problemas geometricos ana cabrera

8/3/2019 Problemas Geometricos Ana Cabrera

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PROYECTO NVELES MAESTROSrea Magisterial de la

Direccin de Formacin yPerfeccionamiento Docente

GEOMETRA: PROBLEMAS

Prof. Ana CabreraI.F.D. Florida


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PROBLEMAS DE GEOMETRA

EL RADIO DEL CRCULO

Teniendo en cuenta la figura, hallar elradio del crculo


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SOLUCIN

Dado que la diagonal de 8 cm. tiene lamisma longitud que el radio del crculo, larespuesta es 8 cm.


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EL LADO DEL ROMBO

En una plaza circular de R=9 m. sequiere construir un estanque deforma rmbica, segn la figura.

Cunto mide el lado del rombo?


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SOLUCIN

Basta con darse cuenta de que ellado AC es el radio de lacircunferencia y AE y BD son

diagonales de un rectngulo.Por lo tanto, son iguales en

longitud. Lado del rombo = 9 m.


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EL NGULO DE LAS DIAGONALES

Cuntos grados mide el ngulo queforman las dos diagonales de las

caras del cubo?


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SOLUCIN

60. Basta observar de que se trata deun tringulo equiltero ABC trazandola diagonal BC de la otra cara.


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CIRCUNFERENCIAS SECANTES

Dos circunferencias secantes tienenpor centros P y Q. El segmento PQmide 3 cm. Por uno de los puntos (O)donde se cortas las circunferenciastrazamos una recta paralela alsegmento PQ. Sean M y N los puntosdonde corta dicha recta a lascircunferencias. Cunto mide MN?


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SOLUCIN

MN = 6 centmetros. Trazando desdeP y Q perpendiculares al segmentoMN, obtenemos los puntos R y S.

Como MR=RO y NS=SO y RS=PQ,surge la respuesta.


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EL NGULO OBTUSO

. Cunto mide el ngulo obtusoABC? A, B y C son los puntos medios

de los lados.


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SOLUCIN

120. Slo hace falta terminar dedibujar el hexgono regular ABCDEF.


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EL NGULO EXTERIOR

En el tringulo issceles ABC elngulo A mide 50

Cul es la medida del ngulo x?

.


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SOLUCIN

Puesto que es issceles: B = C =(180-A)/2 = 130/2 = 65.

Por lo tanto: x= 180-C = 180- 65 =

115.


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SEMEJANZA DE RECTNGULOS

A una circunferencia puedeninscribirse y circunscribirse

cuadrados como muestra la figuraadjunta.

Sabiendo que el rea del cuadradoinscrito es de cuatro unidades de

superficie, qu rea tiene elcuadrado mayor?

.


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SOLUCIN

Hagmoslo girar 45 hasta la posicinque muestra la figura siguiente.

Se observa que el rea del cuadrado

mayor es el doble que la del inscrito;es decir, 8 unidades.


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NUEVE NGULOS

Calcula el valor de todos los ngulosde la figura sabiendo que el ngulo 1

vale 70..


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SOLUCIN

El ngulo 2 mide 20.Por tratarse de un tringulo issceles(dos lados son radios) los ngulos 4y 5 son iguales.La suma de los ngulos 2, 3 y 4 es90, pues el ngulo total abarca el

dimetro.De estas dos condiciones se obtieneque la suma de los ngulos 2 y 4 esigual al ngulo 7. Y el ngulo 7 esigual a dos veces el ngulo 4. Dedonde el ngulo 2 es la mitad del

ngulo 7.Por tanto el ngulo 7 mide 40, losngulos 4 y 5 miden 20 cada uno, elngulo 6 mide 140, el ngulo 7 mide50 y los ngulos 8 y 9 son rectos


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DE UN SOLO TRAZO, POSIBLE O IMPOSIBLE?

Un vrtice es impar si de el parten un nmero impar de caminos. Un vrticees par si de el parten un nmero par de caminos.

El problema es imposible si en la red hay ms de dos vrtices impares.

Es posible: a) Cuando todos los vrtices son pares, y entonces el punto departida puede ser cualquiera. b) Cuando no hay ms de dos vrticesimpares, y entonces el recorrido comienza por uno de ellos y termina en el

otro.

.


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SOLUCIN

Se pueden dibujar de un solo trazolos de la fila superior. Es imposiblepara los de la fila inferior.


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LOS TRES CUADRADOS.

Tenemos tres cuadrados iguales dispuestos como se muestra en la figura.Usando solamente geometra elemental (no trigonometra) demostrar que

el ngulo C es igual a la suma de los ngulos A y B..


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SOLUCIN

La siguiente construccin muestra lasolucin del problema


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SOLUCIN

Esta otra construccin tambin muestra la solucin del problema.Los tringulos APO y OQR son semejantes, por lo que los ngulos A y Oson iguales. Y como C=B+O, C=B+A.


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SOLUCIN

Usando trigonometra: tgA=1/3, tgB=1/2, tgC=1.tg(A+B) = ... = 1 = tgC. Luego A+B=C.


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POSAVASOS Y SERVILLETA.

Tenemos un posavasos circular y una servilleta cuadrada. Hallar el centrodel posavasos con la ayuda nicamente de la servilleta y un lpiz.

.


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SOLUCIN

Colocamos uno de los vrtices de la servilleta sobre cualquiera delos puntos de la circunferencia del posavasos.

El ngulo definido por ABC es un ngulo recto, luego elsegmento AC es un dimetro de la circunferencia. Trazamoscon un lapicero la lnea AC y repetimos la misma operacin

eligiendo como B cualquier otro punto del permetro delposavasos. Una vez trazado el segundo dimetro ya esthallado el centro de la circunferencia.


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TRINGULOS

En la figura adjunta, cunto mide B?.


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SOLUCIN

B puede tener cualquier valor.Sean x e y las dos partes en que se divide B, x la mayor.x/6 = B/10 x = 6B/10y/6 = B/15 y = 6B/15Como B = x+y. Sustituyendo:B = 6B/10 + 6B/15; o bien:

B = 3B/5 + 2B/5. Igualdad que siempre se cumple para cualquier valorde B.


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TRINGULOS y CUADRILTEROS

En la figura adjunta el tringulo rectngulo tiene el vrtice en centro delcuadrado. Cul es el rea de la parte sombreada?


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SOLUCIN

Observe que los tringulos sombreados de la figurason iguales por ser el tringulo rectngulo. El rea

de la sombra es la cuarta parte del rea delcuadrado.

Es decir, 36/4 = 9.


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La Mediana

Probar que cada mediana de un tringulo es menor que el promedio de loslados adyacentes. En la figura adjunta, probar que x < (a+b)/2.


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SOLUCIN

Slo hay que repetir un tringulo igual al primitivo, opuesto por labase, como se muestra en la figura adjunta.

Es evidente que la diagonal de un cuadriltero no puede sermayor que la suma de dos lados consecutivos. Dividiendo pordos la diagonal queda la mediana del tringulo, que por tanto

no puede ser igual o mayor que la semisuma de los mismoslados.


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rea

Las reas rayadas de la luna y el tringulo, son iguales?


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SOLUCIN

S, son iguales. Veamos:(AB)2 = R2 + R2 = 2R2rea del cuadrante = PiR2/4rea del tringulo = R2/2rea del segmento de arco AB = PiR2/4 - R2/2rea de la luna = Pi(AB)2/8 - (PiR2/4 - R2/2) = PiR2/4 - PiR2/4 + R2/2 =

R2/2.


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SUPERFICIE

La zona sombreada representa un lago. Cul es la superficie del lago?Los terrenos que lo limitan son cuadrados.


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SOLUCIN

El lago es un tringulo rectngulo. Parahallar su rea, basta saber la longitud de loscatetos: rea = 5x12/2 = 30 m.

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