130

Unitatearen aurkezpena

•Unitatehonetangeometrialantzenhasikogara.Kontzeptueta

prozeduraezagunakgogoratuetaindartukoditugu,etabeste

batzukaurkeztukoditugu:

– Irudilauak.Unitatekohainbatataletan,poligonoenetazirkun-

ferentziarenzenbaitpropietateberrikusikoditugu.

–Angeluakpoligonoetanetazirkunferentzian.

–Triangeluenantzekotasuna.

–Pitagorasenteoremaetaharenaplikazioak.Horietatik,teore-

marenerabileraaljebraikoaaurkeztukodugu:bitriangeluzu-

zenerlazionatukoditugu,etahorrela,aljebraikoki,luzeraeze-

zagunbatedobilortukoditugu.

–Lekugeometrikoenkontzeptuaaurkezteko,zenbaitirudieza-

gunberrikusikoditugu(erdibitzailea,erdikaria,zirkunferentzia).

Gero,kontzeptuabesteirudibatzuetaraaplikatukodugu,be-

rezikihirukonikoei.

– Irudilauenazalerakberrikustenamaitzeko,Heronenformula

ikusikodugu.Formulahoritriangelubatenazaleralortzeko

erabilikodugu,harenhirualdeenluzerazeindenjakinik.

• Ikasleengeometria-gaitasunahobetzeko,ikuspegigeometrikoaetakalkuluabateralandukoditugu.

Gutxienekoezaguerak

Unitateaamaituorduko,ikasleekezaguerahauekjakinbeharkodi-tuzte,gutxienez:

•Erlazioangeluarrakpoligonoetanetazirkunferentzietan.

•Pitagorasenteoremazuzeneanaplikatzekotrebetasunaizatea:triangeluzuzenbatensegmentubatenluzeralortzea,triangeluaberaidentifikatuzetaPitagorasenteoremaaplikatuz.

•Lekugeometrikoarenkontzeptuaezagutzeaetazenbait irudiezagunkontzeptuarekinlotzea.

•Hirukonikenezaugarriakazaltzekogaiizatea.

•Irudilauenazalerakkalkulatzentrebeaizatea.

Osagarrigarrantzitsuak

Komenidaikasleakedukiosagarriakerabiltzea,ikasketa-prozesuaosatzeko.Unitatehonetan,honelakoekintzakproposatukodira:

•Pitagorasenteoremaaljebraikokiaplikatzea.

10 Problema metrikoak planoan

130

Unitatearen eskema

GEOMETRIA LAUAREN ELEMENTUAK

INSKRIBATUTAKOANGELUENETA

ERDIKOENARTEKOERLAZIOA

POLIGONOBATEN

ANGELUENBATUKETA

ESKALAKANTZEKOTASUN-ARRAZOIA

TALESENTEOREMA

POLIGONOETAN ZIRKUNFERENTZIAN

IRUDIANTZEKOAK

PLANOAKETAMAPAK

TRIANGELUANTZEKOAK

LUZERENKALKULUA

TRIANGELUENSAILKAPENA

POLIGONOAKIRUDI

KURBATUAK

ERLAZIOANGELUARRAK

ANTZEKOTASUNAPITAGORASEN

TEOREMAIRUDILAUENAZALERAK

131

•Triangeluenantzekotasunaerabiltzea,irudigeometrikoetanerla-ziolinealakedoangeluarraklortzeko.

•Konikaklekugeometrikogisadefinitzea,etabilbeegokiakerabi-lizkonikakeraikitzea.

•Triangelubatenazalerakalkulatzea,Heronenformulaerabiliz.

• Ikasleekgeometriatestuinguruhistorikoankokatzea,etahorrenbaloraziopositiboaegitea.

Lanakaurreratu

•Makilaketaneurketa-zintakaltuerakneurtzekoerabiltzea,eguneguzkitsubatean.

•Plastilina,buztinaedobestematerialxaflakorrakerabiltzea,konoitxuraemanezmoldeatzeko.Horrela,kuterrarekinebakitzean,ko-nikakargiikusikoditugu.

LANKIDETZAN IKASI PENTSAMENDU ULERKORRA PENTSAMENDU KRITIKOA

188.or.PDhonetaniradokitakoariketa. 185.or.1etik5erakoariketak.(*) 198.or.6.ariketa.(*)

187.or.Ariketaebatzia.(*) 203.or.«Egingogoetateoriariburuz».(*)

189.eta190.or.Ariketaebatziak.(*)

196.eta197.or.Ariketaetaproblemaebatziak.(*)

199.or.10.ariketa.(*)

200.or.21.ariketa.(*)

DIZIPLINARTEKOTASUNA IKT EKIMENA PROBLEMAK EBAZTEA

182.or.PDhonetaniradokitakoariketa.

183.or.1.ariketa.(*) 183.or.2.(*)eta3.(*)ariketak. Ikaslearenliburuanproposatutakoproblemaguztiakatalhonidagozkio.Jarraian,interesbereziadutenbatzukadierazikoditugu.

187.or.2.ariketa.(*) 189.or.8.eta9.ariketak.

188.or.4.ariketa.(*) 190.or.1.(*)eta2.(*)ariketak.

191.or.1etik4rakoariketak.(*) 195.or.1.ariketa.(*)

193.or.1.(*)eta2.(*)ariketak. 201.or.28.(*),32.(*)eta35.(*)ariketak.

199.or.13.ariketa.(*) 202.or.40.(*),42.(*)eta43.(*)ariketak.

200.or.24.ariketa.(*) 203.or.48.,52.(*)eta54.(*)ariketak.

204.or.«Orokortu».(*) 205.or.«Trebatuproblemakebatziz».(*)

Jarraianaurkeztukoduguntaulan,lankidetza,pentsamenduulerkorra,pentsamendukritikoa,diziplinartekotasuna,IKTak,ekimenaetaproblemenebazpenalantzekoariketasortabatproposatukodugu.Horietakobatzukikaslearenliburuanproposatuditugu,etahemenadieraziditugubakoitzaridagokionorrialdeaetaariketa.Besteariketabatzuk,ordea,pro-posamendidaktikoanbertanjasoditugu.

Iradokizunhorienaukeraketabatikaslearenliburuandagoadierazita,ikonobatekin;hemen,izartxo(*)batekinadieraziditugu.

132

Unitatea hasteko

•Talesgreziarmatematikaren,zientziarenetafilosofiarensortzaileaizanzelaesandezakegu.Horrezgain,jakintza-adarguztiensortzaileaizanze-laesanizanda.Agiangehiegizkoadahoribaieztatzea,bainaaskiziurradamatematikaabstraktuaren,espekulatiboarenetazorrotzaren«asma-tzailea»izanzela.

•Euklidesekaberastu,antolatuetasistematizatueginzitueneskuraizanzituenmatematika-ezaguerak,moduarrakastatsuaneginere.Izanere,harenElementuakerreferentziazkoliburuizandahogeimendetanzehar.

•Apoloniokgreziarmatematikarenestiloabstraktuarieutsizion.Harenekarpenikgarrantzitsuenakonikenazterketada.

•Interesgarriaizandaitekeikasleekhoniarretajartzea:nolaerabatforma-laetaespekulatiboadenteoriabat(konikaketahaienpropietateak),denborarenpoderioz(hainbatmenderenondoren),errealitatefisikoa(planetenorbitak,kometak,sateliteak)azaltzekoeredubihurtzenden.

Apolonioren aurreko konikak

Atalhonetan,konikaksailkatzekobestemodubatdagoelaikusikodugu,hainzuzenereazalerakonikoaduenplanobatenebakitzegisa.

Orohar,konikakplanoakardatzarekinsortzenduenangeluarenaraberasailkatzendira.Halaere,kasuhonetan,planoarenebakitze-angeluaezdaaldatu;konomotaaldatuda,etakonozuzen(parabola),zorrotz(elipsea)etakamuts(hiperbolea)bihurtuda.

Sekzioak kuboan

Kuboaplanoarekinebakiz,osopoligonointeresgarriaksortzendira.

Hainbatproblemamotaplanteatukoditugu,adibidez:nolaaurkitukubobatplanobatekinebakitzeanlortzendenhexagonorikhandiena,edohexagonohorrenazalerakalkulatzea.

Diziplinartekotasuna Honakoariketahauiradokitzendugu:

Irakurgaianaipatutakomatematikarieiburuzkoinformazioasakontzea,etajakintzarenbestezerarlotannabarmenduzirenikertzea.

«Ebatzi» atalaren soluzioak

1 Erantzunirekia.

2 Lehenengokonoarekin(r<h),elipsealortukogenuke.

Bigarrenkonoarekin(r>h),hiperbolalortukogenuke.

Hirugarrenkonoarekin(r=h),parabolalortukogenuke.

3 Laukizuzenakdituperimetroriketaazalerarikhandienak.

183182

10 Problema metrikoak planoan

Ebatzi

1. Jo Greziako zazpi geometra handiri buruzko informazio bila. Ida-tzi horien izenak kronologiaren araberako ordenan.

2. Erreparatu honako kono hauei; goikoak bezalakoak dira, baina ez daude ordena berean:

r < h r > h r = h

Zer konika lortuko zenuke kasu bakoitzean, sortzailearekiko plano per-pendikularraren bidez ebakiz gero? Plastilinazko konoak ebakiz eta aizto eta kuterrarekin ebakiz saia zaitezke.

3. Goian ikusten duzun kuboaren hiru sekzioetatik, zure ustez, zeinek du perimetrorik handiena? Eta azalerarik handiena? Unitatea amaitzen du-zunean, galdera horiei segurtasunez erantzuten jakingo duzu.

Apolonioren aurreko konikak

Antzinako Grezian, konikak Apoloniok baino lehenago ere erabiltzen zituzten, baina ez zituzten ondo eta osoan ezagutzen.Hartu kontuan nola definitzen zituzten: Konoa eraiki eta sortzailearekiko perpendikular den planoaren bidez ebakiz gero, kurba lortzen da:A Konoa zuzena izanez gero (r = h), orduan ebakitze-kurba parabola

da. B Konoa zorrotza izanez gero (r < h), kurba elipsea da.C Konoa kamutsa izanez gero (r > h), kurba hiperbolaren arkua da.(Konparatu definizio horiek 192. orrialdekoekin).

Sekzioak kuboan

Unitate honetan, irudi lauei buruzko problemak ebatziko dituzu: ange-luen, perimetroen, azaleren eta abarren kalkuluak.Eskuinean, kuboa ebakiz lortzen diren irudi interesgarri batzuk ageri dira. Irudi horietako bakoitzaren perimetroa eta azalera duela hogeita hiru mende baino gehiago greziar geometrek egin zituzten ekarpenen bidez kalkula daitezke. Horien artean, Pitagorasen teoremak aparteko erabilgarritasuna du zeregin horretan.

A

B

C

h

r

Apolonio bere teoriak azaltzen Alexandrian (Egipto).

Gaurko Atenasko Akademia, Platon eta Sokrates alboetan dau-dela.

Greziarrak eta geometriaGreziarrek bildu egin zuten egiptoarrek eta babilonia-rrek milaka urtean metaturiko jakinduria matematikoa (praktikoa, erabilgarria, baina oso zabala), eta berebiziko bultzada eta kalitatea eman zioten; geometriari, batez ere. Ezagutzak jakinduria hutsaren bila landu zituzten greziarrek (filosofia hitzak jakinduria maitatzea esan nahi du), erabil-garritasun praktikorik lortu nahi gabe. Geometria zeregin ederra izan zuten eta oso urrun iritsi ziren arlo horretan.

Handietan lehenengoaTales Miletokoa (640 K.a.-546 K.a.), filosofo handia «Greziako zazpi jakintsuetako» lehenengoa izan zen eta geroagoko greziar pentsaeraren bidea zehaztu zuen. Egip-toarrengandik ikasi zuena bereganatu eta hobetzeaz gain, matematika deduktiboa asmatu eta landu zuen. Euklidesek, bi mende geroago, sistematizatu eta hobetu egin zuen Tale-sen estiloa.

Beste geometra handi bat Pitagorasen ostean eta Arkimedesen garaikide, Greziako azken geometra Apolonio izan zen (iii. mendea K.a.). Estilo landu eta sistematikoa erabiliz, konikak deritzen zirkunfe-rentzia, elipse, parabola eta hiperbolari buruzko tratatua ida-tzi zuen. Greziarren jokabideari jarraituz, kurba horiei buruz egin zuen azterketa, erabat osoa, espekulazio hutsa izan zen. Harrituta geldituko zen, hemezortzi mende geroago pla-netek eta kometek orbita eliptikoak eta, astro horietako batzuek, hiperbolikoak deskribatzen dituztela aurkituko zela jakin izan balu. Baita, geroago, konikak teknikan eta artean erreferentzia-puntu izan direla jakin balu ere.

«Greziako zazpi jakintsuak», ezkerrean, eztabaidan ari direla.

OHARRAK

133

Iradokizunak

•Errazadafrogatzeatriangelubatenangeluenbatura180ºdela.Edozeintriangeluebakizgero,angeluaktolesditzakegu,angelulaubat(hauda,180º)osatzeko.Grafikokiereadierazdaiteke,txandakakobarne-ange-luakerabiliz.

•Poligonoarruntbatenangeluenbaturaerrazkalkulatzekomodukoada;horretarako,poligonoatriangelatubeharda.

•Zirkunferentzianangeluakadierazteko,hauegiteairadokitzendugu:hasteko,zirkunferentziabatengaineanneurrijakinbatekoangeluzen-tralakmarraztea,etagero,haienarkuberahartzendutenzenbaitangeluinskribatumarraztea.Angeluinskribatuhoriekneurtzean,ikasleekfroga-tukodutedenekdutelazabalerabera;hainzuzenere,dagokionangeluzentralarenerdiarena.Hauda,hasieran,erlazioakmoduesperimenta-leanikasikoditugu.

•Aukerabaliatukoduguhipotesibatetaegiaztatutakoegiabatbereizibehardirelaargudiatzeko.Izanere,arestianegindakoariketeiesker,pentsadezakegubetibetetzendenerlaziobataurkitudugula.Halaere,suposatzebatbainoezda(hipotesibat),etaegitategisaaurkezteko,demostratubeharkodugu.Halaber,egiaztatugabekokasu(infinitu)guztietanerebetetzendelaarrazoitubeharkodugu.

•Mailahonetakoikasleekdemostrazioerrazakegitenhasdaitezke;ana-yaeducacion.eswebguneanadibidebattopatukodute.

Indartu eta sakondu

Honakohauekgomendatzendira:

•MATEMATIKA-ARIKETAKizeneko4.koadernotik:

Indartzeko:9.orrialdeko5.eta6.ariketak.

Sakontzeko:10.orrialdeko10.eta11.Ariketak.

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

1 Arkuetakobakoitza:45°

ABC%

=45° ACB%

=90°

FDE%

=22°30' DEF%

=112°30'

DFG%

=90° FGD%

=67°30'

2 Arkuetakobakoitza:36°

CAB%

=18° ABC%

=90°

BCA%

=72° CAD%

=54°

ADC%

=90° ACD%

=36°

3 FAC% =90°

ACF%

=30°

AFC%

=60°

FBD%

=60°

BDE%

=90°

DEF%

=120°

BFE%

=90°

4 a) CAD% =20° b)ADB% =50°

c) ADV%

=130° d)AVD%

=30°

5 a) CBD% =20° b)ADB% =50°

c) BVD%

=110° d)AVB%

=70°

185184

Kasu berezi interesgarriaP eta Q diametro baten muturrak dira.

P QA% eta P QB% angeluak zirkunferentzierdi batean inskribatuta daude. 180°-ko arkua hartzen dute barnean. Horien neurria 90° da; angelu zuzenak dira, beraz.

Zirkunferentzierdian inskribatuta dauden angelu guztiak zuzenak dira.

Poligonoetako angeluakEdozein triangelutako angeluen batura 180° da. n aldeko poligonoa n – 2 triangelutan deskonposa daiteke. Ondorioz:

n aldeko poligonoko angeluen batura 180° (n – 2) da.

n-agono erregular baten angelu bakoitzaren neurria: ° ( )nn180 2– .

Adibidez, pentagonoa 3 triangelutan zatitu daiteke. Ange-luen batura 3 · 180° = 540° da, ondorioz.Pentagonoa erregularra izanik, angelu bakoitza:

540° : 5 = 108°

Zirkunferentziako angeluak ■ angelu zentrala

PQ%

arkuaren neurri angeluarra POQ% angelua da; angelu horren erpina zirkunferentziaren zentroan dago. Angelu zentral esaten zaio.

PQ%

arkuaren neurria dagokion angelu zentrala-

rena da: PQ POQ=% %

■ angelu inskribatuaa, b eta g angeluek honako berezitasun hau dute: horien erpina zirkunferen-tzian dago; aldeak P-tik eta Q-tik pasatzen dira. Angelu horiek zirkunferentzian inskribatuta daudela eta arku bera, PQ

%, hartzen dutela esaten da.

Zirkunferentzian inskribatuta dagoen angeluaren neu-rria barnean hartzen duen arkuaren erdia da; hau da, dagokion angelu zentralaren erdia.Ondorioz, zirkunferentzian inskribatuta dauden eta arku bera barnean hartzen duten bi angelu berdinak dira.

a

a

2a 2a

1 Angelu-erlazioak

O

P

Q

a

A

B

C

P

Q

a

b

g

PQ

Ariketa ebatziaHonako angelu hauek zer neu-rri duten kalkulatzea:

DAB,

BCD,

DCE ,

BEC

A

B C

D

E

Zirkunferentzia bost arku berdinetan dago zatituta. Arku bakoitzaren neurria 360° : 5 = 72° da.Aipatu diren lau angeluak zirkunferentzian inskribatuta daude, horien erpinak bertan dauden eta aldeek ebakitzen dutenez gero. Bakoitzaren neurria barnean hartzen duen arkuaren neurriaren erdia da, beraz.

DCE% eta BEC% -k 72°-ko angelua hartzen dute. Beraz, DCE% = BEC% = 72°/2 = 36°.

DAB% angeluak 2 · 72°-ko arkua hartzen du barnean. Ondorioz, DAB% = 72°.

BCD% -k 3 · 72° = 216°-ko arkua hartzen du. Beraz, BCD%  = 216°/2 = 108°.

Ariketa ebatziaAlde handia berdina duten eskuaira eta kartaboia ditugu. Atxikita jarriko ditugu alde horiek bat etorraraziz. Eratzen den laukia, inskribatu al dai-teke zirkunferentzian?

Eskuaira triangelu isoszele eta zuzena da. Angeluen neu-rriak 45°, 45° eta 90° dira. Angelu zuzena denez, zirkun-ferentzierdian inskriba daiteke.

Kartaboiaren angeluak 30°, 60° eta 90° dira. Zirkunfe-rentzierdian inskriba daiteke, orduan.

Ondorioz, bi irudiak atxikita jarriz gero eratzen den laukia zirkunferentzian inskriba daiteke eta zirkunfe-rentzia horren diametroa bi irudion alde nagusia da.

1. Zirkunferentzia zortzi arku berdinetan zatitu da. Zer neu-rri du arku horietako ange-luak? Adierazi zer balio duten ABC% , ACB% , FDE% , DEF% , DFG% eta FGD% angeluek.

A B

C

FG

D

E

2. Zenbat da hamar arku berdi-netako bakoitzaren neurri an-geluarra? Kalkulatu zenbat ba-lio duten CAB% , ABC% , BCA% , CAD% , ADC% eta ACD% an-geluek. A

B

C

D

3. Adierazi, arrazoiak emanez, zenbat balio duten honako angelu hauek:

FAC% , ACF% , AFC% , FBD% ,BDE% , DEF% , BFE% .

A

B

C

D

E

F

4. Kalkulatu:

a) CAD% = 1 b) ADB% = 2

c) ADV% d) AVD% = α

a V

B

AC

D AB = 100°CD = 40°

2100°40°

1

5. Kalkulatu:

a) CBD% = 1 b) ADB% = 2

c) BVD% d) AVB% = α

aV

B

AC

D100°

40°

AB = 100°CD = 40°

21

Pentsatu eta egin

P

A

Q

OB

Teoria sakontzea: propietate hori frogatzea.

Webgunean

134

Iradokizunak•Triangeluenantzekotasunaosogarrantzitsuada,edozeinpoligonotrian-

gelutandeskonposabaitaiteke.Horidelaeta,honakohaubaieztade-zakegu:edozeinbipoligonorenartekoantzekotasuna,azkenbatean,triangeluenartekoantzekotasunada.

•ArgidagoTalesenposizioandaudenbi triangeluantzekoakdirela.Hortaz,Talesenposizioan«jardaitezkeen»bitriangeluantzekoakdirelaesangodugu.

Antzekotasun-irizpidehaubakarrikhartudugukontuan,beraubaitahe-menerabiltzendugunbakarra.Halaere,anayaeducacion.eswebgu-nean,irakasleaktriangeluenantzekotasunariburuzkoinformazioosaga-rrihauaurkitukodu:irizpideguztiak,etahoriektriangelueneraketarekindutenerlazioa.

•Komenidaikasleekirizpidehoritriangeluzuzenetaraaplikatzea:bitrian-geluzuzenekangeluzorrotzberabadute,antzekoakizangodira.

Pentsamendu kritikoa Irakasleakkomenigarrijokobalu,ariketahauekegiteairadokitzenditugu:

– Txartoebatzitakoariketakaurkeztu,etaikasleeiakatsakaurkitzekoeska-tu.

– Zuzenduetaeztabaidatu,binaka,ikaskidearenlana.

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

1 Diagonalakneurrihaudu:6+6 5 =19,4cm.

2 BAC% etaFED% =CED% angeluakberdinakdira,pentagonoarizirkuns-kribatutakozirkunferentzianinskribatutabaitaude,etaarkuberdinakhartzenbaitituzte:

BC CD=% &

=360°:5=72°

Eraberean,gainerakoangelu-pareguztienberdintzaerefrogatude-zakegu.

Triangeluhorienantzekotasunariesker,honakohauondorioztade-zakegu:

8ACAB

EDEF

d ld ll –= =

l=1hartuz→(d–1)d=1→d2–d–1=0→d=2

1 5+

187186

Triangeluen antzekotasun-irizpideaBi triangeluk bi angelu hurrenez hurren berdin baldin badituzte, antzekoak dira; ikusi dugunez, Talesen posizioan jar daitezke eta.

Bi triangeluk bi angelu hurrenez hurren berdin dituztela egiaztatuz gero (A^ = A^' eta B^ = B^' ), antzekoak direla jakingo dugu; hau da:

— Beste angeluak ere berdinak direla: C^ = C^'

— Aldeak proportzionalak direla: ' ''a

abb

cc= =

Beste irudien kasuan bezala, bi triangelu antzekoak dira forma bera izanez gero. Hala ere, aldeak eta angeluak erlazioan jarriz, baldintza hori era matematikoa-goan adieraz daiteke.

A

B

A'

B'

C'a'

c'

b'

C

a

b

c

Bi triangelu antzekok dituzte:

•Alde proportzionalak:

' ''aa

bb

cc= = = antzekotasun-arrazoia

•Angeluak berdinak hurrenez hurren:

A^ = A^' B^ = B^' C^ = C^'

Triangeluak Talesen posizioanEzkerrean ageri diren ABC eta AB'C' triangeluek angelu komuna dute, A^. Hau da, triangelu txikia handian sartuta dago.

Horrez gainera, A-ren aurkako aldeak paraleloak dira.

Bi triangelu horiek Talesen posizioan daudela esaten da.

Talesen posizioan dauden bi triangelu antzekoak dira.

Emaitza hori garrantzi handikoa da, bi triangelu antzekoak direla seguru izateko eskatzen diren baldintzak murrizten uzten duelako.

Eta gehiago zabaldu daiteke:

Bi triangelu antzekoak dira Talesen posizioan jarri ahal izanez gero.

Irizpide hori erabiliko dugu bi triangeluk bi alde hurrenez hurren berdin izanez gero (A^ = A^', B^ = B^' ), txikia handian sartu ahal izango dugula frogatzeko, angelu komunetako bat (A^ = A^' ) bat etorraraziz.

A

B

A'

B'B'

C'

C' C

Beste angelua ere berdina denez (B^ = B^' ), A-ren aurkako aldeak paraleloak izango dira.

Ondorioz, bi triangeluak Talesen posizioan egongo dira eta antzekoak direla ziurta dezakegu.

2 Triangeluen antzekotasuna

A

B

B'

C'

a'

C

a

Antzekotasun-irizpideaA^ = A

^' eta B

^ = B

^' izanez gero, orduan:

C^ = C

^' eta

' ' 'aa

bb

cc= =

Ariketa ebatziaACD eta AFE triangeluen antzekotasuna erabiltzea pen-tagono baten diagonalaren, d, eta aldearen, l, arteko erla-zioa lortzeko.

A

B E

C D

F

•Laranja koloreko triangelua eta triangelu urdina antzekoak direla egiaztatzea.Triangeluok bi angelu pare berdin dituztela egiaztatuko dugu. Horretarako, irudia zirkunferentzian inskribatuko dugu. Pentagono erregularra denez, erpinen arteko bost arkuak berdinak dira.

1' = 1 zirkunferentzian inskribatuta daudelako eta arku berdinak barnean hartzen dituztelako.

2' = 2 arrazoi beragatik.F

1 1'2'

2

•Aldearen, l, eta diagonalaren, d, arteko erlazioa kalkulatzea.Bi triangeluak antzekoak direnez, aldeak proportzionalak dira. Pentagonoaren aldea, l = 1 hartuko dugu unitate. Hortik, CF AF AE 1= = = . Eta, ondo-rioz, FE = d – 1.

dd1 1

1–

= → d 2 – d = 1 → d 2 – d – 1 = 0

d = ± 21

21 1 4 5±=+

Soluzio positiboak baino ez du zentzua.

d – 1dd

1

1

1

Eskatu den erlazioa da: dl

d1= = d = 2

1 5+ ≈ 1,618…

Pentagonoaren diagonalaren eta horren aldearen arteko erlazioa adierazten

duen zenbaki horri, 21 5+ , urrezko zenbaki esaten zaio eta honako greziar

letra honen bidez izendatzen da: Φ (fi).

1. Errepikatu ariketa ebatziko arrazoibidea, baina orain pentagonoaren aldea 12 cm-koa dela jota. Zenbat da pentagonoaren diagonala?

2. Frogatu goiko pentagonoko ABC eta EFD triangeluak antzekoak direla. Horretan oinarri hartuta, lortu berriz ere zer erlazio dagoen d eta l-ren artean.

Pentsatu eta egin

Teoria sakontzea: Talesen teorema.Webgunean

• Talesen teorema aurkeztea.• Praktikatu Talesen posizioan

dauden triangeluekin.• Triangeluen antzekotasuna eta

urrezko proportzioa.

Webgunean

Antzekotasun-irizpideak.

Webgunean

Teoria sakontzea: triangeluen antzekotasun-irizpideak.

Webgunean

Ebatzi «Keopsen piramidea» problema.Webgunean

OHARRAK

135

Iradokizunak

•Pitagorasenteoremabimodutaraaurkeztukodugu:batetik,triangeluzuzenbatenaldeenluzerenartekozenbakizkoerlaziogisa(ohikoazalpe-na);bestetik,aldehoriengaineaneraikitakokarratuenazalerenartekogeometria-erlaziogisa:

Hipotenusaren gainean eraikitako karratuaren azalera eta katetoen gai-nean eraikitako karratuen azaleren batura berdinak dira.

Halaber,ikasleeigogoratukodiegugeometria-erlaziohorrektriangeluzuzenbatekoaldeetatikeraikitakoedozeinantzekoirudietarakobalioduela(adibidez:zirkuluerdiak,hexagonoerregularrak,etab.).

•Epigrafearenhelburupraktikoeidagokienez,ikasleakerlaziopitagorikohoribizkortasunezaplikatzekogaiizanbeharkodira,etatriangeluzuzenbatenedozeinaldekalkulatzenjakinbeharkodute,jakinikbestebial-deakzeindiren.Horrezgain,teoremanoizerabilibehardenerejakinbeharkodute,triangeluzuzenaenuntziatuanageriezbadaere.

•Unitatehonetanorainarteaipatutakoedukiguztiakaurrekomailetanlandudituzteikasleek;beraz,berrikustekoerabilikoditugu.

Indartu eta sakondu

Honakoariketahauiradokitzendugu:

Ikasleek,banakaedotaldetxikitan,Pitagorasenteoremarenzenbaitde-mostraziobilatukodituzte.Gero,dosieredohorma-irudibategingodutehoriekin.

Indartu eta sakondu

Honakoariketahauiradokitzendugu:

•MATEMATIKA-ARIKETAKizeneko4.koadernotik:

Indartzeko:5.orrialdeko1.,2.eta5.ariketak.

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

1 a)58,3cm b)34cm

2 a)25,6cm b)36cm

3 a)Kamutsa b)Zorrotza c)Zuzena

d)Zuzena e)Kamutsa f) Zuzena

4 Lautriangeluzuriakbetackatetoenlaukizuzenakdirenez,horienhipotenusek(karratuarenaldearekinbatdatozenek),aneurriadute.Hortaz,irudilaranjaaaldeaetaa 2azaleraduenkarratuada.

Bestekarratuantriangeluzuriberdinakageridiraberrizere,baldeaduenkarratuberdea(b 2azaleraduena)etacaldeaduenbesteka-rratuurdinbat(c2azaleraduena)utziz.

Azkenik,b + caldeakdituztenbikarratuosoetanjarrikoduguarreta.Bikarratuberdineizatibera(lautriangeluzuriak)kentzenbadiegu,gelditzenzaigunzatiaereberdinaizangoda.Kasuhorretan,lehenka-rratuanbikarratutxikiagogelditukozaizkigu,berdeaetaurdina,b 2etac2azalerakdituztenak;bigarrenkarratuana 2azaleraduenkarra-tularanjagelditukozaigu.

Hortaz,b 2+c2=a 2.

5 Distantzia12cmda.

6 r=15cm

7 Bestediagonala10cmdira.

8 T1T2ukitzaileak40cm-koluzeradu.

9 35,21cm-koluzeradu.

189188

Pitagorasen teorema

Edozein triangelu zuzenetan, katetoen karratuen batura hipotenusaren karra-tuaren berdina da.

b 2 + c 2 = a 2

Horren froga aldea b + c duen karratuaren honako bi deskonposizio hauek konparatuz egin daiteke:

a

c

c

b

c

b

b cb

T

T

T

T

T

TT T

Irudi horiek oinarri hartuta, ateratzen da:a 2 = b 2 + c 2

Pitagorasen teoremaren aplikazioetako batzuk ikusiko ditugu.

Triangelu zuzen bateko alde ezezaguna zenbat den kalkulatzeaPitagorasen teorema azaleren arteko berdintasunari buruzkoa izan arren, trian-gelu zuzenaren aldeak erlazioan jartzeko erabiltzen da, batez ere:

a = b c2 2+ b = ca –2 2 c = a b–2 2

Nola jakin triangelua zuzena den ala ez

a, b, c triangelu baten aldeak dira eta a nagusia da.— b 2 + c 2 = a 2 izanez gero, triangelua zuzena da.— b 2 + c 2 < a 2 izanez gero, triangelua kamutsa da.— b 2 + c 2 > a 2 izanez gero, triangelua zorrotza da.

3 Pitagorasen teorema. Aplikazioak

1. Honako triangelu zuzen hauetan, bi kateto ezagun ditu-gu eta hipotenusa zenbat den eskatzen da (neurria zehatza baldin ez bada, eman ezazu zifra hamartar batekin):a) 37 cm eta 45 cm b) 16 cm eta 30 cm

2. Honako triangelu zuzen hauetan, hipotenusa eta ka-tetoetako bat ematen dira eta beste katetoa zenbat den eskatzen da (zehatz edo zifra hamartar batekin):a) 45 cm eta 37 cm b) 39 cm eta 15 cm

3. Nolakoak dira alde hauek dituzten triangeluak?a) 7 cm, 8 cm, 11 cm b) 11 cm, 17 cm, 15 cmc) 34 m, 16 m, 30 m d) 65 m, 72 m, 97 md) 12 cm, 13 cm, 20 cm f ) 15 m, 36 m, 39 m

4. Frogatu Pitagorasen teorema, goian ageri den b + c aldea duen karratuaren bi deskonposizioak oi-narri hartuta. Horretarako, hasi frogatzen laranja ko-loreko laukia a aldea duen karratua dela.

Pentsatu eta egin 5. Zirkunferentzia batek 15 cm-ko erradioa du. Zuzen ba-tek, r, zirkunferentzia bi puntutan, A  eta  B, ebakitzen du. A eta B-ren arteko distantzia 18 cm-koa da. Zenbat da zirkunferentziaren zentrotik zuzenerako distantzia?

6. Kalkulatu zenbat den zirkunferentziaren erradioa ho-nako hau jakinik:

OP = 39 cm

PT = 36 cm OP

T

7. Erronbo baten diagonala, 24 cm eta aldea, 13 cm di-rela dakigu. Kalkulatu zenbat den beste diagonala.

8. r1 = 15 cm, r2 = 6 cm, O O1 2 = 41 cmKalkulatu zenbat den T1T2 uki-tzailearen luzera.

T1

T2

O1

r1r2

O2

9. Kalkulatu zenbat den aurreko ariketako bi zirkunfe-rentzien barne-segmentu ukitzaile komunaren luzera.

Pentsatu eta egin

abc

a2

b2

c2

12

12

13

13

5

3

52 + 122 = 132

32 + 122 < 132

12

137 72 + 122 > 132

Ariketa ebatziak1. Honako datu hauek izanik,

AB zenbat den kalkulatzea:

O2O1

C1C2

A B r

13 cm5 cm

r || O1O2 ; r, C2 -ren ukitzaile .

x = 13 5 169 25 144 12– –2 2 = = =

AB = 2 · x = 24 cmx13 5

2. O zentroa duen zirkunferen-tziak 80 cm-ko erradioa du. O-tik 130 cm-ra dagoen P puntutik, ukitzailea marra-tuko dugu. Zenbat da seg-mentu ukitzailearen, PT, luzera ?

Segmentu ukitzailea, PT, erradioari, OT, perpendikular zaio.PT eta OT, PTO triangeluaren katetoak dira. PO hipotenusa da. Ondorioz:

PT 130 80 10500–2 2= = = 102,47 cm

O

T

P

80 cm

130 cm

3. O eta O' zentroak eta 9 cm eta 5 cm-ko erradioak dituz-ten bi zirkunferentziak zen-troak 20 cm-ko distantzian dituzte. Kalkulatu zenbat den kanpoko segmentu uki-tzaile komunaren luzera. t' = 20 4–2 2 = 19,6 cm

tt

O O'O O'

t'

d = 20 cmd = 20 cm

4 cm

5 cm

5 cm5 cm9 cm

Kanpoko segmentu ukitzailea 19,6 cm-koa da.

4. 14 cm eta 7 cm-ko erradioak dituzten bi zirkunferentzia-ren zentroak 29 cm-ko dis-tantzian daude.

Barruko segmentu ukitzai-learen luzera zenbat den kalkulatzea.

x = 2029 21 400– cm2 2 = =

xx x

7

7

14

29 cm

21 cm

• Pitagorasen teorema aurkeztea.• Praktikatu Pitagorasen teorema

aplikatuz.

Webgunean

Teoria sakontzea: zirkunferentzien zuzen ukitzaileak.Webgunean

136

Iradokizunak

•TriangeluzeiharbatenaltueraharenaldeakkontuanhartuzkalkulatzeaPitagorasenteoremaaplikatzekomoduinteresgarriada,baitaaurrekoikasturteanlandutakoedukiaksakontzekomoduaere.Bitriangeluzuzenlotukoditugu,biberdintzaaljebraikorenbitartez(hots,ekuazio-sistemabatenbitartez),etahorrelabilatunahidugunezezagunalortukodugu.HorrekbestedimentsiobatemangodioPitagorasenteoremari,etabes-teirudibatzuetanerabiltzekoaukeraizangodugu.

Mailahonetakoikasleekteknikahoritrebetasunezerabiltzekogaiizanbeharkolukete.

Indartu eta sakondu

Honakohauekgomendatzendira:

•MATEMATIKA-ARIKETAKizeneko4.koadernotik:

Indartzeko:7.orrialdeko11.,12.eta13.ariketak.

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

1 Triangeluakamutsada.Aldenagusia-rengainekoaltuera21cm-koada.

48 cm

35 cm29 cm

48 – xx

h

2 Trapezioarenaltuera12m-koada.

40 m

19 m

20 m13 m

21 – xx

a a

Iradokizunak•Ikasleekaurrekomailetanikasidutesegmentubatenerdibitzaileaeta

angelubatenerdikariazerdiren.Halaber,horietakobakoitzeanpuntuekdutenpropietateaereezagutzendute(segmentuarenmuturretatikdis-tantziabereraegotea,erdibitzaileaedoangeluarenaldeak,erdikaria).

•Aldezaurretikoezaguerahorieiesker, ikasleeklekugeometrikoarenkontzeptuazerdenikasikodute.Aurrerantzean,kontzeptuhorierabilikoduguzenbaitlekugeometrikoezagunizendatzeko:zirkunferentzia,pa-raleloa…Horrezgain,arkukapazalekugeometrikogisaeraikikodugu:ikasleekbadakitezirkunferentzia-arkujakinbateaninskribatutakoange-luakberdinakdirela.Alabaina,orainegoeraribueltaemangodiogu:nondaudeangeluhorrenazpiandagoensegmentujakinbat«ikusteko»aukeraematendutenpuntuak?Ilustraziohonetanikusdaitekeenez,erantzunabiarkukosatzendute:

αα

α

α

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

1 Planoarenpuntuenlekugeometrikoada,haienC-rakodistantzia8cmizanik.

2 r-rakoetas-rakodistantziaberendagoenzuzenparaleloada.

3 Ikasleekzuzenamarraztubehardute.

4 Planoarenpuntuenlekugeometrikoada;horietatik,ABsegmentuaikustenda,90ºC-koangelubatenazpian.(Definiziohonetanezdirakontuanhartudiametroarenmuturrak,AetaB).

191190

Leku geometriko propietate jakin bat betetzen duten puntuen multzoari esa-ten zaio.

Gogoan izan segmentu baten erdibitzailea segmentuari erdigunean perpendiku-lar zaion zuzena dela.

Erdibitzaileko puntuak segmentuaren muturretatik distantzia berean daude. Hau da, P puntua AB-ren erdibitzaileko edozein puntu izanez gero, PA PB= dela betetzen da. Horrez gainera, erdibitzaileko puntuak propietate hori betetzen duten bakarrak dira.

Segmentu baten erdibitzailea haien muturretatik distantzia berean dauden puntuen leku geometrikoa da.

Era berean:

Angelu baten erdikaria haien aldeetatik distantzia berean dauden puntuen leku geometrikoa da, erdikariaren P puntuek honako hau betetzen dutenez gero:

dist (P, r ) = dist (P, s )

Arku kapaza

Ezkerrean marraztu diren angelu guztiak zirkunferentzian inskribatuta daude eta arku bera (berdea) hartzen dute barnean. Ondorioz, berdinak dira. Angelu horien erpinak arku gorriaren gainean daude eta hori honela definitzen da:

AB segmenturako α angeluaren arku kapaz esaten zaio α angelupean AB segmentua ikusten den puntuen leku geometrikoari.

Triangelu handiak bi triangelu zuzen determinatzen ditu. Horietako batean ere ez ditugu bi alderen luzerak ezagutzen. Baina ezezaguna era egokian aukeratuz gero (a-ren b-ren gaineko proiekzioari x esan diogu ). Pitagorasen teorema I eta II triangeluei aplikatuz, h eta x lortzen utziko digun ekuazio-sistema plan-teatzen da.Pitagorasen teoremaren aplikazio aljebraiko hori beste irudi geometrikoetan aur-kezten da. Adibide batzuk ikusiko ditugu.

5 Leku geometrikoak4 Pitagorasen teorema aljebran aplikatzea

x

a ch

b – xb

III

Ariketa ebatziak1. 4 cm, 6 cm eta 8 cm-ko

aldeak dituen triangeluan, alde nagusiaren gaineko altuera zenbat den kalku-latzea.

Altuerak, h, jatorrizko triangelua bi triangelu zuzenetan zatitzen du.Horietako bakoitzari Pitagorasen teorema aplikatuz:x

h6 cm4 cm

8 cm8 – x

( ) ( ) ( )x

xx

x x x4

8 616

16 16 64 36h

h –h –

– –

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2+ =

+ ==

+ + =4 4

16 – x 2 + x 2 – 16x + 64 = 36 8 16x = 64 + 16 – 36 8 x = 2,75x zenbat den jakinik, h zenbat den kalkulatuko dugu:

h2 = 16 – 2,752 8 h = ,16 2 75– 2 8 h = 2,9 cmProzedura horren bidez, aldeen luzerak jakinda, triangeluaren azalera zenbat den kalkula daiteke, oinarria eta altuera zenbat diren jakinez gero, azalera kalkulatzea begien bistakoa baita.

2. Trapezio baten alde para-leloak 17 m eta 38 m-koak dira. Beste bi aldeak, 13 m eta 20 m-koak dira. Altuera zenbat den kalkulatzea.

Altuera, a, seinalatu diren bi trian-geluen katetoa da. Beste bi katetoen altueren batura 38 – 17 = 21 m da.Pitagorasen teorema aplikatuko dugu bi triangelu zuzenetan:

x

a a 20 m13 m

17 m

38 m21 – x

( )x a

x a13

21 20–

2 2 2

2 2 2+ =+ =

4 Kenduz: x 2 – (21 – x )2 = 132 – 202 8

8 x 2 – (441 – 42x + x 2) = 169 – 400 8 42x – 441 = –231 88 42x = 210 8 x = 552 + a 2 = 132 8 a 2 = 132 – 52 = 144 8 a = 12 mEskatu den altuera 12 m-koa da.

1. Definitu leku geometriko gisa C zentroa eta 8 cm-ko erradioa dituen zirkunferentzia.

2. r eta s zuzen paraleloak izanik, zein da biotatik dis-tantzia berean dauden puntuen leku geometrikoa? Marraztu koadernoan.

3. Marraztu beltzez r zuzen bat. Marraztu gorriz r-rako distantzia 1 cm duten puntuen leku geometrikoa. (kontuz: bi zuzen dira).

4. Marraztu AB diametroa duen zirkunferentzia. Definitu zirkunferentzia hori leku geometriko gisa (90°-ko arku kapaza).

Pentsatu eta egin

1. Bilatu 29 cm, 35 cm eta 48 cm-ko aldeak dituen triangelua zuzena, zorrotza ala kamutsa den. Kalkula-tu zenbat den alde nagusiaren gaineko altuera.

2. Trapezio baten aldeak 13 m, 20 m, 19 m eta 40 m-koak dira. Bi azkenak paraleloak dira. Kalkulatu zenbat den trapezioaren altuera.

Pentsatu eta egin

Ariketa ebatziaO zentroa eta r erradioa dituen zirkunferentzia leku geometriko gisa definitzea.

Zirkunferentziaren P puntuek honako propietate hau bete-tzen dute: O-rako distantzia berdin r da. Ondorioz, O zen-troa eta r erradioa dituen zirkunferentzia P puntuen leku geometrikoa da, horien O-rako distantzia r izanik: OP = r.

P

O

r

A B

P

Q

r

s

PQ

A B

a

a

a aa

a

137

Iradokizunak

•Atalhonetan,leheniketabehin,konikakaurkeztukoditugu,azalerako-nikobatenebakitzeplanogisa.Garrantzitsuadaikasleekemaitzahoriekikuskatzea.

•Jarraian,konikakdefinitukoditugu,lekugeometrikogisa.Definizioho-riekberehalaaplikatukoditugu,modudidaktikoan,zirkunferentziazen-trokideenbilbeengaineanelipseak,hiperbolaketaparabolakeraikitze-ko.

•anayaeducacion.eswebgunean,motahorretakobilbeakinprimadai-tezke.Interesgarriaizandaitekeikasleekhoriengaineankonikakmarraz-tea,haienkonstanteakkontrolatuz.

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

1 a)

F F'

F F'

b)

F F'

F F'

2

F

d3d2

193192

ParabolaFoku deritzogun F puntua eta zuzentzaile esaten zaion zuzen bat, d, ditugu. Parabola F eta d-tik distantzia berean dauden puntuen leku geometrikoa da: PF = dist (P, d ).

HiperbolaFoku deritzegun bi puntu finko, F eta F', eta distantzia konstantea,  d, ditugu. Hiperbola puntuen, P, leku geometrikoa da; horien eta fokuetarako distantzien arteko diferentzia (balio absolututan) honako hau da: | PF – 'PF | = d.

Konoa ardatzaren plano perpendikula-rretik ebakiz gero, ebaki-lerroa zirkun-ferentzia da.

Konoa ebakitzen duen planoak ardatzari buruzko nolabaiteko inklinazioa izanez gero, ebaki-lerroa elipsea da.

Konoa ebakitzen duen planoa sortzailee-tako bati paralelo izanez gero, parabola esaten zaion kurba irekia lortzen da.

«Erpinez aurkako» diren bi kono hartu eta plano batetik ebakiz gero, ebaki-lerroa hiperbola esaten zaion bi ada-rreko kurba da.

Lau kurba horiek konikak dira. Horiek guztiak leku geometriko gisa defini dai-tezke. Ikusi dugu nola egiten den zirkunferentziarekin. Besteekin ikusiko dugu.

Elipsea

Foku deritzegun bi puntu finko, F eta F', eta distantzia konstante bat, d, ditugu. Elipsea P puntuen leku geometrikoa da, horietatik F eta F'-rako dis-tantzien batura berdin d izanik:

'PF PF+ = d

P

FF'

Q

Hartu kontuan nola marrazten dituen elipseak lorazainak: bi taket sartzen ditu lurrean eta behar den besteko luzera duen kordela lotzen du horietara. Gero, ezte-narekin, kordela tenkatuta izanik mugituz, lerroa markatzen du lurrean. Gauza bera egin dezakezu bi txintxeta, haria eta arkatza oholaren gainean erabiliz.

6 Konikak leku geometriko

V

Ariketa ebatziak1. Alboko bilbea honako hau

marrazteko erabiltzea:

a) F eta F' fokuak eta d = 18 konstantea dituen elipsea (ondoz ondoko bi zirkunferentziaren arteko distantzia hartuko dugu unitate).

b) F eta F' fokuak eta d = 6 konstantea dituen hiperbola.

a) ' '

PFPF PF PF

711 7 11 18

== + = + =1

Baldintza hori marraztu den elipseko edozein puntuk betetzen duela egiazta dezakegu.

b) ' '

QFQF QF QF

1711 17 11 6– –

== = =2

''

RFRF RF RF

104 10 4 6– –

== = =1

P

R

F' F

Q

Hiperbolaren ezkerreko adarreko P puntuek 'PF PF 6– = eta eskuineko adarrekoek 'PF PF 6– = betetzen dutela egiazta dezakegu. Ondorioz, parabolako edozein puntuk betetzen du 'PF PF 6– = dela.

2. Alboko bilbea F fokuko eta d1 zuzentzaileko parabola marrazteko erabiltzea.

( , )( , )

dist P dPF PF dist P d

1111

11

== =

1

Marraztu den parabolako edozein puntu F fokutik eta d1 zuzentzai-letik distantzia berean dagoela froga dezakegu.F

P

d2 d1 d3

1. Hartu 1. ariketakoa bezalako bilbea eta marraztu ber-tan:

a) Bi elipse, d = 14 eta d = 24 izanik.

b) Bi hiperbola, d = 8 eta d = 4 izanik.

2. Hartu 2. ariketakoa bezalako bilbea eta marraztu ber-tan:

a) F fokua eta d 2 zuzentzailea dituen parabola.

b) F fokua eta d 3 zuzentzailea dituen parabola.

Pentsatu eta egin

P

P

dQ

Q

F

FF'

Zirkunferentzien bilbea.Webgunean

138

Iradokizunak

•Ohikoirudienazalerezgain,elipsebatenaetaparabolabatensegmentubatenaerekontuanhartuditugu.Lehenarenazalakalkulatzekoformulaosointuitiboada:zirkunferentzianorabidejakinbatean«luzatu»beharda,orrialdeanbertanageridenbezala.

Parabolabatensegmentuarenazalerakalkulatzeaerrazada,bainamailahonetakoikasleeknekezulertukoduteharenjustifikazioa.(Integralekinnahikoerrazegindaiteke).

Indartu eta sakondu

Honakohauekgomendatzendira:

•MATEMATIKA-ARIKETAKizeneko4.koadernotik:

Indartzeko:15.orrialdeko1.eta2.ariketak.

Sakontzeko:16.orrialdeko3.,4.eta5.ariketak.

•INKLUSIOAETAANIZTASUNAKONTUANHARTUizenekofotokopia-tzekomaterialetik:

Indartzeko:Afitxako«Praktikatu»ataleko2.ariketa.

Sakontzeko:Afitxako«Praktikatu»ataleko3.ariketa.

Bfitxako«Praktikatu»ataleko1.ariketa.

Bfitxako«Aplikatu»ataleko1.,2.,3.eta4.ariketak.

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

1 a)A=25,14cm2

b)A=20,94cm2

c)A=36u2

d)A=4,5u2

Iradokizunak•Mailahonetan,ikasleekoinarrizkoirudilauguztienazalerakjakinbe-

harkolituzkete,etagaiizanbeharkolukete,etaPitagorasenteoremazenbaitegoeratanaplikatzeko,adibidezazalerakalkulatzekobeha-rrezkoadensegmentubatlortunahidenean,jakinikbestebisegmen-tuakzeindiren.Halaber,ikasleekHeronenformulaikusikodutelehenen-goaldiz,etatriangelubatenazalerakalkulatzekoerabilikodute,harenhirualdeakezagutzendituztenean.

•Mailahonetakoikasleentzat,osozailaizatendaHeronenformularende-mostrazioaulertzea.Horidelaeta,demostraziohorianayaeducacion.eswebguneanjarridugu.

•Orrialdearenmarjinan,pentagonoerregularrarenapotemakalkulatzekoformulaaurkeztudugu,harenaldeakontuanhartuz.Ikasleekinformaziohorierabilibeharkodute«Ariketaketaproblemak»ataleko(goimailako)zenbaitariketaegiteko.

Indartu eta sakondu•MATEMATIKA-ARIKETAKizeneko4.koadernotik:

Indartzeko:11.orrialdeko1.eta2.ariketak.12.orrialdeko5.eta6.arike-tak.13.orrialdeko8.ariketa.14.orrialdeko2.eta3.ariketak.

Sakontzeko:12.orrialdeko4.eta7.ariketak.13.orrialdeko9.ariketa.

•INKLUSIOAETAANIZTASUNAKONTUANHARTUizenekofotokopia-tzekomaterialetik:

Indartzeko:Afitxako«Praktikatu»ataleko1.ariketa.

Sakontzeko:Afitxako«Aplikatu»ataleko1.eta2.ariketak.

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

1 A=84m2 2 A=259,8cm2

3 A=885,96cm2 4 A=147,9,8cm2

195194

8 Irudi kurbatuen azalerak7 Poligonoen azalerak zirkulua zirkulu-sektorea koroa zirkularra

r ra R

r

A = πr 2 A = πr 2 · a360 A = π(R 2 – r 2)

Elipsearen azaleraElipsea bere ardatzek karakterizatzen dute; horien luzerei 2a eta 2b esango diegu.

Aelipse = πab

Hartu kontuan:Zirkuluak barnean hartzen duen karratuaren π/4 hartzen du. Zirkunskribatzen duen karratuari dagokionez elipseak duen proportzio bera:

2r

r2r

Azirk. = πr 2

Akar. = 4r 2

πAA

4KAR.ZIRK. =

ba

2a

2b

Aelipse = πab

Alaukiz. = 4ab

πAA

4LAUKIZ.ELIPSE =

Karratua tiratuz gero, laukizuzen bihurtzen da; zirkulua tiratuz gero, ere berean, elipse bihurtzen da.

Parabolaren segmentuaren azaleraParabolaren segmentuaren azalera barnean hartzen duen laukizuzenaren 2/3 da.

Aparabolaren segm. = 32 ab

Azalera ezagunak laukizuzena karratua paralelogramoa erronboa

h l

blb b

h dd'

A = b · h A = l 2 A = b · h A = · 'd d2 triangelu poligono triangelua zuzena trapezioa erregularra

h

b

b' l aph

b

h

c'

c

A = b h2· A = · 'c c2 A =

'b b2+ · h A = · ap2

perimetroa

Triangeluaren azalera aldeen araberaHonako formula hau guztiz erabilgarria da, aplikatzeko nahikoa denez gero triangeluen aldeen luzera zenbat den jakitea.

p a b c

s p2

Perimetroa:

Perimetroerdia:

= + +

=4 → Atriangelu = · ( ) · ( ) · ( )s s a s b s c– – –

heronen formula esaten zaio.

1. Kalkulatu zenbat den 10 m, 17 m eta 21 m-ko aldeak dituen triangeluaren azalera.

2. Kalkulatu zenbat den aldeetako bakoitza 10 cm-koa duen hexagono erregularraren azalera.

3. Kalkulatu zenbat den 3 dm-ko aldea duen erron-boaren azalera, jakinik diagonal bat 46 cm-koa dela.

4. Triangelu isoszele baten aldeetako bi 30 cm eta 13 cm-koak dira. Kalkulatu zenbat den azalera.

Pentsatu eta egin

1. Kalkulatu zenbat den honako irudi hauen koloreztatutako zatiaren azalera:

10 cm

6 cm

a) b)

4 cm120°

6 cm

c) d)

Pentsatu eta egin

Ariketa ebatziak1. 11 cm, 13 cm eta 20 cm-ko

aldeak dituen triangeluaren azalera zenbat den kalku-latzea.

Heronen formula aplikatuko dugu:

Perimetroa: p = 11 + 13 + 20 = 44 cm → s = 22 cm

A = ( ) ( ) ( )s s a s b s c 22 11 9 2 4 356· – · – · – · · ·= = = 66 cm2

2. 37 cm eta 55 cm-ko oina-rriak eta 14 cm-ko alde zeiharra dituen trapezio isoszelearen azalera zenbat den kalkulatzea.

(55 – 37) : 2 = 9 cm

a = 14 9 115–2 2 = = 10,7 cm

A = 237 55+ · 10,7 = 492,2 cm2

a

37 cm

55 cm

14 cm14 cm

a

c

b

ba

a

b

PARABOLAREN SEGMENTUA

Pentagono erregularraren apotema

Poligono erregularraren azalera zenbat den kalkulatzea, poligono horren aldea zenbat den bakarrik jaki-nez, zeregin erraza da kasu batzuetan (triangeluan, karratuan, hexagonoan, oktogonoan). Baina pentagonoan zaila da da aldea zenbat den jakinez apotema lortzea. Horregatik, emaitza, besterik gabe, ematen dizugu hemen:

l

ap

ap = l · 10

25 10 5+ ≈ 0,6882 l

Praktikatu poligonoen azalerak kalkulatuz.Webgunean

Praktikatu irudi kurbatuen azalerak kalkulatuz.

Webgunean

139

Iradokizunak•Biorrialdehauetakoariketakosoerabilgarriakizangodiraikasleekirudi

lauenazalerakkalkuladitzaten.Honakohaudahelburua:irudilau«ga-rrantzitsuen»zenbaitelementurenluzeraklortzea,haienaldeakkontuanhartuz.

Horrezgain,ikasleekhiruariketaebatziaurkitukodituzte;horietan,poli-gonoerregularbatbestebatetiknolalortuikasikodute(oktogonobatlaukibatetikedohexagonobattriangelualdekidebatetik).

•Ikasleekondoulertubehardituzteariketaebatzihauek;izanere,horie-tanageridirenprozeduraugari «Ariketaketaproblemak»atalekozenbaitariketaebaztekoerabilibeharkodituzte.

196 197

Ariketa eta problema ebatziak

196

e) Oktogono erregularraren apotema eta erradioa. e) PB 2

2= (diagonala 1 duen karratuaren aldea)

Apotema PB 21+ da. Hau da: a = 2

221+ = 1,2071

Erradioa lortuko dugu:

r = , ,a 21 1 2071 0 52

22 2+ = +c m = 1,3066

aa

A

BP C

r1/2

1

1

a = 1,2071 l r = 1,3066 l

2. Karratutik oktogono erregularrera

12 cm-ko aldeko karratua dugu. Lau izkinak ebakiko ditugu oktogono erregular bihur dadin. Non egingo ditugu ebakiak?

AB -k eta BC -k berdinak izan behar dute.

ABBC

xx

212 2–

==

4 2x = 12 – 2x → ( 2 + 2)x = 12 →

→ x = 212

2+ = 3,5147 cm

xxA

B C

12 c

m

3,5 cm-koak baino kateto handitxoagoak dituzten lau triangelu zuzen isoszele ebaki behar ditugu.

3. Triangelu aldekidetik hexagono erregularrera

12 cm-ko aldeko triangelu alde-kidea dugu. Nola ebaki beharko ditugu izkinak hexagono erregu-larra lortzeko?

BC -k eta BD -k berdinak izan behar dute.

xx

BCBD

12 2–==

4 12 – 2x = x → x = 4

4 cm-ko aldeko hiru triangelu aldekide ebaki behar ditugu. Hau da, aldeak hiru zati berdin egin behar ditugu eta, horrela, izkinetatik ebaki.

A

B D

Cxx

x

x

12 cm

Poligono erregular bakoitzean eskatzen diren elementuak aldearen arabera adieraztea:

a) Karratuaren diagonala.

b) Triangelu aldekidearen altuera, erradioa eta apo-tema.

c) Hexagono erregularraren apotema.

d) Pentagono erregularraren apotema eta erradioa.

1. Pitagorasen teorema poligono erregularretan aplikatzea

Kalkuluetarako, poligono erregularraren aldea hartuko dugu unitatetzat kasu guztietan. Azkenean, orokortu egingo dugu l aldeko poligonoarentzat.

a) d = 1 1 22 2+ =

d = 2 l l =

21 d = 2

2 d1

1

d

b) h = AM 1 21

43

23–2

2= = =c m

Apotema, OM, altueraren herena da. Zirkunferentzia zirkunskribatuaren erradioa, OA,

apotema bi halako da.

h = 2

3 l a = 63 l r = 3

3 l

1

1/2

O

M

A

c) Erradioa eta aldea berdinak dira. Apotema ABO triangelu aldekidearen altuera da.

r = l a = 2

3 lO

A B

d) Pentagonoaren diagonala eta Φl berdinak direla dakigu,

Φ urrezko zenbakia izanik: Φ = 21 5+ = 1,618

r + a = d 21–2

2c m = , , ,1 618 0 5 2 3679–2 2 = =

a

rd

1/2

= 1,5388Beste triangelu honetan, beste erlazio bat dago r eta a-ren artean:

( ) ( )

,r a

r a r a r a21 0 25–

– –

2 2

2 2

2=

= +

=c m_

`

a

bb

bb r – a = , ,

,r a0 25

1 53880 25

+ = =

= 0,1625 r eta a zenbat diren erlazioan jartzen dituzten bi ekua-

zioen bidez kalkula dezakegu:

,,

r ar a

1 53880 1625–

+ ==

3 Lortzen da ,,

ra

0 85070 6882

==

)

a = 0,6882 l r = 0,8507 l

ar

1/2

4. Oktogono erregularra eraikitzea

Honela lortuko den oktogonoa erregularra dela egiaztatzea:

Oktogono horren angeluak, argi dagoenez, 90° + 45° = 135°-ren berdinak dira.Erregularra dela egiaztatzeko, aldeak ere berdinak direla ikusi beharko dugu. Hasierako karratuaren aldea 1 izanez gero, diagonala 2 da. Ondorioz, arkuak

2/2 erradioaren bidez marratzen dira.

BC 22

22= + – 1 = 2 – 1 alde bat da.

PB = 1 – 22

· ·AB PB 1 222 2 2 2 2

2 2– –= = = =e o – 1 beste alde bat da.

AB BC 2= = – 1 dela ikusi dugu. Oktogonoaren alde guztiak berdinak dira. Oktogonoa, beraz, erregularra da.

A

P CB√

—2/2

√—2/2

OHARRAK

OHARRAK

140

«Ariketak eta problemak» atalaren soluzioak

1 a)α=75° b)α=132° c)α=130° d)α=145°

2 a) XW =110° b)XW =90° c) XW =37° d)XW =42°3 a) XW =72° YW =108° ZW =252°

b)XW =60° YW =120° ZW =240°c) XW =45° YW =135° ZW =225°d)XW =36° YW =144° ZW =216°

4 P Q=W X =35°5 AW =44° B C=W X =68°6 PCB% =75°

7 ' 'A B =19,2cm ' 'B C =30cm ' 'A C =46,8cm

8 a=37,5m b=13m

9 a) CD =3,9cm BC =5,33cm

b)EW =63° BW =37° DX =63°10 a)x=17cm b)x=13dm c)x=11,3m

d)x=8,5dm e)x=8,5cm f) x=5,2m

g)x=5,2m h)x=10,4cm i) x=6,9m

j) x=8cm k)x=8cm

11 Azalera=94cm

12 D=35,36cm

13 x=5cm h=144cm y=9cm

14 a)Kamutsab)Zuzenac)Zorrotzad)Zuzena

15 setatzuzenakrzuzenetik2cm-radaudenpuntuenlekugeome-trikoada.

setatzuzenakr-riparalelozaizkio,bakoitzaaldebati.r-tik2cm-radaude.

r

s

t

2 cm

2 cm

16 AB ,zirkunferentziarenerdiguneada,AetaB puntuakizanezik.

17 Triangelubatenzirkunzentroahorrenerpinetatikdistantziabereradaudenpuntuenlekugeometrikoada.Triangelubateninzentroaho-rrenaldeetatikdistantziabereradaudenpuntuenlekugeometrikoada.

18 19

F F'

F F'

20

F

P

Q

d2 d1

Parabolagorriarenzuzentzailead1da,etaurdinarenad2.

198 199

Ariketak eta problemak

Egin Angeluak

1. Kalkulatu zenbat balio duen α angeluak kasu bakoitzean:a) b)

37°

40°

35°

48° 48°112°a

a

a

a a

c) d)

2. Kalkulatu zenbat den X^-ren neurria kasu bakoitzean:a) b)

c) d)

A^

A^

A^

A^

A^ = 140°B^ = 150°

A^ = 115°B^ = 25°

A^ = 120°B^ = 18°

A^ = 33°B^ = 70°

X^

X^

X^ X^

B^

B^

B^

B^

3. Kalkulatu zenbat diren X^, Y^, Z^ honako poli-gono erregular hauetan:a) b)

c) d)

X^

Y^ Z^

X^

Y^

Z^

X^

Y^

Z^

X^

Y^

Z^

4. Adierazi zer neurri duten P^ eta Q^, angeluek, jakinik AOB% = 70° dela.

A

OB

P^

Q^

5. ABC triangelua isoszelea da. Zer neurri dute angeluek?

A

B

O

C88°

6. PA AC BC= = , B^ = 70° dela jakinik,

kalkulatu zenbat den PCB% angelua honako triange-lu honetan:

P A

C

70°

B

Antzekotasuna

7. Bi triangelu, ABC eta A'B'C' antzekoak dira eta 1,2 antzekotasun-arrazoia dute.Kalkulatu zer neurri duten A'B'C' triangeluaren al-deek, honako hau jakinik:AB = 16 cm BC = 25 cm AC = 39 cm

8. Kalkulatu zenbat den a eta b aldeen luzera, jaki-nik honako bi triangelu hauen aldeak paraleloak direla:

a

b4 m32,5 m 15 m10 m

9. BD eta AE paraleloak izan eta AC = 15 cm, CE  = 11 cm, BD = 6,4 cm, AE = 18 cm izanez gero:

a) Kalkulatu CD eta BC .

b) A^ = 37° eta C^ = 80° izanez gero, kalkulatu E^, B^ eta D^.

AB

C

D

E

37°80°

Pitagorasen teorema

10. Kalkulatu zer balio duen x-k bakoitzean:

6 m

6 m6 m

x60° 60°

9 m

8 m

x

x

24 dm

10 dm8 cm

15 cm

xx

12 cm

8 m

x

6 cm

x

x

x

30°

45°

60°

12 dm

24 cm

12 cm20 cm

5 cm 13 cm10 cmx

x

10 cm

a) b)

c) d) e)

f ) g)

i) j)

k)

h)

11. Laukizuzen baten diagonala 37 cm-koa da eta aldee-tako bat, 12 cm-koa. Kalkulatu zenbat den perimetroa.

12. 7 cm eta 24 cm-ko aldeak dituen laukizuzenaren diagonalak karratu baten aldeak adina neurtzen du. Kalkulatu zenbat den karratu horren diagonala.

13. Ekuazio-sistema baten laguntzaz, kalkula-tu zenbat balio duten h, x eta y-k.

13 cm

14 cm

h

15 cm

x y

14. Sailkatu zuzen, zorrotz eta kamusetan honako al-de hauek dituzten triangeluak:a) 11 m, 13 m, 20 m. b) 20 m, 21 m, 29 m.c) 25 m, 29 m, 36 m. d) 7 m, 24 m, 25 m.

Leku geometrikoak eta konikak

15. Zein da r zuzenerako distantzia 2 cm-koa duten puntuen leku geometrikoa? Marraztu leku geome-trikoa.

16. Zein da planoko P puntuen leku geometrikoa, APB% angelua zuzena izanik?

A B

P PP

17. Definitu leku geometriko gisa triangelu baten zirkunzentroa eta intzentroa.

18. Erabili honako hau bezalako bilbea F eta F' fo-kuko d1 = 16 eta d2 = 20 konstanteko bi elipse marrazteko (ondoz ondoko bi zirkunferentziaren ar-teko distantzia unitate hartuta).

F' F

19. Aurrekoa bezalako bilbean, marraztu F eta F' fo-kuko eta d1 = 2 eta d2 = 7 konstanteko bi hiperbola.

20. Erabili honako bilbe hau F fokuko eta d1 eta d2 zuzentzaileko bi parabola marrazteko.

F

d2 d1

141

«Ariketak eta problemak» atalaren soluzioak

21 a)A=50cm2 b)A=192m2

c)A=2418m2 d)A=160cm2

e)A=172,05cm2 f)A=309,02cm2

g)A=348,03cm2 h)A=64,8cm2

22 a)A=86,6cm2 b)A=228,13cm2

c)A=30,92cm2 d)A=377cm2

23 a)A=72cm2 b)A=18cm2

c)A=136,9cm2 d)A=368,16cm2

24 A→A=2146cm2 B→A=2146,47cm2

C→A=2146cm2 D→A=4292cm2

E→A=5708cm2 F→A=5708cm2

25 a)A=176,71cm2 b)A=235,62cm2

c)A=127,63cm2 d)A=274,89cm2

26 a)Azirkulu-segmentua=13cm2

b)Azirkulu-segmentua=92,5cm2

27 Egiaztatuduguzuzenakdirela.

a)A=1734cm2

b)A=14520m2

c)A=4860dam2

d)A=3360m2

28

A B

C

AW =60° BW =30° CX =90°29 a)A=84cm2 b)A=12m2

c)A=126dm2 d)A=420cm2

30 a)ABCtriangeluakbitriangeluantzekoditu:ABH(BW aldeaberadute,etabiakdirazuzenak)etaAHC(CX aldeabera,etabiakdirazuzenak).Hortaz,ABHetaAHCtriangeluakantzekoakdira.

b)BH =3,76cm HC =13,24cm

31 a) AW dutelakokomuneanetabiakzuzenakdirelako.b)x=8,75cm

32 Altuera:15cm;A=210cm2

33 Altuera:15m;A=390m2

34 r=79,96m

35 Arkuak24ºneurtzenditu.

36 a)r=3,9cm b)l=5,2cm

37 Laukiarenazalera500cm2-koada.

38 a) PT =13,86cm b)A=20,73cm2

200 201

Ariketak eta problemak

Azalerak

21. Kalkulatu zati koloreztatuen azalerak:

a) b)

c) d)

e) f )

g) h)

13 m

12 m

22 m

8 cm

8 cm93 m

20 cm

52 m

23 m

10 cm

10 cm

8 cm10 m

29 cm

22. Kalkulatu zenbat diren koloreztatuta dauden ho-nako irudi hauen azalerak:

12 cm

a) b)

c) d )

20 cm

10 cm

10 cm

6 cm

23. Kalkulatu zenbat diren koloreztatuta dauden ho-nako irudi hauen azalerak:a) b)

c) d)18 cm

12 cm 12 cm

18 cm

16 cm

20 cm

30 cm 40 cm

24. Honako karratu hauen aldeak 1 metro du. Kalkulatu (cm2-tan) zenbat den koloreztatuta dagoen zatiaren azalera:

A B C

D E F

25. Kasu bakoitzean, kalkulatu zenbat diren 15 cm-ko erradioa duen zirkuluaren eta honako anplitude hau duen zirkulu-sektorearen azalera eta perimetroa:a) 90° b) 120° c) 65° d) 140°

26. Kalkulatu zirkulu-segmentu hauen azalerak:a) b)

12 cm 18 cm60°

h

27. Egiaztatu honako triangelu hauek zuzenak direla eta kalkulatu zenbat diren horien azalerak bi eratan: katetoetan oinarrituz eta Heronen formula erabiliz.a) 51 cm, 68 cm eta 85 cm.b) 110 m, 264 m eta 286 m.c) 72 dam, 135 dam eta 153 dam.d) 48 m, 140 m eta 148 m.

Pentsatu eta ebatzi28. Marraztu zirkunferentzian inskribatutako

ABC triangelua, A eta B erpinak diametro baten muturrak izateko eta AC

% arkua zirkunferentziaren

seirena izateko moduan.Zer neurri dute angeluek?

29. Herondar triangelu esaten zaio alde osoak eta azalera osoa dituenari. Heronen aurretik ere ezagu-nak ziren alde eta azalera osoko triangelu zuzenak, baina Heronek aurkitu omen zuen 13, 14, 15 aldeko eta azalera 84ko triangelua (ez da zuzena, baina al-de eta azalera osoak ditu). Triangelu horri Herondar triangelu esaten zaio aurkikuntza horren omenez.Aplikatu Heronen formula honako triangelu hauen azalera zenbat den kalkulatzeko, horien aldeen luze-rak zenbat diren jakinik:a) 13 cm, 14 cm, 15 cm (egiaztatu 84 cm2 dela).b) 5 m, 5 m, 6 m.c) 13 dm, 20 dm, 21 dm.d) 25 cm, 34 cm, 39 cm.

30. ABC triangelua zuzena da eta AH, hipotenusa-ren gaineko altuera.

A

BHC

15 m 8 m

a) Frogatu ABH eta AHC triangeluak antzekoak direla.

b) Kalkulatu zenbat diren BH eta HC luzerak.

31. a) Zergatik dira antzekoak APQ eta ACB trian-geluak?b) Kalkulatu x = BQ .

Q

P C

x

B

A5 c

m 3 cm

7 cm

32. Kalkulatu honako triangelu honen altue-ra, ageri diren bi triangelu zuzenetan Pitagorasen teo-rema aplikatuz. Gero, kalkulatu horien azalerak.

28 cm

25 cm 17 cm

33. Kalkulatu zenbat den honako trapezio honen al-tuera. Gero, kalkulatu zenbat de azalera.

40 m

12 m

25 m 17 m

34. Kalkulatu zenbat den 100,48 m-ko luzera eta 72°-ko irekidura duen arkuaren erradioa (π = 3,14).

35. Kalkulatu gradutan zer neurri duen 471 cm-ko luzerako zirkunferentziaren 31,4 cm-ko arkuak (π = 3,14).

36. a) Kalkulatu zenbat den honako zirkunferentzia honen erradioa.

7,2 cm1,5 cm

O

b) Zer luzera du zentrotik 2,9 cm-ko distantzian da-goen kordak?

37. 52 cm-ko diametroa duen zirkuluan, korda bat marratu da zentrotik 10 cm-ra. Kalkulatu zenbat den kordaren muturrak eta kordari paralelo zaion diame-troaren muturrak lotuz eratzen den laukiaren azalera.

38. Kalkulatu:a) Zenbat den PT-ren luzera.b) Zenbat den koloreztatuta dagoen zatiaren azalera.

O P

T

60°16 cm

8 cm

142

54 AW =85°DX =50°55 Triangeluzuzenada.

56 O-tik5cm-radaudenplanokopuntuenlekugeometrikoada.

57 60º-koAB-renarkukapazesatenzaio.

58 Elipseada.Bipuntufinkoeifokuesatenzaie.

59 Hiperbolada.Bipuntufinkoeifokuesatenzaie.

60 Parabolada.Puntufinkoafokudeitzenda,etapuntufinkoazuzentzai-le.

202 203

Ariketak eta problemak

Ebatzi problemak39. Lursail batek irudian adierazten diren forma eta

dimentsioak ditu. Kalkulatu zenbat den azalera.

29 m 29 m

36 m

25 m

42 m

40. Kalkulatu zenbat den Sarek ereiteko duen barrutiaren azalera. Aitak lorategian ipini dituen 5 m-ko erradioko hiru ur-depositu zilindrikoen arte-ko espazioa da.

41. Zuhaitz baten altuera zenbat den kalkulatzeko, Edortak adaburua potxingo batean islatuta ikusi eta marrazkian ageri diren neurriak hartu ditu. Zer altue-ra du zuhaitzak?

1,2 m 4 m

162

cm

42. Zer altuera du putzuak honako hau jaki-nik?: 1,5 m zabal da eta, ertzetik 0,5 m urrunduta, 1,7  m-ko altueratik, begi-lerroak putzuaren ertza hondoko lerroarekin lotzen du.

43. Irudian ageri dena bezalako atle-tismo-pista berriztatu nahi da material sintetikoa era-biliz; material horren prezioa 15 €/m2 da eta pista 1 m-eko zabalerako 8 kalek osatzen dute.

Zenbat izango da materiala erosteko aurrekontua?

150 m110 m

44. 6 cm-ko aldeko triangelu aldekideko sekzioa duen zulotik hodia sartu nahi da. Zenbat izango da zulo horretatik sartu ahal izango den hodirik handie-na?

45. Tunel erdizirkularra zulatu behar da 1,5 m-ko zabalera eta 0,8 m-ko altuerako bagoia pasatzeko.

Zer diametro izan behar du, gutxienez, tunelaren sekzioak?

1,5 m

0,8 m

46. Telekomunikazioetarako antena bati 4 kablek eusten diote. Kable bakoitzaren goiko muturrak 40 m-ko altueran lotzen du antena. Beheko muturra lurrean lotuta dago antenaren oinarritik 30 m-ko dis-tantzian. Zenbat metro kable erabili dira?

47. Kalkulatu zer azalera okupatzen duen irudian ageri den gutun-azalak, jakinik azal-hegala triangelu aldekidea dela eta, itxiz gero, V erpina osoan bat datorrela aurkako aldeko C zentroarekin.

C V

15 cm

Problema korapilatsuagoak48. Kalkulatu zenbat diren laranja-koloreko irudiko bi

zirkuluerdien x eta y erradioak, horien guztizko azale-ra irudi urdinaren azaleraren % 80 izan dadin (bi irudie-tan ageri diren 1 cm-eko diametroko bi zirkulutxoekin).

14 cm7 cm

10 cm 10 cm

49. 10 cm-ko aldea duen pentagono erregularra hiru triangelutan zatitu da erpin batetik ateratzen diren bi diago-nalen bidez. Kalkulatu zenbat den hi-ru triangeluetako bakoitzaren azalera. 10 cm

CB

A

50. Honako irudi honi erreparatuz, kalkulatu:a) Zenbat den ABC triangelua-

ren azalera.b) Zenbat den BF zuzenkiaren

luzera (ABC triangeluaren hi-potenusaren gaineko altuera).

20 cm

15 c

m

A B

DF

C

E

c) Zenbat den EF zuzenkiaren luzera.

51. Honako laukizuzen honen perimetroa 96 m-koa da eta oinarria altuera baino 12 m handiagoa da.

A B

D

Q

C

P

Kalkulatu zenbat den koloreztatuta ageri den zatiaren azalera (P eta Q, hurrenez hurren, AB eta AD aldeen erdiguneak dira).

52. Kalkulatu honako triangelu zuzen hone-tan, altuerak, h, eta erdibidekoak, m, eratzen duten γ angelua α eta β-ren funtzioan.

mh

βγ

α

53. ABCD laukia zirkunferentzian inskribatuta da-go. Hartu kontuan honako arrazoibide hau:

C^ = BAD2

> ?;;, A^ = BCD2

> ?;;

C^ + A^ = BAD BCD2+

> ?;; > ?;; = °2

360 = 180°

Egiaztatu era berean ho-nako hau: B^ + D^ = 180°.Hori da laukiak bete behar duen baldintza zirkunfe-rentzian inskribatu ahal izateko. Adierazi baldintza hori hitzen bidez.

C

D

A

B

54. Kalkulatu zer neurri duten A^ eta D^ an-

geluek. (Hartu kontuan aurreko problema).

C95°

130°

D

A

B

Hausnartu teoriari buruz 55. Zer esan dezakezu triangelu bati buruz, horren

aldeetako bat zirkunskribatutako zirkunferentziaren diametroarekin bat etorriz gero?

56. Definitu leku geometriko gisa O zentroko eta 5 cm-ko erradioko zirkunferentzia.

57. Puntu batzuetatik, AB segmentua 60º-ko an-gelupean ikusten da. Nola esaten zaio puntu horien leku geometrikoari?

58. Puntu batzuetatik bi puntu finkotarako distan-tzien batura 26 cm da. Zein da puntu horien leku geometrikoa? Nola esaten zaie bi puntu finkoei?

59. Puntu batzuetatik beste bi puntu finkotarako dis-tantzien arteko kendura 4 cm da. Zein da puntu horien leku geometrikoa? Nola esaten zaie bi puntu finkoei?

60. Zein da puntu finko batetik eta emandako zuzen batetik distantzia berean dauden puntuen leku geome-trikoa? Nola esaten zaie puntu finkoari eta zuzenari?

«Ariketak eta problemak» atalaren soluzioak

39 A=780m2

40 A=4,09cm2

41 Zuhaitzak5,4m-koaltueradu.

42 Putzuak5,1m-koaltueradu.

43 30170€.

44 Tutuarendiametroa3,46cm-koada.

45 Tunelarensekzioak,gutxienez,2,19mizanbeharitu.

46 200mkableerabilidira.

47 259,8cm2

48 x=3cm;y=4cm

49 Aa=Ac=47,55cm2

Ab=76,9cm2

50 a)A=150cm2 b)BF =12cm c) EF =7cm

51 A=270m2

52 γ=α–β

53 8 °,B ADC D ABC B D ADC ABC2 2 2

3602 2

+ == = + => ?;;; > ?;; > ?;;; > ?;;W X W X =180°

Laukiazirkunferentzianinskribatzeko,aurkakoangeluenbaturak180ºizanbehardu.

OHARRAK

143

Lankidetzan ikasi

Geometriariburuzkoariketakosoegokiakdirataldetxikianegiteko;horre-la,berdinenartekoikasketasustatukodugu.Ikasleekproposamenakegin,etaondorioakpartekatukodituzte.

Irakasleakepigrafehauetakobategindezakemetodologiahorierabiliz.

Pentsamendu kritikoa

Irakasleaktxartoebatzitakoariketabataurkeztukodu,etaikasleeieska-tukodieakatsakaurkitzeko.Gero,binaka,egindakolanazuzendu,etahariburuzeztabaidatukodute.

Autoebaluazioaren soluzioak

1 α=135°β=75°γ=120°δ=40°ε=80°θ=40°

2 4,2cm-koaltueranebakibehardatriangelua.

3 Puntua6731km-radago.

4 a)x≈12,73cm b)x≈9,24cm

c)x≈6,06cm d)x=30m

5 Triangeluarenaltuera24cmda,etatrapezioarena12cm.

6 a)Segmentuarenerdibitzaileada.

b)AetaBfokuenelipseada.

7 a)A≈26,30cm2 b)A≈121,75cm2

c)A≈30,54cm2 d)A≈108,69cm2

204 205

Taller de matemáticas

eta ikasiizan ekimena

Jo informazio bila Pitagoras Greziako Samos uhartean K.a. 571. urtean jaio zen ospe handiko filosofo eta matematikaria izan zen. Gaztaroan, Mesopotamian eta Egipton ikasi zuen. Pitagorasen izena duen teorema formalizatu zuela egozten zaio. Irakaskun-tzarako ez ezik, bizitzarako eta erlijiorako ikasbide izan ziren hainbat eskola sortu zituen; eskola horietan, gizarte-maila, arraza eta erlijio guztietako ikasleak onar-tzen zituen, baita emakumeak ere! Jokabide hori aldi hartako ohituren kontrakoa zen (eta hainbat arazo sortu zitzaizkion, ondorioz).

Matematika-lantegia

OrokortuErreparatu triangelu aldekideen honako sail honi:

T1 T2 T3 T41 …

•Zenbat da ondoz ondoko bi triangeluren antzekotasun-arrazoia? Eta azaleren arrazoia?Osatu taula, lehe-nengo, kasu partikula-rrak ebatziz eta, gero, orokortuz:

T1 T1 T3 T4 … T10 … Tnaldea → l 1 1/2 1/4 ? … ? … ?azalera → A 3/4 ? ? ? … ? … ?

Trebatu problemak ebatziz •Kamioilariak diru kantitate jakin baten aurrekontua

du 600 km-ko ibilbiderako. Hala ere, gasolioa merka-tuz gero, 0,14 € aurrezkia lortuko luke kilometroko eta, horrela, 750 km egin ditzake gastu bera eginez.

Zer diru kantitateko aurrekontua egin zuen erregai-rako?

•Ane eta Begoña tenis-lehiaketaren finalera iritsi dira. Ondoz ondoko bi partidetan edo txandakako hiru partidatan irabazle izango dena izango da txapelduna.Kalkulatu zer aukera egon daitezkeen.Zenbat partida jokatu beharko dituzte, gehienez ere, lehiaketa amaitzeko?

1. PARTIDA

ANEKIRABAZI

BEGOÑAKIRABAZI

2. PARTIDA 3. PARTIDA

1. Kalkulatu irudi hauetako angelu ezezagunak:

70°

δ

εθγ

βα

2. Zer altueratan, x, ebaki be-har da ABC triangelua hipo-tenusa zazpi zentimetro txi-kiago izan dadin?

A

35 cm

28 cmB Cx

3. Hegazkinean 10 000 km-ko altueran zoazela eta ho-rizontean puntu bat ikusten duzula joko dugu. Zu-gandik zer distantziatan dago puntu hori? (Lurraren erradioa: 6 371 km).

4. Kalkulatu zenbat balio duen x-k kasu bakoitzean:a) b)

c) d)

18 cm x

x

40 m

34 m

34 m

8 m

14 cm x

x

8 cm

5. Kalkulatu triangeluaren eta trapezioaren altuerak:

20 cm

6 cm

17 cm

13 cm

15 cm

26 cm

25 cm

6. Marraztu A eta B puntuak 6 cm-ko distantzian.a) Zein da A eta B-tik distantzia berean dauden pun-

tuen leku geometrikoa? Marraztu leku geometrikoa.b) Zein da A-tik B-rako distantzien batura 10 den

puntuen leku geometrikoa? Marraztu leku geome-trikoa, gutxi gorabehera.

7. Kalkulatu zenbat den honako irudi hauetako bakoi - tzean koloreztatuta dagoen zonaren azalera:

8 cm

8 cm

6 cm

2 cm

12 c

m

10 cm

18 cm

8 cm

a) b)

c) d)

20 cm

Autoebaluazioa

Irakurri eta ulertuPitagorasen teoremaren froga bitxiaJames Abram Garfield (1831-1881), Estatu Batuetako hogeigarren presidentea, militarra eta politikoa izateaz gain, matematikazalea izan zen, New England Journal of Education aldizka-rian argitaratu zuen honako froga honetan ageri denez:Edozein triangelu zuzen hartzen da katetoetako baten (b) gainean eutsita. Triangelu berori beste katetoaren gainean (c ) eutsita errepikatu eta trapezioa eraikitzen da, irudian ageri den eran.

Trapezioaren azalera → A = b c2+ · (b + c )

Trapezioaren azalera → A = · c bc b a a2 2 2· ·+ +

b

b

c

c a a

•Trapezioaren azaleraren bi adierazpenak berdinduz, sinplifikatuz, Pitagorasen teoremaren adierazpena lortzen da. Saia zaitez egiten.

Honako ariketa hauek ebaztea.Webgunean

Jo informazio bilaAriketaosagarrigisa,ikasleeieskatukodieguPitagorasenetapitagorikoenbizitzarietaideieiburuzinformazioabilatzeko.

Irakurri eta ulertuAtalarenbitartez,ikasleekmatematikalantzekobeharrezkoakdirenkurio-sitateaetaespiritukritikoaizateanahiditugu.

Komenidaikasleekargiizateatrapezioarenazalerabimodutarakalkulatudaitekeela:formularenbitartez(oinarrien baturaerdia bider altuera)etatrapezioaosatzendutenhirutriangeluzuzenenazalerakbatuz(katetoenproduktuerdia).

Orokortu Ikasleekhonakogaitasunhaueklortubehardituzte:behaketakegitea,da-tuakbiltzea,informazioaantolatzea,erregulartasunaktopatzea,hipotesiaksortzeaetaegiaztatzea,eta,azkenik,orokortzea.Epigrafehonetanplan-teatutakoariketekhelburuhorieklortzeadutexede.

Soluzioa:

T1 T2 T3 T4 … T10 … Tnaldea → l 1 1/2 1/4 1/8 … 1/512 … 21–n

azalera → A 3/22 3/24 3/26 3/28 … 3/220 … 3/22n

Trebatu problemak ebatziz

Soluzioak:

• 420€-koaurrekontuaeginzuen.

• A:«Anekirabazi»etaB:«Begoñakirabazi».Honahemenaukerak:

AA,ABAA,ABABA,ABABB,ABB,BB,BABB,BABAA,BABAB,BAA

Gehienez5partidajokatubehardituzte.