PROBLEMAS PROPUESTOS UNIDAD 1∉

36. Escribir en notación conjuntista

(1) R es un superconjunto de TR ⊃ IEl superconjunto es la igualdad entre dos conjuntos A= B si solo si A ⊂ B y B ⊂ A o B ⊃ A (es superconjunto de A o B contiene a A)

(2) X es elemento de YX ɛ Y

(3) M no es subconjunto de SM ⊄S

(4) El conjunto potencia de W

2w

La familia de todos los subconjuntos de un conjunto S se llama conjunto potencia de S. Se designa como 2s. Ejemplo: Si M = {a,b} entonces

2s= {{a,b}, {a}, {b}, {Ø}}

(5) Z no pertenece a AZ ∉A

(6) B está incluido en FB ⊂ FB es sunconjunto de F

(7) El conjunto vacioØ

(8) R pertenece a A

R ɛ A

R pertenece a la familia A

37. Enunciar verbalmente:

(1) A= {x|x vive en París}

A es el conjunto de las x tales que x viven en Paris

(2) B= {x|x habla danés}B es el conjunto de las x tales que x habla danés

(3) C= {x|x es mayor de 21 años}C es el conjunto de las x tales que x es mayor de 21 años

(4) D= {x|x es ciudadano francés}D es el conjunto de las x tales que x es ciudadano francés

38. Escribir en forma tabular

(1) P={x|x2- x – 2 = 0}(x – 2)(x +1) = 0X1 = 2 X2= -1P= {2,-1}

(2) Q= {x|x sea una letra de la palabra “calcular”}Q= {a,c,l,u,r}

(3) R= {x|x2=9, x-3=5}R= ØPorque x2=9 es x= √9=3 y x = 5 +3 = 8

(4) S= {x|x es una vocal}S= {a, e, i, o, u}

(5) T={x|x es una cifra del numero 2324}T= {2, 3, 4}

39. Si E= {1,0}, decir entre las afirmaciones siguientes cuales son correctas o incorrectas

(1) {0} ɛ E Incorrecta por que “0” es elemento no subconjunto

(2) ɸ ɛ EIncorrecto por que existen elementos en E

(3) {0}⊂ ECorrecta porque {0} puede ser subconjunto de E

(4) 0 ɛ ECorrecta porque 0 es elemento de E

(5) 0 ⊂ EIncorrecta porque “0” es elemento no subconjuntoi

40. En una exposición axiomática de la teoría de los conjuntos, decir cuáles de estos símbolos representan una relación no definida

(1) ⊄ definida(2) ɛ no definida(3) ⊃ definida

En el Desarrollo axiomático nos dice que: “elemento y conjunto son términos no definidos”,

“Pertenencia (ɛ) es término no definido”

SUBCONJUNTOS

41. Si B = {0, 1, 2}, hallar todos los subconjuntos de B

{0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, Ø, B

42. Si F= {0, {1,2}}, hallar todos los subconjunto de F

{0}, {{1,2}}, Ø, F

43. Sean

A= {2, 3, 4} C= {x|x2- 6x + 8 =0} = {2, 4}

(x - 4)(x - 2) =0 x1=4 y x2= 2

B= {x|x2=4, x es positivo} = {2} D= {x | x es par} = {2, 4, 6, 8,…}

X= √4=2 ,−2

Completar las siguientes afirmaciones insertando ⊂, ⊃ o “nc” (no comparable) entre cada par de conjuntos:

(1) A ⊃B(2) A ⊃ C(3) B ⊂ C(4) A nc D(5) B ⊂ D(6) C ⊂ D

44. Sean A={1,2,….,8,9}, B= {2,4,6,8}, C= {1,3,5,7,9}, D={3,4,5} y E={3,5} ¿Cuáles conjuntos pueden ser iguales a X dadas las condiciones siguientes?

(1) X y B son disconjuntosC y E porque los conjuntos C y E tiene elementos diferentes con B

(2) x ⊂ D y X ⊄ B

D y E porque D y E pueden ser subconjuntos de D y a la vez no son subconjuntos de B

(3) X ⊂ A y X ⊄ CA, B y D porque A, B y D pueden ser subconjuntos de A y a la vez no son subconjuntos de C

(4) X ⊂ C y x ⊄ ANinguno no hay un subconjunto de C y que a la vez no sea subconjunto de A

45. Decir si son correctas o incorrectas las siguientes afirmaciones

(1) Todo subconjunto de un conjunto finito es finito

Correcto porque un conjunto finito tiene sólo un número determinado de elementos y por tanto también sus subconjuntos

(2) Todo subconjunto de un conjunto infinito es infinito

Incorrecto porque un subconjunto siempre tiene un número definido, más bien hay infinitos subconjuntos del conjunto

UNIDAD 2

Problemas propuestos

31. Sea el conjunto universal U={a, b, c, d, e, f, g} y sean A= {a, b ,c, d, e}, B= {a, c, e, g} y C= {b, e, f, g}

Hallar:

(1) A C = ∪ {a, b, c ,d, e, f, g} ∴ A C = U∪ (2) B ∩ A = {a, c, e}(3) C – B = {b, f}(4) B’ = {b, d, f}(5) A’ – B = {f}

A’= {f, g} (6) B’ C = ∪ {b, d, e, f, g}

B’= {b, d, f}(7) (A – C)’ = {b, e , f, g}

A – C = {a, c, d} (8) C’∩ A = {a, c, d}

C’= {a, c, d} (9) (A –B)’ = {a, c, e, f, g}

A-B= {b, d}

V WV W

V WV W

V WV W

V

W primos

V

W primos

(10) (A ∩A’)’ = {a, b, c, d, e, f, g}A’ = {f, g}A ∩A’= Ø

32. Demostrar: Si A ∩ B = Ø, entonces A B’⊂

Si x ɛ A y A y B son disconjuntos, x ∉ B; entonces x ɛ B’ ∴ x ɛ A implica x ɛ B’, es decir A ⊂ B’

33. En los diagramas de Venn que siguen rayar

(a)

(1) V ∩ W (2) W’

(3) W – V (4) V’ W∪

(5) V ∩ W’ (6) V’ – W’

(b)

(1) V ∩ W (2) W’

V

W primos

V

W primos

V

W primos

V

W primos

V

W primos

A

B primos

C

A

B primos

C

(3) W – V (4) V’ W∪

(5) V ∩ W’ (6) V’ – W’

34. Hacer un diagrama de Venn con tres conjuntos no vacios, A, B y C tengan las siguientes características:

(1) A B, C B, A ∩ C = Ø⊂ ⊂

(2) A B, C B, A ∩ C ≠ Ø⊂ ⊄

A

A

C

B primos

C B primosA

(3) A C, A ≠ C, B ∩ C = Ø⊂

(4) A’ (B ∩ C, C ≠ B, A ≠ C⊂

35. Determinar:

(1) U ∩ A = U

(2) A A = ∪ A

(3) Ø’ = U

(4) Ø A = ∪ A

(5) A’ ∩ A = Ø

A’ = {f, g}

(6) U’ = Ø

(7) U A = ∪ U

(8) A’ A = ∪ U

(9) A ∩ A = A

(10) Ø ∩ A = Ø

36. Completar las siguientes afirmaciones usando , o nc (no comparables) entre⊂ ⊃ cada par de conjuntos. Aquí A y B son conjuntos arbitrarios

(1) A ⊃ A-B

(2) A ⊃ A ∩ B

(3) A’ ⊃ B-A

(4) A ⊂ A B∪

(5) A’ nc A-B

(6) A nc B –A

37. La formula A – B= A ∩ B’ puede definir la diferencia de dos conjuntos mediante las solas operaciones de intersección y complemento. Encontrar una fórmula que defina la unión de dos conjuntos, A B, mediante estas dos operaciones de intersección y∪ complemento A U B = (A’ ∩ B’)’

38. Demostrar: A – B es un subconjunto de A B∪

Si x pertenece a A – B. Entonces x ε A y x ∉ B, por tanto x ε A UB

forman un solo conjunto

Por lo que A puede ser subconjunto de AUB

39. demostrar el teorema 2-1: A B implica A ∩ B = A⊂

Si x pertenece a A entonces x ε B por tanto x pertenece a A y B o A B⊂

40. Demostrar: Si A ∩ B = Ø, entonces B∩ A’ = B

41. Demostrar el Teorema 2-2: A C implica A B = B⊂ ∪

42. Demostrar: A’ – B’ = B – A

R

Q’ Z

43. Demostrar el Teorema 2-3: A B implica B’ A’⊂ ⊂

44. Demostrar: Si A ∩ B = Ø, entonces A B’ = B’∪

45. Demostrar: (A ∩ B)’ = A’ B’∪

46. Demostrar el Teorema 2-4: A B implica A (B – A) = B⊂ ∪

UNIDAD 3

CONJUNTOS DE NUMEROS

28. Entre lo que sigue decir qué es cierto y qué es falso

(1) π ɛ Q falso π presenta un valor infinito no exacto, por lo que no es racional

(2) 3 ɛ Z cierto 3 es un entero

(3) -3 ɛ N falso el -3 es negativo y no es Natural

(4) √−1 ɛ Q’ falso las raíces pares negativas no existen, no son irracionales

(5) 7 ɛ P cierto 7 solo se divide entre el 1 y si mismo

(6) √ 9 ɛ N cierto la raíz de 9 es 3 y es natural

(7) -5 ɛ Z cierto el -5 es un numero entero

(8) √−3 ɛ R falso las raíces pares negativas no existen, no son reales

(9) 15 ɛ P falso el 15 se divide entre el 1, 3, 5 y 15

(10) ∛ 2 ɛ Q’ cierto el ∛ 2 nos da un valor infinito no periódico

(11) 23

ɛ Z falso el 23

no es un entero

(12) 2 ɛ Q cierto el 2 pertenece a los racionales

29. Hacer un diagrama lineal de los conjuntos R, Z, Q’ y P

30 Entre los conjuntos R, Q, Q’, Z, N y P, ¿Cuáles no son cerrados respecto a las operaciones de (1) multiplicación, (2) división (excepto por 0)?

(1) Q´ y P(2) Q’, Z, N y P

31. Dados los conjuntos:

A = {x |x=2n, n ɛ N} = {2, 4, 8, 16…}

B = {x |x = 3n. n ɛ N} = {3, 6, 9, 12,…}

C= {x |x=3n, n ɛ Z} = {…,-6,-3, 0, 3, 6,…}

¿Cuál de estos conjuntos son cerrados respecto de la operación (1) adición, (2) sustracción, (3) multiplicación?

(1) Adición Q’ y P(2) Sustracción C(3) Multiplicación A, B y C

32. Ente lo que sigue, decir qué es (a) siempre cierto, (b) cierto a veces, (c) nunca cierto. Aquí es a ≠ 0 y b ≠ 0

(1) a ɛ Z, b ɛ Q y a – b ɛ N cierto a veces

(2) a ɛ P, b ɛ z y ab ɛ Z nunca cierto

(3) a ɛ N, b ɛ Z y ab ɛ Z siempre cierto

(4) a ɛ N, b ɛ Q’ y ab

ɛ Q nunca cierto

(5) a ɛ P, b ɛ P y a + b ɛ Q’ cierto a veces

(6) a ɛ N, b ɛ Q’ y a + b ɛ Q’ siempre cierto

(7) a ɛ Z, b ɛ Q y ab

ɛ N cierto a veces

(8) a ɛ P, b ɛ Z y ba

ɛ Q siempre cierto

DESIGUALDADES Y VALORES ABSOLUTOS

33. Escribir las afirmaciones siguientes con la notación de orden:

(1) x no es mayor que y x≯ y

(2) El valor absoluto de x es menor que 4 |x| < 4

(3) r no es menor que y r ≮ y

4. r es mayor igual que t r ≥ t

34. Entre los siguientes pares de numeros insertar el simbolo correcto: <, > o =, siendo x un numero realcualquiera.

(1) 5 > -8 (2) |x| > -3 (3) 23 = 8 (4) – π < π3

(5) 23 < 19 (6) - |x| < 1 (7) -7 < 4 (8) -2 > -5

35. Escribir las relaciones geometricas entre los numeros utilizando la noacion de las desigualdades:

(1) a está a la derecha de b a > b

(2) x está a la izquieda de y x < y

(3) r está entre -5 y -8 -8 < r < -5

36. Calcular:

(1) |4 – 7| = |-3| = 3

(2) |-4 – 7| = |-11| = |11|

(3) | -4 + 7| = |3|= 3

(4) |3| - |-5| = 3 – 5 = -2

(5) |2 – 3| + |-6| = | -1| + 6 = 1 + 6 = 7

(6) |-2| +|1-5| = 2 + | -4| = 2 + 4 = 6

(7) |3 – 8| - |2 -1| = |-5| - |1| = 5 – 1= 4

(8) ||-3| - |-9|| = |3 – 9| = | -6|= 6

(9) ||2 – 6| - |1 – 9|| = ||-4| - | -8||= |4 - 8|= | -4| = 4

37. Escribir de modo que x quede sola entre los signos de desigualdad:

(1) -2 < x – 3 < 4 -2 +3 < x < 4 + 3 1 < x < 7

(2) -5 < x + 2 < 1 -5 -2 < x < 1 – 2 -7 < x < -1

(3) -12 < 4x < -8 -12/4 < x < -8/4 -3 < x < -2

(4) 4 < - 2x < 10 4/-2 < x < 10/-2 -2 < x <-5

(5) -1 < 2x – 3 < 5 (-1 + 3)/2 < x < (5 + 3) /2 1< x < 4

(6) -3 < 5 – 2x < 7 (-3 -5)/-2 < x < (7-5)/-2 4 < x < -1

38. Escribir sin el signo el valor absoluto:

1. |x| ≤ 8 x ≤8 ó x ≥ -8 -8 ≤ x ≤ 8

2. |x – 3| < 8 x – 3 < 8 ó x – 3 > -8

X < 8 + 3 x > -8 + 3

X < 11 x > -5 ∴ -5 < x < 11

3. |2x + 4| < 8 2x + 4 < 8 ó 2x + 4 > - 8

2x < 8 – 4 2x > - 8 - 4

2x < 4 2x > -12

X <4/2 x > -12 / 2

X < 2 x > - 6 ∴ - 6 < x < 2

39. Escribir con el signo de valor absoluto

1. -3 < x < 9 -3 - 3 < x – 3 < 9 – 3

- 6 < x – 3 < 6 ∴ |x – 3|< 6

2. 2 ≤ x ≤ 8 2 – 5 ≤x – 5 ≤ 8 - 5

-3 ≤ x – 5 ≤ 3 ∴ |x – 5| ≤ 3

3. -7 < x < -1 -7 + 4 < x + 4< - 1 + 4

- 3 < x + 4 < 3 ∴ |x + 4 | < 3

40. Demostrar P: Si a < b y c es negativo,entonces bc < ac, (Nota: Se da por sentado que el producto de un numero negativo y un numero positivo es negativo)

Como a < b, b – a es positivo

Como c es negativo, el producto (b – a)c = bc – ac es tambien negativo

ac – bc es positivo

bc < ac

INTERVALOS

41. Escribir los siguientes intervalos en forma constructiva:

A = [-3,1[ A= {x | - 3 ≤x < 1}

B= [1,2] B= {x | 1 ≤x ≤ 2}

C= ] -1,3] C= {x | -1 < x ≤ 3}

D= ] -4,2 [ D= {x | -4 < x < 2}

42. Entre los conjuntos del Problema 41, ¿Caul es (1) un intervalo abierto , (2) un intervalo cerrado?

D es intervalo abierto; B es intervalo cerrado

43. Represente los conjuntos del Problema 41 sobre la recta real

44. Escribe lossiguinets intervalos infibnirtos con la notación de intevalos:

R= {x|x ≤ 2} S= {x|x > -1} T= {x|x < -3}

45. Representar los conjuntos del problema 44 sobre la rectareal

46. Sean A= [-4,2[,B=]-1,6[,C=]- ∞,1]. Hllar y escribitr con notación de intervalos

1. A B∪

2. A ∩ B3. A – B4. B - A5. A C∪6. A ∩ C7. A - C8. C – A9. B C∪10. B ∩ C11. B – C12.C – B

CONJUNTOS ACOTADOS Y NO ACOTADOS

47. Ecribir cada uno ddelos siguientes conuntos en foam tabular y decir cuales son acotyados y cuales no acotadosSi A es

E= {x|x = 1n

n ɛ N }

F= {x|x= 3n, n ɛ N}

G= {x|x= ¿)n, n ɛ N}

H= {x|x ɛ N, x < 2576}

48. ¿son las afirmaciones siguientes (a)siempores ciertas, (b) a veces ciertas, (c) nunca ciertas?

1. Si A es finito, A es acotado

2. Si A es infinito, A es acotado

3. Si A es un subconjunto de [-23, 79], A es finito

4. Si A es un subcpnjunto de [-23, 79], A es no acotado