En una confitería envasan bombones en cajas de 250 gr, 500 gr y 1 kg. Cierto día se envasaron 60 cajas en total, habiendo 5 cajas más de tamaño pequeño ( 250 gr.) que de tamaño mediano (500 gr ). Sabiendo que el precio del kilogramo de bombones es 40 euros. Y que el importe total de los bombones envasados asciende a 1250 euros.

A) Plantear un sistema para determinar cuántas cajas se han envasado de cada tipo.

B)Resuelve el problema

Primero escribimos las incógnitas

x = número de cajas de bombones de 250 gramos

y = número de cajas de bombones de 500 gramos

z = número de cajas de bombones de 1 kilogramo

Planteamos las ecuaciones del sistema

“Cierto día se envasaron 60 cajas en total” x + y + z = 60

“habiendo 5 cajas más de tamaño pequeño (250gr.) que de tamaño

mediano(500 gr )“ x = y + 5

“Sabiendo que el precio del kilogramo de bombones es 40 euros. Y que el

importe total de los bombones envasados asciende a 1250 euros”

40 ·(0,250x) +40 · (0,500y) + 40·1z = 1250 operamos

10x +20y +40z = 1250 1x + 2y +4z = 125

Escribimos las ecuaciones en orden

x + y + z = 60

x - y = 5

x + 2y + 4z = 125

El método de Gauss consiste en hacer ceros por debajo de la diagonal, es decir la primera ecuación tendrá tres incógnitas, la segunda ecuación dos incógnitas y la tercera ecuación solamente una incógnita

Para ello escribimos solamente los coeficientes de las incógnitas colocados en filas, así obtenemos una matriz para operar con ella. Vamos eliminando primero la incógnita x de la segunda y tercera ecuación, restando filas entre sí. Ahora eliminamos la incógnita y de la tercera ecuación.

125

5

60

421

011

111

65

55

60

310

120

111

85

55

60

500

120

111

F2 - F1

F3 – F12F3 –F2

SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO

EXISTE UNA ÚNICA SOLUCIÓN

Escribimos el sistema x + y + z = 60

- 2y – z = - 55

5z = 85

Lo resolvemos empezando por la tercera ecuación

Empiezo con la tercera ecuación

5z = 85 x = 85/5 = 17 cajas pequeñas

En la segunda ecuación sustituyo

-2y – z = - 55 2y + z = 55 2y + 17 = 55

2y = 55-17 y = 38/2 = 19 cajas medianas

Para acabar sustituyo en la primera

x + y + z = 60 x + 19 + 17 = 60 x = 24 cajas de 1 kg

Solución: x = 24 cajas de 1 kilo

y = 19 cajas de 500 gramos

z = 17 cajas de 250 gramos