problemas de circuitos y sistemas digitales
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Circuitos DigitalesTRANSCRIPT
-
Y SSTEMAS DGTALES
Carmen Baena Manuel Jess Bellido Alberto Jess Molina
Mara del Pilar Parra Manuel Valencia
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-
PROBLEMAS
DE CRCUTOS
Y SSTEMAS DGTALES
C- q7
Carmen Baena Oliva
Manuel Jess Bellido Daz
Alberto Jess Molina Cantero
Mara del Pilar Parra Fernndez
Manuel Valencia Barrero
Departamento de Tecnologa Electrnica
Universidad de Sevilla
McGraw-Hill
MADRD BUENOS ARES CARACAS GUATEMALA LSBOA MXCO
NUEVA YORK PANAM SAN JUAN SANTAF DE BOGOT SANTAGO SO PAULO
AUCKLANDHAMBURGO LONDRES MLN MONTREAL
NUEVA DELH PARS
SAN FRANCSCO SDNEY SNGAPUR ST. LOUS TOKO TORONTO
-
TABLA DE CONTENDOS
PRLOGOvi
1 .
REPRESENTACN Y CODFCACN BNARA1
2.
LGEBRA Y FUNCONES DE CONMUTACN19
3.
ANLSS DE CRCUTOS COMBNACONALES35
4.
DSEO DE CRCUTOS COMBNACONALES51
5.
SUBSSTEMAS COMBNACONALES 89
6. CRCUTOS ARTMTCOS141
7. ANLSS DE CRCUTOS SECUENCALES169
8.
DSEO DE CRCUTOS SECUENCALES197
9.
SUBSSTEMAS SECUENCALES229
10 .
MEMORAS SEMCONDUCTORAS263
11 .
NTRODUCCN A LOS SSTEMAS DGTALES291
12 .
DSEO DE UNDADES DE CONTROL325
13 MSCELNEA359
BBLOGRAFA391
v
-
PRLOGO
Este ejemplar es un libro de problemas resueltos en el campo del Diseo Lgico. Como tal
libro de problemas ha sido concebido con la finalidad de ensear cmo se aplican los
conceptos y herramientas a casos concretos . Esto significa que nuestra atencin no se centra
en el desarrollo de la doctrina terica, sino en tratar de explicar cmo interpretar enunciados
de problemas ms o menos bien especificados y, empleando los conocimientos tericos
adquiridos por otras vas, resolver ese problema en particular y no otro. Como se ve, nuestros
objetivos primarios son potenciar las capacidades de aplicacin de la teora y la de resolucin
prctica de problemas .
En cuanto a la disciplina, el trmino Diseo Lgico alude a materias tan bien conocidas
como son los Circuitos y Sistemas Digitales o la Teora de Conmutacin. En ella se incluyen :
1) los fundamentos matemticos usuales (lgebra de Boole, representaciones binarias de n-
meros y su aritmtica, codificacin binaria); 2) la presentacin, anlisis y diseo de circuitos
a nivel de conmutacin, tanto combinacionales como secuenciales; y 3) la descripcin y reali-
zacin de sistemas digitales a nivel de transferencias entre registros (RT), organizando el sis-
tema como una unidad de procesado de datos y otra de control . Aunque claramente fuera del
contexto de este libro, las materias fronteras son, en el nivel inferior, el tratamiento elctrico
de las puertas lgicas y, en el nivel superior, la arquitectura de computadores, as como los sis-
temas multiprocesadores. La proliferacin de aplicaciones y el considerable aumento de la
complejidad experimentada por los circuitos digitales en los ltimos aos hacen inviable el cu-
brimiento completo de esta materia. Nuestro propsito ha sido desarrollar un conjunto de pro-
blemas que den soporte y fundamenten adecuadamente a todos los circuitos y tcnicas de Di-
seo Lgico .
Nuestro libro est pensado para un primer curso de Diseo Lgico, con aplicacin en
diversos estudios universitarios tales como nformtica (fundamentos del hardware) e ngenie-
ra Electrnica (realizacin de sistemas digitales) . Tambin es til en algunos campos cient-
ficos, en concreto, los relacionados con la Teora de Conmutacin, la Teora de Autmatas y
la Aritmtica del Computador . Adems, al estar fuertemente enfocado a la resolucin de pro-
blemas, este texto tambin puede servir a profesionales que deseen realizar una puesta al da
vi
-
viii PROBLEMAS DE CRCUTOS Y SSTEMAS DGTALES
rpida y eficiente en las realizaciones de circuitos y de sistemas digitales . El uso de este libro
no requiere conocimientos especficos previos ni en Electrnica, ni en Computadores, ni en
Matemticas avanzadas . Sin embargo, al ser un libro de problemas, el lector debe conocer a
nivel terico los conceptos, principios y tcnicas del diseo digital . En la actualidad hay dis-
ponibles suficientes libros que cubren satisfactoriamente los aspectos tericos de esta materia
(vanse las referencias que citamos). A ellos deber acceder el lector para conocer los funda-
mentos tericos de este libro de problemas . No obstante, con el doble fin de resumir los con-
ceptos ms importantes y de presentar la terminologa que utilizamos, en cada Captulo hay
una pequea presentacin terica. Adems, en los problemas que introducen materias, durante
su resolucin se detallan los nuevos aspectos tericos involucrados .
En la realizacin del libro hemos huido de los ejercicios puramente repetitivos, de los
excesivamente simples y de los de escasa entidad . Esto es debido a que, en nuestra experiencia,
es claramente preferible primar el nivel de profundidad de los problemas sobre la cantidad de
stos. Por otra parte y desde un punto de vista ms prctico, hemos establecido dos tipos de
ejercicios . En primer lugar hemos seleccionado un amplio conjunto de problemas para
resolverlos en detalle . Sobre ellos el lector aprender la metodologa de resolucin . Hemos
intentado que cada aspecto importante de la materia est cubierto por problemas bien
desarrollados . Posteriormente se presenta un segundo conjunto de problemas de los que slo
se ofrece la solucin final . Con ello se pretende que el lector se aventure en la resolucin de
stos y simplemente pueda comprobar la correccin de sus resultados .
La organizacin elegida obedece a un cubrimiento de la materia que va de abajo a arriba
(de forma similar a la metodologa "bottom-up"), avanzando desde lo ms simple a lo ms
complejo. En gran parte el material es autocontenido por lo que no se necesita ningn
prerrequisito .
Bsicamente la materia contenida en este libro de problemas est dividida en tres gran-
des bloques ms un Captulo final . El primero de los bloques (Captulos 1 al 6) corresponde a
circuitos combinacionales, el segundo (Captulos 7 al 10) a circuitos secuenciales y el ltimo
(Captulos 11 y 12), donde se aumenta significativamente la complejidad, a los sistemas digi-
tales. Dentro de cada bloque hemos ordenado los problemas procurando ordenarlos para que
el lector pueda apoyarse en los ya realizados a la hora de abordar los que vengan a continua-
cin. As, cada bloque consta de varios Captulos, cada uno de los cuales contiene problemas
de una materia concreta . Los problemas de estos Captulos han sido desarrollados procurando
que el lector vaya aprendiendo a resolverlos dentro de esa materia . Por el contrario, el ltimo
Captulo est ideado con la finalidad de que el lector evale su nivel de conocimientos . Para
ello, por una parte, los problemas no se han ordenado segn la materia, de forma que el lector
no los site a priori en un contexto predeterminado ; por otra, se incluyen algunos que afectan
a ms de una unidad temtica ; y, por ltimo, se presentan todos los enunciados juntos, cada
problema separado de su solucin, con el fin de que el lector tenga que ir a buscar explcita-
mente cada solucin .
-
Concretando, la organizacin de este libro de problemas es como sigue :
Captulo 1 .- Aplicacin de los conceptos bsicos como son los sistemas de numeracin
y la codificacin binaria. Estos problemas estn orientados a practicar con las representaciones
no decimales de magnitudes y las conversiones entre las distintas bases, as como la de nme-
ros con signo y fraccionarios incluyendo tanto el punto fijo como el punto flotante . Tambin
se tratan los principales cdigos binarios y decimales .
Captulo 2 .- Desarrollo de los problemas relacionados con el lgebra de Boole y con el
manejo de las funciones booleanas incluyendo demostraciones de teoremas e identidades, y las
diversas representaciones de funciones de n variables (tablas de verdad, mapas binarios y de
Karnaugh) y los teoremas para dichas funciones que dan lugar a las expresiones cannicas y
estndares .
Captulo 3.- Anlisis de circuitos combinacionales, tanto a nivel puramente lgico como
temporal, incluyendo tcnicas especficas para el anlisis de circuitos con slo puertas NAND
o NOR .
Captulo 4.- Diseo de funciones . En l se aplican tcnicas de reduccin para obtener las
expresiones mnimas en suma de productos o producto de sumas (basadas en mapas de Kar-
naugh y en los mtodos de Quine-McCluskey y de Petrick). Adems se presta una especial
atencin a la obtencin de los O's y los l's de una funcin cuando sta se da a travs de una
descripcin verbal de su comportamiento .
Captulo 5.- Presentacin de los subsistemas combinacionales de propsito especfico,
en particular los que convierten cdigos binarios (decodificadores, codificadores y converti-
dores de cdigos) y los comparadores . Tambin se incluyen los subsistemas de propsito ge-
neral como son los multiplexores y los subsistemas programables (las memorias de slo lectu-
ra, los PLA's y los PAL's) . Los subsistemas se estudian desde tres perspectivas : cmo se cons-
truyen a nivel de puertas, cmo se analizan circuitos que los contienen y cmo se disean
funciones utilizndolos como componentes de la realizacin .
Captulo 6.- Desarrollo de los problemas relacionados con la aritmtica binaria . En ellos
se muestran tanto las operaciones aritmticas (suma, resta, multiplicacin . . .) como los
circuitos combinacionales que las realizan (sumadores, sumadores-restadores y unidades
aritmtico-lgicas) .
Captulo 7.- Presentacin del biestable tanto a nivel lgico (RS, JK, D y T) como a nivel
temporal (sin reloj, disparados por nivel, tipo Master-Slave y disparados por flanco) . Tambin
se aborda el anlisis de circuitos secuenciales . Se desarrollan tanto los circuitos sncronos o
con una nica seal de reloj, como los asncronos, incluyendo en stos los que operan mediante
entradas asncronas y los circuitos que poseen ms de una seal de reloj .
PRLOGO ix
-
x
PROBLEMAS DE CRCUTOS Y SSTEMAS DGTALES
Captulo 8.- Diseo de circuitos secuenciales sncronos . Se muestran los distintos pasos
del proceso habitual de diseo, sistemtico en su mayor parte, y que consigue como resultado
un circuito de coste reducido u ptimo . Algunos de los problemas van encaminados a practicar
con determinados pasos del proceso mientras que otros muestran el proceso globalmente .
Captulo 9.- Desarrollo de los problemas de anlisis de circuitos secuenciales construi-
dos con contadores y registros, el diseo interno de estos dispositivos para que posean opera-
ciones especficas, su realizacin mediante la asociacin de subsistemas semejantes de menor
tamao y el diseo en general de funciones secuenciales .
Captulo 10.- Problemas de memorias semiconductoras . Bsicamente estn dirigidos al
uso de estas memorias y a la formacin de memorias "principales" por la asociacin de varios
de estos dispositivos (realizacin de mapas de memorias) .
Captulo 11 .- ntroduccin al nivel de transferencia entre registros (nivel RT) y al diseo
de sistemas digitales . En particular, se tratan las formas de descripcin (notacin RT, cartas
ASM y lenguaje HDL), conectndolas con los bloques de circuitos funcionales, bsicamente
registros . Tambin se incluyen problemas sobre las tcnicas de interconexin entre registros
mediante buses y la realizacin de unidades de datos simples cuando se conoce su operacin
a nivel RT .
Captulo 12 .- Diseo de sistemas digitales completos, esto es, la unidad de datos y la de
control. En los primeros problemas se parte de una unidad de procesado de datos conocida y
hay que desarrollar una unidad de control adecuada . Finalmente se afrontan problemas de
diseo completo de sistemas digitales .
Captulo 13 .- Presentacin de problemas de las materias ya tratadas .
-
Captulo 1
REPRESENTACN Y CODFCACN BNARA
Los circuitos digitales operan con dos niveles de seal, la mayora de las veces una tensin baja
y otra alta . Desde el punto de vista matemtico decimos que operan con seales binarias y los
dos niveles se representan mediante 0 y 1 . Toda la informacin que ha de procesar un sistema
digital ha de expresarse mediante combinaciones de esos dos valores . En consecuencia, hay
que describir cmo se representan los entes mediante 0 y 1 (codificacin binaria) y, ms espe-
cficamente, por ser esencial en el clculo, cmo se representan los nmeros .
REPRESENTACN POSCONAL DE MAGNTUDES
Un sistema numrico se caracteriza por sus smbolos bsicos ; estos son llamados dgitos, cada
uno de los cuales representa una determinada cantidad de unidades. A su vez, cada cantidad
puede expresarse mediante una secuencia de tales dgitos . En algunos sistemas la posicin ocu-
pada por cada uno de los dgitos dentro de la secuencia est asociada a un valor determinado
(peso). Decimos entonces que se trata de un sistema de representacin posicional .
Un sistema numrico de base r es un sistema posicional de representacin donde los
pesos de los dgitos son potencias de r . As, una magnitud M puede representarse en la base r
de la siguiente forma :
M = dn-1 dn _2 . . . d 1 do .
d_1 d-2. . . d_m
(r
n-1
siendo d; un dgito de dicha base y cumplindose que d i e {0, 1, . . .,r-1}
y M =
d . r1 .
j -m
Para realizar cambios entre distintas bases existen diversos mtodos . En este Captulo se
- Para cambiar de base 10 a base r, se utiliza el mtodo de las divisiones sucesivas para
obtener la parte entera y el mtodo de las multiplicaciones sucesivas para obtener la parte frac-
cionaria .
1
usan fundamentalmente los siguientes :n -1
- Para cambiar de base r a base 10, se aplica la frmula : M = Y, d . r .
j= -m
-
2
PROBLEMAS DE CRCUTOS Y SSTEMAS DGTALES
- Para cambiar de una base arbitraria rl a otra r2 , se pasa en primer lugar de rl a 10 y
despus de 10 a r2.
- Para cambiar entre las bases 2, 8 y 16 (potencias de 2) se utiliza un mtodo de agrupa-
cin de bits .
REPRESENTACN DE NMEROS CON SGNO
De entre las notaciones existentes para expresar nmeros con signo nos hemos centrado en las
notaciones signo-magnitud, complemento a 1 y complemento a 2. En algunos aspectos que de-
tallaremos a continuacin las tres notaciones son similares. Se designa un bit especial denomi-
nado bit de signo (bs) cuyo valor es 0 en nmeros positivos y 1 en nmeros negativos . En n-
meros positivos los dems bits representan la magnitud:
A = n-1 an_2 . . . al a0 . a_ 1 a_2 . . . a-
l
m/
T
bit de signo
magnitud
La forma de representar los nmeros negativos es distinta para las tres notaciones:
- En la notacin signo magnitud bs se hace igual a 1 y el resto de bits representan de
nuevo la magnitud :
- A = 1 a
17
1 a
n_2 . . . al a0 .
a-1 a-2. . . a_T
T
5
bit de signo
magnitud
-
En la notacin complemento a 1, el nmero negativo es el complemento a 1 del co-
rrespondiente nmero positivo:
-A= Cal (A) = 1 an_
l
a n _ 2 . . . al ao .
a-1 a-2
. . . a_m
-
En la notacin complemento a 2, el nmero negativo es el complemento a 2 del co-
rrespondiente nmero positivo :
- A = Ca2(A) = Cal (A) + 2
-m
REPRESENTACN DE NMEROS EN PUNTO FLOTANTE
La representacin en punto (o coma) flotante se basa en la notacin exponencial o cientfica.
En dicha notacin los nmeros se expresan en la forma M = m x b e (m mantisa, b base, e ex-
ponente). Esto permite expresar cantidades de muy distinto tamao de forma compacta, por
ejemplo, la masa del sol: 1 .989 x 1030 Kg o la carga del electrn : -1 .602 x 10-19 C. Si se su-
pone conocida la base, basta representar los valores de mantisa y exponente. Esto es lo que se
hace cuando se representan nmeros en punto flotante.
Una cantidad se puede expresar de muchas formas distintas en notacin exponencial, por
ejemplo la velocidad de la luz, c, es 3 x 10 8 m/s 0.003 x 1011 m/s 3000,n 10 m/s, etc . Para
trabajar con nmeros en punto flotante se suele adoptar un convenio acerca de cul de las
mltiples expresiones de la forma m x be es la que se escoge . En este Captulo trabajaremos
con mantisas cuyo dgito ms significativo es "no nulo" (notacin normalizada). Por ejemplo,
-
REPRESENTACN Y CODFCACN BNARA
supongamos que disponemos de 5 dgitos para la mantisa, representaciones normalizadas de c
seran: 3.0000 x 108 3000.0 x 105 30000 x 10 4 , pero no lo sera 0 .0030 x 10 11
0.00003 x 10 13 . Sin embargo, an es necesario adoptar un segundo convenio para elegir una
entre las diversas representaciones normalizadas. Ese convenio se refiere a concretar cul es
la posicin del punto decimal de la mantisa . En este texto se trabaja con dos convenios :
- Notacin fraccionaria : el punto decimal est a la izquierda del primer dgito represen-
tado de la mantisa, en nuestro ejemplo : 0.30000 x 109 .
- Notacin entera: el punto decimal est a la derecha del ltimo bit representado de la
mantisa, en nuestro ejemplo : 30000 x 104 .
CODFCACN BNARA
Por codificacin binaria se entiende la representacin de un conjunto de entes, numricos o no
numricos, mediante palabras de n bits . Ahora presentaremos algunos cdigos binarios de cada
tipo .
La conversin entre la base 2 y la base 8 16 se realiza por agrupacin de bits . Por ex-
tensin cualquier cdigo binario puede representarse mediante los dgitos de dichas bases . As
podemos hablar de cdigo octal y cdigo hexadecimal .
Entre los cdigos ms utilizados se encuentran los llamados cdigos decimales . Estos
asignan a cada uno de los dgitos de la base 10 una palabra binaria . Con su utilizacin se evita
el proceso de conversin entre base 2 y base 10, aunque el nmero de bits precisado para ex-
presar una cantidad es, en general, mayor. En la siguiente tabla se muestran algunos ejemplos :
dgito decimal BCD natural BCD exceso 3 2 de 5 7 segmentos
0 0000 0011 00011 1111110
1 0001 0100 00101 0110000
2 0010 0101 00110 1101101
3 0011 0110 01001 1111001
4
0100 0111 01010 0110011
5 0101 1000 01100 1011011
6 0110 1001 10001 0011111
7 0111 1010 10010 1110000
8 1000 1011 10100 1111111
9 1001 1100 11000 1110011
cdigo
octal hexadecimal
cdigo cdigo
hexadecimal
0 000 0 0000
8 0000
1 001 1 0001
9
0001
2 010 2 0010 A 0010
3 011 3 0011
B
0011
4 100 4 0100 C 0100
5 101 5 0101 D 0101
6 110 6 0110 E 0110
7 111 7 0111 F 0111
-
4
PROBLEMAS DE CRCUTOS Y SSTEMAS DGTALES
Otro cdigo de gran inters es el cdigo Gray (o cdigo reflejado) de n bits. En las
siguientes tablas se muestran los casos n = 3 y n = 4. Puede observarse en ellas la particularidad
de que las palabras asignadas a dos nmeros consecutivos se diferencian nicamente en 1 bit.
Se trata por tanto de un cdigo con distancia unidad.
cdigo
cdigo
cdigo
Gray(n=3)
Gray(n=4)Gray(n=4)
0 000
0 0000
8
1100
1
001
1
0001
9
1101
2
011
2
0011
10
1111
3
010
3
0010
11
1110
4
110
4
0110
12
1010
5
111
5
0111
13
1011
6
101
6
0101
14
1001
7
100
7
0100
15
1000
Como ejemplo de cdigo alfanumrico, en este texto se usa el cdigo ASC. Mediante
este cdigo de 7 bits es posible codificar las 26 letras del alfabeto, tanto maysculas como mi-
nsculas, los 10 dgitos decimales, caracteres como
-
REPRESENTACN Y CODFCACN BNARA
5
dedos . En un cuaderno que encontraron en la nave haba escrito:
"5X2 - 50X+ 125= 0 -4 X t = 8, X2 = 5"
Suponiendo que tanto el sistema de numeracin como las matemticas extraterrestres
tengan una historia similar a los desarrollados en la Tierra, cuntos dedos (B) posean?
Solucin Pl.-Debemos encontrar un sistema de numeracin B en el cul se verifique que 8 y
5 son soluciones a la ecuacin encontrada .
En un sistema posicional de base B una secuencia de dgitos, d n_ 1 dn _2 . . . d l do, repre-
n-1
senta a una magnitud M si se cumple que M =
d . B~ .
_ -M
Aplicando dicha frmula a los coeficientes de la ecuacin : 5, 50 y 125, obtenemos la
siguiente :
5 X2 -(5 B +0) X+(1 B2 +2 B +5)=0
Sustituyendo los valores X 1 = 8 y X2 = 5 en la variable X :
5 .82-(5 B +0) 8 +(1 B2+2 B +5)=0
5 . 52 -(5 . 8+0) 5 +(1 B2+2 B +5)=0
Basta resolver el sistema formado por estas dos ecuaciones para encontrar que el nico
valor de B que satisface ambas esB = 13 . Por tanto, los extraterrestres de Ophiocus posean 13
dedos en su nico brazo.
Problema 2.- Represente posicionalmente la cantidad "diecisis unidades" en las bases 3, 7,
8 y 16.
Solucin P2.-
La cantidad "diecisis unidades" en base 3 deber cumplir (utilizando la nota-
cin decimal en las operaciones) :
16= . . .+d3 . 33 +d2 .32 +d1 . 3 1 +1 . 30 +d_ 1 3-1 + . . .
con di =0,12.
Para obtener los valores de los dgitos d i hay dos mtodos :
1) Comprobar valores de di hasta que la suma sea igual a la magnitud . En nuestro caso :
16=1 . 32 +2 . 3 1 +1 . 30 =121 (3
2) Mediante divisiones sucesivas para la parte entera y multiplicaciones sucesivas para
la parte fraccionaria. En nuestro caso sera :
do d i
d2 d3
Con lo que 16 = . . .0121 (3= 121 (3 .
Ntese que sin ms que sustituir el dividendo por la suma del divisor por el cociente y
del resto, se obtiene la expresin general .
-
6
PROBLEMAS DE CRCUTOS Y SSTEMAS DGTALES
Operando de la misma forma para los dems casos obtenemos :
16=2 . 7 1 +2 . 70 =22
(7
16 = 2 . 8 1 + 0 . 80 = 20(8
16 = 1 16' +0 160 = 10(16
En general, "r unidades" en base r se representa 10(r
Problema 3 .- Represente el nmero decimal 23.75 en las bases 2, 5, 6, 8 y 16.
Solucin P3.- Obtendremos en primer lugar la representacin de la parte entera por el mtodo
de las divisiones sucesivas . Para pasar a base 2 :
23
t
v11
v
5
v C_2
` '
1
0
1
v v
do d i
d2 d3
d4
Por tanto: 23(10 = 1011 l(2
gualmente para las otras bases obtenemos:
23(10 = 43(5
= 35(6 = 27(8 = 17
(16
En cuanto a la parte fraccionaria, ha de obtenerse mediante el mtodo de las multiplica-
ciones sucesivas . En el caso del paso a base 2:
0.75 2 = 1 .5
La parte entera de esta cantidad es d_ 1 ; la parte fraccionaria es la que se multiplica por
la base en el paso siguiente :
0.5 2 = 1 .0
La parte entera, en esta ocasin, nos da el bit d_ 2 . Como la parte fraccionaria es 0, todas
las siguientes multiplicaciones daran como resultado 0 y, por tanto, el resto de los bits
(d_ 3 , d_4 , . . .) son iguales a 0 .
Por tanto : 0.75(10 =0.11
(2
y
23.75(10 = 10111 .1 l
(2
Para base 5:
0.75 5 = 3 .75 - d_, = 3
0.75 . 5=3 .75--> d_2=3=d_3= . . .
por tanto, 23 .75(10 = 43 .333 . . . (5
Para base 6 :
0.75 6 = 4.5 - d_ 1 = 4
0.5 . 6=3 .0
-4d_3=3,d_4=0=d_5= . . .
por tanto, 23 .75(10 = 35.436
Para base 8 :
0.75 8 = 6.0 - d_, = 6, d_ 2 = 0 = d_3 = . . .
por tanto, 23 .75(10 = 27.6(8
-
REPRESENTACN Y CODFCACN BNARA
7
Para base 16 :
0.75 16 = 12.0 -+ d_, = 12, d_2 = 0 = d_3 = . . .
por tanto, 23 .75(10 = 17.C(16
Problema 4.- Convierta los siguientes nmeros a base 10:
a) 100.111010 (2; b) 50(8, c) 101
.1(2;
d) 198
F(16-
Solucin P4 .- Para convertir a base 10 basta sustituir el valor de la base y de los dgitos en la
n-1
expresin M =E
d . r1 y realizar las operaciones .
j = -m
a) 100.111010(2 = 1 22 + 1 2 -1 + 1 2-2 + 1 2-3 + 1
2-5
= 4.90625(10
b)50
(
8=5 8+0=40(1 0
c)101 .1
(2
=1 22 +1 20 +1 2 -1 =5.5 (10
d) 198F(16 = 1 163 + 9 162 + 8 16 1 + 15 160 = 6543(, 0
Problema 5.-Se cuenta que un rey, encantado con el juego, ofreci al inventor del ajedrez el
premio que desease . El inventor slo pidi 1 grano de arroz por la primera casilla del tablero,
2 granos por la segunda, 4 por la tercera y as, el doble cada vez, hasta llegar a la ltima ca-
silla (la nmero 64) . Los matemticos del reino concluyeron que no haba arroz suficiente para
pagar al inventor. Sabra decir cuntos granos de arroz se necesitaban?
Solucin P5.-La cantidad pedida M es, en base 2, el nmero compuesto por 64 unos :
M=1 1 . . .1 1 1 1 ya que en ese caso M=1 20 +1 2 1 +1 22 + . . .+12
63
Esta cantidad es una unidad menos que la representada por un 1 seguido de 64 ceros .
Entonces :
M = 264 - 1 = 1 .844674407 x 10
19
Problema 6.- Cuntos bits son necesarios como mnimo para representar cada uno de los
siguientes nmeros decimales?
50, 1000, 5000, 100000 y 1000000.
Solucin P6 .- Para calcular el nmero mnimo n de bits que representa la magnitud M, tenga-
mos en cuenta que n ha de cumplir la siguiente desigualdad :
2n-1-1
-
8
PROBLEMAS DE CRCUTOS Y SSTEMAS DGTALES
Para los nmeros decimales propuestos tendremos :
Problema 7.-Convierta el nmero binario 10110110011 .10110 a las bases 4, 8 y 16; el
nmero 372.105 en base 8 a base 2, 4 y 16 y el nmero FO .A en base 16 a base 2, 4 y 8.
Solucin P7.- Para convertir un nmero de base 2 a base 4, basta agrupar a partir del punto
fraccionario de 2 en 2 bits y convertir cada grupo a base 4 . De la misma forma, para convertir
a base 8 16 se agrupan de tres en tres o de cuatro en cuatro bits respectivamente . Entonces :
1 01 10 11 00 11 .10 11 0
10 110 110 011 .101 10
101 1011 0011 .1011 0
1 1 2 3 0 3. 2 3 0
(4
2 6 6 3 .
5 4
(8
5 B
3.
B 0
(16
Para pasar de bases 4, 8 16 a base 2, se hace la descomposicin inversa . Por otra parte,
la conversin entre las bases 4 y 16 tambin se realiza de la misma forma. Sin embargo, para
pasar de base 8 a base 4 16, o viceversa, conviene pasar antes a base 2.
Por tanto :
Problema 8.-En la colonia humana de Ganimedes la energa se obtiene con pilas atmicas
de exactamente 1 Kg de peso. Las pilas son enviadas desde Tritn en 6 cajas de 50 pilas cada
una .
a) Tras un envo se avisa a Ganimedes que, por error, una de las cajas contiene pilas
malas con 1 g de menos. Deben detectarla y reenviarla a Tritn. Los operadores de Ganime-
des deciden detectarla mediante una sola pesada . Cmo?
b) Tiempo despus y tras otro envo, el aviso es que una o ms cajas contienen pilas
malas con 1 g de menos . Cmo podrn ahora detectar las cajas errneas con slo una
pesada?
Solucin P8.
a) dentifiquemos cada una de las seis cajas con una letra : caja A, caja B, caja C, caja D,
caja E y caja F. Si pesamos 1 pila de la caja A, 2 de B, 3 de C, 4 de D, 5 de E y 6 de F, la
cantidad de gramos que falten para un nmero entero de Kg indica la caja errnea .
b) En este caso ser necesario tomar 1 pila de A, 2 de B, 4 de C, 8 de D, 16 de E y
32 de F. Con esto, el nmero de gramos que faltan para un nmero entero de Kg representados
M n
50 6
1000 10
5000 13
100000 17
1000000 20
372 .105 (8 = 011 111010
. 001 000 101(2 = 3322.020224 = FA.228(16
F0.A(16 =
11110000-
1010(2 = 3300.22(4 = 360.50 (8
-
REPRESENTACN Y CODFCACN BNARA
9
en base 2 indica las cajas errneas. Por ejemplo, supongamos que las cajas errneas son A, B,
D y F: entonces, faltarn 1 + 2 + 8 + 32 = 43 g. El nmero 43 expresado en binario es : 101011
lo que sealara a las cajas F - D - B A .
Problema 9 .- La figura representa 6 cartas con las que se pretende hacer un juego de magia.
Alguien debe pensar un nmero y, sin decir cul es, debe indicar las cartas donde el numero
est presente. Conociendo slo esto, se podr adivinar el nmero pensado. Por ejemplo, si
est en las tarjetas A, D, F y G, se trata del nmero 75 . Sabiendo que el juego se basa en la
representacin binaria de magnitudes:
a) Explquelo .
b) Cmo lo cambiara si quiere incluir hasta el nmero 123? Ysi incluye hasta el200?
'
64 65 66 67 68 69~"
'
32 33 34 35 36 37~
70 71 72 73 74 75
76 77 78 79 80 81
82 83 84 85 86 87
88 89 90 91 92 93
94 95 96 97 98 99
A
~45671213 "\~
38 39 40 41 42 43
44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55
565758596061
62 63 96 97 98 99
B
%23671011
6 17 18 19 20 21 1,11
8 9 10 11 12 13
22 23 24 25 26 27
28 29 30 3148 49
50 51 52 53 54 55
565758596061
62 63 80 81 82 83
84 85 86 87 88 89
90 91 92 93 94 95
1357911
15 17 19 21 23
27 29 31 33 35
39 41 43 45 47
51 53 55 57 59
63 65 67 69 71
75 77 79 81 83
87 89 91 93 95
97 99
14 15 24 25 26 27
28 29 30 31 40 41
42 43 44 45 46 47
56 57 58 59 60 61
62 63 72 73 74 75
76 77 78 79 88 89
90 91 92 93 94 95~
Solucin P9.
a) El mayor nmero, el 99, se representa en binario con 7 bits, concretamente como
99(2 = 1100011 .
De aqu que haya 7 tarjetas (A, B, C, . . ., G) cada una encabezada por una potencia de 2
(26 = 64 para A, 25 = 32 para B, 2 4 = 16 para C, etc) . El resto de nmeros en cada tarjeta son
aquellos cuya representacin en base 2 contiene un 1 en la posicin de la potencia correspon-
diente a la tarjeta. As el 99 estar en las tarjetas A, B, F y G pero no en las otras. El nmero
75 (= 64 + 8 + 2 + 1) estar slo en las tarjetas A, D, F y G ; etc .
b) El 123 precisa tambin 7 bits por lo que no hay que aumentar el nmero de tarjetas .
A cada una de stas habra que incorporar los nuevos nmeros (del 100 al 123) de la forma
explicada antes ; por ejemplo : el 111 (10 = 1101111
(2
se incorporara a A, B, D, E, F y G .
14 15 20 21 22 23
14 15 18 19 22 23
13
28 29 30 31 36 37
26 27 30 31 34 35
25
38 39 44 45 46 47
38 39 42 43 46 47
37
52 53 54 55 60 61
50 51 54 55 58 59
49
626368697071
626366677071
61
76 77 78 79 84 85
74 75 78 79 82 83
73
86 87 92 93 94 95
86 87 90 91 94 95
85
98 99
-
10 PROBLEMAS DE CRCUTOS Y SSTEMAS DGTALES
Para aadir hasta el 200 se necesitara una nueva tarjeta encabezada por 128 = 27 , ya que
para representar nmeros mayores de 128 se precisan 8 bits .
Problema 10.- Represente el 6 en los siguientes casos:
Cdigo Gray asumiendo que se representan del 0 al 7.
Cdigo Gray asumiendo que se representan del 0 al 9 .
c) Cdigo Gray asumiendo que se representan del 0 al 15 .
En cdigo ASC.
En cdigo ASC con paridad par.
f) En cdigo ASC con paridad impar.
En cdigo "2-out-of-5" .
Solucin P10 .- El cdigo Gray es un cdigo reflejado de distancia unidad que utiliza el
mnimo nmero de bits necesarios . La distancia unidad implica que dos nmeros consecutivos
tienen cdigos adyacentes (slo se diferencian en un bit) . Por otra parte, el ser un cdigo
reflejado, implica simetra respecto a la mitad de los nmeros representados, con lo que, dos
nmeros simtricos tienen cdigos adyacentes .
a) Para representar los nmeros del 0 al 7 necesitaremos 3 bits. Por tanto, el cdigo Gray
ser :
000 001 011 010
110 111
0
1
2
3
4 5
(eje de simetra)
101
6
100
7
b) y c) Para representar tanto los diez nmeros del 0 al 9, como los 16 nmeros del 0 al
15 se necesitan 4 bits, con lo que el cdigo Gray a utilizar es el de 4 bits. Al ser un cdigo re-
flejado, para asignar valores del cdigo a los diez nmeros (0-9) lo haremos con los 10 cdigos
centrales, tal como se muestra . En la codificacin de los 16 nmeros (0-15) ocupamos los 16
cdigos existentes .
0000 0001 0011 0010 0110 0111
b) -
0
1
2
c) 0
1
2
3
4
5
10101
3
0100
4
7
1100
5
8
(eje de simetra)
d) El cdigo ASC consta de 7 bits y representa 26 letras minsculas, 26 letras mays-
culas, 10 dgitos decimales, 32 caracteres especiales y 34 comandos. La codificacin procede
de un convenio y, en concreto, el cdigo del 6 es 0110110 que, expresado en cdigo hexade-
cimal, es $36.
e) Para un cdigo de n bits, incluir la paridad supone aadir 1 bit adicional a los n ante-
riores que se llama bit de paridad. Su fin es hacer que el nmero total de unos en el cdigo
1101
6
9
1111 1110 1010 1011 1001 1000
7
8
9
-
10
11
12
13
14
15
-
REPRESENTACN Y CODFCACN BNARA 11
(ahora de n + 1 bits) sea par en el caso de paridad par o impar en el caso de paridad impar .
La posicin del bit de paridad es convenida previamente ; por ejemplo, ponemos el bit
de paridad en primer lugar .
El cdigo ASC de paridad par para el 6 ser 00110110 (aadimos un 0 para tener un
total de cuatro unos) . En hexadecimal ser $36 .
f) El cdigo ASC de paridad impar para el 6 ser 10110110 (aadimos un 1 para tener
un total de cinco unos) . En hexadecimal, $B6 .
g) El cdigo 2-out-of-5 representa los 10 dgitos decimales mediante 5 bits de los que
tres son 0 y dos son 1 . La codificacin es la mostrada a continuacin :
Problema 11.- Determine el bit de paridad impar para cada uno de los 10 dgitos decimales
en el cdigo 8, 4, -2, -1 .
Solucin P11.-En la siguiente tabla, se muestra la codificacin para cada dgito decimal en el
cdigo pesado 8, 4, -2, -1, junto con el bit de paridad que hay que generar para que en cada
dgito haya un nmero impar de 1.
nmero cdigo
0 00011
1 00101
2 00110
3
01001
4 01010
5
01100
6
10001
7
10010
8 10100
9 11000
dgito 84-2-1 P
0 0000 1
1 0111 0
2 0110 1
3 0101 1
4 0100 0
5 1011 0
6 1010
1
7 1001 1
8 1000 0
9 1111 1
-
12 PROBLEMAS DE CRCUTOS Y SSTEMAS DGTALES
Problema 12.- Obtenga el complemento a 1 y a 2 de los siguientes nmeros binarios :
1010101, 0111000, 0000001, 10000, 00000 .
Solucin P12 .- Dado B = b n- 1 b n _2 . . .b 1b0 se obtienen su complementos a 1 y a 2 .
El complemento a 1 se obtiene como Cal(B) =
bn-1bn-2 . . . blbo
El complemento a 2 puede obtenerse de dos formas : sumando 1 al complemento a 1 (ya
que Ca2(B) = Cal (B) + 1) dejando iguales todos los bits menos significativos hasta llegar al
primer bit igual a 1 (que tambin se deja igual) y complementando los bits restantes .
Para las palabras propuestas:
Problema 13 .- Obtenga el complemento a 9 y a 10 de los siguientes nmeros decimales :
13579, 09900, 90090, 10000, 00000.
Solucin P13.- Se define Ca9(N) =
(on
- 1) - N. De esta definicin podemos inferir que si N
Problema 14.- Represente con el mnimo nmero de bits posibles los siguientes nmeros de-
cimales en notacin binaria, signo-magnitud, complemento a 1 y complemento a 2 :
a) 122, b) 64 ; c) 15; d) 37
Solucin P14.- La representacin binaria con n bits permite representar los nmeros compren-
didos entre 0 y 2 n-1 , siendo una representacin sin signo . Esto es, no podemos representar +N
ni -N sino slo N . En particular, operando como en el problema 2 :
a) 122 = 1111010 (2
b) 64 = 1000000(2
c) 15 = 1111(2
d) 37 = 100101(2
= Nn_1Nn_2 . .
.N1N0, entonces Ca9(N) =
Por otra parte CalO(N) = 10 n -
Para las cantidades propuestas en
nmero
(9 - Nn_ 1 )(9 -
1 = Ca9(N) + 1
el enunciado:
compl . a 9
Nn_2) . . .(9 - N 1 )(9 - N0) .
compl. a 10
13579
86420
86421
09900 90099
90100
90090 09909 09910
10000 89999 90000
00000 99999 00000
palabra compl . a 1 compl. a 2
1010101 0101010 0101011
0111000 1000111 1001000
0000001 1111110 1111111
10000 01111 10000
00000 11111 00000
-
REPRESENTACN Y CODFCACN BNARA 13
La representacin signo-magnitud aade un bit de signo (0 para + y 1 para -) a la repre-
sentacin binaria de la magnitud, situando ese bit de signo en la posicin ms significativa.
Entonces, con n bits pueden representarse todos los nmeros enteros comprendidos entre
- (2
n-1
- 1) y + (2n-1 -1) . En particular,
La representacin complemento a 1 sigue el siguiente convenio :
- Un nmero positivo se representa igual que en signo-magnitud .
- Un nmero negativo se representa complementando a 1 el correspondiente nmero
positivo. Con n bits pueden representarse todos los nmeros enteros comprendidos entre
- (2n-1 - 1) y + (2n-1 - 1) . En particular,
La representacin en complemento a 2 sigue el siguiente convenio :
- Un nmero positivo se representa como en los casos anteriores .
- Un nmero negativo se representa mediante el complemento a 2 del correspondiente
nmero positivo . Con n bits pueden representarse los 2 n nmeros comprendidos entre -2
n-1
Problema 15.- Se dispone de palabras de 10 bits. Sobre ellas se escriben nmeros fraccio-
narios en punto fijo dedicando 3 bits a la parte fraccionaria . Represente los siguientes nme-
ros en las notaciones signo-magnitud, complemento a 1 y complemento a 2, en los dos casos
siguientes: a) Redondeando el valor; b) Truncando el valor .
Nota: Para los nmeros negativos, obtenga primero el valor de la magnitud y, despus, apli-
que la notacin .
1) + 27 .625 = 0011011 . 101(2, en este primer caso, no es necesario redondear ni truncar
la parte fraccionaria pues slo hay tres dgitos en la parte fraccionaria del nmero exacto . Por
tanto, la representacin con 10 bits (7 para la parte entera y 3 para la fraccionaria) sera :
010111110 1
a)+122=01111010 -122=11111010
b) + 64 = 01000000 - 64 = 11000000
c)+15=01111 -15=11111
d)+37=0100101 -37=1100101
y + (2n- -1) . En nuestro caso,
a) + 122 = 01111010 - 122 = 10000110
b) + 64 = 01000000 - 64 = 1000000
c)+15=01111 -15=10001
d)+37=0100101 -37=1011011
a) + 122 = 01111010 - 122 = 10000101
b) + 64 = 01000000 - 64 = 10111111
c)+15=01111 -15=10000
d)+37=0100101 -37=1011010
1)+27.625 3)+33.3 5)+45.67 7)+45.7
2)-27.625
Solucin P15.
4)-33.3 6)-45.67 8)-45.7
-
14
PROBLEMAS DE CRCUTOS Y SSTEMAS DGTALES
2) - 27 .625 = 1011011 .101
S-m= 1100100.010c.,
1 = 1100100 -011,., 2-
3) + 33
.3 = 0100001 .0100 . . . truncando en 3 bits para la parte fraccionaria : 0100001 .010,
redondeando se obtiene el mismo valor ya que el valor exacto en el bit b-4 es 0 .
4) - 33.3 = 1100001 .01
Os-n]
= 1011110
.101 101,. a 1 = 1011110: 110, . a 2-
5) + 45.67 = 0101101 .10101 . . .
truncando en 3 bits para la parte fraccionaria :
0101101 .101, redondeando : 0101101 .110 .
6) - 45 .67 = 1101101 .101 S _m = 1010010.010c
. a1 =
1010010.011
c . a 2
(truncando) .
-45
.67 = 1101101 .110 s _m = 1010010.001,
. a 1 = 1010010-010, .a2
(redondeando) .
7) + 45
.7 = 0101101 .1011 truncando en 3 bits para la parte fraccionaria : 0101101 .101
y redondeando: 0101101 .110 .
8) - 45
.7 = 1101101 .1 l
OS-n1
= 1010010.001,
. a 1 =
1010010.010,
. a 2
(truncando) .
-
45
.7 = 1101101 .1 l
OS-n1
= 1010010.001c
. a 1 =
1010010.01
Oc. a 2
(redondeando) .
Problema 16.- Se dispone de 30 bits para escribir nmeros en notacin exponencial . De ellos
se destinan 21 a la mantisa y 9 al exponente . Mantisa y exponente se escriben en notacin
signo-magnitud.
a) Determine los rangos de valores decimales que se pueden escribir .
b) Represente en BCD los siguientes nmeros :
1. Velocidad de la luz en mis (3x10 8).
2. Carga del electrn en culombios (- 1,602x10 -19) .
3
. Masa del electrn en kilogramos (9,109x10
-31) .
4
. Aceleracin de la gravedad en mis 2 (9,807) .
5. Cero.
6. nfinito .
Solucin P16 .- En notacin exponencial los nmeros se expresan en la forma: M = m x be (m
mantisa, b base, e exponente) . En nuestro caso, hay que representar las cantidades pedidas en
BCD . Por tanto la base es decimal . Cada dgito BCD es codificado por 4 bits . Disponemos de
21 bits para la mantisa de los cuales uno es para el signo, los otros 20 bits nos permiten alma-
cenar 5 dgitos BCD . En cuanto a la parte fraccionaria, tenemos 9 bits, uno para el signo y 8
para dos dgitos BCD. Por tanto, el espacio disponible se distribuye de la siguiente forma :
mantisa
exponente
Sm
Se
Utilizaremos normalizacin fraccionaria, es decir, el punto decimal se encuentra a la iz-
quierda del primer dgito representado y ese primer dgito ha de ser no nulo .
a) El rango de valores positivos que se puede representar viene dado por el menor n-
mero representable : mantisa + 10000 y exponente - 99 que corresponde al 0.1 x 10-99 ,y el
mayor representable : mantisa + 99999 y exponente + 99 que corresponde al 0 .99999 x 10
99
Por tanto el rango cubierto es [0 .1 x 10-99 , 0.99999 x 1099] .
En cuanto al rango de valores negativos, ser [- 0.99999 x 1099, - 0.1 X 10
-99 ]
-
0011100001000010000 0000
mantisa
2) - 1 .602 x 10-19 , normalizado - - 0.1602 x 10
-18
, los 30 bits sern :
REPRESENTACN Y CODFCACN BNARA15
b) Las cantidades propuestas quedan :
1) 3 x 108 , normalizado -* 0 .3 x 109 , los 30 bits sern :
1
0001101101000010010_ 0000
3) 9 .109 x 10-31 , normalizado -4 0.9109 x 10-30, los 30 bits sern :
01100110001100001100110000
0 1001 1000 000110111 0000
5) Por convenio, cero, es el nico nmero con el primer dgito de la mantisa a 0 . (Nor-
malmente se ponen todos los dgitos de la mantisa y el exponente a 0, pero bastara slo con
fijar a cero el primer dgito de la mantisa).
xl00001xxxxlxxxxlxxxxlxxxx
6) nfinito. Con signo positivo, por convenio viene dado por el mayor nmero represen-
table. Con signo negativo, ser el menor representable :
+ infinito
- infinito
10011100111001 1001 10011
1001110011100111001110011
mantisa
010000 1001
exponente
1
1100011 1000
0011
4) 9.807, normalizado -* 0.9807 x 10 1, los 30 bits sern :
0000
000010001
xxxx1xlxxxx
011001 1001
101100111001
exponente
Problema 17.- Represente el nmero (+ 31.5) 10 con un coeficiente entero normalizado de 13
bits y un exponente de 7 bits como :
a) Un nmero binario (asuma base 2) .
b) Un nmero octal binario codificado (asuma base 8).
c) Un nmero hexadecimal binario codificado (asuma base 16).
Solucin P17 .
a) 31 .5 ( 10 = 11111 .1(2 pero hemos de escribirlo en forma exponencial de manera que la
mantisa tenga 13 bits (incluido el bit de signo) y el exponente 7 bits (incluido bit de signo):
31 .5(10 = 0111111000000 x 2
_7(2
Entonces la mantisa, de 13 bits, es : 0 1111110000000 y el exponente, de 7 bits, es:
1000111 .
-
16
PROBLEMAS DE CRCUTOS Y SSTEMAS DGTALES
b) 31 .5(10 = 37.4 (8 , tambin hemos de escribirlo en forma exponencial de manera que la
mantisa tenga 13 bits (incluido el bit de signo) y el exponente 7 bits (incluido bit de signo) . Sin
embargo, en este caso se trata de dgitos octales, y cada dgito octal se codifica mediante tres
bits. Por tanto, hemos de escribirlo en forma exponencial de modo que la mantisa tenga 4 dgi-
tos octales (+ el bit de signo son un total de 13 bits) y el exponente 2 dgitos octales (+ el bit
de signo hacen un total de 7 bits) . Entonces :
31 .5(10 = 3740 x
8-2(8,
con lo que la mantisa quedara : 0 011 111 100 000 y el exponen-
te, de 7 bits, es 1 000 010 .
c) 31 .5(10 = 1F.8(16 , en este caso la normalizacin ha de realizarse teniendo en cuenta
que un dgito hexadecimal se codifica con 4 bits. La mantisa, por tanto, ha de tener 4 dgitos
hexadecimales (12 bits) .
31 .5 (10 = 1F8 x 16 -1 , por tanto, la mantisa ser: 0 0001 1111 1000, y el exponente
quedar: 1 00 0001 .
PROBLEMAS CON SOLUCN RESUMDA
Problema 18.-Represente los siguientes nmeros decimales en base 2 y compruebe el re-
sultado: a) 17,, b) 94 .
Solucin P18 .
a) 17(10 = 10001(2-
b) 94(10 = 1011110(2 .
Problema 19.- Pase los siguientes cdigos hexadecimales a cdigo binario, octal y BCD: a)
$F2.85; b) $B02.A; c) $25.FA; d) $71.02.
Solucin P19 .- El cdigo BCD corresponde a la representacin binaria de un nmero decimal.
Esta se obtiene asociando a cada dgito decimal su representacin binaria de 4 bits . Para pasar
un nmero desde una determinada base a BCD, deber obtenerse en primer lugar el nmero en
base 10, y despus hacer la conversin antes indicada .
a) $F2.B5 = 1111 0010.1011 0101(2 = 011 110 010.101 101 010(2 = 362.552
( 8 . Para
representarlo en BCD pasamos a base 10 :
$F2
.B5 = F x 16 + 2 x 160 + 11 x 16 -1 + 5 x 16 -2 = 242.70(10 _3 0010 0100 0010.0111 (BCD)
Procedemos de igual forma con el resto de los casos :
b) $B02.A = 1011 0000 0010.1010(2 = 5402.5 (8 = 2818 .625
(
10
d) $71 .02 = 0111000 1 .0000 0010(2 = 161 .004(8 = 113 .007(10 =
= 000 1000 100 11 .0000 0000 0111 (BCD)
= 0010 1000 0001 1000.0110 0010 0101 (BCD)
.
c) $25 .FA = 0010 0101 .1111 1010(2 = 45 .764 (8 = 37 .977(10
= 0011 0111
.1001 0111 0111 (BCD)
-
REPRESENTACN Y CODFCACN BNARA 17
Problema 20.- Represente el nmero decimal 8620 (a) en BCD, (b) en cdigo exceso 3,
(c) en cdigo 2, 4, 2, 1 y (d) como nmero binario .
Solucin P20 .
a) 8620(10 3 1000 0110 0010 0000(BCp) .
b) 8620 (10 -3 1011 1001 0101 001 1
(exceso-3)
c) El cdigo 2,4,2,1 es un cdigo pesado de 4 bits cuyos pesos son precisamente 2,4,2,1.
Entonces, 8620(10 -3 1110 1100 0010 0000
d) Lo ms fcil es pasar primero a base 16 por el mtodo de las divisiones sucesivas y
despus pasar a base 2, desde base 16 .
8620(10
-3 21AC(16 -* 0010 0001 1010 1100 (2 -*
10000 110 10 1100(2
.
Problema 21 .- Un cdigo binario usa 10 bits para representar cada uno de los diez dgitos
decimales. A cada dgito le asigna un cdigo de nueve ceros y un uno . El cdigo binario para
el nmero 6, por ejemplo, es 0001000000. Determine el cdigo binario para los nmeros de-
cimales restantes .
Solucin P21.- Se trata del cdigo "1-hot", tambin llamado "1-out-of-n" . En este caso n = 10 .
dgito
decimal
Pesos :
2421
0 0000
1 0001
2 0010
3 0011
4 0100
5 1011
6 1100
7 1101
8 1110
9 1111
dgito bgb8b
7
b6b5b4b3b2b lbo
0 0000000001
1 0000000010
2 0000000100
3 0000001000
4
0000010000
5 0000100000
6 0001000000
7 0010000000
8 0100000000
9 1000000000
-
18
PROBLEMAS DE CRCUTOS Y SSTEMAS DGTALES
Problema 22.- Obtenga un cdigo binario pesado para los dgitos de la base 12 usando los
pesos 5421 .
Solucin P22.
Problema 23.- Determine el rango de valores numricos que pueden escribirse en palabras
de 8, 16 y 32 bits, en las diferentes notaciones de nmeros enteros con signo .
Solucin P23.- Con n bits se representan los siguientes rangos :
- Signo-magnitud : [- (2n-1 - 1), + (2
n-1
- 1)]
- Complemento a 1 : [- (2n-1 - 1), + (2 n-1 - 1)]
- Complemento a 2 : [- 2 n-1 , + (2n-1 - 1)]
Entonces para los valores de n propuestos :
Problema 24.- Un registro de 30 bits almacena un nmero decimal en punto flotante repre-
sentado en BCD. Los coeficientes ocupan 21 bits del registro y se asume como un entero nor-
malizado. Los nmeros en el coeficiente y el exponente se asumen representados en forma
de signo-magnitud. Cules son las cantidades mayores y menores que pueden ser acomo-
dadas excluyendo el cero?. Repita para representacin binaria, con base 2, si se representa
con fraccin normalizada .
Solucin P24 .
BCD normalizado entero,
- Cantidad mayor positiva : 99999 x 10
99
-Cantidad menor positiva : 10000 x 10-99 =
10-95
Base 2 fraccin normalizada,
11111111 =
255.
- Cantidad mayor positiva : 0.111 . ..111 x 2
(1 -2
-21)
x 2
- Cantidad menor positiva : 0.100 . ..000x2-11111111 =
2-1
x2
-255
=2
-256
n2 de bitssigno-magnitud y
complemento a 1
complemento a 2
8 [- 127,+ 127] [- 128,+ 127]
16 [- 32767, + 32767] [- 32768, + 32767]
32
[- (231- 1) + (2
31- 1 )] 1-
231,+
(231- 1)]
dgito 5421
dgito 5421
0 0000
6 1001
1 0001
7 1010
2 0010
8 1011
3 0011
9 1100
4 0100
A 1101
5 1000
B 1110
-
Captulo 2
LGEBRA Y FUNCONES DE CONMUTACN
El modo ms riguroso e inequvoco de describir la funcionalidad de los circuitos digitales es
de forma matemtica, mediante expresiones y funciones de conmutacin . Con ello, adems, se
facilita el desarrollo de mtodos ms o menos sistemticos a la hora de abordar las tareas de
anlisis o diseo de circuitos. Es objetivo de este Captulo familiarizar al lector con los con-
ceptos relacionados con el lgebra de conmutacin, el manejo de expresiones lgicas y las for-
mas de representacin de funciones que se utilizarn en este y otros Captulos .
LGEBRA DE CONMUTACN
El lgebra de conmutacin es un sistema matemtico compuesto por un conjunto de dos ele-
mentos: B = {0, 11, y dos operaciones OR (+) y AND ( ) definidas en B de la siguiente forma :
ORAND
El lgebra de conmutacin cumple los postulados del lgebra de Boole . De ah que po-
damos decir que la primera es un caso particular de la segunda. Los postulados del lgebra de
Boole son los siguientes :
P1 . Ley de identidad: Existen elementos identidad (0 para la operacin "+" y 1 para la
operacin " ") de forma que para cualquier elemento x, se cumple:
x+0=x
x 1=*
P2. Ley conmutativa: Para cualesquiera dos elementos x e y, se cumple :
x+y=y+x
x .y=y .x
P3 . Ley distributiva : Dados tres elementos x, y, z se cumple:
x+(y .z)=(x+y) .(x+z)
x . (y+z)=x .y+x .z
19
0 1 0 1
0 0 1 0
0 0
1 1 1
1 0 1
-
20 PROBLEMAS DE CRCUTOS Y SSTEMAS DGTALES
P4. Ley del complemento: Para todo elemento x existe un elemento x tal que:
x+x= 1
x x=0
A partir de estos postulados es posible probar una serie de propiedades de inters . Estas
propiedades, que aqu simplemente se enumeran, son demostradas en el problema 1 para el
caso general del lgebra de Boole y probadas en el problema 2 para el lgebra de conmutacin .
T . Ley de idempotencia :
x + x = x
x x = x
T2. Ley de unicidad del complemento : el elemento x del postulado cuarto es nico .
T3. Ley de los elementos dominantes :
x + 1 = 1
x 0 = 0
T4. Ley involutiva :
(x) = x
T5 . Ley de absorcin : x + x y = x
x (x + y) = x
T6 . Ley del consenso : x + x y = x + y x (x + y) = x y
T7. Ley asociativa :
x (y z) _ (x y) z
x + (y + z) = (x + y) + z
T8. Ley de DeMorgan :
xy=x+y
x +y=x y
T9. Ley de De Morgan generalizada :
x y z . .. = x + y + z + . . .
x + y + z . ..= x y z . . .
T10. Ley del consenso generalizado :
x y + x z + y z = x y + x z
(x+y) (x+z) (y+z)=(x+ y) (x+z)
FUNCONES DE CONMUTACN
Son funciones que se definen sobre el conjunto B = (0, 1 } del lgebra de conmutacin . Estric-
tamente se definen como :
f: Bx . .. xBxB = Bn -4 B .
As una funcin de n variables asigna un valor o imagen de B (0 1) a cada punto del
espacio B
' :
(x 1 ,x2 ,. . .,x,). Por ejemplo, una funcin de tres variables : f(x, y, z) se puede definir
de la siguiente forma: f(0,0,0) = 0, f(0,0,1) = 1, f(0,1,0) = 0, f(0,1,1) = 1, f(1,0,0) = 0,
f(1,0,1) = 0, f(1,1,0) = 1, f (1,1,1) = 1 . A veces no todas las combinaciones de las variables tie-
nen imagen, decimos entonces que la funcin es incompleta o que est incompletamente espe-
cificada. Cuando esto sucede, por ejemplo, en la combinacin (x 0,Y0,z0) lo simbolizamos de
la siguiente forma : f(x0,yo,z0) = d f(x 0,Y0,z0) = -, donde los smbolos "-" y "d" (don't care)
son llamadas inespecificaciones o indeterminaciones .
REPRESENTACN DE FUNCONES
Existen diversos modos de representar las funciones de conmutacin . Algunas formas utilizan
tablas o mapas (modos grficos) . Otras, consisten en expresiones algebraicas . A continuacin
daremos algunos detalles sobre las formas de representacin utilizadas en este texto .
- Tablas de verdad.
En una tabla se representan dos columnas. En la primera de ellas se escriben todas las
combinaciones de las variables de entrada en orden binario . En la otra columna se anota el va-
lor que toma la funcin para cada combinacin de las variables de entrada. A continuacin se
muestra un ejemplo para una funcin de tres variables . Ntese que para n variables se necesi-
tara una tabla de 2n filas. As, este tipo de representacin es ms interesante para funciones de
un nmero reducido de variables .
-
01
11
10
LGEBRA Y FUNCONES DE CONMUTACN 21
xyz
000
001
010
011
100
101
110
111
- Mapa de Karnaugh .
Es tambin una forma grfica. Las variables de la funcin se dividen en dos grupos . Uno
de ellos se sita en el eje horizontal de una tabla y el otro en el eje vertical . Las combinaciones
de cada grupo de variables se escriben en el orden del cdigo Gray . As, disponemos de una
cuadrcula en cuyas celdas se anota el valor de la funcin para la combinacin de las variables
asignada. La propiedad principal es que dos celdas geomtricamente adyacentes tambin co-
rresponden a cdigos lgicos adyacentes . En el ejemplo se muestra un mapa para una funcin
de 4 variables. En los problemas aparecen ejemplos para 5 variables . Al igual que en el caso
de las tablas de verdad, este tipo de representacin aumenta su tamao de forma potencial con
el nmero de variables . Si el orden en que se escriben los valores de las variables es el binario
natural, el mapa es denominado binario .
ab
c
00
f
- Expresiones o frmulas .
En este caso se utiliza una expresin algebraica para representar las funciones . Se
combinan las variables con los operadores NOT , AND2 y OR. Aquellas combinaciones de las
variables que hagan 1 ( 0) la expresin sern las combinaciones en que la funcin es 1 ( 0) .
Algunos tipos de frmulas son de un inters particular. Entre las ms destacables estn
las formas cannicas y estndares . Tanto unas como otras tienen en comn que son frmulas
compuestas nicamente por suma de productos, o bien, nicamente por producto de sumas . En
las formas cannicas, adems, se cumple que los productos son siempre mintrminos y las su-
1
NOT(x) = x.
2 El smbolo del operador AND ( ) puede omitirse: a b = a b .
f
11 10
0 0 0
0
1 1 0 0
0 0 1 1
0 1
1 1
-
22
PROBLEMAS DE CRCUTOS Y SSTEMAS DGTALES
mas son maxtrminos . Tenemos as que las formas cannicas son sumas de mintrminos o pro-
ducto de maxtrminos . A continuacin se muestra para la funcin de cuatro variables del ejem-
plo anterior expresiones en forma cannica y estndar tanto de sumas como de productos .
-
Suma de mintrminos :
f(a,b,c,d)=abcd+abcd+abcd+abcd+abcd+abcd+abcd=
=m1+m5+m6+m10+m11+m14+m15=E(1,5,6, 10, 11, 14, 15) .
-
Producto de maxtrminos :
f(a,b,c,d)=(a+b+c+d)(a+b+c+d)(a+b+c+d)(a+b+c+d)
(a+b+c+d)(a+b+c+d)(a+b+c+d)(a+b+c+d)(a+b+c+d)=
= M0 M2 M3 M4 M7 M8 M9 M12 M13 = T (0, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 12, 13) .
- Suma de productos :
f(a,b,c,d)=acd+ac+bcd.
- Producto de sumas :
f(a, b, c, d) = (c + d) ( + c) (a + c + d) (a + b + c) .
Mientras que las dos primeras formas son nicas para cada funcin (cannicas), las dos
siguientes (es- tndares) no lo son, pero presentan una mayor simplicidad .
ndice del Captulo
Este Captulo desarrolla problemas de las siguientes materias :
- Demostracin de teoremas e identidades .
- Manejo de expresiones lgicas .
-
Representacin mediante tablas, mapas y formas cannicas y estndares .
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema 1 .- Demuestre los teoremas booleanos en base a la definicin del lgebra.
Solucin P1 .-Nos basaremos en los postulados del lgebra de Boole :
Los teoremas y sus demostraciones se relacionan a continuacin .
T1 . dempotencia :
x+ x= x
x x= x
x+x=(x+x) 1 =(x+x)(x+x)=x+xx=x+0=x
x-x=x-x+0=x-x+x-x=x-(x+x)=x- 1 =x
Hemos aplicado los postulados P, P4, P3, P4 y P1, en ese orden .
T2. Unicidad del complemento :
da e B, 3' a' EB 1 a'=
Si existieran dos complementos, al y a2 se cumpliran las siguientes igualdades (por P4):
a+a 1 =1 a+a 2 =1 a .a1=0
a .a2 =0
Entonces :
al =al 1=a1 (a+a2),=a1 -a+ al a2=0+a1 a2=a a2+a1 a2=
=(a+al)-a2=1 a2=a2
P1 . dentidad : x+ 0= x
x- 1= 1
P2. Conmutativa :
P3 . Distributiva :
x+ y= y+ x
x y= y .X
x (y + z) = x y + x zx + (y - z) = (x + y) - (x + z)
P4. Complemento : x+ x= 1
x x= 0
-
LGEBRA Y FUNCONES DE CONMUTACN 23
Se han aplicado los postulados P1, P4, P3, P2, P4, P3 y P1, en ese orden.
T3. Elementos dominantes: x + 1= 1
x 0= 0
x+1=(x+1) 1 =(x +1) (x+x)= x +1 x_= x+x=1
x 0 =x 0 +0=x 0 +x x =x(O+x)=x x =0
Los postulados utilizados son P1, P4, P3, P2, Pl y P4 .
T4. Lev involutiva: (x) = x
(x)=(x)+0=(x)+x x=[(X)+x] [(X)+x]=[(X)+x] 1 =
=[(x)+x](x+x)=x+ [x (x)]=x+0=x
donde se han aplicado P, P4, P3, P4, P2, P4, P2, P3, P4 y P1.
T5 . Ley de absorcin : x + x y = x
x (x + y) = x
x+x y =x 1 +x y =x ( 1+y)=x 1 =x
x (x+y)=(x +0) (x+y)=x +0 y =x+0=x
En esta demostracin hemos usado P, P3, T3 y Pl en ese orden .
T6. Ley del consenso : x + x y = x + y
x (x + y) = x y
x+ x y =(x+x) ( x+y)=1 (x+y)=x+y
x (x+y)=x x +x y =0+x y =x y
Los postulados en que nos hemos apoyado son P3, P4, P2 y P1 .
a+b (a c)=(a+b) (a+ a c)=(a+b) a = a
a [b+(a+c)]=a b +a (a+c)=a.b+a=a
donde hemos utilizado P3 y T5 .
L3. a=a+b (c a )
a=a [b+(c+a)]
por P2 y L2 .
Ahora demostremos la ley asociativa :
= z (x y) = (x y) z
(por L, L2 y finalmente P2) .
Luego, hemos probado x (y z) = (x y) z
Por otra parte,
x+(y+z)=x [z+(x+y)]+(y [z+(x+y)]+z [z + (x + y)]) = (porL2, L3 y L)
= x [z + (x + y)] + (y + z) [z + (x + y)] = (por P3)
_ [x + (y + z)] [z + (x + y)] = (aqu tambin hemos aplicado P3)
= [z + (x + y)] [x + (y + z)] = (esto, por P2)
x (y z) = [x + z (x y)] ([y + z (x y)] [z + z (x y)]) _
=[x+z .(x .y)] .(y z +z .(x y))=
(porP3)
(por L2, L3 y L1)
= x
= z
= [z
= z
(y z) + z
(x y) + x
(x y) =
(y z) =
(aqu tambin hemos aplicado P3)
(esto, por P2)
+ x (y z)] [x y + x (y z)] =
(donde hemos aplicado P3)
. [x y + x (y z)] =
(por L3)
= z [x + x (y z)] [y + x (y z)] =
(porP3)
T7. Lev asociativa :
x (y z) = (x
y) z x + (y + z) =
previamente tres lemas :
(x + y) + z
Para demostrarla es necesario demostrar
L1 . a = a + a (b c) a = a [a + (b + c)](ambos por T5)
L2. a = a + b (a c) a = a [b + (a + c)]cuya demostracin es :
-
24 PROBLEMAS DE CRCUTOS Y SSTEMAS DGTALES
= z [x + (y + z)] + (x + y)
[x + (y + z)] = (donde hemos aplicado P3)
=z+(x+y) [x+(y+z)]= (porL3)
= z + x [x + (y + z)] + y
[x + (y + z)] =
(por P3)
= z + (x + y) = (x + y) + z
(por L, L2 y finalmente P2).
Con lo que queda probado que x + (y + z) _ (x + y) + z .
T8. Ley de DeMorgan :
x y = x + y
x+y=x.y
La base de la demostracin es que como el complemento es nico y cumple el postulado
P4, entonces, si A + B = 1 y A B = 0 es porque A = B, esto es :
A=BOA+B=1 y A B=0.
Sean A = x + y, B = x y; demostremos que A = B
.
A
+B=x+y+x y=x+y+x=x+x+y=1+y=1 (T6, P2, P4 y T)
.
AB =(x+y) xy =x xy +y xy =0 y +0 x =0+0=0(P3,P2,P4,T3,T1).
Sean A = x y, B = x + y ; demostremos que A = B
.
A +B= x y +x+y=y+x+y=x+y+y=x+1=1 (T5, P2, P4 y T3) .
AB=x y(x+y)=x yx +x yy
=0 y+x 0 =0+0=0(P3, P2, P4, T3, T) .
T9. Ley de De Morgan generalizada :
xyz . . .=x+y+z+ . .x
x + y + z . . .=x yz . . .
xyz . . .
=x(yz. ..)=x+yz . . .=x+y(z . . .)=x+y+z . ..=
=x+y+z(. . .)= . . .=x+y+z+ . . .
x+y+z . . .=x+(y+z+ . . .)=x y + z. ..=x
y+(z. ..)=x
y z+ . ..=
=x yz +( . ..)= . ..=x yz . . .
En las dos demostraciones se utilizan los teoremas T7 y T8 alternativamente .
T10. Lev del consenso generalizado :
x y +x z +y z =x.y+x
z
(x+y)(x+z) (
y+z)=(x+y)(x+z)
Problema 2.- Demuestre los teoremas booleanos en el lgebra de conmutacin comproban-
do su validez mediante tablas de verdad .
Solucin P2 .- A partir de la definicin de las operaciones AND ( )
y OR (+) en el lgebra de
conmutacin, comprobaremos :
- dempotencia:
x = x + x,
x = x x;
- Elementos dominantes:
x + 1 = 1, x 0 = 0;
x y +x z +y z =x y +x z +y z1=
(P1)
=x y +x z +y z(x+x)=(P4)
=x .y+x z +y zx +y zx=
(P3)
=x .y+x yz +x z +x.z y =
(P2)
=x .y+x z(T5)
(x+y)(x+z)
(y+z)=(x+y)(x+z) (
y+z+0)= (P1)
=(x+y) (x+z) (y+z+x
x) =(P4)
=(x+y) (x+z) (y+z+x)
(y+z+ x)= (P3)
=(x+y) (x+y+z) (x+z) (x+z+y)=(P2)
= (x + y) (x + z)
(T5)
-
LGEBRA Y FUNCONES DE CONMUTACN25
- nvolutiva:
x = x;
- Absorcin:
x + x y = x,
x (x + y) = x;
- Consenso:
x + x y = x + y,
x (x + y) = x y;
- Asociativa:
(x + y) + z = x + (y + z),
(x y) z = x (y z) ;
-LeyDeDeMorgan: xy=x+y,
x+y=xy .
En las dos tablas siguientes podemos ver la comprobacin de todos los teoremas excepto
el de la ley asociativa que se prueba a continuacin .
La comprobacin de la ley asociativa :
Problema 3.-Para elementos del lgebra de conmutacin, pruebe la validez de :
a) a b=a c- b=c;
b)a+b=a+c-+b=c;
c) a b =a cya+b=a+c->b=c.
Solucin P3 .
a) No se cumple, por ejemplo, para a = 0, b = 1, c = 0 .
b) No se cumple, por ejemplo, para a = 1, b = 1, c = 0 .
c) S se cumple . Se puede comprobar que para cualquier combinacin de valores se
cumple. Tambin se puede demostrar algebraicamente :
x y x x+x xx x+1 x0 x p(donde p=x)x + x y x(x+y)
0 0 0 0 0 1 0
1 0 0 0
0
1 0 0 0 1 0
1 0 0 0
1
0 1 1 1 1 0
0 1 1 1
1
1 1 1 1 1 0 0
1 1 1
x y x + x y x+y x(x+y) xy xy x + y x+y xy
0 0 0 0 0
0 1 1 1 1
0
1 1 1 0
0 1 1 0 0
1
0 1 1 0
0 1 1 0 0
1
1 1 1
1 1 0 0 0 0
x y z x+y(x+y)+z y+z
x+(y+z) xy(xy)z yz
x(yz)
000 0 0 0 0 0
0 0 0
001 0 1 1 1
0 0 0 0
010 1 1 1
1 0 0 0 0
011 1 1 1
1 0 0 1 0
100 1 1 0
1 0 0 0 0
101 1 1 1
1 0 0 0 0
110 1 1
1 1 1 0 0 0
111 1 1
1 1 1 1 1 1
-
26 PROBLEMAS DE CRCUTOS Y SSTEMAS DGTALES
b=b+a b =b+a c =(b+a) (b+c)=(a+b) (b+c)=(a+c) (b+c)=
=a b +c=a c +c=c .
Se han aplicado la ley del consenso, las propiedades distributiva y conmutativa, y las
igualdades a b= a c y a+ b= a+ c .
Problema 4 .- Compruebe las siguientes igualdades:
a) x y+ x z + y z = x y+ x z (ley del consenso generalizado)
b)x(x+y)+z+zy=y+z
c)xy+xyz=xy+z
d)w+wx+yz=w(y+z)
e)w[x+y(z+w)]=w+xy+xz
f) (w+x+ y) (w+x+y) (y+z) (w+z)= (w+ y) (y+z)
Solucin P4 .
a)xy+xz+yz=xy+xz+(x+x)yz=xy+xz+xyz+xyz=
=xy+xyz+xz+xzy=xy(1+z)+xz(1+y)=xy+xz
donde hemos aplicado P4, P3, P2, P3, T3 y P1
b)x(x+y)+z+zy=xy+z+y=y+yx+z=y+zporT6,P2yT5
c) x y + xyz = x y + z
(por la ley del consenso : u + u z = u + z donde u = x y)
d)w+wx+yz=w+yz=wyz=w(y+z)porT5yT8
e)w[x+y(z+w)]=w+x+y(z+w)=w+xy(z+w)=w+x(y+z+w)=
=w+xy+xzw=w+xy+xz
por T8yT6
fl(w+x+y)(w+x+y)(y+ z) (w+z)= [(w+y)+xx](y+z)(w+z)=
=(w+y)(y+z)(w+z)=(w+y) (y+z)
por P2,P3,P4,PlyT10 .
Problema 5.- Reduzca las siguientes expresiones del lgebra de Boole al nmero de literales
solicitado al lado de cada una de ellas .
a)abc+abc+abc+abc+abc
(a cinco literales)
b) b c + a c + a b+ b c d
(a cuatro literales)
c)[cd+a]+a+cd+ab
(a tres literales)
d) [(a + c + d) (a + c + d) (a + c + d) (a + b)]
(a cuatro literales)
Solucin P5.
a) abc+abc+abc+abc+abc=
=abc+abc+abc+abc+abc+bc=
(ya que x + x = x)
=abc+abc+abc+abc+abc+bc=
(por la propiedad conmutativa)
=ab(c+c)+ab(c+c)+(a+a)b c=
-
LGEBRA Y FUNCONES DE CONMUTACN 27
=ab 1 +b 1+ 1 bc=
(ya que x+x= 1)
= a b + a b + b c = b (a + c) + a b
(ya quex 1=1 x =x) .
b) b c + a c + a b + b c d = b c + b c d + a c + a b =(por la propiedad conmutativa)
=bc+ac+ab=bc+ac+ab(c+c)=
(ya que x + x y = x)
= b c+ a c+ a b c+ a b c= (por la propiedad distributiva)
=bc(1+a)+ac(l+b)=
=bc+ac
(ya que 1 +x= 1) .
c) aplicando la ley de De Morgan a la expresin, obtenemos :
cd + a + c d + a b =cd + a + a b + c d =
(por la propiedad conmutativa)
= c d + a + c d = (ya que x + x y = x) .
=a+cd (yaquex+x=x)
d)(a+c+d)(a+c+d)(a+c+d)(a+b)=
=(a+c+d)(a+c+d)(a+c+d)(a+c+d)(a+b)=
(yaquex=xx)
= (a + c) (a + d) (a + b) = a + b c d
(por la propiedad distributiva) .
Problema 6.- Verifique si se cumplen o no las siguientes igualdades :
a)M(a,b,c)+M(d,e,f)=M(a+d,b+e,c+f) .
b) M (a, b, c) M (d, e, f) = M (a d, b e, c f) .
c) M (a, b, M (c, d, e)) = M (M(a, b, c), d, M(a, b, e)].
donde M (x y, z) es la funcin mayora de x y, z: M (x, y, z) = x y + x z + y z.
Solucin P6 .
a) No se cumple pues para a = 0, b = 0, c = 1, d = 0, e = 1 y f = 0 se tiene que
M(a, b, c) + M(d, e, f) = M(0, 0, 1) + M (0, 1, 0) = 0 + 0 = 0 y, sin embargo :
M(a+d,b+e,c+f)=M(0, 1, 1)=1 .
b) No se cumple, pues para a = 0, b = 1,c = 1, d = 1, e = 0 y f = 1 se tiene que
M(a, b, c) M (d, e, f) = M(0, 1, 1) M(1, 0, 1) = 1 1 = 1 mientras que
M(a d,b e,c f)=M(0,0,1)=0
c) S se cumple pues M[a, b, M(c, d, e)] = M[a, b, c d + c e + d e] _
=ab+a(cd+ce+de)+b(cd+ce+de)=ab+acd+ace+ade+bcd+bce+bde
y, por la otra parte :
M[M(a, b, c), d, M(a, b, e)] = M[a b + a c + b c, d, a b + a e + b e]=
=(ab+ac+bc)d+(ab+ac+bc)(ab+ae+b e)+d (ab+ae+b e)=
=abd+acd+bcd+ab+abe+abc+ace+ a b c e+ abce+bce+abd+ade+bde=
= a b+ a c d+ b c d+ a c e+ b c e + a d e+ b d e, luego ambas expresiones son iguales .
Problema 7.- Obtenga la tabla de verdad de las siguientes expresiones :
a)f=wyz+xy+wy) b) f= (w+x+y) (x+z) (w+x) .
-
28 PROBLEMAS DE CRCUTOS Y SSTEMAS DGTALES
Solucin P7 .
a) Si f = w y z + x y + w y, entonces es fcil deducir cundo f = 1 :
/wyz=1 ==> w=1,y=1,z=1
f=1 f=> xy=1 ~x=1,y=1
\wy=1~w=1,y=1
con ello, la tabla de verdad es :
wxyz
0000
0001
0010
0011
0100
0101
110
111
wxyz
0000
0001
0010
001 1
0100
0101
110
0111
f
wxyz
0 1000
1001
1010
1011
1100
1101
1
1110
1
1111
b) Si f = (w + x + y) (x + z) (w + x), es fcil encontrar los ceros de f:
/w+x+y=O==> w=0,x=0,y=0
f=0e-> x+z=0~ x=0,z=0
\w+x=0~ w=0,x=0
con ello, la tabla de verdad es :
f
wxyz
1000
0 1001
0 1010
1011
1
1100
1
1101
1
1110
1
1111
Problema 8.- Obtenga los mapas de las siguientes funciones :
a) f = E (5, 6, 7, 12) + d(1, 3, 8, 10) .
b) f =11 (10, 13, 14, 15) d(0, 1, 2, 8, 9) .
c) f = E (1, 2, 3, 8, 12, 23) + d(17) .
f
f
-
Solucin P8.
a) f (a, b, c, d) = E (5, 6, 7, 12) + d(1, 3, 8, 10)
00
01
11
10
c
00
01
11
10
ab
c
00
01
11
10
LGEBRA Y FUNCONES DE CONMUTACN 29
01
f
f
f
c) f (a, b, c, d, e) = E (1, 2, 3, 8, 12, 23) + d(17)
cd
11
b) f (a, b, c, d) = f (10, 13, 14, 15) + d(0, 1, 2, 8, 9)
11
10
10
Problema 9.- Obtenga las formas normales en suma de productos y producto de sumas de
las siguientes expresiones :
a)f=(ab+ac)(ab)) b)f=xy(v+w)[(x+y) vi .
c)f=x+yz) d)f=(a+b+c)(d+a)+bc+ a c .
0 0 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 d
1 0 0 0 0 0 1 0
1 0 0 0 0 0 0 0
d 1 1 d
d 1 0 d
1 1
0
1
d 1 0 0
0 0 1 d
4
d0
o
d 1 0 0
0 1 0
4
-
30 PROBLEMAS DE CRCUTOS Y SSTEMAS DGTALES
Solucin P9.
a) (a b + a c) (a b) = a b
(por la ley del consenso)
Con esto tenemos una forma en suma de productos, donde el producto p = a b es el ni-
co. Tambin tenemos un producto de sumas, donde los trminos suma son dos : s1 = a y s 2 = b .
b) x y (v + w) [(x + y) v] = x y (v + w) (x + y) v = v x y (x + y) = v x y (ley de absorcin) .
Con esto tenemos una forma en suma de productos, donde el producto p = v x y es nico .
Tambin tenemos un producto de sumas, donde los trminos suma son tres : S= v, s 2 = x,
s 3 y .
c) x + yz, es suma de dos productos,pl
=
X,P2 = y z. Por otra parte, aplicando la propie-
dad distributiva : x + yz = (x + y) (x + z) . Con ello tenemos una expresin en producto de sumas :
s1 =x+y, s 2 =x+z.
d)f=(a+b+ c) (d + a) + b c + a c
Para reducirlo a una forma en producto de sumas operaremos sobre la expresin de f
aplicando repetidas veces la propiedad distributiva :
(a + b + c) (a + d) + b c + a c = (a + b + c) (a+d)+(a+b)c=
=[(a+b+c)(a+d)+(a+b)] [(a+b+c)(a+d)+c]=
=[(ab+c+a+b)+(a+d+a+b)] [(a+b+c+c)(a+d+c)]=
=(a+b+ c) (a+b+ d) (a+c+ d) .
Obtenemos por tanto un producto de tres trminos suma: s1 = a + b + c, s2 = a + b + d
y s3=a+c+d.
De forma similar se puede obtener una expresin en suma de productos :
(a + b + c) (a + d) + b c + a c = [a + (b + c) d)] + a c + b c = a + a c + b c + (b + c) d=
=a+bc+bd+c d .
Son, por tanto, cuatro trminos producto :pl
= a, P2 = b c, p 3 = b d, P4 = c d .
Problema 10.- Determine y exprese en forma de mintrminos y maxtrminos las funciones
f, + f2 y f, - f2, siendo :
f, = (1, 2, 3, 5, 6, 7, 13, 14, 15) ;
f2 = E (0, 4, 8, 9, 10, 14, 15)
Repetir para f, O f2 y la equivalencia : f, O f2.
Solucin P10.- Para expresar la funcin f 1 + f2 como suma de mintrminos hay que tener en
consideracin que todos los mintrminos de f 1 y todos los mintrminos de f2 son mintrminos
de f1 + f2 ya que 1 + x = 1 . Entonces :
fl + f2 = E (0, 4, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15), y por exclusin : f1 + f2 = U (1, 2, 3, 5, 6, 7, 13) .
Para expresar la funcin f 1 . f2 , es mejor comenzar por la expresin en forma de produc-
to de maxtrminos ya que debido a que 0 x = 0 podemos decir que todos los maxtrminos de
f1 y todos los de f2 son maxtrminos de f 1 f2 . Entonces :
fl f2 =11(1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 12, 13, 14, 15) =E (0, 4, 8, 9, 10) .
En cuanto a la funcin f 1 O f2 , para que sea 1 es preciso que f 1 y f2 sean distintas . Por
tanto, los mintrminos de f 1 O f2 son los mintrminos de f 1 que no lo son de f2 y los de f2 que
no lo son de f1 :
f1 f2 = E (11, 12, 14, 15) = f (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13) .
-
LGEBRA Y FUNCONES DE CONMUTACN 31
Finalmente, como f 1 0 f2 es la funcin negada de f 1 O+ f2 , tendremos:
f 1 O+ f2 = f (11, 12, 14, 15) = E (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13) .
Problema 11 .- Sea el circuito combinacional con cuatro entradas A, B, C y D, tres salidas in-
termedias P, Q y R y dos salidas T 1 y T2, como se muestra en la figura. Slo Q y R pueden
tener inespecificaciones .
T 1 = E (0, 1, 3, 4, 5, 7, 11,15)
T2 = E (2, 3, 6, 7, 11,15)
a) Suponiendo que tanto G 1 como G2 son puertas AND, obtenga el mapa de la funcin
Pmin
(es decir, la funcin P que tiene el menor nmero de mintrminos) que permite obtener
T 1 y T2 .
Obtener los mapas para Q y R correspondientes alPmin
anterior. ndique, explcita-
mente, las posiciones de las inespecificaciones .
Suponiendo que G 1 y G2 son puertas OR obtenga el mayor Pmax(la funcin P con
mayor nmero de mintrminos) y sus mapas correspondientes para a y R.
Pueden obtenerse Q, P y R si G 1 es una puerta AND y G2 una puerta OR? Y si G 1
es una puerta OR y G2 una puerta AND?
Solucin Pll .
a) G 1 y G2 son puertas AND .
En este caso T 1 = Q . P y T2 = R P, por tanto, Q y P tienen que tener todos los mintr-
minos de T 1 (o sea: 0, 1, 3, 4, 5, 7, 11, 15), y R y P tienen que tener todos los mintrminos de
T2 ( o sea : 2, 3, 6, 7, 11, 15) . Entonces P como mnimo tiene que contener todos esos mintr-
minos, luego : Pmin = E (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 15) .
b) La funcin Q tiene al menos los mintrminos de T 1 ; R tiene los de T2 . Ahora bien, Q
tiene ceros en las celdas en quePmin
vale 1 pero T 1 no es 1 ; por ejemplo, 2 es mintrmino de
Pmin
pero no lo es de T 1 , por lo que 2 es un 0 de Q. Lo mismo ocurre para R con respecto a T2
Y PminPor ltimo, en las celdas donde T 1 vale 0 y
Pmin
tambin es 0, Q est inespecificada ;
algo similar ocurre para R respecto a T2 y Pmin . Por tanto :
Q = E (0, 1, 3, 4, 5, 7, 11, 15) + d (8, 9, 10, 12, 13, 14) .
R = E (2, 3, 6, 7, 11, 15) + d (8, 9, 10, 12, 13, 14) .
c) G 1 y G2 son puertas OR .
En este caso T 1 = Q + P y T2 = R + P, por tanto donde T 1 sea cero tambin deben de
serlo forzosamente Q y P (o sea en 2, 6, 8, 9, 10, 12, 13, 14) y donde T2 lo sea debern serlo
-
32 PROBLEMAS DE CRCUTOS Y SSTEMAS DGTALES
tambin R y P (o sea en 0, 1, 4, 5, 8, 9, 10, 12, 13, 14). As, P tendr como mximo los
mintrminos que sean comunes aT y T2 : Pmax = Y- (
3, 7, 11, 15)
.
Q y R contendrn los mintrminos que le faltan a P para completar los de T y T2 :
Q = E (0, 1, 4, 5) + d (3, 7, 11, 15) .
R = E (2, 6) + d(3, 7, 11, 15) .
Las celdas en que Q est inespecificada son aquellas en las que T vale 1 yPmax
tambin
es 1. Algo similar ocurre para R respecto a
T2 y Pmax
d) No es posible, ya que si G 1 es una AND y G2 una OR: T = Q P, T 2 = R + P . En-
tonces, en aquellos valores en los que T es 1 y T 2 es 0 (como por ejemplo en 4) sera imposible
encontrar un valor adecuado para la funcin P. Si P valiese 1 forzara T2 = 1 y si valiese 0 for-
zara T = 0) .
Si G 1 es una OR y G2 es una AND, tampoco es posible ya que T = R + P y T2 = Q P .
As, en aquellos puntos en que T = 0 y T2 = 1(como por ejemplo en 6) no se puede encontrar
un valor adecuado para P.
PROBLEMAS CON SOLUCN RESUMDA
Problema 12.-Encuentre los complementos de las siguientes funciones :
a)f=(bc+adL(ab+cd)_
b)f=bd_+ab c+ acd+abc)
c) f = [(a b) a]((a b) b].
d)f=ab+cd.
Solucin P12 .
a)f=(E+c)(a+d)+(+b) (c+d) .
b)f=bd+bc+acd+bc=ab+acd+bd,entonces:
f = (a + b) ( + c + d) (b + d) .
c) Operando obtenemos f = 0 luego f = 1 .
d)f=(+b) (c+d) .
Problema 13.- Demuestre que x, O+ x2 +p . . . Oe x = (x, O
. . . O+ x;) 0 (x ; + , . . .O+
x) ;
donde a 0 b= a O b.
Solucin P13.-La operacin XOR cumple la propiedad asociativa . Entonces :
(x 1 O+ . . .$ xi) 0 (xi+1 O+ . .
.(9
xn )=
(x1 0. . . O+ xi) O
(xi+1 . . .
O+ xn) =
= xlm . . . mxiE) xi+l
O+ . . .0
xn
-
LGEBRA Y FUNCONES DE CONMUTACN 33
Problema 14 .- Escriba las siguientes func iones como suma de mintrminos :
a)f(a, b, c)=a+b+c .
b) f (a, b, c) = (a + b) (b + c) .
c)f(a, b, c, d)=(ab+bcd)+acd.
Solucin P14 .
Problema 15.- Exprese las siguientes funciones como producto de maxtrminos :
a) f (a, b, c, d) = (a + c) d + b d.
b) f (x, y, z) _ (x y + z) (y + x z) .
c)f(a,b,c)=(abc+abc))
d) f (a, b, c) _ (a b + c (a + b)) (b + c) .
Solucin P15 .
a) f(a, b, c, d) =11(0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 13, 14) .
b) f(x, y, z) =1-1(0, 1, 3, 4, 5, 6, 7) .
c) f(a, b, c, d) =11(5, 6) .
d) f(a, b, c) =11(0, 2, 4, 6) .
Problema 16.- A partir de las tablas de verdad de las siguientes funciones, obtenga sus ex-
presiones algebraicas.
Solucin P16.-Directamente de las tablas :
f1 =xy+xy=y.
f2=xy+xy=xODy.
f3=xy+xy+xy=x+y=xy .
xy f,
xy f2
xy f3
00 1
00 0
00 1
01 0
01 1
01 1
10 1
10 1
10 1
11
0
11 0
11 0
a) f (a, b, c) = E (0, 1, 3, 4, 5, 6, 7) .
b) f (a, b, c) = E (0, 2, 3, 4, 5, 6, 7) .
c) f (a, b, c, d) = E (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 10, 11) .
-
34 PROBLEMAS DE CRCUTOS Y SSTEMAS DGTALES
Problema 17.- Obtenga las expresiones algebraicas de las siguientes funciones :
Solucin P17 .
f =xyz+xyz=yz .
f2 =xyz+xyz+xyz+xyz=xy+yz+xyz .
f3 =xyz+xyz=xy .
f4 =x+y+z.
f =x+z
f6 =xyz+xyz+xyz+xyz=z .
Problema 18.- nterprete las siguientes expresiones lgicas considerando que el dato tiene
n bits. (Para ayudarse puede considerar un caso particular de n, por ejemplo: n = 4) .
a)z=xox1(D . .
.x,,1) b)z=xn-1=x0
x1(D . .
.(D Xn_2 .
c) zk = xk+ 1 X
k,
k = n - 2, . . ., 1, 0, con zn
_ 1 = xn - 1
d) zk = zk+ 1 (D
Xk,
k = n - 2, . . ., 1, 0, con z
n _ 1= xn _ 1 .
e) zk = xk
q)
yk,
k = n - 1, n-2, . . . . 1,0
donde y
k = yk 1
+ xk 1 , con k > 1, 2, . . ., n - 1 e yo = 0.
Solucin P18 .
a) La operacin XOR de n variables se hace 1 si y slo si hay un nmero impar de unos
en las n variables . Por tanto, en este caso z es un detector de paridad .
b) La funcin z forma parte de la palabra den bits dada por: x0 x 1 x2 . . . x
n
- 2 xi- 1 . En-
tonces, z es el bit de paridad par para x 0 x 1 x2 . . . xn _2 .
c) Si se particulariza paran = 4 y se obtiene la tabla de verdad de las 4 funciones se pue-
de concluir fcilmente que se trata de una conversin binario-Gray .
d) Procediendo como en el apartado anterior se puede concluir que se trata de una con-
version de cdigo Gray a binario .
e) Si se considera el caso particular de n = 4 y se obtiene la tabla puede observarse que
z3-0 = Ca2(x3-0)
X y z f, f
2
f3 f4 f5 f6
000 0 1 0 1 1 1
001 1 0 0 1 0 0
010 0 0 0 1 1 1
011 0 1 0 0 0 0
100 0 1 1 1 1 1
101
1
1 1 1 1 0
110
0 0 0 1 1 1
1 1 1 0
0 0 1 1 0
-
Captulo 3
ANLSS DE CRCUTOS COMBNACONALES
Un circuito digital combinacional es aquel que implementa funciones de conmutacin cuyas
salidas en un instante, t, dependen slo del valor de las entradas en ese mismo instante . El cir-
cuito consta de puertas lgicas interconectadas entre s sin que haya lazos de realimentacin .
Hay dos enfoques principales : si es conocido el circuito y se desea establecer cul es la opera-
cin que realiza, se trata del anlisis, que es el aspecto que se trata en este Captulo ; si se plan-
tea el problema contrario, conocida la funcin hay que obtener el circuito, se trata del diseo
o sntesis, lo que se aborda en el Captulo siguiente .
circuito
combinacional
z(t) = f(x(t))
ANLSS DE CRCUTOS
El objetivo principal del anlisis de un circuito combinacional es, por tanto, obtener una repre-
sentacin de la funcin de conmutacin que implementa . A este objetivo se le llama anlisis
lgico del circuito . En algunos casos es posible, adems, obtener una descripcin verbal de la
operacin del circuito (del tipo "hace la suma", "compara nmeros", etc) . Adems, incluso
cuando es posible esta operacin a partir de las tablas o expresiones lgicas es difcil salvo que
se est sobre aviso. En este texto no se har el paso a la descripcin verbal salvo que se indique
explcitamente en el enunciado (vase, p . ej ., el problema 4) .
Aunque el anlisis lgico es el objetivo principal no es el nico aspecto que debe con-
templar un buen anlisis de un circuito . Otros aspectos que se deben considerar son :
- El coste del circuito . Una manera de medir el coste es a travs del nmero de puertas
lgicas y conexiones entre puertas del circuito .
- Un anlisis de parmetros elctricos . Se debe establecer la tecnologa en la que se im-
35
-
36 PROBLEMAS DE CRCUTOS Y SSTEMAS DGTALES
plementa el circuito y evaluar, en funcin de las caractersticas elctricas de la misma, el ren-
dimiento del circuito en cuanto a mrgenes de ruido, fan-in y fan-out, potencia disipada, etc .
- Un anlisis temporal . Este tipo de anlisis consiste en, dado un patrn de entradas, de-
terminar la forma de onda de las seales de salida considerando los retrasos de propagacin de
las puertas lgicas . El anlisis temporal sirve para verificar si el circuito realiza correctamente
la funcin de conmutacin o si, por el contrario, existen fenmenos transitorios como por
ejemplo azares, as como para calcular los valores mximos y mnimos de los tiempos de pro-
pagacin que determinan la velocidad de operacin del circuito .
Este Captulo est centrado en el anlisis de circuitos a nivel de puertas lgicas . Los as-
pectos que se tratan son los de anlisis lgico, mostrando mtodos generales vlidos para cual-
quier circuito e independientes del tipo de puerta, y mtodos especficos para circuitos con slo
NAND o slo NOR . Estos procedimientos son explicados en los problemas 1 y 3 respectiva-
mente . Adems, en este Captulo tambin se incluyen algunos casos de anlisis del coste del
circuito, medido en funcin del nmero de puertas y conexiones del circuito y de anlisis tem-
poral, analizando circuitos que presentan azares .
ndice del Captulo
Este Captulo desarrolla problemas de las siguientes materias :
- Anlisis lgico segn el procedimiento general .
- Anlisis lgico de circuitos slo NAND (y slo NOR) .
- Anlisis temporal .
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema 1.- Analice a nivel lgico el siguiente circuito combinacional . Ponga tambin la fun-
cin en forma de suma de productos o producto de sumas y realice el nuevo circuito a partir
de estas expresiones .
1
z
Solucin Pl .- El proceso de anlisis de un circuito combinacional consiste en, a partir de un
circuito, obtener una expresin algebraica, o bien su tabla de verdad o mapa de Karnaugh . Para
ello se puede proceder bien desde las entradas hasta las salidas o bien desde las salidas hasta
las entradas .
Deben encontrarse expresiones para la salida de cada puerta en funcin de sus entradas :
-
zxl
x l
X2-
x3
X2
z+
0
0
1
0
1
0
0
0
z
ANLSS DE CRCUTOS COMBNACONALES 37
x +y+z)(z+y)i
A partir de esta expresin puede obtenerse otra simplificada o la tabla de verdad o el
mapa de Karnaugh, y un nuevo circuito :
_
f=(x+y+ z) ( z + y ) z = z (y + z) = y z
00
01
11
10
3--
Problema 2.- Realice un anlisis lgico del circuito representado en la figura. Obtenga las ex-
presiones en forma de suma de productos y producto de sumas . Liste los mintrminos y max-
trminos correspondientes. Determine el coste .
x3
D--X1
x2
>_1
- f
Solucin P2.- Comencemos determinando el coste del circuito. Este se calcula : 1 .- dando el
nmero de puertas del circuito ; 2.- dando el nmero de entradas a puertas (conexiones) del cir-
cuito y el nmero de salidas . Adems, a veces se evala el "coste" temporal estableciendo los
retrasos mximos y mnimos que experimentan las seales de entrada al propagarse hasta las
salidas. Para ello, lo ms habitual es considerar una unidad de retraso por puerta. En este cir-
cuito el coste es el siguiente :
-
38 PROBLEMAS DE CRCUTOS Y SSTEMAS DGTALES
Anlisis lgico. Teniendo en cuenta la funcin lgica que realiza cada puerta, se obtiene
la siguiente expresin para f :
f = x 3(x,x 2 ) + x
3
(x,x2 ) (x 3x2 ) +x1x2 = x 3 (x 2 +x,)+x3 (x2+x,) (X2
+X3)
+x,x2
f=x 1x3 +x3x2 +x1x2x 3 +x 1 x2 =x1
x3
+x3x2+x
x2 =x3 (x2 +x1
) + x 1 x2
A partir de esta expresin se obtienen otras en for