probabilidad y estadistica para ingenieros

PROBABILIDAD Y ESTADSTICANotas de clase

Profesores: A. Leonardo Bauelos S. Nayelli Manzanarez Gmez

)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))A.L.B.S. / N.M.G.

TEMA IIIVARIABLES ALEATORIAS

INTRODUCCIN

El objetivo de este tema es conocer y utilizar el concepto de variable aleatoria pararesolver problemas probabilsticos.

Qu es la variable aleatoria? En el tema anterior, se describieron los resultadosde un experimento (eventos) en palabras; claramente esto dificultaba el anlisis dealgunos problemas. Es mucho ms fcil describir y manipular cuando se utilizannmeros.

El propsito de la variable aleatoria es "mapear" cada punto de un espaciomuestral en un punto de un eje real, y puesto que la regla de correspondencia pararealizar el mapeo de un conjunto a otro recibe el nombre de funcin, la variable aleatoriaes entonces una funcin.

LA VARIABLE ALEATORIA

Los fenmenos que ms interesan a los ingenieros son aquellos que pueden seridentificados por nmeros, los cuales reciben el nombre de eventos numricos. Porejemplo, un mdico est interesado en el evento de que diez de diez pacientes se curende cierta enfermedad.

Fig. 3.1 Variable aleatoria.

Definicin 3.1Una variable aleatoria (v.a.) es una funcin, cuyos valores son nmerosreales, definida en un espacio muestral. De una manera simple puededenotarse por

En otras palabras una variable aleatoria es una funcin que asigna nmerosreales a cada posible resultado de un experimento aleatorio; esto es, es una funcin cuyodominio de definicin es el espacio muestral de un experimento y cuyo rango es el eje

real.

Usualmente, se denotan a las variables aleatorias (vv.aa.) utilizando las ltimasletras maysculas del alfabeto.

Los valores de la imagen de dicha funcin, se conocen como valores de lavariable aleatoria (v.a.) y se denotan con la misma letra que la funcin, pero conminsculas.

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))QEjemplo 3.1Considerando las familias que tiene dos hijos, si se desea conocer el sexo delos hijos entonces el espacio muestral es:

Asignar valores de la variable aleatoria.

ResolucinPodran realizarse varias asignaciones:Utilizando para el sexo femenino y para el masculino.

: 1, 2, 3, 4. : 0, 1, 2, 3. : 1, 2, 2, 3. : 0, 1, 1, 2.

etc.S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q

La definicin (en su construccin y significado) de una variable aleatoria (v.a.)es arbitraria. Una forma adecuada de construir (definir) una v.a. es hacerlo de tal maneraque dicha variable responda a la pregunta de inters.

En el ejemplo anterior, si nos interesa conocer el nmero de hijos varones enuna familia, la definicin ms adecuada de la v.a. es la de que asocia reales de lasiguiente manera:

; ;

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))QEjemplo 3.2En el lanzamiento de dos dados se desea calcular la probabilidad de que lasuma de los dados sea par.a) Definir el espacio muestral del experimento.b) Definir una variable aleatoria adecuada para el problema.c) Calcular la probabilidad.

PROBABILIDAD y ESTADSTICA Tema III Pg. 2

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Resolucin

a)

b) La definicin es la siguiente:Sea la variable aleatoria que representa la suma de los resultados enel lanzamiento de los dados.Los posibles valores de son entonces:

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12c) Sea el evento en el cual la suma de los resultados es par, es

evidente que:

Por lo que

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))QEjemplo 3.3En una ciudad se observa el tiempo que transcurre de un sismo a otro, el cualse representa mediante la v.a. . Obtener el rango de .

ResolucinConsiderando que de un sismo a otro debe de transcurrir algn tiempo, y queno se sabe cunto tardar en ocurrir el nuevo sismo, se tiene:

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q

Las variables aleatorias pueden clasificarse en discretas, continuas o mixtas. Seestudiarn las caractersticas de las discretas y de las continuas, dejando las mixtas como

una combinacin de los casos anteriores.

Una variable aleatoria discreta toma valores de un conjunto numerable,mientras que una variable aleatoria continua toma valores de un conjunto continuo.

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

Definicin 3.2Una variable aleatoria se dice discreta si solamente puede tomar valoresde un conjunto numerable de valores.

Una vez definida una variable aleatoria discreta, se debe definir la forma en laque se asignarn las probabilidades a cada valor que puede tomar la variable aleatoria.

Definicin 3.3Sea una v.a. discreta, se define su funcin de probabilidad 1 2

como:

donde

Para cualquier funcin de probabilidad de una v.a. discreta debe cumplirse losiguiente:

Tambin llamada: funcin masa de p robab ilidad o distribucin de1probabilidad.

Es muy comn la notacin , donde se resalta el hecho de que la funcin2

proporciona probabilidad. En estas notas se utiliza la notacin parahacer nfasis en que es una funcin.


)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))A.L.B.S. / N.M.G.

Definicin 3.4 Propiedades de la funcin de Probabilidad1)

2)

3)

Debe observarse la analoga de estas propiedades con los axiomas de laprobabilidad. Para determinar si una funcin es una funcin de probabilidad, se debencumplir las propiedades anteriores, en particular se deben probar (1) y (2).

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))QEjemplo 3.4Considrese el lanzamiento de una moneda. Se desea observar el nmero delanzamientos hasta que "caiga" por primera vez un sol. Obtener una expresinpara la funcin de probabilidad y verificar que cumple con las primeras dospropiedades.

ResolucinSea la v.a. que representa el nmero de lanzamientos necesarios paraobservar por primera vez un sol.El rango de la v.a. es

.

.

.

En general

Verificando la propiedad (1)

Verificando (2)Debe cumplirse que

es decir

De la serie geomtrica se sabe que: converge a cuando

y diverge cuando .Relacionando la funcin de probabilidad con la serie geomtrica se tiene que

.

Slo falta restar el primer trmino cuando , de donde

Por lo que s se satisface (2).S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q

Debe observarse con mucho cuidado el hecho de que una vez definida la v.a.,debe poderse obtener el rango de dicha variable, es decir el conjunto de valores que lavariable aleatoria puede tomar; sin embargo, el dominio de la funcin de probabilidadpuede extenderse a todos los reales, para facilitar la notacin en anlisis posteriores.

Fig. 3.2 Variable Aleatoria y Funcin deProbabilidad.


)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))A.L.B.S. / N.M.G.

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))QEjemplo 3.5 Considrese la v.a. cuyos posibles valores son 0, 1, 2, 3 y 4; y que tiene lasiguiente funcin de probabilidad.

0 1 2 3 4

a) Determinar el valor de la constante para que sea una funcin

de probabilidad.b) Calcular .

Resolucina) Para que sea una funcin de probabilidad, deben cumplirse las

propiedades 1 y 2.Si entonces se cumple que

Y por otro lado:

De donde

b)

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q

Los problemas que generalmente resultan ms interesantes son aquellos en losque se debe obtener la funcin de probabilidad para una variable aleatoria discreta apartir de un problema en particular.

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))QEjemplo 3.6 Al examinar pozos de agua en una regin con respecto a dos tipos de impurezasencontradas frecuentemente en el agua potable, se encontr que el 20% de lospozos no revelaban impureza alguna, el 40% tenan la impureza del tipo A yel 50% la impureza del tipo B (naturalmente, algunas tenan ambas impurezas).Si se selecciona un pozo de la regin al azar, obtener la distribucin deprobabilidad para , esto es, el nmero de impurezas encontradas en el pozo.

ResolucinSea el evento en el cual se tiene la impureza A, y el evento en el cual setiene la impureza B, entonces, la siguiente tabla muestra las probabilidades delas intersecciones de los eventos:

Total

Total

De donde

Por lo que la funcin de probabilidad es:

0 1 2

0.2 0.7 0.1

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))QUna funcin de probabilidad generalmente se representa de manera grfica

utilizando lneas verticales que representan la probabilidad, como se muestra en lasiguiente figura.


)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))A.L.B.S. / N.M.G.

Fig. 3.3 Grfica de una funcin deProbabilidad

Sin embargo, en el presente curso se preferir la representacin puntual, parahacer nfasis en que se trata de una funcin muy semejante a las estudiadas en los cursosde clculo, pero que solamente toma valores puntuales. La representacin que seutilizar es entonces:

Fig. 3.4 Grfica de una funcin deProbabilidad

))))))))))))))))))))))))))))))))))))QEjemplo 3.7 Cuando se encienden, cada uno de los tres interruptores del diagrama siguientetrabaja en forma correcta con una probabilidad de . Si un interruptor trabajaen forma correcta, puede pasar la corriente por l cuando se enciende.Determinar la distribucin de probabilidad , el nmero de trayectoriascerradas de a cuando los tres interruptores se encienden.

Resolucin

El rango de la v.a. es

Sea el evento en el cual el interruptor funciona, para .

Finalmente la distribucin es:

0 1 2

0.019 0.252 0.729

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q

Un ejemplo ms elaborado de la obtencin de una funcin de probabilidad esel mostrado en el siguiente ejemplo.

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))QEjemplo 3.8

De la gente que llega a un banco de sangre como donador, uno de cada trestiene sangre tipo , y uno de 15 sangre tipo . Para las siguientes tres

personas que llegan al banco, sea el nmero que tiene sangre y las

que tienen .Si se supone que las proporciones de los tipos de sangre se mantienenconstantes (independencia), determinar las distribuciones de probabilidad para y .


)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))A.L.B.S. / N.M.G.

ResolucinSe tiene que:

, Probabilidad de que una persona tenga .

, Probabilidad de que una persona tenga

En general:

, .

, .

En forma tabular, se tiene:

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q

VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

Definicin 3.5Una v.a. se dice continua si puede tomar valores de un conjuntoinfinito no numerable de valores.

Las variables aleatorias continuas tambin tienen una funcin queproporciona informacin sobre la probabilidad, dicha funcin se define a continuacin.

Definicin 3.6 Propiedades de la Funcin de DensidadSea una variable aleatoria continua, se define su funcin de densidad

, como una funcin con las siguientes propiedades:

1)

2)

3)

Recordando las propiedades de la integral definida, se tienen los siguientesresultados:

a)b)

En trminos simples, las propiedades de la funcin de densidad dicen que lafuncin debe ser no negativa (1); y que la probabilidad del espacio muestral debe serigual a la unidad (2). De los resultados debe destacarse el hecho de que la probabilidadde que una variable aleatoria continua tome exactamente un valor es cero (a), lo cualdebe interpretarse como: la probabilidad de que una variable aleatoria continua tomeexactamente un valor es prcticamente cero.

Una funcin de densidad, se representa grficamente de igual forma que unafuncin continua en el clculo, como puede observarse en la figura 5.


)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))A.L.B.S. / N.M.G.

Fig. 5 Grfica de una funcin de densidad.

Debe observarse de la propiedad (3), que para obtener la probabilidad de queuna variable aleatoria est dentro de cierto intervalo, se integra sobre ese intervalo;recordando la interpretacin geomtrica de la integral, se puede decir que la probabilidadcoincide con el "rea" bajo la curva .

El siguiente ejemplo muestra el uso de la propiedad 2 de las funciones dedensidad, la propiedad 3 para el clculo de probabilidades y adicionalmente, ilustra laforma en la que se pueden calcular probabilidades condicionales, utilizando unavariacin de la definicin de probabilidad condicional vista en el captulo anterior,

.

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))QEjemplo 3.9 El tiempo requerido por los estudiantes para presentar un examen de una horaes una variable aleatoria con una funcin de densidad dada por

a) Determinar el valor de .b) Trazar la grfica de .

c) Calcular la probabilidad de que un estudiante termine en menos demedia hora.

d) Dado que cierto estudiante necesita al menos 15 minutos parapresentar el examen, obtener la probabilidad de que necesite al menos30 minutos para terminarlo.

Resolucin

a) , de donde

b)

c)

d)

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q

Ejemplo 3.10La temperatura de encendido de un interruptor con control termosttico de unsistema de acondicionamiento de aire se ajusta a 60 F, pero la temperatura real

a la cual el interruptor acciona es una variable aleatoria que tiene la funcinde densidad de probabilidad

a) Calcular la probabilidad de que sea una temperatura mayor de 60 Fla necesaria para que accione el interruptor.

b) Si se utilizan en forma independiente dos de tales interruptores,calcular la probabilidad de que ambos necesiten que la temperaturasea mayor de 60 F para que se accionen.


)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))A.L.B.S. / N.M.G.

Resolucin

a)

b) Sea la variable aleatoria que representa la temperatura a la cual el

interruptor se acciona, entonces:

para

por lo que:

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q

FUNCIN DE DISTRIBUCIN

La funcin de distribucin, tambin llamada funcin de distribucin acumulativa,muestra el comportamiento acumulado de una variable aleatoria.

Definicin 3.7Si es una variable aleatoria, entonces su funcin de distribucin

, se define como una funcin que asocia a cada valor real, la

probabilidad de que la variable aleatoria asuma valores menores oiguales que l.

La funcin de distribucin se obtiene de la siguiente manera:

Sin importar si la variable aleatoria es discreta o continua, la funcin dedistribucin tiene las siguientes propiedades, que se deducen directamente de ladefinicin.

Propiedades de la Funcin de Distribucin

1) ,

2) Para el mayor valor en el rango de la variable aleatoria , ; es

decir:

Para un valor menor al primer valor en el rango de la variable aleatoria , ; es decir:

3) La funcin es no decreciente; es decir:

Si entonces

4) La probabilidad de que una variable aleatoria est en el intervalo estdada por:

Para generalizar la propiedad (4) al intervalo cerrado , deben utilizarselos casos discreto y continuo.

La representacin grfica de la funcin de distribucin para una v.a discreta esuna funcin escalonada con discontinuidades de salto, mientras que para una variablealeatoria continua es una funcin continua.


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S))))))))))))))))))))))))))))))))))))QEjemplo 3.11Sea una variable aleatoria con funcin de probabilidad ,

-5 -1 1 1.5 3

0.2 0.01 0.3 0.29 0.2

a) Construir la funcin de distribucin de en forma tabular.b) Trazar su grfica.

Resolucina) La forma tabular de la funcin de distribucin se obtiene directamente

de la funcin de probabilidad, sumando las casillas a la izquierda yla del valor que se desea.

-5 -1 1 1.5 3

0.2 0.21 0.51 0.8 1

b)

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))QEjemplo 3.12

El tiempo requerido por los estudiantes para presentar un examen de una horaes una variable aleatoria con una funcin de densidad dada por

a) Obtener .

b) Trazar la grfica .

c) Utilizar del inciso (a) para encontrar , y

.

Resolucin

a) ,

Finalmente

b)

c)


)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))A.L.B.S. / N.M.G.

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))QEjemplo 3.13Una gasolinera tiene dos bombas, que pueden bombear cada una hasta 10,000litros de gasolina por mes. La cantidad total de gasolina bombeada en un meses una variable aleatoria (expresada en diez mil litros), con una funcin dedensidad de probabilidad dada por

a) Trazar la grfica de .

b) Obtener y construir su grfica.

c) Calcular la probabilidad de que la gasolinera bombee entre 8,000 y12,000 litros en un mes.

d) Si se sabe que la gasolinera ha bombeado ms de 10,000 litros en unmes en particular, obtener la probabilidad de que haya bombeado msde 15,000 litros durante el mes.

Resolucina)

b) Para

Para

En este intervalo debe considerarse lo que se acumula de enadelante, as como todo lo acumulado en el intervalo anterior.

Finalmente

Obsrvese que la funcin de distribucin es no decreciente, por lo queinicia teniendo el valor cero y termina teniendo el valor de uno.

c)

d)

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q


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VALOR ESPERADO DE UNA VARIABLE ALEATORIA

El concepto de valor esperado es sin duda uno de los ms importantes en el estudio delas distribuciones de probabilidad. Tiene sus orgenes en los juegos de azar, debido a quelos apostadores queran saber cul era su expectativa en un juego despus de participaren l muchas veces.

Por ejemplo, considrese una pequea rifa que depende del resultado de undado. El boleto para participar en la rifa cuesta un peso, y el apostador recibe cincopesos si el resultado es 6 (tiene una ganancia de 4 pesos), y en caso contrario pierde elvalor del boleto con el que particip en la rifa. Despus de un gran nmero de juegos,cual ser su prdida o ganancia? Para contestar se debe considerar a la distribucin deprobabilidad como la frecuencia relativa a largo plazo de los resultados que seobtendrn, de manera que, si es la variable aleatoria que representa el resultado del

dado, la probabilidad de ganar es , mientras que la probabilidad de

perder es , de donde la ganancia esperada promedio por rifa es:

Es decir, despus de jugar un gran nmero de veces, el apostador pierde unsexto de peso en promedio por rifa.

Debe observarse que la operacin que se realiz es un promedio ponderado dela ganancia de cada rifa. De hecho de esta forma se define el valor esperado de unavariable aleatoria discreta. Para el caso de una variable aleatoria continua la definicines similar.

Definicin 3.8Sea una variable aleatoria con distribucin de probabilidad . El

valor esperado de , es:

El valor esperado es muy utilizado en la teora de decisiones. Es decir, ensituaciones de incertidumbre se toma una decisin basada en la expectativa de repetir ungran nmero de veces una situacin similar y determinar el valor esperado como

resultado de la repeticin.

Es muy comn denotar al valor esperado de una variable aleatoria mediante, y en ocasiones, simplemente como .

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))QEjemplo 3.14Un automovilista desea asegurar su coche por 50,000 U.M. . La compaa3

aseguradora estima que una prdida total puede ocurrir con una probabilidadde 0.002, un 50% de prdida con una probabilidad de 0.01 y un 25% deprdida con una probabilidad de 0.1. Ignorando todas las otras prdidasparciales, qu prima deber cobrar anualmente la compaa aseguradora paratener una utilidad promedio por automvil de 500 U.M.?

ResolucinSea la prima y la variable aleatoria que representa la utilidad, entonces

Para que la utilidad promedio sea de , se debe satisfacer ,de donde

Por lo que U.M.

La prima deber de ser de U.M.S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q

Ejemplo 3.15 La funcin de densidad de la variable aleatoria continua , el nmero total dehoras, en unidades de 100 horas, que una familia utiliza una aspiradora duranteun ao est dado por

Unidades Monetarias3


)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))A.L.B.S. / N.M.G.

Obtener el nmero promedio de horas por ao que la familia utiliza laaspiradora.

Resolucin

La aspiradora se usa en promedio 100 horas al ao.S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q

PROPIEDADES DEL VALOR ESPERADO

1) El valor esperado de una constante , es la misma constante.

2) El valor esperado de una variable aleatoria por una constante, es la constantepor el valor esperado de la variable aleatoria

3) El valor esperado de la cantidad donde y son constantes, es elproducto de por el valor esperado de ms .

4) Si es una funcin de , entonces:

5) El valor esperado de una suma de funciones es igual a la suma de los valoresesperados.Si y son funciones de , entonces

Las demostraciones son inmediatas a partir de la definicin del valor esperado

y el uso de las propiedades de la suma y de la integral.

El valor esperado de una variable aleatoria discreta puede ser interpretado comoel centro de masa de una distribucin de masas colocadas en los puntos del

eje .El valor esperado de una variable aleatoria continua puede ser interpretado

como la abscisa del centroide de la figura formada por la funcin junto con el eje

(y los extremos de si los hubiera).

MOMENTOS DE UNA VARIABLE ALEATORIA

Sea una variable aleatoria, se define su -simo momento con respecto al origencomo:

y el -simo momento con respecto a la media como4

El primer momento con respecto al origen es el valor esperado

Por las caractersticas del operador valor esperado, es posible obtenermomentos con respecto a la media a partir de momentos con respecto al origen, comoen el siguiente ejemplo

Es decir, el segundo momento con respecto a la media se puede obtener a travsde dos momentos con respecto al origen, y de similar forma el tercer momento conrespecto a la media se puede obtener con tres momentos con respecto al origen, y assucesivamente.

o valor esperado.4


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Tpico Especial: FUNCIN GENERADORA DE MOMENTOS

Debido a que los momentos permitirn calcular algunas de las caractersticas numricasde las variables aleatorias, es conveniente estudiar una forma alterna para obtener losmomentos. La funcin generadora de momentos permite calcular con facilidad algunosmomentos, que utilizando la definicin resultan mucho ms complicados.

Definicin 3.9Sea una variable aleatoria se define su funcin generadora demomentos como

y si el valor esperado existe, genera todos los momentos con respecto alorigen.

Al calcular el valor esperado , se considera como constante, demanera que es finalmente slo funcin de y no contiene . La variable

de la funcin generadora es una variable muda, puesto que para calcular el momentodebe valuarse la variable. Es muy comn que se denote a la funcin generadora como

; sin embargo, aqu se preferir la mayscula , debido a que la minscula se

utiliza en el curso de estadstica para definir los momentos muestrales, y se prefiere sobre debido a que se utiliza como variable aleatoria en una funcin de densidadmuy importante que se estudiar en detalle en el tema 6.

La razn por la cual la funcin genera los momentos con respecto al

origen y la forma en que lo hace puede observarse a continuacin

La serie de Maclaurin es:

Expresando en serie de Maclaurin se tiene:

Si

sustituyendo

por lo que sustituyendo en la definicin de la funcin generadora de momentos

de donde

Para obtener el -simo momento con respecto al origen se deriva veces conrespecto de y se vala en .

y para ello, la funcin debe ser veces derivable en cero.

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))QEjemplo 3.16Considrese la variable aleatoria con funcin de probabilidad

-4 -2 0 1 10 20

0.01 0.3 0.25 0.04 0.24 0.16

Construir la funcin generadora de momentos y utilizarla para calcular la mediade la variable aleatoria.

Resolucin


)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))A.L.B.S. / N.M.G.

Por lo que

Valuando en cero:

Por lo que

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q

Para una variable aleatoria discreta, cuya funcin de probabilidad est definidapor una tabla, resulta ms laborioso utilizar la funcin generadora para obtener su mediao valor esperado, que haber utilizado simplemente la definicin. En general, la funcingeneradora facilita el anlisis cuando la obtencin por medio de la definicin eslaboriosa, y lo dificulta cuando la obtencin del valor esperado es muy fcil por mediode la definicin.

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q

Ejemplo 3.17La funcin de densidad de probabilidad de una variable aleatoria estdeterminada por:

a) Determinar la funcin generadora de momentos de .b) Utilizar la funcin generadora de momentos para obtener la media de

.

Resolucina) La funcin generadora de momentos est definida por

por lo que:

integrando por partes se obtiene

Y recordando que la funcin generadora debe ser continua y vecesderivable en el origen, entonces

de donde

b) Para obtener la media, o valor esperado, se sabe que:

por lo que

,

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q


)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))A.L.B.S. / N.M.G.

CARACTERSTICAS NUMRICAS DE LA VARIABLEALEATORIA

Si bien, el comportamiento probabilstico de las variables aleatorias quedacompletamente especificado mediante las funciones de probabilidad o de densidad,segn sea el caso, en ocasiones es conveniente trabajar con algunas caractersticasnumricas que describen el comportamiento de la variable aleatoria.

Las caractersticas numricas se clasifican en tres:

- Medidas de tendencia central.- Medidas de dispersin.- Parmetros de forma.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Las medidas de tendencia central son la media, la moda y la mediana.

Media

La media o valor esperado, que tambin recibe el nombre de esperanza matemtica, seestudi antes. En muchas aplicaciones se considera como el valor ms representativo deuna variable aleatoria Se denota por .

Moda

Es aquel valor para el cual la funcin de probabilidad o funcin de densidad, segn seael caso, toma su valor mximo. Se denota por .

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))QEjemplo 3.18Considrese la variable aleatoria con funcin de probabilidad

-4 -2 0 1 5 10

0.01 0.3 0.25 0.04 0.24 0.16

Obtener la moda de la variable aleatoria.

Resolucin

Al observar las probabilidades de la tabla se observa que:

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q

Mediana

Es aquel valor para el cual la probabilidad de que la variable aleatoria tome valoresmenores o iguales a dicho valor es 0.5. Se denota por .

Matemticamente, la mediana es el valor tal que .

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))QEjemplo 3.19

Sea la funcin de densidad

Obtener la media, la mediana y la moda.

Resolucin

La media est dada por

Integrando por partes se tiene que:

La mediana est dada por

de donde

La moda es el valor en el cual se encuentra el mximo, por lo que derivando eigualando a cero para obtener el mximo:


)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))A.L.B.S. / N.M.G.

No existe solucin.Por otro lado, no se puede considerar ningn extremo del intervalo, puesto queen ambos casos es abierto .

Se concluye que la funcin no tiene moda.S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q

Como se pudo observar en el ejemplo anterior, no es necesario que existantodas las medidas de tendencia central, de hecho la media y la moda pueden no existir.La media no existe cuando la integral para las vv.aa. continuas no converge; la moda noexiste en casos como el anterior, o bien, cuando para cualquier valor de la variable lafuncin toma el mismo valor .5

MEDIDAS DE DISPERSIN

Las medidas de dispersin indican la lejana de los valores que puede tomar la variablealeatoria. Las principales medidas de dispersin son el rango, la desviacin media, lavariancia, la desviacin estndar y el coeficiente de variacin.

Rango

Es la mediada de dispersin ms simple. El rango se define como la diferencia entre elmayor valor que puede asumir la variable y el menor valor que puede asumir.

Desviacin media

La desviacin media de una variable aleatoria es el valor esperado de la diferencia envalor absoluto entre los valores de y su media. Se denota

Matemticamente:

En otras palabras, puede decirse que la desviacin media es el promedio de losvalores absolutos de las dispersiones alrededor de la media.

Debido a la dificultad matemtica que implica trabajar con el valor absoluto,recurdese que el valor absoluto est definido mediante dos reglas de correspondencia,se utiliza una funcin cuadrtica para eliminar el problema que se genera por lasdiferencias positivas y negativas, dando lugar a la variancia.

Variancia

La variancia se denota por o bien por y se define como el promedio del6

cuadrado de la diferencia de la variable aleatoria y su media.

Matemticamente:

De la definicin de la variancia, y utilizando las propiedades del valor esperado,se puede escribir la variancia como:

Debe recordarse que en este momento se est considerando que es una

caracterizacin exacta de la distribucin de frecuencias de una poblacin, es decir, proporciona toda la informacin de la poblacin, por lo que se puede escribir:

en el curso de Estadstica se estudiarn los casos en los cuales no se cuenta con toda lainformacin de la poblacin.

La variancia es el segundo momento con respecto a la media.

Algunos autores dicen que en este caso todos los valores son modas.5 Algunos autores utilizan la traduccin "varianza".6


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CARACTERSTICAS DE LA VARIANCIA

1) La variancia de una constante es cero.

2) La variancia de una constante por la variable aleatoria es el cuadradode la constante por la variancia de la variable aleatoria

Debido a que la variancia queda en unidades cuadradas, se obtiene la razcuadrada para regresar a las unidades originales, lo que da lugar a la desviacin estndar.

Desviacin estndar

La desviacin estndar se define como la raz cuadrada positiva de la variancia. Sedenota por . Esto es:

Coeficiente de Variacin

El coeficiente de variacin mide la dispersin relativa a la media de una distribucin deprobabilidad, y se utiliza para comparar la dispersin de dos distribuciones deprobabilidad.Se define como la desviacin estndar entre la media. Se denota .

PARM ETROS DE FORM A

Los parmetros de forma son el coeficiente de sesgo y el coeficiente de curtosis.

Coeficiente de sesgo

El coeficiente de sesgo mide el grado de simetra de una distribucin de probabilidad.Se define como el tercer momento con respecto a la media estandarizado. Se denota por

.

El valor del coeficiente de sesgo se compara contra cero, que indica una

distribucin simtrica con respecto a la media.

Sesgo positivo Simtrica Sesgo negativo

El sesgo positivo tambin se llama sesgo hacia la derecha, y el sesgo negativohacia la izquierda.

Tpico Especial: Coeficiente de curtosis

El coeficiente de curtosis mide el grado de aplanamiento, o bien, indica que tanpuntiaguda es la distribucin. Se define como el cuarto momento con respecto a la mediaestandarizado. Se denota por .

El valor del coeficiente de curtosis se compara con el nmero tres.

Platicrtica Mesocrtica Leptocrtica


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S))))))))))))))))))))))))))))))))))))QEjemplo 3.20Considrese una variable aleatoria continua con la funcin de densidad dadapor

Determinar todas las caractersticas numricas de la variable aleatoria .

ResolucinMedidas de tendencia central:

Media,

Moda,

Mediana,Para encontrar la mediana deben de utilizarse en orden las reglas decorrespondencia de la funcin de densidad, hasta obtener la regla con la cualse acumule la probabilidad de 0.5Para la primera regla de correspondencia, con , se tiene:

Esto es , de donde , y puesto que el valor obtenido s se

encuentra dentro de intervalo , entonces la mediana es .

Medidas de dispersin:Rango,

Desviacin media

por simetra

Variancia

Desviacin estndar

Coeficiente de variacin

Parmetros de forma:

Sesgo,

pero

por lo que La distribucin es simtrica.

Curtosis

pero

por lo que

La distribucin es platicrtica.

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q


)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))A.L.B.S. / N.M.G.

Ejemplo 3.21 Rendimiento Esperado

Un empresario debe decidir entre invertir en el proyecto o el . Segn losestudios realizados por sus analistas cada proyecto puede generar distintosrendimientos dependiendo de situaciones relacionadas con la competencia y lapoltica nacional. En resumen se tiene la siguiente informacin:

Probabilidad

0.1 -25 -40

0.2 5 0

0.4 15 16

0.2 30 40

0.1 45 66

a) Determinar el rendimiento esperado de los activos y .b) Determinar la desviacin estndar y coeficiente de variacin de los

rendimientos de los proyectos y .c) Jerarquizar los proyectos con base en el rendimiento esperado, el

riesgo del proyecto y el riesgo por rendimiento prometido.

Resolucina) Sean y los rendimientos de los proyectos y .

b)

c) Con base en el rendimiento esperado, el mejor proyecto es el .Con base en el riesgo del proyecto, el mejor proyecto es el .Con base en el riesgo por rendimiento prometido, el mejor proyectoes el .

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q

TPICOS ESPECIALES: TEOREMA DE CHEBYSHEV

El teorema de Chebyshev o la desigualdad de Chebyshev proporciona una cota para laprobabilidad de que una variable aleatoria se aleje un cierto nmero de desviacionesestndar de la media. La cota no siempre genera un intervalo reducido; sin embargo, serequiere muy poca informacin de la variable aleatoria para generar el intervalo, dehecho, basta con conocer la media y la desviacin estndar.

Teorema de ChebyshevLa probabilidad de que cualquier variable aleatoria tome un valor dentro

de desviaciones estndar de la media es por lo menos ; es decir,

De hecho, la desigualdad de Chebyshev se puede escribir tambin como:


)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))A.L.B.S. / N.M.G.

o bien, utilizando el complemento

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))QEjemplo 3.22Una variable aleatoria tiene una media , con una variancia ,y una distribucin de probabilidades conocida. Utilizando el teorema deChebyshev, obtener:a) .b) .

Resolucin

a)

b)

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))QEjemplo 3.23

Tener a mano un suministro adecuado de refacciones es funcin importante delalmacn de una gran empresa electrnica. Se estudi la demanda mensual detarjetas para impresoras de microcomputadoras durante algunos meses y se vioque el promedio o media es 28 y la desviacin estndar es 4. Cuntas tarjetasde impresora deben tener a la mano al principio de cada mes para asegurar quela demanda ser mayor que la oferta cuando mucho con una probabilidad de0.10?

ResolucinSea la variable aleatoria que representa la demanda.

Utilizando el teorema de Chebyshev con se tiene :

es decir :

Por lo que deben existir 41 tarjetas de impresora en el inventario.

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q


)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))A.L.B.S. / N.M.G.

AUTOEXAMEN TEMA III

1.- Sea una variable aleatoria con funcin de densidad

donde . La probabilidad de que est entre 1 y 2 es:

A) B) C) D) E)

2.- Los siguientes enunciados se relacionan con una distribucin de probabilidad

discreta, EXCEPTO:

A) La suma de todas la probabilidades es uno.B) Se puede presentar como una frmula.C) A cada valor de la variable se le asigna una probabilidad.D) Se puede representar en forma grfica.E) Su funcin de distribucin es continua.

3.- Sea una variable aleatoria discreta con funcin de distribucin

Entonces es:

A) 1 B) 0 C) 0.2 D) 0.3 E) 0.5

4.- Si la variable aleatoria tiene la funcin de densidad que se muestra en la

figura, entonces el valor de es:

A) 2 B) 1 C) D) E)

5.- Dada la variable aleatoria con funcin de densidad

entonces el valor de es:

A) B) 1 C) 2 D) 3

E) Ninguna de las anteriores.

6.- Una compaa de seguros debe determinar la cuota anual a cobrarse por unseguro de cincuenta mil pesos para hombres cuya edad se encuentra entre los30 y 35 aos. Con base en las tablas actuariales el nmero de fallecimientos alao, para este grupo, es de 5 por cada mil. Si es la v.a. que representa laganancia de la compaa de seguros, entonces el monto de la cuota anual paraque la compaa no pierda, a pesar de tener un nmero grande de tales seguros

es:

A) 100 B) 250 C) 5000 D) 50,000E) Ninguno de los anteriores.


)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))A.L.B.S. / N.M.G.

7.- Dada la funcin de densidad

la funcin de distribucin acumulativa es:

A)

B)

C)

D)

E) Ninguna de las anteriores.

8.- El tiempo que toma reparar una computadora personal es una variable aleatoriacon funcin de densidad

El costo de la reparacin depende del tiempo, y es igual a . El costo

esperado al reparar una computadora personal es:

A) 68.28 B) 70 C) 1 D) 16.56E) Ninguna de las anteriores.

9.- Dada la funcin de probabilidad

0 1 2 3

0.1 0.2 0.4 0.3

Su funcin generadora de momentos es:

1) 2)

3) 4)

5)


)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))A.L.B.S. / N.M.G.

10.- Si la variable aleatoria tiene una distribucin asimtrica a la derechaentonces , y corresponden

en ese orden, a:

A) La media, la moda y la mediana.B) La moda, la media y la mediana.C) La mediana, la media y la moda.D) La moda, la mediana y la media.E) Ninguna de las anteriores.

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probabilidad y estadistica para ingenieros

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