Problemas Resueltos

MAT-023Yerko Torres

Problema 1: Sea W =< v1 = (1,−2, 1), v2 = (0,−1,−1) >. Considere la funcion TW : R3 → R3

definida por u→ TW (u) = v , donde v es el vector en W que se encuentra a menor distancia de u

a) Pruebe que TW es transformacion lineal.Solucion:

(1) Sea u ∈ R3, consideremos entonces su multiplicacion por algun escalar au , a ∈ R, nuestraintencion es probar que TW (au) = aTW (u), entonces notamos que ‖au− aTW (u)‖ = |a|‖u− TW (u)‖,sea v ∈W cualquiera, luego ‖au− v‖ = |a|‖u− v/a‖ y restando estas ultimas dos ecuaciones se tiene

‖au− aTW (u)‖ − ‖au− v‖ ≤ |a|(‖u− TW (u)‖ − ‖u− v/a‖)

por la minimalidad de la distancia entre u y TW (u), se tiene que el lado derecho tiene signo negativo.Luego

‖au− aTW (u)‖ − ‖au− v‖ ≤ 0⇔ ‖au− aTW (u)‖ ≤ ‖au− v‖ ∀v ∈W

y esto es lo mismo a decir que TW (au) = aTW (u)

(2) Para la linealidad en la suma se usa el mismo argumento, de esta forma probaremos que parau1, u2 ∈ R3, se tiene que TW (u1)+TW (u2) es precisamente el vector de W que esta a menor distanciade u1 + u2:

Notemos primero que por desigualdad triangular se tiene

‖(u1+u2)−(TW (u1)+TW (u2))‖ = ‖(u1−TW (u1))+(u2−TW (u2))‖ ≤ ‖u1−TW (u1)‖+‖u2−TW (u2)‖

luego sea v ∈ W vector cualquiera, entonces v = av1 + bv2 con a, b ∈ R, luego por desigualdadtirangular nuevamente

‖(u1 + u2)− v‖ ≤ ‖u1 − av1‖+ ‖u2 − bv2‖

restando ambas desigualdades se obtiene

‖(u1+u2)−(TW (u1)+TW (u2))‖−‖(u1+u2)−v‖ ≤ (‖u1−TW (u1)‖−‖u1−av1‖)+(‖u2−TW (u2)‖−‖u2−bv2‖)

como el vector TW (u1) es el que esta a minina distancia a u1 y analogamente para u2, por estaminimalidad lo del lado derecho tiene signo negativo, por lo tanto

‖(u1+u2)−(TW (u1)+TW (u2))‖−‖(u1+u2)−v‖ ≤ 0⇔ ‖(u1+u2)−(TW (u1)+TW (u2))‖ ≤ ‖(u1+u2)−v‖ ∀v ∈W

es decir la distancia entre u1 +u2 y TW (u1)+TW (u2), es menor que para cualquier otro vector v ∈W, se concluye entonces

TW (u1 + u2) = TW (u1) + TW (u2)

asi TW es transformacion lineal.

b) Hallar una formula explıcita para TW .Solucion: De MAT022 sabemos que W es un plano generado por los vectores v1 y v2, de esta forma(recuerde su curso anterior) el plano formado tiene ecuacion

Π : 3x + y − z = 0

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sea (x0, y0, z0) ∈ R3 vector cualquiera.La distancia entre un punto y un plano, es la distancia minimaque hay entre ellos y en MAT022 vimos que hay una formula para esto , luego si imaginamos a nuestrovector como el formado por los puntos (x0, y0, z0) y el origen, se tiene que la distancia entre (x0, y0, z0)y Π es:

|3x0 + y0 − z0|√32 + 12 + 12

=|3x0 + y0 − z0|√

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luego notamos que el vector director del plano es (3, 1,−1) y como la distancia minima entre un puntoy el plano es la longitud de la recta que toque perpendicularmente al plano, el vector TW ((x0, y0, z0))que buscamos tiene la forma c(3, 1,−1) para encontrar c, basta con resolver la ecuacion para

‖(x0, y0, z0)− c(3, 1,−1)‖ =|3x0 + y0 − z0|√

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lo que es equivalente a √(x0 − 3c)2 + (y0 − c)2 + (z0 + c)2 =

|3x0 + y0 − z0|√11

o de mejor forma

(x0 − 3c)2 + (y0 − c)2 + (z0 + c)2 =(3x0 + y0 − z0)2

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