problemas de propiedades de logaritmos...

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Problemas de propiedades de logaritmos 1) Simplifica 2 4 ln( ) ln x ex x + Solución: 2 4 ln( ) ln x ex x + 1 1 2 2 4 1 2 2 2 2 ln( ) ln( ) 1 ln( ) ln( ) 4 1 1 ln (ln ln ) 2 4 1 1 1 ln ln ln 2 4 4 1 1 2 ln ln 2 4 4 1 1 1 ln ln 2 4 2 1 4 x ex x x ex x e x x e x x x x x = + = + =− + + =− + + =− + + =− + + = 2) Expresa como un solo logaritmo, 2 log( 1) log 3 2 x x + = Solución: 2 2 1 1 2 3 2 3 2 3 2 log( 1) log 3 2 1 1 log( 1) log 3 2 log( 1) log log 1 log 1 log x x x x x x x x x x + = + = + = + + = 3) Expresa como un solo logaritmo, 2 2 2 2 log (3 ) log 3 4 log log ( ) x x xy + = Solución: 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 4 2 2 5 2 4 2 log (3 ) log 3 4 log log ( ) log (3 ) 4log log 3 log ( ) log (3 ) log (log 3 log ( )) log (3 ) log (3 ) 3 log 3 log x x xy x x xy x x xy xx xy x xy x y + = + = + + = = =

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Page 1: Problemas de propiedades de logaritmos wilfredomath.uprm.edu/academic/courses-help/mate3171/0910I/prop_log.pdf · 7) Expresa como un solo logaritmo a 3 3 3 3 3 1 1 log 5 2log log

Problemas de propiedades de logaritmos

1) Simplifica 24ln( ) lnx

exx

+

Solución:

24ln( ) lnx

exx

+

112

2 4

1

22

2

2

ln( ) ln( )

1ln( ) ln( )

4

1 1ln (ln ln )

2 4

1 1 1ln ln ln

2 4 4

1 1 2ln ln

2 4 4

1 1 1ln ln

2 4 2

1

4

xex

x

x ex

x e x

x e x

x x

x x

= +

= +

= − + +

= − + +

= − + +

= − + +

=

2) Expresa como un solo logaritmo, 2log( 1) log

3 2

x x+− =

Solución:

2

2

1 1

2 3 2

3 2

3 2

log( 1) log

3 2

1 1log( 1) log

3 2

log( 1) log

log 1 log

1log

x x

x x

x x

x x

x

x

+−

= + −

= + −

= + −

+=

3) Expresa como un solo logaritmo, 2 2 2 2log (3 ) log 3 4log log ( )x x xy− + − =

Solución:

2 2 2 2

2 2 2 2

4

2 2 2 2

4

2 2

5

2

4

2

log (3 ) log 3 4log log ( )

log (3 ) 4 log log 3 log ( )

log (3 ) log (log 3 log ( ))

log (3 ) log (3 )

3log

3

log

x x xy

x x xy

x x xy

xx xy

x

xy

x

y

− + −

= + − −

= + − +

= −

=

=

Page 2: Problemas de propiedades de logaritmos wilfredomath.uprm.edu/academic/courses-help/mate3171/0910I/prop_log.pdf · 7) Expresa como un solo logaritmo a 3 3 3 3 3 1 1 log 5 2log log

4) Si log 2 .30b = y log 3 .48b = halla log 216b

Solución:

3 3

log 216

log 27(8)

log 27 log 8

log 3 log 2

3log 3 3log 2

3(.48) 3(.30)

1.44 .90

2.34

b

b

b b

b b

b b

=

= +

= +

= +

= +

= +

=

5) Expresa como una suma de logaritmos a 23ln x y =

Solución:

( )( )

23

1

2 3

2

2

1

2 2

ln

ln

1ln

3

1(ln ln )

3

1 1ln ln

3 3

2 1 1ln ln

3 3 2

2 1ln ln

3 6

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

=

=

= +

= +

= +

= +

6) La venta anual de autos está dada aproximadamente por ( ) 1.66 1.91lnf t t= + en millones de

autos vendidos donde 1t = corresponde a el año 2001.

a) ¿Cuántos autos se venderán en 2007?

b) ¿En que año se llegará a 6 millones de autos vendidos?

Solución:

a) En el 2007 se venderán aproximadamente

(7) 1.66 1.91ln 7 1.66 1.91(1.95)

1.66 3.72 5.38

f = + = +

= + =

b) Hallar el valor de t para el que ( ) 6f t =

2.27

1.66 1.91ln 6

1.91ln 4.34

4.34ln 2.27

1.91

9.67

t

t

t

t e

+ =

=

= =

= ≈

Aproximadamente en el año 2010.

Page 3: Problemas de propiedades de logaritmos wilfredomath.uprm.edu/academic/courses-help/mate3171/0910I/prop_log.pdf · 7) Expresa como un solo logaritmo a 3 3 3 3 3 1 1 log 5 2log log

7) Expresa como un solo logaritmo a 3 3 3 3 3

1 1log 5 2 log log 3log log

2 4x y z w− − + +

Solución:

( ) ( )

3 3 3 3 3

1 1

3 24 23 3 3 3 3

3 243 3

3 4

3 2

1 1log 5 2log log 3log log

2 4

log 5 log log log log

log 5 log

5log

x y z w

z w x y

z w x y

z w

x y

− − + +

= + + − +

= −

=

8) Expande como una suma de logaritmos a 2

3log

x y

y

Solución:

( )

( ) ( )

12 12 2 33 2

3

2 2

2

log log log log log

1 1 1 1log log log log log

2 3 2 3

1 1 1 1log log log log log

2 2 3 6

x yx y y x y y

y

x y y x y y

x y y x y

= − = −

= − = + −

= + − = +

9) ¿Cuál de las siguientes fórmulas no es cierta?

a) ( )ln ln lnxy x y= +

b) ( )ln ln lnx y x y− = −

c) ln lnnx n x=

Solución: b) no es cierta

10) Simplifica a ( ) ( )2 2

2 2 2log 2 2 2log log 2 2x x x+ + − + + −

Solución:

( ) ( )( )( )

2 2

2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 22 2

log 2 2 2log log 2 2

2 2 2 2log

2 2log log log 1 0

x x x

x x

x

x x

x x

+ + − + + −

+ + + − =

+ −= = = =

Page 4: Problemas de propiedades de logaritmos wilfredomath.uprm.edu/academic/courses-help/mate3171/0910I/prop_log.pdf · 7) Expresa como un solo logaritmo a 3 3 3 3 3 1 1 log 5 2log log

11) Si ( )2log 5 3 3x + = ¿Cuánto es x?

Solución:

( )2log 5 3 32 2

5 3 8

5 5

1

x

x

x

x

+ =

+ =

=

=

12) Expande a 2

3 3

9log

x x y

y

+=

Solución:

( )

2

2 3

3 3 3 3 33

3 3 3

9log log 9 log log log

12 2log log 3log

2

x x yx x y y

y

x x y y

+= + + + −

= + + + −

13) 2 2

8log 8

x y+ =

Solución:

2 22 2

8log 8

x yx y

+ = +

14) Simplifica 1

3ln ln2

x x− =

Solución:

( )213ln ln 3ln ln 2 ln ln

2

ln

x x x x x x

x

− = − = =

=

15) ( )100log .01− =

a) 2−

b) 1−

c) 1

d) no está definido

Solución:

d) no está definido