probabilidad y estadistica · alumno deberá elegir 6 de los ocho ejercicios, del bloque 4b deberá...

CETis 030 “Emiliano Zapata”

JUNIO 2020

PROBABILIDAD Y ESTADISTICA


CETIS 030 “EMILIANO ZAPATA”

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Índice Bloque 1: Manejo de la Información.

a. Contenidos Específicos: Nociones básicas de la Estadística y manejo de los datos b. Aprendizaje Esperado: Usa un lenguaje propio para situaciones que necesiten del estudio con

elementos de estadística y probabilidad de usa técnicas de conteo o agrupación la determinación de probabilidad.

c. Producto Esperado: Ejercicios resueltos del tema. Bloque 2: Análisis de información.

a. Contenidos Específicos: Organiza la información recolectada y la situación estudiada. Construye formas de probabilidad.

b. Aprendizaje Esperado: Manejo de datos y cálculos de Frecuencia c. Producto Esperado: Ejercicios resueltos del tema.

Bloque 3: Medidas de Tendencia Central, de Posición, de Dispersión y de Forma

a. Contenidos Específicos: Medidas de Tendencia Central, de Posición, de Dispersión y de Forma b. Aprendizaje Esperado: Calcular las Medidas de Tendencia, de Posición, Dispersión y de Forma

en datos obtenidos de una muestra o de una población en la resolución de problemas. c. Producto Esperado: Ejercicios resueltos del tema.

Bloque 4: 4a) Teoría de Conjuntos, 4b) Teoría de Probabilidad I.

a. Contenidos Específicos: Operaciones con Conjuntos b. Aprendizaje Esperado: Calcular la unión, diferencia, intersección y complemento de un

conjunto. Introducción a la Probabilidad. Ley de los Grandes Numeros, Regla de Laplace c. Producto Esperado: Ejercicios resueltos del tema.

Bloque 5: 5a) Técnicas de Conteo, 5b) Teoría de Probabilidad II.

a. Contenidos Específicos: Calcular Ordenaciones y Combinaciones así como la Probabilidad b. Aprendizaje Esperado: Aprender a contar así como calcular la Probabilidad Condicional,

Probabilidad Total y Teorema de Bayes c. Producto Esperado: Ejercicios resueltos del tema.

Bibliografía Recomendada. Rúbrica de Evaluación: En los bloques 1 y 2 el alumno deberá contestar todos los 15 reactivos. Para el bloque 3 cada medida calculada representa 1 punto en la evaluación del Segundo Parcial. Del bloque 4a el alumno deberá elegir 6 de los ocho ejercicios, del bloque 4b deberá resolver los 4 ejercicios, del bloque 5a el alumno deberá elegir 7 de los nueve ejercicios y del bloque 5b deberá elegir 3 de los seis ejercicios. Cada ejercicio elegido en los bloques 4 y 5 vale 0.5 punto en la evaluación del Tercer Parcial. Colaboradores

Nombre del Docente Correo Electrónico Grupo(s) a Evaluar Cuadernillo

Noemi Cruz Perez [email protected] 10612 y 10615 Ing. Alicia López García [email protected] 10601 Armando Figueroa Ortiz [email protected] 10606,10608,10609,10610 y 10613



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Bloque 1: Manejo de la Información PROBABILIDAD Y ESTADISTICA La probabilidad y la estadística son dos ramas de las matemáticas que están sumamente relacionadas. Se ha mencionado que la probabilidad es el “vehículo de la estadística” que a través de las leyes de la probabilidad, es posible la teoría de la estadística. La probabilidad se describe como la ciencia de hacer afirmaciones sobre lo que ocurría en poblaciones conocidas en base a muestras obtenidas, y la estadística fue descrita como una técnica científica que elige una muestra y hace inferencias sobre la población desconocida. Es utilizada por otras áreas de estudio en un proceso de investigación, como las administrativas, ciencias físicas y sociales, y de muchos otros campos. DEFINICIÓN DE LA ESTADISTICA El aprender de la estadística es más parecido a aprender otro idioma que aprender matemáticas, es más que formulas y datos. Incluye los procesos de resolución de problemas, pensamiento estadístico, recolección de datos, obtención de resultados numéricos y gráficos, y su cuestionamiento. Cada cosa o persona es una unidad estadística por lo que es diferente de manera única a los demás. Cuando se trata de un solo rasgo, se dan muchos valores de una sola variable que genera un patrón. La estadística aplica técnicas para cuantificar las ideas de investigación y la información se reduce de manera numérica y pueda representarse grafica o algebraicamente. La experiencia y compresión de la vida real constituyen la base para comprender la estadística. Esta se ha utilizado para fines descriptivos, para organizar y resumir datos, terminando con su presentación numérica y gráfica. Los métodos estadísticos permiten obtener información precisa de los datos:

1. Definir la situación cuidadosamente. 2. Recolectar datos. 3. Resumir la información con precisión. 4. Obtener y expresar conclusiones representativas del estudio.

TIPOS DE ESTADISTICAS El campo de la estadística puede dividirse a grandes rasgos en dos áreas: Estadística descriptiva y estadística inferencial. Estadística descriptiva: Es la estadística que incluye la recolección, presentación y descripción

de datos muestrales. Un uso importante de la estadística descriptiva es resumir un conjunto de datos de una manera clara y comprensible. Hay dos métodos básicos: números y gráficos. Utilizando el enfoque numérico se podría calcular estadísticas como la media y la desviación estándar. Usando el método grafico se podría crear diferentes tipos de diagramas. Estadística inferencial: Es la estadística que refiere a la técnica descriptiva de interpretación de

la información para la toma de decisiones y conclusiones de la población. La estadística inferencial se utiliza para obtener conclusiones sobre una población a partir de una muestra. Hay dos métodos principales utilizados en la estadística inferencial: estimación y pruebas de hipótesis. En la estimación, la muestra se utiliza para calcular un parámetro y se construye un intervalo de confianza alrededor de la estimación. En el uso más común de las pruebas de hipótesis es que se plantea hipótesis nula (hipótesis acerca de un parámetro de la población) y se determina, si los datos son lo suficientemente fuertes como para rechazarla. ELEMENTOS BÁSICOS DE LA ESTADISTICA Y DEFINICIONES: TERMINOS BASICOS DE LA ESTADISTICA Para el inicio del estudio de la estadística es necesario definir algunos términos básicos.



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POBLACIÓN: Es la colección o conjunto de cosas, individuos, objetos o eventos cuyas propiedades serán analizadas. La población se considera definida solo cuando se especifica la lista de elementos que pertenecen a ella. Por ejemplo: Los estudiantes de un Centro de Estudios Científicos y Tecnológicos (C.E.C y T.); una colección de animales; las aves de una granja; la producción de una fábrica: etc. Es difícil estudiar grandes poblaciones, por lo tanto, se acostumbra seleccionar una muestra y estudiar los datos de está. MUESTRA: Es un subconjunto que representa a la población, consta de objetos, cosas, individuos o medidas seleccionadas de la población por un proceso aleatorio. VARIABLE: Es la característica de interés sobre cada elemento de la población o muestra, por ejemplo: color de cabello, ciudad que habita, productos defectuosos, costos de una producción, etc DATO: el valor que se le da a una variable asociada a un elemento de la población o muestra. Puede ser un número, palabra o símbolo. Por ejemplo: Juan tiene el cabello color (negro). Beatriz vive en (puebla). En una producción de cerillos en cada caja tiene por lo menos (1) cerillo defectuoso.

DATO: conjunto de valores recolectados de acuerdo con la variable de cada elemento que pertenece a la muestra. Por ejemplo: “el conjunto de 50 edades recolectadas de 50 estudiantes.” (edades). “el conjunto de 122 salarios de empleados de una empresa.” (122). EXPERIMENTO: Es una actividad que se planea para obtener resultados de una muestra. PARAMETRO: Es un valor numérico que resume la información de una población. Es el promedio de los datos obtenidos y que describe la población. ESTADISTICA: Valor numérico que describe los datos de las muestras. Se determinara con ayuda de fórmulas. Por ejemplo: “la edad promedio de los estudiantes del 3er semestre de la preparatoria.” Ejemplo 1: identifica los ocho términos de la estadística: el 23% de la población adulta en Canadá padece alergia. En una muestra aleatoria de 1200 adultos se encontró que 20.2% tiene alergia. Solución: Población: Personas adultas de Canadá. Muestra: 1200 adultos. Variable: Padecen alergia. Dato: “Si” padecen alergia; “No” padecen alergia. Datos: 1200 entre “Si” y “No”. Experimento: muestra aleatoria. Parámetro: 23% de la población “Si” padece alergia. Estadística: 20.2% Ejemplo 2: Un estudiante está interesado en determinar el valor promedio de los automóviles de los profesores de su escuela, en especial a los maestros de matemáticas. Solución: Población: Todos los automóviles de la escuela. Muestra: Los automóviles de los maestros de matemáticas. Variable: Valor en pesos. Dato: El valor del automóvil del profesor Ledesma es de $ 110.000.00



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Datos: $ 110.000.00, $ 95.000.00, $ 57.000.00, $ 183.000.00, etc. (datos de la muestra). Experimento: Métodos aplicados: preguntar a cada miembro de la academia de matemáticas. Parámetro: Promedio de la población. Estadística: Promedio de los autos de los profesores Ejercicio 1: Identifica los términos de la estadística: Se desea saber el promedio de la estatura de los alumnos hombres de 5to semestre del C.E.C. y T. #4. De los 10 grupos, se selecciona un grupo para realizar la medición directa. El promedio de estatura de los hombres es de 1.75 cm. De la muestra obtenida, 25 hombres el promedio fue de 1.78 cm. Solución: Población: ____________________________________________________ Muestra: ____________________________________________________ Variable: ____________________________________________________ Dato: ____________________________________________________ Datos: _____________________________________________________ Experimento: _____________________________________________________ Parámetro: _____________________________________________________ Estadística: _____________________________________________________ TIPOS DE VARIABLES VARIABLE: Establece cómo es la característica de interés sobre cada elemento de la población o muestra, puede tomar diferentes valores y es parte fundamental del estudio estadístico. Es cualquier característica o atributo que mide difiere para diferentes materias. Por ejemplo, si se midió el peso de 30 sujetos, entonces el peso sería una variable. Debido a sus diferentes y variadas características la variable se clasifica en: variable cualitativa y variable cuantitativa. Estas variables se pueden subdividir en: VARIABLE CUALITATIVA DE ATRIBUTOS O CATEGORÍAS Son los atributos de una variable que no son numéricos, solamente pueden describirse mediante palabras o una cualidad, sin tomar valores numéricos, como nacionalidad, ocupación, religión, estado civil, ciudad en donde vive, etc. VARIABLE NOMINAL

Es la variable que describe o identifica un elemento de una población. Por ejemplo: color de su preferencia, género, afiliación política, estado civil, ciudad de residencia, marca de automóvil, etc.

Variable

Cualitativa

Cuantitativa

Ordinal

Normal

Continua

Discreta



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VARIABLE ORDINAL Es la variable que presenta una posición, clasificación o un ordenamiento. Por ejemplo: grados de estudio, nivel de satisfacción, nivel de preferencia de un producto, etc. Las variables cualitativas se miden en una escala nominal (se asignan elementos a los grupos o categorías, ejemplo de escalas nominales: preferencia religiosa, raza y sexo) VARIABLE CUANTITATIVA O NUMÉRICA Son datos numéricos de la variable, se obtienen mediante conteos o mediciones, como el salario de un trabajador, números de artículos producidos por una máquina, la edad de una persona, etc VARIABLE DISCRETA

Es la variable que tiene valor representado por un numero natural o cero. Por ejemplo, el número de personas asistidas en un partido de fútbol. VARIABLE CONTINUA

Es la variable que puede tomar cualquier valor entre los números reales o el intervalo de valores incluido entre ellos. Por ejemplo, el tiempo transcurrido entre la llegada de dos aviones a un aeropuerto, etc. Las variables cuantitativas se miden en una escala ordinal (los números más altos, representan los valores más altos), intervalo (una unidad en la escala representa la misma magnitud en el rasgo o característica que se mide a través de toda la gama de la escala) o de razón. VARIABLES INDEPENDIENTES Y DEPENDENTES Cuando se realiza un experimento, algunas variables son manipuladas por el experimentador y otros se miden a partir de los primeros. Las variables anteriores se denominan “variables independientes” mientras que los segundos se denominan “variables dependientes.” Ejercicio 1: Escribe el tipo de variable que se enlista a continuación:

1. El número de llamadas telefónicas del conmutador en 10 min.

2. Candidato que apoyan los lectores.

3. Tiempo que sane una herida.

4. Grado máximo de estudios de los trabajadores de una empresa_______________

Bloque 2: Análisis de información TABLAS DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA Y GRÁFICAS DE DATOS, OBTENIDOS DE UNA MUESTRA DE POBLACIÓN Obtención y organización de datos. Tipos de muestras Elaboración de tablas de distribución de frecuencias Representación gráfica de datos: Histogramas, polígono de frecuencia, figuras y circulares OBTENCIÓN DE DATOS Los datos no ocurren simplemente: es necesario buscarlos y recolectarlos. Los datos deben representar con exactitud a la población, no es fácil garantizar que un método particular de muestreo produzca datos requeridos. La obtención de datos para el análisis estadístico es un proceso complicado y laborioso. Incluye los siguientes pasos:



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1. Definir el objetivo de la investigación o del experimento. Ejemplo: comparar la resistencia de ciertos materiales en diferentes condiciones ambientales, estimar los problemas más frecuentes en una delegación del Distrito Federal

2. Identificar la variable y la población de interés. Ejemplo: Tiempo de oxidación de tubulares de fierro en las costas de una localidad, la inseguridad que muestra determinada colonia de una delegación.

3. Recolectar y medir los datos. Incluye el procedimiento de muestreo, tamaño de la muestra y el instrumento de medición (cuestionario, vía telefónica, etc.)

4. Determinar las técnicas para realizar el análisis de datos: descriptivo o inferencialmente. METODOS DE RECOLECCIÓN DE DATOS Los métodos que se utilizan para recolectar datos con el fin de realizar un análisis estadístico son los experimentos y estudios de observación:

a) En un experimento, el investigador controla, modifica el entorno y observa los efectos de la variable en estudio. En ocasiones leemos resultados de laboratorios obtenidos con roedores para probar dosis de medicamentos en la cura de una enfermedad. El experimento se diseña específicamente para obtener datos necesarios para estudiar tal efecto sobre la variable.

b) En un estudio de observación el investigador no modifica el entorno y no controla el proceso de

observación. Los datos se obtienen de la muestra de la población de interés a través de encuestas, por ejemplo: los censos de la población de un país.

La recolección de datos de la muestra debe ser representativa de la población. El proceso de selección de elementos de la muestra puede ser de dos categorías: muestras de juicios y muestras probabilísticas. Muestras de juicio La muestra es elegida a juicio de recolector de datos en base al hecho que son “típicas” Muestra probabilística Las muestras se obtienen con base en la probabilidad, cada elemento tiene la misma probabilidad de ser elegido en la muestra. Unos de los métodos comúnmente usados para recolectar datos es el muestreo aleatorio simple. Muestreo aleatorio simple. Es una muestra seleccionada donde todos los elementos de la población tienen la misma probabilidad de ser elegidos. En el procedimiento se utiliza un generador de números aleatorios o con una tabla de números aleatorios A menudo se confunden el termino aleatorio (misma probabilidad) con el de fortuito (sin patrón). Cada elemento numerado en la muestra corresponde a un número aleatorio seleccionado. También se puede enumerar cada elemento de la muestra y en un papel se anota el número, se dobla y se deposita en una urna y así sucesivamente con todos los números de la muestra. Se agita la urna y se extrae el primero de ellos, después otro número con algún patrón de extracción: cada 2 números, de 3 en 3 etc. Y se repite la operación cuantas veces sea necesario hasta juntar el 10% (recomendado) de la muestra Muestra aleatoria estratificada Se selecciona un número fijo de elementos de cada uno de los estratos por medio de la técnica de muestreo aleatorio simple. ORGANIZACIÓN DE DATOS Su finalidad es ver rápidamente todas las características posibles de los datos que se han recolectado. Entre más información tengamos de la muestra, mejor se conocerá la población y las decisiones serán más afirmativas.



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Las características de los datos más importantes son el valor máximo y el mínimo, los datos de mayor frecuencia y la tendencia de agruparse Los datos se organizan de acuerdo al número de elementos de la muestra. Si son pocos datos (datos no agrupados) se puede hacer un arreglo y si son muchos datos (datos agrupados) – una tabla de distribución. ARREGLO

La forma más sencilla en la que se organizan los datos: se colocan los elementos u observaciones de la muestra en orden ascendente o descendente según su magnitud. El arreglo es utilizado con mayor frecuencia para pocos datos, llamados datos no agrupados

Ejemplo: las edades de los miembros de un club de pintura.

37, 28, 40, 47, 30, 42, 38, 52, 25, 30

El arreglo en orden ascendente será:

25, 28, 30, 30, 37,

38, 40, 42, 47, 52

TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE DATOS (DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA) Cuando se obtiene un gran número de datos es útil distribuirlos en categorías o clases y determinar el número de datos pertenecientes a ellas (frecuencias).

Entonces, los datos quedan agrupados en clases o categorías.

Ejemplo:

Los aciertos de un examen fueron:

TABLA DE DISTRIBUCION (1)

TAB

LAS

DE

DIS

TRIB

UC

IÓN

DE

FREC

UEN

CIA

S

El número de datos de cada clase se llama frecuencia (f)

El número total de datos de una muestra se representa con “N”

N= 60



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50 - 59 7

CLASES (CL)

Las clases o categorías no deberían ser tan pequeñas (menos de 5) o tan grandes (más de 20). Para determinar el número de clases (CL) que debe tener la muestra, se obtiene la raíz cuadrada del número total de datos (N), o bien se aplica la fórmula de Sturges:

En el ejemplo anterior aplicamos las dos fórmulas,

Intervalo de clases (I)

De la tabla de distribución (1), Cada clase tiene una magnitud llamado intervalo donde se concentran los datos con ciertas características similares.

Ejemplo:

Clase f

CL = 1+ 3.32 log N ó CL = √N

N= 60 CL= √60 = 7.7

Sturges CL= 1 + (3.32 log 60) = 6.9 De acuerdo con las dos fórmulas, el resultado está alrededor de “7”.

La clase tiene un tamaño de 10 puntuaciones de exámenes diferentes. Las puntuaciones serian de: 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59. Los números 50 y 59 son extremos, fronteras o límites de la clase: El 50 es el extremo, frontera o límite inferior de la clase. El 59 es el extremo, frontera o límite superior de la clase. Nota. Todas las clases deben ser iguales en el tamaño de intervalo. Los intervalos más usuales son los nones: 3, 5, 7 etc.



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Límite real inferior (Lri)

Lri = límite inferior - 0.5

Límite real superior (Lrs)

Lrs = límite superior + 0.5

MARCA DE CLASE (mc)

El punto medio del intervalo de la clase se llama marca de clase (MC). Para obtener MC debemos calcular la semisuma de los límites de clase.

Para el ejemplo:

LIMITE REAL DE CLASE (LR)

Los límites reales de clase se obtienen agregando o disminuyendo 0.5 a los límites de la clase.

Ejemplo:

RANGO (R)

Es la amplitud de los datos de la muestra y se obtiene mediante la diferencia del dato mayor menos el dato menor.

Ejemplo:

Dato mayor: 98- 30 = 68 R = 98 - 30 = 68

Dato menor: 30 R = 68

TAMAÑO DE INTERVALO (I)

Se puede obtener con el cociente del rango entre el número de clases:

Lri CLASE Lrs

49.5 50 - 59 59.5

mc= Límite inferior + Límite superior 2

mc = 50 + 59 = 109 = 54.5 2 2

mc = 54.5

I = R CL

FRECUENCIA ABSOLUTA (f) de una variable estadística es el número de veces que se repite cada categoría o valor de la variable



10

fr = f N

Ejemplo:

I = 68 = 9.7, haciendo el redondeo: 7 I = 10 FRECUENCIA ACUMULADA (fa)

Es La frecuencia que se obtiene sumando sucesivamente los números de la columna de frecuencia.

FRECUENCIA RELATIVA (fr)

Se obtiene dividiendo la frecuencia de la clase entre el número total de observaciones. La suma (∑) de las frecuencias relativas es igual a la unidad.

No. CLASES f fa fr

1 30 - 39 1 1 0.02

2 40 - 49 3 4 0.05

3 50 - 59 7 11 0.11

4 60 - 69 20 31 0.34

5 70 - 79 16 47 0.26

6 80 - 89 8 55 0.13

7 90 - 99 5 60 0.09

N = 60 ∑ 1

FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA (fra)

Se obtiene simulando sucesivamente las frecuencias relativas o dividiendo la frecuencia acumulada (fa) entre el número total de datos (N).

Iguales

Porcentaje (%). Si la frecuencia relativa se multiplica por 100, obtenemos el porcentaje, valor que nos permite estimar, si la frecuencia con la que aparece un dato es relevante o no.



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DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS PARA DATOS NO AGRUPADOS

Este tipo de distribución se aplica cuando la cantidad de valores distintos no es mayor a diez.

Ejemplo: Las calificaciones de 22 alumnos de un grupo de una escuela son:

6, 4, 3, 3, 5, 6, 7, 9, 0, 5, 4, 9, 10, 2, 7, 2, 3, 5, 6, 5, 9, 8.

Elaboremos la distribución de frecuencias, de frecuencias relativas y de las frecuencias relativas acumuladas.

Primero, ordenamos los datos de menor a mayor:

0, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 9, 9, 9, 10.

La distribución de frecuencias correspondiente será:

No. CLASES f fa fr fra

1 30 - 39 1 1 0.0116 0.02

2 40 - 49 3 4 0.05 0.07

3 50 - 59 7 11 0.116 0.19

4 60 - 69 20 31 0.333 0.52

5 70 - 79 16 47 0.266 0.78

6 80 - 89 8 55 0.133 0.91

7 90 - 99 5 60 0.083 1

N = 60



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Variable

estadística

(xi)

Frecuencias

(fr)

Frecuencias

acumuladas (fa)

relativas relativas acumuladas (fra)

0 1 1 1/22 1/22

2 2 3 2/22 3/22

3 3 6 3/22 6/22

4 2 8 2/22 8/22

5 4 12 4/22 12/22

6 3 15 3/22 15/22

7 2 17 2/22 17/22

8 1 18 1/22 18/22

9 3 21 3/22 21/22

10 1 22 1/22 22/22

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS PARA DATOS AGRUPADOS

Este tipo de distribución se utiliza cuando la cantidad de valores distintos es mayor a diez. En este caso recomendable agrupar los datos por intervalos o clases de tal manera que la totalidad de los datos queden concentrados en un mínimo de cinco intervalos y en un máximo de diez, aunque se puede perder precisión en la información.

Aquí hay libertad para elegir el número de clase y los valores extremos de las mismas.

Algunas recomendaciones para elaborar una distribución de frecuencia para datos agrupados:

❖ Los intervalos, en general, deben tener el mismo ancho.

❖ A la tabla de la distribución de frecuencia se le debe agregar otra columna, la cual corresponde al punto medio de cada clase, llamado marca de clase.

Ya sabes que existen dos maneras de determinar el número de intervalos o de clases (CL) adecuados para datos agrupados, dependiendo del número de datos (N):



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I = R CL

● Cuando son hasta cien datos: El valor entero más próximo a √N,

CL = √N.

● Cuando son más de cien datos: Se usa la regla de Sturges

CL = 1+ 3.32 log N

Para seleccionar los límites de clase que definirán los intervalos y la longitud de los mismos se recomienda:

➢ Calcular el rango (R) incluido entre todos los datos, que es la medida de la dispersión de los datos obtenidos de la muestra mediante la fórmula:

R = valor máximo - valor mínimo

Calcular el tamaño del intervalo (I) de cada intervalo mediante la fórmula:

Este ancho de clase se ajusta para abarcar todos los datos. Puede redondearse a una cifra decimal más de la que tienen los datos, por ejemplo, si los datos son enteros un redondeó de 0.5 sería suficiente.

Para asegurarnos de que ningún valor queda afuera debemos definir un nuevo rango (NR) de los datos, multiplicando el ancho de cada clase por el número de intervalos.

NR = I * (CL)

El nuevo Rango debe ser de igual o mayor tamaño que el rango original, si es mayor, el exceso se reparte equitativamente antes del dato menor y después del dato mayor.

Al final, para obtener la frecuencia de cada clase se cuenta el número de datos que quedan entre sus límites. En el caso de que un dato se encuentre en la frontera de una clase, se debe de contar en la siguiente clase y no en la primera.

Ejemplo: Los siguientes datos corresponden a la estatura, medida en centímetros, de los alumnos de un grupo de estudiantes.

160 156 174 157 161 152 154 175

152 170 170 159 159 163 160 164

EJEMPLO:



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155 152 175 163 171 165 163 152

165 155 153 154 163 159 165 180

160 165 165 160 152 170 165 175

Primera ordenaremos los datos de menor a mayor para facilitar su conteo y observamos que se tiene más de diez valores diferentes, Por lo cual se deben agrupar.

152 153 156 160 163 165 165 174

152 154 157 160 163 165 170 175

152 154 159 160 163 165 170 175

152 155 159 160 163 165 170 175

152 155 159 161 164 165 171 180

El Rango de los datos será: R = 180 - 152 = 28

El número de clases será: CL = √N = √40 = 6.32 redondeado a 6.

El tamaño de cada intervalo será:

De acuerdo a estas condiciones el nuevo rango de los datos es:

NR = I *CL 5 * (6) = 30

En la distribución de frecuencias de datos agrupados daremos un margen de 0.5 antes del menor valor y de 0.5 después del mayor valor, porque el nuevo rango es una unidad mayor que el rango real. Tendremos:

I = R = 28 CL 6 = 4.66 redondeado a 5.



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REPRESENTACION GRAFICA DE DATOS

Tabla de distribución de frecuencias

Intervalo o clase

Variable

est. (xi)

Frecuencia

(f)

Frecuencia acumulada

(fa)

Frecuencia relativa

(fr)

Fr. relativa acumulada

(fra)

[151.5, 156.5] 153.5 11 11 11/40 11/40

[156.5, 161.5] 158.5 9 20 9/40 20/40 = 1/2

[161.5, 166.5] 163.5 11 31 11/40 31/40

[166.5, 171.5] 168.5 4 35 4/40 35/40

[171.5, 176.5] 173.5 4 39 4/40 39/40

[176.5, 181.5] 1 40 1/40 40/40 = 1

La distribución de los datos puede presentarse a través de histogramas, polígonos de frecuencia, pictogramas, sector circular (pastel), gráficas de barras y ojivas.

HISTOGRAMA

Son rectángulos cuyas bases están sobre un eje horizontal representadas con los límites reales de clases y las alturas son iguales a las frecuencias.

9/40

11/40

11/40

4/40 4/40 1/40

153.5 158.5 163.5 168.5 173.5



16

2% 4%

8%

20%

16%

8% 6%

0%

5%

10%

15%

20%

25%

Polígono de Frecuencia "Aciertos en un examen"

POLÍGONO DE FRECUENCIA

Es una gráfica representa Con segmentos de recta unidos en cada marca de clases, asemeja un polígono cuando se une al eje horizontal.

0

5

10

15

20

25

CLASES (limies reales)

Frecuencias HISTOGRAMA “ACIERTOS DE UN EXAMEN”

Características: • Cada barra representa un dato o una

clase. • Cada barra tiene el mismo ancho. • Para datos no agrupados las barras van

juntas y para datos agrupados se deja una separación pequeña entre las clases.

• La altura de cada barra representa alguna de las frecuencias: la frecuencia absoluta, la frecuencia relativa o el porcentaje.

Marca de clase (mc)

29.5

39.5

49

.5

59.5

69

.5

79.5

89

.5



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POLÍGONO DE FRECUENCIAS ACUMULADAS

Se elabora partiendo del valor 0 en el extremo izquierdo de la primera clase y va tomando en los extremos derechos de las clases un valor igual a la frecuencia acumulada. Se unen los puntos y de esta manera se obtiene el polígono de frecuencias acumuladas

PICTOGRAMAS

La frecuencia de cada clase se presenta con dibujos referentes a la variable.

SECTOR CIRCULAR (Pastel)

Cada sector circular de la gráfica representa la frecuencia de las clases. Para obtener el tamaño de cada sector, se multiplica la frecuencia relativa por 360°.

0

5

10

15

20

25

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

EJEMPLO DE POLIGONO DE FRECUENCIAS ACUMULADAS

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

PICTOGRAMAS “ACIERTOS DE UN EXAMEN.

Nomenclatura: representa 1 dato representa 2 datos



18

Ejemplo: Distribución de frecuencias

CLASES f fr X 360° 1 30-39 1 0.016 5.76° 2 40-49 3 0.05 18° 3 50-59 7 0.116 41.76° 4 60-69 20 0.333 119.88° 5 70-79 16 0.266 95.76° 6 80-89 8 0.133 47.88° 7 90-99 5 0.083 29.88°

∑ 360°

Se recomienda para variables cualitativas

Si la frecuencia relativa se multiplica por 100, obtienen el porcentaje (%)

12% 2%

5%

8%

33%

27%

13%

SECTOR CIRCULAR "ACIERTOS DE UN EXAMEN"

fr 1

2 3

5 4

6

7

EJEMPLO:

1

2

3

4

5

5.0% 8.3%

1.6%

11.3%

33.3% 26.6

%

13.3%

fr



19

GRAFICA DE BARRAS

Son rectángulos cuyas bases están sobre un eje horizontal representadas con los limites de clases y las alturas son iguales a las frecuencias.

CLASES

f

1 30-39 1 2 40-49 3 3 50-59 7 4 60-69 2

0 5 70-79 1

6 6 80-89 8 7 90-99 5

GRAFICA DE BARRAS “ACIERTOS DE UN EXAMEN”

CLASES (Límites de clases)

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

30 39 40 49 50 59 60 69 70 79 80 89 2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

30 39 40 49 50 59 60 69 70 79 80 89



20

OJIVA

Se utilizan las frecuencias relativas acumuladas y las marcas de clases.

I. Contesta las preguntas:

1. Un conjunto de datos consta de 36 valores, la mayoría de ellos diferentes. ¿Cuántas clases recomendarías?

2. Un conjunto de datos tiene 43 valores entre 0 y 28 dólares. ¿Qué tamaño de intervalo recomendarías?

3. Un conjunto de datos consiste de 250 valores que oscilan desde 345 a 578. ¿Qué limites recomendarías para la primer clase?

4. Un conjunto de datos contiene 57 observaciones. El valor mas bajo es de 41 y al mas grande de 193.Los datos se deben de organizar en una distribución de frecuencias.

a. ¿Cuántas clases propondrías?

b. ¿Cuáles serían los límites de la primera clase?

OJIVA “ACIERTOS DE UN EXAMEN”

La grafica se muestra como una “S” alargada

La zona importante de la Ojiva es cuando cambia de concavidad

EJERCICIOS DEL BLOQUE 1 Y 2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

30-39 40-49 50-59 60-69 70-79 80-89 90-99

fra



21

II. Realiza las distribuciones y las graficas correspondientes a los ejercicios de 5 a 11 en Excel.

5. El gerente de una compañía tiene 15 solicitudes para ocupar un puesto vacante. Se hacen entrevistas y se dan calificaciones de los candidatos. Sus calificaciones de la prueba son:

30 27 28 27 29 25 28 27 28 26 26 31 20 26 26

Organiza las calificaciones en una distribución de frecuencias que contenga las frecuencias relativas y realiza el grafico correspondiente.

6. El numero de operaciones realizadas en un cajero automático en los últimos 18 días fueron: 55 72 65 58 81 90 73 66 57 62 70 92 54 78 66 74 51 83

a. ¿Cuántas clases recomendarías?

b. ¿Cuál es el tamaño de cada clase?

c. Organiza el numero de operaciones en una distribución de frecuencias que muestre las frecuencias relativas.

d. Elabora el grafico correspondiente

7. Un informe elaborado por el gobierno de cierto estado indico que 52% de los impuestos recaudados fueron para la educación, 24% para el fondo general, 12% para los municipios, 6% para los programas sociales el remanente a otros programas. Realiza la distribución de frecuencias y dibuja la grafica correspondiente para mostrar la distribución del presupuesto.

8. El gerente de una tienda de abarrotes esta interesado a averiguar cuantas veces un cliente

compra en su tienda durante una semana. Las respuestas de 39 clientes fueron:

4 2 3 3 1 4 5 6 2 6 6 6 7 8 14 12 9 6 3 5 3 4 5 6 4 1 6 5 9 7 12 4 7 5 13 11 10 8 2

a. Organiza los datos en una distribución de frecuencias que muestre las frecuencias acumuladas, relativas y relativas acumuladas.

b. Traza el grafico correspondiente y analízalo.

9. Una empresa de venta por internet estudia el tiempo de surtido de los pedidos (el tiempo desde que recibe y entrega un pedido) para una muestra de pedidos. Los tiempos de surtido se reportan en días.



22

Tiempo Frecuencias

0 a 2 días 12

3 a 4 días 10

4 a 5 días 8

5 a 8 días 6

9 a 10 días 3

a. ¿Cuántos pedidos se estudiaron?

b. ¿Cuántos pedidos se entregaron en menos de 5 días?

c. ¿Y cuantos pedidos fueron entregados en más de 5 días?

d. ¿Alrededor del 65% de los pedidos se entregaron en menos de cuantos días?

e. Elabora la distribución de frecuencias

f. Dibuja el histograma y el polígono de frecuencias

10. Una agencia de viajes ofrece una promoción de paquetes turísticos con tarifas especiales a gente por el Estado de Quintana Roo. El gerente de la agencia quiere información adicional sobre las edades de las personas que viajan. Se tomo una muestra aleatoria de 54 clientes que hicieron este viaje el año pasado y se dio a conocer las siguientes edades.

36 45 28 30 38 24 45 51 34 26 36 23 52 34 42 40 28 36 43 50 60 41 22 33 64 42 45 60 31 32 28 60 45 62 43 60 53 38 47 18 23 35 50 41 20 36 21 19 54 47 41 23 19 25

a. Organiza los datos en una distribución de frecuencias que muestre las frecuencias acumuladas.

b. ¿Dónde tienden a agruparse los datos’

c. Elabora el grafico correspondiente.



23

11. Dibuja el diagrama lineal y de plano de la cantidad de coches, producidos en unos países, para el 2012, si sabes que esta se ha aumentado para EEUU, Japón en 30%, para Alemania y Francia - en 20% y para Gran Bretaña - en 25%. Utiliza la tabla que se muestra abajo para el 1995:

PAÍS Cantidad de coches en millones

EEUU 15

Japón 9

Alemania 5

Francia 4.5

Gran Bretaña 3



24

12. Trazar el polígono y el histograma de la distribución de frecuencia del número de trabajadores de una empresa según sus salarios mensuales dados en la tabla siguiente:

Intervalos

(Salarios mensuales en dólares)

Frecuencia f

(Número de los trabajadores)

50-100 2

100-150 6

150-200 18

200-250 4

250-300 2

13. Dibujar diagrama circular del ciclo diario de un alumno de la preparatoria que se distribuye como sigue: para dormir -- 8 horas; para la escuela -- 7 horas; para ver televisión -- 4 horas; para hacer los deberes -- 2 horas; para diversión -- 2 horas; para comer -- 1 hora.

14. Se sabe que los empleados de una tienda tienen edades como sigue (en años):

28,26,36,49,16,42,38,61,40,23,31,53,35.

Encuentra la frecuencia relativa y dibuja el polígono e histograma de la distribución de la frecuencia del número de los empleados en esta tienda según edad de cada uno de ellos.

Tabla de distribución de frecuencia

Grupos de edad

(Intervalos)

Frecuencia f

(número de empleados)

Frecuencia relativa

𝒇𝒓 = 𝒇𝒏

15-25 2 2/13=0,15

25-35

35-45

45-55

55-65

𝛴= 𝛴=



25

15. El INEGI muestra la tasa de crecimiento media anual de la población por entidad federativa, 1990 a 2010 de los Estados Mexicanos, en porciento en un intervalo de 5 años desde 1990 hasta 2010. Escoge un Estado y elabora en tu cuaderno el gráfico correspondiente que muestre el crecimiento de la población. Haz comparación entre la tasa de crecimiento de los diferentes Estados.

Entidad federativa 1990-1995

1995-2000

1990-2000

2000-2005

2005-2010

Estados Unidos Mexicanos

2.1 1.6 1.9 1.0 1.8

Aguascalientes 3.3 2.1 2.8 2.2 2.2

Baja California 4.3 3.9 4.2 2.4 5.0

Baja California sur 3.0 2.9 2.9 3.4 4.5

Campeche 3.3 1.7 2.6 1.6 1.7

Coahuila de Zaragoza 1.7 1.3 1.6 1.5 2.0

Colima 2.3 2.5 2.4 0.8 2.8

Chiapas 2.0 2.1 2.0 1.6 2.2

Chihuahua 2.4 2.1 2.3 1.1 1.0

Distrito Federal 0.5 0.3 0.4 0.2 0.3

Durango 1.1 0.3 0.7 0.7 1.6

Guanajuato 1.8 1.3 1.6 0.9 2.3

Guerrero 1.9 1.3 1.6 0.2 1.7

Hidalgo 2.0 1.3 1.7 0.8 2.6

Jalisco 2.2 1.3 1.8 1.2 1.7



26

México 3.2 2.7 2.9 1.2 1.6

Michoacán de Ocampo 1.6 0.7 1.2 -0.1 1.9

Morelos 3.4 1.8 2.7 0.6 2.0

Nayarit 1.5 0.6 1.1 0.6 2.7

Nuevo León 2.4 1.8 2.2 1.6 2.1

Oaxaca 1.2 1.5 1.3 0.3 1.6

Puebla 2.0 2.2 2.1 1.0 1.4

Querétaro 3.1 2.7 3.0 2.3 2.7

Quintana Roo 6.5 5.2 5.9 4.7 3.1

San Luis Potosí 1.7 1.0 1.4 0.8 1.4

Sinaloa 1.7 1.1 1.4 0.5 1.2

Sonora 2.4 1.4 2.0 1.4 2.1

Tabasco 2.7 1.9 2.4 0.9 2.4

Tamaulipas 2.1 2.0 2.1 1.7 1.6

Tlaxcala 2.7 2.0 2.4 1.9 1.8

Veracruz 1.4 0.6 1.1 0.5 1.5

Yucatán 2.4 1.5 2.0 1.6 1.5

Zacatecas 0.8 0.3 0.6 0.2 1.7

Fuente: INEGI. Censos de Población y Vivienda, 1990, 2000, y 2010

INEGI. Conteos de Población y Vivienda, 1995 y 2005



27



28

Bloque 3: Medidas de Tendencia Central Definición: Son medidas que nos proporcionan información del valor central de los datos, como el promedio, el valor medio de los datos que más se repiten. Tienden a ubicarse en la parte del centro de la representación gráfica. ¿Cuáles son las medidas de tendencia central?

• Media aritmética: (Promedio) • Mediana: Muestra que número de datos se encuentra en el centro. Hay en mismo número de datos

antes y después de él. • Moda: Muestra el número que más se repite en la muestra de valores.

Fórmulas para calcular medidas de tendencia central para datos sin agrupar Media aritmética: 𝑿� = ∑ 𝑿𝒊𝒏

𝒊=𝟏𝑵

= Mediana: 𝑵+𝟏

𝟐 =

Moda: No existe una formula, es el valor que más se repite en el conjunto de datos: Categorías de moda: Unimodal: Cuando hay un solo valor Bimodal: Cuando 2 valores se repiten el mismo número de veces. Multimodal: Cuando más de 2 valores se repiten el mismo número de veces. No existe Moda: Cuando ningún valor se repite en el conjunto de datos. Ejemplo: Entre a YOUTUBE y observe el siguiente video: Video 1) Tablas de frecuencia│ Ejemplo 1 Video 2) Media mediana y moda │ Datos sin agrupar Una vez visto el video calcule Media, mediana y moda para los siguientes problemas: Problema 1.- Los siguientes valores son las edades de un grupo de niños en clase de pintura infantil: 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 8. Problema 2.- Ocho pacientes con cita previa necesitaron esperar varios minutos para que fueran atendidos en la clínica de su localidad. La espera fue de: 38, 42 36, 40, 44, 45, 36,42. Problema 3.- La ganancias diarias de un restaurante dentro de una semana son como sigue: 4600, 4800, 3500, 4300, 8200, 9500, 6400. (VALOR 9 PUNTOS)



29

Fórmulas para calcular medidas de tendencia central para datos agrupados Media aritmética: 𝑿� = ∑(𝒙𝒊)𝑭𝒊

𝑵 =

Mediana = Me = 𝑳𝒊 + �𝒏𝟐 − 𝑭𝒊−𝟏

𝒇𝒊� [𝒂𝒊]=

Moda = Mo = 𝑳𝒊 + � 𝒇𝒊 − 𝒇𝒊−𝟏

(𝒇𝒊 − 𝒇𝒊−𝟏) + ( 𝒇𝒊 − 𝒇𝒊+𝟏) � [𝒂𝒊] =

Ejemplo: Entre a YOUTUBE y observe el siguiente video: Video 3) Tabla de frecuencia agrupada en intervalos │Ejemplo 1 Video 4) Media, mediana y moda │ Datos agrupados en intervalos ejemplo 1 Video 5) Media, mediana y moda │ Datos agrupados en intervalos ejemplo 2 Video 6) Media, mediana y moda │ Datos agrupados en intervalos ejemplo 3 Una vez visto los videos calcule Media, mediana y moda para los siguientes conjuntos de datos agrupados en intervalos: Problema 4

Problema 5

Intervalo X Frecuencia Absoluta (f)

F Xf

50 - 59 5 5 60 - 69 9 14 70 –79 10 24 80 – 89 7 31 90 – 99 8 39 100 - 109 1 40 ∑ 40

Intervalo X Frecuencia Absoluta(f)

F Xf

16 - 20 14 14 21 – 25 18 32 26 – 30 26 58 31 – 35 32 90 36 – 40 50 140 41 – 45 38 178 46 – 50 24 202 51 - 55 17 219 ∑ 219



30

Problema 6 Intervalo X Frecuencia

Absoluta(f) F Xf

15 – 22 14 14 23 – 30 17 31 31 – 38 12 43 39 – 46 9 52 47 – 54 5 57 ∑ 57 (VALOR 9 PUNTOS)

Bloque 3: Medidas de Posición Las medidas de posición dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo número de individuos: Se utilizan para mostrar la localización de un dato específico en relación con otros datos de la muestra. Las medidas de posición de posición son:

• Cuartiles: Son los tres valores de la variable que dividen a un conjunto de datos ordenados en 4 partes iguales. Q1, Q2, Q3 determinan los valores correspondientes al 25%, al 50% y al 75% de los datos.

• Deciles: Son los nueve valores que dividen la serie de datos en 10 partes iguales. Los deciles dan

los valores correspondiente al 10%, 20%, 30%.......y al 90% de los datos.

• Percentiles: Los centiles o percentiles son los 99 valores que dividen la serie de datos en 100 partes iguales. Los percentiles dan los valores correspondientes al 1%, 2%, 3%, 4%.......y al 99% de los datos

Fórmulas para calcular medidas de posición para datos sin agrupar Estas fórmulas están contenidas en el video 7 Para cuando el número de datos es impar: Cuartil = Qk = 𝑲(𝒏+𝟏)

𝟒

Para cuando el número de datos es par: Cuartil = Qk = 𝑲(𝒏)

𝟒

Estas fórmulas están contenidas en el video 8 Posición= 𝑲𝒏

𝟏𝟎 =

Estas fórmulas están contenidas en el video 9 Pi = � 𝒑

𝟏𝟎𝟎� (𝒏) =

Video 7) Cuartiles introducción│ Qué son y cómo encontrarlos en datos sin agrupar Video 8) Deciles│ Introducción concepto y como encontrarlos datos sin agrupar Video 9) Como sacar PERCENTILES



31

Una vez visto los videos calcule: El Primer cuartil (Q1), El quinto decil (D5) y El percentil setenta (P70) para los problemas 1, 2 y 3. (VALOR 9 PUNTOS) Fórmulas para calcular medidas de posición para datos agrupados en intervalos.

Cuartil = Qk = 𝑳𝒊 + A �𝒌𝒏𝟒 − 𝑭𝒊−𝟏𝑭𝒊− 𝑭𝒊−𝟏

� =

Decil = Dk = 𝑳𝒊 + A �𝒌𝒏𝟏𝟎 − 𝑭𝒊−𝟏𝑭𝒊− 𝑭𝒊−𝟏

� =

Percentil = Pk = 𝑳𝒊 + A �𝒌𝒏𝟏𝟎𝟎 − 𝑭𝒊−𝟏𝑭𝒊− 𝑭𝒊−𝟏

� =

Ejemplo: Entre a YOUTUBE y observe los siguientes videos: Video 10) Cuartiles, Deciles y Percentiles │ Ejemplo 1 Video 11) Cuartiles, Deciles y Percentiles │ Datos agrupados en intervalos │Ejemplo 1 Video 12) Cuartiles, Deciles y Percentiles │ Datos agrupados en intervalos │Ejemplo 2 Una vez visto los videos calcule: El Tercer cuartil (Q3), El séptimo decil (D7) y El percentil veinte (P20) para los problemas 4, 5 y 6. (VALOR 9 PUNTOS)



32

Bloque 3: Medidas de Dispersión Las medidas de Dispersión se utilizan para medir el grado de alejamiento que tiene cada uno de los datos con respecto a una medida de tendencia central. Esto se puede saber mediante el rango, desviación estándar y varianza para datos no agrupados y agrupados. Las medidas de Dispersión son:

• Rango: Es la diferencia entre el valor mayor y el valor menor. • Desviación media: Es el promedio de las desviaciones con respecto a la media aritmética • Varianza: es el promedio de los cuadrados de la diferencia de cada dato con la media de la

muestra. • Desviación estándar: Es la raíz cuadrada de la varianza muestral. • Coeficiente de variación: Cociente entre la desviación estándar entre la media.

Ejemplo: Entre a YOUTUBE y observe los siguientes videos: Video 13) Rango, varianza, desviación estándar, coeficiente de variación, desviación media: datos no agrupados. Una vez visto el video calcule: Rango, varianza, desviación estándar, coeficiente de variación, desviación media. Para los problemas 1, 2 y 3. (VALOR 15 PUNTOS) Fórmulas para calcular medidas de dispersión para datos agrupados en intervalos. Las formulas de la Varianza, Deviación Estándar y Coeficiente de variación, están incluidas en el video Ejemplo: Entre a YOUTUBE y observe el siguiente video: Video 14) Varianza, Desviación Estándar y Coeficiente de Variación │Datos agrupados en intervalos. Una vez visto el video calcule: Varianza, Desviación Estándar, coeficiente de variación. Para los problemas 4, 5 y 6. (VALOR 9 PUNTOS)

Bloque 3: Medidas de Forma Miden el grado de simetría y la zona de concentración de los datos en la distribución. Las medidas de forma caracterizan la forma de la gráfica de una distribución de datos estadísticos. Ellas comparan la forma que tiene la representación gráfica, histograma de barras de la distribución con la distribución normal. Existen 2 tipos de medidas de Forma:

• Medidas de asimetría (SESGO)



33

• Medida de apuntamiento o curtosis Medidas de asimetría (SESGO): Una distribución es simétrica cuando su mediana, su moda y su media aritmética coinciden. La distribución es asimétrica a la derecha, si las frecuencias descienden más lentamente por la derecha que por la izquierda. Si las frecuencias descienden más lentamente por la izquierda que por la derecha la distribución es asimétrica a la izquierda. Esta medida se calcula con el Coeficiente de Asimetría de Pearson. Ca = 3(𝑋� −𝑀𝑑)

𝑠 =

Donde: �̅� = media aritmética; Md= mediana; s= Desviación estándar. Medida de apuntamiento o Curtosis: Ellos miden la mayor o menor cantidad de datos que se agrupan en tono a la moda. El coeficiente de curtosis mide que tan “puntiaguda” es una distribución respecto de un estándar (forma acampanada denominada “normal”) Se definen 3 tipos de distribuciones según su grado de curtosis. Distribución leptocúrtica: Presenta un elevado grado de concentración alrededor de los valores centrales de la variable. Distribución mesocúrtica: Presenta un grado de concentración medio alrededor de los valores centrales de la variable. Distribución platicúrtica; Presenta un reducido grado de concentración alrededor de los valores centrales de la variable. Para calcular la Curtosis se emplea el coeficiente de Asimetría de Fisher. Ck= ∑(𝑥𝑖− �̅� )

𝑛𝑠4 - 3 =

Donde: �̅� = media aritmética; xi = Cada uno de los valores ; s= Desviación estándar; n = tamaño de la muestra y ∑ = sumatoria. Ejemplo: Entre a YOUTUBE y observe el siguiente video: Video 15) Medidas de forma Una vez visto el video sustituya los valores encontrados en las anteriores medidas centrales y de dispersión en las fórmulas de: Coeficiente de Asimetría de Pearson y Coeficiente de Asimetría de Fisher. Para los problemas 1, 2, 3, 4, 5 y 6. (VALOR 12 PUNTOS) PARA SER EVALUADOS SOBRE 10 EN EL BLOQUE 3 TENDRIA QUE REUNIR 72 PUNTOS

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

Bloque 4a: Teoría de Conjuntos.

La palabra conjunto no es nueva para nosotros. La usamos en la vida diaria en distintos escenarios,por ejemplo, cuando nos referimos a un conjunto de rock, cuando hablamos de ropa, etcétera. El objetivoahora es pasar este concepto de la vida diaria al lenguaje de las matemáticas. Por ende, es necesario irconstruyendo poco a poco algunos conceptos y conjuntos importantes. Para hacerlo un poco divertido, enlo siguiente tomaremos como el ejemplo al grupo 10666 del CETIS 069 y veamos que conjuntos podemosformar con sus estudiantes.

¿Qué es un conjunto?

Si algún primito nos preguntase que es un conjunto, tal vez lo primero en decirle es que en unaagrupación de cosas, para enseguida, ponerle un ejemplo con algunos de sus dulces o sus juguetes. Esdecir, el concepto de conjunto no es algo demasiado abstracto con el que no podamos lidiar. ¿ Por quéestudiar conjuntos? Resulta que son la base de muchas aplicaciones. De hecho, la electrónica misma quehace posible el funcionamiento de los celulares o computadora esta fundada en el Álgebra Booleana que, asu vez, usa Teoría de Conjuntos. En Matemáticas, la Probabilidad se fundamente en Teoría de Conjuntos.De manera formal diremos que un conjunto es una colección de objetos o elementos. El orden de estoselementos no importa pero cada elemento debe ocurrir solo una vez.

Vayamos ahora al CETIS 069, donde el grupo 10666 se determino clasificar a sus integrantes en algunosde los conjuntos mostrados en la Figura (1). Observando la imagen, el grupo 10666 definió los siguientes

Figura 1: Tipos de alumnos en el CETIS 069.

CETPPIS 030 “EMILIANO ZAPATA” 34


conjuntos por comprensión:

A = {x|x son los compañeros que llegan tarde} ,B = {x|x son los compañeros “Judas”} ,C = {x|x son los compañeros porros} ,D = {x|x son las compañeras “divas”} ,E = {x|x son los compañeros populares} ,F = {x|x son los compañeros estudiosos} ,G = {x|x son los compañeros que nunca van clase} ,H = {x|x son los compañeros inteligentes} ,I = {x|x son los compañeros que solo platican} ,J = {x|x son los compañeros que todos aman} ,

K = {x|x son los compañeros que hacen desastre } ,

donde la linea vertical | significa “tal que”. Por ejemplo, la definición del conjunto A se lee: A es el conjuntoformados por los elementos x tales que x son los compañeros que llegan tarde .

Con los nombres explícitos de los alumnos del grupo 10666, las definiciones por extensión de estosmismos conjuntos son:

A = {Iker, Kevin, Esbeidy, Britanny} ,B = {Yeison}C = {Brayan, Tiffani, Kevin} ,D = {Brianda, Ashly, Shaori, Esbeidy } ,E = {Brianda, Brayan, Britny, Iker, Yoraida, Lionel } ,F = {} ,G = {Brayan, Estiven, Tamara, Brandon} ,H = {Leidi, Edwin, Wendolin, Brandon} ,I = { Kevin, Tiffani, Britanny, Iker, Tamara, Britny, Kimberly, Ashly, Brayan } ,J = ∅ ,

K = { Sheila, Ian, Barbie, Kevin, Britanny, Brayan, Britny, Edwin } ,

por ejemplo, el conjunto A de los que llegan tarde esta conformado por Iker, Kevin, Esbeidy y Britanny.Mientras que el conjunto F de los estudiosos y J de los que todos aman están vacíos. Esto se denota, ya seacon el símbolo {} o con el símbolo ∅.

Ahora que sabemos las dos formas para definir un conjunto podemos notar que, la definición porcomprensión es muy útil cuando el numero de elementos es muy grande, por ejemplo, es mas sencillodecir “los alumnos del grupo 10666” que estar nombrando a cada integrante. En cambio, la definición porextensión es muy útil cuando los elementos son pocos pues se ve mas claramente quienes son, como porejemplo en el conjunto de los porros.

Pasemos ahora a definir algunos conjuntos importantes en Teoría de Conjuntos, ya que se ocupanregularmente y son la base de muchas aplicaciones. El primero es el conjunto vacío, el cual vimos arriba.Como su nombre lo indica, no tiene elementos y se denota con los simbolos {} ó ∅. Otro es el conjuntouniverso y es aquel que contiene a todos los elementos y se representa con el símbolo U, por ejemplo,U = “los alumnos del salon 10666”. El conjunto unitario es aquel que solo contiene un elemento, por



ejemplo, el conjunto de los compañeros “Judas” compuesto solo por Yeison. El conjunto finito es aquelen que podemos contar a sus elementos aunque su numero fuese muy grande, mientras que, el conjuntoinfinito tiene tantos elementos que no es posible conocerlos a todos. Por último, la cardinalidad de unconjunto consiste en el numero de elementos que posee, por ejemplo, las cardinalidad del conjunto C decompañeros porros es de 3 y se denota como card(C) = 3.

Operaciones con conjuntos

Así como podemos sumar, restar, multiplicar y dividir a los números, podemos hacer algo similarcon los conjuntos. Las operaciones que podemos hacer con ellos son: Unión, Intersección, Diferencia yComplemento. Sus respectivos símbolos son: ∪ ,∩ , \ , c. Es importante señalar que en muchos libros ladiferencia la denotan con el símbolo - de la resta aritmética y el complemento lo denotan con una comilla o un sombrerode barra.

Unión de conjuntos

En la vida diaria, cuando unimos elementos provenientes de diversos orígenes, estamos aplicandola unión de conjuntos. Por ejemplo, el playlist de Bayron alumno del CETIS 069 esta conformado porcumbias o reggaeton. Otro ejemplo es la familia Delgadillo Gordillo que esta conformada por la unión delas personas que sean parientes del Sr. Delgadillo o de la Sra. Gordillo. Para nuestro grupo 10666, veamosalgunos ejemplos:

D ∪ E = {Brianda, Ashly, Shaori, Esbeidy, Brayan, Britny, Iker, Yoraida, Lionel} ,G ∪ J = {Brayan, Estiven, Tamara, Brandon} ,F ∪ J = ∅ ,

A ∪ F = A .

En el primer caso vemos que Brianda esta tanto en D como en E pero cuando hacemos la unión de conjuntosella aparece solo una vez. Esto es correcto, tanto intuitivamente pues de nada sirve repetir su nombre,como por la misma definición de conjunto que se dio arriba. En el segundo ejemplo, notamos que G ∪ J esexactamente igual a G. Esto era de esperarse pues J es vacío. De este sencillo ejemplo podemos concluiralgo muy importante en Teoría de Conjuntos: Todo conjunto siempre tiene como elemento al vacío. Nohay necesidad de escribirlo explicitamente en cada conjunto, sabemos que siempre esta ahí como algoomnipresente. De ahí que el tercer ejemplo sea intuitivo pues si dos conjuntos no tienen elementos, suunión tampoco. Y en el último ejemplo sucede lo mismo que en el segundo, con la diferencia que se escribiósolo el nombre del conjunto en lugar de listar a todos sus elementos.

Formalmente la unión de un conjunto Y con otro Z se define como

Y ∪ Z = {x|x ∈ Y ∨ Z} , (1)

y se lee: Y unión Z es el conjunto de los elementos x tal que x pertenezca a Y o pertenezca a Z . Los símbolos ∈significa pertenencia y ∨ significa disyunción, o sea, la letra “o” del español. Por ejemplo, Shaori perteneceráal conjunto D ∪ E siempre y cuando Shaori pertenezca a D o pertenezca a E. Si esta en alguna de estas dosopciones, entonces Shaori estará en D ∪ E. Y esto sucede, pues Shaori esta en D.

Intersección de conjuntos

En la vida diaria, cuando buscamos cosas comunes entre dos opciones, estamos aplicando la intersecciónde conjuntos. Por ejemplo, el playlist de Bayron tiene varias canciones de “cumbiaton”, genero que esta en



la intersección de la cumbia y el reggaeton. De igual forma, Brandon Delgadillo Gordillo hijo de la pareja,esta en la intersección de la Familia Delgadillo Gordillo pues tiene el apellido Delgadillo y Gordillo. Nopodemos decir lo mismo de Fiona Lomas Gordillo, prima de Brandon, pues aunque pertenece a la Familiano esta en la intersección pues solo lleva un apellido. Para nuestro grupo 10666, veamos algunos ejemplos:

A ∩ B = {} , C ∩ F = ∅ , C ∩ D = ∅ , C ∩ I = C , D ∩ E = {Brianda} .

En el primer caso vemos que el conjunto A de los que llegan tarde no tiene nada en común con el conjuntoB de los “Judas”. Lo mismo sucede con el segundo y tercer ejemplo, aunque con los conjuntos C y F esmás difícil de ver pues F no tiene elementos. ¿ Como podemos entender este resultado? Bueno, arribamencionamos que todo conjunto siempre contiene al vacío, por tanto, podemos escribir F = { Brayan,Tiffani, Kevin, ∅}. Escrito así ya se ve más claramente que lo único en común C y F es el vacío. Con estostres ejemplos podemos introducir la definición de conjuntos ajenos, que son dos o mas conjuntos que notienen algo en común. El cuarto ejemplo, lo que tienen en común C e I son precisamente los elementos deC, de ahí que el resultado sea C. En el último ejemplo, lo único que tienen en común D y E es a Brianda.

Formalmente la intersección de un conjunto Y con uno Z se define como

Y ∩ Z = {x|x ∈ Y ∧ Z} , (2)

y se lee: Y intersección Z es el conjunto de los elementos x tal que x pertenezca a Y y pertenezca a Z. El símbolo∧ significa conjunción, o sea, la letra “y” del español. Por ejemplo, Brianda pertenecerá al conjunto D ∩ Esiempre y cuando Brianda pertenezca tanto a D como a E. Si esta en ambas opciones simultáneamente,entonces Brianda está en D ∩ E. Y esto sucede, pues Brianda esta en D y en E.

Diferencia de conjuntos y Complemento de un conjunto

La diferencia y el complemento de conjuntos son muy similares. De ahí que también se les conozcarespectivamente como complemento relativo y complemento absoluto. Ambas funcionan como comparación,la primera respecto a otro conjunto y la segunda respecto al conjunto universo.

En la vida diaria, cuando comparamos o distinguimos dos cosas estamos aplicando la diferencia deconjuntos. Por ejemplo, Bayron distingue al reggaeton de las cumbias si solo oye sonidos reggaetoneros.Por tanto, el cumbiaton no lo considera reggaeton. De forma similar, para distinguir solo a los parientes delSr. Delgadillo de los de la Sra. Gordillo debemos ver quien solo tiene el apellido Delgadillo. Para nuestrogrupo 10666, veamos algunos ejemplos:

D \ E = { Ashly, Shaori, Esbeidy } , I \ K = { Tiffani, Iker, Tamara, Kimberly, Ashly } ,A \ B = A , B \ A = B , J \ B = ∅ .

Entonces, cuando restamos a D el conjunto E, debemos dejar los elementos que tenga D y que no tenga E,que son Ashly, Shaori y Esbeidy. Y esto se aplica para los demás ejemplos. Notemos que, así como con elreggaeton de Bayron o los parientes Delgadillo, el conjunto de la izquierda funciona de referencia y el dela derecha el de comparación. Por eso no da lo mismo A \ B que B \ A ya que, en el primer caso el conjuntode referencia es A mientras que en el segundo caso es B.

Formalmente la diferencia de un conjunto Y con uno Z se define como

Y \ Z = {x|x ∈ Y ∧ x /∈ Z} , (3)

y se lee: Y menos Z es el conjunto de los elementos x tal que x pertenece a Y y no pertenece a Z. El símbolo /∈significa “no pertenencia”.



La operación complemento funciona de forma similar, solo que ahora la referencia es el conjunto universoU. En la vida diaria, cuando decimos que nos falta dinero o un carro, estas dos cosas son nuestro complemento,es decir, lo que nos falta respecto de un todo. Este “todo” es un conjunto universo. Por ejemplo, el complementode las cumbias respecto del universo de la música de Bayron esta compuesto por los corridos, el reggaeton,el cumbiaton y las charangas. El complemento de los Delgadillo respecto a la familia de Brandon son sololos Gordillo.

Si nuestro conjunto universo es el grupo 10666, tendríamos que

Bc = A ∪ C ∪ D ∪ E ∪ F ∪ G ∪ H ∪ I ∪ J ∪ K ,

es decir, el complemento del conjunto B son todos los compañeros de Yeison que faltan para completar elgrupo 10666, o sea, la unión de todos los conjuntos restantes.

Si ahora el conjunto universo consistiera solo del conjunto I entonces,

Cc = { Britanny, Iker, Tamara, Britny, Kimberly, Ashly } ,

que son los compañeros que le faltarían a Brayan, Tiffani y Kevin para convertirse en el conjunto de loscompañeros que solo platican.

Formalmente el complemento de un conjunto Y respecto de un conjunto universo U se define como

Yc = {x|x ∈ U∧ x /∈ Y} , (4)

y se lee: el complemento de Y es el conjunto de los elementos x tal que x pertenece al conjunto universo U y nopertenece a Y. Es decir, Yc consiste en todos los elementos que le faltan a Y para convertirse en el conjuntouniverso U.

Note la similitud con la definición de la diferencia de conjuntos dada en (3) con el complemento en (4).Es posible ver entonces que Yc = U \Y.

Diagramas de Venn

Los diagramas de Venn son una representación gráfica de las operaciones con conjuntos. Abajo vemosalgunas representaciones. Noten que toda operación de conjuntos siempre se realiza en el ambiente de unconjunto universal U representado por el recuadro.

U

A B

A ∪ B

U

A B

A ∩ B

U

A B

A \ B

U

A B

B \ A



U

A B

Ac

U

A B

Bc

A B

C

A ∪ B ∪ C

U

A B

C

A ∩ B ∩ C

U

A B

C

A \ (B ∪ C)

U

A B

CU

Ac

Precaución

Lo primero a señalar es que la diferencia de conjuntos no es una resta aritmética, por ello, es convenienteusar el símbolo \ en lugar de − para acentuar esta distinción. Esta confusión sucede frecuentemente,por ejemplo, supongamos que card(A) = 20, card(B) = 10, card(A ∩ B) = 5 y nos piden card(A \ B).Lo principiantes calculan esto erróneamente como card(A \ B) = card(A) − card(B) = 10. El resultadocorrecto es card(A \ B) = card(A)− card(A ∩ B) = 15. Y la confusión es mayor aun si se usa −.

Por otro lado, en muchos libros no se preocupan por dibujar el rectángulo exterior que representa elconjunto universo U. Ellos simplemente suponen que el conjunto universo solo consta de los círculosque dibujan. Por ejemplo, en el diagrama de abajo a la izquierda esta coloreado en verde Ac cuandoel conjunto universo consta de mas conjuntos que A, B y C pero no son de interés en los cálculos osimplemente no sabemos quienes son. Ahora, del lado derecho esta coloreado también en verde Ac cuandoel conjunto universo solo consta de los conjuntos A, B y C, por ello no hay necesidad de dibujar el rectánguloque representa U.



A B

CU

A B

C

Un análogo de esto en la vida diaria sería la frase “me gusta la pizza”. Si lo piensan un poco, esta fraseesta incompleta y es porque regularmente se presupone que la otra persona sabe de que hablamos. Porejemplo, si el universo de las pizzas a las que se refiere la frase consta de las pizzas de Italia tal vez nosquedaríamos callados sin saber que opinar pues puede que nunca hayamos probado una pizza de ese país,ni ido allá. Pero si el universo consta solo de las Little Caesars o las Dominos pizza pues podríamosresponder ”a mi también me gustan”. Como podrán darse cuenta, el conjunto universo me da el contextoen que estoy hablando pero mucha gente obvia esto. Por tanto, cuando en los libros no dibujen el recuadroque representa U, están obviando que U solo consta de los círculos que dibujan.

Reglas mnemotécnicas

Al principio siempre es difícil entender las definiciones matemáticas abstractas y mucho menos memorizarlas.Las frases siguientes nos ayudarán en el proceso de entendimiento de las operaciones con conjuntos. Sidefinimos Y = yo y T = tu.

UNION: Y ∪ T = ¡vamos a unirnos tu y yo!

INTERSECCIÓN: Y ∩ T = ¿ que tenemos en común tu y yo ?

DIFERENCIA: Y \ T = ¿ que tengo yo que no tienes tu ?

COMPLEMENTO: Yc = ¿ que tienen los demás que yo no tengo?

Ejemplo de cálculos con conjuntos

Veamos más ejemplos. Definamos los siguientes conjuntos por comprensión:

A = {x|x son las letras de la palabra “voy ”} , B = {x|x son las letras de la palabra “reprobar ”} ,C = {x|x son las letras de la palabra “estadística ”} , D = {x|x la calificación que sacaré} ,

Estos mismos conjuntos por extensión son:

A = {v, o, y} , B = {r, e, p, o, b, a} , C = {e, s, t, a, d, i, c} , D = {5} ,

como vemos, por la definición de conjunto, cada letra deber aparecer solo una vez. En cuanto a las cardinalidades,vemos que card(A) = 3, card(B) = 6, card(C) = 7 y card(D) = 1. Hagamos el respectivo diagrama deVenn:



v,y r,p,b

s, t, d, i, c

5

∅

o

∅ e,a

A B

CU

La intersección entrelas palabras “voy” y“reprobar” es la letra o.

La intersección entrelas palabras 3 palabrases el vacío.

La intersección entrelas palabras “reprobar”y “estadistica” son lasletras e y a.La intersección entre

las palabras “voy” y“estadistica” es elvacío.

La calificación es unconjunto ajeno.

Guiándonos con los diagramas de Venn coloreados y con el diagrama de Venn particular de esteejemplo, podemos calcular lo siguiente:

A ∪ B = {v, y, o, r, p, b} , B ∪ C = {r, p, b, e, a, s, t, d, i, c} , A ∪ C = {v, y, s, t, d, i, c} ,A ∩ B = {o} , A ∩ C = ∅ , B ∩ C = {e, a} , A ∩ B ∩ C = ∅ , A ∩ D = ∅ ,

A ∩ B ∩ C = ∅ , A ∪ B ∪ C = {v, y, o, r, p, b, e, a, s, t, d, i, c}, A ∪ B ∪ C ∪ D = U ,A \ B = {v, y} , B \ A = {r, p, b} , A \ C = A , B \ C = {r, p, b} , (5)

Ac = {r, p, b, e, a, s, t, d, i, c, 5} (A ∪ B)c = {s, t, d, i, c, 5} Dc = A ∪ B ∪ C ,(B ∩ C)c = {v, y, o, r, p, b, s, t, d, i, c, 5} , (A \ B)c = {o, r, p, b, e, a, s, t, d, i, c, 5} ,

A \ (B ∪ C) = {v, y} .



Ejercicios

Ejercicio 1. Si U = { 12 , 0, π, 5,−

√2,−4}, A = {−

√2, 0, π}, B = {5, 1

2 ,−√

2,−4} y C = { 12 ,−4}

encuentre: A ∩ B, A ∪ B, (A ∪ B) ∩ C, Bc ∪ Cc, A \ B, (B ∩ C)c y (A ∩ C) ∪ (B ∩ C).

Ejercicio 2. El propósito es usar los símbolos ∨, ∧, ∈, /∈, ∅ en un problema cotidiano.En 1901 Karl Landsteiner descubrió que el tipo de sangre varia en cada persona. Hay 8 tipos: A−, B−, O+,AB−, A+, B+, AB+, O−, donde a los signos ± se les llama factor Rh. Hay posible compatibilidad entreun donador y un receptor si ambos tipos de sangre pertenecen al mismo conjunto. La compatibilidad esperfecta si son del mismo tipo pero si son de tipos distintos dentro del conjunto, el receptor aceptará sangredel donador si el área de la región que ocupa este último en el diagrama de Venn es estrictamente mayorque el área del receptor. Complete las sentencias con las palabras o símbolos matemáticos adecuados.Se tienen 3 conjuntos A, B y Rh+. Definalos por extension viendoel diagrama y calcule las operaciones solicitadas:

A = { } ,B = { } ,

Rh+ = { } ,B ∩ Rh+ = { } ,A ∪ Rh+ = { } ,

B \ (A ∪ Rh+) = { } ,Bc = { } .

Como A+

yAB−

pertenecenA es posible que haya

compatibilidad, sin embargo, tomando el criterio del áreavemos que area(A+) = area(AB−). Por tanto, A+ no puededonar a AB− y viceversa.

A− B−

0+

AB+

AB−

A+ B+

A B

Rh+U = 0−

Ahora, A+

yAB+

pertenecenA y area(A+) > area(AB+), por tanto, la persona con sangre AB+ aceptará

sangre del tipo A+.Como A∪ B∪ Rh+

pertenece0− y area(0−) es la mayor de todas, entonces a 0− se le llama

universal.Como A∩ B∩Rh+ = AB+ y area(AB+) es la menor de todas, entonces a AB+ se le llamauniversal.Puede verse que A−

no perteneceB y además A− ∩ B− = , entonces A− y B− son incompatibles.

¿Quién o quienes le pueden donar a 0−? .Si una mujer es Rh− y su pareja también, no existen riesgos para el embarazo, ya que los hijos heredarán elmismo factor Rh. Sin embargo, si la mujer es Rh− y su pareja es Rh+, hay un 75 % de posibilidad de que elbebé herede el tipo sanguíneo del padre y tenga incompatibilidad Rh con la madre. Esto puede provocaraborto espontaneo, anemia fetal, lesiones cerebrales, insuficiencia cardíaca y pulmonar, inflamación corporal,convulsiones o muerte poco después del parto. El bebé puede sobrevivir con trastornos de movimiento,pérdida de audición o disminución de capacidad mental. Si definiéramos Rh− = {A−, B−, AB−, 0−},usando el lenguaje de conjuntos, la condición para poder casarse es Rh− ∩ Rh+ = .

Ejercicio 3. En verde está resultado de la operación indicada a la derecha. Lo que deberán hacer esiluminar o subrayar con distintos colores los pasos intermedios hasta llegar a dicha respuesta.



A B

C

A ∩ (B ∪ C)

U

A B

C

A ∪ B ∪ C \((A ∩ B) ∪

(A ∩ C) ∪ (B ∩ C))

U

A B

C

(A ∩ C) \ B

U

A B

C

(A \ B) ∪ (A \ C) ∪(B \ C)

U

A B

C

A ∪ (B ∩ C)c

U

A B

C

C \ (A ∩ B)

U

A B

C

A ∪ (C ∩ B)

U

A B

C

(A ∪ B ∪ C)c

U



Ejercicio 4. Se definen los siguientes conjuntos por comprensión:

E = {x|x son 35 alumnos que estudian Español} ,A = {x|x son 27 alumnos que estudian Alemán} ,F = {x|x son 50 alumnos que estudian Francés} ,

A ∩ E = {x|x son 12 alumnos que estudian Alemán y Español} ,F ∩ E = {x|x son 9 alumnos que estudian Francés y Español} ,A ∩ F = {x|x son 7 alumnos que estudian Alemán y Francés} ,

A ∩ F ∩ E = {x|x son 4 alumnos que estudian los tres idiomas} ,

En cuanto a las cardinalidades, vemos que card(E) = 35, card(A) = 27, card(F) = 50, card(A ∩ E) = 12,card(F ∩ E) = 9, card(A ∩ F) = 7 y card(A ∩ F ∩ E) = 4.

Ayudandose con los diagramas de Venn de las secciones anteriores, llene con el número correspondientelos recuadros siguientes y complete el diagrama de Venn de abajo.

E ∩ A \ F = {x|x son alumnos que solo estudian Español y Alemán pero no Francés} ,E ∩ F \ A = {x|x son alumnos que solo estudian Español y Francés pero no Alemán} ,A ∩ F \ E = {x|x son alumnos que solo estudian Alemán y Francés pero no Español} ,

E \ (A ∪ F) = {x|x son alumnos que solo estudian Español} ,A \ (E ∪ F) = {x|x son alumnos que solo estudian Alemán} ,F \ (A ∪ E) = {x|x son alumnos que solo estudian Francés} .

3

E A

FU

8

510

Con su diagrama de Venn completado, llene cada recuadro con el número correspondiente.

E ∪ F ∪ A \((E ∩ F) ∪ (E ∩ A) ∪ (A ∩ F)

)= {x|x son alumnos que estudian un solo idioma} ,

(E ∩ A \ F) ∪ (E ∩ F \ A) ∪ (A ∩ F \ E) = {x|x son alumnos que solo estudian dos idiomas} .

Ejercicio 5. Complete todos los recuadros siguientes. Ayúdese con el diagrama de Venn.



U = {x|x son 120 alumnos entrevistados} ,B = {x|x son 46 alumnos que practican Basketball} ,A = {x|x son 28 alumnos que practican Atletismo} ,F = {x|x son 35 alumnos que practican Fútbol} ,

= {x|x son 11 alumnos que practican Basketball y Atletismo} ,

= {x|x son 15 alumnos que practican Basketball y Fútbol} ,

= {x|x son 8 alumnos que practican Atletismo y Fútbol} ,

= {x|x son 6 alumnos que practican los tres deportes} ,

B A

FU

= {x|x son 5 alumnos que solo practican Basketball y Atletismo pero no Fútbol} ,A ∩ F \ B = {x|x son alumnos que practican Atletismo y Fútbol pero no Basketball} ,B ∩ F \ A = {x|x son 9 alumnos que } ,

B \ (A ∪ F) = {x|x son alumnos que } ,

A \ (B ∪ F) = {x|x son alumnos que } ,

= {x|x son alumnos que solo practican Fútbol} ,

(B \ (A ∪ F)

)∪(

A \ (B ∪ F))∪(

F \ (B ∪ A))

= {x|x son alumnos que practican un solo deporte} ,

(B ∩ A \ F) ∪ (B ∩ F \ A) ∪ (A ∩ F \ B) = {x|x son alumnos que practican solo dos deportes} ,(B ∪ A ∪ F

)c= {x|x son alumnos que no practican algún deporte} ,

Bc = {x|x son alumnos que no practican basketball} .

Ejercicio 6. En los diagramas siguientes ilumine con distintos colores los pasos intermedios de lasoperaciones de conjuntos marcadas en los seis recuadros punteados del ejercicio 5, hasta llegar al resultadofinal, que ira en color negro. No importa el orden pero escriba cada operación en las líneas de la derecha.

B A

FU

B A

FU



B A

FU

B A

FU

B A

FU

B A

FU

Ejercicio 7. La síntesis aditiva es una actuación conjunta de estímulos de color sobre la retina. Loscolores obtenidos naturalmente por descomposición de la luz o artificialmente mediante fuentes de luz, sedenominan colores aditivos. Su representación se le llama RGB (Red, Green, Blue). Complete las lineas conla respuesta correcta. Ejemplo: A ∩ B ∩ C = {blanco}.

A ∩ B− C = { } ,= {verde} ,= {rojo, verde, azul} ,= {magenta} ,= {magenta, amarillo,cian} ,= {cian, verde, azul} ,= {rojo, amarillo, verde, magenta, azul, cian} ,= {rojo, amarillo, verde, magenta, blanco, cian} ,= {magenta, blanco, amarillo, cian, verde} ,= {rojo} ,

rojo

azul

verde

blanco

amarillo

magenta cian

A B

CEjercicio 8. Usando los conjuntos U = {a, b, c, d, e, f , g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q}, X = {a, c, d, e, i, m, p} e

Y = {a, b, e, f , g, k, m, o, q}, compruebe las siguientes 11 propiedades:Existencia del neutro: 1) X ∪∅ = X , 2) X ∩U = X. Dominación: 3) X ∪U = U , 4) X ∩∅ = ∅.Complementariedad: 5) X ∪ Xc = U , 6) X ∩ Xc = ∅, 7)∅c = U , 8)Uc = ∅.Involutiva: 9) (Xc)c = X. Leyes de De Morgan: 10) (X ∪Y)c = Xc ∩Yc , 11) (X ∩Y)c = Xc ∪Yc.



Bloque 4b: Teoría de Probabilidad I.

Hemos llegado a la última parte del semestre en la cual se unen varias disciplinas de la Matemática: elÁlgebra, la Estadística, la Teoría de Conjuntos, la Teoría Combinatoria, el Calculo Diferencial e Integral, ydemás disciplinas que no vale la pena mencionar. Por el momento, solo trataremos con las cuatro primerasy su relación con la Probabilidad.

Hay dos tipos de fenómenos que pueden observarse en la naturaleza. Al primero se le conoce comofenómenos deterministas. Como su nombre lo indica, se perciben siempre de la misma forma, es decir, sepueden precisar pues siguen leyes deterministas. Ejemplos son la fuerza de gravedad, los impuestos, elvoltaje eléctrico, etcétera. Todas ellas siguen leyes o ecuaciones que funcionan igual en cualquier lugar.

El otro tipo son los de fenómenos no deterministas o aleatorios. Como su nombre lo indica, no se puedenprecisar pues no siguen una ley que determine su comportamiento. Ejemplos son el clima, los juegos deazar, la temperatura ambiental, etcétera. La Probabilidad se encarga de estudiar estos fenómenos.

Entonces, como trataremos con fenómenos aleatorios que, si los repito me pueden dar distintos resultados,es necesario hacer varios experimentos para a partir de sus resultados tratar de modelar su comportamiento.Aquí en donde entra la Estadística pues esta disciplina nos enseña la recolección de datos, como agruparlosy como obtener información de ellos.

Por otra lado, los experimentos que podemos realizar como humanos son finitos, es decir somos capacessolamente de repetir un experimento hasta cierto punto, ya sea por falta de tiempo, por falta de energía,por falta de dinero, etcétera. Debido a ello, es muy necesario organizar nuestros experimentos y todoslos resultados que obtengamos de ellos. Aquí es donde entra la Teoría de Conjuntos. Es decir, haremosconjuntos con los resultados de los experimentos para calcular qué tan posible es que algunos o varios deellos ocurran más que otros. En adicción, la Teoría de Conjuntos introduce también un esquema lógico quenos permitirá calcular muchas cosas y dará estructura a la descripción de los fenómenos aleatorios.

Subconjuntos y Conjunto Potencia

Recordemos que un conjunto es una colección de elementos. Un conjunto A es un subconjunto de unconjunto B si cada elemento en A está también en B. Es decir, un subconjunto es un conjunto que estáincluido o contenido dentro de otro conjunto más amplio. Simbólicamente se escribe: A ⊂ B si ∀x, x ∈A ∧ x ∈ B. Y se lee: A es subconjunto de B si para toda x, x pertenece a A y x pertenece a B. Por ejemploB = {x|x son las horas del día }, mientras que A podría ser A = {x|x son los horas laborables }. Es posiblenotar que A esta contenido en B. Vemos también que card(B) = 24 y que card(A) = 8.

El conjunto potencia P(A) (o conjunto de las partes) de un conjunto A es otro conjunto formado portodos los subconjuntos del conjunto A. Por ejemplo, dado el conjunto A = {b, 5, ∆} tiene como conjuntopotencia P(A) = {∅, {b}, {5}, {∆}, {b, 5}, {b, ∆}, {5, ∆}, {b, 5, ∆}}. Como puede verse, el conjunto P(A)consta de todas las combinaciones que pueden hacerse con los elementos del conjunto A. Es importantenotar que el vacío ∅ siempre tiene que añadirse, pues como recordarán, el vacío siempre esta contenido entodos los conjuntos.

Distintas nociones de Probabilidad, Ley de los Grandes Números y la Regla deLaplace

Llamaremos espacio muestral al conjunto formado por todos los posibles resultados elementales deun experimento. Lo representaremos con la letra S. Un evento o suceso es un subconjunto del espacio



muestral. Por ejemplo S = {x|x son los días de la semana }, mientras que un evento A subconjunto de S

podría ser A = {x|x son los días laborables }. Vemos que card(S) = 7 y que card(A) = 5.Otro ejemplo es el experimento de lanzar dos monedas consecutivamente, escribiendo s=sol y a=águila.

El espacio muestral vendría dado por S = {(s, s), (s, a), (a, s), (a, a)}. Un evento puede ser A = {(s, s), (s, a)}que consiste en las veces que la primer moneda cayo sol. Aquí card(S) = 4 mientras card(A) = 2.

Como podemos notar el espacio muestral juega el mismo papel que el conjunto universo U, y sí, sonlos mismo pero en diverso contexto. Se escogió llamarle espacio muestral para recalcar que es un conjuntoque tiene todas las muestras de los posibles resultados de nuestro experimento. En la tabla 1 se encuentraun diccionario para traducir algunos términos de Teoría de Conjuntos a la Teoría de Probabilidades.

Lenguaje Conjuntista vs Lenguaje ProbabilistaTeoría de Conjuntos Teoría de Probabilidades

U Universo Espacio muestral∅ Conjunto Vacío Evento imposible

P(A) Conjunto Potencia de A Familia de todos los eventos posibles de AA ⊂ U A subconjunto de U A es un eventoA ∪ B A unión B Ocurre el evento A o el evento BA ∩ B A intersección B Ocurre el evento A y el evento BA \ B A menos B Ocurre el evento A, pero no el evento B

Ac Complemento de A No ocurre el evento A (Evento no-A)A ⊂ B A es subconjunto de B A implica B

A ∩ B = ∅ A y B son disjuntos A y B son mutuamente excluyentes

Tabla 1: Diccionario entre el lenguaje conjuntista y el lenguaje probabilista.

Como último ejemplo tomemos el experimento de lanzar un dado. Su espacio muestral son todos losresultados elementales, esto es, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} con card(S) = 6. Un evento es cuando el dado cae en 3,esto es, A = {3} con card(A) = 1.

En cuanto al tema importante, podemos afirmar que la probabilidad es una medida de la incertidumbre.La primera noción de probabilidad es la probabilidad “subjetiva” basada en la opinión de un experto. Unejemplo cotidiano son los partidos de fútbol, donde cada uno le da una probabilidad de que un equipogane o pierda.

Otra noción es la probabilidad teórica o probabilidad “a priori” de un evento A que resulta delcociente de la cardinalidad del evento A y la cardinalidad del espacio muestral S,

p(A) =card(A)

card(S). (6)

Los inconvenientes de definir la probabilidad de esta forma son: 1) Solo es válida cuando los eventoselementales son equiprobables (igualmente probables). 2) A veces no es posible contar.

Retomemos el ejemplo consistente en tirar un dado para ejemplificar esta noción.Vemos que la probabilidad de sacar un 3 es 1/6 ≈ 0.166 y, podemos intuir y calcular que, este resultado

no cambiará para cualquiera de las otras caras del dado. Vemos también que es distinto enunciar "sacar un2 o un 3"que "sacar un 2 y un 3". En el primer enunciado estamos aplicando la operación unión mientrasque en el otro estamos aplicando la intersección. Este último caso es un evento imposible pues da comoresultado el vacío ya que no se puede sacar un 2 y un 3 simultáneamente teniendo un único dado. El últimoes un evento seguro pues siempre al lanzar un dado saldrá alguno de los 6 números, por ello p(S) = 1.



Experimento Resultados posibles Eventos Probabilidadsacar un par, A = {2, 4, 6} p(A) = 3

6 = 12

espacio muestral S: sacar un 3, B = {3} p(B) = 16

Lanzar un dado S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} sacar un impar, D = {1, 3, 5} p(D) = 36 = 1

2card(S) = 6 sacar un 2 o un 3, C = {2, 3} p(C) = 2

6 = 13

sacar un 2 y 3, E = ∅ p(E) = 06 = 0

sacar todas las caras, S p(S) = 1

Pasemos ahora a la noción Estadística de probabilidad. Si nos hubieran pedido el porcentaje de vecesque sale el 3 al tirar un dado usando Estadística, tendríamos que repetir muchas veces el experimentode tirar un dado y anotar la frecuencia f en que sale el 3. Teniendo f y el número total n de tiradas quehicimos, el siguiente paso es calcular la frecuencia relativa f r y después la acumulada Fr. El porcentajepedido vendría dado por fr × 100 %. Hagamos una pausa aquí y analicemos la fórmula de la frecuenciarelativa fr,

fr =fn

. (7)

Notemos la analogía entre esta formula y la fórmula de la probabilidad dada en la ec. (6). El número total nde tiradas juega el papel de card(S) mientras que la frecuencia f juega el papel de card(A). He aquí entoncesla noción Estadística de probabilidad, por ello es que a la frecuencia relativa fr también se le conozca comoprobabilidad empírica o probabilidad “a posteriori”. Los inconvenientes de definir así la probabilidadson los siguientes: 1) No es posible realizar un experimento indefinidamente. 2) Las condiciones bajo lascuales se realiza el experimento pueden variar en el tiempo y, con ello, las frecuencias relativas.

Estarán de acuerdo que la noción subjetiva de la probabilidad no tiene sustento matemático y, porende, no nos ayudará a tomar una decisión. La pregunta ahora es ¿Como podemos reconciliar la nociónde probabilidad teórica con la empírica? Para responder esta cuestión es necesario analizar cuando elnúmero de pruebas del experimento estadístico crece indefinidamente. En el lenguaje del Cálculo, hay quecalcular este límite,

p(A) = lı́mn→∞

fr(A) , (8)

el cual da como resultado p(A). Es decir, a medida que el número de pruebas del experimento tiene alinfinito (o son demasiadas), la frecuencia relativa del evento A tiende a estabilizarse en torno a un número.Este número es precisamente la probabilidad “a priori” del evento A. Esta es la llamada Ley de losGrandes Números y es el primer teorema fundamental de la Teoría de Probabilidades. En la figura (2)vemos como la frecuencia relativa concerniente a sacar un determinado número con un dado, se estabilizaalrededor de 1/6 ≈ 0.166, que es precisamente la probabilidad “a priori”.

Inclusive, por sentido común, cuando lanzamos muchas veces un dado, no debemos esperar que unresultado ocurra más frecuentemente que otro. Los resultados en esta situación se dicen equiprobables.Es decir, siempre esperamos obtener cada resultado de los lanzamientos. En otras palabras, esperamosque salga 1 en 1/6 de los lanzamientos, 2 en 1/6 de los lanzamientos, 3 en 1/6 de los lanzamientos yasí sucesivamente. La Regla de Laplace es precisamente esto, llevar el sentido común a las matemáticas.Podemos enunciarla así: cuando todos los resultados de un experimento aleatorio sean equiprobables,la probabilidad de un evento A será el cociente entre el número de resultados favorables a que ocurrael evento A y el número de resultados posibles del experimento contenidos en el espacio muestral. Estoqueda sintetizado en la formula (6). Vemos pues que su origen proviene de la Regla de Laplace.



Figura 2: Estabilización de la frecuencia relativa alrededor de la probabilidad “a priori”.

La aguja de Buffon

Reconocer cuándo los resultados son equiprobables al calcular probabilidades nos ahorra mucho trabajo.La equiprobabilidad está presente en casi todos los juegos de azar y en muchos otros problemas cotidianos.Sin embargo, hay varios casos donde no es intuitivo aplicar la Regla de Laplace. Un ejemplo es el experimentollamado la aguja de Buffon que consiste en dejar caer una aguja sobre una hoja rayada paralelamentey anotar las veces que la aguja cruza alguna de las rayas. Después de lanzar la aguja muchas veces secomprobó que el experimento estaba íntimamente relacionado con el número π, a saber,

p(aguja cruce una línea) = lı́mn→∞

fr =2 lL π

,

es decir, cuando el numero de experimentos n es muy grande, la frecuencia relativa del experimento esigual a la probabilidad de que una aguja cruce una línea, a su vez igual a 2l/Lπ. Aquí l es el largo de laaguja y L = es la distancia entre lineas paralelas. Hay que notar dos cosas: Por simplicidad se ha quitado el“a priori”, lo cual haremos desde este momento y es porque ya conocemos la Ley de los Grandes Números;segundo es que este resultado no es intuitivo e imposible obtener con la regla de Laplace.

Despejando a π tenemos, π = 2 lL lı́mn→∞ fr

, así en la figura (3) vemos como el valor de π se estabilizaalrededor de 3.1416 cuando el numero de lanzamientos es muy grande.

Figura 3: Estimación de π por medio del experimento de Buffon.



Ejemplo de Calculo de Probabilidades

En una clase de 260 estudiantes de último año, 93 estudianEconomía, 95 estudian Filosofía, 165 estudian Probabilidad,18 estudian Economía y Filosofía, 75 estudian Filosofía yProbabilidad, 20 estudian Probabilidad y Economía y 15estudian las tres materias. Haz un diagrama de Venn parailustrar la información y luego encuentra la probabilidad de quesi un estudiante se elige al azar estudie:

a) Solo Economía

b) Filosofía y Probabilidad pero no Economía

c) Ninguna de estas materias

d) Las tres materias

70 17

85

15

3

5 60

E F

P

5

S

Pasemos a darle solución al problema. Como card(S) = 260 se tiene que:

a) p(E \ F ∪ P) =card(E \ F ∪ P)

card(S)=

70260

= 0.2692

b) p(F ∩ P \ E) =card(F ∩ P \ E)

card(S)=

60260

= 0.2308

c) p((E ∪ F ∪ P)c) = card((E ∪ F ∪ P)c)

card(S)=

5260

= 0.0192

d) p(E ∩ F ∩ P) =card(E ∩ F ∩ P)

card(S)=

15260

= 0.0577



EjerciciosEjercicio 1. Haga un ensayo A MANO de máximo una pagina del vídeo:

Ley grandes números y Regla de Laplace de Javier Valdés Gómezhttps://www.youtube.com/watch?v=vweXbDNwsh4

Ejercicio 2. En una fiesta infantil hay 3 sabores aguas: Horchata, Naranja y Tamarindo. Ayudándosedel diagrama de Venn resuelva:

S = {x|x son 130 alumnos entrevistados} ,H = {x|x son 55 niños que toman agua de Horchata} ,N = {x|x son 25 niños que toman agua de Naranja} ,T = {x|x son 83 niños que toman agua de Tamarindo} ,

= {x|x son 15 niños que toman agua de Horchata y Naranja} ,

= {x|x son 40 niños que toman agua de Horchata y Tamarindo} ,

= {x|x son 20 niños que toman agua de Naranja y Tamarindo} ,

= {x|x son 10 niños que toman de las 3 aguas} ,

H N

TS

= {x|x son 5 niños que solo toman agua de Horchata y Naranja pero no de Tamarindo} ,

N ∩ T \ H = {x|x son niños que solo toman agua de Naranja y Tamarindo pero no de Horchata} ,

H ∩ T \ N = {x|x son 30 niños que toman agua de Horchata y Tamarindo pero no de Naranja } ,

H \ (N ∪ T) = {x|x son niños que } ,

N \ (H ∪ T) = {x|x son niños que } ,

= {x|x son niños que solo toman agua de Tamarindo } ,(H ∪ N ∪ T

)c= {x|x son niños que no toman de estas 3 aguas } ,

Para cada evento de los recuadros de la izquierda, calcule su probabilidad con la formula (6), o sea:

p( ) =130

,

donde card(S) = 130. Es decir, debe sustituir la cardinalidad marcada en los recuadros punteados y hacerla división por 130. En el recuadro del paréntesis va la operación de conjuntos correspondiente.

Ejercicio 3. Sea S el espacio muestral consistente en los alumnos entrevistados y,

R = {x|x son alumnos que reprobaron el 3er parcial de Estadística} ,A = {x|x son alumnos que aprobaron el 2do parcial de Estadística} ,E = {x|x son alumnos que tienen esperanza de aprobar Estadística} .

Llene el diagrama de Venn. La cardinalidad de S es, card(S) = .Ahora poniendo en la linea dentro del paréntesis la operación del conjunto, calcule la probabilidad de que,al elegir un alumno al azar,



a) Haya reprobado el 3er parcial y aprobado el 2do:p( ) =

b)Haya reprobado el 3er parcial y aprobado el 2do pero ya no tengaesperanza: p( ) =

c) Este en el “limbo”, es decir, no presento ni el 2do ni 3er parcial y ya notiene esperanza de pasar Estadística: p( ) =

d)Haya reprobado el 3er parcial y aprobado el 2do y tenga esperanza:p( ) =

e) Solo aprobó el 2do parcial: p( ) =

f) Solo tenga esperanza: p( ) =

35 15

25

6

5

9 3

R A

ES

30

Ejercicio 4. En las linea escriba la operación de conjuntos y en los recuadros el número correspondiente.Llene el diagrama de Venn.

S = {x|x son 53 jóvenes entrevistados} ,M = {x|x son 11 jóvenes admiradores de Maluma} ,B = {x|x son 13 jóvenes admiradores de Bad Bunny} ,O = {x|x son 21 jóvenes admiradores de Ozuna} ,

= {x|x son 3 jóvenes admiradores de los tres reggaetoneros} ,= {x|x son 7 jóvenes que admiran a Maluma y Bad Bunny} ,= {x|x son 4 jóvenes que admiran a Maluma y Ozuna} ,= {x|x son 5 jóvenes que admiran a Ozuna y Bad Bunny} ,

B M

OS

= {x|x son jóvenes que solo admiran a Maluma y Ozuna} ,= {x|x son jóvenes que no admiran a Bad Bunny} ,= {x|x son jóvenes que solo admiran a Maluma y Bad Bunny} ,= {x|x son jóvenes que admiran a un solo reggaetonero} ,= {x|x son jóvenes que solo admiran a Ozuna y Bad Bunny} ,= {x|x son jóvenes que solo admiran a Maluma} ,= {x|x son jóvenes que no admiran a algún reggaetonero} ,

La cardinalidad de S es, card(S) = . Ahora poniendo en la linea dentro del paréntesis la operacióndel conjunto, calcule la probabilidad de que, al elegir un joven al azar,

a) Sea admirador solamente de Ozuna y Bad Bunny: p( ) =

b) No admire algún reggaetonero: p( ) =

c) Admire a los tres reggaetoneros: p( ) =

d) Admire a solo un reggaetonero: p( ) =



Bloque 5a: Técnicas de Conteo.

¿ Cómo se cuenta el número de personas en un cuarto lleno de gente? Podríamos contar cabezas puescada persona tiene exactamente una cabeza. Alternativamente, podríamos contar orejas y dividir por dos.Por supuesto, podríamos tener que ajustar el cálculo si alguien pierde una oreja en una incursión pirata oalguien nació con tres orejas. El punto aquí es que regularmente podemos contar una cosa contando otra.

Mucho antes de la invención de los números, los humanos primitivos usaban sus dedos para contar.Una clásica imagen la podemos encontrar en la portada del libro Baldor (Fig. 4(a)). Su forma de contar eraasignando a cada dedo de la mano un animal (Fig. 4(b)). Aun en la época moderna así aprendemos cuandosomos niños. El gran salto apareció con la invención de los números surgiendo una nueva regla, la cual acada dedo de la mano se le asigna un numero (Fig. 4(c)). Este sencillo paso nos permite comunicar a otrosla cuenta que obtuvimos, lo cual era posible hasta cierto grado para el hombre primitivo.

(a) Portada del Baldor. (b) Contando primitivamente.

(c) Contando modernamente.

Figura 4: Evolución en la forma de contar.

Podemos ver entonces que el contar es un proceso que consiste en una regla de asignación que relacionados conjuntos. Uno de ellos es del que se quiere obtener información y el segundo conjunto nos ayudan acontar. Esa regla de asignación es lo que conocemos como función.



¿ Qué es una función?

La palabra función existe en el español y la ocupamos para referirnos al propósito que se le atribuye auna cosa en relación con un objetivo a lograr. Es decir, una función siempre relaciona al menos un par decosas. Por ejemplo, la función de un auto es transportar cosas o gente a un lugar especifico. La función deuna escalera es ayudar a las personas a subir más alto. El auto o la escalera persé no tienen propósito deexistir si no es para cumplir un objetivo. Como pueden notar entonces, las funciones están siempre en lavida diaria y en muchas otras actividades como en la ciencia pues un científico para estudiar la naturalezatambién usa a las funciones. Por ejemplo, a través de la relación que hay con el coronavirus y sus síntomasse puede saber si una persona esta contagiada.

Matemáticamente, una función conecta un conjunto “de salida” con otro “de llegada” tal que a cadaelemento del conjunto de salida le corresponde un único elemento del conjunto de llegada. Al conjunto“de salida” se le denomina dominio y al “de llegada” se le llama rango o codominio. Note que estadefinición nunca impide que a algún elemento del conjunto “de llegada” le puedan corresponder dos omas elementos distintos del “de salida”, como es el caso de las funciones sobreyectivas mostrado en lafigura (5).

abg

A

56z

Bf

f no es función.

abg

A

56zy

Bf

f es inyectiva.

abgq

A

56z

Bf

f es sobreyectiva.

abg

A

56z

Bf

f es biyectiva.

Figura 5: Los tres tipos de funciones.

Un caso donde f no es función está en el primer ejemplo, donde f asigna al elemento g del conjuntoA dos elementos del conjunto B, incumpliendo el requisito para ser una función. Los restantes tres casossi cumplen el requisito y son los tres tipos de funciones que hay. Notemos que, si f es inyectiva se debercumplir que Card(A) ≤ Card(B). Si f es sobreyectiva se cumple que Card(A) ≥ Card(B). Y si f es biyectivaobligadamente se debe cumplir que Card(A) = Card(B).

La Combinatoria o el Arte de Contar

El propósito ahora es usar el concepto de función y sus tres tipos para contar de forma rápida ymetódica. Para ello, analicemos los siguientes problemas:

O1: ¿Cuantas cifras de dos dígitos puedo hacer con los números 3, 5 y 7 si permito que se repitan?

O2: ¿Cuantas cifras de dos dígitos puedo hacer con los números 3, 5 y 7 si no permito que se repitan?

O3: ¿Cuantas cifras de tres dígitos puedo hacer con los números 3, 5 y 7 si no permito que se repitan?

C1: ¿Cuantos productos con dos números puedo obtener usando el 3, 5 y el 7 si permito que se repitan?

C2: ¿Cuantos productos con dos números puedo obtener usando el 3, 5 y el 7 si no permito que se repitan?



Problema O1.Para responder este problema podemos nombrar al conjunto A como A = {posicion 1, posicion 2} que

es el orden que guardan los dígitos de izquierda a derecha en una cifra de dos números, al conjunto B comoB = {3, 5, 7} que son los números con los que formaremos las cifras y la función f como “poner en unaposición especifica a un número”. Esto lo visualmente esta indicado en la figura 6 donde vemos que la cifra37 se forma al asignar a la posición 1 el numero 3 y a la posición 2 el 7. En estos casos la función f trabajade forma inyectiva. Otro ejemplo mostrado al lado es la cifra 33 formada al poner en la posición 1 y en laposición 2 el número 3. En este caso f trabaja de forma sobreyectiva debido a que el problema indica que espermitida la repetición de los números. Si continuamos con esta idea vemos que podemos formar en total9 cifras: {33, 35, 37, 53, 55, 57, 73, 75, 77}.

Figura 6: Arreglos con repetición

Problema O2.Para responder este nuevo problema, lo unico que hay que quitar son las ocasiones en que f trabaja

de forma sobreyectiva, es decir, no se deben tomar las cifras 33, 55, y 77 (ver Fig. 7). Por tanto, podemosformar en total 6 cifras: {35, 37, 53, 57, 73, 75}.

Figura 7: Arreglos sin repetición

Problema O3.Este problema es similar al anterior, la unica diferencia es que la cardinalidad de los conjuntos A y B es

la misma. Por tanto, la función f trabaja de forma biyectiva (ver Fig. 8) y podemos formar en total 6 cifras:{357, 573, 735, 537, 375, 753}.



Figura 8: Arreglos sin repetición

Es importante subrayar que, en los problemas tipo O, los elementos de ambos conjuntos son distinguibles.Por ejemplo, la posición del 3 en la cifra 35 es diferente en la cifra 53 de igual forma el 3,5 y 7 son númerosdistintos.

Problema C1.

Sean el multiconjunto A = {posicion, posicion} y el conjunto B = {3, 5, 7} que son los números conlos que formaremos los productos. La función f será ahora “formar un producto de dos números”. Unmulticonjunto es una generalización de la noción del concepto de conjunto donde ahora se permite larepetición de los elementos, es decir, en un multiconjunto puede haber elementos indistinguibles con es elcaso de A. En nuestro problema esto conlleva a que el producto 3× 7 sea indistinguible de 7× 3.

Dado que se nos permite la repetición de los números, debemos tomar en cuenta las ocasiones en quela función f trabaja tanto de forma inyectiva como sobreyectiva (ver Fig. 9). Por tanto, podremos formar entotal 6 productos: {3× 3, 3× 5, 3× 7, 5× 5, 5× 7, 7× 7}.

Figura 9: Combinaciones con repetición

Problema C2.

La única diferencia con el problema anterior es que ahora no se permite la repetición de los números. Esdecir, debemos tomar en cuenta solamente las ocasiones en que f trabaja de forma inyectiva (ver Fig. 10).Por tanto, el número de productos que podemos formar son 3: {3× 5, 3× 7, 5× 7}.

Es importante subrayar que, en los problemas tipo C, los elementos de A son indistinguibles y los deB distinguibles.



Figura 10: Combinaciones sin repetición

Metodizando el conteo

En este punto debemos notar varias cosas importantes:

I) Los elementos de A pueden ser distinguibles o indistinguibles. Lo ultimo hace a A un multiconjunto.

II) Si son distinguibles se pueden ordenar. A esto se le conoce como Ordenaciones, Arreglos o Variaciones.Si son indistinguibles es imposible ordenarlos. A su mezcla se le conoce como Combinaciones.

III) Los elementos de B deben ser siempre distinguibles, por tanto, B debe ser forzosamente un conjunto.Intuitivamente esto se entiende porque para contar debemos poder distinguir visualmente los objetos.

IV) En un conteo donde se permite la repetición de los elementos de B siempre hay asociada una funciónsobreyectiva, mientras que, con la no-repetición una función inyectiva.

V) Un función biyectiva solo se puede conseguir cuando no se permite repetición en B como en el casoinyectivo pero card(A) = card(B). A este tipo de Ordenaciones se les llama Permutaciones.

Todo esto se resume en la Tabla 2:

A BA

f−−→ BCard(A)= k Card(B)= n

Elementos de A : Elementos de B: Cualquier función Funcion inyectiva Funcion biyectiva

distinguiblesdistinguibles

nk (n)k = n · (n− 1) · · · (n− k + 1) n !Orden =⇒ Ordenaciones Ordenaciones con repetición Ordenaciones sin repetición

indistinguiblesdistinguibles (n−1+k

k ) = (n−1+k) !k ! (n−1) ! (n

k) =n !

k ! (n−k) !No orden =⇒ Combinaciones Combinaciones con repetición Combinaciones sin repetición

Tabla 2: Ordenaciones y combinaciones. Alternativamente (n)k se puede calcular como (n)k =n !

(n−k) ! .

Viendo la tabla, la formula nk denota que el número n se debe elevar a la potencia k. La formula (n)kse le conoce como factorial decreciente y quiere decir es que el numero n se debe multiplicar por susantecesores hasta que se llegue al numero (n− k + 1). La formula n ! le conoce como factorial de n y quieredecir que el numero n se debe multiplicar por sus antecesores hasta llegar al 1, es un caso particular delfactorial decreciente cuando n = k. A los términos del tipo (r

s) se les llama coeficiente binomial.



Veamos ejemplos. Sea n = 7 y k = 5:

nk =⇒ 75 = 7 · 7 · 7 · 7 · 7 = 16807 ,(n)k =⇒ (7)5 = 7 · 6 · · · (7− 5 + 1) = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 = 2520 ,

n ! =⇒ 7 ! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040 ,(nk

)=⇒

(75

)=

7 !5 ! (7− 5) !

=7 !

5 ! 2 !=

7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1(5 · 4 · 3 · 2 · 1) (2 · 1) =

5040(120) (2)

=5040240

= 21(n− 1 + k

k

)=⇒

(7− 1 + 5

5

)=

(115

)=

11 !5 ! (11− 5) !

=11 !

5 ! 6 !=

39916800(120)(720)

= 462 .

Cabe señalar que (n)k se puede calcular alternativamente en término de los factoriales como (n)k =n !

(n−k) ! .Una vez que hemos metodizado al conteo y podemos aplicar las formulas procedamos a resolver de

forma rápida los problemas anteriores usando la Tabla 2.

Problema O1. Los elementos de A son distinguibles. Se permite la repetición de los elementos deB entonces debe considerarse cualquier función de A a B, es decir, tanto sobreyectivas e inyectivas.Como card(A) = k = 2 y card(B) = n = 3, la respuesta al problema es 32 = 9.

Problema O2. Los elementos de A son distinguibles. No se permite la repetición de los elementosde B entonces solo deben considerarse las funciones inyectivas de A a B. Como card(A) = k = 2 ycard(B) = n = 3, la respuesta al problema es (3)2 = 3 · 2 = 6.

Problema O3. Los elementos de A son distinguibles. No se permite la repetición de los elementos deB entonces solo deben considerarse las funciones inyectivas de A a B, sin embargo, como card(A) =card(B) = 3 en realidad son funciones biyectivas. La respuesta al problema es 3 ! = 3 · 2 · 1 = 6.

Problema C1. Los elementos de A son indistinguibles. Se permite la repetición de los elementos deB entonces debe considerarse cualquier función de A a B, es decir, tanto sobreyectivas e inyectivas.Como card(A) = k = 2 y card(B) = n = 3, la respuesta es (3−1+2

2 ) = (3−1+2) !2 ! (3−1) ! =

4 !2 ! 2 ! =

244 = 6.

Problema C2. Los elementos de A son indistinguibles. No se permite la repetición de los elementosde B entonces solo deben considerarse las funciones inyectivas de A a B. Como card(A) = k = 2 ycard(B) = n = 3, la respuesta es (3

2) =3 !

2 ! (3−2) ! =3 !

2 ! 1 ! =62 = 3.

Ejemplos

Veamos mas ejercicios y resolvamoslos usando la Tabla 2.1.- Se venden camisas de tres tipos. Si dos personas compran una camisa cada una ¿ de cuántas posibles

formas se pueden vender las camisas?Res: Definamos los conjuntos A = {persona1, persona2} y B = {camisa tipo1, camisa tipo2, camisa tipo3}así como la función f = “una persona compra una camisa”. A es distinguible y esta permitido considerarcuando f trabaja de forma sobreyectiva pues las personas pueden compartir el mismo gusto en camisas(elementos de B pueden repetirse). La respuesta es 32 = 9.

2.- Una empresa desea colocar 3 nuevos gerentes en tres de sus 4 plantas. ¿De cuántas maneras se puedehacer?Res: Definamos los conjuntos A = {gerente1, gerente2, gerente3} y B = {planta1, planta2, planta3, planta4}así como la función f = “un gerente se va a una planta a trabajar”. A es distinguible y solo se permite



considerar cuando f trabaja de forma inyectiva pues no puede haber 2 gerentes en una planta (elementos deB no pueden repetirse). La respuesta es (4)3 = 4 · 3 · 2 = 24.

3.- Tres miembros de una organización se han ofrecido para fungir, de forma voluntaria, como presidente,tesorero y secretario. Obtener el número de formas en que los tres podrían asumir los puestos.Res: Definamos los conjuntos A = {miembro1, miembro2, miembro3} y B = {presidente, tesorero, secretario}así como la función f = “un miembro ocupa un puesto”. A es distinguible y solo se permite considerarcuando f trabaja de forma biyectiva pues hay 3 miembros y 3 puestos (elementos de B no pueden repetirse).La respuesta es 3 ! = 3 · 2 · 1 = 6.

4.- Se tienen 5 sabores de helado: banana, chocolate, limón, fresa y vainilla. Si al cliente se le deben dar3 bolas y el las puede escoger ¿ cuantos tipos de barquillo puede formar el cliente?Res: Definamos A = {bola, bola, bola} y B = {banana, chocolate, limon, f resa, vainilla} así como la funciónf = “elegir una bola de un sabor”. A es indistinguible pues antes de elegir un sabor solo sabemos que elcono de helado lleva 3 bolas sin importar el orden en que las sirvan. Esta permitido considerar cuando ftrabaja de forma sobreyectiva pues el cliente puede repetir sabores a su gusto. La respuesta es (5−1+3

3 ) =

(73) =

7 !3 ! 4 ! =

5040(6)(24) = 35.

5.- Si un club tiene 5 miembros, ¿cuántos comités diferentes de dos miembros son posibles?Res: Definamos A = {puesto, puesto} y B = {miembro1, miembro2, miembro3, miembro4, miembro5} asícomo la función f = “poner en un puesto a un miembro”. A es indistinguible pues los puestos en uncomité no tienen rango. Solo se permite considerar cuando f trabaja de forma inyectiva pues un miembrono puede ocupar dos puestos. La respuesta es (5

2) =5 !

2 ! 3 ! =120

(2)(6) = 10.

Principio Multiplicativo y Aditivo

Para terminar con las técnicas de conteo es importante tratar con dos principios muy importantes queson el Principio Multiplicativo y el Principio Aditivo. Cuando se trata de una sola actividad, la cual requiereuna serie de pasos para ser llevada a cabo, haremos uso del principio multiplicativo. Por otro lado, si laactividad a desarrollar tiene alternativas para llevarse a efecto, haremos uso del principio aditivo.

Principio Multiplicativo: Si hay k procedimientos y el i-esimo procedimiento puede hacerse de niformas diferentes, entonces el total de formas que se puede realizar el primer procedimiento y seguidodel segundo, . . ., y seguido del k-esimo procedimiento es igual al producto n1 × n2 × n3 × · · · × nk.

Principio Aditivo: Si hay k procedimientos y el i-esimo procedimiento puede hacerse de ni formasdiferentes, entonces el total de formas que se puede realizar el primer procedimiento o el segundo, . . ., o elk-esimo procedimiento es igual a la suma n1 + n2 + n3 + · · ·+ nk.

Ejemplo: En el CETIS hay 20 muchachas y 10 muchachos y se tiene que elegir una junta de 5 jóvenes.a) ¿De cuantas maneras puede hacerse?b) ¿De cuantas maneras si primero hay que elegir 3 muchachas y luego 2 muchachos?c) ¿De cuantas maneras si todos han de ser muchachas o muchachos?Res: a) Aquí A es multiconjunto consistente de 5 puestos indistinguibles de la junta, B consiste en los 30jóvenes que, por supuesto, son distinguibles y f es la función “asignar un puesto a un joven del CETIS”.Como no se permite repetición en B, solo hay que considerar las funciones inyectivas de A a B: La respuestaes entonces (30

5 ) = 142506 maneras. b) Ahora de las 20 muchachas hay que elegir 3 y después 2 de los 20muchachos, por tanto, la respuesta es (20

3 )× (102 ) = 51300 maneras. c) Aquí los 5 pueden ser muchachas o

muchachos, entonces la respuesta es (205 ) + (10

5 ) = 15756 maneras.¿Como saber que principio usar? La clave en el Principio Multiplicativo es buscar intrínsecamente la

disyunción “y” que indica una secuencia. Para el Principio Aditivo es buscar intrínsecamente la conjunción“o” que indica alternativa.



EjerciciosDe los ejercicios 1 a 5 defina por extension al conjunto o multiconjunto A según sea el caso, al conjunto

B y a la función f que relaciona a ambos. Haga diagramas de Venn ejemplificando: 1) cuando f trabajade forma inyectiva, 2) cuando f trabaja de forma sobreyectiva y, 3) cuando f trabaja de forma biyectiva.Claro, estos dos últimos casos si el problema lo permite. Por ultimo, escoja la formula correcta de la Tabla2 y responda las preguntas.

Ejercicio 1. ¿ De cuantas formas se pueden acomodar 3 huevos blancos en un riel lineal del refrigeradorcon 5 espacios numerados?

Ejercicio 2. Se lanza una moneda 4 veces. Hallar el número total de resultados posibles.Ejercicio 3. Supongamos que va a formarse un comité de 5 estudiantes. ¿Cuántos comités diferentes se

pueden formar con respecto a su composición de hombres y mujeres?Ejercicio 4. En un tren hay un asiento largo y vacío para 3 personas, una sentada al lado de la ventana,

una en medio y al lado del pasillo. En cierta estación se suben 4 personas. ¿ De cuantas formas puedenestar sentadas las 4 personas?

Ejercicio 5. Resuelva el problema anterior si en vez de subirse cuatro personas se suben 3 personas.Ejercicio 6. Si tienen alguna duda respecto a como hacer este ejercicio, pueden guiarse viendo el vídeo:

Expansión Binomial Usando el Triángulo de Pascal.https://www.youtube.com/watch?v=uE5pEUDxYUU

⇐= Complete el triangulo de Pascal. Una vez lleno, úselo para expandirlos siguientes binomios:

(x + y)7 ,(5x− 3y)4 .

(00)

(10) (

11)

(20) (

21) (

22)

(30) (

31) (

32) (

33)

(40) (

41) (

42) (

43) (

44)

(50) (

51) (

52) (

53) (

54) (

55)

(60) (

61) (

62) (

63) (

64) (

65) (

66)

(70) (

71) (

72) (

73) (

74) (

75) (

76) (

77)

⇐= Ahora, usando la propiedad simétrica de los coeficientesbinomiales (n

k) = ( nn−k) para ahorrar trabajo, calcule todos los

coeficientes binomiales del triangulo de la izquierda.a) ¿Podría decirse que este triangulo es simétrico respecto una lineavertical que lo parte a la mitad?b) ¿ Nota similitudes entre este triangulo y el triangulo de Pascal?

Ejercicio 7. Un granjero tiene vacas en su finca y las quiere encerrar en una cerca, este encuentra 4maneras distintas para encerrarlas en la mañana, 5 maneras distintas de encerrarlas en la tarde y 4 manerasdistintas de encerrarlas en la noche ¿De cuantas maneras distintas puede encerrar a las vacas?

Ejercicio 8. Una persona desea construir su casa, para lo cuál considera que puede construir los cimientosde su casa de cualquiera de 2 maneras (concreto o block de cemento), mientras que las paredes las puedehacer de adobe, adobón o ladrillo, el techo puede ser de concreto o lámina galvanizada y, por último, losacabados los puede realizar de una sola manera ¿Cuántas maneras tiene esta persona de construir su casa?

Ejercicio 9. De 10 concursantes en un evento femenino, 3 señoritas tienen ojos azules. Si se eligen 2 alazar ¿Cual es la probabilidad de que i) dos señoritas tengan ojos azules, ii) ninguna tenga ojos azules, iii)una por lo menos tenga ojos azules?



Bloque 5b: Teoría de Probabilidad II.

Probabilidad Condicional

La probabilidad de un determinado evento en un experimento aleatorio puede verse modificada sise posee alguna información antes de la realización del experimento. Por ejemplo, si se consideran losalumnos de una clase de Estadística, la probabilidad de sacar a una alumna rubia será diferente de lade sacar una alumna rubia del grupo de las alumnas, es decir, si se parte del conocimiento de que laalumna escogida sea del sexo femenino. Para modelar este tipo de situaciones en las que se parte de unainformación a priori, se define el concepto de probabilidad condicionada.

Si P(B) > 0, la probabilidad condicionada de que se realice A si sucedió B, P(A|B), viene definida porel cociente:

P(A|B) = P(A ∩ B)P(B)

.

De forma análoga se define la probabilidad condicionada de B respecto a A. Utilizando conjuntamenteambos resultados se obtiene la llamada Regla de la Multiplicación:

P(A ∩ B) = P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A) .

Veamos un ejemplo. El 60 % de los alumnos de una clase de Estadística son chicas y se sabe que el 30 %de las chicas son rubias. ¿Cuál es la probabilidad de escoger un alumno de la clase que sea chica y rubia?

Para resolver este ejemplo se consideran los siguientes sucesos:

F = {ser de sexo femenino}, M = {ser de sexo masculino}, R = {tener pelo rubio}.

La probabilidad pedida es:

P(R ∩ F) = P(R|F)P(F) = (0.3)(0.6) = 0.18 .

Extendiendo la Regla de la Multiplicación n sucesos, A1, A2, . . . , An, se tiene:

P(A1 ∩ A2 ∩ ...∩ An) = P(A1) · P(A2/A1) · P(A3/A1 ∩ A2) · · · P(An/A1 ∩ A2 ∩ ...∩ An−1) .

Apliquemos esta formula a nuestro ejemplo. Se sabe que el 40 % de las chicas rubias usan lentes. ¿Cuáles la probabilidad de que al escoger aleatoriamente un alumno de la clase resulte ser una chica rubia conlentes? Si se define el suceso G = {usar lentes} la probabilidad pedida es,

P(F ∩ R ∩ G) = P(G/(R ∩ F))P(R/F)P(F)= (0.4)(0.3)(0.6) = 0.072 .

Dependencia e independencia

Anteriormente se introdujo el concepto de probabilidad condicionada, debido a que la probabilidad deun determinado suceso se ve alterada por la información de que se dispone a priori. Sin embargo, puedesuceder que dicha información no altere la probabilidad de ocurrencia de ese suceso, es decir, el que ocurrael suceso es independiente de la información.



Se dice que dos eventos A y B son independientes si el conocimiento de la ocurrencia de uno nomodifica la probabilidad de aparición del otro. Es decir, P(B|A) = P(B).

Continuando con el ejemplo de la clase de Estadística, si se sabe que el 10 % de los alumnos escriben conla mano izquierda. ¿Cuál es la probabilidad de escoger aleatoriamente una chica que escriba con la manoizquierda? Sea el suceso D definido por D={escribir con la mano izquierda}. Admitiendo que los sucesosD y F son independientes, la probabilidad solicitada es,

P(F ∩ D) = P(F)P(D) = (0.6)(0.1) = 0.06 .

Vale la peña señalar que, siendo independientes los eventos F y D, también se cumple que P(F ∪ D) =P(F) + P(D) = 0.6 + 0.1.

Teorema de la Probabilidad Total y Teorema de Bayes

Teorema de la Probabilidad Total

Se considera un experimento que se realiza en dos etapas, en la primera se supone que de los eventosA1, A2, . . . , An son conocidas sus probabilidades P(A1), P(A2), . . . , P(An). Mientras que en la segundaetapa los resultados posibles B, tienen probabilidades desconocidas que dependen de lo que ocurre en laprimera etapa. Si se conocen las probabilidades condicionales P(B|Ai) para un cierto suceso B y cada Ai severifica que:

P(B) =n

∑i=1

P(B|Ai)P(Ai) ,

= P(B|A1)P(A1) + P(B|A2)P(A2) + · · ·+ P(B|An)P(An) .

Continuando con el ejemplo de nuestra clase de Estadística, si se sabe que el 20 % de los chicos sonrubios. ¿Cuál es la probabilidad de escoger aleatoriamente una persona rubia? La probabilidad solicitadaes:

P(R) = P(R|M)P(M) + P(R|F)P(F) ,= (0.2)(0.4) + (0.3)(0.6) = 0.26 .

Teorema de Bayes

Hasta ahora se ha dado la idea intuitiva de probabilidad condicionada como la probabilidad de queocurra un evento sabiendo que ha ocurrido con anterioridad otro suceso. Lo que se intentará ahora escalcular una probabilidad “antinatura”, es decir, se pretende expresar lo que ocurre antes, Ak, en funciónde lo que ocurre después, B. De todas formas, esto tiene sentido porque en algunas ocasiones se conoce elresultado final de un experimento pero se desconocen algunos de los pasos intermedios en los que se estáinteresado. El teorema de Bayes,

P(Ak|B) =P(B|Ak) P(Ak)

∑ni=1 P(B|Ai)P(Ai)

, k = 1, . . . , n ,

resuelve esto, pues expresa las probabilidades a posteriori, P(Ak|B), en función de las verosimilitudes,P(B|Ak).

Retomando nuevamente nuestro ejemplo, si se sabe que se ha elegido a una persona rubia, ¿cuál es laprobabilidad de que sea chica? La probabilidad solicitada, a la vista de los resultado anteriores es

P(F|R) = P(R|F)P(F)P(R)

=(0.3)(0.6)

0.26= 0.69 .



Aplicación del Diagrama de Árbol en los Teoremas de Probabilidad Total y de Bayes

Si se consideran experimentos con pocos sucesos en el espacio muestral, es posible utilizar el diagramade árbol para introducir teoremas complejos de justificar. Así, tanto el teorema de la probabilidad totalcomo el teorema de Bayes permiten una interpretación muy sencilla cuando se ha relacionan con undiagrama de árbol.

Consideremos este ejemplo. En una escuela hay 3 aulas: A1 = {aula roja}, A2 = {aula azul} y A3 = {aulanegra}. La roja tiene al 50 % de los estudiantes, la azul al 30 % y la negra al 20 %. Los B = {hombres} son el40 % y Bc = {mujeres} el 60 %.Si se selecciona un estudiante al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que sea un estudiante hombre?

Un diagrama de árbol con dos fases ayuda a interpretarel teorema de la probabilidad total como una herramientaadecuada para calcular la probabilidad de un suceso de lasegunda fase, sin hacer mención a lo que pudo ocurrir en laprimera. Como puede verse, la suma de las probabilidadesde las ramas que salen de cada nudo debe ser 1 ya querepresentan todas las posibilidades de los eventos quepueden ocurrir tras pasar por ese nudo en dirección a lasiguiente fase.Por tanto, solo hay que recorrer todos los caminos quellevan a ese suceso, y sumar los respectivos productos delas probabilidades que se encuentran en dichos caminos.Por tanto, la probabilidad del suceso B es:

P(B) = P(B|A1)P(A1) + P(B|A2)P(A2) + · · ·+ P(B|An)P(An) ,P(B) = (0.4)(0.5) + (0.4)(0.3) + (0.4)(0.2) = 0.4 .

Si el estudiante seleccionado es mujer ¿Cuál es la probabilidad de que su aula haya sido la azul?

En el teorema de Bayes se sabe lo ocurrido en la segundafase, pero se desconoce lo que ocurrió en la primeray, por ello, nos planteamos calcular la probabilidad deque ocurriese ese suceso con la información disponible.Para esto, hay que conocer las probabilidades P(Ai)denominadas, en este contexto, probabilidades a priori,así como las probabilidades condicionales P(B|Ai),que se denominan verosimilitudes de que ocurra elsuceso B sabiendo que ha ocurrido el suceso Ai. Lasprobabilidades P(Ai|B) se denominan probabilidades aposteriori. Para obtenerlas, el teorema de Bayes puedeaplicarse intuitivamente, de la forma siguiente forma:



P(A2|Bc) =Unico camino que pasa por A2 y Bc

suma de todos los caminos que llevan a Bc ,

P(A2|Bc) =P(Bc|A2) P(A2)

P(Bc|A1)P(A1) + P(Bc|A2)P(A2) + P(Bc|A3)P(A3),

P(A2|Bc) =(0.6)(0.3)

(0.6)(0.5) + (0.6)(0.3) + (0.6)(0.2)=

0.180.6

= 0.3 ,

El teorema de Bayes resulta un extraño a primera vista, ya que en él se solicita encontrar la probabilidadde un evento que pudo ocurrir en la primera fase del experimento cuando sabemos lo que ha ocurrido enla segunda fase. Esto choca con la intuición inicial de los principiantes, pues asocian los eventos con lacausalidad además, suponen que no puede condicionarse un evento a otro que ocurre con posterioridad.Sin embargo, matemáticamente, el orden temporal es irrelevante para el condicionamiento pero, intuitivamente,hay diferencia en la comprensión, aspecto que es origen de diversos sesgos de razonamiento.

Veamos un ultimo ejemplo

En una determinada ciudad se ha cometido un asesinato. De la investigación se encarga un detective,que tiene 5 sospechosos entre los que se encuentra el asesino. Se sabe que el detective trabaja con unpequeño margen de error, de forma que la probabilidad de creer inocente al verdadero asesino es de 0.05 yla probabilidad de creer culpable a una persona inocente es de 0.08. Si el detective cree que una persona esculpable, ¿cuál es la probabilidad de que esa persona sea el asesino?

Para la resolución del problema se definen los siguientes sucesos:

A = {ser asesino} , I = {ser enjuiciado inocente} , C = {ser enjuiciado culpable} .

De esta forma se tiene que:

a) Hay un asesino de 5 sospechosos, por tanto, la probabilidad de que una persona elegida al azar sea elasesino es:

P(A) =15

, P(Ac) =45

.

b) La probabilidad de creer inocente al verdadero asesino, es la probabilidad de ser enjuiciado inocentecondicionada a que es el asesino, es decir, P(I|A) = 0.05. Además, se sabe que P(C|A) = 1− P(I|A) =0.95.

c) La probabilidad de creer culpable a una persona inocente, es la probabilidad de ser enjuiciado culpablecondicionada a que no es el asesino, es decir, P(C|Ac) = 0.08.

En el problema se pide la probabilidad de que una persona asesina haya sido enjuiciada culpable, es decir,la probabilidad de que una persona sea asesina condicionada a que ha sido enjuicida culpable. Por tanto,la probabilidad requerida es P(A|C), para calcular dicha probabilidad se recurre al teorema de Bayes,

P(A|C) =P(C|A)P(A)

P(C|A)P(A) + P(C|Ac)P(Ac),

=(0.95)(0.2)

(0.95)(0.2) + (0.08)(0.8)=

0.190.254

,

= 0.748 .



EjerciciosEjercicio 1. Sea una clase de estadística en la que un 20 % de los varones son rubios y un 50 % de

las mujeres rubias. Si se sabe que el 30 % de la clase son varones, se pide: La probabilidad de escogeraleatoriamente de la clase un varón rubio. La probabilidad de escoger aleatoriamente una persona rubia deentre todos los alumnos. La probabilidad de que una persona que se ha elegido aleatoriamente sea varónsabiendo que su pelo es rubio.

Ejercicio 2. Consideremos una población en la que cada individuo es clasificado según dos criterios:A = {es una persona portadora de VIH} y B = {es una persona en riesgo}. La correspondiente tabla deprobabilidades es:

pertenece a A pertenece a Ac Totalpertenece a B 0.003 0.017 0.020pertenece a Bc 0.003 0.977 0.980

Total 0.006 0.994 1.000

Dada una persona al azar perteneciente al grupo de riesgo, ¿Cuál es la probabilidad de que sea portador?Dada una persona al azar no perteneciente al grupo de riesgo, ¿Cuál es la probabilidad de que sea portador?

Ejercicio 3.En una población el 51 % de las personas son mujeres, el 18 % de las personas tienen la tensión presión

y el 10 % son mujeres con presión alta. cosas. Obtener:1. Probabilidad de que una persona tenga la presión alta dado que es mujer2. Probabilidad de ser hombre dado que tiene la presión alta3. Probabilidad de ser mujer dado que no tiene la presión alta

Ejercicio 4. Sea el experimento de lanzar una moneda y sean los eventos A =“Sol en el quinto lanzamiento”y B =“Sol en el sexto lanzamiento”. ¿Cual es la probabilidad de que se tenga Sol en el quinto y sextolanzamiento?

Ejercicio 5. Una fábrica de tornillos tiene dos máquinas, la M1, que es más antigua, y hace el 75 % detodos los tornillos, y la M2, más nueva pero pequeña, que hace el 25 % de los tornillos. La M1 hace un 4 %de tornillos defectuosos, mientras que la M2 tan sólo hace un 2 % de tornillos defectuosos. Si escogemos untornillo al azar, ¿Qué probabilidad hay de que salga defectuoso?

Ejercicio 6. Tres máquinas en una fabrica de vidrio producen piezas de adorno. La máquina A produceel 1 % de las piezas defectuosas, la máquina B el 2 % de las piezas defectuosas y la máquina C el 5 % de laspiezas defectuosas. Cada máquina produce la tercera parte de la producción total. Un especialista examinauna pieza y determina si es defectuosa ¿Cual es la probabilidad de que dicha pieza halla salido de lamáquina A?



Bibliografía Recomendada

[1] John B. Kennedy, Adam M., Neville (1982). Estadistica para Ciencias e Ingeniería. Editorial Harla .

[2] George Canavos. (2003). Probabilidad y Estadistica. Aplicaciones y métodos. Editorial Mc. Graw Hill.

[3] David R. Anderson, Dennis J. Sweeney, Thomas A. Williams (2001). Estadística para administración yeconomía. Serie Schaum.


probabilidad y estadistica · alumno deberá elegir 6 de los ocho ejercicios, del bloque 4b deberá...

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