MATEMATICA APLICADA

PROBLEMA APLICATIVO 1

El ngulo de elevacin:

Un avin vuela a 5 millas de altitud y a una velocidad de 600 millas/hora, hacia un punto situado exactamente en la vertical de un observador (ver figura). A qu ritmo est cambiando el ngulo de elevacin cuando el ngulo es?:

a) = 30

b) = 60

c) (5 millas)= 75

Si llamamos " x " a la distancia horizontal entonces: - 600 millas / h = dx / dt

La velocidad es igual a la derivada de la distancia con respecto al tiempo adems es negativa porque va hacia la izquierda.5 = altura

La distancia del avin al suelo (altura) nunca cambia.Entonces lo que vamos a calcular es: = ?Se forma un tringulo rectngulo y entonces usamos la tangente

Tan ( ) = cateto opuesto / cateto adyacenteDatos:Cateto opuesto = altura = 5 millas = 30

Primero vamos a calcular la variacin del ngulo () para este valor.Cateto adyacente = x (distancia horizontal)Sustituyendo:Tan ( 30 ) = despejando "x":x = x = 53 millas

Distancia horizontal cuando el ngulo es igual a 30 hacemos lo mismo para:

= 60 y = 75:x = x = millas

Distancia horizontal cuando el ngulo es igual a 60 x = x = 10 - 5 millas

Distancia horizontal cuando el ngulo es igual a 35 Queremos calcular la variacin del ngulo (). De la misma identidad trigonomtrica:tan () = y lo interpretamos como:tan () =

Recordar la altura (5 millas ) es una constanteSi despejamos :arcotan ( tan ( ) ) = arcotan ( ) = arcotan ( )Si derivamos con respecto al tiempo se tiene: d / dt = ( - 5 / [ x + 25 ] ) ( dx / dt )

La derivada de arco tangente es igual a

Calcular la razn de cambio cuando = 30 si los datos:

OJO:

Es igual a la velocidad angular entonces se mide en radianes sobre hora, o alguna unidad de tiempo. = x = 5 millasSustituyendo datos en:

= ( ) () queda: = ( - 5 / [ ( 53 ) + 25 ] ) ( - 600 )d / dt = ( - 5 / [ 75 + 25 ] ) ( - 600 )d / dt = ( - 5 / 100 ) ( - 600 )d / dt = ( - 1 / 20 ) ( 600 )d / dt = 600 / 20 d / dt = 30 rad / hPara convertir a se sigue asi:30 rad / h ( 1 h / 60 min ) = 1 / 2 rad / minEntonces: d / dt = 1 / 2 rad / min Calculamos para = 60

Solo se sustituye datos en:

d / dt = ( - 5 / [ x + 25 ] ) ( dx / dt )

Los datos son: = x = 5 / 3 millas

Nos queda:d / dt = ( - 5 / [ ( 5 / 3 ) + 25 ] ) ( - 600 )d / dt = ( - 5 / [ 25 / 3 + 25 ] ) ( - 600 )d / dt = ( - 5 / 100 / 3 ) ( - 600 )d / dt = ( - 3 / 20 ) ( - 600 )d / dt = 1800 / 20 d / dt = 90 rad / hPara convertir a radianes / min se sigue asi: = *Por tanto: d / dt = 3 / 2 rad / min

Para finalizar:

= 75

Nuevamente lo nico que hay que hacer es sustituir datos en

d / dt = ( - 5 / [ x + 25 ] ) ( dx / dt )

los datos son:dx / dt = - 600 millas / horax = 10 - 53 millasEntonces queda:d / dt = ( - 5 / [ ( 10 - 53 ) + 25 ] ) ( - 600 )d / dt = ( - 5 / [ 1.79491924 + 25 ] ) ( - 600 )d / dt = ( - 5 / 25.79491924 ) ( - 600 )d / dt = 3000 / 25.79491924d / dt = 111.9615242 rad / hPara convertir a radianes / min se sigue asi:111.9615242 rad / h ( 1 h / 60 min ) = 1.866025404 rad / minPor tanto: = 1.866025404 rad / min

PROBLEMA APLICATIVO 2

Una ventana norman se construye juntando un semicrculo a la parte superior de una ventana rectangular ordinaria. Encontrar las dimensiones de una ventana norman de rea mxima si el permetro total es de 16 pies.

(X) (Y)

Siendo x la base del rectngulo

Su altura y r el radio del semicrculo, y como el permetro de la ventana igual a 16

Se tiener + x + 2y = 16 [1]

Si r es la longitud del semicrculo y x + 2 y el permetro del rectngulo (se excluye una base x), vemos que el radio del semicrculo es la mitad de la base r = x/2 [2]

este valor lo reemplazamos en [1] nos dejax/2 + x + 2y = 162y = 16 - x/2 - xy = 8 - x/4 x/2 [3]

la ecuacin del area de la ventana dse da por la ecuacin:A = r/2 + xy

En la que reemplazando el radio y Y por lo obtenido en [2] y [3] nos da A = (x/2)/2 + x (8 - x/4 - x/2) A = x/8 + 8x - x/4 - x/2 A = x (/8 /4 1/2) + 4x A = x (- /8 1/2) + 4x A = - (/8 + 1/2)x + 4x

Si Derivamos Para Encontrar El Punto CrticoA = - 2 (/8 + 1/2)x + 4A = - 2 (/8 + 1/2)x + 4

Si igualamos a cero nos queda.0 = - 2 (/8 + 1/2)x + 42 (/8 + 1/2)x = 4[(+4)/8]x = 2x = 16/(+4)Aplicamos la derivada segunda nos daA" = - 2 (/8 + 1/2)

Y si es negativa nos indica que el punto hallado es un mximo, por lo tanto el rea de la ventana es mxima para las siguientes dimensiones:base:

x = 16/(+4)altura:

Reemplazando en la ecuacin [3] nos da

y = 8 - x/4 x/2y = 8 - 16/(+4)/4 - 16/(+4)/2y = 8 - 64/(+4) - 32/(+4) y = 8 - (64 - 32)/(+4)

SI DIOS CONMIGO QUIEN CONTRA MI

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JUAN MANUEL RODRIGUEZ CUADROS C-3 A