problemario ecuaciones diferenciales
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SERIE DE EJERCICIOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
Tema: Variables separables
1. Resolver la ecuacion x2x = t+ 1. Hallar la curva integral que pasa por (t, x) = (1, 1).
2. Resolver las siguientes ecuiones diferenciales:
a) x = t3 − t
b) x = tet − t
c) exx = t+ 1
3. a) Hallar la solucion de x =1
2x. Hallar, en particular, la curva integral que pasa por (0, 1)
b) Hallar la solucion de x = ax. Hallar, en particular, la curva integral que pasa por (t0, x0)
c) Hallar la solucion de tx = x(1− t). Hallar, en particular, la curva integral que pasa por (1, 1/e)
d) Hallar la solucion de (1 + t3)x = t2x. Hallar, en particular, la curva integral que pasa por (0, 2)
e) Hallar la solucion de xx = t. Hallar, en particular, la curva integral que pasa por (√
2, 1)
f ) Hallar la solucion de e2t (dx/dt) − x2 − 2x − 1 = 0. Hallar, en particular, la curva integral que pasa por
(0, 0)
4. Hallar la solucion completa de x + a(t)x = 0. En particular, cuando a(t) = a + bct (a, b, c positivos, c 6= 1),
demostrar que la solucion de la ecuacion se puede escribir en la forma x = Cptqct
, donde p y q son constantes
determinadas por a, b, y c, mientras que C es una constante arbitraria. (Esta es la llamada ley de Mortalidad de
Gompertz-Makeham, que describe de manera bastante bastante acertada la dinamica de la edad de mortalidad
de las personas de entre 30 y 80 anos).
5. Las ecuaciones diferenciales siguientes se han estudiado en economıa. Resolverlas.
a) K =(Anα0 a
b)Kb−ce(αv+ε)t, b− c 6= 1, αv + ε 6= 0.
b) x =(β − αx) (x− a)
x, α > 0, β > 0, a > 0, αa 6= β
Indicacion: Para (b):x
(β − αx) (x− a)=
1
β − αa
(β
β − αx+
a
x− a
).
Tema: Ecuaciones separables de primer orden.
1. Hallar la solucion general de x = x+ t.
2. Hallar la solucion general de x +1
2x =
1
4. Determinar el estado de equilibrio de la ecuacion y averiguar si es
estable.
3. Hallar las soluciones generales de las siguientes ED y, en cada caso, hallar la curva integral que pasa por
(t, x) = (0, 1):
a) x− 3x = 5
b) 3x+ 2x+ 16 = 0
c) x+ 2x = t2
4. Hallar las soluciones generales de las siguientes ecuaciones diferenciales:
a) tx+ 2x+ t = 0; (t 6= 0)
b) x− 1
tx = t; (t 6= 0)
c) x− t
t2 − 1x = t; (t > 1)
d) x− 2
tx+
2a2
t2= 0; (t > 0)
5. Demostrar que las ecuaciones diferenciales de la forma: x = Q(t)x+ R(t)xn Ecuacion de Bernoulli se puede
transformar en lineales haciendo la sustitucion z = x1−n
6. Resolver los siguientes ejemplos de la ecuacion de Bernoulli:
a) x = −tx+ t3x
b) tx+ 2x = tx2; (t 6= 0)
c) x = 4x+ 2et√x; x > 0
Tema: Diagrama de fases.
1. Dibujar los diagramas de fases definidos por las siguientes ecuaciones diferenciales, y determinar de que tipo son
sus estados estacionarios:
a) x = x− 1
b) x+ 2x = 24
c) x = x2 − 9
d) x = x3 + x2 − x− 1
e) x = 3x2 + 1
f ) x = xex
g) x =1
2(x2 − 1)
Tema: ecuaciones diferenciales de 2o Orden.
1. Hallar las soluciones generales de las siguientes ecuaciones diferenciales y determinar su estabilidad (x+ax+bx =
f(t) es estable si, y solo si, a > 0 y b > 0).
a) x− 3x = 0
b) x+ 4x+ 8x = 0
c) 3x+ 8x = 0
d) 4x+ 4x+ x = 0
e) x+ x− 6x = 8
f ) x+ 3x+ 2x = e5t
g) x− x = sen t
h) x− x = e−t
i) 3x− 30x+ 75x = 2t+ 1
2. Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes para las condiciones iniciales especificadas:
a) x+ 2x+ x = t2, x(0) = 0, x(0) = 1
b) x+ 4x = 4t+ 1, x(π/2) = 0, x(π/2) = 0