Problemas de FısicaETSIA

Universidad de Sevilla

Grupos C y E

19 de septiembre de 2017

Indice

1. Magnitudes y dimensiones fısicas 2

2. Mecanica de la partıcula 4

3. Estatica del solido r ıgido 15

4. Ondas 29

5. Calor, temperatura y primer principio de la termodin amica 34

6. Segundo principio de la termodinamica 40

7. Transferencia de calor 45

8. Electrostatica 51

9. Conductores y condensadores 54

10. Corriente electrica 57

11. Campo magnetico en el vacıo 64

12. Induccion electromagnetica 69

1

1. Magnitudes y dimensiones fısicas

1. La velocidad de la luz en el vacıo es de2,99 × 108 m/s. Expresarla en km/h y en km/s.

Sol: 2,99 × 105 km/s,1,08 × 109 km/h.

2. Las unidades de fuerza y energıa en el SI son el newton y el julio respectivamente, y en el

sistema cgs son la dina y el ergio. Establecer la relacion entre el newton y la dina y entre

el julio y el ergio.Sol: 1 N=105 dinas, 1 J=107 ergios.

3. La unidad de presion en el SI es el pascal (1 pascal es 1 N por metro cuadrado). En

consecuencia, en el sistema cgs la presion se medira en dinas por centımetro cuadrado.

Encontrar la relacion entre las unidades de presion en ambos sistemas de unidades.Sol:

1 Pa=10 dinas/cm2.

4. Demostrar que la siguientes expresiones son homogeneas:

1

2mv2 = mgh

s = 1/2 at2

Ft = mv

dondem es masa,v velocidad,g la aceleracion de la gravedad,h altura,s espacio,a

aceleracion, t tiempo yF fuerza.

5. Determinar la ecuacion dimensional de la constante de gravitacion universalG que inter-

viene en la ley de Newton:

F = Gm1m2

r2

Sol: [G] = [M ]−1[L]3[T ]−2.

6. Sabiendo que el perıodo de oscilacion de un pendulo depende de la masa del mismo, de

su longitud y de la aceleracion de la gravedad, deducir la relacion que existe entre estas

magnitudes empleando el analisis dimensional.Sol: T = k√

l/g.

7. La fuerza de rozamiento para una esfera que se mueve en el seno de un ¤uido viscoso

depende del radio de la esfera, de su velocidad y de la viscosidad del ¤uido (las unidades

2

de viscosidad en el SI son Ns/m2). Determinar la relacion existente entre estas magnitudes

empleando el analisis dimensional.Sol: F = kηvR.

8. El numero de Reynolds para un ¤uido que circula por una tuberıa es una cantidad adimen-

sional que depende de la densidad y viscosidad del ¤uido, de la velocidad a la que circula

y del diametro de la tuberıa. Encontrar su expresion empleando el analisis dimensional.

Sol: NR = k ρvdη

.

9. La diferencia de presion entre el interior y el exterior de una gota lıquida depende del radio

deesta y de la tension super£cial del lıquido (fuerza por unidad de longitud). Encontrar la

expresion de la diferencia de presion empleando el analisis dimensional.Sol: ∆P = k σR

.

3

2. Mecanica de la partıcula

1. La posicion de un cuerpo viene dada por la ecuacion x = 6t3 − 2t2 + 5 m. Calcular la

velocidad media en el intervalo de tiempo entre 2 y 4 s.Sol: 156 m/s.

2. La posicion de un cuerpo viene dada por la ecuacion x = t3 − 6,0t2 − 15t + 40, donde

x se mide en m y el tiempo en segundos. Determinar el instante en que la velocidad se

anula, la posicion y aceleracion en ese instante, y el desplazamiento desde el momento

inicial hasta que se anula la velocidad.Sol: 5 s,−60 m, 18 m/s2, −100 m.

3. La velocidad de un cuerpo que describe un movimiento rectilıneo viene dada por la

ecuacionv = 40 − 8,0t m/s. Cuandot = 2,0 s, el cuerpo se encuentra a 80 m del origen.

Determinar la expresion general de la distancia al origen, posicion inicial, aceleracion y

posicion en el instante en que se anula la velocidad.Sol: x = 40t − 4,0t2 + 16, 16 m,

−8,0 m/s2, 116 m.

4. Un nino lanza una pelota desde una ventana situada a 20 m del suelo con una velocidad

de14,7 m/s hacia arriba. Calcular la altura maxima alcanzada por la pelota, el tiempo que

tarda en llegar al suelo y la velocidad correspondiente.Sol: 31 m,4,01 s,−24,6 m/s.

5. Una bala penetra en una tabla de 200 mm de espesor con una velocidad de 430 m/s y

sale con una velocidad de 310 m/s. Calcular la aceleracion experimentada en la tabla y el

espesor mınimo queesta debe tener para que la bala se detenga en ella.Sol:−2,22× 105

m/s2, 416 mm.

6. Un coche esta detenido ante un semaforo. En el momento en que arranca es adelantado

por un camion que circula a 36 km/h. El coche arranca con aceleracion constante de 5

m/s2 hasta llegar a 45 km/h y entonces mantiene esa velocidad. Calcular el tiempo que

tardara en alcanzar el camion y a que distancia del semaforo sucede.Sol: 6,3 s, 63 m.

7. Desde un punto a 10 m sobre el suelo se lanzan hacia arriba y verticalmente dos cuerpos

con 2 s deintervalo, el primero con velocidad inicial 80 m/s y el segundo con 100 m/s.

Calcular a que altura se encuentran ambos y la velocidad de cada uno de ellos en ese

instante.Sol: 303 m, 26 m/s, 65 m/s.

4

8. Desde la terraza de un edi£cio se lanza horizontalmente una pelota con velocidad 30 m/s,

llegando al suelo al cabo de2,7 s. Determinar la distancia a la base del edi£cio a la que

la pelota cae, la altura de la terraza y la velocidad de la pelota cuando llega al suelo.Sol:

81 m,35,7 m, 40 m/s.

9. Desde el borde de un acantilado de 150 m de altura se dispara un proyectil con unangulo

de 25 sobre la horizontal y velocidad inicial 200 m/s. Calcular el tiempo que el proyectil

permanece en el aire, su altura maxima respecto al suelo y alcance.Sol: 19 s, 3427 m,

515 m.

10. Se lanza un objeto en una direccion que forma unangulo de 37 con la horizontal. Si se

desea que el alcance sea de 38 m, calcular la velocidad inicial con que debe lanzarse y la

altura maxima alcanzada.Sol: 20 m/s,7,1 m.

11. Un trozo de hielo resbala por un tejado que forma unangulo de 37 con la horizontal.

Al llegar al extremo tiene una velocidad de8,6 m/s y se encuentra a 10 m sobre el suelo.

Averiguar si alcanzara a una persona de1,80 m de altura que se encuentra en la acera a

120 cm del pie del edi£cio. Si no le alcanza, calcular la distancia desde el pie del edi£cio

a la que cae.Sol: No, 6,8 m.

12. Un disco de 1 m de diametro que se encuentra en reposo acelera uniformemente durante

20 s y alcanza una velocidad de 2000 rpm. Determinar la aceleracion angular, las vueltas

que ha dado hasta alcanzar dicha velocidad, velocidad y componentes intrınsecas de la

aceleracion de un punto de la periferia a los0,6 s despues de iniciar el movimiento.Sol:

10,5 rad/s2, 333 vueltas,3,15 m/s,at = 5,25 m/s2, an = 19,8 m/s2.

13. Una piedra de a£lador acelera desde el reposo con una aceleracion angular de 5 rad/s2

durante 8 s. Al cabo de un cierto tiempo frena uniformemente y da 10 vueltas hasta

detenerse. Determinar la aceleracion de frenado y el tiempo necesario para frenar.Sol:

−13 rad/s2, 3,1 s.

14. Un nino tira de una cuerda sujeta a un trineo con una fuerza de 60 N. La cuerda traza un

angulo de 40 con la horizontal, calcular a) el valor de la fuerza que tiende a mover al

5

trineo a lo largo del suelo y b) la fuerza que tiende a levantar verticalmente al trineo.Sol:F = 45,96i + 38,57j N.

15. Sobre una partıcula actuan dos fuerzas como se muestra en la £gura. Determınese el

vector fuerza resultante, su modulo y el angulo que forma con el eje horizontal.Sol:R = 82,4i + 30,5j N, R = 87,86 N, α = 20,3.

16. Cuatro fuerzas coplanarias actuan sobre una partıcula en el punto O de la £gura. Calculese

la fuerza resultante.Sol: R = −95i + 71j N.

17. Un fuerza de 100 N forma unanguloφ con el ejex y su componentey es de 30 N.

Calculese elanguloφ. Sol: φ = 17,5.

18. Encuentrese la resultante de las siguientes fuerzas coplanarias que actuan sobre la partıcu-

la de la £gura.Sol: R = 5,7i − 3,2j.

6

19. Hallense las componentesx ey de una fuerza de 400 N que forma unangulo de125 con

el eje horizontal.Sol: F = −229,4i + 327,7j.

20. Un nino sostiene a un vagon para evitar que se deslice hacia abajo en un plano incli-

nado con inclinacion de20 con respecto a la horizontal. Si el vagon pesa 150 N, ¿con

que fuerza paralela a la inclinacion tirara el nino?.Sol: 51.3 N.

21. En la situacion de equilibrio, calculese el peso del objeto de la £gura.Sol: P = 25,2 N.

7

22. Se quiere que un automovil de 200 N se mueva con velocidad constante sobre un plano

inclinado de30 ¿Que magnitud debe tener la fuerza paralela al plano inclinado si no hay

rozamiento con el plano?Sol: 100 N.

23. Un caja se desliza sobre el piso con velocidad constante por medio de una fuerza (ver

£guras a y b) ¿Cual debe ser el valor de la fuerza de rozamiento para que la caja per-

manezca en reposo? ¿y el valor de la fuerza normal?Sol: a)Fr = 19,15 N, N = 33,9 N,

b) Fr = 173 N, N = 250 N.

8

24. Dos remolcadores arrastran una barcaza. Si la resultante de la fuerza ejercida por los

remolcadores es una fuerza de 25 kN dirigida segun el eje de la barcaza, determinar a) la

tension en cada uno de los cabos sabiendo queα es igual a45 y b) el valor deα para el

que es mınima la tension en el cabo 2.Sol: a)T1 = 18,3 N y T2 = 12,9 N, b) α = 60.

25. En la operacion de descarga de un barco, un automovil de 1590 kg es soportado por un

9

cable. Se ata una cuerda al cable en A y se tira para centrar el automovil sobre la posicion

deseada. Elangulo entre el cable y la vertical es de2 mientras que elangulo entre la

cuerda y la horizontal es de30, ¿Cual es la tension de la cuerda?Sol: T = 642 N.

26. Dos cables se amarran juntos en el punto C y se cargan como se muestra en la £gura.

Determinar las tensiones AC y BC.Sol: TAC = 529,8 N y TBC = 350,1 N.

10

27. Un cilindro de 200 kg se sostiene por medio de dos cables AB y AC que se amarran en

la parte mas alta de la pared vertical. Una fuerza horizontal P perpendicular a la pared lo

sostiene en la posicion mostrada en la £gura (a 1.2 metros de la pared vertical). Determi-

nar la magnitud deP y la tension en cada cable.Sol: P = 235,4 N, TAC = 1236,4 N y

TAB = 1401,4 N.

28. Un bloque de masa1,5 kg desciende por un plano inclinado 30. El coe£ciente de roza-

miento cinetico entre ambos es0,40. Calcular la aceleracion de caıda del bloque.Sol: 1,5

m/s2.

29. Un ascensor que esta bajando se detiene con una aceleracion constante de 2 m/s2. Una

persona de 50 kg esta dentro del ascensor sobre una bascula. Calcular que marca la bascu-

la mientras el ascensor se esta deteniendo.Sol: 590 N.

30. Un bloque de masam1 que se encuentra sobre una mesa horizontal sin rozamiento se une

mediante una cuerda y polea de masas despreciables a un bloque de masam2 como en

la £gura. Calcular la aceleracion del sistema y la tension de la cuerda.Sol: a = m2gm1+m2

,

T = g m1m2

m1+m2.

11

31. Los bloques A y B se conectan mediante cuerdas y poleas sin rozamiento al bloque C.

A y B pesan 30 N y el coe£ciente de rozamiento cinetico es0,40 para ambos planos. El

bloque B asciende con velocidad constante. Calcular las tensiones de las cuerdas y el peso

de C.Sol: 39,6 N, 12 N,39,6 N.

32. Dos cuerpos de masas 3 y 1 kg estan unidos mediante una cuerda de masa despreciable

que pasa a traves de una polea sin rozamiento. Determinar la aceleracion de los cuerpos

y la tension de la cuerda.Sol: 4,9 m/s2, 14,7 N.

33. Calcular la aceleracion de los cuerpos de la £gura y la tension de la cuerda sim1 = 50

kg, m2 = 80 kg y F = 1000 N. Sol: a) a = 1,66 m/s2, T = 917 N. b) a = 5,43 m/s2,

T = 1218 N.

12

34. Las masas A y B son 10 kg y 5 kg respectivamente. El coe£ciente de rozamiento de A con

la mesa es0,20. Calcular la masa mınima de C para que el sistema no se mueva. Calcular

la aceleracion si se retira C.Sol:15 kg,1,96 m/s2.

35. Un avion de juguete de masa 150 g pende de un hilo de 50 cm de longitud. Cuando se

pone en marcha el motor del avion, este describe una trayectoria circular de radio 30 cm.

Calcular el modulo de la velocidad del avion.Sol: 1,5 m/s.

36. Un coche circula por una curva sin peraltar de 500 m de radio. El coe£ciente de roza-

miento estatico con la carretera es0,30. Determinar la velocidad maxima a la que puede

circular sin salirse de la curva.Sol: 38 m/s.

37. Calcular el trabajo efectuado por la fuerzaF = (2xy−x)i+(x+y)j N cuando un objeto

se mueve desde el origen O al punto P(1,3) (coordenadas en metros) por dos caminos: a)

desde el origen a (1,0) horizontalmente y desde aquı verticalmente a P. b) desde O a P en

lınea recta. Decir si la fuerza es conservativa.Sol: 7 J,7,5 J, no.

38. Se dispara una bala de 10 g de masa en direccion ascendente. Si la velocidad de salida

es 140 m/s y con la que vuelve al suelo es de 50 m/s, calcular el trabajo realizado por la

fuerza de rozamiento.Sol:−85,5 J.

39. Un pendulo de masam y longitudl es lanzado desde la posicion horizontal con velocidad

inicial vo. Calcular la velocidad en el punto mas bajo de la trayectoria y la tension de

la cuerda aquı. Determinar el valor mınimo devo para que complete una vuelta.Sol:

v =√

v2o + 2gl, T = 3mg + mv2

o/l, vmin =√

3gl.

13

40. Un cubito de hielo resbala con velocidad inicial nula desde el punto superior de una su-

per£cie esferica de radio R sin rozamiento. Calcular elangulo (medido desde la vertical)

en el que el cubito se separa de la super£cie y la velocidad con que llega al suelo.Sol:

48, v =√

4gR.

41. En una montana rusa un vagon de 150 kg sale desde el punto A, situado a una altura de

30 m, con velocidad inicial cero. Cuando llega al suelo describe un loop de radioR = 6

m. Despreciando la friccion, calcular la velocidad en el punto B y el valor de la normal

aquı. Sol: 18,8 m/s, 7350 N.

A

B

R

42. Un bloque cae desde el reposo y desde una altura de1,5 m por un plano inclinado 45

con coe£ciente de rozamiento cinetico0,40. Cuando llega a la base asciende por un se-

gundo plano, inclinado 30 y con coe£ciente de rozamiento cinetico0,20. Determinar la

velocidad con que llega a la base del primer plano y la altura que alcanza en el segundo.

Sol: 4,2 m/s,0,67 m.

43. Un esquimal de 65 kg va sobre un trineo de 15 kg tirado por 7 perros. El trineo asciende

la ladera de una montana inclinada 10 a una velocidad constante de 1 m/s. La friccion

del trineo puede considerarse el 10 % del peso total. Calcular la potencia desarrollada por

cada uno de los perros.Sol: 30,6 W.

14

3. Estatica del solido r ıgido

1. Se aplica una fuerza de 300 N al extremo de la palanca de la £gura, de 0.5 m de longitud.

Calcular: a) el momento de la fuerza respecto a O. b) el valor de la fuerza horizontal

en A que produce el mismo momento. c) la menor fuerza que aplicada en A produce el

mismo momento. d) ¿A que distancia debe aplicarse una fuerza vertical de 750 N para

tener el mismo momento? e) Decir si alguna de las fuerzas anteriores es mecanicamente

equivalente a la inicial.Sol: 75 Nm, 173.2 N, 150 N, 0.2 m, ninguna.

F

A

O 60º

2. Hallar el momento de la fuerza de 800 N respecto al punto B.Sol: -202.6 Nm.

60º

B

F

A

X

Y

0.2 m

0.1

6m

3. A la palanca del cambio de marchas de la £gura se le aplica una fuerza de 40 N. Hallar

su momento respecto a B siα = 25. Calcular la fuerza mas pequena que aplicada en A

produce un momento de 26.25 Nm respecto a B.Sol: -23.3 Nm, 44.9 N.

15

25ºF

A

B X

Y

55

cm

20 cm

4. Sobre un cubo de aristaa actua la fuerzaF . Determinar su momento respecto a la arista

AB y la diagonal AG.Sol: aF√

2/2, −aF/√

6.

X

Y

Z

A B

GF

5. Sabiendo que la tension del cable que sujeta el bastidor es de 450 N, hallar el momento

respecto a la diagonal AD de la fuerza que el cable ejerce sobre el bastidor.Sol: 89.2 Nm.

16

A

DT

X

Y

Z

H

0.75 m

0.875 m

0.5 m 0.5 m

0.7

5m

6. Si la tension del cable es de 2850 N, calcular el momento respecto de A de la fuerza que

el cable ejerce en B.Sol: 500(13,5j + 8,5k) Nm.

X

Y

Z

4.5 m

1.8

m

3m

A B

C

7. Una viga esta sometida a las fuerzas que se indican. Reducir el sistema de fuerzas a una

unica resultante.Sol: −600j N a 3.13 m de A.

150 N

600 N

100 N

250 N

1.6 m

1.2 m

2 m

17

8. ¿Donde debe sentarse un tercer nino para que la resultante de los pesos de los tres pase

por C si el tercero tiene una masa de 30 kg? La longitud total del columpio es de 3.6 m.

Sol: a 0.60 m del centro.

42 kg 32 kgC

9. Un sistema de tres partıculas se dispone como indica la £gura en los vertices de un

triangulo rectangulo. Calcular la posicion del centro de masas del sistema.Sol: (5/7, 4/7)b.

X

Y

m

4m

2m

b

b

10. Hallar la posicion del centro de masas en el sistema Tierra-Luna. Masa de la Tierra:

5,98 × 1024 kg, masa de la Luna:7,34 × 1022 kg. Distancia Tierra-Luna:3,84 × 108 m.

Sol: a 4660 km del centro de la Tierra.

11. Demostrar que el centro de masas de una barra homogenea de masaM , longitud L y

densidad linealλ esta situado en la mitad de la barra.

12. Supongamos una barra no homogenea de densidad linealρ(x) = ρ0x, conx medida desde

el extremo izquierdo, y longitudL. Calcular la posicion del centro de masas.Sol: 2L/3.

13. Tres masas situadas en el planoXY tienen las siguientes caracterısticas: una de masa

m1 = 2 kg con coordenadas(3, − 2 ) m ; otra de masam2 = 3 kg y coordenadas

(− 2, 4 ) m y la tercera de masam3 = 1 kg y coordenadas(2, 2 ) m . Halle las coorde-

nadas del centro de masas del sistema.Sol: (0,33, 1,67) m.

18

14. Un objeto de masaM tiene la forma de un triangulo rectangulo, con las dimensiones que

presenta la £gura. Localice las coordenadas del centro de masa, suponiendo que el objeto

tiene masa uniforme por unidad dearea.Sol: 2/3(a, b).

a

b

X

Y

15. Una placa que tiene la forma de una letraT se corta con las dimensiones mostradas en

la £gura. Localice el centro de masas.Sol: (0, 15,3) cm.

4 cm

16 cm

20

cm

4 cm

16. Una escuadra de carpintero tiene la forma de unaL , como se ve en la £gura. Localice el

centro de masas.Sol: (3,85, 6,85) cm.

4 cm

12 cm

18

cm

19

17. Una viga uniforme y horizontal cuya longitud es de 8 m ypesa 200 N, tiene un apoyo en

la pared con su otro extremo soportado por un cable que forma unangulo de53 con la

pared. Si una persona de 600 N se para a 2 m de la pared, calcular la tension en el cable

y la fuerza de reaccion en el apoyo.Sol: T = 415,8 N, Rx = 332 N y Ry = 450 N.

18. En que punto de una barra uniforme de 2 m de longitud y 3 N de peso debe colocarse un

bloque de 10 N de peso si un extremo de la barra esta apoyado sobre un pivote y en el

otro extremo tiene unido mediante una polea un peso de 8 N. Calculese la fuerza ejercida

sobre el pivote.Sol: d = 1,3 m desde el pivote,R = 5 N.

19. Una viga uniforme de masa 100 kg y 3 metros de longitud descansa sobre sus dos ex-

tremos. A 0.5 m del extremo izquierdo de la barra cuelga una masa de 50 kg y a 0.5

m del extremo derecho otra de 150 kg. Calculense las reacciones en los apoyos.Sol:

RIZQ = 1144,5 N y RDER = 1798,5 N.

20. Una viga uniforme tiene 4 m delongitud, pesa 500 N y descansa sobre uno de sus ex-

tremos. Existe un punto C, situado a 2.5 m del apoyo, alrededor del cual la viga puede

girar. Una persona de 750 N camina a lo largo de la viga, comenzando en el apoyo. Cal-

cule la distancia que el hombre puede caminar desde el apoyo para que la viga permanezca

en equilibrio.Sol: d = 2,8 m.

21. Un puente de 100 m de largo y 105 N de peso esta sostenido en sus extremos por dos

columnas. ¿Cual es la reaccion en las columnas cuando hay tres coches de 15000, 10000

y 12000 N de peso sobre el puente a distancias de 30, 60 y 80 m de uno de los extremos?

Sol: RA = 66900 N, RB = 70100 N.

20

22. Una escalera de peso 40 kg descansa sobre una pared vertical, en cuyo extremo tiene un

rodillo (A), formando unangulo de60 con el suelo (B). Encontrar las fuerzas de reaccion

sobre cada uno de los extremos.Sol: RA = 113,3 N, RBx = 113,3 N y RBy = 392,4 N.

23. La barra de la £gura reposa en equilibrio sobre los puntos A (a 1 m del extremo izquierdo)

y B (a 1.5 m del extremo derecho), bajo la accion de las fuerzas que se indican. Encontrar

las fuerzas ejercidas sobre la barra en A y B. La barra pesa 40 kg y su longitud es de 8 m.

Sol: RA = 674 N, RB = 818,4 N.

24. Se aplican tres cargas en una viga en la forma indicada en la £gura. La viga esta apoyada

en un rodamiento en A (a 0.45 m del extremo) y una bisagra en B. Despreciando el peso

de la viga, determinar la reaccion en A y B cuandoP = 66720 N. Sol: Ay = 32041,6 N,

By = 88054,4 N.

25. Una placa rectangular esta sostenida por soportes en A y B y por una alambre CD. Sabi-

endo que la tension en el alambre es de 200 N, determinar el momento con respecto a A

de la fuerza ejercida por el alambre en el punto C.Sol: MA = −19,76i + 44,44j + 7,41k

Nm.

21

26. Un cubo de ladoa, esta sometido a una fuerzaP en la direccion de la diagonal FC.

Determinar: a) el momento deP con respecto a A, b) el momento deP con respecto

a la arista AB y c) el momento de P con respecto a la diagonal AG del cubo.Sol: a)

MA = (aP/2)(i +j + k), b) MAB = aP/2 c) MAG = aP/6.

27. El armazon de la £gura sostiene parte del techo de un pequeno edi£cio. Sabiendo que

la tension del cable es de 150.000 N, determinar la reaccion en el extremo £jo E.Sol:

ME = 180,0 kNm.

22

28. Un rotulo de5 × 8 m y de densidad uniforme, pesa 270 N y lo sostiene un apoyo de bola

y cuenca en A y dos cables. Determinar la tension en cada cable y la reaccion en A.Sol:

TE = 318,8 N, TF = 101,4 N, A = 338,3i + 100,9j − 22,6k N.

29. Una carga de 450 N pende de la esquina C de un pedazo de tubo rıgido ABCD que se ha

doblado de la forma indicada. El tubo esta sostenido por apoyo de bola y cuenca en A y D

23

£jos al piso y a la pared vertical respectivamente y por un cable atado en el punto medio E

de la porcion BC del tubo y £jo en un punto G de la pared. Determinar: a) el punto donde

debe localizarse G para que la tension en el cable sea mınima, b) el valor correspondiente

de la mınima tension.Sol: Tmin = −200i + 100j − 200k N, G = (0, 15, 0).

30. Una grua £ja tiene una masa de 1000 kg y se utiliza para elevar un cajon de 2400 kg.

Esta sujeta mediante una articulacion en A y un rodillo en B. El centro de gravedad de la

grua esta situado en el punto G de la £gura. Determinar las componentes de las reacciones

en A y B.Sol: Bx = 107256N , Ax = −107256 N, Ay = 33354 N.

31. Tres cargas estan aplicadas a la viga como se muestra en la £gura. La viga esta soportada

24

por un apoyo de rodillo en A y una articulacion en B. Despreciando el peso de la viga,

hallar las reacciones en A y B.Sol: Ay = 30 kN, By = 105 kN.

32. Una vagoneta se encuentra en reposo sobre una vıa que forma unangulo de25 con la

vertical. La masa total de la vagoneta con su carga es de 2500 kg y su centro de gravedad

esta situado entre el plano medio entre los ejes y a 750 mm del carril. La vagoneta esta su-

jeta por un cable paralelo a la vıa y a 600 mm de la misma. Determinar la tension en el

cable y la reaccion en cada rueda.Sol: T = 22227 N, R1 = 2515,1 N, R2 = 7849,6 N.

33. Un extremo de una viga uniforme de 1 m de largo y 25 kg se £ja a unapared mediante

una bisagra. El otro extremo se sujeta mediante un alambre. Hallar: a) la tension en el

alambre y b) la fuerza en la bisagra.Sol: T = 212,4 N, Rx = 106,2 N y Ry = 61,3 N.

25

34. Un embalaje de 50 kg esta sujeto al sistema de vigueta y carrito aereo de la £gura. Sabien-

do quea es 1.5 m, hallar a) la tension del cable CD y b) la reaccion en B.Sol: T = 498,5

N, Bx = −408,3 N, By = 204,6 N.

35. Una tapa uniforme de una tuberıa de radio 240 mm y 30 kg de masa, esta sostenida en

posicion horizontal por un cable CD. Suponiendo que el cojinete en B no ejerce ningun

empuje axial, determinar la tension en el cable y las componentes de las reacciones en

A y B. Sol: T = 342,9 N, Bx = 245 N, By = 73,6 N, Ax = 48,9 N, Ay = 73,6 N,

Az = 98,1 N.

26

36. El tubo ACDE esta soportado por las rotulas A y E y elalambre DF. Hallar la tension de

este cuando se aplica como se indica en la £gura un carga de 640 N.Sol: T = 343,2 N.

37. La placa ABCD de26×30 cm se sostiene por medio de bisagras a lo largo de la arista AB

y por el alambre CE. Si se sabe que la placa es uniforme y que pesa 10 kg, determınese

la tension en el cable.Sol: T = 61,5 N.

27

38. El tubo ACD se sostiene por medio de soportes de bola y cuenca en A y D y por un cable

que pasa a traves de un anillo en B y atado en los puntos G y H. Si se sabe que el tubo

sostiene en C una carga de 335 N, calcular la tension de los cables.Sol: T = 435,8 N.

28

4. Ondas

1. Un extremo de una cuerda esta atado en la boca de un pozo de una mina vertical de 80 m

de profundidad. De la cuerda cuelga una masa de 20 kg que se emplea para mantenerla

tensa. La masa de la cuerda es 2 kg. Un geologo esta situado en el fondo del pozo y

envıa senales a la super£cie agitando horizontalmente la cuerda. Calcular la velocidad

de propagacion de la senal. Si la cuerda se agita con una frecuencia de 2 Hz, calcular la

longitud de la onda generada.Sol: 88,5 m/s,44,3 m.

2. Un alambre de 75 cm tiene una masa de16,5 g. Un extremo esta amarrado a un clavo

y el otro a un tornillo que puede ajustarse para variar la tension del alambre. Calcular

la tension a que debe ajustarse el tornillo para que una onda transversal de3,33 cm de

longitud de onda registre 875 vibraciones por segundo.Sol: 18,7 N.

3. El extremo de una cuerda tensada se mueve transversalmente a ella con un movimiento

armonico de frecuencia 2 Hz y amplitud0,075 m. La velocidad de la onda generada

es 12 m/s. Ent = 0 el desplazamiento del extremo que se agita es nulo. Suponer que

ninguna onda es re¤ejada en el otro extremo de la cuerda. Escribir una funcion de onda

que describa a la onda generada.Sol: y(x, t) = 0,075 cos(1,05x − 12,6t ± π/2).

4. Una onda armonica transversal con amplitud2,50 mm y longitud de onda 180 cm viaja

de izquierda a derecha por una cuerda horizontal con velocidad de 36 m/s. Tomese como

origen el extremo izquierdo de la cuerda no perturbada. Ent = 0 este extremo tiene el

maximo desplazamiento hacia arriba. Calcular frecuencia, frecuencia angular y numero

de ondas. Escribir la ecuacion que describe a la onda en el SI. Calcular la maxima ve-

locidad transversal de cualquier partıcula de la cuerda.Sol: 20 Hz, 126 s−1, 3,49 m−1,

y(x, t) = 2,50 × 10−3 cos(3,49x − 126t), 0,314 m/s.

5. Una onda armonica se propaga hacia la derecha por una cuerda con amplitud 10 cm.

Un punto de la cuerda tarda1,1 s en completar una oscilacion y la longitud de onda es

50 cm. Ent = 0 el punto en el origen de coordenadas se encuentra 10 cm por encima

de su posicion de equilibrio. Escribir la funcion de onda. Ent = 0, ¿que puntos de la

cuerda tienen elongacion maxima? Calcular los valores de la velocidad y aceleracion

29

transversales maximas para cualquier punto de la cuerda.Sol: y(x, t) = 0,10 cos(12,6x−5,71t), x = 0,50n m conn = 0, 1, 2, 3 . . ., 0,57 m/s,3,26 m/s2.

6. Unas ondas transversales en una cuerda tienen una velocidad de 8 m/s, una amplitud de 7

cm y una longitud de onda de0,320 m. Las ondas viajan en la direccion−x y ent = 0 el

extremox = 0 tiene su maximo desplazamiento hacia arriba. Calcular frecuencia, perıodo

y numero de ondas. Escribir una funcion de onda en el SI que describa estas ondas.Sol:

25 Hz,0,040 s,19,6 m−1, y(x, t) = 0,070 cos(19,6x + 157,1t).

7. Una onda transversal se propaga en el ejex y en el SI viene dada por la siguiente ecuacion:

y(x, t) = 0,45 cos(2x − 3t)

Determinar longitud de onda, frecuencia, velocidad de propagacion y velocidad y ace-

leracion de las partıculas a 1 m del origen ent = 1 s.Sol: 3,1 m, 0,48 Hz, 1,5 m/s,−1,14

m/s,−2,18 m/s2.

8. Una sirena de advertencia colocada en un poste envıa ondas sonoras uniformemente en

todas direcciones. A una distancia de 15 m, la intensidad del sonido es de0,250 W/m2.

Calcular a que distancia la intensidad se reduce a0,010 W/m2. Sol: 75 m.

9. Cuando un avion despega produce una intensidad de sonido de 10 W/m2 a una distancia de

30 m, suponiendo que el avion se comporta como una fuente puntual de sonido. Calcular

a que distancia de la pista debemos situarnos para que la intensidad sonora sea solo de

1 µW/m2. ¿Cual es la intensidad al doble de esta distancia? Calcular la potencia total de

sonido producida por el avion.Sol: 95 km,2,5 × 10−7 W/m2, 1,13 × 105 W.

10. Una onda armonica transversal viaja por una cuerda de longitud 8 m y masa 6 g. Su

velocidad es de 30 m/s y su longitud de onda 20 cm. Calcular la amplitud de la onda

para que su potencia media sea 50 W. Si la amplitud y longitud de onda son las mismas,

calcular la potencia media de la onda si la tension se aumenta de modo que la velocidad

de propagacion sea el doble.Sol: 7,07 cm, 400 W.

11. Las funciones de onda de dos ondas armonicas que se propagan sobre el ejex y que

30

coinciden en el espacio, en el SI, son:

y1(x, t) = 0,020 sin(4πx − πt +π

4)

y2(x, y) = 0,020 sin(4πx − πt)

Determinar la funcion de onda de la onda resultante.Sol: y(x, t) = 3,70×10−2 sin(4πx−πt + π

8).

12. Las funciones de onda de dos ondas armonicas que se propagan sobre el ejex y que

coinciden en el espacio, en el SI, son:

y1(x, t) = 0,70 sin(2πx − 5πt +π

2)

y2(x, t) = 0,70 sin(2πx − 5πt − π

4)

Determinar la funcion de onda resultante de la interferencia entre ambas.Sol: y(x, t) =

1,4 sin(2πx − 5πt + π8) cos(3π

8).

13. Las funciones de onda de dos ondas armonicas que se propagan sobre el ejex y que

coinciden en el espacio, en el SI, son:

y1(x, t) = 0,25 sin(0,5πx − πt)

y2(x, t) = 0,25 sin(0,5πx + πt)

Determinar la funcion de onda resultante de la interferencia entre ambas y la distancia

entre dos nodos consecutivos.Sol: y(x, t) = 0,50 sin(0,5πx) cos(πt), 2 m.

14. En un bajo electrico la longitud de las cuerdas es de86,4 cm. La cuarta tiene una densidad

lineal de0,0447 kg/m y se la tensa con 226 N. Calcular la frecuencia fundamental de

vibracion. ¿Cual debe ser la tension de la cuerda para que la frecuencia fundamental sea

de36,7 Hz?Sol: 41,15 Hz, 179,8 N.

15. Un alambre con una masa de 40 g esta estirado de forma que sus extremos estan £jos y

separados 80 cm. El alambre vibra en su modo fundamental con una frecuencia de 60 Hz

y amplitud en los antinodos de0,30 cm. Calcular la velocidad de propagacion de ondas

transversales en el alambre, la tension del mismo, y velocidad y aceleracion transversales

maximas de las partıculas del alambre.Sol: 96 m/s, 461 N,1,13 m/s, 426 m/s2.

31

16. La parte que puede vibrar de la cuerda de un instrumento musical mide 60 cm y tiene

una masa de 2 g. La cuerda produce un La al tocarse (440 Hz). Calcular a que distancia

del puente debemos presionar la cuerda para que al tocarse produzca un Re (587 Hz). En

ambos casos la cuerda vibra en su modo fundamental. Decir si es posible, sin rea£nar el

instrumento (es decir, sin variar la tension de la cuerda), tocar un Sol (392 Hz).Sol: 45

cm, no.

17. Una cuerda de guitarra de63,5 cm de longitud se a£na para producir un Si (245 Hz)

cuando vibra en su modo fundamental. Calcular la velocidad de las ondas transversales

en esta cuerda. Si a£namos la cuerda aumentando su tension en un 1 %, decir cual sera su

nueva frecuencia fundamental.Sol: 311 m/s, 246 Hz.

18. El silbato de un tren parado tiene una frecuencia de 220 Hz. Considerando que el aire

esta en calma y una velocidad del sonido en aire de 343 m/s, calcular la frecuencia del

silbato que escuchara una persona situada junto a la vıa cuando a) el tren se acerca a la

persona a 90 km/h. b) El tren se aleja a 90 km/h.Sol: 237,3 Hz, 205,1 Hz.

19. El maquinista de un tren parado en la estacion acciona el silbato, que tiene una frecuencia

de 220 Hz. Un segundo tren se mueve por una vıa contigua a la primera a 90 km/h.

Considerando que el aire esta en calma y una velocidad del sonido en aire de 343 m/s,

calcular la frecuencia sonora que percibira el maquinista del tren en movimiento cuando

se acerca y cuando se aleja de la estacion.Sol: 236 Hz, 204 Hz.

20. Un coche de policıa esta persiguiendo a 80 km/h a una furgoneta que viaja a 85 km/h.

Cuando el coche esta en reposo y el aire en calma la frecuencia de su sirena es de 350 Hz.

Considerando que el aire esta en calma y una velocidad del sonido en aire de 343 m/s,

calcular la frecuencia de la onda sonora que percibira el conductor de la furgoneta.Sol:

349 Hz.

21. Un tren se encuentra parado en la estacion y hace sonar su pitido, que tiene una frecuencia

de 370 Hz. Un segundo tren se aleja de la estacion y sus viajeros oyen el pitido del tren

parado con una frecuencia de 360 Hz. Considerando que el aire esta en calma y una

velocidad del sonido en aire de 343 m/s, calcular la velocidad del segundo tren.Sol: 9,3

m/s.

32

22. Un murcielago vuela hacia una pared emitiendo ultrasonidos de 36 kHz. La frecuencia de

la onda re¤ejada en la pared que el murcielago percibe es de 38 kHz. Calcular la velocidad

a la que el murcielago vuela. Considerar que el aire esta en calma y una velocidad del

sonido en aire de 343 m/s.Sol: 9,27 m/s.

33

5. Calor, temperatura y primer principio de la termodin ami-ca

1. Obtener la relacion entre las escalas de temperatura Celsius y Fahrenheit. ¿A que tem-

peratura coinciden las indicaciones en ambos termometros?Sol: T (F ) = 32 + 1,8T (C),

T (F ) = T (C) = −40C.

2. Un termometro centıgrado mal calibrado marca8C en el punto de fusion del hielo y

99C en el de ebullicion del agua, en un lugar en el que la presion atmosferica es de 760

mm Hg. ¿Que formula de reduccion debemos emplear para calcular la temperatura real?

Si el termometro marca50C. ¿Cual es la verdadera temperatura? ¿A que temperatura

es correcta la lectura del termometro?Sol: Treal = (Tmedida − 8)/0,91, Treal(50C) =

46,15C, Treal = Tmedida = 88,89C.

3. Una cinta metrica de acero mide 5 m a una temperatura de20C. ¿Cual es su longitud un

dıa en que la temperatura es de35C? Coe£ciente de dilatacion lineal del acero11×10−6

K−1. Sol: 5,000825 m.

4. Un frasco de vidrio de 200 cc se llena completamente de Hg a20C. ¿Cuanto Hg se

derrama al subir la temperatura del sistema hasta100C? Los coe£cientes de dilatacion

volumetrica del vidrio y del Hg son respectivamente1,2 × 10−5 y 18 × 10−5 C−1. Sol:

Vderramado = 2,688 cm3.

5. Un herrero ha de colocar una llanta circular de hierro de 1 m de diametro a una rueda de

madera de igual diametro. Con objeto de poder ajustarla, calienta la llanta hasta conseguir

que su radio exceda al de la rueda en 2 mm. Si la temperatura ambiente es de20C y el

coe£ciente de dilatacion lineal de la llanta es de12,2×10−6 C−1, calcular la temperatura

a que debe calentarse la llanta.Sol: T = 347,9C.

6. La densidad del Hg a0C es de 13.6 g/cm3 y su coe£ciente de dilatacion volumetrica es

18,2 × 10−6 C−1. Calcular la densidad del Hg a100C. Sol: 13,357 g/cm3.

7. Una vasija de Zn esta llena de Hg a0C, teniendo una capacidad de 5 l. Calcular el volu-

men de Hg que se derrama a100C por efecto de la dilatacion. Coe£ciente de dilatacion

34

volumetrica del Zn87 × 10−6 y del Hg182 × 10−6 C−1. Sol: 47,2 cm3.

8. Un recipiente de 5 l decapacidad contienen 12 g de nitrogeno (peso molecular 28 g/mol

a una temperatura de27C siendo la presion atmosferica de 740 mm Hg. Determinar

la presion dentro del recipiente. Se abre el recipiente el tiempo su£ciente para que las

presiones interna y externa se igualen. En ese tiempo, ¿sale nitrogeno del recipiente o

entra aire en el mismo? Calcular en cualquier caso la masa en gramos de gas que sale

o entra. Considerar que la temperatura permanece constante en el proceso.Sol: p =

2,2 × 105 Pa, salen 6.46 g de N2.

9. En un recipiente cerrado de 2 l decapacidad hay 3.5 g de oxigeno a20C. La presion

atmosferica es de 740 mm Hg y la temperatura exterior de20C. Se abre el recipiente,

¿entra o sale gas del recipiente? ¿Que cantidad de aire entra o sale hasta alcanzar el

equilibrio? ¿A que temperatura deberıa estar el oxıgeno del recipiente para que al abrir

no entre ni salga gas? Peso molecular del oxıgeno 32 g/mol.Sol: Salen0,91 g de O2,

T = 216,96 K.

10. Un recipiente cerrado de 50 l contiene hidrogeno a una temperatura de15C y a una

presion de 1.5 atm. Determinar la masa de hidrogeno contenida en el recipiente. Si se

pone en comunicacion con el exterior, donde la presion es de 760 mm Hg, determinar

la masa y volumen de hidrogeno, en condiciones normales, que sale del recipiente si la

temperatura exterior es de15C. Sol: minicial = 6,36 g, salen2,12 g, 47,7 l.

11. En un calorımetro de equivalente en agua despreciable hay 1 kg de hielo a−10C.

¿Cuantos gramos de agua a80C hay que introducir en el recipiente para que la tem-

peratura £nal sea de10C? Si en lugar de agua a80C se introduce vapor de agua a

100C, ¿cuantos gramos del vapor hay que introducir para que la temperatura £nal sea

de40C? El calor especi£co del hielo es 0.5 cal/gC, el calor latente de vaporizacion del

agua es 540 cal/g, y el calor latente de fusion es 80 cal/g.Sol: m = 1,36 kg, m2 = 0,21

kg.

12. Calcular la temperatura £nal de una mezcla de 10 y 80 l de agua cuyas temperaturas son

respectivamente 70 y20C. Sol: Tf = 25,56C.

35

13. En un calorımetro que contiene 440 g de agua a9C se introduce un trozo de hierro de 50

g de masa a temperatura de90C, resultando la temperatura de equilibrio10C. Calcular

el calor especi£co del hierro.Sol: 0,12 cal/gK.

14. Mezclamos 1 kg de agua a95C con 1 kg de hielo a−5C. ¿Disponemos de su£ciente

calor pasa fundir todo el hielo? Si es ası, ¿a que temperatura queda la mezcla? Calor

especi£co de hielo 0.5 cal/gC. Calor de fusion del hielo 80 cal/g.Sol: 6,25C.

15. En un calorımetro de Cu de masa 40 g se introducen 380 g de alcohol, estando el conjunto

a8C. Se introduce en el alcohol un trozo de Cu de 122 g a50C, alcanzando una temper-

atura de equilibrio de10C. Calcular el calor especı£co del alcohol. El calor especı£co

del Cu es 0.095 cal/gC. Sol: 0.6 cal/gK.

16. Un vaso de Cu, bien aislado del exterior, pesa 1.5 kg. El vaso contiene un bloque de hielo

de 10 kg en equilibrio termico conel, a temperatura de−10C. Se inyectan 5 kg de vapor

de agua a100C. Calculese el estado £nal de la mezcla. El calor especı£co del Cu es 398

J/kgC. Sol: quedan 1.54 kg de vapor a100C.

17. Se mezclan en un calorımetro de masa 107 g, que inicialmente se encuentra a−100C,

100 g de hielo a−100C con 200 g de agua a80C. Determınese la cantidad de vapor de

agua a100C que habrıa que introducir para que la temperatura £nal de la mezcla sea de

90C. Calor especı£co del calorımetro 390 J/kgC. Sol: 47,11 g.

18. El aire de una habitacion de dimensiones5 × 5 × 4 m se dilata a presion constante de

760 mm Hg, escapando por las ventanas al pasar su temperatura de 15 a 20C. Calcular

el volumen de aire que se escapa y el trabajo que el aire interior realiza en la expan-

sion al empujar el aire exterior ¿Que volumen ocupara todo el aire de la habitacion en

condiciones normales de presion y temperatura? Calcular tambien la cantidad de calor

absorbido por el aire al dilatarse en las condiciones anteriores y la variacion de energıa

interna. El calor molar a presion constante es de 7 cal/mol K, la densidad del aire es

1,24 kg/m3 y su peso molecular28,96 g/mol. Sol: ∆V = 1,74 m3, Vcn = 94,79 m3,

W = 1,76 × 105 J,Q = 6,19 × 105 J,∆U = 4,43 × 105 J.

19. Se tiene un gramo de nitrogeno (28 g/mol) a0C y a presion normal ¿Cual es el volumen

36

ocupado por el gas? Se calienta el gas a presion constante hasta100C (calor molar a pre-

sion constante 7 cal/molC), ¿que cantidad de calor se necesita y cual es el volumen £nal?

A partir del mismo estado inicial se calienta a100C a volumen constante, ¿que cantidad

de calor se necesita y cual es la presion £nal?Sol: Vi = 8 × 10−4 m3, Qp = 25 cal,

Vf = 1,09 × 10−3 m3, Qv = 17,86 cal,pf = 1,38 × 105 Pa.

20. Se realiza una transformacion isoterma de un gas perfecto, desde un volumen de 10 l,

presion 5 atm y temperatura 300 K hasta que el volumen se reduce a la mitad. Calcular el

numero de moles de gas que tenemos, la presion £nal y el calor y trabajo intercambiados

con el medio exterior en la transformacion. Sol: n = 2,03 mol pf = 1,013 × 106 Pa,

Q = W = −3508 J.

21. Se expansiona adiabaticamente un gas perfecto diatomico desde un volumen de 2 l, pre-

sion 2 atm y temperatura 300 K hasta que su temperatura sea la cuarta parte de la inicial.

Calcular el volumen y presion £nales ası como el trabajo y variacion de energıa interna

en la transformacion.Sol: Vf = 6,4× 10−2 m3, pf = 1,59× 103 Pa,∆U = −W = −180

cal.

22. ¿Que cantidad de calor hace falta para duplicar el volumen en una transformacion isobara

de 50 l de oxıgeno que se encuentra a27C y 2 atm de presion? Calcular la temperatura

£nal y la variacion de energıa interna en el proceso.Sol: Q = 35426 J, Tf = 600 K,

∆U = 25304 J.

23. ¿Que cantidad de calor hace falta para duplicar la temperatura en una transformacion

isocora de 100 l de hidrogeno a 3 atm de presion y 300 K de temperatura?Sol: Q =

76036,5 J.

24. Un cilindro contiene oxıgeno gaseoso a 2 atm de presion y ocupa un volumen de 3 l a 300

K de temperatura. Se somete a los siguientes procesos:

a) se calienta a presion constante hasta 500 K

b) se enfrıa a volumen constante hasta 250 K

c) se enfrıa a presion constante hasta 150 K

37

d) se calienta a volumen constante hasta los 300 K.

Representar estos procesos en un diagramapV dando los valores de presion y volumen

en cada vertice. Calcular el ¤ujo calorı£co neto al oxıgeno y el trabajo neto realizado por

este.Sol: Qneto = Wneto = 202,6 J.

25. Un gas ideal diatomico recorre el ciclo de la £gura. Determinar los valores de presion,

volumen y temperatura en cada vertice, ası como el calor, el trabajo y la variacion de

energıa interna en cada lınea del ciclo. Suponer adiabatica la transformacion 1-2.Sol:

U12 = −W12 = 59,3 cal, U23 = 306,6 cal, Q23 = 429,2 cal, W23 = 122,6 cal, U31 =

Q31 = −365,9 cal.

26. Un mol de un gas ideal monoatomico realiza las transformaciones de la £gura. Determinar

los valores de presion, volumen y temperatura en cada vertice, ası como el calor, trabajo

y variacion de energıa interna en cada proceso y en el ciclo completo.Sol: U12 = 36,6

cal,W12 = 24,4 cal,Q12 = 61,0 cal,U23 = 0 cal,W23 = Q23 = 33,8 cal,U34 = −54,9

cal,W34 = −36,6 cal,Q34 = −91,5 cal,U41 = Q41 = 21,6 cal,W41 = 0.

38

27. Dos moles de un gas ideal monoatomico recorren el ciclo de la £gura. Determinar los

valores de presion, volumen y temperatura en cada vertice, ası como el calor, trabajo y

variacion de energıa interna en cada proceso y en el ciclo completo.Sol: U12 = 7317 cal,

W12 = 4878 cal,Q12 = 12195 cal,U23 = Q23 = −7317 cal,W23 = 0, U34 = −3658 cal,

W34 = −2439 cal,Q34 = −6097 cal,U41 = Q41 = 3658 cal,W41 = 0.

39

6. Segundo principio de la termodinamica

1. Dos moles de un gas ideal monoatomico recorren un ciclo de Carnot realizando en la

expansion adiabatica 9932 J de trabajo y siendo 1000 K la temperatura del foco caliente.

Calcular el rendimiento del ciclo.Sol: η = 0,398.

2. La temperatura del foco caliente de un motor de Carnot que funciona por vıa reversible

es 300 K y la del foco frıo 273 K. Si el numero de calorıas que recibe el motor del foco

caliente es de 2000, calcular el rendimiento del ciclo y las calorıas cedidas al foco frıo.

Si el motor funcionase como frigorı£co y recibe 2000 calorıas del foco frıo, calcular la

e£cacia de la maquina y las calorıas que cede al foco caliente.Sol: η = 0,09, Qced = 1820

cal,ε = 10,1.

3. En una nevera de compresion de Carnot se trata de fabricar 5 kg de hielo cada hora

partiendo de agua a0C y estando el ambiente exterior a27C. Calcular la e£cacia de la

nevera y la potencia teorica del motor. Calcular la potencia real del motor si su rendimien-

to es del 75 %, ası como el costo de energıa electrica necesaria para fabricar 100 kg de

hielo a 15 pesetas el kwh.Sol: Preal = 61 W, 18.3 ptas.

4. Una maquina termica trabaja entre dos focos a temperaturas de 400 y 300 K, extrayendo

100 J del foco caliente en cada ciclo. Calcular el rendimiento de la maquina y el trabajo

que puede realizar cada vez que recorre el ciclo.Sol: η = 0,25, Wneto = 25 J.

5. Una maquina termica absorbe 100 J del foco caliente y cede 60 J al foco frıo en cada

ciclo. Calcular el rendimiento de la maquina. Si recorre un ciclo en 0.5 s, ¿cual sera su

potencia?Sol: η = 0,4, P = 80 W.

6. Un mol de un gas ideal, cuyo calor molar a volumen constante es 5 cal/mol K, describe un

ciclo de Carnot cuyo rendimiento es 0.5. Sabiendo que en la expansion adiabatica realiza

un trabajo de 8535 J, calcular la temperatura de los focos.Sol: Tc = 821,6 K, Tf = 410,8

K.

7. Calcular la variacion de entropıa especı£ca del agua cuando a presion constante se calien-

ta desde−18C hasta100C, donde se encuentra en estado de vapor. El calor latente de

40

fusion y vaporizacion del agua son respectivamente 80 y 540 cal/g. El calor especı£co

a presion constante del agua y del hielo son, respectivamente 1 y 0.5 cal/gC. Sol: 2.09

cal/gC.

8. Diez gramos de agua a20C se convierten en hielo a−10C a presion atmosferica con-

stante. Suponiendo que la capacidad calorı£ca del agua es constante es igual a 4.2 J/gK,

que la del hielo es la mitad de este valor y que el calor de fusion del hielo a0C es 335

J/g, calcular el cambio de entropıa del agua.Sol: −16,02 J/K.

9. Un gas ideal diatomico recorre reversiblemente el ciclo de la £gura. Determinar el cambio

de entropıa en cada lınea del ciclo y en el ciclo completo. Calcular tambien el rendimien-

to del ciclo. Considerar adiabatica la transformacion 1-2.Sol: η = 0,149, ∆S12 = 0,

∆S23 = 0,56 cal/K, ∆S31 = −0,56 cal/K.

10. Un gas ideal diatomico recorre el ciclo de la £gura. Determinar el rendimiento del ciclo

y la variacion de entropıa en cada uno de los procesos que lo componen. Considerese

isoterma la transformacion 1-2.Sol: η = 0,154 ∆S12 = 0,23 cal/K, ∆S23 = 0,79 cal/K,

∆S31 = −0,56 cal/K.

41

11. Un mol de un gas ideal monoatomico realiza las transformaciones de la £gura. Determinar

el rendimiento del ciclo y la variacion de entropıa en cada transformacion.Sol:η = 0,191,

∆S12 = 3,46 cal/K, ∆S23 = 1,39 cal/K, ∆S34 = −6,93 cal/K, ∆S41 = 2,08 cal/K.

12. Dos moles de un gas ideal monoatomico recorren el ciclo de la £gura. Determinar el

rendimiento del ciclo y la variacion de entropıa en cada proceso.Sol: η = 0,154, ∆S12 =

6,93 cal/K, ∆S23 = −4,16 cal/K, ∆S34 = −6,93 cal/K, ∆S41 = 4,16 cal/K.

13. Un cilindro horizontal aislado contiene un piston de pared adiabatica sin rozamiento. A

cada lado del piston hay 54 L de un gas ideal monoatomico, a 1 atm de presion y 273

K. Se suministra calor lentamente al gas de la izquierda hasta que el piston comprime al

gas de la derecha a 7.59 atm. Calcular el trabajo realizado sobre el gas de la derecha, las

temperaturas £nales de ambos gases y el calor suministrado al gas de la izquierda.Sol:

-2469 cal, 614.5 K, 3533.4 K, 26042 cal.

42

14. Un gas ideal diatomico recorre el ciclo de la £gura, donde el proceso 1-2 es isotermo

y el 4-5 adiabatico. Calcular calor, trabajo y variacion de energıa interna y entropıa en

cada proceso y en el ciclo completo. Calcular tambien el rendimiento del ciclo. Datos:

T3 = 1000 K, p3 = 6 atm,p2 = 4 atm,V2 = 2 L, V4 = 2,5 L, V1 = 4 L. Sol: en el ciclo

Q = W = 94,44 cal,η = 0,189.

p

V

1

2

3 4

5

15. El ciclo de la £gura es el denominado ciclo Otto normal de aire, en el que se basa el

motor de combustion interna de gasolina. Los procesos 1-2 y 3-4 son adiabaticos y a la

relacion de volumenesV1/V2 se la llamarelacion de compresion. En el ciclo de la £gura

la relacion de compresion es 8, y ademas se conocen los siguientes datos:V1 = 0,883 L,

p1 = 1,04 atm,p3 = 34,6 atm,T1 = 50C y el exponente de la adiabatica del gas que

realiza el ciclo esγ = 1,4. Calcular trabajo, calor y variacion de energıa interna y entropıa

en cada proceso y en el ciclo completo. Calcular tambien el rendimiento del ciclo.Sol:

en el cicloQ = W = 58,44 cal,η = 0,566.

p

V

1

2

3

4

16. El ciclo de la £gura se denomina ciclo Diesel normal de aire, en el que se basa el fun-

cionamiento del motor Diesel. Los procesos 1-2 y 3-4 son adiabaticos. La relacion de

43

compresion en este ciclo esV1/V2 = 16 y el calor absorbido en el proceso 2-3 es de 48

cal. Ademas se conoce queV1 = 0,19 L, T1 = 298,14 K y p1 = 1 atm. El gas que lo

recorre es diatomico. Calcular trabajo, calor y variacion de energıa interna y entropıa en

cada proceso y en el ciclo completo. Calcular el rendimiento del ciclo.Sol: en el ciclo

Q = W = 29 cal,η = 0,60.

p

V

1

2 3

4

44

7. Transferencia de calor

1. Un cuerpo negro con unarea super£cial de 0.1 m2 emite radiacion electromagnetica al

entorno. Calcular la potencia emitida si su temperatura es de a) 27C, b)1027C. Sol:

45.93 W, 16194 W.

2. Un cuerpo dearea 1 m2 y emisividad 0.5 se mantiene a 700C en una gran habitacion

negra cuya temperatura es 100C. Determinar el calor neto intercambiado por unidad de

tiempo entre el cuerpo y la habitacion por el mecanismo de radiacion.Sol: 24,9× 103 W.

3. La super£cie de las estrellas emite radiacion energıa electromagnetica como un cuerpo

negro en buena aproximacion. Calcular el radio de Betelgeuse (estrella roja de la con-

stelacion de Orion) sabiendo que emite3,90× 1030 W y tiene una temperatura super£cial

de 3000 K.Sol: 2,60 × 1011 m.

4. Podemos considerar que el sol emite energıa como un cuerpo negro a una temperatura de

5760 K. Si su diametro es de1,39 × 109 m, calcular la potencia total emitida. Calcular la

longitud de onda a la que la emision es maxima. Si la distancia Tierra-Sol es de1,5×1011

m, calcular la potencia incidente por unidad dearea situada perpendicularmente a un rayo

solar y fuera de la atmosfera terrestre (denominada constante solar).Sol: 3,79 × 1026 W,

1340 W/m2.

5. La temperatura de funcionamiento de un £lamento de volframio de una bombilla es de

2460 K, y su coe£ciente de absorcion 0.35. Calcular elarea super£cial del £lamento

de una bombilla de 100 W, suponiendo que toda la energıa electrica consumida por la

lampara es emitida en forma de radiacion electromagnetica.Sol: 1.38 cm2.

6. Si el area super£cial total del cuerpo humano es de 1.2 m2 y su temperatura super£cial

de 30C, calcular la potencia total emitida (la emisividad del cuerpo es practicamente 1,

independientemente de la pigmentacion de la piel). Si el ambiente esta a 20C, calcular

la perdida neta por radiacion.Sol: 573.5 W, 72.0 W.

7. Agua a 300 K ¤uye por un lado de una placa de 2 m2 de area mantenida a 400 K. Si el

coe£ciente de conveccion es de 200 W/m2K, calcular la energıa transmitida por unidad

de tiempo desde la placa al agua.Sol: 40 × 103 W.

45

8. En un dıa de calma el coe£ciente de conveccion para el tejado de un edi£cio es 6 W/m2K.

Determinar el calor transmitido en la unidad de tiempo por conveccion si la temperatura

exterior del tejado es 15C y la del aire -5C. La super£cie del tejado es 400 m2. Repetir

el calculo si el coe£ciente de conveccion crece a 85 W/m2K debido a una brisa.Sol:

48 × 103 W, 680 × 103 W.

9. Determinar la potencia transmitida por conveccion desde una esfera de 1 cm de diametro

a 200C sumergida en aceite, cuya temperatura es 100C. Suponer un coe£ciente de con-

veccion de 1000 W/m2K. Sol: 31.4 W.

10. Un horno electrico tiene unaarea de pared total de 1.5 m2 y esta aislado con una capa de

£bra de vidrio de 4.0 cm de espesor. La super£cie interior de la £bra se encuentra a 240C

y la exterior a 35C. La £bra tiene una conductividad termica de 0.040 W/mK. Calcular la

corriente de calor en el aislante. ¿Que suministro de potencia electrica es necesario para

mantener la temperatura en el horno?Sol: 307.5 W.

11. Un carpintero construye una pared exterior con una capa de madera (K = 0,080 W/mK)

de 2.0 cm de espesor por el exterior y una capa de espuma aislante (K = 0,010 W/mK)

de 3.5 cm de espesor por el interior. La temperatura de la super£cie interior es 19C, y la

exterior -10C. Calcular la temperatura en la union de la madera con la espuma y el ¤ujo

de calor por metro cuadrado a traves de la pared.Sol: -8.1 C, 7.7 W/m2.

12. Una pared de un horno esta formada por una capa interna de acero (conductividad 50.2

W/mK) de 1.2 cm de espesor cubierta por otra capa externa aislante de asbesto (con-

ductividad 0.7 W/mK) de 5 cm de espesor. La temperatura de la super£cie interna del

acero es 800 K y la de lasuper£cie externa del asbesto es de 350 K. Determinar el calor

transmitido por unidad de tiempo a traves de la pared del horno, por unidad dearea, y la

temperatura de la interfase entre el acero y el asbesto.Sol: 6250 W/m2, 798.5 K.

13. La pared de una casa esta formada por una capa de ladrillo (espesor 10 cm y conductividad

termica 0.70 W/mK) y una capa de yeso (espesor 3.8 cm y conductividad termica 0.48

W/mK). Comparar el calor transmitido por unidad de tiempo a traves de esta pared con

el de otra que tiene entre el ladrillo y el yeso una resistencia termica de interfase de 0.1

K/W. Sol: sera 0.69 veces menor en el segundo caso.

46

14. Un extremo de una varilla metalica aislada se mantiene a 100C, y el otro extremo se

mantiene a 0C con una mezcla de hielo y agua. La varilla tiene 40 cm de largo y un

area transversal de 0.750 cm2. El calor conducido por la varilla funde 3 g dehielo en 5

minutos. Calcular la conductividad termica del metal y la temperatura de la varilla a 5 cm

de su extremo caliente. El calor latente de fusion del hielo es 80 cal/g.Sol: 178.8 W/mK,

87.5C.

15. Una varilla larga, aislada para evitar perdidas de calor por sus costados, esta en contacto

termico perfecto con agua hirviendo a 100C en un extremo y una mezcla agua-hielo

en el otro. La varilla consiste en un tramo de cobre de 1 m de longitud en contacto con

el agua hirviendo por un extremo y unida a un tramo de acero por el otro extremo. El

tramo de acero tiene su otro extremo en la mezcla agua-hielo. Ambos tramos tienen una

seccion transversal de 6 cm2. La temperatura en la union cobre-acero es de 65C una

vez alcanzado el estado estacionario. Calcular el ¤ujo de calor a traves de la varilla y la

longitud del tramo de acero. La conductividad termica del cobre es 385 W/mK y la del

acero 50.2 W/mK.Sol: 8.1 W, 0.24 m.

16. Una pared de ladrillo de 0.1 m de espesor y conductividad termica 0.7 W/mK esta ex-

puesta a un viento frıo a una temperatura de 270 K con un coe£ciente de conveccion de

40 W/m2K. El lado opuesto de la pared esta en contacto con aire en calma a 330 K y

coe£ciente de conveccion 10 W/m2K. Calcular el calor transmitido a traves de la pared

por unidad de tiempo yarea.Sol: 222.2 W/m2.

17. Un carpintero construye una puerta de madera de2,00 × 0,95 m y espesor 4.0 cm. Su

conductividad termica es 0.120 W/mK. Las pelıculas de aire en las super£cies interior

y exterior de la puerta tienen la misma resistencia termica combinada que un espesor

adicional de madera de 1.8 cm. La temperatura interior es de 20C y la exterior de -8C.

Calcular el calor transmitido por la puerta. ¿En que factor aumenta este ¤ujo si se inserta

un ventana de vidrio de 0.5 m de lado en la puerta? El vidrio tiene un espesor de 0.40

cm y una conductividad termica de 0.80 W/mK. Las pelıculas de aire a ambos lados del

cristal tienen una resistencia termica igual a la de otros 12 cm de vidrio.Sol: en 1.4.

18. Calcular la relacion entre la perdida de calor a traves de una ventana de un solo cristal

47

con unarea de 0.15 m2 y la que se produce a traves de una ventana de doble cristal con la

mismaarea. Cada cristal tiene un espesor de 3.5 mm y el espacio entre los dos cristales de

la ventana doble es de 5.0 mm. El vidrio tiene una conductividad termica de 0.80 W/mK

y la del aire es 0.024 W/mK. Las pelıculas de aire en las super£cies interior y exterior de

ambas ventanas tienen una resistencia termica combinada de 0.15 m2K/W. Sol: 2.4

19. Suponiendo una transmision de calor unidimensional a traves de la pared compuesta de

la £gura, determinar el el ¤ujo de calor por unidad de tiempo y la temperatura de la cara

izquierda del material D si las temperaturas de la caras de la pared son las indicadas en

la £gura. Datos:KA = 75 W/mK, KB = 60 W/mK, KC = 58 W/mK, KD = 20 W/mK,

LA = 20 cm, LB = LC = 25 cm, LD = 40 cm, AA = AD = 2 m2, AB = AC . Sol:

29,7 × 103 W, 397.4C.

A

B

C

D

LA LD

AD

L =LB C

T=100ºCT=500ºC

20. Considerar la pared compuesta indicada en la £gura. La super£cie izquierda de la pared

esta sumergida en agua a 70C, siendo la temperatura de la pared de 50C y el coe£ciente

de conveccion 60 W/m2K. Calcular la conductividad del material central si las conductivi-

dades de los materiales de la izquierda y derecha son, respectivamente, 200 y 30 W/mK.

La super£cie derecha del material de la derecha se encuentra a 0C. Sol: 7.04 W/mK.

48

30 cm 25 cm 15 cm

21. La pared compuesta indicada en la £gura esta formada por dos materiales distintos; el

superior tiene una conductividad termica de 56 W/mK y el inferior de 52 W/mK. El lado

izquierdo de la pared se mantiene a 20C y el lado derecho se encuentra expuesto al aire,

que esta a una temperatura de 2C. El coe£ciente de conveccion entre la pared y el aire

es 5 W/m2K. Calcular el ¤ujo de calor transferido a traves de la pared en la unidad de

tiempo y la temperatura de la super£cie de la pared expuesta al aire.Sol: 170.2 W, 19.0C.

60 cm

1 m2

1 m2

22. Considere una persona que camina por el desierto en banador. La temperatura de la piel

de la persona aumenta por 4 mecanismos: 1) se genera energıa por reacciones metaboli-

cas en el cuerpo a razon de 280 W, y casi toda esta energıa ¤uye en forma de calor hacia

la super£cie 2) se suministra calor a la piel por conveccion, siendo el coe£ciente de con-

veccion 54 J/hCm2, el area expuesta de la piel 1.5 m2, la temperatura de la piel 36C

y la del ambiente 47C 3) la piel absorbe energıa del sol a razon de 1100 W/m2 4) la

piel absorbe energıa radiante del entorno. Calcular la razon neta de ganancia de energıa

por estos mecanismos. Suponer que la emisividad de la piel es 1. ¿Con que razon (litros

49

por hora) debe evaporarse el sudor de la piel para mantener una temperatura constante?

(el calor de vaporizacion del agua a 36C es de2,42 × 106 J/kg). Suponer ahora que la

persona se protege con ropa (emisividad 0), quedando la super£cie expuesta en 0.45 m2.

Calcular la nueva razon de evaporacion de sudor y discutir la utilidad de la vestimenta

tradicional de las gentes del desierto.Sol: 280 W, 0.25 W, 1650 W, 116.4 W, 3.04 l/h.

Con ropa: 1.2 l/h.

50

8. Electrostatica

1. Dos cargas puntuales se localizan en el ejey como sigue. La cargaq1 = −1,50 nC se

encuentra eny = −0,60 m y la cargaq2 = 3,20 nC se halla en el origen. Calcular la

fuerza total que estas cargas ejercen sobre una tercera de valor 5 nC situada eny = −0,40

m. Sol:−2,58 × 10−6j N.

2. Tres cargas puntuales estan en lınea. La cargaq3 = 5 nC esta en el origen. La carga

q2 = −3 nC esta enx = 4 cm. La cargaq1 esta enx = 2 cm. Determinar el valor deq1

para que la fuerza neta ejercida sobreq3 sea nula.Sol: 0,75 nC.

3. Un sistema esta formado por tres cargas puntualesq1 = −40 µC, q2 = 20 µC y q3 = 20

µC que se encuentran en las posiciones respectivas (2,0), (6,9) y (10,6) medidas en cm.

Determinar la fuerza neta sentida porq3. Sol: 0,576 × 103i − 1,30 × 103j N.

4. Una carga de -4µC se encuentra en el punto de un plano con coordenadas (3,3) y otra

de 2µC en (3,0), estando las coordenadas medidas en metros. Determinar la fuerza elec-

trostatica sentida por una tercera carga de 2µC que se encuentra en el origen de coorde-

nadas.Sol: F = −1,2 × 10−3i + 2,8 × 10−3j N.

5. Se colocan cuatro cargas electricas identicas en las esquinas de un cuadrado de ladoL.

Demostrar que la magnitud de la fuerza electrica ejercida sobre una carga por las otras

tres esF = kq2(1 + 2√

2)/2L2.

6. Calcular cual debe ser la carga de una partıcula de1,45 g de masa para que permanezca

estacionaria cuando se coloca en un campo electrico dirigido hacia abajo con magnitud

de 650 N/C.Sol: −21,9 µC.

7. Una carga puntual de 2 nC esta en el origen y una segunda de -5 nC se encuentra en

x = 0,80 m. Calcular el campo electrico enx = 0,20 m. Sol: 574i N/C.

8. Se coloca una carga puntual de6,0 × 10−9 C en el puntox = 0,15 y = 0 metros de un

sistema de coordenadas rectangulares; y otra carga identica en el puntox = −0,15 y = 0

m. Calcular el campo electrico en el origen y en el puntox = 0 y = 0,20 m. Sol: E = 0,

E = 1,38 × 103j N/C.

51

9. Dos cargas de 4 y -4µC se encuentran en los puntos (0,8) y (4,-1) metros respectivamente.

Calcular el campo electrico en el punto (8,2) m.Sol:−0,86i − 1,1j kN/C.

10. Dos cargas puntualesQ y −Q estan situadas en los vertices de un triangulo equilatero de

ladoL. Determinar el campo electrico en el vertice libre del triangulo.Sol: E = K QL2

i.

11. Una varilla unidimensional tiene una cargaQ homogeneamente distribuida en toda su

longitudL. Calcular el campo electrico creado por ella en un punto alineado con la varilla

y a una distanciad del extremo mas proximo de la misma.Sol: E = K Qd(L+d)

.

12. Una carga puntual de 6µC se halla en el centro de un cubo de 6 cm de arista. Calcular el

¤ujo del campo electrico que atraviesa la super£cie cubica.Sol: 6,78 × 105 Nm2/C.

13. Calcular el campo electrico en cualquier punto del espacio creado por una distribucion

de carga esferica y homogenea de carga totalq y radioR. Sol: fueraE = Kq/r2, dentro

E = Kqr/R3.

14. Se abandona un electron (carga1,6 × 10−19 C) desde el reposo en un punto A donde el

potencial es 900 V. Calcular cual sera su energıa cinetica en un punto B donde el potencial

es 2700 V.Sol: 2,88 × 10−16 J.

15. Una carga de 25 nC se encuentra en el origen de coordenadas y una segunda de valor -16

nC se halla en el punto (0,3) cm. Calcular el potencial electrico en el punto (4,0) cm.Sol:

2700 V.

16. Tres cargas puntuales que al principio estan in£nitamente alejadas entre sı se colocan en

los vertices de un triangulo equilatero de ladod. Dos de las cargas son identicas y tienen

valor q. Si se requiere un trabajo neto igual a cero para colocar a las tres cargas en el

triangulo, ¿cual debe ser el valor de la tercera carga?Sol:−q/2.

17. Un sistema esta formado por tres cargas puntuales de valores 20, -10 y 10µC en las

posiciones respectivas (0,6) cm, (8,6) cm y (4,3) cm. Calcular la energıa potencial elec-

trostatica del sistema de cargas, el potencial en el origen de coordenadas y la energıa po-

tencial de una carga de1,0 × 10−9 C situada en ese mismo punto.Sol: −4,5 J,3,9 × 106

V, 3,9 mJ.

52

18. Dos cargas puntuales se situan en el ejex. Una de valor−q enx = 0 y otra de valor+q

enx = a. Determinar el trabajo necesario para llevar una tercera carga de valor+q desde

el in£nito ax = 2a. Calcular la energıa potencial del sistema de tres cargas.Sol:

W =q2

8πε0aU =

−q2

8πε0a

19. Un anillo de radioR posee una cargaQ uniformemente distribuida. Calcular el potencial

electrico creado por el anillo en cualquier punto de su eje. Demostrar que si la distancia

al anillo es muy grande el potencial es el mismo que el creado por una carga puntual de

valorQ. Sol: V = KQ/√

R2 + x2

20. Dado un cilindro in£nito de radioR cargado con una densidad volumetrica de carga

homogeneaρ, calcular el campo y potencial electrico en cualquier punto del espacio.Sol:

dentroE = ρr/2ε0, V = −ρr2/4ε0, fueraE = ρR2/2ε0r, V = −ρR2

2ε0ln r + C con

C = ρR2

2ε0(ln R − 1/2).

21. Considerar una esfera maciza de radioR que contiene una cargaQ distribuida uniforme-

mente en todo su volumen. Calcular el potencial electrico en todos los puntos del espacio.

Sol: dentroV = 3Q8πε0R3 (−r2/3 + r2), fueraV = Q

4πε0r.

53

9. Conductores y condensadores

1. Calcular cuantos electrones deben anadirse a un conductor esferico aislado de 32 cm de

diametro para producir un campo electrico de 1150 N/C justo fuera de su super£cie.Sol:

2,04 × 1010.

2. Un conductor esferico que esta cargado con una carga positiva de3,0 × 10−9 C tiene un

hueco en su centro. Si introducimos enel una carga puntual de−2,0 × 10−9 C, calcular

la carga sobre la super£cie exterior del conductor esferico.Sol: 1,0 × 10−9 C.

3. Una carga puntual de 3µC se encuentra en el centro de una esfera conductora de radio

interior 20 cm y radio exterior 30 cm. Calcular la densidad super£cial de carga inducida

en la super£cie interior.Sol:−5,97 × 10−6 C/m2.

4. Una distribucion esferica de carga 20µC y radio 5 cm se encuentra en el interior de una

corteza esferica conductora de radios interno y externo 8 y8,4 cm respectivamente. La

corteza esferica tiene una carga neta de -12µC. Calcular las cargas en las super£cies

interna y externa de la corteza conductora.Sol: -20µC, 8µC.

5. Dos esferas conductoras de radiosR1 y R2 con cargas de igual valorQ se ponen en

contacto mediante un cable de capacidad despreciable. Calcular la carga £nal de cada

esfera y el potencial tras el contacto.Sol:

Q1 =2R1Q

R1 + R2

Q2 =2R2Q

R1 + R2

V =Q

2πε0(R1 + R2)

6. Un condensador plano tiene una capacidad de 22 nF, siendo la separacion entre sus placas

0,20 mm. Calcular la carga del condensador si se conecta a una baterıa de 24 V ası como

la super£cie de sus placas.Sol: 0,53 µC, 0,50 m2.

7. Dos condensadores de capacidades0,47 y 1,0 µF se encuentran conectados en serie y a

una diferencia de potencial de 24 V. Calcular la capacidad equivalente del sistema, carga

total y de cada condensador y caıda de potencial en cada condensador.Sol: 0,32 µF, 7,7

µC, 16,3 V, 7,7 V.

54

8. Tenemos tres condensadores iguales de 2µF cada uno. Dos de ellos se conectan en pa-

ralelo y el tercero en serie con los anteriores. Al conjunto se le aplica una diferencia de

potencial de 1000 V. Calcular la carga en cada condensador, tension entre las placas de

cada condensador y energıa electrica almacenada en el conjunto.Sol: 4/3 mC, 2/3 mC,

1/3 kV, 2/3 kV, 2/3 J.

9. Se conectan consecutivamente cuatro condensadores de capacidadesC1 = 5, C2 = 20,

C3 = 10 y C4 = 10 µF formando un cuadrado. Entre las placas deC1 se aplica una

tension de 15 V. Calcular carga y diferencia de potencial en cada condensador.Sol: 75

µC, 60µC, 3 V, 6 V, 6 V.

10. Las capacidades en nF de los condensadores de la £gura sonC1 = 100, C2 = C3 = 50,

C4 = C5 = 75 y la tension de la baterıa es 12 V. Calcular la capacidad equivalente del

sistema, carga y diferencia de potencial entre las placas del condensadorC1. Sol: 30 nF,

240 nC,2,4 V.

11. Un condensador de0,1 µF esta cargado a 10000 V y se unen sus armaduras a las de otro

condensador de0,3 µF, inicialmente descargado. Determinar la carga de cada conden-

sador despues de la union y la diferencia de potencial entre sus placas.Sol: 250µC, 750

µC, 2500 V.

12. Se tienen dos condensadores de0,1 µF y 0,15 µF, dispuestos en serie, que se conectan a

una fuente de 5000 V. Determinar la carga de cada condensador. Entonces se desconectan

de la fuente y se unen entre sı las armaduras de igual signo de ambos. Calcular diferencia

55

de potencial entre las placas y carga de cada condensador.Sol: 300µC, 2400 V, 240µC,

360µC.

13. En un condensador plano dearea de placasA y separacion entre ellasd se introduce una

lamina de dielectrico de espesorx y permitividad relativaεr. Determinar la capacidad del

condensador en funcion del espesor del dielectrico.Sol:

C =εrε0A

dεr − (εr − 1)x

d

x

14. En un condensador plano cuyas placas tienen dimensionesb × h y estan separadas una

distanciad se introduce un dielectrico de espesord y areab× x con permitividad relativa

εr. Determinar la capacidad del condensador en funcion de la magnitud del ladox del

dielectrico.Sol:

C =ε0A

d

[1 +

x

h(εr − 1)

]

h

d

x

56

10. Corriente electrica

1. Un cable de nicrom (aleacion de Ni y Cr) tiene2,08 mm2 de seccion y se conecta a una

baterıa de1,5 V. Calcular la longitud que debe tener el cable para que la intensidad de

corriente sea de3,1 A. La resistividad del nicrom es de100 × 10−8 Ωm. Sol: 1,0 metros.

2. Por un cable de Cu (resistividad1,7 × 10−8 Ωm) de seccion 1,31 mm2 y longitud 2 m

circula una intensidad de corriente de0,5 A. Determinar la energıa disipada por efecto

Joule en 3 minutos.Sol: 1,2 J.

3. Una baterıa de8,0 V y resistencia interna0,5 Ω se conecta a un conductor de 100Ω.

Determinar la intensidad de corriente que atraviesa la baterıa y la caıda de tension entre

sus bornes.Sol: 0,08 A, 8 V.

4. Se dispone de 5 bombillas de 25 W a 110 V. Determinar la potencia disipada cuando se

conectan a una fuente de 110 V en serie y en paralelo.Sol: 5,0 W, 125 W.

5. Una bombilla de5,0 W esta disenada para funcionar con una tension de2,0 V. La bombilla

se conecta en paralelo a una resistenciaR y el conjunto en serie a una resistencia de 1

Ω. Determinar el valor deR para que la bombilla funcione en las condiciones de diseno

cuando se utiliza una baterıa de 6 V para alimentar el circuito.Sol: 1,3 Ω.

6. Tenemos una instalacion, por la que circula una corriente de 6 A, formada por dos con-

ductores A y B enserie y a continuacion tres conductores C, D y E enparalelo. Todos son

de resistencia 4Ω. Calcular la resistencia equivalente de la instalacion ası como la caıda

de potencial en el conductor A y en el conductor C.Sol: 9,33 Ω, 24 V, 8 V.

7. Una bombilla lleva las siguientes indicaciones: 120 V y 100 W. ¿Que intensidad atraviesa

el £lamento cuando esta conectada a un enchufe de 120 V? ¿Cual es entonces la resisten-

cia del £lamento? Si conectamos la bombilla a un enchufe de 220 V, ¿que resistencia es

preciso intercalar en serie para que funcione en las mismas condiciones que en el caso

anterior?. La resistencia que se intercala esta formada por un hilo de 1 mm de diametro y

resistividad46×10−8 Ωm, ¿cual debe ser la longitud de este hilo? Si el kWh vale0,08 eu-

ros, ¿cual sera el gasto de la bombilla conectada a 120 V en 10 horas de funcionamiento?

Sol: 0,83 A, 144Ω, 120Ω, 205 m,0,08 euros.

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8. Una dinamo deFEM 130 V y resistencia interna0,65 Ω conectada en un circuito con

una resistenciaR produce una intensidad de corriente de 20 A. Calcular la diferencia de

potencial entre los bornes de la dinamo, la potenciautil, el valor de la resistenciaR y el

rendimiento electrico de la dinamo.Sol: 117 V, 2340 W,5,85 Ω, 90 %.

9. Un acumulador puede suministrar 10 Ah. ¿Durante cuanto tiempo puede funcionar una

lampara que consume0,25 A si el acumulador solo puede suministrar los 4/5 de su ca-

pacidad?Sol: 32 horas.

10. Un cazo electrico se conecta a 120 V y en 24 min eleva la temperatura de 200 g de hielo

de -20C a 90C. En el supuesto de que el rendimiento termico del cazo sea del 60 %,

calcular la potencia consumida, intensidad de corriente, resistencia electrica del cazo y el

coste de la energıa electrica sabiendo que el kWh cuesta0,08 euros. Calor de fusion del

hielo 80 cal/g, calor especı£co del hielo0,5 cal/gC. Sol: 174 W,1,45 A, 82,8 Ω, 0,006

euros.

11. Mediante una resistencia de 10Ω conectada a 120 V se desea calentar 1200 g de un

lıquido de calor especı£co 0,95 cal/gC. Si se ha partido de una temperatura de 10C,

calcular a que temperatura se encontrara el lıquido a los 5 minutos de comenzar a pasar

la corriente. ¿Cuanto se tarda en alcanzar la temperatura de ebullicion de 120C? ¿Como

se modi£ca este resultado si el calentador tiene unas perdidas del 25 %?Sol: 101C, 363

s, 484 s.

12. Los polos de un generador se unen por medio de dos lıneas en paralelo. La primera con-

tiene un conductor de resistencia 15Ω y la segunda un condensador de 4µF de capacidad.

El generador consta de tres elementos, cada uno deFEM 20 V y resistencia interna 1Ω.

Calcular la carga del condensador y la energıa electrica enel acumulada.Sol: 200 µC,

5,0 mJ.

13. En el circuito de la £gura, calcular las cargas de los condensadores y la intensidad de

corriente que circula por las resistencias.Sol: 260µC, 130µC, 0,96 A.

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14. En el circuito de la £guraR1 = R2 = R3 = 1 kΩ, R4 = 1,5 kΩ, ε1 = 3 V, ε2 = 4

V y ε3 = 6 V. Determinar la intensidad que circula por cada baterıa y la potencia total

disipada en las resistencias.Sol: 3,0 mA, 1,0 mA, 2,0 mA, 25 mW.

15. En el circuito de la £gura calcular la diferencia de potencial entre los puntos F y B.Sol:

6,4 V.

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16. En el circuito de la £gura determinar la intensidad que circula por la pila de 12 V, la

diferencia de potencial entre los puntos A y B, y la carga del condensador.Sol: 2,0 mA,

2,0 V, 16 µC.

17. Considerar el circuito de la £gura conε = 10 V, R1 = 2 kΩ, R2 = 1 kΩ, R3 = 2 kΩ,

C1 = 0,1 µF y C2 = 0,067 µF. Calcular la intensidad de corriente que pasa por la baterıa

y la carga de los condensadores.Sol: 5 mA, 1,0 µC, 0,67 µC.

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18. En el circuito de la £gura calcular la intensidad que circula por las resistenciasR2 y R6, la

potencia disipada en la resistenciaR1 y la carga almacenada en el condensadorC1. Sol:

0,033 A, 0,016 A, 0,022 W, 120µC.

19. En el circuito de la £gura, calcular la intensidad que pasa por la resistenciaR6, la potencia

disipada enR3 y la carga almacenada en el condensador.Sol: 0,003 A, 0,011 W, 170µC.

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20. En el circuito de la £gura calcular: intensidad que circula por las resistenciasR1, R2 y R5,

diferencia de potencial entre los puntosa y b y potencia total disipada en las resistencias.

Sol: 0,77 A, 0,058 A, 0,71 A, 4,2 V, 18,1 W.

21. Calcular las fuerzas electromotricesε1 y ε2, ası como la diferencia de potencial entre los

puntosa y b. Sol: 18 V, 7 V, 13 V.

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22. En el circuito de la £gura calcular la intensidad que pasa por las resistenciasR2 y R6,

la potencia disipada en la resistenciaR4 y la carga almacenada en el condensador.Sol:

0,019 A, 0,051 A, 0,196 W, 232,8 µC.

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11. Campo magnetico en el vacıo

1. Un haz de protones (carga1,6 × 10−19 C) se mueve a una velocidad de3,0 × 105 m/s

a traves de un campo magnetico uniforme de 2 T dirigido a lo largo del ejez. El vector

velocidad de cada proton se encuentra en el planoxz, formando unangulo de 30 con

respecto al ejez. Calcular la fuerza experimentada por cada proton. Sol: F = −4,8 ×10−14j N.

2. Un proton (q = 1,6× 10−19 C, m = 1,67× 10−27 kg) se mueve en una campo magnetico

uniforme de0,5 T dirigido a lo largo del ejex. En t = 0 la velocidad del proton es

v = (1,5i+2,0k)×105 m/s. En dicho instante, calcular la aceleracion del proton, el radio

de la trayectoria helicoidal y el avance de la helice.Sol: 9,58×1012j m/s2, 4,18 mm,19,7

mm.

3. Un nucleo de deuterio tiene una masa de3,34 × 10−27 kg y una carga+e. Se mueve en

una trayectoria circular de radio6,96 mm en un campo magnetico de magnitud2,5 T.

Calcular la velocidad del nucleo y el tiempo requerido para completar media revolucion

¿Que diferencia de potencial tendrıa que acelerar al nucleo de deuterio para que alcanzase

esa velocidad?Sol: 8,35 × 105 m/s,2,62 × 10−8 s,7,26 kV.

4. Un electron (masa9,11× 10−31 kg) es acelerado por una diferencia de potencial de 2000

V en el tubo de un televisor. Despues pasa a traves de una region en la que existe un

campo magnetico transversal, donde se mueve en un arco circular con 18 cm de radio.

Calcular la magnitud del campo.Sol: 8,38 × 10−4 T.

5. Queremos acertar en un blanco situado a varios metros con un pequeno proyectil de masa

5 g y que tiene una carga electrica de 2500µC. Le damos al proyectil una velocidad

inicial de12,8 m/s. En la region existe un campo electrico uniforme de27,5 N/C dirigido

hacia abajo. Si apuntamos directamente al blanco, lanzando el proyectil horizontalmente,

calcular la magnitud y direccion del campo magnetico uniforme que debemos aplicar para

que el proyectil de en el blanco.Sol: 3,68 T.

6. Una varilla de cobre recta y horizontal transporta una corriente de 50 A de oeste a este

entre los polos de un electroiman. En la region existe un campo magnetico uniforme y

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horizontal dirigido hacia el noreste con magnitud1,2 T. Calcular la fuerza ejercida sobre

1 m de varilla ¿Que masa maxima puede tener dicha porcion de varilla para que sea

mantenida en levitacion por el campo magnetico?Sol: 42,4k N, 4,33 kg.

7. Una varilla horizontal de 20 cm de largo conduce corriente y esta montada en una balanza.

En el sitio donde se encuentra hay un campo magnetico uniforme y horizontal, perpen-

dicular a la varilla, de valor 67 mT. Con la balanza se observa que la fuerza magnetica

sobre la varilla es de0,130 N. Determinar el valor de la corriente.Sol: 9,7 A.

8. Un tramo recto de alambre conductor de longitudL y masaM se coloca en un plano

inclinado sin rozamiento conanguloα respecto a la horizontal. En todos los puntos existe

un campo magnetico uniformeB dirigido hacia arriba. Para evitar que el alambre deslice

por el plano se acopla a sus extremos una fuente de tension, de forma que cuando ¤uye la

cantidad adecuada de corriente el alambre permanece en reposo. Calcular cual debe ser

esa corriente.Sol:

I =Mg tan α

LB

9. Una bobina cuadrada de lados 8 y 10 cm por la que pasa una corriente de 50 mA se halla

contenida en el planoyz. La bobina tiene 800 espiras y se encuentra inmersa en un campo

magnetico uniformeB = 0,40i + 0,30j T. Calcular los modulos del momento magnetico

de la bobina y del par que actua sobre ella.Sol: 0,32 Am2, 0,096 Nm.

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10. Una bobina circular de 5 cm de radio y 30 vueltas de alambre esta en un plano horizontal.

Conduce una corriente de 5 A en sentido antihorario visto desde arriba. La bobina se

encuentra en un campo magnetico uniforme de1,2 T dirigido a la derecha. Calcular el

momento magnetico y el par de torsion sobre la bobina.Sol: 1,18 Am2, 1,41 Nm.

11. La espira rectangular de alambre que se muestra tiene una masa de0,15 g por cm de

longitud y gira sobre el lado ab en un eje sin rozamiento. Sus dimensiones son6 × 8

cm. La corriente en el alambre es de8,2 A en la direccion que se ilustra. Encontrar la

magnitud y direccion del campo magnetico uniforme paralelo al ejey que hara que la

espira gire hasta encontrarse de tal modo que su plano forme unangulo de 30 con el

planoyz. Sol: 0,0242 T en la direccion+y.

12. Dos protones se mueven paralelamente al ejex, en trayectorias separadas una distancia

r, y en sentidos opuestos con velocidadv. En el instante en que se hallan en la misma

vertical, calcular la fuerza magnetica sobre el proton de arriba. Determinar la razon entre

las fuerzas magnetica y electrica de repulsion.Sol:

F =µ0

4π

q2v2

r2j

FB

FE

=v2

c2

13. Calcular el campo magnetico creado por una espira circular de radioa por la que circula

una corrienteI en cualquier punto de su eje.Sol:

B =µ0Ia2

2(x2 + a2)3/2

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14. Dos alambres largos y paralelos estan separados una distancia de 40 cm. Por ellos circulan

corrientes de 2 A y 5 A en sentidos opuestos. Calcular la fuerza ejercida por cada alambre

sobre1,2 m de longitud del otro y decir si seran de atraccion o repulsion.Sol: 6,0× 10−6

N, repulsion.

15. Un conductor in£nito por el que cicula una corrienteI = 6 A se encuentra en el plano

de£nido por una espira rectangular de dimensionesa = 4 cm,b = 8 cm, como se muestra

en la £gura. Por la espira circula una intensidad de 4 A ensentido horario. La distancia

D es 1 cm. Calcular la fuerza total ejercida sobre la espira.Sol: 3,07× 10−5 N, atractiva.

16. Dos alambres largos y paralelos cuelgan de cordeles de 4 cm de largo de un eje comun.

Los alambres tienen una masa por unidad de longitud de0,0125 kg/m y transportan la

misma corriente en sentidos opuestos. Calcular la intensidad de corriente si los cordeles

cuelgan formando unangulo de 12 entre sı. Sol: 23,2 A.

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17. Una botella de cristal (litrona) se encuentra sobre una mesa. El diametro de la abertura

del tapon es de 25 mm. Un campo magnetico uniforme de1,75 T dirigido hacia arriba y

orientado a 25 de la vertical rodea a la botella. Calcular el ¤ujo magnetico a traves del

cristal de la botella.sol:−7,79 × 10−4 Wb.

18. Un conductor cilındrico de radioR transporta una corrienteI. Esta se encuentra uni-

formemente distribuida sobre la seccion transversal del conductor. Encuentre el campo

magnetico generado por esta corriente en cualquier punto del espacio, dentro y fuera del

conductor.Sol:

Bd =µ0Ir

2πR2Bf =

µ0I

2πr

19. Un cable coaxial. Un conductor solido de radioa se mantiene en el eje de una cascara

cilındrica conductora de radios interior y exteriorb y c respectivamente. El conductor cen-

tral y la cascara conducen corrientes iguales en sentidos opuestos. Determinar el campo

magnetico en la zona entre ambos conductores (a < r < b) y fuera del cable (r > c). Sol:

B = µ0I/2πr, B = 0.

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12. Induccion electromagnetica

1. Una bobina esta compuesta por 25 espiras rectangulares de ladosb = 10 y a = 8 cm.

Contenido en el plano de la bobina y a una distancia deD = 1 cm encontramos un

hilo in£nito por el que pasa una corriente constante de 4 A. Calcular el ¤ujo del campo

magnetico a traves de la bobina y la fuerza electromotriz inducida enesta.Sol: 4,4×10−6

Wb, 0 V.

2. Una bobina esta compuesta por 200 espiras rectangulares de ladosb = 12 y a = 16

cm y se encuentra situada en el planoxy. En un determinado instante se establece en 50

milisegundos un campo magnetico que depende de la posicion B = 400(1+0,025y)k mT.

La bobina tiene una resistencia de0,40 Ω. Determinar la fuerza electromotriz inducida y

la intensidad de corriente inducida en la bobina.Sol: −30,8 V, 77 A en sentido horario.

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3. Una varilla conductora rectilınea de 40 cm de longitud se desplaza trasversalmente a

velocidad constante igual a 2 m/s. El movimiento se realiza en el seno de un campo

magnetico uniforme de0,050 T, perpendicular al plano de£nido por la varilla en su recor-

rido. Calcular la diferencia de potencial establacida entre los extremos de la varilla como

consecuencia de su movimiento.Sol: 40 mV.

4. La varilla movil de la £gura mide 10 cm de longitud y se desplaza av = 2,5 m/s. La

resistencia total de la espira es 30 mΩ. Existe en la region un campo magnetico uniforme

de0,60 T dirigido hacia el interior del papel. Calcular la fuerza electromotriz y corrientes

inducidas, ası como la fuerza que actua sobre la varilla.Sol: 0,15 V, 5 A, 0,30 N.

5. Un avion Boeing 747 tiene una envergadura de64,4 m y su velocidad de crucero es 900

km/h. Calcular la fuerza electromotriz maxima que podrıa inducirse entre los extremos de

sus alas como consecuencia del movimiento del avion en el campo magnetico terrestre,

de valor0,5 × 10−4 T. Sol: 0,81 V.

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6. Una barra de1,41 m de longitud se mueve a traves de un campo magnetico uniforme de

1,20 T a2,5 m/s como indica la £gura. Calcular la fuerza electromotriz inducida e indicar

que extremo de la barra esta a mayor potencial cuando se mueve en la direccion: a) del

ejex, b) del eje−y, c) del ejez. Sol: 2,55 V, 3,39 V, 0.

7. Un circuito esta inclinado unanguloα = 30 respecto a la horizontal, tiene forma de U

y resistenciaR = 0,60 Ω. Lo cierra una varilla recta conductora de longitud 80 cm que

desliza sobre el conductor en U a velocidad constante de 5 m/s. La varilla se desplaza

desde una distancia de 30 cm desde el fondo de la U. Un campo magnetico vertical de0,2

T ocupa todo el espacio. Calcular el ¤ujo magnetico en funcion del tiempo, fuerza elec-

tromotriz e intensidad de corriente inducidas. Determinar sentido y magnitud de la fuerza

que hay que aplicar a la varilla en la direccion del plano inclinado para que mantenga su

velocidad constante. La masa de la varilla es 40 g.Sol: φ = 0,042 + 0,69t Wb, 0,69 V,

1,15 V, 0,037 N en sentido contrario av.

8. Una bobina plana y rectangular de 30 espiras mide 25 cm por 30 cm. Esta en un campo

magnetico uniforme de1,2 T, con el plano de la bobina paralelo al campo. En0,222 s se

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la hace girar de modo que el plano de la bobina queda perpendicular al campo. Calcular

la fuerza electromotriz inducida en la bobina durante esa rotacion.Sol: 12,2 V.

9. Una espira circular de alambre con radio 12 cm esta en posicion horizontal. Un campo de

1,5 T se dirige hacia arriba. Si se retira la espira del campo en un tiempo de 2 ms, calcular

la fuerza electromotriz inducida en el proceso. Si la espira se observa desde arriba, indicar

si la corriente se dirige en sentido horario o antihorario.Sol: 33,9 V, antihorario.

10. Una bobina ideal tiene una longitud de 12 cm y esta compuesta por 500 espiras circulares

de 3 cm de radio. Por la bobina pasa una corriente constante de 40 mA. Calcular el ¤ujo

del campo magnetico a traves de la bobina y el coe£ciente de autoinduccion deesta. Si

la corriente se anula uniformemente en 20 ms, calcular la fuerza electromotriz inducida.

Sol: 2,96 × 10−4 Wb, 7,4 mH, 14,8 mV.

11. Generador de corriente alterna. Una bobina compuesta por 30 espiras de 80 cm2 y re-

sistencia 4Ω se encuentra en el seno de un campo magnetico uniforme de0,5 T. Un

agente externo provoca un movimiento giratorio de la espira con velocidad angular de 160

rad/s. Inicialmente elangulo formado por la normal a las espiras y el campo magnetico

es 30. Calcular el ¤ujo del campo magnetico a traves de la bobina en funcion del tiem-

po, ası como fuerza electromotriz y corriente inducidas en funcion del tiempo.Sol: φ =

0,12 cos(π/6 + 160t) Wb, ε = 19,2 sin(π/6 + 160t) V, I = 4,8 sin(π/6 + 160t) A.

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