1. LO QUE DEBO LOGRAR

Interpreta las operaciones entre conjuntos en problemas literales. Grafica operaciones entre conjuntos mediante el diagrama de Venn. Resuelve problemas literales con conjuntos, haciendo uso de procedimientos lgicos. 2. ACTIVIDADES A. Preliminares: B. Aprendo:

Relaciones y funciones

Par Ordenado: Es un conjunto formado por dos elementos dispuestos en determinado orden:

Propiedades:

1. (a; b) ( (b; a) (no conmutativa)

2. Si: (a; b) = (c; d) ( a = c ( b = d

PRODUCTO CARTESIANO

Dados los conjuntos A y B no vacos; se llama producto cartesiano A x B al conjunto de pares ordenados (a; b) donde a ( A y b ( B; es decir:

A x B = {(a; b) /a ( A ( b ( B}

Propiedades:

1. A x B ( B x A

2. n(A x B) = n(A) n(B)Relacin:

Definicin:Sean a y b dos conjuntos no vacos se llama relacin de A en B, a todo subconjunto R de A x B es decir:

R es una relacin de a en B ( R(A x B

En particular si A = B, R se llama una relacin en A ( relacin entre elementos de A).

La definicin anterior de relacin exige la comparacin de elementos por pares, por eso suele llamarse relaciones BINARIASEjemplo:

En el conjunto A = {9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1}

Establecemos las siguientes, relaciones:

a es el doble de b*

a es igual a b*

Escribir los pares que cumplen las relaciones respectivamente.

Sea:

R1 = {(a, b) /a es el doble de b}

R1 = {(2,1) (4,2) (6,3) (8,4)}

R2 = {(a1 / b) es igual a b}

R2 = {(1,1) (2,2)(3,3)(4,4)(5,5)(6,6)(7,7)(8,8)(9,9)}

Si R es una relacin entre elementos de A y B al conjunto A se llama conjunto de partida de la relacin y a B conjunto de llegada Se llama dominio de una relacin R al conjunto de todos los elementos a ( A tales que existe por lo menos un b ( B con (a, b)(R Se llama rango de una relacin R al conjunto de todos los elementos b ( B tales que existe por lo menos un a ( a con (a, b) ( R.

Ejemplo: De la relacin:

R1 = {(1, 2)(2, b)(2, 7)(3, 2)(1, 2)}

DR1= {1; 2; 3}

RR1 = {2, b, 7, 2}

DR1 =

RR1 =

FUNCIONES

Definicin: Sean A y b dos conjuntos no vacos (pudiendo ser A = B) llamaremos funcin definida en A los valores en B (funcin de A en B) a toda relacin:

f ( A x B que tiene la propiedad:

(a, b) ( f y (a, c) ( f, entonces b = c

Es decir, una funcin f es un conjunto de pares ordenados de elementos, tal que dos pares distintos nunca tienen el mismo primer elemento.

Notacin: Si f es una funcin de A en B se designa por:

f

f : A ( B A ( B

Se lee f es una funcin de A en B

Ejemplos:

f = {(a, 2) (b, 1) (c, 1)} Es funcin

Si a ( b ( c, luego, no es funcin porque se repite el 1er componente.

Si; a = c ( b, es funcin

Toda funcin es una relacin, pero no toda relacin es una funcin.

Ejemplo: Hallar los valores de a y b para que el conjunto de pares ordenados sea una funcin:

A = {(2, 5)(1, 3)(2, 2a b)(1; ba)(a + b2, a)}

Resolucin: En una funcin 2 pares distintos nunca tienen el mismo primer elemento.

( (2,5) y (2,2a - b) ( A ( 5 = 2a - b.......... (1)

(-1,3) y (1, b - a) ( A ( b = a = -3..... (2)

De (1) y (2) resolviendo a = 2 ( b = 1

( f= {(2, 5) (1, 3) (3, 2)}

* Si f es una funcin de A en B el conjunto A se llamar conjunto de partida de la funcin y B el conjunto de llegada.

(El dominio de una funcin f, se designa por Df y se define como el conjunto siguiente:

Df = {x ( A/ ( y tal que (x, y) ( f}

Es decir son las primeras componentes de los pares ordenados

(El rango (o imagen) de una funcin f, se designa por Rf o imf y se define como el conjunto siguiente:

Rf = {y ( B/( x tal que (x, y) ( f}

Es decir son las segundas componentes de los pares ordenados.

(Si el par ordenado (a, b) ( f escribiremos:

b = f(a) y diremos que b es imagen de a por f (o tambin, que b es el valor de f en a).

f = {(a, b) ( A x b/b = f(a), a ( Df}

Ejemplo: Sea la funcin:

f = {(2, 3)(3, 4)(7, 3)(2, 6)(4, 1)}

Hallar: M =f(2) + f(3) +f(7) +f(-2)+f(3)

Resolucin:

Como f(2) = 3; f(3) = 4; f(7) = 3

f (-2) = 6; f(4) = 1

(M = 18

Regla de Correspondencia: Para que se pueda definir bien una funcin es suficiente conocer su dominio (Df), y una regla que permita asignar para cualquier x ( Df, su imagen f(x).

Ejemplo: Hallar el dominio en las siguientes funciones:

a)f = {(2, 3)(4, 5)(6, 3)(2, 1)}

Df = { 2, 4, 6, 2 }

Ejemplo: Hallar el rango de las siguientes funciones:

a)f = {(2, 3) (4, 6) (5, 7)(7, 6)(2, 3)}

Rf = {3, 6, 7, 3}

C. Desarrollo en Aula

Si: F = {(5; 3), (4; a + 4b), (8; 3), (4; 2a 3b)}

Representa una funcin, el valor de es:

a) 4b) 2c)

d) 3e) 7

02.Si: G = {(6, 4)(3, 6),(3, |x|), (x, 5)}

Representa una funcin su rango y dominio son:

a) {6, 6, 5} ; {3,6}

b) {3,6,6} ; {3; 6}

c) {4, 6, 5} ; {3, 6, 6}

d) {4, 6, 5, 6} ; {3, 6, 6}

e) {4; 6; 5} ; {3, 6}

03.A partir de: f = {(5,2)(4,1) (3,8) (7,6)}

Hallar: f(4) + f(5) f(7)

a) 3b) 3c) 9

d) 6e) 6

04.Si: g = {(4, 2) (5, a), (8, b), (3, 1)}

Y adems: g(5) = 10; g(8) = 4.Hallar:

f(4) + a b

a) 2b) 6c) 4

d) 3e) 8

05.Sea f = {(x, y) / y = 2x 1}

Y adems Dom f = x ( {5, 2, 3, 4}

Hallar el rango de f

a) {4, 1, 2, 3}b) {4, 1, 2, 3}

c) {11, 5, 3, 7}d) {9, 5, 3, 7}

e) {9, 3, 5, 7}

06.Dada; la funcin:

G = {(x, y) ( N x N/ y = 2x ( 3 ( x ( 10}

Indique uno de sus elementos:

a) (4, 8)

b) (12, 6)c) (4,8)

d) (8, 4)

e) (3,12)

Hallar el Rango de: f(x) = x2 6x 10

Si su dominio est dado por: x ( [2, 1>

a)

c) x ( [4; 8>

d) x ( [4, (>

e) x ( [4, 8]

D. Desarrollo en Casa Sea la funcin F tal que:

F = {(2; 5); (3; a2); (2; a + b); (3; 4); (b; 5)}

Hallar: ab

a) 14b) 6

c) 6

d) 14e) 21

02.Si F representa a una funcin dada por:

F= {(3; 7a + 2b); (2; 5); (2; a + 2); (3; 5b2a)}

Diga cul de los conjuntos son tambin funciones:

P = {(a; b); (b a; 5); (5; b a); (a + b; 5)}

Q = {(3; b); (b; 3); (3; 8); (9; 2a b)}

R = {(3; 5); (9; 7); (b; a); (5a; 3b)}

a) P y Qb) Slo Pc) slo R

d) Q y Re) P y R

1. Sea el costo de una tela en funcin de su medida x denotado por:

C(x) = x + 1 (en soles)

para 3 metros de tela cuanto debe invertir. (en soles)

a) 1

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

2. Sea la funcin: f(x) = 5x + 3

Hallar:

a) 17

b) 18

c) 19

d) 20

e) 21

1. Si: F = {(2; a + 3), (2; 2a - 1), (4; b + 3), (a; 3b-1)}

es una funcin, calcular: a - b

a) 4

b) 10

c) 6

d) 8

e) 2

Qu grfica no representa funcin?

a) Slo Ib) Slo IIc) Slo III

d) I y IVe) I, III y V

MDULO

02

SESIN 03

PROBLEMAS DE APLICACIN EN CONJUNTOS

TEORA DE CONJUNTOS

I N S T I T U C I N E D U C A T I V A P A R T I C U L A R M A R A Y L O S A N G E L E S

ASIGNATURA: ARITMTICA / NIVEL: SECUNDARIA / GRADO: 1 / DOCENTE: CORPUS MECHATO MERCEDES

PROBLEMAS ENTRE CONJUNTOS

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