2.1 Los problemas de la tangente y la velocidad:

2.1.1 La tangente

La palabra tangente se deriva de la palabra latina tangens que significa “tocar”, una tangente es una recta que toca a una curva en un punto de contacto, la tangente es el limite cuando tratamos de hallar la tangente de una curva o la velocidad de un objetivo

2.1.2 La velocidad

Para los problemas de velocidad se pueden desarrollar de muchas maneras, pero si deseamos hallar la velociada en un cierto instante y solo tenemos la grafica del espacio en relación del tiempo entonces es necesario utilizar un nuevo concepto , para este concepto se utiliza la tangente de este

Problemas de tangente y velocidad:

3. Un punto P(1;12

) se encuentra en la curva y =x1+ x

(a) si Q es el punto (x: x1+ x ) use su calculadora para hallar la pendiente de la recta secante

PQ para los siguientes valores de x :

Si

a)

x = 0.5 , y = 0.33 , pendiente = 0.333

x = 0.9 , y= 0.4736 , pendiente = 0.263157

x = 0.99 , y= 0.4974 , pendiente = 0.25125

x = 0.999 , y= 0.49974 , pendiente = 0.2501

x = 1.5 , y= 0.6 , pendiente = 0.2

x = 1.1 , y= 0.5238 , pendiente = 0.23809

x = 1.01 , y= 0.50248 , pendiente = 0.24875

x = 1.001 , y=0.50024 , pendiente = 0.2498

b)pendiente en el punto P(1;12

) = 0.25

c) recta de la pendiente

y - 0.5 = 0.25( x – 1 )

5) si una pelota se lanza al aire con una velocidad de 40ft/s su altura en pie t segundo mas tarde esta dada por y = 40t – 16.t

a) si y2 = 16, y2.5 = 0, y2.01 = 15.7584, y2.05 = 14.76,

I en 0.5 segundos es -32 ft/s

II en 0.1 segundos es -15.6 ft/s

III en 0.05 segundos es -24.8 ft/s

IV en 0.01 segundos es -24.16 ft/s

b) Hallando con la derivada, la velocidad en 2 segundos seria -24 ft/s

6)si una piedra se lanza hacia arriba en Marte, con una velocidad de 10m/s, su altura en metros t segundos después esta dada por y= 10t – 1.86t

Si

y1 = 8.14, y2 = 12.56 , y 1.5 = 10.815 , y1.1 = 8.7494,y1.01 = 8.2026, y 1.001 =8.146278

a) V(1 , 2) =4.42 m/s , V(1, 1.5) = 5.35 m/s , V( 1, 1.1 )= 6.094 m/s , V( 1 , 101)= 6.26 m/s, V(1,1001) =6.278 m/s

b) Entonces la velocidad en V2 seria 6.28 m/s

7 Con los datos dados hallar :

a)

I)T(1,3) = 4.65 m/s

II)T(2.3) = 7.8 m/s

III) T(3.5) = 7.55 m/s

IV) T(3.4) = 7 m/s

c) Hallando la velocidad instantánea en t= 3 es igual a 7.566646m/s

8) Sea

S = 2sen(πT) + 3cos(π t ¿

Derivando la ecuación se tiene se tiene

V = 2cos (π t ¿ -3sen(π t ¿

Entonces:

S1 = 3.10507878m; S2 = 3.20086m ; S1.1 = 3.1151m : S1.01 = 3.1061031m ; S1.001 = 3.105199 m

a) I) (1.2) = 0.09576 m/sII) (1; 1.2) = 0.1000132 m/sIII) (1.01) = 0. 100432 m/sIV) (1;1.001)= 0.100478 m/s

b) Entonces la velocidad sera de -0.998497 m/s