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PROBLEMARIO DE ALGEBRA LINEAL
EJERCICIO 1 Grafica los siguientes sistemas de ecuaciones lineales con dos incgnitas y determina su solucin.
a) = 1
+ = 7
a) = 4, = 3
b) + 8 = + 2
4 = + 2
b) Equivalentes
(Nmero infinito de soluciones)
c) + 3 = 6
3 + 9 = 10
c) Paralelas
(No tiene solucin)
EJERCICIO 2 Utiliza cualquiera de los mtodos analticos conocidos para resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.
a) 6 5 = 9
4 + 3 = 13
b) 3 4 = 41 11 + 6 = 47
c) 7 15 = 1 6 = 8
d) 9 + 11 = 14 6 5 = 34
e) 10 3 = 36 2 + 5 = 4
f) 71 42 = 5 91 + 82 = 13
g) 9 + 16 = 7 4 3 = 0
h) 14 11 + 29 = 0 13 8 = 30
i) + 6 = 27 7 3 = 9
j) 3 2 = 2 5 + 8 = 60
k) 31 + 52 = 7 21 2 = 4
a) = 1, = 3
b) = 7, = 5
c) = 2, = 1
d) = 4, = 2
e) = 3, = 2
f) 1 = 1, 2 =1
2
g) =1
3, =
1
4
h) = 1
2, = 2
i) = 3, = 4
j) = 4, = 5
k) 1 = 1, 2 = 2
l) 3 + 2 = 2
2 + 5 = 7
m) 30 8 = 2 + 30 5 29 = 5 4
n) 3
2 + = 11
+1
2 = 7
o) 5
12 = 9
3
4 = 15
p) + + = 12
2 + = 7 + 2 = 6
q) + = 2 + + = 4 2 + 2 = 4
r) 2 + 3 = 1 3 2 = 12 3 2 = 5
s) 6 + 3 + 2 = 12 9 + 4 = 37 10 + 5 + 3 = 21
t) 4 + 2 + 3 = 8 3 + 4 + 2 = 1 2 + 5 = 3
u)
2+
2
3= 3
3+
6
2= 5
6
3+
6= 0
l) = 4, = 9
m) = 4, = 2
n) = 6, = 2
o) = 12, = 4
p) = 3, = 4, = 5
q) = 1, = 1, = 4
r) = 1, = 3, = 2
s) = 5, = 4, = 3
t) = 5, = 3, = 2
u) = 6, = 12, = 18
EJERCICIO 3 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales con el mtodo de eliminacin de Gauss Jordan.
a) 10 3 = 36 2 + 5 = 4
a) = 3, = 2
b) + + = 6 + + 2 = 9 3 = 10
b) = 1, = 2, = 3
c) 21 + 32 + 3 = 1 61 22 3 = 14 31 + 2 3 = 1
c) 1 = 2, 2 = 3, 3 = 4
d) 3 + 6 6 = 9 2 5 + 4 = 3 + 16 14 = 3
d) ( 2
9 +
7
3 ,
8
9 +
1
3 , )
Nmero infinito de soluciones
e) 71 + 32 43 = 35 31 22 + 53 = 38 1 + 2 63 = 27
e) 1 = 1, 2 = 10, 3 = 3
f) 2 33 = 3 21 + 42 3 = 5 41 22 + 53 = 3
f) 1 = 2, 2 = 0, 3 = 1
g) + = 7 4 + 5 = 4 6 + + 3 = 20
g) No tiene solucin
h) 2 = 5 3 6 + 2 = 18 2 + = 8 2 3 + 3 = 4
h) = 2, = 1, = 3, = 1
i) 1 22 + 3 + 4 = 2 31 + 23 24 = 8 42 3 4 = 1 51 + 33 4 = 3
i) ( 18 44 , 15
2 + 24 , 31 + 74 , 4 )
Nmero infinito de soluciones
j) 2 + + = 2 3 + 2 2 = 8 4 = 1 + 6 2 = 7
j) = 2, =1
2, = 3, = 4
k) 2 3 + + 4 = 0 3 + 5 3 = 10
6 + 2 + = 3 + 5 + 4 3 = 6
k) = 3, = 4, = 2, = 5
EJERCICIO 4 Encuentra la solucin de los siguientes determinantes, Utiliza el mtodo que ms se te facilite, el de Sarrus o el de Coeficientes separados.
a) 6 3 2 1
b) 4 52 3
c) 2 5 4 3
d) 5 32 8
e) 5 819 21
a) 0
b) 2
c) 26
d) 46
e) 47
f) 1 2 11 3 41 0 2
f) 7
g) 3 4 1 2 3 0 1 2 7
g) 14
h) 2 5 13 4 36 2 4
h) 44
i) 5 1 62 5 3 3 4 2
i) 115
j) 5 2 83 7 3 4 0 1
j) 171
k) 3 2 51 3 4 3 2 5
k) 0
l)
3 4 2 11 0
23
1 35 021
53
l) 23
m)
5 43 6 2 1
24
9 2 3 14 0
1 5
m) 876
n)
2 3 1 2 3 1
0 1 4 2 5 0
24 3
0 1 3 6 1 1 0 2 3 2
n) 990
EJERCICIO 5 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales con la regla de Crammer.
a) 7 + 8 = 29 5 + 11 = 26
a) = 3, = 1
b) 13 31 = 326 25 + 37 = 146
b) = 6, = 8
c)
4 +
6= 4
8
12= 0
c) = 8, = 12
d) + 4 + 5 = 11 3 2 + = 5
4 + 3 = 26
d) = 2, = 3, = 5
e) 7 + 10 + 4 = 2 5 2 + 6 = 38 3 + = 21
e) = 8, = 5, = 2
f)
3
4+
4= 1
6+
2 = 1
2
8
2= 0
f) = 6, = 8, = 4
g) 2 + 3 + 4 = 3 2 + 6 + 8 = 5 4 + 9 4 = 4
g) = 1 2 , =1
3 , =1
4
h) 3 2 = 1 4 + = 28 + 2 + 3 = 43
h) = 5, = 7, = 8
i) + 2 + = 4 2 + 3 + 4 = 2 3 + + + = 4 6 + 3 + = 3
i) = 3, = 4, = 1, = 2
j) 2 + + 3 = 3 3 + 4 2 = 7 2 + 2 = 1 + 4 + 2 5 = 12
j) = 2, = 3, = 1, = 4
EJERCICIO 6 Plantea el sistema de ecuaciones lineales de cada uno de los siguientes problemas y resulvelo con el mtodo de tu eleccin.
1. Una fbrica de muebles finos tiene dos divisiones: un taller de mquinas en donde se
fabrican las piezas de los muebles, y una divisin de ensamblaje y terminado en la cual
las piezas son unidas y armadas en un producto terminado. Hay 12 empleados en el
taller y 20 en la divisin de terminado, y cada empleado trabaja 8 horas al da.
Adems, la fbrica solo produce dos tipos de muebles: sillas y mesas. Una silla requiere
384/17 horas de mquina y 480/17 horas de ensamblaje y terminado. Una mesa
requiere de 240/17 horas de mquina y 640/17 horas de ensamblaje y terminado.
Suponiendo que existe una demanda ilimitada de estos productos y que el fabricante
debe mantener a todos sus empleados ocupados, Cuntas sillas y mesas puede
producir esta fbrica en un da?
RESPUESTA: 3 sillas y 2 mesas
2. Un campesino alimenta a su ganado con una mezcla de dos tipos de alimento. Una
unidad del tipo A suministra a una cabeza de ganado 10% de sus requerimientos
diarios mnimos de protena y 15% de carbohidratos. El tipo B contiene en unidad
estndar, 12% del requerimiento de protena y 8% del de carbohidratos. Si el
campesino desea dar a sus animales el 100% de sus requerimientos mnimos, Cuntas
unidades de alimento debe dar a cada cabeza de ganado diariamente?
RESPUESTA: A = 4 unidades
B = 5 unidades
3. Una empresa fabrica dos productos, A y B. Cada producto tiene que ser procesado por
dos mquinas, I y II. Cada unidad del tipo A requiere de 1 hora de procesamiento en la
mquina I y 1.5 horas por la mquina II. Cada unidad del tipo B requiere de 3 horas en
la mquina I y 2 Horas en la mquina II. Si la mquina I est disponible 300 horas al
mes y la mquina II 350 horas, Cuntas unidades de cada tipo podr fabricar al mes la
empresa si utiliza el tiempo total que dispone en las dos mquinas?
RESPUESTA: A = 180 unidades
B = 40 unidades
4. La Secretara de Hacienda fija ciertas tasas de impuestos a los primeros $5000 de
ingresos, y una tasa diferente sobre los ingresos por encima de los $5000 pero
menores a los $10 000. El gobierno desea fijar las tasas de impuestos de tal forma que
una persona con un ingreso de $7000 tenga que pagar $950 en impuestos, mientras
que otra con un ingreso de $9000 debe pagar $1400 de impuestos. Encuentre las dos
tasas.
RESPUESTA: Tasa 1 = 22.5%
Tasa 2 = 10%
5. Cierta compaa emplea 53 personas en dos sucursales. De esta gente, 21 son
universitarios graduados. Si una tercera parte de las personas que laboran en la
primera sucursal y tres sptimos de los que se encuentran en la segunda sucursal son
universitarios graduados, Cuntos empleados tiene cada oficina?
RESPUESTA: Oficina 1 = 18 empleados
Oficina 2 = 35 empleados
6. Una persona tiene tres deudas en diferentes tarjetas de crdito, la suma de todo lo
que debe es de $ 43950. En la tarjeta Platinum le cobran el 2.8% de inters mensual,
en la tarjeta Bsica el 1.4% y en la tarjeta Premium el 2%, si mensualmente paga $859
de intereses en total, y si el monto de los intereses mensuales de la tarjeta Platinum y
la Bsica son iguales, Cunto debe en cada cuenta?
RESPUESTA: Platinum = $5000
Bsica = $10 000
Premium = $28 950
7. Eduardo, Hugo y Arturo fueron a comprar ropa. Eduardo se compr 3 playeras, 2
pantalones y 5 pares de calcetas y pag $1710. Hugo adquiri 2 playeras, 3 pantalones
y