problemas de varios grados de libertad

8/12/2019 Problemas de Varios Grados de Libertad

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UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN

DINAMICA ESTRUCTURAL Pgina 1

SISTEMA DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD

PROBLEMA 1

Para el marco rgido de acero de la figura determinar:

a) Las frecuencias naturalesb) Los modos naturales de vibrar

Los pesos de los pisos estn indicados en la figura y se supone que incluyen el pesode la estructura. El edificio consiste de una serie de marcos espaciados a 4.5 m. sesupone que las propiedades estructurales son uniformes a lo largo de la longitud deledificio y, por consiguiente, el anlisis ser hecho para un marco interior querepresenta la respuesta del edificio completo.

15 ft

10 ft

30 ft

W2 = 50 lib/ft

10 WF 21

20 psf

W1 = 100 lib/ft

20 psf

10 WF 45

x2

x1

m1 m2k1

k2

x1 x2


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m1 m2x1 k2k1 x1

(x2-x1)

x2

SOLUCION:

Este edificio cortante puede representar por medio del sistema masa-resorte. Las masasconcentradas debidas al peso total de los pisos y los muros tributarios se calculan de lasiguiente manera:

Debido a que se supone que las trabes son rgidas, la rigidez de cada piso est dada por:

Y los valores individuales para las secciones de las columnas de acero indicadas son:

Las ecuaciones de movimiento para este sistema en vibraciones se obtienen con la ayudade la figura mostrada como:

Y la solucin para estas ecuaciones se supone de la forma:

(b)

Sustituyendo las ecuaciones (b) y sus derivadas en la ec. (a) y colocando los resultadosobtenidos en forma matricial:

(a)


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[ ] a) Para obtener un solucin no trivial, haremos el determinante de la matriz de

coeficientes igual a cero, es decir:

[ ] El desarrollo de este determinante da una ecuacin cuadrtica en ,

( ) Introduciendo valores numricos:

Aplicando la formula general, obtenemos las races de esta ecuacin como:

Por consiguiente, las frecuencias naturales de la estructura son:

O en ciclos por segundo.

Y los correspondientes periodos naturales son:

(c)

(d)

(e)

(f)


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b) Al igualar el determinante a cero el nmero de ecuaciones independientes delsistema (c) es una menos, es decir, el sistema se reduce a una ecuacinindependiente. Considerando la primera ecuacin del sistemas (c) y sustituyendola primera frecuencia natural, , obtenemos.

El segundo subndice en y indica que se uso . Debido a que tenemos dosincgnitas y una sola ecuacin independiente, la ec. (g) se resuelve solo para el valorrelativo de a .

Este valor relativo es el modo natural correspondiente a la primera frecuencia. Escostumbre darle un valor unitario a una de las amplitudes; as, para el primer modoharemos =1 y obtenemos:

En forma similar, sustituyendo la segunda frecuencia natural en (c), obtenemos elsegundo modo natural como:

Ilustrando grficamente los modos naturales de vibracin tenemos:

1.263

1

-1.629

1

Primer Modo Segundo Modo


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PROBLEMA 2

Para el edificio de cortante del problema resuelto anteriormente. Determinar las formasnormalizadas y verificar la condicin de ortogonalidad entre modos.

SOLUCION:

Primeramente, calcularemos el factor de normalizacin dado por la ec.

Sustituyendo los valores numricos de las masas y los modos naturales de vibracincalculados en el Problema anterior, obtenemos:

Ahora, aplicando la ecuacin se obtiene las formas modales normalizadas.

Por lo tanto la matriz modal normalizada para este caso es,


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Para verificar la condicin de ortoganalidad entre los modos aplicaremos la ecuacin.


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EXITACION EN LA BASE

PROBLEMA 1

El prtico de dos pisos del ejemplo anterior es sometido, a nivel de los pisos, a las fuerzasimpulsivas triangulares representadas en la figura. Para este prtico determinar losdesplazamientos mximos de los pisos y las fuerzas cortantes mximas en las columnas.

SOLUCION:

Los resultados obtenidos, dan para este prtico los siguientes valores para las frecuenciasnaturales y modos normales.

15 ft

10 ft

30 ft

10 WF 21

10 WF 45

x2

x1

F 2 (t)

F 1(t)

m 2

m 1

Las fuerzas aplicadas a este prtico, los cuales se muestran en la figura puedenexpresarse como:


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Donde y La aplicacin de estos valores en las ecuaciones desacopladas del movimiento,ecuaciones, da

Reemplazando:

Los valores mximos para y pueden, entonces obtenerse de diagramas espectrales

disponibles. Para este ejercicio.

De la figura obtenemos

Donde las deformaciones estticas se calculas como:

Por consiguiente la respuesta mxima modal ser:

Como se ha indicado anteriormente, estos valores modales mximos no ocurrensimultneamente y, por lo tanto, no pueden simplemente ser superpuestos para obtener la


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respuesta mxima del sistema. Sin embargo, un lmite superior para el desplazamientomximo absoluto, puede calcularse con las siguientes ecuaciones:

| | | | | | | |

Reemplazando:

| | | | | | | | La fuerza cortante mxima, en las columnas est dada por

En la que k es la rigidez de las columnas del piso y la diferencia de los

desplazamientos en los dos extremos de las columnas. Puesto que estosdesplazamientos pueden ser positivos o negativos, el desplazamiento relativo nopuede calcularse por la diferencia de valores mximos absolutos. El valor mximo posiblepara podra estimarse como la suma de los desplazamientos mximos (valoresabsolutos) en los extremos de las columnas. Sin embargo, este procedimiento, en lamayora de los casos sobre estima enormemente la fuerza presente en las columnas.

La fuerza cortante mxima, en las columnas del piso i correspondiente al modo j estadado por:

( ) Donde es la respuesta modal mxima, ( ) el desplazamiento relativo delpiso i y la rigidez del piso.Para este ejercicio la columna del primer piso, tenemos:

Y para la columna del segundo piso


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