702 Capítulo 25 Potencial eléctrico

En general, el potencial eléctrico es una función de las tres coordenadas espaciales. Si V(r) se da en coordenadas cartesianas, las componentes Ex, Ey y Ez del campo eléctrico pueden ser determinadas fácilmente a partir de V(x, y, z) como derivadas parciales2

Ex0V0x (25.18)

Pregunta rápida 25.4 En cierta región del espacio el potencial eléctrico es igual a cero en todos los puntos a lo largo del eje x. De ello es posible concluir que en esta región la componente en x del campo eléctrico es: a) cero, b) en la dirección de � x, o c) en la dirección de � x.

Determinación del

campo eléctrico a partir

del potencial

�

EJEMPLO 25.4 Potencial eléctrico debido a un dipolo

Un dipolo eléctrico consiste de dos cargas de igual magnitud y signo opuesto separadas por una distancia 2a como se muestra en la figura 25.13. El dipolo está a lo largo del eje x y tiene centro en el origen.

A) Calcule el potencial eléctrico en el punto P sobre el eje y.

SOLUCIÓN

Conceptualizar Compare esta situación con la del inciso B) del ejemplo 23.5. Es la misma situación, pero en este caso se busca el potencial eléctrico en lugar del campo eléctrico.

Categorizar Ya que el dipolo consiste sólo en dos cargas fuente, el potencial eléctrico se puede evaluar al sumar los potenciales debidos a las cargas individuales.

Analizar Use la ecuación 25.12 para hallar el potencialeléctrico en P debido a la dos cargas:

B) Calcule el potencial eléctrico en el punto R sobre el eje �x.

SOLUCIÓN

Use la ecuación 25.12 para encontrar el potencial eléctrico enR debido a las dos cargas:

C) Calcule V y Ex en un punto sobre el eje x lejos del dipolo.

SOLUCIÓN

Para el punto R lejos del dipolo tal que x >> a, ignore a2

en el denominador de la respuesta al inciso B) y escribaV en este límite:

aa

q

R

P

x

x

y

–q

Figura 25.13 (Ejemplo 25.4) Dipolo eléctrico ubicado sobre el eje x.

2En notación vectorial, a menudo ES

se escribe en los sistemas de coordenadas cartesianas de la forma

ES

§V a i 00x

j 00y

k 00zbV

donde = es conocido como el operador gradiente.

V R límx W a a 2 k e qa

x 2 a 2 b 2 k e qa

x 2 1x W a 2

V P k e ai

q i ri

k e a q

2a2 y 2

q

2a 2 y 2 b 0

V R k e ai

q i ri

k e a q x a

q

x a b

2 k e qa

x 2 a 2

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25.5 Potencial eléctrico debido a distribuciones de carga continuas

Existen dos maneras de calcular el potencial eléctrico debido a una distribución de carga continua. Si conoce la distribución de carga, considere el potencial debido a un elemento de carga dq pequeño, y trate a este elemento como una carga puntual (fi gura 25.14). Por la ecuación 25.11 el potencial eléctrico dV en algún punto P, debido al ele-mento de carga dq, es

dV ke dqr

(25.19)

donde r es la distancia desde el elemento de carga al punto P. Para tener el potencial total en el punto P, integre la ecuación 25.19 a fi n de incluir las contribuciones de todos los elementos de la distribución de carga. Ya que cada elemento está, por lo general, a una distancia diferente del punto P, y ke es constante, exprese V como

V ke dqr

(25.20)

En efecto, ha reemplazado la suma en la ecuación 25.12 por una integral. En esta expresión para V el potencial eléctrico se supone igual a cero cuando el punto P se encuentra infi nita-mente lejos de la distribución de carga.

Si debido a otras consideraciones, como la ley de Gauss, el campo eléctrico ya es conocido, con la ecuación 25.3 es posible calcular el potencial eléctrico debido a una distribución de carga continua. Si la distribución de la carga tiene sufi ciente simetría, primero, mediante la ley de Gauss, evalúe E

S y después sustituya el valor obtenido en la

ecuación 25.3, para determinar la diferencia de potencial V entre dos puntos cuales-quiera. A continuación se elige el valor del potencial eléctrico V de cero en algún punto conveniente.

Use la ecuación 25.16 y este resultado para calcular lacomponente x del campo eléctrico en un punto sobreel eje x lejos del dipolo:

Finalizar Los potenciales en los incisos B) y C) son negativos, porque los puntos sobre el eje �x están más cerca de la carga negativa que de la carga positiva. Por la misma razón, la componente x del campo eléctrico es negativa. Compare el resultado del inciso C) con la del problema 18 en el capítulo 23, donde el campo eléctrico sobre el eje x debido a un dipolo se calculó directamente.

¿Qué pasaría si? Suponga que quiere encontrar el campo eléctrico en un punto P sobre el eje y. En el inciso A), se encontró que el potencial eléctrico es cero para todos los valores de y. El campo eléctrico, ¿es cero en todos los puntos sobre el eje y?

Respuesta No. Que no haya cambio en el potencial a lo largo del eje y dice sólo que la componente y del campo eléctrico es cero. Vea de nuevo la figura 23.13 en el ejemplo 23.5. Se demostró que el campo eléctrico de un dipolo sobre el eje y sólo tiene una componente x. No se puede encontrar la componente x en el ejemplo actual porque no se tiene una expresión para el potencial cerca del eje y como función de x.

2keqa ddxa 1

x2 b 4keqa

x3 1x W a 2

ExdVdx

ddxa 2keqa

x2 b

� Potencial eléctrico de-

bido a una distribución

de carga continua

r

P

dq

Figura 25.14 Es posible calcular el potencial eléctrico en el punto P debido a una distribución de carga continua, al dividir la distribución de carga en los elementos de carga dq y sumar las contribuciones del potencial eléctrico de todos ellos.

ESTRATEGIA PARA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Cálculo de potencial eléctrico

El siguiente procedimiento se recomienda para resolver problemas que involucren la determinación de un potencial eléctrico debido a una distribución de carga.

1. Conceptualizar. Piense cuidadosamente en las cargas individuales o en la distribución de carga que plantea el problema e imagine qué tipo de potencial sería establecido. Recurra a cualquier simetría en el ordenamiento de cargas para ayudarse a visualizar el potencial.

Sección 25.5 Potencial eléctrico debido a distribuciones de carga continuas 703

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