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Reduca (Geología). Serie Geología Estructural. 2 (1): 1‐10, 2010. ISSN: 1989‐6557

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Problemas de Geología Estructural

1. Conceptos generales

Rosa Blanca Babín Vich1. David Gómez Ortiz2.

1Departamento de Geodinámica. Facultad de Ciencias Geológicas. Universidad Complutense de Madrid. José Antonio Novais, s/n. 28040‐Madrid.

[email protected] 2Área de Geología‐ESCET. Universidad Rey Juan Carlos. Tulipán, s/n. 28933‐Móstoles.

[email protected]

Resumen: La proyección estereográfica es una de las mejores técnicas para resolver problemas geométricos en Geología Estructural. Trabaja con líneas y planos sin tener en cuenta sus relaciones espaciales, por tanto, solo se pueden representar valores angulares. Palabras clave: Proyección estereográfica. Circunferencia primitiva. Falsillas de proyección.

PRÓLOGO

El tratamiento cuantitativo de la geometría en tres dimensiones puede ser a veces muy arduo, mediante fórmulas trigonométricas que en ocasiones provocan que el problema no pueda ser resuelto rápidamente por los alumnos. El resultado, a menudo, es que la manipulación de los datos puede llevar a errores y a un desconocimiento de cuáles son las ecuaciones que se deben utilizar en cada caso.

Afortunadamente y como ayuda para simplificar las técnicas gráficas, se utiliza en Geología Estructural la proyección estereográfica, que requiere en principio que el alumno tenga una buena visión de los procesos de proyección. El crear una imagen proyectada en la mente puede parecer difícil al comienzo, pero con una cierta práctica, el alumno puede llegar a ser casi un experto. Se recomienda hacer dibujos en tres dimensiones para plasmar la imagen pensada y pasar a continuación la misma imagen a dos dimensiones. De esta forma se relaciona la estructura en tres dimensiones con la que vamos a ver proyectada, ya sea mediante proyección ortográfica o estereográfica.

Este tipo de proyección es ideal para analizar relaciones angulares y trabajar con datos de orientaciones. Las aplicaciones más generales incluyen la determinación de ángulos entre líneas, entre planos y entre ambos. También se utiliza para el análisis y clasificación de superficies curvadas (pliegues), orientación de planos a partir de testigos de sondeos y obtención de orientaciones poco visibles en el campo a partir de


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distintos conjuntos de datos. En combinación con la proyección ortográfica, se pueden resolver muchos problemas típicos de la Geología Estructural y de la Ingeniería Geológica.

Este manual está estructurado en varios artículos Babín y Gómez (2010 a, b, c, d, e, f, g y h). Cada uno de ellos comienza con una definición somera de los conceptos más básicos, como pueden ser las orientaciones de planos en el espacio y su representación, para terminar analizando cada una de las principales estructuras geológicas. Al principio de cada artículo se ofrece una introducción referente a los conceptos fundamentales necesarios para la comprensión y resolución de los problemas que se desarrollan a continuación. Nuestro deseo es que este trabajo sirva como orientación a futuras generaciones de estudiantes, que, dentro de las Ciencias Geológicas, han elegido esta especialidad para desarrollar su futura vida laboral.

INTRODUCCIÓN

El objetivo de este manual es introducir al alumno en el conocimiento de las técnicas básicas de proyección estereográfica, indispensables para cualquier geólogo que vaya a desarrollar su trabajo en relación con Geología Estructural (orientaciones de planos y líneas en el espacio), Cartografía (relaciones angulares entre estratos, discordancias, etc), Geotecnia (cálculo del factor de seguridad de un talud), etc. En cada uno de los artículos se van resolviendo ejercicios sencillos a partir de una serie de definiciones consideradas de conocimiento imprescindible para los problemas que se van a desarrollar a continuación.

Aunque este método de proyección está explicado en muchos libros con mayor o menor extensión, nuestra experiencia como profesores de Geología Estructural es que muchos estudiantes son capaces de representar los datos estructurales sin entender el principio del método que están empleando. Este manual pretende, mediante ilustraciones y ejercicios resueltos, visualizar el problema que concierne a las tres dimensiones y a su representación bidimensional.

Es bien sabido, que la representación de datos estructurales mediante métodos geométricos se dificulta en gran manera cuando es necesario analizar un gran número de medidas. En este sentido se introduce el concepto de proyección estereográfica, herramienta utilizada ampliamente por los geólogos desde la mitad del siglo XIX, como una alternativa sencilla y simple para representar datos tridimensionales en dos dimensiones.

Aunque en un principio este tipo de proyección pueda parecer abstracta, con su uso el alumno se dará cuenta de la facilidad y rapidez de resolución de distintos tipos de problemas en Geología Estructural. Actualmente, los ordenadores son capaces de proyectar datos estructurales en proyección estereográfica, pero no sabremos interpretar el resultado si no aprendemos a proyectar datos manualmente. La falsilla


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de proyección se puede llevar al campo fácilmente y los datos pueden ser proyectados, interpretados y en su caso, corregidos, directamente en el afloramiento.

El material necesario para llevar a cabo este tipo de proyección, es muy simple. Únicamente se necesita una falsilla de proyección (Anexo I) que aparece en la mayor parte de los libros de Geología Estructural, una chincheta, lápiz y goma de borrar, así como grandes cantidades de papel transparente o de calco. Se recomienda resolver cada problema en un papel transparente distinto, para poder repasarlo después y corregir si fuera necesario.

LA PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA. CONCEPTOS GENERALES

Imaginemos un observador situado en el centro de una esfera de cristal transparente. Cualquier dirección supuesta, estará representada por un punto determinado, situado en la superficie de la esfera. Por ejemplo, la dirección “oeste” estará indicada por un punto en el ecuador de la esfera, situado al oeste del observador.

Los primeros astrónomos definieron las posiciones relativas de las estrellas proyectándolas como puntos blancos en la superficie de una esfera de color negro. A esta representación se le dio el nombre de “esfera celestial”, en la que las distancias relativas de la tierra a las estrellas no podían ser representadas en su magnitud real.

Una superficie esférica en la cual las posiciones de los elementos característicos están indicadas, se denomina proyección esférica, siempre teniendo en cuenta que se representan orientaciones, no distancias entre los elementos proyectados.

Las proyecciones esféricas se utilizan para representar orientaciones de líneas y/o planos, siempre que la línea o el plano pase a través del centro de la esfera. En ese caso, una línea intersecta a la superficie de la esfera en dos puntos diametralmente opuestos, mientras que la intersección de un plano con la esfera será un círculo mayor (Fig. 1). La intersección de la línea o el plano con la esfera es su proyección esférica.

Figura 1. Proyección de una línea y un plano en el hemisferio inferior de la esfera.


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Una proyección de este tipo, representa el elemento proyectado en tres dimensiones. Afortunadamente, una esfera puede ser proyectada en un plano bidimensional. Las proyecciones planares más comunes de una esfera se denominan proyecciones azimutales, que se construyen haciendo pasar las líneas de proyección desde un punto común hasta la esfera, intersectando el plano de proyección. Este puede ser tangente a la superficie de la esfera, estar a una determinada distancia de ella o pasar a través del centro de la esfera. Un cambio en la posición del plano de proyección, da lugar a un cambio de escala en la proyección. El plano de proyección puede tener cualquier orientación, y esto determina que la proyección sea ecuatorial, polar u oblicua (Fig. 2).

Figura 2. Proyecciones polar y oblicua, como ejemplos de posibles orientaciones del plano de proyección.

La proyección estereográfica es un caso especial de proyección azimutal, que en su principio fue desarrollada por los cristalógrafos. Su característica principal es que el punto fuente usado en su construcción está situado en la superficie de la esfera. En geología, el plano de proyección usado para construir la proyección estereográfica pasa por el centro de la esfera, y se corresponde con su plano ecuatorial.


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Figura 3. A. Plano en tres dimensiones, orientado mediante dirección y buzamiento. B. Proyección esférica del plano, en el hemisferio inferior de la esfera. C. Estereograma del plano.


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Vamos a visualizar la construcción de una proyección estereográfica (Fig. 3). Imaginemos un punto marcado en el hemisferio inferior de nuestra esfera de cristal, que representa la proyección esférica de un punto en el espacio. La proyección estereográfica de este punto se construye dibujando una línea de proyección que conecte el punto situado en el hemisferio inferior, con el zenit de la esfera colocado en la parte superior de la misma. La intersección de la línea de proyección con el plano ecuatorial (plano de proyección) de la esfera, es la proyección estereográfica de ese punto. En Geología Estructural siempre proyectamos desde el hemisferio inferior de la esfera y el elemento representado (línea o plano) pasa por el centro de la esfera de referencia, mientras que en Cristalografía se utiliza el hemisferio superior. Los planos intersectan el hemisferio inferior como círculos mayores, y las líneas, como puntos. Cada punto de un círculo mayor en el hemisferio inferior, unido con el zenit, da a su vez un punto en el círculo ecuatorial de proyección. La unión de todos estos puntos muestra la proyección estereográfica (estereograma) del plano que pasa por el centro de la esfera y que corresponde a un círculo mayor. Hemos reducido una geometría tridimensional a dos dimensiones.

La intersección del plano ecuatorial (plano de proyección) con la esfera, se denomina “circunferencia primitiva”, mas abreviado, la primitiva. Tiene el mismo radio que la esfera de proyección original y todos los puntos en la superficie del hemisferio inferior quedan proyectados como puntos en o dentro de la primitiva.

La proyección estereográfica es una de las mejores técnicas para resolver problemas geométricos en Geología Estructural. Se diferencia de la proyección ortográfica en un punto fundamental: ésta preserva las relaciones espaciales entre las estructuras, mientras que la estereográfica trabaja con planos y líneas sin tener en cuenta sus relaciones espaciales, únicamente las angulares.

El uso de la proyección estereográfica es, en muchos casos, preferible al de la proyección ortográfica, ya que es capaz de resolver gran cantidad de problemas geométricos con mayor facilidad y rapidez, siempre que en ellos solo intervengan valores angulares. Ambos tipos de proyecciones son complementarios, de forma que los datos angulares se tratan con proyección estereográfica y los escalares, mediante proyección ortográfica o de planos acotados.

En la práctica, la proyección estereográfica de líneas y planos se lleva a cabo con ayuda de una falsilla de proyección (stereographic net). Esta falsilla o estereoneta está formada por un conjunto de proyecciones de círculos mayores y menores que ocupan el plano ecuatorial de proyección de la esfera de referencia. Ambos conjuntos de círculos están espaciados con intervalos de 2º, apareciendo marcados con un trazo más grueso los que corresponden a valores múltiplos de 10 (Fig. 4).


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Figura 4. Falsilla de proyección estereográfica (Falsilla de Wulff) o estereoneta. Conserva los ángulos.

Los círculos mayores representan una familia de planos con dirección norte‐sur, cuyos buzamientos varían desde 0º a 90º en ambos sentidos. Estos planos se cortan según una línea horizontal representada por el norte o el sur de la falsilla.

Los círculos menores son aquellos a través de los cuales medimos las direcciones de los distintos planos y líneas en la proyección. También se utilizan para hacer rotaciones de distintos elementos estructurales alrededor de ejes horizontales, verticales o inclinados. Representan la proyección sobre el plano ecuatorial de un conjunto de planos que no pasan por el centro de la esfera, espaciados de 2º en 2º. Cada círculo menor corresponde al corte de una superficie cónica con la esfera, cuyo ápice está situado en el centro de la esfera y su altura coincide con el radio de la falsilla. La combinación de círculos mayores y menores constituye un ábaco perfectamente apto para la proyección estereográfica de líneas y planos.

Existen dos tipos distintos de estereoneta: la falsilla de Wulff y la de Schmidt (Fig. 5). La primera conserva ángulos, como se explicará a continuación, mientras que la segunda conserva áreas y por tanto, se utiliza para realizar contajes estadísticos de elementos (planos de falla, ejes de cuarzo, lineaciones, etc). La forma de proyectar planos y líneas en cualquiera de estas falsillas, es exactamente la misma, y se irá aprendiendo una vez que se vayan desarrollando los distintos artículos del manual.


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Figura 5. Falsillas utilizadas en la proyección estereográfica. Falsilla de Wulff (izquierda) y falsilla de Schmidt (derecha).

BIBLIOGRAFÍA

Babín Vich, R. B. y Gómez Ortiz, D. 2010 a. Problemas de Geología Estructural. 2.

Orientación y proyección de planos en el espacio. Reduca (Geología). Serie Geología Estructural, 2 (1): 11‐23.

Babín Vich, R. B. y Gómez Ortiz, D. 2010 b. Problemas de Geología Estructural. 3.

Orientación y proyección de líneas en el espacio. Reduca (Geología). Serie Geología Estructural, 2 (1): 2 (1): 24‐40.

Babín Vich, R. B. y Gómez Ortiz, D. 2010 c. Problemas de Geología Estructural. 4.

Proyección polar de un plano. Proyección π Reduca (Geología). Serie Geología Estructural, 2 (1): 2 (1): 41‐56.

Babín Vich, R. B. y Gómez Ortiz, D. 2010 d. Problemas de Geología Estructural. 5.

Rotaciones Reduca (Geología). Serie Geología Estructural, 2 (1): 57‐73. Babín Vich, R. B. y Gómez Ortiz, D. 2010 e. Problemas de Geología Estructural. 6.

Cálculo de la orientación de la estratificación a partir de testigos de sondeos. Reduca (Geología). Serie Geología Estructural, 2 (1): 74‐94.

Babín Vich, R. B. y Gómez Ortiz, D. 2010 f. Problemas de Geología Estructural. 7.

Pliegues. Reduca (Geología). Serie Geología Estructural, 2 (1): 95‐123. Babín Vich, R. B. y Gómez Ortiz, D. 2010 g. Problemas de Geología Estructural. 8. Fallas

Reduca (Geología). Serie Geología Estructural, 2 (1): 124‐147.


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Babín Vich, R. B. y Gómez Ortiz, D. 2010 h. Problemas de Geología Estructural. 9. Análisis estructural mediante diagramas de contornos Reduca (Geología). Serie Geología Estructural, 2 (1): 2 (1): 148‐192.

BIBLIOGRAFÍA DE CONSULTA Davis, G. H. 1984. Structural Geology of rocks and Regions. Wiley & Sons. 492 pp. Lheyson, P. R.; Lisle, R. J. 1996. Stereographic projection techniques in Structural

Geology. Butterworth‐Heinemann Ltd. Oxford. 104 pp. Marshak, S & Mitra, G. 1982. Basic methods of structural geology. Prentice & Hall. 446

pp. Phillips, F. C. 1971. The use of stereographic projection in Structural Geology. Edward

Arnol. London. 90 pp. Ragan, D. M. 1987. Geología Estructural. Ed. Omega. Barcelona. 210 pp. Turner, F. & Weiss, L.R. 1963. Structural analysis of metamorphic tectonites. McGraw

Hill. New York. 545 pp.


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2. Orientación y proyección de planos en el espacio




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Resumen: Los elementos planares en Geología Estructural (superficies de estratificación, discordancias, fallas, flancos de pliegues, planos axiales, etc.) son muy comunes y por tanto deben saber representarse correctamente en proyección estereográfica. Comprender y manejar correctamente conceptos como dirección, buzamiento y sentido de buzamiento de un plano es fundamental. Palabras clave: Dirección. Buzamiento real. Buzamiento aparente. Sentido de buzamiento.

INTRODUCCIÓN

En primer lugar y de forma muy concisa, recordaremos los conceptos de dirección, buzamiento real y aparente y sentido de buzamiento de un plano, con objeto de que el alumno conozca perfectamente todos estos términos y no haya confusión a la hora de proyectar cualquiera de ellos.

DEFINICIONES

Las estructuras geológicas que observamos en los afloramientos (fallas, pliegues, discordancias, etc) pueden ser consideradas en dos dimensiones como planos o estructuras planares. La orientación de cualquiera de estos planos en el espacio se realiza con ayuda de una brújula que mide la dirección del plano en la horizontal y con respecto al norte, y el buzamiento en el plano vertical perpendicular a la dirección. Para orientar perfectamente el plano, por tanto, es necesario medir ambos ángulos, dirección y buzamiento.

Otra posibilidad para definir este mismo plano en el espacio, es medir su ángulo de buzamiento y el sentido de buzamiento del mismo con respecto al norte, o sea, la


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orientación de la línea perpendicular a la línea de dirección. Nuevamente es necesario conocer los dos ángulos para saber exactamente la orientación del plano. Dirección y buzamiento real del plano

Dirección del plano

Una línea horizontal inscrita en el plano recibe el nombre de línea de dirección y corresponde a la intersección entre el plano y un plano horizontal imaginario. El ángulo de dirección del plano corresponde al ángulo formado entre esta línea horizontal y el norte geográfico. En el afloramiento se mide con la brújula y

generalmente se representa con la letra griega . En el bloque diagrama correspondiente a la figura 1, la línea XY representa una línea de dirección del plano. Su dirección es el ángulo que forma con respecto al norte geográfico y como cualquier dirección tiene dos sentidos, que difieren entre si 180º. Para describir esta dirección existen dos alternativas: Mediante una notación por cuadrantes, contando desde el norte hacia el

este o hacia el oeste. En este caso debemos decir el punto del que partimos (norte), a continuación el valor del ángulo y seguidamente hacia donde estamos contando (este u oeste). Una dirección sería por ejemplo N32ºE, N20ºO, etc.

O bien asignando a la dirección norte un valor de 000º o 360º, siempre con

tres dígitos. En el caso de que no se especifique, se entiende que el ángulo de dirección está contado desde el norte hacia el este, en el sentido de las agujas del reloj. Las direcciones anteriores en este caso serían 032º y 340º.

Buzamiento real del plano Se define como el ángulo que forma este plano con la horizontal, medido según la línea de máxima pendiente del plano, por tanto, medido en el plano vertical que es perpendicular a la línea de dirección del plano (Fig. 1). Se

representa con la letra . Para que el valor de este ángulo sea correcto, es necesario especificar su sentido: 34ºS, 45ºE, 82ºN, etc, ya que cualquier plano con una dirección dada puede buzar en dos sentidos opuestos. Por ejemplo, un plano con dirección 000º, puede buzar al este o al oeste, por tanto hay que especificar el sentido de buzamiento.


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Figura 1. Representación de un plano en tres dimensiones.

Buzamiento y sentido de buzamiento de un plano. Buzamiento aparente

Sentido de buzamiento (en algunos textos, dirección de buzamiento) Es el ángulo que forma la proyección en la horizontal de la línea de máxima pendiente del plano con el norte geográfico. Por tanto, su valor angular está situado a 90º del valor angular correspondiente a la dirección del plano. Se

representa con las letras s (Fig. 2).

Figura.2. Plano orientado en el espacio mediante sentido de buzamiento y ángulo de buzamiento.


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A partir de esta definición se deduce que cualquier plano se puede orientar en el espacio mediante su sentido de buzamiento y su ángulo de buzamiento. En este caso, no es necesario añadir al valor del ángulo de buzamiento su sentido, ya que este es conocido. Tomando como ejemplo un plano de estratificación, según la primera posibilidad (caso a) el plano sería N32ºE‐25ºSE y tomando la segunda (caso b), el mismo plano sería 122º‐25º, siendo 122º el sentido de buzamiento y 25º el ángulo de buzamiento. Su sentido es al SE, ya que es el cuadrante que contiene el ángulo de valor 122º. En el caso de que el plano buzara en sentido contrario, hacia el NO, su sentido de buzamiento sería 302º, en ambos casos a 90º de la dirección del plano, bien en un sentido o en otro según hacia donde se incline el plano.

Buzamiento aparente

Es el ángulo que forma el plano con la horizontal medido en un plano vertical, según una dirección cualquiera que no sea perpendicular a la línea de dirección del plano. Su valor angular siempre es menor que el correspondiente al

buzamiento real. Se representa con la letra ´ (Fig. 1). El valor del ángulo de buzamiento, sea este real o aparente, está comprendido entre 0º (horizontal) y 90º (vertical). El máximo valor del buzamiento aparente estará situado sobre la dirección que coincida con el sentido de buzamiento real, mientras que el valor mínimo del buzamiento aparente será cuando se mida este sobre una dirección que coincide con la dirección del plano.

PROYECCIÓN CICLOGRÁFICA DE UN PLANO (PROYECCIÓN )

Tomemos un plano orientado en el espacio mediante su dirección y buzamiento, por ejemplo el plano N60ºE‐40ºSE. Para hallar su proyección estereográfica, haremos lo siguiente:

Colocamos la chincheta en el centro con la punta hacia nosotros, superponemos un transparente sobre la falsilla, dibujamos en él la primitiva y los cuatro puntos cardinales (Fig. 3 A).

Señalamos sobre la primitiva el valor angular correspondiente a la dirección del plano y giramos el transparente hasta que este valor coincida con el diámetro norte‐sur de la falsilla (Fig. 3 B).

En esta posición, contamos el valor del buzamiento sobre el diámetro E‐O de la falsilla, teniendo en cuenta su sentido, siempre desde la primitiva hacia el centro de la falsilla, y pintamos el círculo mayor que tiene esa dirección y ese ángulo de buzamiento (Fig. 3 C).


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Giramos el transparente sobre la falsilla hasta que coincidan otra vez los dos polos norte (de transparente y falsilla de proyección), y hemos obtenido la representación del plano en proyección estereográfica, o sea, el estereograma del plano o bien la proyección ciclográfica del plano (plano representado mediante un círculo mayor de la falsilla) (Fig. 3 D).

Como se puede observar, el procedimiento es sencillo y rápido. Las direcciones

se colocan sobre la primitiva (plano horizontal) y se llevan al diámetro N‐S de la falsilla y de esta forma, los buzamientos, siempre en el plano vertical perpendicular a la dirección, se cuentan en el diámetro E‐O de la falsilla. Ambos diámetros representan dos planos verticales y perpendiculares entre si, por tanto cumplen las definiciones anteriores.

A continuación, vamos a resolver distintos tipos de problemas referentes a

planos, explicando paso a paso el proceso seguido.

Figura 3. Representación estereográfica de un plano. Ver texto para su explicación.


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CONCLUSIONES

De lo anteriormente expuesto, se puede deducir que un plano en el espacio se orienta mediante:

Dirección y buzamiento real del plano Para proyectar este plano, colocamos la dirección sobre el diámetro (plano vertical) norte‐sur de la falsilla, y leemos el valor correspondiente al ángulo de buzamiento sobre el diámetro este‐oeste, desde la primitiva hacia el centro de la falsilla. Dibujamos el círculo mayor correspondiente y este representa el estereograma del plano. (Fig. 1).

Sentido de buzamiento y ángulo de buzamiento real del plano El sentido de buzamiento es siempre perpendicular a la dirección, luego en este caso colocamos el sentido de buzamiento en la primitiva, sobre el diámetro este‐oeste de la falsilla. Sobre este mismo diámetro contamos, desde la primitiva hacia el centro, el valor del ángulo de buzamiento y pintamos el estereograma (Fig. 2).

Dos buzamientos aparentes o dos líneas contenidas en el plano Cada uno de estos dos buzamientos aparentes nos dará un punto en la proyección, que equivale a la proyección de una línea que está contenida en el plano que estamos buscando. Moviendo el transparente sobre la falsilla hasta que los dos puntos estén situados en un círculo mayor, dibujamos este círculo que corresponde al estereograma del plano buscado (Fig. 1).

PROBLEMAS

Problema 1

Dibujar los estereogramas correspondientes a los planos siguientes: a)360º‐30ºE, b)270º/60º, c)090º‐24ºS, d)045º‐56ºSE, e)horizontal, f)080º‐90º (Fig. 4).


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Figura 4. Proyección estereográfica (estereograma) de los planos del problema 1 del texto.

Colocar el transparente sobre la falsilla, dibujar la circunferencia primitiva y los puntos cardinales.

Para cada uno de los planos, el procedimiento es el siguiente:

Hacer una señal en la primitiva indicando la dirección dada.

Llevar esta dirección sobre el diámetro N‐S.

Contar el buzamiento sobre el diámetro E‐O.

Dibujar el círculo mayor correspondiente.

Observar con atención los datos que da el problema. ¿Son todos ellos de dirección y buzamiento, o alguno de los planos está orientado mediante sentido de buzamiento y buzamiento?

En el plano con orientación 270º/60º, a continuación del ángulo de buzamiento

no hay ninguna indicación acerca del sentido de este buzamiento. O bien el plano está mal indicado o está orientado mediante sentido de buzamiento y buzamiento. El ángulo de buzamiento del plano es de 60º y su sentido, 270º (oeste de la falsilla), luego este plano está buzando hacia el oeste y su dirección es 000º o 180º (perpendicular a 270º).


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Para hallar su estereograma, colocamos la dirección 270º sobre el diámetro E‐O de la falsilla y contamos directamente desde la primitiva hacia el centro, los 60º. En ese punto dibujamos el círculo mayor correspondiente a este plano.

El último plano es vertical (su buzamiento es de 90º), por tanto vendrá

representado por un diámetro de la falsilla o lo que es lo mismo, el círculo mayor correspondiente es una línea recta que pasa por el centro de la falsilla y tiene una dirección de 80º. Problema 2

Para una superficie de estratificación cuya orientación es 080º‐24ºS, deducir las orientaciones de su máxima pendiente y de una pendiente de 0º. Calcular los valores de los buzamientos aparentes según los sentidos 100º, 120º, 190º y 260º.

Dibujar la circunferencia primitiva en el transparente y colocar los puntos cardinales. Marcar sobre ella la dirección 80º y girar el transparente hasta que esta dirección coincida sobre el diámetro (plano vertical) N‐S de la falsilla.

Sobre el diámetro E‐O de la falsilla, a partir de la primitiva hacia dentro y desde el extremo del diámetro más próximo al sur (el plano buza al sur), contamos el valor correspondiente al ángulo de buzamiento y dibujamos el estereograma del plano (círculo mayor).

Giramos nuevamente el transparente hasta ponerlo en su posición original.

Por definición, la orientación de la línea de máxima pendiente de un plano es perpendicular a la dirección del plano, por tanto estará situada sobre la dirección 80º+90º=170º, luego la línea de máxima pendiente del plano (sentido de buzamiento) está orientada según los 170º. La pendiente correspondiente a 0º (buzamiento aparente de 0º) se encontrará según una dirección que coincida con al dirección del plano, bien 80º o 260º.

Para calcular cualquier valor de buzamiento aparente según un sentido

determinado, marcamos sobre la primitiva el sentido deseado, lo colocamos sobre el diámetro E‐O de la falsilla y contamos sobre él el ángulo entre la primitiva y el estereograma. Este valor es el buzamiento aparente medido según el sentido requerido. La misma operación se repite para cada uno de los buzamientos aparentes.

Si estos problemas los resolvemos con la falsilla de Wulff que conserva ángulos,

podemos hacer medidas de buzamientos aparentes, inmersiones de líneas, etc, sobre cualquiera de los diámetros (planos verticales), tanto el N‐S como el E‐O.

En la figura 5 está resuelto el problema y las soluciones son las siguientes:


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Según el sentido 100º, el buzamiento aparente es de 10º; según el sentido 120º, es de 17º, según el sentido 190º es de 22,5º y según el sentido 260º es de 0º, ya que 260º corresponde a la dirección del plano.

Figura 5. Resolución del problema 2. Ver texto para su explicación.

Problema 3

La orientación de un estrato es 220º‐70ºS. Hallar los sentidos en los que se encontrarán buzamientos aparentes de 30º, 50º y 70º.

Colocar el transparente sobre la falsilla y dibujar la circunferencia primitiva y los puntos cardinales. A continuación, representar el estereograma del plano colocando la dirección (220º) sobre el diámetro N‐S de la falsilla y contando el buzamiento desde el sur sobre el diámetro E‐O.

Una vez dibujado el estereograma, vamos moviendo el transparente y buscando los valores de los ángulos de buzamiento aparente sobre el diámetro E‐O. Cada vez que encontramos uno de estos valores, los sentidos los leemos directamente sobre la primitiva. Hay que tener en cuenta que siempre existirán dos sentidos en los que se cumple que el buzamiento aparente es del mismo valor.

El problema resuelto aparece en la figura 6 y las soluciones son:

Buzamiento aparente de 30º, según los sentidos 207º y 053º.

Buzamiento aparente de 50º, según los sentidos 194º y 067º


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El buzamiento de 70º es el buzamiento real, dato que nos da el enunciado del problema. El sentido correspondiente a este buzamiento real será 220º‐90º=130º, no existiendo buzamiento aparente según ese sentido.


Problema 4

El plano axial de un pliegue tiene una dirección de 160º y se ha podido medir un buzamiento aparente de 18º según la dirección 030º. Calcular el valor del buzamiento real del plano axial (Fig. 7).

Colocar sobre la primitiva una marca en la dirección del plano axial, en este caso, 160º.

A continuación marcar la dirección 30º, llevarla a un plano vertical de la falsilla de Wulff y contar desde la periferia hacia el centro el ángulo de buzamiento aparente de 18º. Este buzamiento aparente viene representado por un punto dentro de la falsilla de proyección, como se indica en Babín y Gómez (2010), referente a las líneas.

El plano buscado se obtendrá llevando la dirección 160º sobre el diámetro N‐S de la falsilla y trazando el círculo mayor que contiene el punto que representa el buzamiento aparente dado. El buzamiento real del plano leído en el estereograma, es de 23º al E o SE, o bien 23º/070º.


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Problema 5

En un afloramiento se observa una serie terciaria discordante sobre el Cretácico. De esta discordancia se han medido dos buzamientos aparentes: 140º/15º y 078º/30º. Calcular la orientación del plano.

Como ya es costumbre, dibujar la circunferencia primitiva y los puntos cardinales.

Representar la falsilla cada uno de los buzamientos aparentes medidos en el campo. Como se ha visto en el problema anterior, para cada uno de ellos se coloca su dirección sobre uno de los diámetros verticales de la falsilla y sobre él, directamente, se cuenta el valor correspondiente al buzamiento aparente (15º y 30º respectivamente).

De esta forma se obtienen dos puntos (líneas) dentro de la falsilla de proyección. Se mueve el transparente hasta que los dos puntos estén situados sobre un círculo mayor y se dibuja este. Corresponde al estereograma del plano


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buscado y leemos su orientación, que resulta ser 168º‐30ºE. Observar que en este caso, uno de los supuestos buzamientos aparentes, en realidad corresponde con el buzamiento real del plano (Fig. 8).


Problema 6

Un estrato tiene un buzamiento de 40ºN. ¿En qué dirección el buzamiento aparente será máximo? ¿Se mantendrá la misma dirección de buzamiento si el valor del ángulo de buzamiento varía? Razonar la respuesta.

Si un estrato tiene un valor de buzamiento, sea cual sea este, en sentido norte, es en esa dirección donde el buzamiento aparente será máximo, ya que es el sentido de buzamiento real del plano. Esto quiere decir que la dirección del estrato debe ser la perpendicular al sentido de buzamiento, por tanto esta dirección necesariamente es E‐O, o 90º o 270º.

Se dibuja el estereograma correspondiente a este plano (Fig. 9), y se observa, como es lógico, que el valor máximo de buzamiento aparente coincidirá con el buzamiento real del plano, según el sentido norte (000º o 360º). Sea cual sea el valor correspondiente al buzamiento real del plano, siempre el sentido de este buzamiento será perpendicular a la dirección, por lo tanto será hacia el norte.


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BIBLIOGRAFÍA

Babín Vich, R. B. y Gómez Ortiz, D. 2010. Problemas de Geología Estructural. 3. Orientación y proyección de líneas en el espacio. Reduca (Geología). Serie Geología Estructural, 2 (1): 24‐40.





Hill. New York. 545 pp. Recibido: 18 noviembre 2009. Aceptado: 22 diciembre 2009.


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3. Orientación y proyección de líneas en el espacio




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Resumen: la orientación y representación estereográfica de elementos lineales tales como ejes de pliegues, lineamientos minerales, estrías de falla, etc. presentan algunas diferencias importantes respecto a los elementos planares que hay que conocer. Conceptos como inmersión y cabeceo son descritos en detalle, junto con numerosos ejemplos de representación. Palabras clave: dirección. Inmersión. Cabeceo. Sentido de buzamiento.

INTRODUCCIÓN

En primer lugar y de forma muy concisa, recordaremos los conceptos de dirección, inmersión y cabeceo de una línea, con objeto de que el alumno conozca perfectamente todos estos términos y no haya confusión a la hora de proyectar cualquiera de ellos.

DEFINICIONES

Las estructuras lineares en rocas aparecen con gran variedad de formas y orígenes. Pueden ser estructuras primarias desarrolladas durante la sedimentación, como sucede con aquellas estructuras de corriente que en ocasiones se observan en los planos de estratificación que ahora se ven basculados, o bien estructuras relacionadas con la deformación. En el primer caso, la proyección estereográfica permite conocer la dirección de dicha corriente en el momento de su actuación.

Más interesantes para al geólogo estructural son las estructuras lineares de origen tectónico. Líneas de charnela o líneas de máxima curvatura del pliegue, lineaciones minerales en tectonitas metamórficas, estrías de falla que nos dan información de la dirección de movimiento de la falla y un largo etcétera. También


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podemos obtener datos de las estructuras a partir de las líneas de intersección entre dos planos no paralelos.

De la misma manera, deben ser tenidas en cuenta otro tipo de líneas que no se

manifiestan en el afloramiento como estructuras visibles, pero que pueden ser construidas geométricamente. Líneas alrededor de las cuales otras son giradas (ejes de rotación), líneas perpendiculares a un plano dado (normal al plano o polo del plano), ejes principales de esfuerzos, ejes de pliegues, etc.

Desde el punto de vista de la proyección estereográfica, las líneas vienen

representadas en el plano ecuatorial de la esfera de proyección por un punto, tanto si nos referimos a líneas que podemos observar físicamente (cantos estirados, estrías de falla, etc.) como aquellas que resultan de la intersección de planos (clivaje y estratificación, dique y esquistosidad, etc.). Todas estas líneas se orientan en el espacio en función de los ángulos que se enuncian a continuación. Dirección

Es el ángulo que forma la proyección en la horizontal de la línea, con el norte geográfico. Normalmente se representa con la letra δ (Fig. 1).

Inmersión (plunge)

Es el ángulo que forma la línea con su proyección en la horizontal, medido en el plano vertical que contiene a la línea y a su proyección. Se representa con la letra i (Fig. 1).

Figura 1. Ángulos utilizados para orientar líneas en el espacio.


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Por ejemplo, una línea con orientación 068º/30º tiene una inmersión (“se inclina”) 30º hacia la dirección 068º, luego el sentido de inmersión es 068º o NE. La línea 125º/00º puede también ser escrita como 305º/00º ya que es horizontal (inmersión 00º), luego su sentido de inmersión puede ser cualquiera de los dos. Una línea con una inmersión de 90º es vertical sin sentido de inmersión definido.

Cabeceo (pitch, rake)

Muchas estructuras lineares se desarrollan dentro de planos estructurales. En el caso de que una línea esté contenida en un plano inclinado, el cabeceo es el ángulo, entre la línea y la dirección del plano inclinado que la contiene, medido en este plano inclinado. Se representa con la letra c (Fig. 1).

ORIENTACIÓN DE LÍNEAS EN EL ESPACIO

Para orientar una línea en el espacio, es necesario conocer su dirección y un segundo ángulo que puede ser la inmersión o bien el cabeceo sobre un plano conocido. Si utilizamos la inmersión, hemos de imaginar un plano vertical que contiene a la línea y a su proyección. La dirección de este plano vertical es la dirección de la línea y el ángulo que forman la línea y su proyección, es el ángulo de inmersión. De las dos posibilidades de dirección (a 180º una de otra), se escoge aquella hacia la cual se dirige la inmersión de la línea (sentido de inmersión).

Si la línea está contenida en un plano visible (estrías en un plano de falla), se

puede utilizar para la orientación de ésta, el ángulo de cabeceo además de su dirección. El valor del ángulo de cabeceo puede variar desde cero cuando la línea es horizontal hasta 90º, cuando se mide paralelamente al sentido de buzamiento del plano. Para describir correctamente el cabeceo es necesario dar el valor del ángulo y su sentido, así como la orientación del plano en el que se ha medido.

PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA DE UNA LÍNEA

Línea orientada mediante dirección e inmersión

El principio básico es similar a la proyección de un plano. La línea L pasa por el centro de la esfera y se extiende hasta cortar al hemisferio inferior en un punto (P). Este punto se une con el zenit de la esfera mediante una línea recta, y la proyección estereográfica de la línea L se localiza donde esta recta corta al plano de proyección, por tanto, en un punto (P´) (Fig. 2 A). Las líneas se proyectan como puntos en proyección estereográfica. El procedimiento es el siguiente suponiendo una línea con orientación 060º/40º.


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Figura 2. A. Proyección esférica de una línea. B. Representación estereográfica de líneas: horizontal, vertical e inclinada.

Marcar en la circunferencia primitiva la dirección (sentido de inmersión) de la línea, 060º en este ejemplo (Fig. 3 A).

Girar el transparente hasta que esta marca esté situada en uno de los diámetros principales, norte‐sur o este‐oeste siempre que se utilice la falsilla de Wulff. Si se utiliza la de Schmidt, sobre el diámetro este‐oeste únicamente (Fig. 3B).

Contar el ángulo de inmersión a lo largo de este radio desde la circunferencia primitiva hacia el centro, y marcar el punto que representa la proyección de la


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línea (Fig. 3 C). La posición final de la línea en el estereograma, se aprecia en la figura 3 D.

Figura 3. Proyección estereográfica de una línea. Ver texto para su explicación.

Cuando existe una línea horizontal, con una dirección determinada, por ejemplo,

N‐S, su orientación sería 00º/360º o bien 00º/180º, de forma que teóricamente vendría representada en la proyección por dos puntos situados en la circunferencia primitiva, justamente sobre los puntos cardinales norte y sur de la falsilla. Estos dos puntos están representando la misma línea y cualquiera de ellos define su orientación. Con dibujar uno de ellos, es suficiente.

De la misma manera, podemos obtener a partir del estereograma la orientación

de una línea. Imaginemos una situación como la que aparece en la figura 2 B.


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Las líneas vienen representadas por los tres puntos marcados. Para conocer su orientación, hacemos lo siguiente:

Giramos el transparente hasta que el punto que representa la línea quede sobre uno de los diámetros N‐S o E‐O de la falsilla. Sobre este plano vertical leemos la inmersión de la línea, desde la primitiva hacia el centro de la falsilla.

En esta misma posición, hacemos una marca en la primitiva, donde esta corta al diámetro elegido.

Colocamos el norte del transparente coincidiendo con el de la falsilla.

Leemos el ángulo sobre la primitiva desde el norte hasta la marca anterior. Este ángulo es la dirección de la línea que nos está marcando su sentido de inmersión.

La misma operación se repite para cada una de las líneas.

Línea orientada mediante dirección y cabeceo sobre un plano conocido

En este caso el dato que hemos obtenido en el campo se refiere, por ejemplo, a la orientación de un plano de falla y el cabeceo de una familia de estrías que aparecen en este plano. El plano de falla está orientado N40ºE‐20ºSE y la estría tiene un cabeceo de 45ºS medido en este plano (Fig. 4).

Para representar el estereograma correspondiente, el proceso es como sigue:

Dibujar sobre el transparente el círculo mayor que representa el plano medido, como ya se ha indicado anteriormente.

Dentro de este círculo mayor, está la línea representada por su cabeceo. Si el cabeceo es el ángulo entre la línea y la dirección del plano inclinado que la contiene, solo tenemos que medir el ángulo de 45º en el plano (círculo mayor) colocado sobre un círculo mayor de la falsilla, desde el sur, contando con ayuda de los círculos menores.

Este punto, situado sobre el estereograma del plano de falla, representa la orientación de la estría.

De la misma manera, podemos resolver el problema inverso. En el estereograma de la figura 5 se han representado dos planos N40ºE‐30ºNO y 116º‐50ºS, ambos con una línea inscrita, L y L´ respectivamente. ¿Cuál será el valor del ángulo de cabeceo para cada una de las líneas?


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Figura 4. Representación estereográfica de una línea, mediante su cabeceo en un plano conocido.

Figura 5. Medida de dirección, inmersión y cabeceo para dos líneas L y L´ contenidas en dos planos de orientación conocida.

Colocamos uno de los planos coincidiendo con un círculo mayor de la falsilla.

Contando desde el norte o desde el sur a partir de los círculos menores, sabremos


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cual es el ángulo de cabeceo de esa línea medido sobre ese plano. A continuación del valor, colocamos su sentido, que corresponderá al cuadrante donde esté situada la línea. Al mismo tiempo, podemos medir su dirección e inmersión, como se ha explicado en el problema anterior. Los resultados son los siguientes:

L: cabeceo. 36ºS; dirección. 252º; inmersión. 18º 252º/18º L´: cabeceo. 40ºE; dirección. 144º; inmersión. 38º 144º/38º El mismo proceso se seguirá para cualquiera de las líneas del estereograma.

CONCLUSIONES

Las líneas en el espacio se orientan mediante dos ángulos, que pueden ser sentido de inmersión (dirección) e inmersión, o bien dirección y cabeceo medido sobre un plano inclinado que contiene a la línea. En este caso, es necesario indicar la orientación del plano en el que se ha medido el ángulo de cabeceo de la línea.

A partir de las explicaciones y los ejercicios resueltos, se deduce que es bastante

rápido y sencillo proyectar líneas en proyección estereográfica, y que su proyección siempre es un punto dentro del estereograma.

También se pueden relacionar con facilidad planos y líneas en la proyección, de

forma que conocidos datos referentes a unos y a otras, podemos llegar a obtener mucha información, a menudo difícil de encontrar directamente en el afloramiento.

Todos estos problemas se pueden a su vez combinar con resoluciones propias de

proyección ortográfica, de tal manera que todo lo referente a la medida de ángulos puede ser tratado en proyección estereográfica y los datos obtenidos por este método añadirlos a aquellos que necesariamente necesitan un tratamiento mediante planos acotados.

PROBLEMAS

Problema 1

Proyectar las siguientes medidas de líneas y planos:

Planos. a)030º/20º; b)040º/70º; c)270º‐20ºS; d)020º‐54ºE Líneas. a)290º/10º; b)120º/70º; c)080º/00º;d)vertical.


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4. Proyección polar de un plano. Proyección π




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Resumen: la representación estereográfica de planos puede llevarse a cabo también si se proyecta únicamente el polo del plano en lugar de su intersección con la esfera de proyección (ciclográfica), de manera que se simplifica de manera importante la representación de grandes volúmenes de datos, facilitando así su interpretación. También es esencial para resolver algunos problemas como la obtención del ángulo entre dos planos. Palabras clave: polo de un plano. Diagrama de polos. Proyección π.

INTRODUCCIÓN

Con el estudio de los artículos anteriores (Babín y Gómez, 2010 a, b y c), y la repetición de los problemas ya resueltos, el alumno debe haber aprendido a visualizar y proyectar líneas y planos en el espacio mediante proyección estereográfica. Ahora vamos a introducir un nuevo concepto, polo de un plano o proyección polar de un plano, que va a ser muy útil para calcular ángulos entre estructuras.

Una vez comprendido el concepto de polo de un plano y su proyección, veremos

que cualquier estructura puede ser girada fácilmente en el espacio, y cambiada de orientación en una falsilla de proyección. Tanto la proyección polar de planos como las rotaciones en el espacio, nos permiten resolver muchos problemas prácticos en Geología Estructural.

CONCEPTO DE POLO DE UN PLANO

Cuando en un estereograma aparecen gran cantidad de círculos mayores correspondientes a proyecciones β de planos, es difícil hacer una lectura y posterior


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interpretación, ya que las trazas de los diferentes planos se cruzan entre si y son difíciles de separar e identificar.

Afortunadamente, es posible representar la orientación de un plano mediante la

normal a ese plano (Fig. 1). La normal es la línea perpendicular al plano y por tanto se proyecta como un punto que recibe el nombre de polo del plano y por definición, se sitúa a 90º del centro del círculo mayor que representa al plano.

Figura 1. a) Proyección en el hemisferio inferior de la esfera, de un plano y su polar. b) Estereograma del plano anterior y de su polo.


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En la proyección esférica de la figura 1 A, se observa la relación entre la proyección ciclográfica del plano (representada por un círculo mayor) y su normal (representada por un punto). Este corresponde al punto de corte del hemisferio inferior de la esfera con la línea de esa orientación que pasa por su centro, y que es perpendicular al plano. El estereograma de la figura 1 B, muestra la relación ortogonal del plano y su polo.

La distancia del polo al centro de la primitiva es r∙tan(β/2) siendo β el

buzamiento del plano y r el radio del estereograma. Cada plano tiene una única normal que se proyecta como un único punto en la proyección, por tanto podemos representar la orientación de cualquier plano mediante su polo. Los diagramas que representan polos de planos se conocen como diagramas π o diagramas de polos.

La relación de perpendicularidad entre normal y plano ha de ser recordada

siempre. Esto significa que si el plano tiene un buzamiento de 20º, su línea perpendicular (la normal al plano) tendrá una inmersión de 90‐20 = 70º. La normal de un plano vertical será una línea horizontal que se proyectará sobre la circunferencia primitiva. La normal de una superficie horizontal será una línea vertical, por tanto el polo se proyectará en el centro de la falsilla. Las relaciones ortogonales plano/normal significan que la dirección de la normal está a 90º de la dirección del plano, en el sentido opuesto al buzamiento del plano.

MÉTODO PARA PROYECTAR EL POLO DE UN PLANO

Conocemos la orientación de un plano definido mediante dirección y buzamiento, y vamos a proyectar este plano tanto en proyección ciclográfica como polar, para visualizar las relaciones entre los dos tipos de proyección. El plano es, por ejemplo, N40ºE‐30ºS.

En primer lugar y como es costumbre, marcar la dirección del plano en la

primitiva y girar el transparente hasta que esta marca esté situada sobre el diámetro N‐S de la falsilla. Podemos dibujar el círculo mayor correspondiente (proyección ciclográfica) en primer lugar, como ya sabemos (Fig. 2).

En esta misma posición, (dirección del plano sobre el diámetro N –S de la falsilla),

el polo vendrá representado por la perpendicular al plano, situada sobre el diámetro E‐O. Contamos desde el centro de la falsilla y en sentido contrario al buzamiento del plano el valor del ángulo de buzamiento, y este punto representa el polo (P), o bien, desde la primitiva hacia dentro el ángulo complementario al valor del buzamiento (ángulo de inmersión del polo, en este caso 60º, ya que 90º‐30º = 60º) y obtenemos el mismo punto anterior. Para comprobar que efectivamente esta línea es perpendicular al plano, contamos sobre el diámetro E‐O el ángulo entre el plano y su polo, y efectivamente es de 90º. La forma más rápida para dibujar directamente el polo, una vez colocada la dirección del plano sobre el diámetro N‐S de la falsilla, es contar el


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buzamiento del plano desde la chincheta hacia la primitiva, en sentido contrario al del buzamiento del plano.

Una vez conocido el concepto de polo del plano, podemos resolver una serie de

problemas que explicamos a continuación.

Figura 2. Proyección de un plano mediante un círculo mayor (ciclográfica) y su normal (polar).

MEDIDAS DE ÁNGULOS ENTRE LÍNEAS Y PLANOS

Medida del ángulo diedro entre dos planos

Un ángulo diedro es el ángulo formado por dos planos que se cortan, medido en un tercer plano que es perpendicular a los anteriores (Fig. 3). Se puede medir fácilmente mediante el ángulo entre los polos de los planos en un estereograma, o bien dibujando el plano perpendicular a la línea de corte de los dos planos, que es el plano perpendicular a los dos planos y contiene ambos polos. Como los polos son líneas, el ángulo entre dos líneas se mide en el plano que las contiene, por tanto, en el estereograma, el ángulo entre los dos polos se mide a lo largo del círculo mayor en el cual están contenidos.

En muchos casos, el ángulo diedro se especifica como un ángulo agudo (Ej.: entre

diaclasas conjugadas), pero no siempre es así, ya que el ángulo buscado puede ser mayor de 90º (Ej.: ángulo entre un dique y una superficie de estratificación).

Caso especial es la medida del ángulo interlimbo (ángulo formado por los dos

flancos de un pliegue), en ocasiones no muy claro. El estereograma ofrece dos posibles ángulos, uno agudo y otro obtuso. El problema principal es que no siempre es obvio cual


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de los dos ángulos es el idóneo si no conocemos suficientes datos acerca del pliegue. En el capítulo de pliegues (Babín y Gómez, 2010 d) intentaremos resolver este problema.

Figura 3. Medida del ángulo entre dos planos, utilizando la proyección ciclográfica (a, b) y polar (c).


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Medida usando círculos mayores ( proyección ciclográfica) Proyectar ambos planos como círculos mayores a partir de sus orientaciones. La línea de intersección (L) de estos dos planos, corresponde al punto de

intersección de los círculos mayores (Fig. 3 A). Dibujar el plano perpendicular a esta línea. Es el plano cuyo polo es la línea de

intersección, por tanto es el plano perpendicular a los dos planos anteriores. (Fig. 3 B).

Medir en este tercer plano el ángulo diedro. Tener en cuenta que existen dos posibilidades. En la Figura 3 B se observa que hay un ángulo agudo y otro obtuso entre los dos planos. La suma de ambos es 180º. Si se mide el ángulo en otro plano que no es perpendicular a los anteriores, el resultado obtenido es distinto y no corresponde al verdadero valor del ángulo diedro.

Medida usando polos de planos (proyección polar) Este método se basa en el hecho de que el ángulo diedro entre dos planos es igual al ángulo formado por las normales a estos planos. Proyectar los dos planos anteriores mediante sus polos. Mover el transparente hasta que los dos polos coincidan en un círculo mayor. Dibujar el círculo y medir el ángulo entre los polos (agudo y obtuso) (Fig. 3 C).

Medida del ángulo entre un plano y una línea El ángulo entre una línea y un plano es el mismo que el formado por la línea y la perpendicular al plano (normal o polo del plano). Este ángulo se mide (Fig. 4) en un segundo plano que contiene la línea y la perpendicular al plano. En proyección estereográfica, el ángulo entre una línea y un plano se mide en el círculo mayor que contiene a la línea (L) y al polo del plano (P).

Cálculo del plano bisector del ángulo entre dos planos

El plano bisector del ángulo entre dos planos, es aquel que contiene a la línea de intersección de los dos planos y a la línea que bisecta el ángulo diedro formado por los dos planos. En el caso de algunos pliegues angulares (kinks, chevron,.etc.) es razonable asumir que el plano que bisecta el ángulo entre los dos flancos del pliegue y contiene a la línea de charnela, es el plano axial del pliegue.


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Figura 4. Medida del ángulo entre un plano de orientación conocida y una línea L.

Cálculo utilizando círculos mayores (proyección ciclográfica)

Partimos de dos planos cuyas orientaciones son: 095º‐60ºN y 330º‐30ºSO. El método a seguir es el que se explica a continuación (Fig. 5). Proyectar ambos planos como círculos mayores. Su punto de corte define la

línea de intersección de los planos L, cuya orientación es: 288º/21º. Dibujar el plano perpendicular a la línea de intersección. Contar en este plano el ángulo que forman los dos planos y hallar su punto

medio (A). Dibujar el plano que contiene la línea de intersección L y el punto medio

del ángulo A. Este plano será bisector del ángulo entre los planos, bien del agudo o del obtuso, según el que se haya elegido.

En la figura 5, el plano bisector elegido es el correspondiente al ángulo obtuso (100º) y su orientación es 115º‐74ºSO. El punto medio correspondiente al ángulo agudo es el punto B. Uniendo B y L podemos dibujar el plano bisector correspondiente al ángulo agudo. Comprobar que los planos bisectores de los ángulos agudo y obtuso, son perpendiculares entre sí.


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Figura 5. Cálculo de la orientación del plano bisector entre dos planos conocidos, utilizando la proyección ciclográfica.

Cálculo utilizando los polos (proyección polar) Proyectar los polos de los planos (P1 y P2) (Fig. 6). Dibujar el círculo mayor que contiene a los dos polos. La línea de corte de los dos planos (L), corresponde al polo del plano que

contiene a los dos polos anteriores. Contar los ángulos ente polos y hallar sus puntos medios respectivos (A y

B). Trazando el círculo mayor que contiene la línea de corte y cada uno de los puntos medios, obtenemos los planos bisectores agudo y obtuso.

CONCLUSIONES

Es posible proyectar cualquier plano en proyección estereográfica mediante un punto que representa su normal (línea perpendicular al plano). Este hecho es especialmente importante cuando se trabaja con un número elevado de planos y en aquellos casos en los que es necesario conocer valores angulares entre planos, líneas o planos y líneas. La mecánica de estos problemas es sencilla y rápida como se ha visto, por ello es la proyección más utilizada por los geólogos estructurales para la resolución de casos semejantes.


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Figura 6. Cálculo de la orientación del plano bisector entre dos planos conocidos, mediante proyección polar.

PROBLEMAS

Problema 1

Proyectar mediante proyección ciclográfica y polar, las siguientes orientaciones correspondientes a superficies de estratificación (Fig. 7).

a) 360º‐40ºE; b) N90ºE‐26ºS; c) 045º‐90º; d) horizontal.

Marcar la dirección dada en la primitiva y hacerla coincidir con el diámetro N‐S de la falsilla. Contar el buzamiento desde la primitiva hacia el centro, sobre el diámetro E‐O. Dibujar el círculo mayor correspondiente.

Sin mover el transparente, con la dirección del plano sobre el diámetro N‐S, contar sobre el diámetro E‐O el ángulo de buzamiento, desde el centro y en dirección opuesta al sentido de buzamiento del plano. Colocar el polo del plano en ese lugar.

Comprobar que el polo tiene un ángulo de inmersión cuyo valor es complementario al de buzamiento.


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Comprobar que el plano y su polo están a 90º uno de otro, contando el ángulo entre ellos a lo largo del diámetro E‐O de la falsilla.

Comprobar que la dirección de la línea (polo) está a 90º de la dirección del plano.

Seguiremos el mismo procedimiento para proyectar cualquiera de los datos del

problema. Todos ellos se pueden proyectar en una misma hoja, visualizando la orientación de cada uno en el espacio.


Problema 2

Dados dos planos con orientaciones N30ºE‐30ºSE y 20º/250º, hallar la orientación de su línea de intersección, dando el valor de la inmersión y de los ángulos de cabeceo sobre cada uno de los planos.

Visualizar el problema (Fig. 8). La línea de intersección de los dos planos (L), si

estos se representan en proyección ciclográfica, será el punto en la proyección donde se cortan los dos círculos mayores. Si la representación es en proyección polar, la línea buscada será el polo del plano que une los polos de los planos dados.

En este caso, dado que el problema nos pide los valores de los ángulos de cabeceo, lo resolveremos mediante círculos mayores para hacer la medida directamente.


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Dibujar los círculos mayores para cada uno de los planos.

La línea de intersección se lleva a un diámetro vertical, y en él se mide la dirección e inmersión de la línea, 189º/11º.

Se coloca cada uno de los planos alternativamente sobre un círculo mayor, y se mide según los círculos menores el valor correspondiente al ángulo de cabeceo de la línea sobre cada uno de los planos, 21ºS y 34ºS.

Figura 8. Estereograma correspondiente al problema 2. Ver texto para su explicación.

Problema 3

Utilizando los datos del problema anterior, calcular el valor del ángulo que forman entre si los dos planos y la orientación del plano bisector de dicho ángulo.

Utilizar un nuevo papel transparente y proyectar nuevamente los dos planos anteriores, bien mediante sus círculos mayores o mediante sus polos.

Si hemos proyectado los círculos mayores (Fig. 9 A):

Dibujar el plano perpendicular a estos dos planos, colocando la línea de intersección sobre el diámetro E‐O de la falsilla.


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Contar a lo largo de este nuevo plano, los valores correspondientes a los ángulos agudo y obtuso, 56º y 134º. Hallar y marcar el punto medio de cada uno de ellos (puntos A y B).

Trazar los planos que contienen respectivamente a la línea de intersección y a cada uno de los puntos medios del ángulo elegido. Estos nuevos planos representan los planos bisectores agudo y obtuso.

Leer las orientaciones correspondientes a estos planos bisectores, que son 010º‐84ºO y 080º‐11ºS.

Si hemos representado los planos en proyección polar (Fig. 9B):

Dibujar el plano que contiene los dos polos. Este plano es perpendicular a los dos planos anteriores.

Contar a lo largo de este plano los valores correspondientes a los ángulos agudo y obtuso. Marcar los puntos medios de dichos ángulos (A y B).

Dibujar la posición del polo de este plano. Corresponde a la línea de intersección de los dos planos anteriores (L).

Los planos bisectores pedidos serán aquellos que contienen a la línea de intersección y a cada uno de los dos puntos medios.

Observar que en este tipo de problemas, siempre que no haya más datos,

existirán dos soluciones, sin que podamos decidir cuál de ellas es la válida. En el caso de que hayamos resuelto el problema en dos transparentes distintos, colocar uno sobre otro y estudiar la relación entre polos y planos.

Problema 4

Calcular el valor del ángulo formado entre el plano de orientación 224º/36 y la lineación mineral 010º/26º.

Como ya se ha explicado anteriormente, el valor del ángulo formado entre un plano y una línea, es el mismo que el formado entre la línea y el polo del plano. El proceso a seguir se detalla a continuación (Fig. 10).

Proyectar la línea en el transparente (L).

Proyectar el polo del plano (P1).

Dibujar el círculo mayor que contiene el polo del plano y la línea.


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Contar el valor del ángulo a lo largo de este círculo mayor, utilizando los círculos menores. En la figura se ha calculado el valor correspondiente al ángulo agudo, que es de 37º.

Figura 9. Estereograma correspondiente al problema 3. A) mediante proyección ortográfica. B) mediante proyección polar.


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Problema 5

Un plano de falla de orientación N16ºE‐32ºSE, muestra unas estrías de deslizamiento con un ángulo de cabeceo de 30ºN. En el mismo plano aparece un conjunto de escalones con dirección 150º. Orientar ambas líneas mediante dirección e inmersión y calcular el ángulo que forman medido sobre el plano de falla, así como los ángulos entre el plano de falla y cada una de las líneas.

Proyectar el plano de falla mediante su círculo mayor correspondiente.

Colocar en este plano la línea correspondiente a las estrías, contando desde el norte el ángulo de cabeceo.

Llevar la dirección 150º sobre un diámetro vertical de la falsilla y colocar la posición de los escalones dentro del plano de falla.

En este momento, ya están proyectados todos los elementos del problema (Fig. 11). A partir de aquí, vamos obteniendo las soluciones.

Colocamos cada una de las líneas sobre un plano vertical de la falsilla, y medimos el ángulo de inmersión. En el caso de las estrías medimos su dirección sobre la primitiva que es 042º y su inmersión, 16º. La inmersión correspondiente a los escalones es de 24º según los 150º.


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Proyectamos el polo del plano de falla (F) y dibujamos el plano que contiene este polo y las estrías y el plano que contiene el mismo polo y los escalones. En cada uno de estos planos medimos el ángulo entre el plano de falla y estrías / escalones y resulta ser de 90º en ambos casos.

Figura 11. Estereograma correspondiente al problema 5. Ver texto para su explicación.

BIBLIOGRAFÍA Babín Vich, R. B. y Gómez Ortiz, D. 2010 a. Problemas de Geología Estructural. 1.

Conceptos generales. Reduca (Geología). Serie Geología Estructural, 2 (1): 1‐10. Babín Vich, R. B. y Gómez Ortiz, D. 2010 b. Problemas de Geología Estructural. 2.



Orientación y proyección de líneas en el espacio. Reduca (Geología). Serie Geología Estructural, 2 (1): 24‐40.


Pliegues. Reduca (Geología). Serie Geología Estructural, 2 (1): 95‐123, 2010.


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5. Rotaciones




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Resumen: la rotación de líneas o planos representa un ejercicio común en Geología Estructural que puede realizarse más fácilmente mediante proyección estereográfica que utilizando oras técnicas. Sin embargo, para ello es preciso conocer los diferentes métodos existentes en función de las características del eje de rotación, es decir, en función de que éste sea horizontal, vertical o inclinado. Se describen aquí los diferentes procedimientos acompañados de numerosos ejemplos prácticos. Palabras clave: Eje de rotación. Ángulo de rotación. Sentido de rotación.

INTRODUCCIÓN

Para resolver algunos problemas en Geología Estructural, es necesario simular la rotación física en el espacio de un elemento estructural alrededor de un eje de orientación conocida. Esta rotación puede ser necesaria, por ejemplo, para conocer la orientación original de una serie plegada que actualmente está aflorando bajo una superficie de discordancia basculada. Será necesario rotar los elementos geométricos de la discordancia y del pliegue un ángulo determinado alrededor de un eje de rotación conocido, y de esta forma hallar la orientación inicial de la serie plegada.

Este proceso es bastante diferente a todo lo que se ha explicado hasta el

momento, Babín y Gómez (2010 a, b, c y d), donde simplemente se movía el transparente alrededor de la chincheta colocada en el centro de la falsilla, para medir y proyectar los distintos datos estructurales. En este transparente teníamos un norte fijo, por tanto las orientaciones de líneas y planos nunca cambiaban con respecto a la falsilla de referencia.

Cuando rotamos una línea o un plano en el espacio, su orientación cambia con

respecto a nuestra falsilla de referencia y este elemento estructural se reorienta en función de la rotación sufrida. Para efectuar una rotación o bien para definirla, es necesario conocer el ángulo de rotación, el sentido de la rotación (agujas del reloj,


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contrario a las agujas del reloj), desde donde se está mirando ese sentido de giro (punto de vista) y la orientación del eje de giro. Por ejemplo: giro de 60º en sentido de las agujas del reloj, visto desde el norte, del plano con orientación 170º‐25ºE, alrededor de un eje inclinado orientado 32º/225º.

Existen distintos métodos para efectuar rotaciones de elementos estructurales.

Aquí se va a utilizar el que se considera más sencillo de comprender y al mismo tiempo, más fácil de visualizar, aunque el alumno puede consultar otros libros de Geología Estructural donde se explican los pasos para llevar a cabo las rotaciones con distintos métodos.

En general, se usan dos procedimientos básicos para llevar a cabo una rotación:

rotación alrededor de un eje vertical (la inmersión del eje es de 90º).

rotación alrededor de un eje horizontal (la inmersión del eje es de 00º). La rotación alrededor de un eje inclinado (inmersión del eje entre 00º y 90º) es

más fácil de llevar a cabo mediante una combinación de rotaciones alrededor de ejes horizontales y/o verticales.

ROTACIÓN ALREDEDOR DE UN EJE VERTICAL

Es el tipo de rotación más sencillo. El eje de rotación se sitúa en el centro de la falsilla, que corresponde a la posición de cualquier línea vertical dentro del estereograma. Podemos hacernos una idea de lo que representa este tipo de rotación observando la figura 1. La rotación de una línea alrededor de un eje vertical da lugar al movimiento del punto que representa la línea a lo largo de un círculo menor que es coaxial con la primitiva. Este círculo menor no se corresponde con los círculos menores representados en la falsilla.

Para visualizar la situación, imaginar una línea inclinada con uno de sus extremos

fijo en el eje de rotación vertical. Si esta línea gira alrededor de este eje, su extremo libre describe un cono vertical y circular que intersecta a la semiesfera inferior según un círculo menor. Esta línea tiene una nueva orientación después del giro, de forma que ha variado su sentido de inmersión, pero el ángulo de inmersión sigue siendo el mismo. En el caso de un plano, el ángulo de buzamiento se mantiene y solo cambia la dirección del plano después de efectuar el giro.

Para especificar el sentido de rotación, podemos indicar sentido de las agujas del

reloj, dextral, derecho, etc. intuitivamente, cuando el giro es de derecha a izquierda, y al contrario cuando el giro es de izquierda a derecha (contrario a las agujas del reloj, sinestral, izquierdo,.etc.).


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pueden restituir series a su posición original, deducir antiguas direcciones de corriente e incluso, como se verá en el capítulo de fallas, conocer posiciones de elementos estructurales en el bloque girado de una falla rotacional.

Para definir correctamente una rotación en el espacio es necesario dar el valor

del ángulo de rotación, su sentido y el punto de vista desde el cual estamos efectuando ese giro.

PROBLEMAS

Problema 1

Hallar la nueva orientación del plano N30ºO‐40ºNE y de su polo, después de girarlo 40º en el sentido de las agujas del reloj, alrededor de un eje vertical.

Dibujar el estereograma correspondiente a ambos, polo (P) y plano (Fig.6).

Contar sobre la primitiva los 40º correspondientes al giro, a partir de la dirección del plano y del sentido de inmersión del polo respectivamente.

Con las nuevas direcciones obtenidas, pintar el plano rotado, conservando el buzamiento anterior y el polo, con su inmersión correspondiente.

Leer las nuevas orientaciones del polo y el plano: 280º/50º y 010º‐40ºE.



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Problema 2

La orientación de una línea es 35º/S50ºE. ¿Cuál será su nueva orientación después de haber girado 40º en sentido contrario a las agujas del reloj, alrededor de un eje vertical? (Fig. 7).

Dibujar la proyección de la línea (L) en el transparente.

Contar sobre la primitiva a partir del sentido de inmersión de la línea, los 40º correspondientes a la rotación. El nuevo sentido de inmersión de esta línea es de 090º.

Colocado el nuevo sentido de inmersión sobre un diámetro vertical, contar el ángulo de inmersión correspondiente (35º) y dibujar la nueva posición de la línea (L´). Su orientación es 090º/35º.


Problema 3

En una serie sedimentaria (SS) orientada 34º/132º se observa una estratificación cruzada planar (EC), de orientación 244º/20º. Calcular la orientación de la estratificación cruzada antes del basculamiento de la serie sedimentaria.


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Dibujar la proyección de ambos planos, bien en ciclográfica o en polar (Fig. 8). En este caso, se ha resuelto en proyección polar.

Antes del basculamiento, la serie sedimentaria estaba horizontal. Si rotamos esta serie hasta ponerla horizontal, la estratificación cruzada rotará los mismos grados y en el mismo sentido que la serie sedimentaria. Esta nueva posición será la que tenía antes del basculamiento.

Colocar la dirección de la serie sedimentaria sobre el diámetro N‐S de la falsilla. Su polo se situará sobre el diámetro E‐O (SS).

Rotar la serie sedimentaria alrededor de un eje de giro que coincide con su dirección, un ángulo de 34º que es el valor del buzamiento. De esta forma el plano está horizontal y coincide con la circunferencia primitiva y su polo está vertical en el centro de la falsilla (SS´).

En esta misma posición, rotar la estratificación cruzada (EC) los mismos 34º y en el mismo sentido, moviendo dos puntos del plano a lo largo de su círculo menor, o bien el polo del plano hasta la posición EC´.

Dibujar en proyección ciclográfica la posición de la estratificación cruzada antes

del basculamiento, y medir su orientación: 018º‐48ºO.



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Problema 4

Una secuencia estratificada invertida está orientada N30ºO‐40ºSO. En uno de los planos de estratificación aparece una lineación con un cabeceo de 30ºNO. Calcular la orientación de la lineación cuando la estratificación estaba horizontal.

Antes de resolver el problema, pensar en la posición de la línea cuando la estratificación estaba horizontal. ¿Cuál será la inmersión de la línea en este supuesto?.

Dibujar el plano de estratificación y la posición de la lineación (L) dentro del plano (Fig. 9).

La secuencia está invertida. Para poner este plano horizontal primero hay que ponerlo vertical y después, con la secuencia ya en posición normal, llevarla a la horizontal. Rotamos el plano a la horizontal, pasando primero por la vertical. El polo del plano se coloca en el centro de la falsilla (P´).

La misma rotación se aplica a la lineación, que se moverá a lo largo del círculo menor en que está contenida, y se lee su posición inicial en el estereograma: L´: 360º/00º, por tanto la lineación está horizontal y su sentido de inmersión será de 360º o bien, 000º.



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Problema 5

Una lineación mineral tiene una inmersión de 30º hacia los 220º. Calcular su nueva orientación después de una rotación de 30º en el sentido de las agujas del reloj, mirando desde el sur, alrededor de un eje horizontal de dirección N10ºE.

Colocar en el estereograma la lineación mineral y el eje de giro sobre la primitiva (Fig. 10).

Con el eje de giro sobre el diámetro N‐S de la falsilla, efectuar el giro con los datos del problema. La línea L pasa a la posición L´.

Leer la orientación de la nueva línea: 229º/12º.


Problema 6

La orientación de un plano es N20E‐20ºSE. ¿Cuál será su orientación después de una rotación de 30º en sentido contrario a las agujas del reloj, visto desde el sur, alrededor de un eje paralelo a la dirección? ¿Cuál será su orientación si la rotación es en sentido contrario?

Dibujar el plano en el estereograma (Fig. 11).


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Dado que el eje de rotación tiene la misma dirección que el plano, se coloca esta dirección sobre el diámetro N‐S de la falsilla, y se hace la rotación que indica el problema.

En el primer caso, visto desde el sur, el movimiento correspondiente al giro es de izquierda a derecha, por tanto pasamos la primitiva y seguimos contando hasta completar los 30º. En el segundo caso, la rotación es al contrario, de derecha a izquierda.

Leer las soluciones correspondientes a cada uno de los casos y observar que la dirección del plano no varía después de la rotación, únicamente cambia el valor del ángulo de buzamiento.

Primer caso: 020º‐10ºO o bien N20ºE‐10ºO Segundo caso: 020º‐50ºE


Problema 7

La serie situada sobre una discordancia angular, tienen una orientación de N10ºE‐50ºO. La serie inferior está orientada N40ºE‐80ºE. ¿Cuál era la orientación de la serie inferior antes del basculamiento de la discordancia?


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Considerar en primer lugar, que las capas por encima de una discordancia, tienen la misma orientación que esta, y que la superficie de discordancia originalmente era horizontal. Para ponerla en su posición original, rotaremos la discordancia a la horizontal un ángulo igual al valor de su buzamiento, alrededor de un eje paralelo a la dirección de la discordancia.

Proyectar la discordancia y la serie inferior mediante círculos mayores o con polos (Fig. 12). En este caso, el problema se ha resuelto mediante proyección ciclográfica.

Colocar la dirección de la discordancia (eje de giro) coincidiendo con el diámetro N‐S de la falsilla. Hacer una rotación de 50º (valor del buzamiento) alrededor de un eje horizontal que es la dirección del plano de discordancia, y poner este plano horizontal, coincidiendo con la circunferencia primitiva. Si trabajamos con polos, tener en cuenta que el polo de un plano horizontal es una línea vertical, situada en el centro de la falsilla.

Rotar la serie inferior el mismo ángulo y en el mismo sentido que la discordancia. Este nuevo plano nos da la orientación de la serie inferior antes del basculamiento de la discordancia: 045º‐58ºNO.



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BIBLIOGRAFÍA

Babín Vich, R. B. y Gómez Ortiz, D. 2010 a. Problemas de Geología Estructural. 1.

Conceptos generales. Reduca (Geología). Serie Geología Estructural, 2 (1): 1‐10. Babín Vich, R. B. y Gómez Ortiz, D. 2010 b. Problemas de Geología Estructural. 2.



Orientación y proyección de líneas en el espacio. Reduca (Geología). Serie Geología Estructural, 2 (1): 2 (1): 24‐40.


Proyección polar de un plano. Proyección π. Reduca (Geología). Serie Geología Estructural, 2 (1): 2 (1): 41‐56.







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9. Análisis estructural mediante diagramas de contornos




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Resumen: La proyección de grandes conjuntos de datos puede suponer un problema debido a lo complicado que resulta sacar conclusiones a partir del análisis de diagramas con un elevado número de medidas representadas. Tal es el caso de estructuras plegadas definidas a partir de múltiples medidas de estratificación, o bien el problema de la superposición de estructuras de deformación. Se hace imprescindible entonces el uso de falsillas que conserven las áreas para realizar estudios estadísticos. Se muestran numerosos ejemplos del empleo de diagramas de contornos mediante el uso de la proyección estereográfica. Palabras clave: Falsilla de contaje. Diagrama de contornos. Modelos de distribución.

DEFINICIONES

En los artículos anteriores, Babín y Gómez (2010 a, b, c, d, e, f, g y h), hemos usado uno de los tipos de proyección azimutal para resolver distintos problemas geométricos en Geología Estructural. Esta proyección estereográfica, como ya se ha reiterado a lo largo de las explicaciones, tiene dos propiedades importantes:

1. Conserva las relaciones angulares, de forma que el ángulo entre tangentes

en el punto de intersección de dos círculos máximos que se cortan, es el mismo ángulo que el formado por los dos planos representados mediante sus círculos máximos (Fig. 1 A).

2. No conserva el área. Esto quiere decir que las proyecciones de dos círculos

idénticos inscritos en diferentes partes de la esfera de proyección, aparecen en el estereograma como círculos de tamaños diferentes (Fig. 1 B y C). La proyección estereográfica de un círculo, puede variar en área dependiendo del lugar donde se proyecta. Un círculo de área conocida, aparece más grande si se proyecta cerca de la primitiva que si lo hace en el centro de la falsilla.


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Figura 1. Propiedades de la proyección estereográfica que conserva ángulos. a) el ángulo entre dos planos, es el mismo que el formado por las tangentes a los círculos máximos que los representan. b) círculos idénticos, se proyectan en la esfera de proyección como círculos de distinto tamaño. c) un área de 10ºx10º cercana a la primitiva, es mayor que en el centro de la proyección.

Esta última propiedad indica que la proyección estereográfica no es válida para

aplicaciones en las que sea necesario un tratamiento estadístico de datos estructurales. Por ejemplo, datos sobre orientaciones preferentes de diaclasas en un área, pueden aportar información de campos de paleoesfuerzos. La orientación de estas diaclasas se puede representar en un diagrama en rosa o en un histograma, pero estos gráficos solo aportan información en dos dimensiones.

Una proyección azimutal apropiada puede representar una orientación

preferente en tres dimensiones como un conjunto de polos, si la concentración de polos por unidad de área de la proyección es proporcional a la concentración real de planos de una orientación determinada. En problemas en los que la distribución estadística de puntos es importante, existe una forma alternativa de proyección azimutal, llamada proyección Lambert o proyección que conserva áreas. La falsilla utilizada para este tipo de proyección es la de Schmidt, en la que el tamaño de un área de 10ºx10º cerca de la primitiva es el mismo que en el centro de la falsilla (Fig. 2 A y B).

A menudo existe una cierta confusión con los nombres asignados a distintos

tipos de proyecciones azimutales. Una proyección estereográfica es un tipo de proyección azimutal que utiliza la falsilla de Wulff (estereoneta) para obtener un estereograma, que es el conjunto de puntos o curvas (círculos mayores) proyectados en una proyección estereográfica. Una proyección que conserva el área, no es una proyección estereográfica propiamente dicha, y la falsilla utilizada es la de Schmidt (Fig. 3), que es distinta de la estereoneta. Formalmente, el término estereoneta se usa solo para la proyección estereográfica, que conserva ángulos. Sin embargo, en la práctica los geólogos usamos el término estereoneta tanto cuando nos referimos a la falsilla de Wulff como a la de Schmidt.

En algunos casos puede ocurrir que no sepamos cual de las dos falsillas utilizar

para resolver un problema concreto. Se debe usar la falsilla de Schmidt en todos


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aquellos casos donde la concentración de puntos proyectados es significativa, por tanto, en todos aquellos análisis con un gran número de medidas. Usaremos la de Wulff para medir ángulos entre estructuras y en todos aquellos problemas donde líneas, planos y polos se vayan a utilizar para cálculos geométricos.

En este artículo vamos a introducir la proyección que conserva áreas y a estudiar

algunas de sus aplicaciones en los análisis estructurales.

Figura 2. Propiedades de la proyección estereográfica que conserva áreas. a) círculos idénticos en la esfera de proyección se proyectan como elipses, con distintos ejes pero con igual área. b) área de 10ºx10º en el extremo de la proyección, es del mismo tamaño que en el centro.

Figura 3. Falsilla de Schmidt, que conserva áreas.


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DIAGRAMAS DE CONTORNOS

Cuando se ha recogido un gran número de datos en el campo, su proyección muestra un conjunto de puntos, bien polos de planos o bien líneas. Una proyección que muestra solo puntos, recibe el nombre de diagrama de puntos. En muchas ocasiones es posible estimar la orientación dominante de un determinado elemento estructural en el área de estudio, pero si queremos obtener una representación más precisa de las variaciones en orientación, debemos cuantificar el número de puntos por unidad de área de la proyección. Esta cuantificación debe efectuarse en una falsilla que conserve el área, y así podemos reconocer variaciones en la orientación preferente del elemento estructural, medido en diferentes localidades. La mejor manera de representar estas variaciones en la concentración de puntos, es dibujando líneas de contornos que delimitan áreas determinadas.

Una línea de contorno en una proyección que conserva el área, separa zonas

dentro de la proyección en las que las densidades de puntos se mantienen dentro del mismo área. Estas densidades se miden como porcentajes del número total de puntos por 1% del área del estereograma y se dibujan las líneas de contornos separando zonas en las que el porcentaje de puntos totales por 1% de área tenga un valor específico (2%, 3%, etc.). Así obtenemos lo que se denomina diagrama de contornos.

Es necesario tener en cuenta ciertas reglas, a la hora de confeccionar diagramas

de contornos:

Se debe escoger el valor de los contornos, de forma que no haya más de seis contornos en el diagrama final (a ser posible), para una mayor claridad a la hora de la interpretación.

El contorno de menor valor del diagrama, generalmente corresponde a 1 punto por 1% de área. El de mayor valor se escoge en función del número de puntos proyectado.

Un contorno que cruza la primitiva, debe reaparecer en el punto diametralmente opuesto del estereograma.

Es más fácil comenzar dibujando los contornos en el área de mayor concentración.

Es necesario determinar el verdadero máximo del diagrama (área de mayor concentración de puntos).

Después de un contaje preliminar, a veces es necesario añadir contornos, o bien eliminar algunos si las líneas de porcentaje están demasiado cerca unas de otras.


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Los valores de los contornos se indican en una leyenda con la trama (o el color) utilizada para cada valor de porcentaje. Por ejemplo, 1‐3‐5 y 9 por 1% de área, con un máximo del 10%. El área de mayor concentración suele ser la de color o trama más oscura. Hacia áreas de menor porcentaje, va decreciendo el tono de color o de trama, siendo muy claro o blanco en áreas de baja concentración.

Generalmente se presentan los diagramas de contornos al lado del diagrama de puntos correspondiente, de forma que la suma de datos más la interpretación, sea lo más objetiva posible.

Una vez obtenido el diagrama de contornos, las orientaciones dominantes de las

estructuras principales se determinan a partir de la posición en el diagrama de aquellas concentraciones donde aparezcan mayor número de puntos. Es una práctica común abstraer estos datos proyectando por separado las orientaciones de los elementos estructurales principales de una región. Un diagrama en el que se representa la orientación dominante de los elementos estructurales mediante un único círculo mayor o punto, recibe el nombre de diagrama sinóptico.

Actualmente los diagramas de contornos se construyen directamente en el

ordenador, pero es importante comprender los principios del contaje para usar correctamente estos métodos gráficos. Se pueden utilizar distintos métodos para construir diagramas de contornos, algunos muy versátiles y de uso fácil incluso en el campo. Para la mayor parte de ellos, es conveniente usar una falsilla de 15 cm de diámetro, Anexo I.

MÉTODOS DE CONTAJE DE ELEMENTOS ESTRUCTURALES

Como ya se ha dicho, la evaluación de los datos proyectados requiere un tipo especial de falsilla. Si utilizamos la falsilla de Wulff para su proyección, como hemos hecho hasta ahora, la distribución resultante no es estadísticamente correcta. Hay una tendencia a la concentración de gran parte de los datos en el centro de la falsilla, lo que indicaría, en el caso de líneas, una disposición preferente en posición vertical. Este hecho es debido, como ya se ha indicado, a que un área determinada en el centro de la falsilla es menor que la misma en el margen. Debido a esto, se usa la falsilla de Schmidt, en la que la técnica de proyección y manipulación de datos es idéntica a la de Wulff. La única diferencia entre las dos, es que los círculos menores en la primera no se proyectan como arcos circulares.

Una vez preparado el diagrama de puntos, pasamos a efectuar el contaje para

obtener el diagrama de contornos o de densidades. Para ello, hay gran variedad de métodos de contaje, de los que vamos a explicar los más utilizados.


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Falsilla de Kalsbeek

Es uno de los métodos más simples que existen para el contaje de puntos, y se aplica en cualquier tipo de situaciones. Se trata de una falsilla que está subdividida en pequeños triángulos (Fig. 4 A). Cada conjunto de seis triángulos forman un área hexagonal igual al 1% del área total de la falsilla. Los triángulos están dispuestos de forma que en la falsilla aparecen seis líneas radiales. Además, tiene la ventaja de la existencia de una relación fija entre el número total de puntos y la densidad contada.

Cada punto se cuenta tres veces y se procede de la siguiente manera:

Superponer el transparente con el diagrama de puntos sobre la falsilla de contaje, con la marca del norte del transparente sobre el extremo de uno de los seis radios.

Colocar un segundo transparente, dibujar en él la primitiva y la marca del norte, situada sobre la anterior.

Se cuentan los puntos correspondientes a cada hexágono, y el número total se anota en el centro del hexágono (A en Fig. 4 B).

Al final del contaje, cada centro de hexágono debe tener un número. En aquellas zonas del diagrama donde no haya puntos, los hexágonos se dejan en blanco o bien se pone un cero en su centro.

En la periferia de la primitiva, los puntos de cada medio hexágono en un lado de la primitiva se suman con los del otro medio hexágono del lado opuesto. El número total se escribe en ambos lados de la primitiva (B en Fig. 4B).

Figura 4. a) Falsilla de contaje de Kalsbeek. b) Método de contaje con la falsilla. Ver texto para su explicación.


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En aquellas partes de la periferia, donde aparecen medios círculos (sobre los seis radios), se cuentan los puntos de los semicírculos opuestos y se suman, poniendo el número de puntos en ambos lados (C en Fig. 4B).

En el centro de la falsilla, aparece un círculo formado por seis “triángulos”, en lugar de un hexágono. Se cuentan todos los puntos incluidos en este círculo y se pone el número correspondiente en su centro (D en Fig. 4B).

Una vez terminado el contaje, se transforman los números en porcentajes del número total de puntos, y en base a ellos, dibujamos los contornos de igual densidad, que delimitan las áreas con los porcentajes elegidos.

Ejemplo 1. Para facilitar la comparación de diagramas con distinto número total

de puntos, se dibujan los contornos como porcentajes de puntos totales por 1% de área de la falsilla. El número de puntos proyectado, por tanto, debe ser convertido en porcentaje. En el caso especial de que los puntos proyectados sean exactamente 100, un punto representará el 1% y así sucesivamente. Si son 50 puntos los proyectados, cada punto representa un 2% del total, etc. (Fig. 5 A).

Dentro ya del diagrama, dibujamos los contornos de igual densidad (Fig. 5 B). Es

más sencillo localizar primero el área de mayor concentración y trabajar hacia la parte externa del diagrama.

Cuando un contorno intersecta la primitiva, reaparece exactamente en el lado

opuesto, a 180º (puntos A y A en Fig. 5 B). Al ser los contornos líneas que separan áreas de porcentaje, son siempre curvas cerradas.

En el caso de un contorno que está muy próximo a intersectar la primitiva, pero

inmediatamente se aleja de ella, es válido continuar el propio contorno sin intersectar la primitiva (puntos B y B en Fig. 5 B).

Cuando ya se ha efectuado un contaje preliminar (Fig. 5 A), por lo general es

necesario hacer una serie de modificaciones para mejorar el diagrama:

Todos los contornos dibujados pueden no ser necesarios. Si el espaciado entre contornos es muy pequeño, alguna de las líneas dibujadas se puede eliminar.

Los valores de los contornos en el diagrama final se indican en la leyenda; por ejemplo como 2‐4‐8‐12% por 1% de área, máximo 14%.

El área donde aparece la máxima concentración se pinta de negro o bien, se distingue con una trama muy oscura. Es bastante efectivo utilizar tramas gradualmente más claras según las áreas van siendo de menor concentración.


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Figura 5. a) diagrama de puntos y primer contaje. b) diagrama de contornos final, con contornos de 2, 4, 8 y 12% y un máximo de 14%, sobre un total de 50 puntos proyectados. Método de contaje de Schmidt

Es, junto con el anterior, el método de contaje más usado, ya que trabaja muy bien con amplios conjuntos de datos y con altas concentraciones de puntos. Requiere el empleo de una regleta especial o contador, por ello a veces se le nombra como “método de la regleta” y de una malla de contaje o malla de Schmidt (Fig. 6 A), como la que aparece al final del libro. Para trabajar con este método es necesario, en primer lugar, obtener la regleta de contaje, que se puede fabricar fácilmente con un cartón o con un plástico que permita recortar la forma de la regleta.

Una regleta de contaje o contador de Schmidt, contiene dos agujeros circulares

en ambos extremos (Fig. 6 B). El área de cada uno de ellos es igual al 1% del área total de nuestra falsilla de proyección. Es fácil comprender que se necesitan dos círculos diametralmente opuestos para contar puntos sobre la circunferencia primitiva y en sus cercanías, mientras que para el contaje en la parte interna, solo se necesita un círculo.

Las falsillas de proyección que utilizamos, tienen un diámetro de 15 cm, así como

la malla de Schmidt, por tanto en la regleta, la distancia entre los centros de los círculos opuestos debe ser de 15 cm. Su longitud total puede ser de 18 ó 19 cm y su anchura de 3,5 ó 4 cm.

En el Anexo II se incluye un contador de estas características. Una vez obtenido el contador, el procedimiento para el contaje es el siguiente:


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Contaje interno Colocar sobre la malla el diagrama de puntos, obtenido con una falsilla que

conserva áreas, de forma que coincidan las dos primitivas y los nortes de las dos falsillas.

Colocar sobre el diagrama de puntos, un segundo transparente donde está

dibujada la primitiva, como un círculo de 15 cm de diámetro, y una marca representando el norte. Esta debe coincidir con el norte del diagrama de puntos.

Colocar uno de los dos círculos del contador de forma que el centro del

círculo coincida con un punto de la malla, usando como guía la línea horizontal que pasa por el centro del círculo (Fig. 7 A). El número de puntos visibles dentro del círculo representa el número de puntos por 1% de área. Este número lo ponemos en el centro del círculo.

Movemos el contador hasta que su centro se sitúe sobre el punto siguiente

de la malla y repetimos el procedimiento. Esto se lleva a cabo para todos los puntos de la malla, y en aquellos en los que no haya puntos (líneas o polos de planos), se dejan en blanco o se pone un cero.

Figura 6. a) malla de contaje de Schmidt. b) contador o regleta de contaje de Schmidt.

Contaje externo o periférico En la zona periférica, cerca de la primitiva, necesitamos utilizar ambos

círculos del contador.


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Colocamos una chincheta en el centro de la falsilla, y la muesca de la parte central del contador, se mueve con la chincheta en medio hacia ambas partes de la periferia.

Los puntos dentro de ambos círculos y diametralmente opuestos en la

proyección, se cuentan juntos (Fig. 7 B), teniendo siempre como centro de ambos círculos los puntos de la malla. El valor correspondiente a la suma de puntos se coloca en ambos centros.

El contaje sobre la primitiva propiamente dicha, se hace con el centro de la

regleta colocado en el centro de la falsilla, de forma que la suma de los puntos correspondientes a la mitad de cada uno de los círculos opuestos, se coloca sobre la primitiva, en ambos lados. De esta forma sabemos los puntos diametralmente opuestos de entrada y salida de una curva concreta, para cada uno de los contornos.

Figura 7. Uso del contador de Schmidt. a) para puntos situados en el interior de la falsilla. b) para puntos situados cerca de la primitiva.

En este momento, todas las intersecciones de la malla de contaje, tienen un

número escrito sobre el transparente superior (Fig. 8 A). Convertimos este número de puntos (n) en porcentaje mediante la ecuación:

n x (100)/N = %

donde N es el número total de puntos proyectados. Dibujamos los contornos con

los intervalos correspondientes, según las densidades de puntos obtenidas (Fig. 8 B).


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Método de contaje de Mellis

Este método únicamente se puede utilizar cuando el diagrama de puntos tiene un número inferior a 100, o preferentemente, a 60. Por tanto, solo es válido para pequeñas concentraciones locales, y es muy conveniente para separar contornos de poca densidad.

Figura 8. Resultado del contaje con el método de Schmidt. a) contaje de 72 medidas de foliación. b) diagrama de contornos con valores de 1, 3, 7 y 11%. Máximo de 15%.

Para efectuar el contaje es necesario construir una plantilla con un círculo cuyo

diámetro sea 1,5 cm, equivalente al 1% del área total de la proyección, de la misma forma que lo hemos hecho en el caso anterior.

Colocar un transparente sobre el diagrama de puntos, haciendo coincidir los nortes de ambos.

Colocar la plantilla sobre los transparentes y moverla de forma que esté alineada con la flecha que marca el norte.

Dibujar un círculo de diámetro 1,5 alrededor de cada punto de la población. Las áreas de solape de dos círculos tienen una concentración que equivale al doble de la de un círculo individual. Cuando solapan tres círculos, la zona de solape equivale al triple de la concentración de un único círculo. Por tanto, obtenemos áreas que representan el doble y el triple del porcentaje, respectivamente.

Repasar y separar las áreas de distintas concentraciones de puntos y distinguirlas mediante una trama o color (Fig. 9).


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Este método de contaje es el menos subjetivo. Los resultados son siempre los mismos para la misma población, aunque el diagrama lo confeccionen distintas personas. Sin embargo, está limitado a pequeñas poblaciones y bajas concentraciones y es obvia la dificultad de su uso para poblaciones mayores, en el caso de solape entre cuatro o más círculos.

Figura 9. Método de contaje de Mellis. Diagrama con contornos de 3 y 6% sobre medidas de 36 polos de estratificación.

MODELOS DE DISTRIBUCIÓN EN LOS DIAGRAMAS DE PUNTOS La distribución de puntos expresa gráficamente el grado de orientación

preferente de un elemento estructural determinado (lineación, diaclasado, etc.). La llave para interpretar la proyección radica en reconocer el modelo de distribución de puntos, tanto referente a estructuras lineares como a polos de planos. Este reconocimiento siempre es más fácil de llevar a cabo a partir de un diagrama de contornos. Existen cuatro modelos principales que podemos reconocer, y son los siguientes (Fig. 10):

Distribución uniforme. Se expresa de forma que el conjunto de puntos proyectados no presenta concentraciones locales. Cuando esto sucede, se dice que la proyección está uniformemente distribuida (Fig. 10 A).

Punto máximo. La orientación preferente de elementos estructurales está representada por una alta concentración de puntos, simétricamente distribuidos alrededor de una única orientación principal. El centro de esta concentración recibe el nombre de punto máximo o simplemente, máximo. Un conjunto de datos individuales puede mostrar más de un punto máximo (Fig. 10 B).


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Guirnalda de círculo máximo. Una concentración de puntos que se dispone a lo largo de un arco que se aproxima o bien que coincide con un círculo mayor, recibe el nombre de guirnalda de círculo máximo (Fig. 10 C). Dentro de una guirnalda, a su vez, pueden coexistir uno o varios puntos máximos. En algunos casos, puede haber intersección de dos guirnaldas, dando lugar a un modelo de guirnaldas cruzadas.

Figura 10. Modelos de distribución de puntos en los diagramas: a) distribución uniforme. b) punto máximo. c) guirnalda de círculo máximo. d) guirnalda de círculo menor.

En el caso de elementos lineares proyectados, la existencia de este tipo de

guirnalda indica que todas las lineaciones están contenidas en un plano, pero no son


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paralelas entre sí. En todos los casos, la guirnalda se aproxima a la orientación del plano que contiene a las lineaciones, y su eje es el polo del plano.

Un modelo en guirnalda para polos de elementos planares, indica que la

intersección de los planos es según una única línea, o bien que todos los planos se cortan según una línea. Por ejemplo, caso de proyección de polos de estratificación correspondientes a un pliegue cilíndrico. El polo del plano que engloba todos los polos de estratificación, indica la orientación del eje del pliegue.

Guirnalda de círculo menor. Se define como una concentración de puntos a lo

largo de un arco que se aproxima a un círculo menor de la falsilla y puede contener uno o varios máximos. Tanto para elementos lineares como planares, este tipo de guirnalda indica una orientación preferente en un cono, alrededor de un único eje que es el eje de la guirnalda (Fig. 10 D).

También podemos describir la disposición de puntos dentro de una proyección

que conserva áreas, en términos del tipo de simetría observada, por analogía con la descripción de grupos de puntos en cristalografía. Por ejemplo, un pliegue puede ser descrito como de simetría ortorrómbica o monoclínica, dependiendo de la disposición de los polos de estratificación.

INTERPRETACIÓN DE DIAGRAMAS. ANÁLISIS DEL PLEGAMIENTO La llave para interpretar un diagrama de puntos es el análisis de su diagrama de

contornos. La equivalencia de las distribuciones de elementos lineares y planares es la siguiente:

Punto máximo. Representa una distribución simétrica de puntos dispuestos alrededor de una única orientación principal.

Guirnalda. Representa una agrupación de puntos dispuesta según una banda que coincide con un círculo mayor de la falsilla de proyección.

Desde el punto de vista geométrico y de forma sencilla, podemos definir un

pliegue, simplemente, como una superficie curvada, y en función de sus características lo podemos clasificar en dos tipos básicos:

Pliegues cilíndricos. Generados por una línea recta imaginaria, que se mueve en el espacio paralelamente a sí misma. Esta línea es el eje del pliegue.

Pliegues no cilíndricos. Generados por una línea que se mueve de forma no planar en el espacio. Si uno de los extremos de la línea está fijo, el pliegue resultante recibe el nombre de pliegue cónico. Si el movimiento de la generatriz


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es poco sistemático, el resultado es un pliegue complejo. Para trabajar con este tipo de pliegues, se subdividen en partes que son aproximadamente cilíndricas.

A continuación vamos a analizar la geometría de las superficies cilíndricas y

cónicas tanto con diagramas β como con diagramas π, en una proyección que conserva el área.

Diagramas β en pliegues cilíndricos

Cada segmento de la superficie plegada de un pliegue cilíndrico, contiene una

línea que es paralela al eje del pliegue. Cada dos planos de la superficie plegada se cortarán a lo largo de una línea que es paralela al eje del pliegue.

En una proyección que conserva el área, los círculos mayores representan las

distintas orientaciones de la superficie plegada en diferentes puntos del pliegue, que teóricamente, en un pliegue perfectamente cilíndrico, deben tener un punto común de intersección que representa la orientación del eje del pliegue. Este punto generalmente se llama eje β.

En la práctica, sin embargo, los pliegues reales no son perfectamente cilíndricos, y

las medidas de dirección y buzamiento tomadas en distintos puntos del pliegue producen círculos máximos que no se cortan en un punto común, sino en puntos más o menos próximos (Fig. 11). Para un conjunto de n planos, el número de posibles intersecciones (N) viene dada por la siguiente progresión aritmética:

N = 0+1+2+.........(n‐1) = n(n‐1)/2 Por tanto, en el caso de 25 planos proyectados, el número de intersecciones

posibles es de 300. El diagrama de contornos de los puntos de intersección dará la posición de la máxima concentración de intersecciones.

Figura 11. Diagramas β de un pliegue cilíndrico. El número de intersecciones de círculos máximos, se incrementa cuanto mayor es el número de planos proyectados.


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Es evidente que una proyección de este tipo, con gran cantidad de elementos, no es el mejor camino para representar las medidas de superficies de estratificación de un pliegue. En primer lugar, el número de puntos que representa la posible posición del eje β, es mayor que el número de medidas proyectadas. En segundo lugar, si hay algún problema (generalmente de medida) con los datos originales, pueden aparecer concentraciones de ejes β además de la concentración principal, dando lugar a interpretaciones erróneas. Por tanto, en estos casos, la construcción de un diagrama β no es aconsejable.

Diagramas π en pliegues cilíndricos

Debido a las pocas ventajas que ofrecen los diagramas β, el método preferido para

representar medidas de superficies plegadas, es el de los diagramas π. En ellos se representan los polos de los planos que son tangentes a la superficie plegada. Esto significa que si hemos obtenido en el campo medidas de orientaciones en una superficie plegada, proyectamos en la falsilla que conserva áreas los polos de estos planos y no sus círculos máximos.

En un pliegue cilíndrico, cada uno de los polos es perpendicular al eje del pliegue,

por tanto, los polos son paralelos a un plano perpendicular al eje del pliegue. Estos polos forman una guirnalda de círculo máximo, llamado círculo π o círculo de polos (Fig. 12). El polo de este círculo π representa el eje del pliegue, que a su vez suele coincidir con el eje β en la proyección.

Figura 12. Diagrama π de un pliegue cilíndrico ideal. En el caso de pliegues con un ángulo interlimbo (ángulo medido entre los dos

flancos del pliegue) muy amplio, el diagrama π muestra un máximo de forma elíptica. Según va decreciendo el valor del ángulo interlimbo, la distribución de polos varía desde un máximo hasta una guirnalda de círculo máximo (Fig. 13 A, B y C).


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Un diagrama π no solo nos da información acerca de la orientación del eje del pliegue, también nos permite conocer la forma del pliegue. Por ejemplo, en un pliegue con charnela redondeada, la densidad de puntos será uniforme a lo largo de la guirnalda de círculo máximo y los dos puntos extremos de esta guirnalda definirán el valor del ángulo interlimbo (Fig. 14 A). Un pliegue con una zona de charnela muy amplia y flancos planares, vendrá representado por un círculo máximo que contiene dos máximos correspondientes a las medidas de orientaciones de los dos flancos, y estos máximos se pueden utilizar para conocer el valor del ángulo interlimbo (Fig. 14 B). Un pliegue angular (Fig. 14 C) no tendrá una guirnalda bien definida, y el círculo π en la proyección se define a partir de dos puntos máximos correspondientes a los dos flancos. Muchos pliegues naturales muestran disposiciones de los polos intermedias entre las anteriormente citadas. En pliegues asimétricos, la disposición sería la correspondiente a la figura 14 D.

Figura 13. Variaciones en el diagrama π según va decreciendo el valor del ángulo interlimbo del pliegue. a) capas inclinadas. b) ángulo interlimbo mayor de 90º. c) ángulo interlimbo menor de 90º.


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Figura 14. Modelos de diagramas π para distintas formas de pliegues.

Con respecto a la simetría de los pliegues, no es posible decir algo concluyente en base a los diagramas π, ya que el modelo de simetría depende en gran medida del


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buzamiento de los flancos del pliegue. En ocasiones, una concentración de puntos a lo largo de una guirnalda, puede estar influenciada por la recogida de datos. Sin embargo, si la distribución espacial de las medidas es uniforme, la asimetría de los polos en el diagrama puede ser debida a la existencia de flancos cortos en pliegues asimétricos. Generalmente, para determinar el grado de simetría de los pliegues necesitamos información adicional, como puede ser la variación en espesor de un flanco a otro, la orientación de la superficie envolvente y/o la orientación del plano axial del pliegue.

La orientación del plano axial se puede conocer si conocemos las orientaciones del

eje del pliegue y de la traza axial. En el caso de pliegues angulares, el plano axial se puede asimilar al plano bisector del ángulo interlimbo (ver Babín y Gómez, 2010 g). Este bisector viene representado por el punto cuya “distancia” angular a los dos máximos (medida a lo largo de la guirnalda de círculo máximo) es la misma. El círculo mayor que contiene este punto y el eje π, representa al plano axial del pliegue.

Las orientaciones del eje del pliegue y del plano axial, por tanto, se pueden conocer

a partir de la guirnalda de círculo máximo en una proyección que conserva áreas. Por ejemplo, si el eje del pliegue es horizontal, estará situado sobre la circunferencia primitiva y la guirnalda ocupa la parte central del diagrama (Fig. 15 A). En pliegues cuyo eje tiene inmersión, este estará situado dentro de la primitiva (no sobre ella) y la guirnalda dibuja una curva que no pasa por el centro de la falsilla (Fig. 15 B). Si el plano axial del pliegue es vertical, vendrá representado por un diámetro de la falsilla, y si es horizontal, se representa por la primitiva propiamente dicha. En el caso de que sea inclinado, su representación corresponderá a alguno de los círculos mayores de la falsilla. En la figura 16, se representan algunos ejemplos de diagramas π para distintos tipos de pliegues.

Figura 15. Cálculo de la orientación del plano axial del pliegue, a partir de un diagrama π. A partir de lo expuesto, el alumno puede ejercitarse en la interpretación de estos

diagramas, con un ejemplo muy sencillo. Suponer el desarrollo progresivo de un pliegue cilíndrico, a partir de una única capa en principio horizontal y que se va plegando sucesivamente, con todos los pasos intermedios que queramos elegir (Fig. 17). Antes del plegamiento, todos los polos de la capa horizontal se proyectarán como un máximo en el


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centro de la falsilla, ya que todos corresponden a líneas verticales con la misma orientación. Si se construye el diagrama paralelamente al plano vertical, habrá un punto máximo en cada extremo de un diámetro de la falsilla.

Si plegamos la capa alrededor de un eje horizontal, los polos originalmente

verticales se distribuyen en un abanico, y el modelo que observamos, proyectado tanto horizontal como verticalmente, es un máximo alargado, que va tomando una forma elíptica. Cuanto mayor sea el radio de curvatura de la superficie plegada, más amplitud presentará este abanico de puntos, dando lugar a una guirnalda más o menos completa. En el caso de que los dos flancos lleguen a ser paralelos, se obtendrá una guirnalda completa, perfecta. Este ejercicio se puede repetir partiendo de distintas orientaciones para la capa original.

Figura 16. Ejemplos de diagramas π para distintos tipos de pliegues. La línea a trazos corresponde al plano axial del pliegue, y el punto a la línea de charnela del pliegue.

Diagramas π en pliegues no cilíndricos

En el caso de que la superficie plegada sea cónica, supongamos que el ángulo apical del cono tiene un valor de µ. Cada polo forma un ángulo de (90º‐µ/2) con el eje del cono.


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En otras palabras, los polos de estratificación generan un cono coaxial, con un ángulo apical de 180º‐µ. Por tanto, los polos definen un círculo menor cuyo centro representa la posición del eje del cono (Fig. 10 D).

Si se puede reconocer que los polos están distribuidos según un círculo menor,

volvemos a proyectar los polos en una falsilla de Wulff, ya que en ella los círculos menores se proyectan como círculos en la proyección estereográfica. Dibujamos este círculo menor con los polos proyectados y localizamos el centro del círculo, que representa el eje del cono. Este eje se rota hasta la primitiva, y los círculos menores de la falsilla se pueden usar para analizar las relaciones angulares entre los distintos elementos del pliegue.

Figura 17. Desarrollo progresivo de un pliegue cilíndrico, a partir de una única capa horizontal.

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