) en (2)

Q(t) = M MAek

ekt

Q(t) = M (M A) ekt:ek

Q(t) = M (M A) e(t+1)k

La frmula para para Q (t) es

Q(t) =M (M A) e(t+1)k (4).

SOLUCIN (b). Suponiendo que M = 30, y Q (1) = 5; Q (2) = 8; estimemos el nmero

de objetos producidos en el vigsimo da. En la ecuacin (4) al remplazarM = 30; tenemos

Q(t) = 30 (30 A) e(t+1)k (5)

Con la condicin Q (1) = 5; esto es, t = 1; Q = 5 en (5)

5 = 30 (30 A) e(0)k

5 = 30 30 + A;

Se sigue que A = 5:

Para calcular el valor de k utilizamos la condicin Q (2) = 8 en (5) tenemos

8 = 30 25e(2+1)k

25ek = 22 despejando e(2+1)k = ek

ek = 2225

k = ln 2225

k = ln 22

25

= 0:127 (6)Remplazando (6) en 5 tenemos

Q(t) = 30 25e0:127(t+1)

El nmero de objetos producidos en el vigsimo da se obtiene cuando t = 20; por tanto

Q(20) = 30 25e0:127(20+1)

Q(20) = 27:7 w 28 objetos

4 Una persona tiene una fortuna invertida, que aumenta a una tasa proporcional alcuadrado de su capital actual. Si tena $1 milln hace un ao, y ahora tiene $ 2millones Cunto tendr dentro de seis meses?

4

SOLUCIN

Sea P (t) el capital

dPdt: tasa a la cual aumenta el capital

Como dPdtaumenta a un ritmo proporcional al cuadrado de su capital actual P; la ecuacin

dP

dt= kP 2 (1).

La ecuacin (1) est sujeta a las condiciones

P (0) = 1 capital hace un ao

P (1) = 2 capital actual

La ecuacin (1) es una ecuacin de variable separable

dPP 2

= kdt separando variable en (1)ZP2dP = k

Zdt integrando

P1 = kt+ C1

P = 1ktC1

Con la condicin P (0) = 1 tenemos

1 = 10C1 remplazando en P

C1 = 1Luego

P (t) =1

kt+ 1 (2).Hallamos el valor de k con la condicin P (1) = 2

2 = 1k+1 remplazando en (2)

k + 1 = 12

k = 12

Replazando k en (2)

P (t) =1

12t+ 1

(2).:

En seis meses se tiene que t = 1 + 12= 3

2aos, por que en 1

2a~nos = 6 meses. Por tanto

P (t) =1

12

32

+ 1

= 4 millones

Bibliografa.Zill , Dennis. Ecuaciones diferenciales. 2008. Mcgraw- Hill interamericana. Mxico.

5