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PROBLEMARIO DE ALGEBRA LINEAL

EJERCICIO 1 Grafica los siguientes sistemas de ecuaciones lineales con dos incgnitas y determina su solucin.

a) = 1

+ = 7

a) = 4, = 3

b) + 8 = + 2

4 = + 2

b) Equivalentes

(Nmero infinito de soluciones)

c) + 3 = 6

3 + 9 = 10

c) Paralelas

(No tiene solucin)

EJERCICIO 2 Utiliza cualquiera de los mtodos analticos conocidos para resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.

a) 6 5 = 9

4 + 3 = 13

b) 3 4 = 41 11 + 6 = 47

c) 7 15 = 1 6 = 8

d) 9 + 11 = 14 6 5 = 34

e) 10 3 = 36 2 + 5 = 4

f) 71 42 = 5 91 + 82 = 13

g) 9 + 16 = 7 4 3 = 0

h) 14 11 + 29 = 0 13 8 = 30

i) + 6 = 27 7 3 = 9

j) 3 2 = 2 5 + 8 = 60

k) 31 + 52 = 7 21 2 = 4

a) = 1, = 3

b) = 7, = 5

c) = 2, = 1

d) = 4, = 2

e) = 3, = 2

f) 1 = 1, 2 =1

2

g) =1

3, =

1

4

h) = 1

2, = 2

i) = 3, = 4

j) = 4, = 5

k) 1 = 1, 2 = 2

l) 3 + 2 = 2

2 + 5 = 7

m) 30 8 = 2 + 30 5 29 = 5 4

n) 3

2 + = 11

+1

2 = 7

o) 5

12 = 9

3

4 = 15

p) + + = 12

2 + = 7 + 2 = 6

q) + = 2 + + = 4 2 + 2 = 4

r) 2 + 3 = 1 3 2 = 12 3 2 = 5

s) 6 + 3 + 2 = 12 9 + 4 = 37 10 + 5 + 3 = 21

t) 4 + 2 + 3 = 8 3 + 4 + 2 = 1 2 + 5 = 3

u)

2+

2

3= 3

3+

6

2= 5

6

3+

6= 0

l) = 4, = 9

m) = 4, = 2

n) = 6, = 2

o) = 12, = 4

p) = 3, = 4, = 5

q) = 1, = 1, = 4

r) = 1, = 3, = 2

s) = 5, = 4, = 3

t) = 5, = 3, = 2

u) = 6, = 12, = 18

EJERCICIO 3 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales con el mtodo de eliminacin de Gauss Jordan.

a) 10 3 = 36 2 + 5 = 4

a) = 3, = 2

b) + + = 6 + + 2 = 9 3 = 10

b) = 1, = 2, = 3

c) 21 + 32 + 3 = 1 61 22 3 = 14 31 + 2 3 = 1

c) 1 = 2, 2 = 3, 3 = 4

d) 3 + 6 6 = 9 2 5 + 4 = 3 + 16 14 = 3

d) ( 2

9 +

7

3 ,

8

9 +

1

3 , )

Nmero infinito de soluciones

e) 71 + 32 43 = 35 31 22 + 53 = 38 1 + 2 63 = 27

e) 1 = 1, 2 = 10, 3 = 3

f) 2 33 = 3 21 + 42 3 = 5 41 22 + 53 = 3

f) 1 = 2, 2 = 0, 3 = 1

g) + = 7 4 + 5 = 4 6 + + 3 = 20

g) No tiene solucin

h) 2 = 5 3 6 + 2 = 18 2 + = 8 2 3 + 3 = 4

h) = 2, = 1, = 3, = 1

i) 1 22 + 3 + 4 = 2 31 + 23 24 = 8 42 3 4 = 1 51 + 33 4 = 3

i) ( 18 44 , 15

2 + 24 , 31 + 74 , 4 )

Nmero infinito de soluciones

j) 2 + + = 2 3 + 2 2 = 8 4 = 1 + 6 2 = 7

j) = 2, =1

2, = 3, = 4

k) 2 3 + + 4 = 0 3 + 5 3 = 10

6 + 2 + = 3 + 5 + 4 3 = 6

k) = 3, = 4, = 2, = 5

EJERCICIO 4 Encuentra la solucin de los siguientes determinantes, Utiliza el mtodo que ms se te facilite, el de Sarrus o el de Coeficientes separados.

a) 6 3 2 1

b) 4 52 3

c) 2 5 4 3

d) 5 32 8

e) 5 819 21

a) 0

b) 2

c) 26

d) 46

e) 47

f) 1 2 11 3 41 0 2

f) 7

g) 3 4 1 2 3 0 1 2 7

g) 14

h) 2 5 13 4 36 2 4

h) 44

i) 5 1 62 5 3 3 4 2

i) 115

j) 5 2 83 7 3 4 0 1

j) 171

k) 3 2 51 3 4 3 2 5

k) 0

l)

3 4 2 11 0

23

1 35 021

53

l) 23

m)

5 43 6 2 1

24

9 2 3 14 0

1 5

m) 876

n)

2 3 1 2 3 1

0 1 4 2 5 0

24 3

0 1 3 6 1 1 0 2 3 2

n) 990

EJERCICIO 5 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales con la regla de Crammer.

a) 7 + 8 = 29 5 + 11 = 26

a) = 3, = 1

b) 13 31 = 326 25 + 37 = 146

b) = 6, = 8

c)

4 +

6= 4

8

12= 0

c) = 8, = 12

d) + 4 + 5 = 11 3 2 + = 5

4 + 3 = 26

d) = 2, = 3, = 5

e) 7 + 10 + 4 = 2 5 2 + 6 = 38 3 + = 21

e) = 8, = 5, = 2

f)

3

4+

4= 1

6+

2 = 1

2

8

2= 0

f) = 6, = 8, = 4

g) 2 + 3 + 4 = 3 2 + 6 + 8 = 5 4 + 9 4 = 4

g) = 1 2 , =1

3 , =1

4

h) 3 2 = 1 4 + = 28 + 2 + 3 = 43

h) = 5, = 7, = 8

i) + 2 + = 4 2 + 3 + 4 = 2 3 + + + = 4 6 + 3 + = 3

i) = 3, = 4, = 1, = 2

j) 2 + + 3 = 3 3 + 4 2 = 7 2 + 2 = 1 + 4 + 2 5 = 12

j) = 2, = 3, = 1, = 4

EJERCICIO 6 Plantea el sistema de ecuaciones lineales de cada uno de los siguientes problemas y resulvelo con el mtodo de tu eleccin.

1. Una fbrica de muebles finos tiene dos divisiones: un taller de mquinas en donde se

fabrican las piezas de los muebles, y una divisin de ensamblaje y terminado en la cual

las piezas son unidas y armadas en un producto terminado. Hay 12 empleados en el

taller y 20 en la divisin de terminado, y cada empleado trabaja 8 horas al da.

Adems, la fbrica solo produce dos tipos de muebles: sillas y mesas. Una silla requiere

384/17 horas de mquina y 480/17 horas de ensamblaje y terminado. Una mesa

requiere de 240/17 horas de mquina y 640/17 horas de ensamblaje y terminado.

Suponiendo que existe una demanda ilimitada de estos productos y que el fabricante

debe mantener a todos sus empleados ocupados, Cuntas sillas y mesas puede

producir esta fbrica en un da?

RESPUESTA: 3 sillas y 2 mesas

2. Un campesino alimenta a su ganado con una mezcla de dos tipos de alimento. Una

unidad del tipo A suministra a una cabeza de ganado 10% de sus requerimientos

diarios mnimos de protena y 15% de carbohidratos. El tipo B contiene en unidad

estndar, 12% del requerimiento de protena y 8% del de carbohidratos. Si el

campesino desea dar a sus animales el 100% de sus requerimientos mnimos, Cuntas

unidades de alimento debe dar a cada cabeza de ganado diariamente?

RESPUESTA: A = 4 unidades

B = 5 unidades

3. Una empresa fabrica dos productos, A y B. Cada producto tiene que ser procesado por

dos mquinas, I y II. Cada unidad del tipo A requiere de 1 hora de procesamiento en la

mquina I y 1.5 horas por la mquina II. Cada unidad del tipo B requiere de 3 horas en

la mquina I y 2 Horas en la mquina II. Si la mquina I est disponible 300 horas al

mes y la mquina II 350 horas, Cuntas unidades de cada tipo podr fabricar al mes la

empresa si utiliza el tiempo total que dispone en las dos mquinas?

RESPUESTA: A = 180 unidades

B = 40 unidades

4. La Secretara de Hacienda fija ciertas tasas de impuestos a los primeros $5000 de

ingresos, y una tasa diferente sobre los ingresos por encima de los $5000 pero

menores a los $10 000. El gobierno desea fijar las tasas de impuestos de tal forma que

una persona con un ingreso de $7000 tenga que pagar $950 en impuestos, mientras

que otra con un ingreso de $9000 debe pagar $1400 de impuestos. Encuentre las dos

tasas.

RESPUESTA: Tasa 1 = 22.5%

Tasa 2 = 10%

5. Cierta compaa emplea 53 personas en dos sucursales. De esta gente, 21 son

universitarios graduados. Si una tercera parte de las personas que laboran en la

primera sucursal y tres sptimos de los que se encuentran en la segunda sucursal son

universitarios graduados, Cuntos empleados tiene cada oficina?

RESPUESTA: Oficina 1 = 18 empleados

Oficina 2 = 35 empleados

6. Una persona tiene tres deudas en diferentes tarjetas de crdito, la suma de todo lo

que debe es de $ 43950. En la tarjeta Platinum le cobran el 2.8% de inters mensual,

en la tarjeta Bsica el 1.4% y en la tarjeta Premium el 2%, si mensualmente paga $859

de intereses en total, y si el monto de los intereses mensuales de la tarjeta Platinum y

la Bsica son iguales, Cunto debe en cada cuenta?

RESPUESTA: Platinum = $5000

Bsica = $10 000

Premium = $28 950

7. Eduardo, Hugo y Arturo fueron a comprar ropa. Eduardo se compr 3 playeras, 2

pantalones y 5 pares de calcetas y pag $1710. Hugo adquiri 2 playeras, 3 pantalones

y