probabilidad y estadística i unidad 1
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Contenido de la Unidad 1 del Curso de Probabilidad y Estadísticas I para bachillerato del Instituto Universitario del Centro de México UCEM Campus IrapuatoTRANSCRIPT
Probabilidad y Estadí stica I
1. Distribución de la Probabilidad
1.1. Variable aleatoria discreta
1.1.1. Definición
Se denomina variable aleatoria discreta aquella que sólo puede tomar un número
finito de valores dentro de un intervalo. Por ejemplo, el número de componentes de
una manada de lobos, pude ser 4 ó 5 ó 6 individuos pero nunca 5,75 ó 5,87. Otros
ejemplos de variable discreta serían el número de pollos de gorrión que llegan a
volar del nido o el sexo de los componentes de un grupo familiar de babuinos (Recuperado el 7 de enero de 2015 de http://es.wikiversity.org/wiki/Variable_aleatoria_discreta).
1.1.2. Recorrido o Rango
Se llama rango o recorrido de una variable aleatoria X y lo denotaremos RX, a la
imagen o rango de la función X, es decir, al conjunto de los valores reales que ésta
puede tomar, según la aplicación X. Dicho de otro modo, el rango de una variable
aleatoria es el recorrido de la función por la que ésta queda definida:
Ejemplo:
(Recuperado el 7 de enero de 2015 de http://es.wikipedia.org/wiki/Variable_aleatoria).
1.2. Distribuciones de probabilidad de variable aleatoria discreta
En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de probabilidad de una variable
aleatoria es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria, la
probabilidad de que dicho suceso ocurra. La distribución de probabilidad está definida
sobre el conjunto de todos los sucesos, cada uno de los sucesos es el rango de valores de
la variable aleatoria.
La distribución de probabilidad está completamente especificada por la función de
distribución, cuyo valor en cada x real es la probabilidad de que la variable aleatoria sea
menor o igual que x.
1.2.1. Propiedades
(Recuperada el 7 de enero de 2015 de http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_probabilidad).
1.2.2. Distribución acumulada
(Recuperado el 7 de enero de 2015 de http://www.monografias.com/trabajos81/distribuciones-de-probabilidad-
discreta/distribuciones-de-probabilidad-discreta2.shtml#funciondea).
1.2.3. Parámetros: Valor Esperado y Desviación Estándar
El valor esperado o esperanza de una variable aleatoria tiene su origen en los juegos
de azar, debido a que los jugadores deseaban saber cuál era su esperanza de ganar o
perder con un juego determinado. Como a cada resultado particular del juego le
corresponde una probabilidad determinada, esto equivale a una función de
probabilidad de una variable aleatoria y el conjunto de todos los resultados posibles
del juego estará representado por la distribución de probabilidad de la variable
aleatoria. El valor esperado o esperanza es muy importante, ya que es uno de los
parámetros que describen una variable aleatoria.
Variancia: Existen dos aspectos que caracterizan de forma simple el comportamiento
de la distribución de probabilidad, porque proporcionan una descripción completa
de la forma en que se comporta: la medida de tendencia central y la de dispersión.
La primera está representada por la media o valor esperado, ya vista en el punto
anterior, y la segunda por la variancia o por la desviación estándar, que evalúan la
dispersión de la distribución de probabilidad o grado en que se separan del
promedio los valores de la variable aleatoria X.
Por ejemplo, en un espacio muestral equiprobable vemos que los valores 5, 10 y 15
tienen una media de 10 y que los valores 9.9, 10 y 10.1 la media también es 10. Sin
embargo, advertimos que los dos conjuntos de valores difieren notablemente en la
dispersión de los valores respecto a su media y que tal dispersión es de gran
importancia. Por lo tanto, para tener un conocimiento claro y completo del
comportamiento de los valores que puede tomar la variable aleatoria, es
indispensable conocer tanto la media como la variancia o la desviación estándar de
la distribución de probabilidad.
La desviación estándar (σ) mide cuánto se separan los datos. La fórmula es fácil: es la
raíz cuadrada de la varianza.
La desviación estándar de x es la raíz cuadrada positiva de la varianza de x.
1.3. Distribución binomial
En estadística, la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que
cuenta el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes
entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos. Un
experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos
resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y
al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1 - p. En la distribución binomial el anterior
experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la
probabilidad de un determinado número de éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte,
de hecho, en una distribución de Bernoulli.
Para representar que una variable aleatoria X sigue una distribución binomial de
parámetros n y p, se escribe:
La distribución binomial es la base del test binomial de significación estadística.
Función de probabilidad
Función de distribución de probabilidad
Ejemplos:
Las siguientes situaciones son ejemplos de experimentos que pueden modelizarse por
esta distribución:
Se lanza un dado diez veces y se cuenta el número X de tres obtenidos: entonces
X ~ B(10, 1/6)
Se lanza una moneda dos veces y se cuenta el número X de caras obtenidas:
entonces X ~ B(2, 1/2)
1.3.1. Experimento binomial
Existen muchas situaciones en las que se presenta una experiencia binomial. Cada
uno de los experimentos es independiente de los restantes (la probabilidad del
resultado de un experimento no depende del resultado del resto). El resultado de
cada experimento ha de admitir sólo dos categorías (a las que se denomina éxito y
fracaso). Las probabilidades de ambas posibilidades han de ser constantes en todos
los experimentos (se denotan como p y q o p y 1-p).
Se designa por X a la variable que mide el número de éxitos que se han producido en
los n experimentos.
Cuando se dan estas circunstancias, se dice que la variable X sigue una distribución
de probabilidad binomial, y se denota B(n,p).
Otro Definición
1.3.2. Variable aleatoria binomial
La variable aleatoria binomial, X, expresa el número de éxitos obtenidos en cada
prueba del experimento. La variable binomial es una variable aleatoria discreta, sólo
puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4,..., n suponiendo que se han realizado n
pruebas.
Ejemplo:
k = 6, al lanzar una moneda 10 veces y obtener 6 caras.
1.3.3. Parámetros
Media () = n * p
Varianza (2) = n * p * q = n * p * (1 – p)
Desviación típica () = √𝑛 ∗ 𝑝 ∗ 𝑞 = √𝑛 ∗ 𝑝 ∗ (1 − 𝑝)
1.3.4. Aplicaciones
1.4. Distribución normal
En estadística y probabilidad se llama distribución normal, distribución de Gauss o
distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua
que con más frecuencia aparece aproximada en fenómenos reales.
La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto
de un determinado parámetro estadístico. Esta curva se conoce como campana de Gauss
y es el gráfico de una función gaussiana.
La importancia de esta distribución radica en que permite modelar numerosos
fenómenos naturales, sociales y psicológicos. Mientras que los mecanismos que subyacen
a gran parte de este tipo de fenómenos son desconocidos, por la enorme cantidad de
variables incontrolables que en ellos intervienen, el uso del modelo normal puede
justificarse asumiendo que cada observación se obtiene como la suma de unas pocas
causas independientes.
De hecho, la estadística descriptiva sólo permite describir un fenómeno, sin explicación
alguna. Para la explicación causal es preciso el diseño experimental, de ahí que al uso de
la estadística en psicología y sociología sea conocido como método correlacional.
La distribución normal también es importante por su relación con la estimación por
mínimos cuadrados, uno de los métodos de estimación más simples y antiguos.
Algunos ejemplos de variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de
la normal son:
Caracteres morfológicos de individuos como la estatura;
Caracteres fisiológicos como el efecto de un fármaco;
Caracteres sociológicos como el consumo de cierto producto por un mismo grupo
de individuos;
Caracteres psicológicos como el cociente intelectual;
Nivel de ruido en telecomunicaciones;
Errores cometidos al medir ciertas magnitudes;
etc.
La distribución normal también aparece en muchas áreas de la propia estadística. Por
ejemplo, la distribución muestral de las medias muestrales es aproximadamente normal,
cuando la distribución de la población de la cual se extrae la muestra no es normal.
Además, la distribución normal maximiza la entropía entre todas las distribuciones con
media y varianza conocidas, lo cual la convierte en la elección natural de la distribución
subyacente a una lista de datos resumidos en términos de media muestral y varianza. La
distribución normal es la más extendida en estadística y muchos tests estadísticos están
basados en una supuesta "normalidad".
En probabilidad, la distribución normal aparece como el límite de varias distribuciones de
probabilidades continuas y discretas.
Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja un área igual a 0.5 a la izquierda y
otra igual a 0.5 a la derecha. La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva.
1.4.1. Modelo de probabilidades continuo
1.5. Distribución normal estándar
La probabilidad de la variable X dependerá del área del recinto sombreado en la figura. Y
para calcularla utilizaremos una tabla.
1.5.1. Área bajo la curva normal y manejo de tablas
1.5.2. Problemas de aplicación
Resultados de los ejercicios: