696 Capítulo 25 Potencial eléctrico

EJEMPLO 25.1 Campo eléctrico entre dos placas paralelas de carga opuesta

Una batería tiene una diferencia de potencial específica V entre sus terminales y se es-tablece dicha diferencia de potencial entre los conductores unidos a las terminales. Una batería de 12 V se conecta entre dos placas paralelas, como se muestra en la figura 25.5. La separación entre las placas es d � 0.30 cm y se supone que el campo eléctrico entre las placas es uniforme. (Esta suposición es razonable si la separación de las placas es pequeña en relación con las dimensiones de las placas y no se consideran ubicaciones cerca de los bordes de las placas.) Encuentre la magnitud del campo eléctrico entre las placas.

SOLUCIÓN

Conceptualizar En capítulos anteriores investigó el campo eléctrico uniforme entre placas paralelas. La nueva característica a esta problema es que el campo eléctrico se relaciona con el concepto reciente de potencial eléctrico.

Categorizar El campo eléctrico se evalúa a partir de una correspondencia entre campo y potencial conocido en esta sección, así que este ejemplo se clasifica como un problema de sustitución.

Use la ecuación 25.6 para evaluar la magnituddel campo eléctrico entre las placas:

La configuración de las placas en la figura 25.5 se llama capacitor de placas paralelas y se examina con mayor detalle en el capítulo 26.

E0VB VA 0

d12 V

0.30 10 2 m 4.0 103 V>m

+ –V = 12 V

AB

d

Figura 25.5 (Ejemplo 25.1) Una batería de 12 V conectada a dos placa paralelas. El campo eléctrico entre las placas tiene una magnitud determinada por la diferencia de potencial V dividida entre la separación de placa d.

EJEMPLO 25.2 Movimiento de un protón en un campo eléctrico uniforme

Un protón se libera desde el reposo en el punto � en un campo eléctrico uniforme que tiene una magnitud de 8.0 � 104 V/m (figura 25.6). El protón se somete a un despla-zamiento de 0.50 m al punto � en la dirección de E

S . Encuentre la rapidez del protón

después de completar el desplazamiento de 0.50 m.

SOLUCIÓN

Conceptualizar Visualice el protón en la figura 25.6 en movimiento hacia abajo a causa de la diferencia de potencial. La situación es análoga a un objeto que cae libre a través de un campo gravitacional.

Categorizar El sistema del protón y las dos placas en la figura 25.6 no interactúan con el ambiente, así que se le modela como un sistema aislado.

Analizar Use la ecuación 25.6 para encontrarla diferencia de potencial entre los puntos � y �:

Escriba la reducción adecuada de la ecuación 8.2, la ecuación de conservación de la energía, para el sistemaaislado de la carga y el campo eléctrico:

Sustituya los cambios en energía para ambos términos:

Resuelva para la rapidez final del protón:

d

+

+ + + + + + +

– – – – – – –

v

v = 0

E

��

��

Figura 25.6 (Ejemplo 25.2) Un protón acelera de � a � en la dirección del campo eléctrico.

¢V Ed 18.0 104 V>m 2 10.50 m 2 4.0 104 V

¢K ¢U 0

112mv2 0 2 e ¢V 0

v B2e ¢Vm

Cap_25_Serway.indd 696Cap_25_Serway.indd 696 9/11/08 5:22:39 PM9/11/08 5:22:39 PM

25.3 Potencial eléctrico y energía potencial a causa de cargas puntuales

En la sección 23.4 se explicó el hecho de que una carga puntual positiva q produce un campo eléctrico que está dirigido radialmente alejándose de la carga. Para determinar el potencial eléctrico en un punto ubicado a una distancia r de la carga, inicie con la ex-presión general para la diferencia de potencial:

V V ES

d sS

donde � y � son los dos puntos arbitrarios que se muestran en la fi gura 25.7. En cualquier punto en el espacio, el campo eléctrico a causa de la carga puntual es ES 1keq>r 2 2 r (ecuación 23.9), donde r̂ es un vector unitario dirigido desde la carga ha-cia el punto. La cantidad E

S � d sS puede expresarse como

ES

d sS ke q

r 2 r̂ d sS

Ya que la magnitud de r̂ es 1, el producto punto r̂ �d sS � ds cos u, donde u es el án-gulo entre r̂ y ds. Además, ds cos u es la proyección de d sS sobre r̂; debido a eso ds cos u � dr. Es decir, cualquier desplazamiento d sS a lo largo de la trayectoria del punto � al punto � produce un cambio dr en la magnitud de r̂, el vector de posición del punto en relación con la carga que crea el campo. Con estas sustituciones, E

S � d sS � (keq/r2)dr;

en consecuencia, la expresión de la diferencia de potencial se convierte en

V V keq c 1r

1rd

V V keq r

r

drr 2 ke

qr`r

r

(25.10)

Esta ecuación muestra que la integral de ES

�d sS es independiente de la trayectoria entre los puntos � y �. Al multiplacar por una carga q0 que se mueve entre los puntos � y �, la integral de q0E

S �d sS también es independiente de la trayectoria. Esta última integral

representa el trabajo realizado por la fuerza eléctrica, que señala que la fuerza eléctrica es conservativa (véase la sección 7.7). Al campo que se relaciona con una fuerza conser-vativa se le defi ne como campo conservativo. Debido a eso, la ecuación 25.10 indica que el campo eléctrico de una carga puntual fi ja es conservativo. Además, la ecuación 25.10 expresa el resultado importante de que la diferencia de potencial entre dos puntos cua-lesquiera � y � en un campo producido por una carga puntual depende sólo de las

Sustituya valores numéricos:

Finalizar Ya que V es negativa, U también es negativa. El valor negativo de U significa que la energía potencial del sistema disminuye conforme el protón se mueve en la dirección del campo eléctrico. Conforme el protón acelera en la dirección del campo, adquiere energía cinética y el sistema pierde energía potencial eléctrica al mismo tiempo.

La figura 25.6 se orienta de modo que el protón cae hacia abajo. El movimiento del protón es análogo al de un objeto que cae en un campo gravitacional. Aunque el campo gravitacional siempre es hacia abajo en la superficie de la Tierra, un campo eléctrico puede estar en cualquier dirección, dependería de la orientación de las placas que producen el campo. Por lo tanto, la figura 25.6 podría girarse 90 o 180°, ¡y el protón caería horizontalmente o iría hacia arriba en el campo eléctrico!

2.8 106 m>s v B

2 11.6 10 19 C 2 1 4.0 104 V 21.67 10 27 kg

dr d

r r

q

r

r

ˆ

s

�

�

�

�

u

Figura 25.7 La diferencia de potencial entre los puntos � y � a causa de una carga puntual q depende sólo de las coordenadas radiales r� y r� inicial y final. Los dos círculos discontinuos repre-sentan las intersecciones de las su-perficies equipotenciales esféricas con la página.

Sección 25.3 Potencial eléctrico y energía potencial a causa de cargas puntuales 697

Cap_25_Serway.indd 697Cap_25_Serway.indd 697 9/11/08 5:22:40 PM9/11/08 5:22:40 PM