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PROBLEMARIO DE ALGEBRA LINEAL EJERCICIO 1 Grafica los siguientes sistemas de ecuaciones lineales con dos incรณgnitas y determina su soluciรณn. a) โˆ’ =1 + =7 a) = 4, =3 b) +8= +2 โˆ’ 4= +2 b) Equivalentes (Nรบmero infinito de soluciones) c) +3 =6 3 +9 = 10 c) Paralelas (No tiene soluciรณn) EJERCICIO 2 Utiliza cualquiera de los mรฉtodos analรญticos conocidos para resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales. a) 6โˆ’ 5 = โˆ’9 4 +3 = 13 b) 3โˆ’ 4 = 41 11 +6 = 47 c) 7โˆ’ 15 =1 โˆ’ โˆ’ 6 =8 d) 9 + 11 = โˆ’14 6โˆ’ 5 = โˆ’34 e) 10โˆ’ 3 = 36 2 +5 = โˆ’4 f) 7 1 โˆ’ 4 2 =5 9 1 +8 2 = 13 g) 9 + 16 =7 4โˆ’ 3 =0 h) 14โˆ’ 11 + 29 = 0 13โˆ’ 8 = 30 i) +6 = 27 7โˆ’ 3 =9 j) 3โˆ’ 2 = โˆ’2 5 +8 = โˆ’60 k) 3 1 +5 2 =7 2 1 โˆ’ 2 = โˆ’4 a) = 1, =3 b) = 7, = โˆ’5 c) = โˆ’2, = โˆ’1 d) = โˆ’4, =2 e) = 3, = โˆ’2 f) 1 = 1, 2 = 1 2 g) = 1 3 , = 1 4 h) = โˆ’ 1 2 , =2 i) = 3, =4 j) = โˆ’4, = โˆ’5 k) 1 = โˆ’1, 2 =2

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PROBLEMARIO DE ALGEBRA LINEAL

EJERCICIO 1 Grafica los siguientes sistemas de ecuaciones lineales con dos incรณgnitas y determina su soluciรณn.

a) ๐‘‹ โˆ’ ๐‘Œ = 1

๐‘‹ + ๐‘Œ = 7

a) ๐‘‹ = 4, ๐‘Œ = 3

b) ๐‘ฅ + 8 = ๐‘ฆ + 2

๐‘ฆ โˆ’ 4 = ๐‘ฅ + 2

b) Equivalentes

(Nรบmero infinito de soluciones)

c) ๐‘ฅ + 3๐‘ฆ = 6

3๐‘ฅ + 9๐‘ฆ = 10

c) Paralelas

(No tiene soluciรณn)

EJERCICIO 2 Utiliza cualquiera de los mรฉtodos analรญticos conocidos para resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.

a) 6๐‘ฅ โˆ’ 5๐‘ฆ = โˆ’9

4๐‘ฅ + 3๐‘ฆ = 13

b) 3๐‘ฅ โˆ’ 4๐‘ฆ = 41 11๐‘ฅ + 6๐‘ฆ = 47

c) 7๐‘ฅ โˆ’ 15๐‘ฆ = 1 โˆ’๐‘ฅ โˆ’ 6๐‘ฆ = 8

d) 9๐‘ฅ + 11๐‘ฆ = โˆ’14 6๐‘ฅ โˆ’ 5๐‘ฆ = โˆ’34

e) 10๐‘ฅ โˆ’ 3๐‘ฆ = 36 2๐‘ฅ + 5๐‘ฆ = โˆ’4

f) 7๐‘ฅ1 โˆ’ 4๐‘ฅ2 = 5 9๐‘ฅ1 + 8๐‘ฅ2 = 13

g) 9๐‘ฅ + 16๐‘ฆ = 7 4๐‘ฆ โˆ’ 3๐‘ฅ = 0

h) 14๐ด โˆ’ 11๐ต + 29 = 0 13๐ต โˆ’ 8๐ด = 30

i) ๐‘ฅ + 6๐‘ฆ = 27 7๐‘ฅ โˆ’ 3๐‘ฆ = 9

j) 3๐‘‹ โˆ’ 2๐‘Œ = โˆ’2 5๐‘‹ + 8๐‘Œ = โˆ’60

k) 3๐น1 + 5๐น2 = 7 2๐น1 โˆ’ ๐น2 = โˆ’4

a) ๐‘ฅ = 1, ๐‘ฆ = 3

b) ๐‘ฅ = 7, ๐‘ฆ = โˆ’5

c) ๐‘ฅ = โˆ’2, ๐‘ฆ = โˆ’1

d) ๐‘ฅ = โˆ’4, ๐‘ฆ = 2

e) ๐‘ฅ = 3, ๐‘ฆ = โˆ’2

f) ๐‘ฅ1 = 1, ๐‘ฅ2 =1

2

g) ๐‘ฅ =1

3, ๐‘ฆ =

1

4

h) ๐ด = โˆ’1

2, ๐ต = 2

i) ๐‘ฅ = 3, ๐‘ฆ = 4

j) ๐‘‹ = โˆ’4, ๐‘Œ = โˆ’5

k) ๐น1 = โˆ’1, ๐น2 = 2

Page 2: PROBLEMARIO DE ALGEBRA LINEAL EJERCICIO 1 - · PDF filePROBLEMARIO DE ALGEBRA LINEAL EJERCICIO 1 Grafica los siguientes sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas y determina

l) 3 ๐‘‹ + 2 = 2๐‘Œ

2 ๐‘Œ + 5 = 7๐‘‹

m) 30 โˆ’ 8 โˆ’ ๐‘ฅ = 2๐‘ฆ + 30 5๐‘ฅ โˆ’ 29 = ๐‘ฅ โˆ’ 5 โˆ’ 4๐‘ฆ

n) 3

2๐‘ฅ + ๐‘ฆ = 11

๐‘ฅ +1

2๐‘ฆ = 7

o) 5

12๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ = 9

๐‘ฅ โˆ’3

4๐‘ฆ = 15

p) ๐‘ฅ + ๐‘ฆ + ๐‘ง = 12

2๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ + ๐‘ง = 7 ๐‘ฅ + 2๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ง = 6

q) ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ + ๐‘ง = 2 ๐‘ฅ + ๐‘ฆ + ๐‘ง = 4 2๐‘ฅ + 2๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ง = โˆ’4

r) 2๐‘ฅ + ๐‘ฆ โˆ’ 3๐‘ง = โˆ’1 ๐‘ฅ โˆ’ 3๐‘ฆ โˆ’ 2๐‘ง = โˆ’12 3๐‘ฅ โˆ’ 2๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ง = โˆ’5

s) 6๐‘ฅ + 3๐‘ฆ + 2๐‘ง = 12 9๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ + 4๐‘ง = 37 10๐‘ฅ + 5๐‘ฆ + 3๐‘ง = 21

t) 4๐‘ฅ + 2๐‘ฆ + 3๐‘ง = 8 3๐‘ฅ + 4๐‘ฆ + 2๐‘ง = โˆ’1 2๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ + 5๐‘ง = 3

u) ๐‘ฅ

2+

๐‘ฆ

2โˆ’

๐‘ง

3= 3

๐‘ฅ

3+

๐‘ฆ

6โˆ’

๐‘ง

2= โˆ’5

๐‘ฅ

6โˆ’

๐‘ฆ

3+

๐‘ง

6= 0

l) ๐‘‹ = 4, ๐‘Œ = 9

m) ๐‘ฅ = 4, ๐‘ฆ = โˆ’2

n) ๐‘ฅ = 6, ๐‘ฆ = 2

o) ๐‘ฅ = 12, ๐‘ฆ = โˆ’4

p) ๐‘ฅ = 3, ๐‘ฆ = 4, ๐‘ง = 5

q) ๐‘ฅ = โˆ’1, ๐‘ฆ = 1, ๐‘ง = 4

r) ๐‘ฅ = 1, ๐‘ฆ = 3, ๐‘ง = 2

s) ๐‘ฅ = 5, ๐‘ฆ = โˆ’4, ๐‘ง = โˆ’3

t) ๐‘ฅ = 5, ๐‘ฆ = โˆ’3, ๐‘ง = โˆ’2

u) ๐‘ฅ = 6, ๐‘ฆ = 12, ๐‘ง = 18

EJERCICIO 3 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales con el mรฉtodo de eliminaciรณn de Gauss โ€“ Jordan.

a) 10๐‘ฅ โˆ’ 3๐‘ฆ = 36 2๐‘ฅ + 5๐‘ฆ = โˆ’4

a) ๐‘ฅ = 3, ๐‘ฆ = โˆ’2

Page 3: PROBLEMARIO DE ALGEBRA LINEAL EJERCICIO 1 - · PDF filePROBLEMARIO DE ALGEBRA LINEAL EJERCICIO 1 Grafica los siguientes sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas y determina

b) ๐‘ฅ + ๐‘ฆ + ๐‘ง = 6 ๐‘ฅ + ๐‘ฆ + 2๐‘ง = 9 ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ โˆ’ 3๐‘ง = โˆ’10

b) ๐‘ฅ = 1, ๐‘ฆ = 2, ๐‘ง = 3

c) 2๐‘™1 + 3๐‘™2 + ๐‘™3 = 1 6๐‘™1 โˆ’ 2๐‘™2 โˆ’ ๐‘™3 = โˆ’14 3๐‘™1 + ๐‘™2 โˆ’ ๐‘™3 = 1

c) ๐‘™1 = โˆ’2, ๐‘™2 = 3, ๐‘™3 = โˆ’4

d) 3๐‘ฅ + 6๐‘ฆ โˆ’ 6 ๐‘ง = 9 2๐‘ฅ โˆ’ 5๐‘ฆ + 4๐‘ง = 3 โˆ’๐‘ฅ + 16๐‘ฆ โˆ’ 14๐‘ง = 3

d) ( 2

9๐‘ง +

7

3 ,

8

9๐‘ง +

1

3 , ๐‘ง)

Nรบmero infinito de soluciones

e) 7๐น1 + 3๐น2 โˆ’ 4๐น3 = โˆ’35 3๐น1 โˆ’ 2๐น2 + 5๐น3 = 38 ๐น1 + ๐น2 โˆ’ 6๐น3 = โˆ’27

e) ๐น1 = 1, ๐น2 = โˆ’10, ๐น3 = 3

f) ๐‘ฅ2 โˆ’ 3๐‘ฅ3 = 3 2๐‘ฅ1 + 4๐‘ฅ2 โˆ’ ๐‘ฅ3 = 5 4๐‘ฅ1 โˆ’ 2๐‘ฅ2 + 5๐‘ฅ3 = 3

f) ๐‘ฅ1 = 2, ๐‘ฅ2 = 0, ๐‘ฅ3 = โˆ’1

g) ๐‘ฅ + ๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ง = 7 4๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ + 5๐‘ง = 4 6๐‘ฅ + ๐‘ฆ + 3๐‘ง = 20

g) No tiene soluciรณn

h) ๐ถ โˆ’ 2๐ท = 5 3๐ด โˆ’ 6๐ต + 2๐ถ = 18 ๐ด โˆ’ 2๐ต + ๐ถ โˆ’ ๐ท = 8 2๐ด โˆ’ 3๐ต + 3๐ท = 4

h) ๐ด = 2, ๐ต = โˆ’1, ๐ถ = 3, ๐ท = โˆ’1

i) ๐‘ฅ1 โˆ’ 2๐‘ฅ2 + ๐‘ฅ3 + ๐‘ฅ4 = 2 3๐‘ฅ1 + 2๐‘ฅ3 โˆ’ 2๐‘ฅ4 = โˆ’8 4๐‘ฅ2 โˆ’ ๐‘ฅ3 โˆ’ ๐‘ฅ4 = 1 5๐‘ฅ1 + 3๐‘ฅ3 โˆ’ ๐‘ฅ4 = โˆ’3

i) ( 18 โˆ’ 4๐‘ฅ4 , โˆ’15

2 + 2๐‘ฅ4 , โˆ’31 + 7๐‘ฅ4 , ๐‘ฅ4 )

Nรบmero infinito de soluciones

j) ๐‘ฅ โˆ’ 2๐‘ฆ + ๐‘ง + ๐‘ค = 2 3๐‘ฅ + 2๐‘ง โˆ’ 2๐‘ค = โˆ’8 4๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ง โˆ’ ๐‘ค = 1 โˆ’๐‘ฅ + 6๐‘ฆ โˆ’ 2๐‘ง = 7

j) ๐‘ฅ = 2, ๐‘ฆ =1

2, ๐‘ง = โˆ’3, ๐‘ค = 4

Page 4: PROBLEMARIO DE ALGEBRA LINEAL EJERCICIO 1 - · PDF filePROBLEMARIO DE ALGEBRA LINEAL EJERCICIO 1 Grafica los siguientes sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas y determina

k) 2๐‘ฅ โˆ’ 3๐‘ฆ + ๐‘ง + 4๐‘ข = 0 3๐‘ฅ + ๐‘ฆ โˆ’ 5๐‘ง โˆ’ 3๐‘ข = โˆ’10

6๐‘ฅ + 2๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ง + ๐‘ข = โˆ’3 ๐‘ฅ + 5๐‘ฆ + 4๐‘ง โˆ’ 3๐‘ข = โˆ’6

k) ๐‘ฅ = โˆ’3, ๐‘ฆ = 4, ๐‘ง = โˆ’2, ๐‘ข = 5

EJERCICIO 4 Encuentra la soluciรณn de los siguientes determinantes, Utiliza el mรฉtodo que mรกs se te facilite, el de Sarrus o el de Coeficientes separados.

a) โˆ’6 โˆ’3 2 1

b) 4 52 3

c) โˆ’2 5 4 3

d) 5 โˆ’3โˆ’2 โˆ’8

e) โˆ’5 โˆ’8โˆ’19 โˆ’21

a) 0

b) 2

c) โ€“ 26

d) โ€“ 46

e) โ€“ 47

f) 1 2 11 3 41 0 2

f) 7

g) โˆ’3 4 1 2 โˆ’3 0 1 2 7

g) 14

h) 2 5 โˆ’13 โˆ’4 36 2 4

h) โ€“ 44

i) 5 โˆ’1 โˆ’6โˆ’2 5 3 3 4 2

i) 115

Page 5: PROBLEMARIO DE ALGEBRA LINEAL EJERCICIO 1 - · PDF filePROBLEMARIO DE ALGEBRA LINEAL EJERCICIO 1 Grafica los siguientes sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas y determina

j) 5 2 โˆ’8โˆ’3 โˆ’7 3 4 0 โˆ’1

j) โ€“ 171

k) 3 2 5โˆ’1 โˆ’3 4 3 2 5

k) 0

l)

3 4 2 โˆ’1โˆ’1 0

2โˆ’3

1 35 021

5โˆ’3

l) โ€“ 23

m)

5 4โˆ’3 6 2 1

โˆ’2โˆ’4

9 2 3 1โˆ’4 0

โˆ’1 5

m) โ€“ 876

n)

โˆ’2 3 1 โˆ’2 3 โˆ’1

0 โˆ’1 4 2 5 0

2โˆ’4 3

0 1 โˆ’3 6 1 โˆ’1 0 2 โˆ’3 2

n) 990

EJERCICIO 5 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales con la regla de Crammer.

a) 7๐‘ฅ + 8๐‘ฆ = 29 5๐‘ฅ + 11๐‘ฆ = 26

a) ๐‘ฅ = 3, ๐‘ฆ = 1

b) 13๐‘ฅ โˆ’ 31๐‘ฆ = โˆ’326 25๐‘ฅ + 37๐‘ฆ = 146

b) ๐‘ฅ = โˆ’6, ๐‘ฆ = 8

c) ๐‘ฅ

4 +

๐‘ฆ

6= โˆ’4

๐‘ฅ

8 โˆ’

๐‘ฆ

12= 0

c) ๐‘ฅ = โˆ’8, ๐‘ฆ = โˆ’12

d) ๐‘ฅ + 4๐‘ฆ + 5๐‘ง = 11 3๐‘ฅ โˆ’ 2๐‘ฆ + ๐‘ง = 5

4๐‘ฅ + ๐‘ฆ โˆ’ 3๐‘ง = โˆ’26

d) ๐‘ฅ = โˆ’2, ๐‘ฆ = โˆ’3, ๐‘ง = 5

Page 6: PROBLEMARIO DE ALGEBRA LINEAL EJERCICIO 1 - · PDF filePROBLEMARIO DE ALGEBRA LINEAL EJERCICIO 1 Grafica los siguientes sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas y determina

e) 7๐‘ฅ + 10๐‘ฆ + 4๐‘ง = โˆ’2 5๐‘ฅ โˆ’ 2๐‘ฆ + 6๐‘ง = 38 3๐‘ฅ + ๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ง = 21

e) ๐‘ฅ = 8, ๐‘ฆ = โˆ’5, ๐‘ง = โˆ’2

f) ๐‘ฅ

3โˆ’

๐‘ฆ

4+

๐‘ง

4= 1

๐‘ฅ

6+

๐‘ฆ

2โˆ’ ๐‘ง = 1

๐‘ฅ

2โˆ’

๐‘ฆ

8โˆ’

๐‘ง

2= 0

f) ๐‘ฅ = 6, ๐‘ฆ = 8, ๐‘ง = 4

g) 2๐‘ฅ + 3๐‘ฆ + 4๐‘ง = 3 2๐‘ฅ + 6๐‘ฆ + 8๐‘ง = 5 4๐‘ฅ + 9๐‘ฆ โˆ’ 4๐‘ง = 4

g) ๐‘ฅ = 12 , ๐‘ฆ = 1

3 , ๐‘ง = 14

h) 3๐‘ฅ โˆ’ 2๐‘ฆ = โˆ’1 4๐‘ฅ + ๐‘ง = โˆ’28 ๐‘ฅ + 2๐‘ฆ + 3๐‘ง = โˆ’43

h) ๐‘ฅ = โˆ’5, ๐‘ฆ = โˆ’7, ๐‘ง = โˆ’8

i) ๐‘ฅ + 2๐‘ฆ + ๐‘ง = โˆ’4 2๐‘ฅ + 3๐‘ฆ + 4๐‘ง = โˆ’2 3๐‘ฅ + ๐‘ฆ + ๐‘ง + ๐‘ข = 4 6๐‘ฅ + 3๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ง + ๐‘ข = 3

i) ๐‘ฅ = 3, ๐‘ฆ = โˆ’4, ๐‘ง = 1, ๐‘ข = โˆ’2

j) ๐‘ฅ โˆ’ 2๐‘ฆ + ๐‘ง + 3๐‘ข = โˆ’3 3๐‘ฅ + ๐‘ฆ โˆ’ 4๐‘ง โˆ’ 2๐‘ข = 7 2๐‘ฅ + 2๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ง โˆ’ ๐‘ข = 1 ๐‘ฅ + 4๐‘ฆ + 2๐‘ง โˆ’ 5๐‘ข = 12

j) ๐‘ฅ = 2, ๐‘ฆ = โˆ’3, ๐‘ง = 1, ๐‘ข = โˆ’4

EJERCICIO 6 Plantea el sistema de ecuaciones lineales de cada uno de los siguientes problemas y resuรฉlvelo con el mรฉtodo de tu elecciรณn.

1. Una fรกbrica de muebles finos tiene dos divisiones: un taller de mรกquinas en donde se

fabrican las piezas de los muebles, y una divisiรณn de ensamblaje y terminado en la cual

las piezas son unidas y armadas en un producto terminado. Hay 12 empleados en el

taller y 20 en la divisiรณn de terminado, y cada empleado trabaja 8 horas al dรญa.

Ademรกs, la fรกbrica solo produce dos tipos de muebles: sillas y mesas. Una silla requiere

384/17 horas de mรกquina y 480/17 horas de ensamblaje y terminado. Una mesa

requiere de 240/17 horas de mรกquina y 640/17 horas de ensamblaje y terminado.

Suponiendo que existe una demanda ilimitada de estos productos y que el fabricante

debe mantener a todos sus empleados ocupados, ยฟCuรกntas sillas y mesas puede

producir esta fรกbrica en un dรญa?

RESPUESTA: 3 sillas y 2 mesas

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2. Un campesino alimenta a su ganado con una mezcla de dos tipos de alimento. Una

unidad del tipo A suministra a una cabeza de ganado 10% de sus requerimientos

diarios mรญnimos de proteรญna y 15% de carbohidratos. El tipo B contiene en unidad

estรกndar, 12% del requerimiento de proteรญna y 8% del de carbohidratos. Si el

campesino desea dar a sus animales el 100% de sus requerimientos mรญnimos, ยฟCuรกntas

unidades de alimento debe dar a cada cabeza de ganado diariamente?

RESPUESTA: A = 4 unidades

B = 5 unidades

3. Una empresa fabrica dos productos, A y B. Cada producto tiene que ser procesado por

dos mรกquinas, I y II. Cada unidad del tipo A requiere de 1 hora de procesamiento en la

mรกquina I y 1.5 horas por la mรกquina II. Cada unidad del tipo B requiere de 3 horas en

la mรกquina I y 2 Horas en la mรกquina II. Si la mรกquina I estรก disponible 300 horas al

mes y la mรกquina II 350 horas, ยฟCuรกntas unidades de cada tipo podrรก fabricar al mes la

empresa si utiliza el tiempo total que dispone en las dos mรกquinas?

RESPUESTA: A = 180 unidades

B = 40 unidades

4. La Secretarรญa de Hacienda fija ciertas tasas de impuestos a los primeros $5000 de

ingresos, y una tasa diferente sobre los ingresos por encima de los $5000 pero

menores a los $10 000. El gobierno desea fijar las tasas de impuestos de tal forma que

una persona con un ingreso de $7000 tenga que pagar $950 en impuestos, mientras

que otra con un ingreso de $9000 debe pagar $1400 de impuestos. Encuentre las dos

tasas.

RESPUESTA: Tasa 1 = 22.5%

Tasa 2 = 10%

5. Cierta compaรฑรญa emplea 53 personas en dos sucursales. De esta gente, 21 son

universitarios graduados. Si una tercera parte de las personas que laboran en la

primera sucursal y tres sรฉptimos de los que se encuentran en la segunda sucursal son

universitarios graduados, ยฟCuรกntos empleados tiene cada oficina?

RESPUESTA: Oficina 1 = 18 empleados

Oficina 2 = 35 empleados

6. Una persona tiene tres deudas en diferentes tarjetas de crรฉdito, la suma de todo lo

que debe es de $ 43950. En la tarjeta Platinum le cobran el 2.8% de interรฉs mensual,

en la tarjeta Bรกsica el 1.4% y en la tarjeta Premium el 2%, si mensualmente paga $859

de intereses en total, y si el monto de los intereses mensuales de la tarjeta Platinum y

la Bรกsica son iguales, ยฟCuรกnto debe en cada cuenta?

RESPUESTA: Platinum = $5000

Bรกsica = $10 000

Premium = $28 950

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7. Eduardo, Hugo y Arturo fueron a comprar ropa. Eduardo se comprรณ 3 playeras, 2

pantalones y 5 pares de calcetas y pagรณ $1710. Hugo adquiriรณ 2 playeras, 3 pantalones

y 4 pares de calcetas con $2090 y Arturo, 4 playeras, 2 pantalones y 3 pares de calcetas

por $1730. ยฟCuรกl es el precio de cada artรญculo?

RESPUESTA: Playera = $120

Pantalรณn = $550

Par de calcetas = $50

8. Un viajero reciรฉn regresado de Europa gastรณ en alojamiento, por dรญa, $30 dรณlares en

Inglaterra, $20 en Francia y $20 en Espaรฑa. En comidas, por dรญa, gasto $20 en

Inglaterra, $30 en Francia y $20 en Espaรฑa. Adicionalmente desembolsรณ $10 por dรญa en

cada paรญs en transporte. El registro del viajero indica que gastรณ un total de $340 en

alojamiento, $320 en comidas y $140 en transporte en su recorrido por los tres paรญses.

Calcule el nรบmero de dรญas que permaneciรณ el viajero en cada paรญs.

RESPUESTA: Inglaterra = 6 dรญas

Francia = 4 dรญas

Espaรฑa = 4 dรญas

9. Un granjero suministra tres tipos de alimento a un corral que contiene tres tipos de

aves: gallinas, guajolotes y patos. Las gallinas consumen cada semana, un promedio de

una unidad del alimento 1, una unidad del alimento 2 y dos unidades del alimento 3.

Los guajolotes consumen cada semana un promedio de tres unidades del alimento 1,

cuatro unidades del alimento 2 y cinco unidades del alimento 3. Para los patos, el

consumo semanal promedio es de dos unidades del alimento 1, una unidad del

alimento 2 y cinco unidades del alimento 3. Cada semana se proporcionan 15 000

unidades del alimento 1, 10 000 unidades del alimento 2 y 35 000 unidades de

alimento 3. Suponiendo que los tres alimentos se consumen, ยฟQuรฉ poblaciรณn de

gallinas, guajolotes y patos podrรก coexistir en el corral?

RESPUESTA: DEPENDE DEL NรšMERO DE PATOS,

EL CUAL DEBE SER ENTRE 5000 Y 6000.

10. Un alto ejecutivo de cierta empresa, tuvo que viajar durante varios dรญas a algunas

ciudades por cuestiones de trabajo. En la ciudad de Mรฉxico gastรณ $50 por cada una de

las tres comidas del dรญa, $250 por dรญa de hospedaje, $20 por viaje de taxi del hotel al

lugar de trabajo y viceversa y $110 por dรญa en diversos gastos. En Monterrey gastรณ $80

por cada una de las tres comidas del dรญa, $320 por dรญa de hospedaje, $35 por viaje de

taxi del hotel al lugar de trabajo y viceversa y $140 por dรญa en diversos gastos. En

Guadalajara gastรณ $60 por cada una de las tres comidas del dรญa, $280 por dรญa de

hospedaje, $40 por viaje de taxi del hotel al lugar de trabajo y viceversa y $120 por dรญa

en diversos gastos. Por รบltimo, en la ciudad de Querรฉtaro gastรณ $40 por cada una de

las tres comidas del dรญa, $200 por dรญa de hospedaje, $30 por viaje de taxi del hotel al

lugar de trabajo y viceversa y $110 por dรญa en diversos gastos. Al tรฉrmino del viaje, el

ejecutivo gastรณ $6470, de los cuales el 27.357% fue en comidas, el 42.503% en

hospedaje, el 10.2% en transporte y el 19.938% en diversos gastos. Determina cuantos

dรญas estuvo en cada ciudad.

Page 9: PROBLEMARIO DE ALGEBRA LINEAL EJERCICIO 1 - · PDF filePROBLEMARIO DE ALGEBRA LINEAL EJERCICIO 1 Grafica los siguientes sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas y determina

RESPUESTA: Mรฉxico = 3 dรญas

Monterrey = 2 dรญas

Guadalajara = 2 dรญas

Querรฉtaro = 4 dรญas

11. En un sistema econรณmico de tres industrias supongamos que las demandas externas

son respectivamente, 10, 25 y 20. Supongamos que a11 = 0.2, a12 = 0.5, a13 = 0.15, a21 =

0.4, a22 = 0.1, a23 = 0.3, a31 = 0.25, a32 = 0.5 y a33 = 0.15. Encuentre la producciรณn de

cada industria de forma que su oferta iguale a su demanda.

RESPUESTA: Industria 1 = 110

Industria 2 = 119

Industria 3 = 126

12. En el modelo de Leontief de insumo-producto supongamos que hay tres industrias. Las

demandas externas de cada una son e1 = 10, e2 = 15, e3 = 30 y las demandas internas

son a11 = 1/3, a12 = 1/2, a13 = 1/6, a21 = 1/4, a22 = 1/4, a23 = 1/8, a31 = 1/12, a32 = 1/3,

a33 = 1/6. Encuentra la producciรณn de cada industria suponiendo que la oferta es igual

a la demanda.

RESPUESTA: Industria 1 = 73

Industria 2 = 55

Industria 3 = 65

13. Leontief utilizรณ su modelo para estudiar la economรญa estadounidense en 1958. Clasificรณ

las industrias bรกsicamente en 6 principales grupos:

a) Final no metรกlica FN (muebles, alimentos procesados)

b) Final metรกlica FM (Enseres domรฉsticos, vehรญculos de motor)

c) Bรกsica metรกlica BM (Productos elaborados con maquinaria, minerรญa)

d) Bรกsica no metรกlica BN (agricultura, artes grรกficas)

e) Energรญa E (Petrรณleo, carbรณn)

f) Servicios S (Diversiones, bienes raรญces)

El cuadro que se muestra a continuaciรณn proporciona las demandas internas en 1958

con base en las cifras de Leontief. Las unidades de la tabla son millones de dรณlares. Por

ejemplo, el nรบmero 0.173 en la posiciรณn 6,5 significa que es necesario suministrar

0.173 millones = $173 000 dรณlares de servicios para producir $1 000 000 de dรณlares

equivalente de energรญa.

FN FM BM BN E S

FN 0.170 0.004 0 0.029 0 0.008 FM 0.003 0.295 0.018 0.002 0.004 0.016 BM 0.025 0.173 0.460 0.007 0.011 0.007 BN 0.348 0.037 0.021 0.403 0.011 0.048 E 0.007 0.001 0.039 0.025 0.358 0.025 S 0.120 0.074 0.104 0.123 0.173 0.234

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Finalmente, Leontief estimรณ las siguientes demandas externas en el aรฑo 1958 para la

economรญa estadounidense (en millones de dรณlares).

FN 99 640 FM 75 548 BM 14 444 BN 33 501 E 23 527 S 263 985

ยฟCuรกntas unidades de cada uno de los seis sectores es necesario producir para activar

la economรญa estadounidense de 1958 a fin de poder satisfacer todas las demandas

externas?

RESPUESTA: FN = 131 161

FM = 120 324

BM = 79 194

BN = 178 936

E = 66 703

S = 426 542

EJERCICIO 7 Encuentra la soluciรณn de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales homogรฉneos.

a) โˆ’3๐‘ฅ + 4๐‘ฆ = 0 2๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ = 0

a) ๐‘ฅ = ๐‘ฆ = 0 ๐‘ ๐‘œ๐‘™๐‘ข๐‘๐‘–๐‘œ๐‘› ๐‘ก๐‘Ÿ๐‘–๐‘ฃ๐‘Ž๐‘™

b) ๐‘ฅ1 + ๐‘ฅ2 โˆ’ ๐‘ฅ3 = 0 2๐‘ฅ1 โˆ’ 4๐‘ฅ2 + 3๐‘ฅ3 = 0 3๐‘ฅ1 + 7๐‘ฅ2 โˆ’ ๐‘ฅ3 = 0

b) ๐‘ฅ1 = ๐‘ฅ2 = ๐‘ฅ3 = 0 ๐‘ ๐‘œ๐‘™๐‘ข๐‘๐‘–๐‘œ๐‘› ๐‘ก๐‘Ÿ๐‘–๐‘ฃ๐‘Ž๐‘™

c) ๐‘ฅ + ๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ง = 0 2๐‘ฅ โˆ’ 4๐‘ฆ + 3๐‘ง = 0 โˆ’5๐‘ฅ + 13๐‘ฆ โˆ’ 10๐‘ง = 0

c) 1

6๐‘ง,

5

6๐‘ง , ๐‘ง

๐‘›รบ๐‘š๐‘’๐‘Ÿ๐‘œ ๐‘–๐‘›๐‘“๐‘–๐‘›๐‘–๐‘ก๐‘œ ๐‘‘๐‘’ ๐‘ ๐‘œ๐‘™๐‘ข๐‘๐‘–๐‘œ๐‘›๐‘’๐‘ 

d) ๐‘ฅ1 โˆ’ 2๐‘ฅ2 + ๐‘ฅ3 + ๐‘ฅ4 = 0 3๐‘ฅ1 + 2๐‘ฅ3 โˆ’ 2๐‘ฅ4 = 0 4๐‘ฅ2 โˆ’ ๐‘ฅ3 โˆ’ ๐‘ฅ4 = 0 5๐‘ฅ1 + 3๐‘ฅ3 โˆ’ ๐‘ฅ4 = 0

d) โˆ’4๐‘ฅ4 , 2๐‘ฅ4 , 7๐‘ฅ4 , ๐‘ฅ4 ๐‘›รบ๐‘š๐‘’๐‘Ÿ๐‘œ ๐‘–๐‘›๐‘“๐‘–๐‘›๐‘–๐‘ก๐‘œ ๐‘‘๐‘’ ๐‘ ๐‘œ๐‘™๐‘ข๐‘๐‘–๐‘œ๐‘›๐‘’๐‘ 

e) โˆ’2๐ด + 7๐ท = 0 ๐ด + 2๐ต โˆ’ ๐ถ + 4๐ท = 0 3๐ด โˆ’ ๐ถ + 5๐ท = 0 4๐ด + ๐ถ = 0

e) ๐ด = ๐ต = ๐ถ = ๐ท = 0 ๐‘ ๐‘œ๐‘™๐‘ข๐‘๐‘–๐‘œ๐‘› ๐‘ก๐‘Ÿ๐‘–๐‘ฃ๐‘Ž๐‘™

f) ๐‘ฅ1 โˆ’ 3๐‘ฅ2 = 0 โˆ’2๐‘ฅ1 + 6๐‘ฅ2 = 0 4๐‘ฅ1 โˆ’ 12๐‘ฅ2 = 0

f) ๐‘ฅ1 = 3๐‘ฅ2 ๐‘›รบ๐‘š๐‘’๐‘Ÿ๐‘œ ๐‘–๐‘›๐‘“๐‘–๐‘›๐‘–๐‘ก๐‘œ ๐‘‘๐‘’ ๐‘ ๐‘œ๐‘™๐‘ข๐‘๐‘–๐‘œ๐‘›๐‘’๐‘ 

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EJERCICIO 8 Realiza las operaciones con matrices que se muestran a continuaciรณn.

a) โˆ’4 1 6

โˆ’ โˆ’3 1 5

a) โˆ’1 0 1

b) 3 โˆ’4โˆ’5 1

+ โˆ’2 โˆ’1 7 โˆ’3

b) 1 โˆ’52 โˆ’2

c)

1

2โˆ’

2

3

โˆ’3

4

3

2

+

5

4

5

6

โˆ’1

4โˆ’

7

8

c)

7

4

1

6

โˆ’15

8

d) 3 4 1โˆ’2 0 2โˆ’1 โˆ’3 6

โˆ’ โˆ’4 5 1 2 1 โˆ’3โˆ’1 โˆ’4 5

d) 7 โˆ’1 0โˆ’4 โˆ’1 5 0 1 1

e) 2 3โˆ’5

15โˆ’3 4

e) 1

f) 1 2 โˆ’1 0 3 โˆ’7 4 โˆ’ 2

f) โˆ’15

g) 2

3

1

4โˆ’

1

2

5

2

โˆ’22

3

g) 5

6

h) Sean las matrices:

๐ด = 1โˆ’2 4

๐ต = 0โˆ’3โˆ’7

๐ถ = 4โˆ’1 5

realiza las siguientes operaciones. 1. 2๐ด (3๐ต) 2. ๐ด ๐ต + ๐ถ 3. 2๐ต(3๐ถ โˆ’ 5๐ด)

h)

1. โˆ’132 2. 4 3. 28

i) Sean las matrices:

๐ด = โˆ’3 4โˆ’2 โˆ’1

๐ต = 5 0โˆ’6 1

๐ถ = 6 โˆ’2โˆ’1 0

realiza las siguientes operaciones.

i)

1. 24 โˆ’14 1 2

2. โˆ’17 12โˆ’10 1

3. โˆ’44 12โˆ’22 8

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1. 3๐ถ โˆ’ 2๐ด 2. 2๐ต + ๐ด โˆ’ 4๐ถ 3. ๐ด(2๐ถ) 4. ๐ต ๐ด โˆ’ ๐ถ

4. โˆ’45 30 53 โˆ’37

j) Utiliza un escalar para factorizar las siguientes matrices.

1. โˆ’6 9 โˆ’21

โˆ’12 0 33 0 3 42

2.

1

2โˆ’

5

6

2 โˆ’3

4

j)

1. 3 โˆ’2 3 โˆ’7โˆ’4 0 11 0 1 14

2. 1

12

6 โˆ’1024 โˆ’9

k)

1 4 0 2

3 โˆ’6 2 4 1 0โˆ’2 3

k) 7 16

l) 2 3โˆ’1 2

4 10 6

l) 8 20

โˆ’4 11

m) 3 โˆ’21 4

โˆ’5 6 1 3

m) โˆ’17 12โˆ’1 18

n) 1 4 6โˆ’2 3 5 1 0 4

2 โˆ’3 51 0 63 2 1

n) 24 9 3514 16 1314 5 9

o) โˆ’2 โˆ’1 4 4 0 โˆ’1โˆ’3 5 2

1 2 3 0 โˆ’1 2โˆ’3 โˆ’4 2

o) โˆ’14 โˆ’19 0 7 12 10โˆ’9 โˆ’19 5

p) โˆ’4 5 1 0 4 2

3 โˆ’1 15 6 40 1 2

p) 13 35 1820 26 20

q) 1 6 0 4โˆ’2 3

7 1 42 โˆ’3 1

q) 19 โˆ’17 10 8 โˆ’12 4โˆ’8 โˆ’11 โˆ’5

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r) Comprueba que la matriz ๐ดโˆ’1 es la

matriz inversa de la matriz ๐ด.

๐ด = 2 4 64 5 63 1 โˆ’2

๐ดโˆ’1 =

โˆ’

8

3

7

3โˆ’1

13

3โˆ’

11

3 2

โˆ’11

6

5

3โˆ’1

r) ๐‘†๐‘– ๐‘ ๐‘œ๐‘› ๐‘–๐‘›๐‘ฃ๐‘’๐‘Ÿ๐‘ ๐‘Ž๐‘ 

s) Suponga que un fabricante produce 4 artรญculos. La demanda para los artรญculos

estรก dada por la matriz ๐ท = 30 20 40 10 . Los precios unitarios para los

artรญculos estรกn dados por el vector precios ๐‘ƒ = 20 15 18 40 pesos. Si se

satisface toda la demanda, ยฟCuรกnto dinero recibirรก el fabricante?

RESPUESTA: $2020

t) Un fabricante de joyerรญa tiene pedidos para 2 anillos, 3 pares de aretes, 5

fistoles y 1 collar, estima que requiere 1 hrs de trabajo para elaborar un anillo,

1.5 hrs para hacer un par de aretes, .5 para hacer el fistol y 2 hrs para elaborar

1 collar.

a) Exprese las รณrdenes de trabajo como un vector renglรณn.

b) Exprese los tiempos de elaboraciรณn como un vector columna.

c) Determine el nรบmero total de horas que se requieren para sustituir los

pedidos.

RESPUESTA: 11hrs

u) Un turista regresรณ de viaje por Europa y en su cartera tenรญa 1000 chelines

austriacos, 20 liras italianas y 30 marcos alemanes. En dรณlares americanos el

valor de cada moneda es: 1 chelin = 0.055dls, 1 lira = 0.001dls y 1 marco = 4dls.

a) Exprese en un vector reglรณn la cantidad de cada moneda que tiene el turista

b) Exprese el valor de cada moneda en dรณlares en un vector columna

c) Determine a cuantos dรณlares equivale el dinero en total del turista

RESPUESTA: 175.02 dls

v) Las ventas de cada uno de los tres productos que elabora una gran compaรฑรญa,

sus utilidades brutas por unidad y sus impuestos unitarios se muestran en las

siguientes tablas. Encuentre una matriz que muestre el total de las utilidades e

impuestos en cada uno de los 4 meses.

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MES

VENTAS

PRODUCTO

I PRODUCTO

II PRODUCTO

III

ENERO 4 2 20

FEBRERO 6 1 9

MARZO 5 3 12

ABRIL 8 2.5 20

UTILIDADES TOTALES EN CIENTOS DE MILLONES

IMPUESTOS TOTALES EN CIENTOS DE MILLONES

PRODUCTO I 3.5 1.5

PRODUCTO II 2.75 2

PRODUCTO III 1.5 0.6

RESPUESTA:

MES UTILIDADES EN CIENTOS DE MILLONES

IMPUESTOS EN CIENTOS DE MILLONES

ENERO 49.5 22

FEBRERO 37.25 16.4

MARZO 43.75 20.7

ABRIL 64.875 29 EJERCICIO 9 Determina si las siguientes matrices son invertibles.

a) 2 13 2

a) Es invertible

2 โˆ’1โˆ’3 2

b) 3 2 10 2 20 0 โˆ’1

b) Es invertible

1

6 2 โˆ’2 โˆ’20 3 60 0 โˆ’6

c) 1 6 2โˆ’2 3 5 7 12 โˆ’4

c) No es invertible

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d) 3 1 01 โˆ’1 21 1 1

d) Es invertible

1

8 3 1 โˆ’2โˆ’1 โˆ’3 6โˆ’2 2 4

e)

1 โˆ’ 1 3 โˆ’ 3โˆ’2 6 2 โˆ’ 2 1 3 โˆ’ 1 1 0 2 โˆ’ 1 โˆ’ 2

e) Es invertible

1

36

9 โˆ’ 6 15 0 0 3 6 0 6 4 2 โˆ’ 12โˆ’3 1 5 โˆ’ 12

EJERCICIO 10

1. Dibuja los siguientes vectores en el plano espacial. a) V = ( 3i, 2j, 3k ) b) W = ( โ€“ 2i, 2j, k ) c) U = ( i, โ€“ 4j, 3k ) d) T = ( 2i, j, โ€“ 3k ) e) A = ( โ€“ 2i, 4j, โ€“ 5k )

2. En los siguientes casos, expresa el vector en la forma vectorial cartesiana. a) V = 30u, ฮธ = 150ยบ b) V = 250u, ฮฑ = 60ยบ, ฮฒ = 135ยบ, ฮณ = 60ยบ c) V = 200u, ฮฒ = 60ยบ, ฮณ = 45ยบ

d)

e)

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3. Determina la magnitud y direcciรณn de los siguientes vectores. a) V = ( 4i, โ€“ 2j, โ€“ 4k ) b) V = ( 6i, โ€“ 2.5j )

c)

d)

4. Expresa los vectores mostrados en la figura en la forma vectorial cartesiana.

a)

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b)

5. Determina el resultado de las siguientes operaciones con vectores.

V = ( 2i, โ€“ 4j, k ) W = ( โ€“ 3j, โ€“ 5k ) U = ( โ€“ 6i, โ€“ 3j, 2k )

a) V + W b) U โ€“ W c) 2W + U d) U โ€“ V + 3W e) 5V โ€“ 2U

6. Calcula la magnitud y direcciรณn del vector resultante de la suma de los siguientes vectores. a) V = 40u, 30ยบ ; W = 25u, 210ยบ b) V = ( โ€“ 3i, 2j, 7k ) ; W = ( i, โ€“ 3j, 4k )

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7. Calcula la magnitud del รกngulo entre los vectores en cada caso. Dibuja los vectores y el รกngulo calculado. a) V = ( 3i, โ€“ 4j ) y W = ( 2i, 6j, โ€“ 3k ) b) A = ( 4i, โ€“ 3j, 6k ) y B = ( โ€“ 2i, j, 2k ) c) A = ( 2i, 4j, 8k ) y B = ( 6i, 2j, โ€“ 4k ) d)

8. Calcula el producto cruz entre los siguientes vectores, despuรฉs determina la magnitud y direcciรณn de dicho producto. Dibuja el producto en el plano espacial. Sean los vectores:

V = ( โ€“ 3i, 4j, 6k ) W = ( โ€“ i, โ€“ 2j, 3k )

Determina:

a) V x W

b) W x V

c) W x T

d) U x V

e) V x T

U = ( 4i, j ) T = ( โ€“ 2i, 3k )