problemas de masa capitulo 18 y 25

8/18/2019 Problemas de Masa Capitulo 18 y 25

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IQ-20311

Problemas

Universidad de Guanajuato

División de Ciencias Naturales y Exactas

Campus Guanajuato

Departamento de Ingeniería Química

Transerencia de masa

IQ!"#$$

Dr% &gustín '% Uri(e 'amíre)

*+ro(lemas de distri(uciones de concentración en

sólidos y lujo laminar,+resentan-

.ar(a +i/a 0os1 2oren)o &lejandro

'odrígue) .adillo 31ctor 3ugo

2ópe) Gon)ales 2uis &rturo

4u/o) 'ui) 5rancisco

Esco(ar 'i)o 6mar 7alles Ga(riela


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IQ-20311

Problemas

INDICE +8gina

I% 'esumen99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999: a #;

II% Distri(uciones de concentración en sólidos y lujo laminar

$=%&$99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999:;9#?

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IQ-20311

Problemas

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III% 5undamentos de la transerencia de masa

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IQ-20311

Problemas

RESUMEN

Ecuaciones Diferenciales de la Transferencia de Masa.

Balance total de masa (Ecuación de Continuidad)

.alance microscópico de masa total para un elemento dierencial de volumen

estacionario y ijo en el espacio aplicando la expresión general-

Salidas-entradas + eneración ! acumulación

En este caso no ay t1rmino de generaciónB por el principio de conservación de materia%

Esto es cierto excepto en el caso de reacciones nucleares en las ue la masa puedeconvertirse en energía y viceversaB pero en todos los sistemas de inter1s en Ingeniería

Química se puede admitir ue la masa se conserva como tal%

2a deducción se ar8 en coordenadas rectangulares y un volumen de control Euleriano de

dimensiones ∆xB ∆y y ∆)% la viscosidad del luido en un puntoB ρ y 7xB 7yB 7) las

componentes de la velocidad%

y yVy

Λ+ ρ

z z Vz

Λ+ ρ

xVx ρ

z Vz ρ

yVy ρ

x xVx

Λ+ ρ

y

x

z

zy

x


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IQ-20311

Problemas

Cantidad de masa de entrada al elemento diferencial:

t x yV t z xV t z yV z z y y x x

∆∆∆+∆∆∆+∆∆∆ ρ ρ ρ

Cantidad de masa de salida del elemento diferencial:

t x yV t z xV t z yV z z z y y y x x x ∆∆∆+∆∆∆+∆∆∆ ∆+∆+∆+ ρ ρ ρ

Cantidad de masa acumulada en el volumen de control en t:

z y x z y xt t t

∆∆∆−∆∆∆∆+

ρ ρ

Cantidad de masa generada en el elemento diferencial:

Generación F "

Entradas 9 alidas H generación F acumulación

+ara este caso-

Entradas alidas acumulación F "


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IQ-20311

Problemas

t x yV t z xV t z yV z z y y x x

∆∆∆+∆∆∆+∆∆∆ ρ ρ ρ 9

t x yV t z xV t z yV z z z y y y x x x ∆∆∆+∆∆∆+∆∆∆ ∆+∆+∆+ ρ ρ ρ 9

z y x z y xt t t ∆∆∆−∆∆∆ ∆+ ρ ρ

F"

'eagrupando t1rminos-

Dividiendo la expresión anterior por- ∆xB ∆yB ∆) y ∆t-

0)()()()(

=∆

−+

∆−

+∆

−+

∆−

∆+∆+∆+∆+

t z

V V

y

V V

x

V V t t t z z z z z y

y y y

y x x x x x

ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ

tomando el limite cuando ∆xB ∆yB ∆) y ∆t tienden a cero-

0)()()()(

0000=

∆−+

∆−+

∆−+

∆− ∆+

→∆

∆+

→∆

∆+

→∆

∆+

→∆ t Lim

z

V V Lim

y

V V Lim

x

V V Lim t t t

t

z z z z z

z

y y y y y

y

x x x x x

x

ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ

0)()()( =∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

z y x V z

V y

V xt

ρ ρ ρ ρ

Esta Jltima expresión es el (alance microscópico total de masa o la llamada ecuación de

continuidadB en su orma vectorial se escri(e-

0)( =⋅∇+∂∂V

t ρ ρ

Donde-

ρ F densidad del luido

7 F velocidad del luido %

0)(

)()()(

=∆∆∆−+

∆∆∆−+∆∆∆−+∆∆∆−

∆+

∆+∆+∆+

y z x

t x yV V t z xV V t z yV V

t t t

z z z z z y y y y y x x x x x

ρ ρ

ρ ρ ρ ρ ρ ρ


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IQ-20311

Problemas

El primer termino de esta ecuación es el termino de acumulaciónB y nos da la variación

con el tiempo de la masa < por unidad de volumen> dentro del elemento dierencial de

controlB y el segundo termino nos indica la velocidad neta de masa < por unidad de

volumen> ue atraviesa los limites del volumen dierencial de control% El termino de

generación% Como ya se a(ía mencionadoB es igual a cero%

2a ecuación deducidaB se puede expresar en orma 2agrangianaB reali)ando las derivadas

parciales de los productos ρ7i-

0=∂∂

+∂

∂+

∂∂

+∂

∂+

∂∂

+∂

∂+

∂∂

z V

z

V

yV

y

V

xV

x

V

t z

z y

y

x x ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

ρ

&grupando t1rminos-

0=

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

z

V

y

V

x

V

z V

yV

xV

t

z y x

z y x ρ ρ ρ ρ ρ

Que en orma vectorial nos ueda-

0=⋅∇+∇⋅+∂∂

V V t

ρ ρ

ρ

&plicando el concepto de derivada sustancial-

0=⋅∇+ V Dt

D ρ

ρ

Que es la ecuación de continuidad en orma 2agrangiana%

Caso "articular.Una orma muy importante de la ecuación de continuidad es la ue corresponde a un

luido incompresi(leB para el cual la densidad es constanteB es decirB no varia ni con la

posición ni con el tiempo% En este casoB la ecuación de continuidad se reduce a-

0=⋅∇ V luidos incompresi(les%


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Problemas

#$ ECU$C%&N D%'ERENC%$# DE TR$NS'ERENC%$ DE M$S$

&nali)ando el volumen de control z y x ∆∆∆

B a trav1s del cual est8 luyendo una me)cla%

7olumen de control dierencial

Az z z n

+∆

y∆ Ax xn

z ∆

Ay y yn

+∆ Ay yn

z

x∆

Ax x xn

+∆

y Az z n

x

2a expresión de volumen de control para la conservación de masa es-

( ) 0.

.

=∂∂+⋅ ∫∫∫ ∫∫ vcS C

dV t

dAnv ρ ρ

2a cual en pala(ras se puede escri(ir como


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IQ-20311

Problemas

Rapidez neta de Rapidez neta de flujo de

acumulación de masa dentro masa que sale del 0

del volumen de control volumen de control

+ =

i se estudia la conservación de especie determinadaB resta relación de(e incluir un

t1rmino ue corresponde a la producción o desaparición de & pro medio de una reacción

uímica ue ocurra dentro del volumen%

2a relación general para el euili(rio de la masa de la especie & es-

Rapidez neta de Rapidez neta de flujo de Rapidez neta de producción

acumulación de masa de A dentro masa de A que sale del de A dentro del

del volumen de control volumen de control

+ −

volumen 0

de control

=

2a rapide) neta de lujo de masa del volumen de control se puede calcular tomando en

cuenta la masa transerida a trav1s de la supericie de control%

2a masa de & transerida a trav1s del 8rea z s∆∆

B en xB ser8 x x A A

z yv ∆∆. ρ B o en unción

del lujo B A A A vn ρ =

B sería x x A

z yn ∆∆,% +or lo tanto la rpide) de lujo de masa de la

especie &B ser8-

En la dirección de x- x x A x x x A

z yn z yn ∆∆−∆∆∆+ .,

En la dirección de y- y y A y y y A

z x yn y xn ∆∆−∆∆∆+ .,

En la dirección de )-

z z A z z z A x yn x yn ∆∆−∆∆

∆+ .,

+or lo ue la acumulación de & en el volumen de control es

z y xt

A ∆∆∆∂

∂ ρ


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Problemas

i & se produce dentro del volumen de control por medio de una reacción uímica a una

rapide) r &B donde r & tiene la unidades L B por lo

ue el t1rmino de rapide) de producción de & es-

z y xr A

∆∆∆

i se suman cada uno de los t1rminos de lujo y acumulación se o(tiene la ecuación-

0,,

,,,,

=∆∆∆−∆∆∆∂

∂+∆∆−∆∆+

∆∆−∆∆+∆∆−∆∆

∆+

∆+∆+

z y xr z y xt

y xn y xn

z xn z xn z yn z yn

A A

z z A z z z A

y y A y y y A x x A x x x A

ρ

Dividiendo la ecuación anterior entre el volumen z y x ∆∆∆

del elemento dierencial se

o(tiene la expresión%

0,,

,,,,

=−∂

∂+

∆

−+

∆

−+

∆

−

∆+

∆+∆+

A A z z A z z z A

y y A y y y A x x A x x x A

r t z

nn

y

nn

x

nn

ρ

Tomando el límite cuando z y x ∆∆∆

tienden a ceroB se o(tiene

0,,, =−

∂∂

+∂

∂+

∂

∂+

∂∂

A

A z A y A x A r t z

n

y

n

x

n ρ

Ecuación de continuidad del componente &

En la cual se o(serva ue z A y A x A nnn ,,,

son las componentes recatangulares del vector de

lujo de masa n & y la ecuación de continuidad se puede escri(ir como


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IQ-20311

Problemas

0=−∂

∂+•∇ A

A A r

t n

ρ

+ara un componente . se o(tiene una ecuación semejante siguiendo el mismo

procedimiento%

0,,, =−

∂∂

+∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

z y x r t z

n

y

n

x

n ρ

0=−∂

∂+•∇

r

t n

ρ

Donde el termino r . representa la rMpide) con la ue se producira . dentro del volumen de

control por una reacción uímica%

umando las ecuaciones de continuidad para componente & y .

( ) ( )

( ) )1.....(..........0=+−∂+∂

++•∇ A A

A r r t

nn ρ ρ

+ara la me)cla (inaria & y . se tiene

A

A

A A A

r r

vvvnn

−==+

=+=+ ρ ρ ρ

ρ ρ ρ

ustituyendo estas ecuaciones en $ se o(tiene

0=∂

∂+•∇

t

ρ ρν

Ecuación de continuidad para la me)cla

la ecuación de continuidad de la me)cal y de una especie dada B se pueden escri(ir en

unción de la derivada sustancial%


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IQ-20311

Problemas

0=+•∇ Dt

D ρ ν ρ

la ecuación de continuidad de la especie & en unción de la derivada sustancial es

0=−•∇+ A A A r !

Dt

Dω ρ

para unidades molares es de modo semejanteB donde ' & representa la rapide) de

producción molar . por unidad de volumenB las ecuaciones se expresan%

Componente A:

0=−∂

∂+•∇ A

A A "

t

c #

componente B:

0=−∂

∂+•∇

"

t

c #

para la mezcla

( ) ( )

( ) 0=−−∂−∂

+−•∇ A A

A " "t

cc # #

por lo ue la para las me)cla (inaria de & y . se tienen las relaciones%

ccc

cvvcvc # #

A

A A A

=+=+=+

cuando la esteuiometría de la reacción es


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IQ-20311

Problemas

A ⇔

en la cual se esta(lece ue se produce una mol de . por cada mol de & ue desaparece

( ) 0=+−∂∂+•∇ A " "t

ccV

Ec% de continuidad de la me)cla en unidades molares

'M$S ES"EC%$#ES DE #$ ECU$C%&N D%'ERENC%$# DE TR$SN'ERENC%$ DE

M$S$

2as ormas especiales de la ecuación de continuidad v8lidas en situaciones especiales B

aparecen a continuación% +ara utili)arlas se rempla)an los lujos n & y N &

( ) )1.(.......... A A A A A # # y ycD # ++∇−=

ue es euivalente a

)2.....(....................V c ycD # A A A A +∇−=

para la ecuación( ) )3..(.......... A A A A A nn Dn ++∇−= ω ω ρ

su euivalente es

)....(....................v Dn A A A A ρ ω ρ +∇−=

al sustituir la ecuación # en-

0=−∂

∂+•∇

r

t n

ρ

se o(tiene

)!...(....................0. =−∂

∂+•∇+∇•∇− A

A A A A r

t v D

ρ ρ ω ρ


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IQ-20311

Problemas

al sustituir ecuación $ en

0=−

∂

∂+•∇ A

A A "

t

c #

se o(tiene

)"...(....................0. =−∂

∂+•∇+∇•∇− A

A A A A "

t

cV c ycD

cualuiera de las ecuaciones Ay ; se pueden usar en la descripción de periles de

concentración dentro de sistemas de diusión% Estas dos ecuaciones son completamente

generalesB sin em(argo son relativamente complejas%

2as anteriores ecuaciones se puede simpliicar aciendo suposiciones restrictivas%

Si la densidad * el coeficiente de difusión se ueden suoner constante la

ecuación se transforma en.

)#.(..........0.2 =−∇•+•∇+∇− A A A A A r vv D ρ ρ ρ

dividiendo la ecuación entre el peso molecular de & y se reordena se o(tiene%

)$.....(..........2 A A A A

A "c Dt

ccv +∇=

∂∂

+∇•

si no ,a* trmino de roducción R$! * si los coeficientes de densidad * difución

se suonen constantes la ecuación anterior se reduce a/

)%(..........2 A A A A c Dcvt c ∇=∇•+∂

∂

como


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IQ-20311

Problemas

A A cv

t c ∇•+

∂∂

es la derivada sustancial de c &B por lo ue la ecuación se reduce a-

)10.(..........2 A A A c D

Dt

Dc∇=

ue es una ecuación an8loga a la de transerencia de calor%

)12)......(11.......(22 $ $ c

%

Dt

D$

&

∇=∇= α ρ

dondeα

es la diusividad t1rmica% 2a semejan)a entre estas dos ecuaciones sirve de

(ase para las analogía se/aladas entre transerencia de calor y masa%

En una situación en la cual no e0ista mo1imiento del fluido 1! ni trmino de

roducci2+on R$! ni 1ariación aluna en la difusi1idad o en la densidad. #a

ecuación

)13.........(2

A A A A c Dcvt

c∇=∇•+

∂∂

se reduce a-

A A A c Dt

c 2∇=∂

∂

Ley de Fick de la difusión

la ecuación de la ley de 5ic es an8loga a la segunda ley de conducción de calor-

$ dt

d$ 2∇= α


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IQ-20311

Problemas

las ecuaciones =B@ y $# se pueden simpliicar B cuando el proceso esta en estado

permanenteO es decir0=∂∂ t c A

y la ecuación correspondiente a una densidad constante

y una diusión constante%

A A A A "c Dcv +∇=∇• 2

cuando la densidad es constante B lo mismo ue la diusividad y no ay producción

uímicaB se o(tiene%

A A A c Dcv 2∇=∇•

si adem8s vF" la ecuación se reduce a

02 =∇ ac Ecuación de Laplace

todas las ecuaciones descritas anteriormente estan en su orma vectorial B por lo cual

todas son v8lidas en cualuier sistema ortogonal de coordenadas

para reali)ar la transormación se reali)a escri(iendo el operador 2aplacianoB

2∇B en su

orma adecuada%

+or lo ue la segunda ley de 5ic de la diusión

#e* de 'ic3 en Coordenadas Rectanulares

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂2

2

2

2

2

2

z

c

y

c

x

c D

t

c a A A A

A

#e* de 'ic3 en Coordenadas Cil4ndricas


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IQ-20311

Problemas

∂∂

+∂∂

+∂

∂+

∂∂

=∂

∂2

2

2

2

22

211

φ θ Aa A A

A A cc

r r

c

r r

c D

t

c

#e* de 'ic3 en Coordenadas Esfricas

∂∂

+

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂

=∂

∂2

2

22

2

2 sin

1sin

sin

11

φ θ θ θ

θ θ A A A

A A c

r

c

r r

cr

r r D

t

c

Ecuación de Continuidad de $ en Coordenadas Rectanulares

A z A y A x A A "

z

#

y

#

x

#

t c =

∂∂+∂∂+∂∂+∂∂

,,,

Ecuación de Continuidad de $ en Coordenadas Cil4ndricas

( ) A

z A A x A A " z

# #

r r

r#

r t

c=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂∂ ,,, 11

θ

θ

Ecuación de Continuidad de $ en Coordenadas Esfricas

( ) ( ) A A

Ar A A "

#

r #

r # r

r r t

c=

∂

∂+

∂∂

+∂∂

+∂

∂φ θ

θ θ θ

φ

θ sin

1sin

sin

112,2,

2

2

CND%C%NES DE 'RNTER$ ENCNTR$D$S USU$#MENTE


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IQ-20311

Problemas

2a condición inicial en los procesos de transerencia de masa es la concentración de la

especie en diusión la principio del intervalo de tiempo (ajo estudioB expresada ya sea en

unidades molares o en unidades de concentración de masa

0

0

A A cc

t

==

en unidades molares

las condiciones de rontera ue generalmente se encuentran

e puede especiicar la concentración de una supericie% Esta concentración

puede estar en unción de la concentración molarBc &Fc &B de racciones molaresB

y &Fy &$ en gases o x &Fx &$B en líuidos y sólidosO de concentración de masaB

1 A A ρ ρ = o de racción de masaB1 A A ω ω =

El lujo de masa en la supericie puede estar especiicadoB por ejemplo1 A A ! ! = o

1 A A # # =

En ingeniería los casos de inter1s incluyen auel en el ue el lujo es cero

de(ido a una supericie impermea(le y auellos en los ue el lujo se especiica

como-

0

,

=

−= z

A A ' A

dz

d D !

ω ρ

2a rapide) de la reacción uímica puede estar especiicada B por ejemplo% i &

desaparece en la rontera de(ido a una reacción uímica de primer ordenB se

puede escri(ir

111 A A c% # =

% Cuando la especie en diusión desaparece en larontera de(ido a una reacción instant8nea B la concentración de la especie se

suponeB a menudo igual a cero%

Cuando un luido luye en la ase para la cual est8 descrita la ecuación de masaB la

especie puede perderse de la ase de inter1s por medio de la transerencia

convectiva de masa% El lujo de masa en la rontera se deine como-


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IQ-20311

Problemas

( )∞−= A A A cc% # 11

Donde∞ Ac

es la concentración de la corriente de luido adyacente a la supericie

y el coeiciente de transerencia de masa de convección%

ESTUD% DE C$SS DE TR$NS'ERENC%$ DE M$S$.

Difusión a tra1s de una el4cula aseosa estancada.

Consideremos el sistema de diusión ue se muestra en la igura% El líuido & se evapora

en el seno del gas .B e imaginemos ue mediante un artiicio es posi(le mantener el nivel

del líuido en )F)$% la concentración de la ase gaseosaB expresada en racción molarB

exactamente en al interase líuido9gasB es x &$% se admite ue la concentración de & en la

ase gaseosa es la correspondiente al euili(rio con el líuido de la interaseO es decir Bue x &$ es la relación entre la presión de vapor de & y la presión totalB + vapLpB suponiendo

ue & y . orman una me)cla gaseosa ideal% 5inalmenteB se supone ue la solu(ilidad de

. en el líuido & es desprecia(le%

+or la parte superior del tu(o circula lentamente una corriente de me)cla

gaseosa &9. cuya concentración es x &!B de orma ue la racción molar de & en la parte

superior de la columna permanece constante e igual a x &!% se supone ue todo el sistema

se mantiene a temperatura y presión constanteB y ue los gases & y . se comportan como

ideales%

Cuando el sistema alcan)a el estado estacionarioB existe una movimiento neto de &

alej8ndose de la supericie de evaporaciónB mientras ue el vapor . permanece

estacionario%


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IQ-20311

Problemas

Solución. De(ido a ue se trata de se utili)an ejes ijos se puede utili)ar la siguiente

ecuación%

F H

( ) ' A' A A

A A' # # x z

xcD # −+

∂∂

−=

De(ido a ue la densidad de lujo molar de . en dirección ) es muy peue/a se puede

despreciar por lo cual la ecuación nos ueda%

z

xcD # x # A

A A' A A' ∂

∂−=−

)1...(..........1 z

x

x

cD # A

A

A A' ∂

∂−

−=

&ensidad de flujo

con resulta del flujo

'loal

&ensidad de flujo

que resulta de la

difusión

&ensidad de flujo

con respecto a ejes

estacionarios


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IQ-20311

Problemas

&plicando un (alance de materia en el elemento dierencial

( )2..................0=−∆+ z z A' z A'

S# S#

Dividiendo la ecuación dos entre el volumen y tomando el límite cuando0→∆ z

ueda inalmente la ecuación

)3.(..........0=−dz

d# A'

ustituyendo la ecuación 5 en la ecuación 6 se o(tiene

01

=

− dz

dx

x

cD

dz

d A

A

A

+ara me)clas gaseosas idealesB a T y + constantesB c es una constante la diusividad es

independiente de la concentración% +or consiguiente cD &. puede salir uera de la derivadaB

uedando%

01

1=

− dz

dx

xdz

d A

A

Integrando una ve) con respecto a ) se o(tiene

11

1C

dz

dx

x

A

A

=

−

7olviendo a integrar se o(tiene%


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IQ-20311

Problemas

dz C x

dx

A

11

=

−

( ) ).(..........211ln C z C x A +=−−

+ara encontrar el valor de las constantes se tiene las siguientes condiciones límite

C%2% $ cuando )F)$ x &Fx &$

C%2 ! cuando )F)! x &Fx &!

De acuerdo a estas las condiciones limite tenemos

( ) )!.(..........211ln 11 C z C x A +=−−

( ) )".(..........211ln 22 C z C x A +=−−

De la ecuación A se tiene

( ) )#.(..........11ln2 11 z C xC A −−=

ustituyendo la ecuación ? en la ;

( ) )$.(..........1)1ln(11ln 1122 z C x z C x A A −−=−

Despejando C$ se tiene

)%.(....................1

1ln

11

1ln

11

2

122

1

2

1

−−

−

=−

−−

= A

A A

A

x

x

z z z z

x

x

C


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IQ-20311

Problemas

D%'US%&N CN RE$CC%&N 7U8M%C$ 9ETER:;NE$

Consideremos un reactor catalíticoB tal como se indica en la iguraB en el ue se reali)a la

reacción de dimeri)ación22 A A → % Un sistema de este arreglo de complejidad no puede

descri(irse exactamente mediante un desarrollo teórico% in em(argoB se puede o(tener

cierta inormación anali)ando un modelo altamente simpliicado%

Cada partícula esta rodeada por una película gaseosa estancada a trav1s de la cual

diunde para alcan)ar la supericie del catali)ador% uponiendo ue la reacción2

2 A A →

se produce instant8neamente en la supericie catalíticaB y ue el producto &! diunde

despu1s en sentido contrario a trav1s de la película gaseosa asta alcan)ar la corriente

tur(ulenta del gas ue consta de & y de &! % se trata de encontrar una expresión para lavelocidad local de conversión de & en &!B cuando se conocen el espesor eectivo de la

película gaseosa δB y las composiciones glo(ales x &" y x &!" de la corriente% e supone ue

la película gaseosa es isot1rmica B aunue para mucas reacciones catalíticas no se pude

despreciar el calor ue se genera en la reacción%

Solución

De acuerdo a la esteuiometría de la reacciónB se mueve un mol de & ! en la dirección )

negativa por cada dos moles de & ue se mueven en la dirección P positiva% +or

consiguiente se esta(lece la siguiente relación en estado estacionario%


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IQ-20311

Problemas

)1........(2

12 A' z A

# # −=

De acuerdo con esto y utili)ando la ecuación

( ) )2.(.......... ' A' A A

A A' # # x z

xcD # −+

∂∂

−=

Considerando .F&!

ustituyendo la ecuación $ en !

)3......(..........23

z xcD # # A A Az A' ∂∂−=−

( ) )......(..........

211 dz

dx

x

cD # A

A

A A'

−

−=

&plicando aora un (alance de materia para la especie & a una delgada l8mina de la

película gaseosa de espesor ∆)%

( )!..................0=−∆+ z z A' z A'

S# S#

Dividiendo la ecuación dos entre el volumen y tomando el límite cuando0→∆ z

ueda inalmente la ecuación

)".(..........0=−dz

d# A'

&ora suponiendo en la ecuación : ue cD &&! es una constante se o(tiene%


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IQ-20311

Problemas

)#.(..........0

211

1=

− dz dx

xdz

d A

A

Integrando con respecto a ) se o(tiene

)$.(..........1

211

1C

dz

dx

x

A

A

=

−

Integrando nuevamente

)%.(..........1

211

dz C x

dx

A

A =

−

)10.(..........21

2

11ln2 C z C x A +=

−−

De acuerdo a las condiciones límite siguientes

C%2 $ para )Fo x & F x &"

C%2 ! para )Fδ x &F "

&plicando condiciones limite a ecuación $"

Condición límite $

( ) )11.(..........2012

11ln2 0 C C x A +=

−−


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IQ-20311

Problemas

)12.(..........2

11ln22 0

−−= A xC

Condición límite !

( ) )13.(..........2102

11ln2 C C +=

−− δ

( ))1(..........

2

11ln2

10

δ

−

= A x

C

ustituyendo ecuación $! y $: en $" se tiene

)1!(....................2

11ln2

2

11ln2

2

11ln2 0

0

−−

−

=

−−

A

A

A x

z x

xδ

)1"(....................2

11

211

ln12

11ln

0

0

−

−

−=

− A

A

A

x

x z

x δ

&plicando antilogaritmo se o(tiene inalmente

−

−=

−

δ

z

A A x x

1

02

11

2

11

+ara o(tener la densidad de lujo molar a trav1) de la película se o(tiene a partir de la

ecuación : integrando entre los límites de )F" )Fδ y xF" xFx &"


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IQ-20311

Problemas

( ) ( ) )1.....(...........

211

A

A

A' cD x

dxdz # −

−=

( ) ( ) )2.....(..........211ln0

00

A x

A A' cD x z # A

−−=δ

( ( ) )3.....(..........2

11ln 0 A A A' cD x # −−=δ

( ) ( )02

11ln A A

A' xcD

# −−

=δ


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IQ-20311

Problemas

D%'US%&N CN RE$CC%&N 7U8M%C$ 9M:;NE$

Consideremos el sistema ue se indica en la igura

En este caso el gas & se disuelve en el líuido . y diunde en al ase líuida% &l mismo

tiempo ue diundeB la sustancia & sure una reacción uímica irreversi(le de primer

orden- A A →+

Solución

'eali)ando el (alance de materia en el elemento dierencial


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IQ-20311

Problemas

velociad de producción o desaparición de &B por lo tanto A

C % ∗1

representa el nJmero de

moles de & ue desaparecen por unidad de volumen y unidad de tiempo%

+ara simpliicar la ecuación anterior se divide entre un volumen ∆)B

)2........(..........01 =−∆

− ∗∆+ A

z z Az z Az

C % z

# #

Tomando el límite cuando0→∆ z

% e o(tiene inalmente

)1..(..........01 =+ ∗ A Az c% dz

d#

De acuerdo a la ecuación

( ) ' A' A A

A A' # # x z

xcD # −+

∂∂

−=

Dado ue & y &. estan en (ajas concentraciones o(teniendose

)2.....(..........dz

dc D

z

xcD # A A

A A Az −=∂

∂−=

ustituyendo la ecuación ! en $ se o(tiene

)3.....(..........012

2

=+− ∗ A A

A c% dz

cd D

2as condiciones límite para este pro(lema son

2a concentración en la supericie se mantiene en un valor ijo c &"

C%2 $ cuando )F" c &Fc &"

2a diusión en el ondo del recipiente es muy peue/aB por lo ue puede despreciarse %

C%2%! cuando )F2 N &)F"


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IQ-20311

Problemas

'eacomodando la ecuación # se tiene

(

y

y

y y

ccC

andoensionaliz a

D

%c

z

c

A

A

A

A A

=

=

=

=∂

∂

∗

∗

η

0

0

2

2

dim

022

22

2

2

2

0

22

0

2

=−

=

−∂∂

−∂∂

∗∗

∗∗

ϕ

ϕ

η

η

m

D

%(

doconsideran

C D%( C

D

c%C

(

cC

A

A

A

A A

Donde

ϕ

ϕ

±=−=

=

m

b

a

2

0

+or tanto la solución se puede plantear

)...(..........21 ϕη ϕη −+= eC eC C

Condiciones límite

+ara

1

0

=

=

ϕ

ϕ

0

1

=

=

η d

dC

C


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IQ-20311

Problemas

021 =+C C

ϕη ϕη

ϕ ϕ η eC eC d

dC

21 −=

ustituyendo condiciones límite

( )

ϕ ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ φ

ϕ ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

−

−

−

−

−−

−

−

+−=

+=

=+−

=−−

−=

ee

eC

ee

eC

eC eeC

eC eC

eC eC

12

1

011

0111

210

ustiuyendo en la ecuación : se o(tiene

( )

( )( )

( ) ( )

)!...(..........

1

1

11

ϕ ϕ

η ϕ η ϕ

ϕπ ϕ ϕ ϕ ϕπ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕη

ϕ ϕ

ϕ ϕη

−

−−−

−−−−

−−

−

−

−

++

=

−++

+

=

+

−+

=

ee

eeC

eeeeee

ee

C

eee

ee

ee

eC

Tomando en cuenta el numero adimensional

A D

%( 2=ϕ

&sí como las relaciones


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IQ-20311

Problemas

2sin

2cos

x x

x x

ee x

ee x

−

−

−=

+=

ustituyendo en la ecuación A se o(tiene inalmente

( )( )

( ) )"....(..........

cos

1cos

ϕ

ϕ −=

)C

+ara calcular el lux diusivo se o(tiene a partir de la ecuación ;

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )ϕ ϕ

ϕ

η ϕ ϕ

ϕ

η

ϕ ϕ

ϕ η

sincos

1sincos

1sincos

0

0

00

(

c D !

(

C D

d

dC

(

c D !

)d dC

A A

y A

A A A A

=

−−=−

=

−=

=

)#(..........tan00

ϕ ϕ

(

c D ! A A

y A ==


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IQ-20311

Problemas

D%'US%&N EN UN$ "E#8CU#$ #87U%D$ DESCENDENTE/ TR$NS'ERENC%$ DE

M$TER%$ "R CN


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IQ-20311

Problemas

−=

2

1)(δ

xv xv m*x z

De acuerdo al pro(lema se o(serva ue c & variar8 con x y con )% por lo tantoB comoelemento dierencial para aplicara el (alance de materia se elige un volumen ormado por

la intersección de un espesor ∆) con otro de espesor ∆ x% por lo cual el (alance general

ueda representado con la siguiente ecuación%

0=∆−∆+∆−∆∆+∆+

z ( # ' ( # x( # x( # x x Ax x Az z z Az z Az

+ara simpliicar la ecuación anterior se divide entre un volumen

x z ( ∆∆

se o(tiene

0=∆

−+

∆

−∆+∆+

x

# #

z

# # x x Ax x Az z z Az z Az

Tomando el límite cuando0→∆ z

y0→∆ x

)1..(..........0=∂

∂+

∂∂

x

#

z

# Az Az

+ara la densidad de lujo molar se utili)a la ecuación

( ) ' A' A A

A A' # # x z

xcD # −+

∂∂

−=

De acuerdo al pro(lemaB el componente & se mueve en dirección ) de(ido principalmente

a la convección o lujoB por lo cual la contri(ución por parte de la diusión puede

considerarse desprecia(le% la densidad de lujo molar en dirección ) resulta%


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IQ-20311

Problemas

( ) )2(.......... ' A' A A' # # x # −=

+or el contrario en la dirección xB & se transporta esencialmente por diusiónB y no existe

pr8cticamente transporte convectivo de(ido a ue & no es muy solu(le en .B por lo ue se

o(tiene%

( ) #x # x x

c D # Ax A

A A Ax −+∂

∂−=

)3.........(.......... x

c D # A A Ax ∂

∂−=

ustituyendo ecuaciones ! y # en $ se llega a la ecuación dierencial

)...(..........2

2

x

c D

z

cv A A

A

z ∂∂

=∂

∂

Esta(leciendo las condiciones límite%

ustituyendo el peril de velocidad de la película en la ecuación :

)!........(..........12

22

x

c D

z

c xv A

A

A

m*x ∂

∂=

∂∂

−δ

C%2%$

&l inicio del experimento cuando )F" la concentración de & es cero

Cuando PF" C & F"

C%2 !

En al dirección x B cuando inicialmente la película esta constituida por . puro y la

concentración del líuido en al interase ser toma como la solu(ilidad de & en . B ue se

designa como C &"


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IQ-20311

Problemas

Cuando xF" C & FC &"

C%2%#

De(ido a ue la solu(ilidad de & es muy peue/a en . se esta(lece la condición

Cuandoδ = x

0=∂

∂ x

c A

in em(argo de(ido a ue la ecuación dierencial A es no lineal y de segundo ordenB la

solución es complicadaB por lo cual se de(en tomar en cuenta las consideraciones

siguientes v8lidas para acilitar su resolución%

2a sustancia & penetra una peue/a distancia en la películaB por lo cual la especie & tiene

la impresión de ue la película se mueve toda ella con una velocidad igual a vm8x%

Considerando ue la penetración de & no es muy grande B esta no llegara jamas a la

pared sólida situada enδ = x

% +or lo tantoB si la película tuviese un espesor ininito y se

moviera con la velocidad vm8xB el material ue diunde no notaría la dierenciaB con estas

consideraciones la tercera condición límite se modiica y la ecuación A se simpliica%

C%2%$

&l inicio del experimento cuando )F" la concentración de & es cero

Cuando PF" C & F"

C%2 !

En al dirección x B cuando inicialmente la película esta constituida por . puro y la

concentración del líuido en al interase ser toma como la solu(ilidad de & en . B ue se

designa como C &"

Cuando xF" C & FC &"

C%2%#


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IQ-20311

Problemas

De(ido a ue la solu(ilidad de & es muy peue/a en . la concentración de & cerca de la

pared o en ininito es cero%

Cuando∞= x

0=aC

De(ido a & penetra muy poco

)"........(..........12

22

x

c D

z

c xv A

A

A

m*x ∂

∂=

∂∂

−δ

)"........(..........2

2

x

c D

z

cv A A Am*x ∂∂=∂∂

+or lo tanto

( )0

,=

∂∂

x

z c A δ

&dimensionali)ando ecuación ;

L

z

x

c

c

C A

A

=

=

=

ζ

δ ξ

0

ustituyendo en la ecuación ;

)#.......(..........02

2

2

0

2

0

=∂

∂

+∂

∂

− ξ δ ζ

δ cC c

L

C

D

v A A

A

m*x

Considerando


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IQ-20311

Problemas

L D

va

A

m*x

δ =

)$.......(..........02

2

=∂∂+

∂∂−

ξ ζ cca

Condiciones límite

( )

0),(

0),0(

00,

=∞=

=

ζ

ζ

ξ

c

c

c

&plicando transormada de 2aplace

dz e z x + z x +

s x , z x +

sz −∞∫ ==

0),()),((

),()),((

ς

ς

),(),(

)0,(),(),(

s x , x x

z x +

x + s x s, z

' x ,

∂∂

=

∂∂

−=

∂∂

ς

ς

&plicando a ecuación =

( ) ( ) 0)0,),(2

2

=−Γ−Γ∂∂

ξ ξ ξ

cS sa


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IQ-20311

Problemas

02

2

=Γ−Γ∂∂

asξ

0

0

2

2

2

=++

=++

bamm

e-.ivale

bydxdya

dx yd

oluciones reales y dierentes xm xm eC eC y 21 21 +=

oluciones real e igual

xm xm eC eC y 21 21 +=

oluciones complejas

)cos(2)(1 mxC mx senC y +=

asm

asm

±==− 0

2

ξ ξ asas eC eC −+=Γ 21

−∞∞ += eC eC 210

sC

C

C C s

12

01

211

=

=

+=


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IQ-20311

Problemas

saase

se

s

211 ξ ξ −− ==Γ

( )( ) sc ,),( 1 ξ ς ζ ξ Γ = −

=

−

t

aer+c

s

e sa

2ς

=

= ζ

ξ ζ

ξ

ξ

2

22

2 L D

Vm*x

er+c

a

er+cc

A

=

z D

v xe+rcC C

A

m*x A A

20


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IQ-20311

Problemas

"RB#EM$S

(5> $.5 R. B?RN B%RD - @$RREN E. STE@$RT - ED@%N N. #%:9T'T)


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IQ-20311

Problemas

e o(tiene-

−∂ N Az∂z

=0

Integrando se o(tiene-

Az=¿C 1 N ¿

eparando el lux total de & en la suma del lux diusivo m8s el convectivo se o(tiene ue-

*Az Az *Az *-z⋅+

ustituyendo 0 &) por la ley de ic-

− D AB∂C A∂ z + X A ( N Az+ N Bz )=C 1

uponiendo ue la velocidad de . es cero y ue la concentración total es constante-

−CD AB∂ X A∂ z

=C 1(1− X A)

eparando varia(les e integrando se llega a-

ln 1 A−( )/1

/ &A⋅ z⋅ /2+

2as condiciones límite utili)adas serian-

2a racción de & en )F)$ es W &"

2a racción de & evaluada en )F)! seria

El valor de las constantes o(tenido es-

A z z1( ) A1

A z z2( ) A2

/2 ln 1 A1−( )

/1

/ &A⋅

z2 z1− ln

1 A2−

1 A1−

⋅ *Az


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IQ-20311

Problemas

Una ve) teniendo el lux de & puede o(tenerse la velocidad de evaporación de &%

/

.1

/ &.A⋅

z.2 z.1− ln

.2

.1

⋅! *

.Az

!

Considerando al sistema como gas ideal-

&dem8sB usando las ley de las presiones parciales-

ustituyendo estos resultados en el lux de &-

*Az

R-

&A

z2 z1−( )⋅ ln

2

1

⋅

En PF! la presión total es la presión ejercida por .B de(ido a la corriente de . puro ue

pasa en la parte superior del tu(o% i se considera una temperatura am(iente de !ASCB losdatos necesarios para resolver la ecuación son-

nR-

1

1

R

-

n

/

##0mm':= cloropicrina 23.$1mm':=

2 ##0mm':= 1 cloropicrina−:=

R 0.0$2atm 4⋅

5 mol⋅:=

- 2%%5 :=&A 0.0$$

cm2

s:=

2

2

z2 z1− 11.1c:=


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IQ-20311

Problemas

ustituyendo los datos en la ecuación del lux-

2a velocidad de evaporación es igual al lux por el 8rea-

+ara o(tener el resultado en gL se utili)a el peso molecular de la cloropicrina%

(5>$.A R. B?RN B%RD - @$RREN E. STE@$RT - ED@%N N. #%:9T'T)

Sulimación de esferas de *odo en aire inmó1il % Una esera de yodo de $cm dedi8metroB esta situada en aire inmóvil a :"SC y ?:?mm 3g de presión% & esta temperatura

la presión de vapor del yodo es aproximadamente $%"#mm 3g% e desea determinar ladiusividad del sistema yodo9aire midiendo la velocidad de su(limación% +ara ayudar adeterminar condiciones experimentales ra)ona(lesB

a> Estima la diusividad del sistema yodo9aire a la temperatura y presión dadasBusando los par8metros de la uer)a intermolecular en la ta(la E$O

(> Estime la velocidad de su(limación (as8ndose sus c8lculos en la ec% $=%!9!?%

Este m1todo se a utili)ado para medir diusividadB aunue es suscepti(le de ser cuestionado de(ido a la posi(le importancia de la convección li(re%a>

*Az

R -⋅

&A

z2 z1−⋅ ln

2

1

⋅ 1.0!1 10 −×

mol

m2

s⋅=:=

A *Az A⋅ 2.0# 10$−×

mol

s=:=

A' 3.%!# 10"−

× '

s=

A' 0.01'

r =


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IQ-20311

Problemas

0 313.1!

## 0.%$3

$ C /

& mm01 atm

= =

= =

o

2

2!3.$1

.%$2

!!0

A

A

A I

2

A

/ %

σ

ε

==

=

=

2$.%#

3."1#

%#.0

aire

2

A

/ %

σ

ε

==

=

=

&

( )

( ) ( )

( ) ( )

1

2

.2%%!

!!0 %# 230.%$

A A

A

A A

A

A

A

% % %

/ %

σ σ σ

σ

ε ε ε

ε

= +

=

=

= =

&

,

313.1!6 1.3!"

230.%$1.2!3 D A

%$ ε = =

Ω =

(>

( ) ( )2

1 2 1

2

21

1

1

1ln

1 1 1

1 ln1

ln

A A A

A

A A A

A

A A

va&

cD x(

r r x

r

x( rcD x

&c

"$

&D &( r

"$ & &

π

π

π

−= ÷− −

→ ∞

−= ÷−

=

= ÷ ÷−

( ) ( ) ( )

( ) ( )$

0.%$3 0.0$$3 0.%$3 0.! ln

$2.0" 313.1! 0.%$3 1.03

2.%! 10 6

1.0" 10 6

A

A

A

( m

( 1 s

( 1 )

π

−

−

= ÷ ÷ ÷ −

= ×

= ×

(5>$.6 R. B?RN B%RD - @$RREN E. STE@$RT - ED@%N N. #%:9T'T)

Estimación del error al calcular la 1elocidad de asorción. RCu8l es el error m8ximoposi(le al calcular la velocidad de a(sorción a partir de la ecuación $=%A9$=B si la


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IQ-20311

Problemas

solu(ilidad de & en . se conoce con un error de y la diusividad se conoce con un

error de upóngase ue las cantidades geom1tricas y la velocidad se conoce conmayor precisión% 5igura de la ecuación $=%A9$= -

simpliicando la siguiente ecuación o(tenemos-

donde K es el producto de cantidades conocidas% Donde el error en resulta de

peue/os errores en y es-

Dividiendo por se o(tiene la expresión raccional error -

DondeB el porcentaje de error m8ximo a(solutoB en la calculación de (ajo lascondiciones o(tenidas es-

(5> $. R. B?RN B%RD - @$RREN E. STE@$RT - ED@%N N. #%:9T'T)

$sorción del cloro en una el4cula descendente. e a(sor(e cloro de un gas en unapeue/a torre experimental de pared mojada %el luido a(sor(ente es aguaB ue se mueve

a una velocidad media de $?%? cmLs% RCu8l es la pro(a(ilidad de a(sorción en g9molLB sila diusividad en la ase liuida del sistema cloro9agua es $%!;x$" 9A B y si la concentraciónde saturación de cloro en agua es "%=!# g de cloro por $""g de agua < estos son losvalores experimentales a $;Sc >las dimensiones de la columna se proporcionan en laigura%

olución- 2a velocidad de a(sorción se predice por la ecuación% $=%A9$=B ue puede ser reescrita en t1rminos de la velocidad media de película mediante el uso de la ecuación%!B!9!"-


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IQ-20311

Problemas

W A=W LC A 0√ 4 D AB V maxπL Ecuación $=%A9$=w A=2 πr LCA 0√

6 D AB (v z )πL

2a solu(ilidad es-C A 0= ρ ω A 0/ M A

≈(0.998 g soln/cm3)(0.00823 gCl2 /g soln) /(70.91 gCl2/ gmolCl2 )

¿1.16 x10−4

gmolCl2/cm3

Entonces la a(sorción predica es-

w A=2 π ( 1.4 x13cm2 ) (1.16 x10−4 gmolCl2/cm

3 )

√6 (1.26 x 10

−5

cm2

/ s) (17.7 cm/s )π (13 cm )

¿7.58 x10

−5gmol

s =0.273 gmol/hr

(5>. $ R. B?RN B%RD - @$RREN E. STE@$RT - ED@%N N. #%:9T'T)Medición de la difusi1idad or el mtodo de la fuente untual

e desea dise/ar un sistema de lujo a in de utili)ar los resultados del pro(lema $=C%$para medir D &.% 2a corriente de aproximación de . puro de(e dirigirse verticalmente aciaarri(aB y la composición del gas se medir8 en varios puntos a lo largo del eje )%

a Calcular la velocidad de inyección del gas & en g9molLs necesaria para producir

una racción molar x &≈ "%"$ en un punto situado a $cm corriente de(ajo de la

uenteB en un sistema de gas ideal a $ atm y =""SCB si v"FA"cmLs y D &.≈ Acm!Ls

( RCu8l es el error m8ximo permisi(le en la posición radial de la sonda para o(tener muestras del gasB si la composición medida x & de(e estar dentro de un margen de$Y del valor de la línea central

Respuesta

a 2a solución a la ecuación dierencial es-−(v0/2 D AB)( s− z)

c A= W A

4 π D AB sexp ¿


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IQ-20311

Problemas

Directamente corriente a(ajo de la uenteB la distancia s se reduce a )B por lo tanto

la ecuación toma la orma- c A= W A

4 π D AB z

Entonces

W A=4 π D AB s ( 0.01c )

¿4 π D AB s ( 0.01 p ! )

¿4 π (5 cm2

s ) (1 cm )(0.01 (1a"m )

(82.06 a"mcm3

mol# )$ (1073 % ) ) ¿7.1$ 10

−6 mol/s

( Expansión de s en potencias de r ! a ) constante nos da-

s=√ z2+r2= z √1+r2

z2= z [1+12 r

2

z2−&]

s− z= z [ 12 r2

z2−& ]

z

s= z [1−12 r

2

z2+&]

−(v0 /2 D AB)(s− z )

c A

(r ' z)= W A

4 π D AB z

z

sexp ¿

¿c A (0, z ) [1−12 r2

z2+&] [1−( v02 D AB ) z [ 12 r

2

z2−& ]+&]


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IQ-20311

Problemas

1+( v0 z2 D AB )+((r

4

z4 )

1−1

2

r2

z2 ¿

¿c A (0, z )¿

c A(r ' z) y x A(r ' z) de(en ser menores al $Y de su valor de línea centralB

tan largo como el t1rmino de segundo orden sin ue el grupo al cuadrado exceda"%"$% 2a desviación de r s del colector de muestra del ejeB a las condiciones dadasde(e satisacer entonces-

rs )(0.01)2 z

2

1+v0 z/2 D AB

1+(50cm / s)(1 cm)/(2$5cm2/s )¿

¿ (0.02 )(1cm2)

¿

¿0.00333 cm2

rs=√ 0.00333 cm2=0.058 cm

(5>. $ R. B?RN B%RD - @$RREN E. STE@$RT - ED@%N N. #%:9T'T)Determinación de la diusividad para un sistema 1ter9aire%2os datos siguientes so(re la evaporación de 1ter etílico ueron ta(uladospor 0ost% 2os datos son para un tu(o de ;%$;mm de di8metroB presión total de ?:?mm 3gy temperatura de !! ZC%

Disminución del nivel del 1ter TiempoB en segundosB necesarioB en mm niveldesde @ asta $$ A@"desde $: asta $; =@A

desde $@ asta !$ $$=Adesde !: asta !; $:="desde #: asta #; !"AAdesde :: asta :; !;AA

El peso molecular del 1ter es ?:%$!B y su presión de vapor a !! ZC es :=" mm 3g% +uedesuponerse ue la concentración de 1ter en el extremo a(ierto del tu(o es cero% 0ostproporcionó un valor de D &. para el sistema 1ter9aire de "%"?=; cm!Ls a " ZC y ?;" mm3g%


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IQ-20311

Problemas

Usar los datos de evaporación para encontrar D &. a ?:? mm 3g y !! ZCB suponiendo uela media aritm1tica de las longitudes de la columna de gas puede usar para )!9)$ en laigura $=%!9$% &dem8sB supóngase ue la me)cla 1ter9aire es ideal y ue la diusión puedeconsiderarse como (inaria%Convertir el resultado a D &. para ?;" mm 3g y " ZC usando la ecuación $?%!9$

'esultado

a>E% $=%!9$? da

"%! disminuye el nivel

7alores calculados para los ; intervalos de tiempo-B av%B cm $%" $%A !%" !%A #%A :%A[t para [)$F9"%! cm A@" =@A $$=A $:=" !"AA !;AAD &.B cm!Ls "%"?=" "%"??$ "%"??@ "%"??? "%"?=: "%"?="

El promedio de estos valores- "%"??=A cm!Ls

(>Usando la ecuación $?%!9$ en su orma polar da-


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IQ-20311

Problemas

(5>$.F R. B?RN B%RD - @$RREN E. STE@$RT - ED@%N N. #%:9T'T)

Densidad de fluGo de masa desde una uruGa en circulación.a> Usar la ec% $=%A9!" para estimar la velocidad de a(sorción de C6!

desde una (ur(uja de dióxido de car(ono de "%A cm de di8metro ue asciende enagua pura a $=SC y una presión de $ atm% +ueden usarse losdatos siguientes-D &.F$%:;x$"9A cm!LsB C F"%":$ g9molLlitroB \F!! cmLs%

(> 7olver a calcular la velocidad de a(sorcion usando los resultados experimentalesde 3ammerton y GarnerB uienes o(tuvieron una c media con respecto a lasupericie de $$?cmL

3 3

0.01 6 0.01 10 6c 1 mol litro 1 mol cm

−

= − = × −a>

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

0

!

3

" 2

3

1." 10 220.01 10

0.!

1.1# 10 6

A t A Amedia

A media

A media

D # c

D

#

# 1 mol cm s

υ

π

π

−−

−

=

×= ×

= × −

(>11# 6 0.032! 6c% cm ) cm s= =

( ) ( )

( ) ( )

( )

0

3

" 2

0

0.032! 0.01 10

1.33 10 6

A c A Abmedia

Ab

A media

A media

# % c c

c

#

# 1 mol cm s

−

−

= −

=

= ×

= × −

(5>. B5 R. B?RN B%RD - @$RREN E. STE@$RT - ED@%N N. #%:9T'T) Deducción alternati1a de la difusión a tra1s de una el4cula estancada. En laecuación $=%!9$: del pro(lema $=%! se o(tuvo una expresión para calcular la velocidad deevaporación al deerencial el peril de concentración ue se encontró unas líneas antes%Demostrar ue los mismos resultados pueden deducirse sin tener ue encontrar el perilde concentración% Nótese ue en estado estacionario N &P es una constante segJn laecuación $=%!9#% 2uegoB la ecuación $=%!9$ puede integrarse directamente para o(tener laecuación $=%!9$:


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IQ-20311

Problemas

Teniendo la ecuación $=%!9$1

1

A A'

A A

d3 #

3 dz cD= −

−

+odemos dejarlo expresado en t1rminos de W.1 A'

A

d3 #

3 dz cD− = −

+or el m1todo de varia(les separa(les integrando desde los limites ue son W.$ y W.$B P$ yP!%

2 2

1 1

3b '

A'

A 3b '

# d3bdz

3b cD=∫ ∫

2 1

1ln ( )

1

A'

A

# 3b ' '

3b cD= −

2 1

2ln

1

A A'

cD 3b #

' ' 3b=

−

& lo cual llegamos a la misma ecuación $=%!9$:

(5>B.A R. B?RN B%RD - @$RREN E. STE@$RT - ED@%N N. #%:9T'T) Error al desreciar el trmino de con1ección en la e1aoracióna) 7olver a tra(ajar el pro(lema planteado en el texto en el tema $=%! despreciando elt1rmino W & en la ecuación $=%"9$% Desmostrar ue así se llega a

N A z=

c D AB

z2− z1 ( x

A1− x

A 2)

]sta es una aproximación Jtil si A est8 presente sólo en concentraciones muy (ajas%) 6(tener el resultado del inciso a>B a partir de la ecuación $=%!9$: aciendo laaproximación apropieda%c) RQu1 error se comete en la determinación de D &. en el ejemplo $=%!9! si se usa elresultado del inciso a>Respuesta:a) Usando la ecuación $=%"9$ despreciando el termino convectivo ueda de esta manera

N A z=−c D AB*x A*z

Ecuación 5>.-5Despues se utili)a la ecuacion $=%!9$

N A z=−c D AB1− x A

*x A*z

Ecuación 5>.A-5ustituimos la ecuación $=%!9$ en la ecuación $=%!9#


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IQ-20311

Problemas

−*N A z*z

=0

Ecuación 5>.A-6

*

*z

(

c D AB

1− x A

*x A

* z

)=0

e reduce a esta expresión*

2 x A

* z2 =0

eparamos e integramos

∫* (*x A*z )=∫0*z

*x A*z

=C 1

∫* x A=C 1∫ * z

x A=C 1 z+C 2

& continuación aplicamos las condiciones limite x A1=C 1 z1+C 2

x A2=C 1 z2+C 2

Estas ecuaciones se puede resolver simult8neamente para dar C$ y C!

C 1=− x A1− x A2

z2− z1

C 2= x A 1+ x A1− x A2

z2− z1 z1

+or lo tantoB en la aproximación ue se considera auíB el peril de concentracion en elsistema est8 dada por

x A1− x A x A1− x A 2

= z− z1 z2− z1

)+ara o(tener el resultado en a> de la ecuación $=%!9$:B podemos ampliar este Jltimo entreotras cosas una serie de TaylorB como se i)o en o(tener la ecuación $=%!9$;

N Az ¿+ =+ 1=−c D AB1− x A 1

* x A

*z ¿+ =+ 1


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IQ-20311

Problemas

N Az ¿+ =+ 1=c D AB

x B1

* xB

*z ¿+ =+ 1

N Az ¿+ =+ 1=c D AB∫

X B 1

X B 2 * xB xB

∫+ 1

+ 21

*z

N Az ¿+ =+ 1= c D AB z2− z1

ln( xB2 xB1

)

Ecuación 5>.A-5Com(inamos las ecuaciones $=%!9$# y $=%!9$:B se o(tiene inalmente

xB' m,*-a= xB2− xB1ln ( xB2− xB1)

Ecuación 5>.A-561

x B2− xB1= x A1− x A2

e o(tiene esta ecuación xB¿ln¿

( z2− z1)¿

N Az ¿+ =+ 1=c D AB¿

Ecuación 5>.A-5 &l desarrollar la solución de la ecuación $=%!9$A en una serie de TaylorB puede o(tenerse

N Az ¿+ =+ 1=c D AB( x A1− x A2)

( z2− z1) [1+1

2( x A1+ x A 2 )+13 ( x A1

2 + x A1 x A 2+ x A22

)+&]

c)7F "%"!"= m#

ρ F $%A@ gLcm#

4F $A: gLmol &F "%=! cm!

tF $" V)F $?%$ cm

pF ?AA mm de 3gTF "SC

N A= Vρ MA"

N A=

(0.0208 cm3)(1.59 g

c m3)

(154 g/mol)(0.82 c m2)(3.6 X 104 s )


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IQ-20311

Problemas

N A=7.26 X 1 0

−9g /mol

c m2s

D AB= N A z !

p(−* x A*z

)

D AB= N A

z ! ( z2− z1)

p ( x A 1− x A2)

D AB=(7.26 X 1 0−9)(82.06)(273)(17.1)

(755760 )[(33

755 )−0] D AB=0.0641 c m

2/ s

.rror=0.0641−0.0636

0.0636 ∗100=0.79


56/113

Problemas $rans+erencia de masa Ca&5t.los 16 ird y 27 (elty

.rror=0.79

(5>B6 R. B?RN B%RD - @$RREN E. STE@$RT - ED@%N N. #%:9T'T)Efecto de la 1elocidad de transferencia de materia sore las erfiles deconcentración.

a Com(inar el resultado de la ece $=%!9$$ con el de la eca%$=%!9$: para

o(tener

1

1 ( 1)e7p

1

A A'

A A

x # z z

x cD

− −= −

6(tener el mismo resultado por integración directa de la ecuación $=%!9$Busando el eco de ue N &P es constante%

c 6(s1rvese lo ue ocurre cuando la velocidad de transerencia de materiase vuelve peue/a% Expanda la ecuación $=%.#9$ en una serie de Taylor yconserve solo dos t1rminosB como es apropiado para N &P peue/a% R ueocurre con las líneas ligeramente curvas en la igura $=%!9$ cuando N &P esmuy peue/a

Resuesta a)

11 ( 1)

e7p1

A A'

A A

x # z z

x cD

− −= −

ustituyendo la ecuación $=%!9$$( )16 2 1

1

1 ( 1) ( 1)e7p e7p

1

z z z z

A A' A'

A A A

x # z z # z z

x cD cD

− − − − −

= = − RES"UEST$ B)

2

1 1

1

1 A

x z A'

A x z

A A

# dx dz

x cD= −

−∫ ∫ Evaluando las integrales o(tenemos

1

1

ln ( 1)1

A A'

A A

x #

z z x cD

−

− = − −−Despejando el logaritmo y eliminando los signos negativos llegamos a la solución a>

1

1 ( 1)e7p

1

A A'

A A

x # z z

x cD

− −= − Resuesta C)

1

1 ( 1)1 ...........

1

A A'

A A

x # z z

x cD

− −= + + −

1

( 1) A' A A

A

# z z x x

cD

−= −

ue tiene la ecuación de una línea recta%

(5>B. R. B?RN B%RD - @$RREN E. STE@$RT - ED@%N N. #%:9T'T)

$sorción con reacción Hu4mica.a 7olver a tra(ajar el pro(lema ue se anali)o en el texto en s$=%:B pero tomando enPF" como el ondo del vaso de precipitado y )F2 como la interace gas9liuido%

2a solución de pro(lema es similar al ejercicio $=%:B considere el planteamientoigual asta la ecuación $=%:9:

!"


57/113


D AB*2

*z2− % 1CA=0

e esta(lecen las condiciones límite de la siguiente manera-C%2%$ en PF2 C &FC &"C%2-! en PF" N &PF"

&dimensionali)amos la ecuación para tra(ajarB multiplicamos por L2/C A0 D AB

o(tenemos-*

2 /

* 0 2 −ϕ2 / =0

Donde / =C A /C A0 Es una concentración a dimensional

0 =+ / L Es una longitud a dimensional

ϕ=√ % 1 L2/ D AB Es un grupo adimensional llamado modulo de tiele

&ora nuestras condiciones limite son-C%2%$ en F$ F$

C%2-! en F"*/ *0 =0

Esta ecuación tiene una solución general ue es- / =C 1Cosh 0 ϕ +C 21,nh 0 ϕ

llegamos a dos ecuaciones simult8neas-1=C 1Coshϕ+C 21,nhϕ

0=0+C 2 ϕ ∴ C!F"

e o(tiene-

/ =cosh 0 ϕcosh ϕ

7olviendo a la notación originalB llegamos a -

C A

C A0=

cosh √ % 1 L2

D AB

+

L

cosh√ % 1 L2

D AB

Despejando C&B y aplicando la ley de ic

!#


58/113


N A+ ¿+ = L= D AB*CA*+

¿+ = L

Tenemos-

N A+ ¿+ = L= D AB **z C A 0

cosh

√ % 1 L2

D AB

+

L

cosh √ % 1 L2

D AB

=C A0 D AB L */ *0 ¿0 =1=C A 0 D AB L 1,nh

ϕ 0 ϕcosh ϕ ¿ 0 =1

¿C A 0 D AB

L !anhϕ ϕ

e llega al mismo resultado ue en el ejercicio $=%:

( &l resolver la ecuación $=%:9?B la solución se tomo como la suma de dos uncionesiper(ólicas% Trate de resolver este pro(lema usando la solución igualmente valida

/ =c1exp ( 0 ϕ )+c2exp (− 0 ϕ )

+artimos de la ecuación-*2 /

* 0 2−ϕ2 / =0

Esta(lecemos nuestras condiciones de ronteraB ue ser8n las mismas ue en el casoanterior%C%2%$ en F$ F$

C%2-! en F"*/ *0 =0

Con estas condiciones llegamos a dos ecuaciones simult8neas-1=c 1+C 2

0=C 1ϕ,ϕ−C 2ϕ ,−ϕ

'esolvemos y o(tenemos el valor de las constantes-

C 1=1

1+,2 ϕ=

,−ϕ

,ϕ+,−ϕ

C 2= ,

2ϕ

1+,2ϕ=

,ϕ

,

ϕ

+,−ϕ

ustituyendo las constantes-

/ = ,

−ϕ,ϕ0

,ϕ+,−ϕ

+ ,

ϕ,−ϕ 0

,ϕ+,−ϕ

=

1

2 [,ϕ (1−0 )+,−ϕ(1−0 )]

1

2[,ϕ+,−ϕ ]

!$


59/113


Usando las deiniciones de las unciones iper(ólicas podemos expresarlas de lasiguiente manera-

/ =cosh [ϕ (1−0 )]

Coshϕ

Esta es la misma expresión ue se o(tuvo antes%

c REn u1 sentido se simpliican los resultados en las ecuaciones $=%:9$" y $=%:9$!para 2 muy grande y para 2 muy peue/a Interprete ísicamente los resultados%

e escri(e la ecuación $=%:9$! de la siguiente manera%

N A+ ¿+ =0= D ABC A0

L √ % 1 L2

D ABtan h√ % 1 L

2

D AB

+ara 2 muy grande tenemos ue la Tan < 2 >F $ por lo tanto nuestra expresión

se reduce a- N A+ ¿+ =0=

D ABC A0

L

√ % 1 L2

D AB

2uego reducimos a < 2! sale de la raí) y se elimina con 2 B y el termino de &. entraa la raí) como &.! y nos ueda>-

N A+ ¿+ =0=C A0√ D AB % 1

3acemos un an8lisis similar para 2 muy peue/o


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C A

C A0=√ % 1 D AB z−tanh 2sinh √ % 1 D AB z

C AC A0

=√ % 1 D AB z−sinh√ % 1 D AB z+or lo tanto-

C A

C A0=exp [−√ % 1 D AB z ]

+ara 2 tendiendo a cero tenemos ue la Tan < 0 >F "B por lo tanto%

C A

C A0=cosh √ % 1 D AB z

(5>B.B R. B?RN B%RD - @$RREN E. STE@$RT - ED@%N N. #%:9T'T)$sorción de cloro or ciclo,e0eno% El cloro puede ser a(sor(ido de me)clas Cl!9airepor oleinas disueltas en CCl:% e encontró ue la reacción de Cl! con cicloexeno Demuestre ue el peril de concentración esta dado por

c A 0c A

=[1+√ # 2c A 06 D AB z]2

(> 6(tenga una expresión para la velocidad de a(sorción de Cl! por el liuido%c> uponga ue una sustancia & se disuelve en y reacciona con una sustancia . de

modo ue la velocidad de desaparición de & por unidad de volumen es alguna

unción ar(itraria de la concentraciónB 4 (C A ) 5 Demuestre ue la velocidad de

a(sorción de & esta dada por

N A+ | z=0=√2 D AB∫0

c A0

4 (C A ) * c A

Usar este resultado para compro(ar el resultado del inciso (>%olución

"0


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a>

Conocemos ue D AB*2 c A*z2

−# 1 c A=0

De(ido a ue tenemos una reacción de segundo ordenB la ecuación anterior tiene ue ser rempla)ada por

.c6ac-7n1 D AB*

2c A

*z2 −# 1 c A

2=0

3aciendo un an8lisis dimensional

c= c Ac A0

Ϛ =√ # 2c A06 D AB zustituyendo en nuestra ecuación Ecuación $B o(tenemos una ecuación dierencial de laorma siguiente%

*2c

*Ϛ 2−6c2=0

Condiciones límite%c (0 )=1 8 c (2 )=0

+or lo tanto

*! *Ϛ

= p (c ) *,"almo*o96, *2 c

* Ϛ 2=

*p*Ϛ

=( *p*c )( *c*Ϛ )= p( *p*c ) p

*p*c

=6c2

Ecuación dierencial de primer orden y de varia(les separa(les%Tomando nuestros limites de integraciónB tomaremos condiciones tales ue-

Ϛ =2 'c=0 8 "am:-,n *c

*Ϛ = p (c )=0

Integrando

∫0

p

p*p=∫0

c

6c2*c

1

2 p2=2c3 o tam(i1n se puede expresar como

1

c=(1+Ϛ )2

2a expresión inal del peril de concentraciones es

"1


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c A 0c A

=[1+√ # 2c A 06 D AB z]2

(> a partir del resultado de a> se o(tiene la velocidad de a(sorción en la interase gas9líuido%

N A+ | z=0=− D AB* c A

*z | z=0=√23

# 2c A3 D AB

d> 2a ecuación a resolver

− D AB*2c A* z2

+ 4 (c A )=0 o p *p* c A

=4 (c A ) D AB

e o(serva ue igual ue antes se introduce la varia(le pB aora integramos y se o(tiene

ue

∫0

p

´ p* ´ p=1

D AB∫

0

c A

4 ( ć A ) * ć A o p=* c A*z

=−√2

D AB∫

0

c A

4 ( ć A ) * ć A

egunda integración%

∫c A(

c A * ć A

√(2

D AB )∫0ć A

4 (ć A ) * ć A

=−∫0

1

*z=− z

Dierenciando am(os t1rminos con respecto )

1

√(2

D AB )∫0ć A

4 ( ć A ) * ć A

*c A*z =−1 8

*c A*z | z=0=−√(

2

D AB )∫0c A 0

4 ( c A )* c A

(5>-B. R. B?RN B%RD - @$RREN E. STE@$RT - ED@%N N. #%:9T'T)Experimento con dos (ul(os para medir la diusividad de un gas- &n8lisis en estado casiestacionario%

Una orma de medir las diusividades de un gas por medio de un experimento con dos(ul(os% El (ul(o i)uierdo y el tu(o desde )F92 asta )F"B se llenan con el gas &% el (ul(odereco y el tu(o desde )F" asta )FH2 se llenan con el gas .% En el instante tF" se a(rela llave de paso y empie)a la diusiónO luego las concentraciones de & en los dos (ul(os

(ien agitados cam(ian% e mide A x

+

como una unción del tiempoB y a partir de esto se

deduce A

℘% e desea deducir las ecuaciones ue descri(en la diusión%

"2


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∞ ∞

Lave de paso

Z=-L Z=LZ=0Volumen V Volumen V

La fracción molar en el bulbo izquierdo Todo el sisema !aseoso es" en p y T consanes#La fracción molar en el bulbo de

ura 18B.6. %osque&o de un aparao de dos bulbos para medir difusividades de !ases# Los a!iadores en los dos bulbos m


De(ido a ue los (ul(os son grandes en comparación con el tu(oB A x

+

y A

x−

cam(ian muylentamente con el tiempo% +or lo tantoB la diusión en el tu(o puede tratarse como un

pro(lema en estado casi estacionarioB con las condiciones límite de ue A x

F A

x−

para )F9

2$ y ue A x

F A x+

para )FH2%

Escri(ir un (alance molar con respecto a & so(re un segmento V) del tu(o y demostrar ue1 Az

# C = es una constante%

0 Az z Az z z S# S# +∆− =

a> Demostrar ue la ecuación $=%"9$ se simpliica para este pro(lema a-

(>

A Az A

dx # c

dz = − ℘

A Az A

dx # c

dz = − ℘

División por V)B tomando como límite V)F"B dandoB

0 Az d# dz =ó

Az # constate=

% 2aecuación $=%"9$ de este pro(lema y esto se simpliica así-

( ) A A Az A A Az z Az A

dx dx # c x # # # c

dz dz = − ℘ + + = − = − ℘

"3

x t +1 A A x x− += −


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Desde Az z

# # = −B esto es verdadB porue en el sistema en la constante c para toda

mol1cula de & se mueve acia la dereca y la mol1cula de . se mueve acia la i)uierda%a> Integrar esta ecuaciónB usando el inciso % sea C! la constante de integración%

2a ecuación de ( con Az

# constate=con

( ) Az A A

# d# dz c= − ℘

B cuando se integra pasa-

1 Az

A

A

# x C

c= − +

℘

(> Evaluar la constante reuiriendo ue A A x x

+=para

z L= +

En z L=

y A A x x

+=así ue-

1 Az

A

A

# x L C

c

+ = − +℘

'estando las siguientes dos ecuacionesB entonces-

( ) Az A A A

# x x L z

c

+− = − −℘

c> 2uegoB acer

( 1 ) A A A x x o x− += −

para z L= −

despejar Az #

y o(tener inalmente-

1( )2

A Az A c # x

L+ ℘= −

Con z L= −

sa(emos ue-

1 A A A x x x− += = −

O por lo tantoB

(1 ) ( ( )) Az A A

A

# x x L L

c

+ +− − = −℘

d> 3acer un (alance de materia para la sustancia & so(re el (ul(o dereco parao(tener-

1( )2

A A A c dxS x Vc

L dt

+

+ ℘− =

En el (alance de masa o(tenido el estado del (ul(o dereco con una velocidad decam(io de moles con 7 con la ecuación m8s exacta con la velocidad de moles de 7por diusión y inalmente en el tu(o% Entonces-

"


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( ) A Az d

Vcx S# dt

+ =

ó

1( )2

A A A

dx S Vc S x

dt L

++ ℘= − =

Donde-Fsección transversal conectando al tu(o%

c> Integrar la ecuación del inciso > a in de o(tener una expresión para A x

+

ue

contenga A

℘

1

2ln( ) ( )1

2

A A

xS

t LV

+− ℘= −

2a ecuación se integra así-

21

2

A A

A

dx S dt C

LV x

+

+

℘= +−

∫ ∫

^

2

1ln( )

2

A A

S x dt C

LV

+ ℘− − = +

2a constante de integración posi(lemente se o(tiene mediante el actor tF"B sa(emos ue

la racción molar de & en el (ul(o dereco es igual a ceroB o

2

1ln( 0)

2C = − −

%

+ara ello-

1 1ln( ) ln

2 2 A

A

S x t

LV

+ ℘− − = −

^

1( )2 e7p( )

1

2

A A

xS

t LV

+− ℘− −

d> ugerir un m1todo para graicar los datos experimentales a in de evaluar A

℘

Graicamos esta ecuación-1

2ln( )1

2

A x

LV S

+−

−

vs t(5>B.F R. B?RN B%RD - @$RREN E. STE@$RT - ED@%N N. #%:9T'T) Difusión desde una otita susendida% Una gotita de liuido &B de radio r $B est8suspendida en una corriente del gas .% e postula ue ay una película de gas estancadaes1rica de radio r ! ue rodea a la gotita% 2a concentración de & en la ase gaseosa es W&$para rFr $ y W&! para el (orde exterior de la película rFr !

"!


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a> +or medio de un (alance de envolturaB demostrar ue para diusión en estado

estacionario r2

N&r es una constante en el interior de la película de gasB e

igualar al constante a r 12

N&rB el valor en la supericie de la gotita%

(> Demostrar ue la ecuación $=%"9$ y el resultado en el inciso a> llevan a la siguiente

ecuación para W&- r 12

N&r $ F−cDAB1− XA

r2*XA*r

c> Integrar esta ecuación entre los limites r $ y r ! para o(tener N&r $ F

r 2

r 1

cDAB

r2−r1 ¿

>ln

XB2

XB1

a> :_ r2

N&r r 9 :_ (r+ ;r)2

N&r r HVr F "

Dividiendo todo entre :_Vr y aplicando el limite4 π r

2 NAr r−4 π (r+ ;r)2 NAr r+ ;r

4 π;r F "

r2 NAr r−(r+ ;r)2 NAr r+ ;r ;r F "

lim ;r3 2

( r2 NAr r−(r+ ;r)2 NAr r+ ;r

;r )1

F"

*

*r < r2

N&r> F "

'esolviendo la ecuación dierencial¿ r2

* ¿∫¿N &r > F ∫0*r

r 12 N &r F C$

(> Como N &r F 9cD &. *XA

*r H W&

uponiendo ue N.r no est8 en movimiento se considera ceroB

""


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N &r W& F 9cD &. *XA

*r

N &r F 9cD &. *XA

*r

N &r F−cD AB(1− XA)

*XA

*r

i multiplicamos am(os lados de la ecuación por r2

r2 N &r F−cD AB(1− XA)

r2

*XA

*r

c> r2

N &r *r

r2 F−cD AB(1− XA) dW &

∫r1

r2

r2 N Ar

*r

r2 F ∫

XB1

problemas de masa capitulo 18 y 25

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