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Seminario Especial de MatemáticaRepaso UNI

Aritmética

1. Una obra puede ser realizada por 23 obreros durante 15 días a razón de 10 horas diarias. Si el primer día trabajan 2 obreros, el segundo día 3 obreros, el tercer día 4 obreros, y así sucesivamente hasta el n - ésimo día, harían 33,3

% me-nos de la obra. Al momento de repartir-se una bonificación de S/.4200 entre 3 obreros lo hacen en forma proporcional a sus edades que son n – 8; n/2 y n años. Calcule cuánto de más recibiría el menor si el reparto fuese inversamente propor-cional.

A) S/.500 B) S/.800 C) S/.1000 D) S/.300 E) S/.600

2. Ortiz depositó S/.15 000 durante t meses. Por los 4 primeros meses se pagó el 60% a interés simple, luego con una capitali-zación bimestral por el tiempo restante a la misma tasa y al final se obtuvo una suma de S/.26 353,8; al cabo de ese tiem-po adquiere un artefacto cuyo costo al contado es S/.3400; para ello da una cuo-ta inicial equivalente a la tercera parte del interés simple obtenido y por el resto firmó letras de igual valor pagaderas bi-mestralmente durante t/2 meses. Calcule el valor nominal de las letras si la tasa de descuento es 5% mensual.

Considere: Ln(1,4641)=0,38 Ln(1,1)=0,095

A) S/.1000 B) S/.1500 C) S/.1200 D) S/.1100 E) S/.800

3. Se funden dos lingotes de oro de a y b kilates, en cantidades que son inversa-mente proporcionales a sus leyes. La aleación obtenida se funde con x gramos de oro puro. Para obtener 10 sortijas de 4 gramos cada una cuya liga es 0 2,

, calcule el valor de x. Considere que 70a=59b, con a y b menores de 20.

A) 10 B) 20 C) 30 D) 25 E) 15

4. En una librería se vendieron cuadernos de la siguiente manera: el primer día se vendió 3/4 del total más un cuaderno, el segundo día se vendió 3/4 de lo que quedaba más un cuaderno, y así sucesivamente. Al finalizar el día d se vendieron todos los cuadernos, además, la cantidad total de cuadernos vendidos está comprendida entre 1000 y 2000. Calcule cuántos números enteros tienen un raíz cuadrada aproximada a 1,d en menos de 1/d.

A) 2 B) 1 C) 3 D) 5 E) 4

SEMINARIO ESPECIAL DE MATEMÁTICA

Ciclo Repaso UNI - 2009 I

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Academia César Vallejo

5. Se quiere dividir un terreno rectangular,

cuyas dimensiones son mnpm y abnb

metros, en A parcelas (A mínimo)

cuadradas iguales, además, el lado de

estas es una cantidad entera en metros y

al colocar una estaca en cada vértice de

las parcelas se usaron B estacas.

El número mnpm tiene 30 divisores, sólo

tiene dos factores primos y estos a la

vez son números consecutivos. Calcule

cuántas fracciones equivalentes a A/B

existen tales que el numerador es de 3

cifras y el denominador de 4 cifras si el

número abnb es múltiplo de 72.

A) 14 B) 1 C) 13

D) 22 E) 7

6. El siguiente polígono de frecuencia mues-

tra las edades de un grupo de personas

distribuidas con igual ancho de clase.

Si se sabe que b < 20

calcule lo siguiente:

I. El promedio de las edades.

II. Al seleccionar una persona al azar,

¿cuál es la probabilidad de que la

edad de la persona seleccionada esté

comprendida entre 30 y 54 años?

A) 40 6 50 8, ,

y 70%

B) 40,2 y 50,6%

C) 40 6 58 8, , %

y

D) 40,2 y 50,8%

E) 40% y 50,5%

7. Dado el número bacba cuya cantidad

de divisores es impar, al extraer su raíz

cuadrada resulta un número que tiene

como sus dos últimas cifras ba.

Calcule m+n+p+q+r si se cumple que

ab, ac8= pqr, mn...6.

A) 10 B) 13 C) 14

D) 12 E) 11

8. Sea x una variable aleatoria que indica

el número de hijos y el siguiente cuadro

muestra la distribución de su probabi-

lidad.

x 2 3 4 5

P(x) 2a b a 3b

Si el valor esperado de x es 3,4

calcule lo siguiente:

I. Qué tanto por ciento de las madres de

familia tiene entre 2 y 5 hijos.

II. Si de un total de 100a madres de fa-

milia se sabe que el 25% son viudas,

calcule la probabilidad de que al se-

leccionar a 3 madres de familia a lo

más dos sean viudas.

A) 30%; 13/14

B) 10%; 111/190

C) 20%; 11/19

D) 30%; 113/114

E) 10%; 7/16

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Álgebra

9. Sean Z y Z0 números complejos tales que

WZ aZ i

= +−

es imaginario puro y Za

0 21

2= −

;

con a ∈R. Calcule el menor valor del

módulo del complejo (Z+Z0).

A) 0 B) 1/4 C) 1/2

D) 1 E) 2 2/

10. Dado el sistema lineal

x y

x y

+ = −−( ) − = ∈

λλ λ λ

1

1 ; R

de conjunto solución

S x y x y= ( ) <{ }0 0 0 0 0; /

calcule el conjunto de valores de λ.

A) λ ∈ ⟨– ∞; –1⟩ ∪ ⟨1; +∞⟩

B) λ ∈ ⟨–1; 1⟩

C) λ ∈ ⟨– ∞; –1⟩ ∪ ⟨1/2; 1⟩

D) λ ∈ ⟨– ∞; –1/2⟩ ∪ ⟨–1; 1⟩

E) λ ∈ ⟨–1; 1/2⟩ ∪ ⟨1; +∞⟩

11. Dado el conjunto

A x x xc = ∈ − − − ≥{ }R 2 1 1 0

calcule la longitud del conjunto A.

A) 3 B) 2 C) 1/2

D) 1 E) 0

12. Si (x0; y0) es una solución del sistema

x y

y y x x

24

2 2 1

1

2 2

= +

= +

+

log

.

calcule el mayor valor de y0.

A) 1 B) 2 C) 2 2

D) 4 E) 4 2

13. Sea f una función cuya gráfica se muestra

a continuación.

Esboce la gráfica de la función

g(x)=f(1–|x|)

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14. Si A =−

1 01 1

es una matriz tal que

A3=mA+nI, I es la matriz identidad,

determine el valor de mn.

A) 1 B) 1/4 C) 1/9

D) –1 E) – 4

15. Dada la sucesión {xn} de términos po-

sitivos definida por x xn nK

K−

=

∞= ( )∑1

1, si

la sucesión existe, ¿a qué valor converge?

A) 0 B) 1 C) e D) 1/e E) 3/4

16. Sea f: R2 → R una función definida por

f(x; y)=2x+y. Determine el punto de

menor abscisa de la región convexa

mostrada en la figura, donde f alcanza su

máximo.

A) (7; 1)

B) (9; 7)

C) (11; 3)

D) (3; 4)

E) (6; 6)

Geometría

17. En el gráfico, ABCD es un trapecio

isósceles (BC // AD), AM=MB, CN=ND y

AR=RN. Calcule x.

A) 53º/2

B) 37º/2

C) 30º

D) 37º

E) 45º

18. Del gráfico mostrado, calcule mPQ .

A) 35º

B) 50º

C) 70º

D) 55º

E) 75º

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19. Según el gráfico mostrado, calcule el

área de la región sombreada si se sabe

que AP = 3.

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

20. La semicircunferencia y el rectángulo

ABCD, de centro O, se ubican en planos

perpendiculares, además, LM=MN, R=2

y (AM)2+(MC)2=18. Calcule la medida

del diedro entre el plano LON y el plano

de la semicircunferencia.

A) 15º B) 53º C) 37º

D) 30º E) 45º

21. En el gráfico, T y Q son puntos de tangen-

cia, m mPS MN = y m +mTL AQ = 200º.

Calcule x.

A) 160º

B) 100º

C) 80º

D) 90º

E) 120º

22. Se tiene un prisma hexagonal regular

ABCDEF – GHIJKL tal que AG AF= ( )5 ;

se traza FQ ⊥ GD, Q en GD. Si la distancia

de Q a la región hexagonal GHIJKL es

2 5, calcule el volumen del prisma.

A) 752

3

B) 652

5

C) 812

15

D) 852

15

E) 692

3

– 6 –


23. Del gráfico se sabe que ABCD es un cua-

drado, T y P son puntos de tangencia,

B(0; 4), TD=2 y C : x2+y2 – 12x – 2y+36=0.

Halle la ecuación de L

.

A) 3x=7y

B) 3y=7x

C) 2x=2y

D) 6x=5y

E) 8x=3y

24. Se muestra un tronco de prisma regular

ABCD – FGH. Si el volumen de la pirámide

de base regular F – EAH es 8, calcule el

volumen del sólido ABCD – EFGH.

A) 25

B) 16

C) 12

D) 36

E) 28

Trigonometría

25. En el gráfico se cumple que AB=DE y

BC=EF. Los cuadrados inscritos en los

triángulos rectángulos tiene por áreas

S1 y S2.

Entonces, indique lo correcto.

A) S1=S2

B) S1=2S2

C) S2=2S1

D) S1 > S2

E) S1 < S2

– 7 –


26. En el gráfico, ABCD es un cuadrado.

Determine la medida del ángulo MPC

expresado en radianes.

A) π3

12

34

−

arcsen

B) π3

34

−

arcsen

C) π3

3 14

− −

arcsen

D) π3

12

3 12

− −

arcsen

E) π3

3 12

− −

arcsen

27. Calcule la suma de soluciones de la

ecuación

sen arccos cot arctan2 2 0x( )( ) =

si 0 < x <2.

A) 1 B) 2 C) 2 1−

D) 2 1+ E) 2 2

28. Definimos la función f mediante

f x

x x x xx x

( )sen sen cos cos

sen cos= + − −( )

−2 3 4 3 4

para π π< <x 32

Determine el rango de f.

A) 0 2 1; +

B) 0 2 1; −

C) 0 2 1; −

D) 0 2 1; −

E) 0 2 1; −

29. ¿Cuál es el equivalente de la siguiente

expresión?

θ = +

−( )

arcsentan º tan º

tan º tan º70 3 250

2 10 100

A) 29π

B) π9

C) 710

π

D) 718

π

E) π10

30. El ángulo de inclinación de cada una de

dos rectas paralelas es α. Si una de ellas

pasa por el punto (a; b) y la otra por el

punto (c; d), calcule la distancia entre las

rectas.

A) |(c – a)senα+(d – b)cosα|

B) |(c – a)cosα+(d – b)senα|

C) |(c+a)senα – (d+b)cosα|

D) |(c – a)senα – (d – b)cosα|

E) |(c – a)cosα – (d – b)senα|

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31. Sea la función f de periodo 2 cuyo gráfico

se indica para –1 ≤ x <1.

Para la función h x f x( ) cos= ( )( )

π2

ana-

lice la verdad (V) o falsedad (F) de las

siguientes proposiciones.

I. Ran(h)=[–1; 1⟩

II. La función h es periódica, con periodo 2.

III. Para x ∈ ⟨0; 1⟩ la función h es creciente.

A) FFV B) VVF C) FVF D) FVV E) FFF

32. En un cuadrilátero ABCD, las regiones triangulares ABC y ADC tienen el mismo

perímetro. Determine el equivalente deAD CDAB BC

( )( )( )( )

.

A) cos secB D2 2

B) cosBsecD

C) cos sec2 2

2 2B D

D) sen cscB D2 2

E) sen csc2 2

2 2B D

Lima, 17 de febrero de 2009

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