PROBABILIDAD

VARIABLE ALEATORIA

Es una función, que asigna eventos (p.e., los posibles resultados de tirar un dado dos veces: (1, 1), (1, 2), etc.) a números reales (p.e., su suma). Una variable aleatoria o variable estocástica es una variable estadística cuyos valores se obtienen de mediciones en experimento aleatorio.

Una variable aleatoria puede concebirse como un valor numérico que está afectado por el azar. Dada una variable aleatoria no es posible conocer con certeza el valor que tomará está al ser medida o determinada, aunque sí se conoce que existe una distribución de probabilidad asociada al conjunto de valores posibles. Por ejemplo, en una epidemia de cólera, se sabe que una persona cualquiera puede enfermar o no (suceso), pero no se sabe cuál de los dos sucesos va a ocurrir. Solamente se puede decir que existe una probabilidad de que la persona enferme.

Las variables aleatorias suelen tomar valores reales, pero se pueden considerar valores aleatorios como valores lógicos, funciones... El término elemento aleatorio se utiliza para englobar todo ese tipo de conceptos relacionados. Un concepto relacionado es el de proceso estocástico, un conjunto de variables aleatorias ordenadas (habitualmente por orden o tiempo).

Una variable aleatoria (v.a.) X es una función real definida en el espacio muestra, Ω, asociado a un experimento aleatorio.

La definición formal anterior involucra conceptos matemáticos sofisticados procedentes de la teoría de la medida, concretamente la noción de espacio de probabilidad.3 4

Dado un espacio de probabilidad   y un espacio medible , una aplicación   es una variable aleatoria si es una aplicación  -medible.

En la mayoría de los de ), quedando pues la definición de esta manera:

Dado un espacio de probabilidad   una variable aleatoria real es cualquier función  -medible donde   es la σ-álgebra boreliana.

EL RANGO DE UNA VARIABLE ALEATORIA

Se llama rango de una variable aleatoria X y lo denotaremos RX, a la imagen o rango de la función  , es decir, al conjunto de los valores reales que ésta puede tomar, según la aplicación X. Dicho de otro modo, el rango de una v.a. es el recorrido de la función por la que ésta queda definida:...

EJEMPLO

Supongamos que se lanzan dos monedas al aire. El espacio muestra, esto es, el conjunto de resultados elementales posibles asociado al experimento, es

,

Donde (c representa "sale cara" y x, "sale cruz").

Podemos asignar entonces a cada suceso elemental del experimento el número de caras obtenidas. De este modo se definiría la variable aleatoria X como la función

Dada por

El recorrido o rango de esta función, RX, es el conjunto

CLASIFICACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS

Se clasifican en 2 Variable Cualitativa y Variable Cuantitativa

VARIABLE CUALITATIVA

Es aquella variable aleatoria que toma valores de tipo nominal o valores que denotan una cualidad. Veamos el siguiente ejemplo para fortalecer la idea. Supongamos que en una urna tenemos 20 bolas de color rojo, 15 de color azul y 18 de color blanco. Sacamos una bola al azar, esto es sin mirar la urna. Supongamos que definimos la variable X por "el color de la bola sacada de la urna". Entonces X tomara valores en el espacio de estado {rojo, azul, blanco}.

De otra forma

X que toma valores en {rojo, azul, blanco}

Es una variable cualitativa.

Variable Cualitativa Ordinal

Es aquellas variables que aun denotando resultados aleatorios de tipo cualitativo, es posible conforme al experimento aleatorio asociado a estos resultados, dotarlas de una relación de orden. Pensemos en el siguiente ejemplo, la variable D representará el nivel de dolor a causa de un tratamiento médico de tipo invasivo, y cuyos valores son "inexistente", "poco intenso", "moderado", y "muy fuerte". Es claro que entre estos niveles existe una relación de orden aun cuando no sean valores numéricos. De otra forma, D toma valores en el conjunto {inexistente, poco intenso, moderado, muy fuerte}.

Los datos cuantitativos que no admitan una jerarquía de orden se llaman simplemente variable cualitativa nominal, Por ejemplo, la variable que está midiendo en un determinado conglomerado de personas la profesión de cada una de ellas, {ingeniero, profesor, obrero,..., etcétera}

VARIABLE CUANTITATIVA

Es la que asume valores o cantidades numéricas, de modo que podemos realizar operaciones aritméticas entre estos resultados. Dentro de este tipo de variables podemos distinguir dos grupos: discreta y continua.

Se dice que una variable aleatoria es discreta cuando el espacio de estado, es decir el espacio de todos los posibles resultados, constituye un conjunto discreto. Ahora bien, un conjunto es discreto cuando es contable o que se puede numerar. Piense usted en el conjunto de los números naturales, o en el conjunto {0, 1,..., n}.

Para el primer caso tenemos el siguiente ejemplo: el número de accidentes de tránsito en la ciudad de Antofagasta durante el año 2003; para el segundo caso, el número de "caras" obtenidas al lanzar n veces una moneda.

FUNCION DE DISTRIBUCION

Sea X una variable aleatoria discreta cuyos valores suponemos ordenados de menor a mayor. Llamaremos función de distribución de la variable X, y escribiremos F(x) a la función:

F(x) = p(X ≤ x)

La función de distribución asocia a cada valor de la variable aleatoria la probabilidad acumulada hasta ese valor.

Calcular la función de distribución de probabilidad de las puntuaciones obtenidas al lanzar un dado.

x p i

x <1 0

1≤ x < 2 p

2≤ x < 3 p

3≤ x < 4 p

4≤ x < 5 p

5≤ x < 6 p

6≤ x 1

En la teoría de la probabilidad y en estadística, una función de distribución acumulada (fda) describe la probabilidad de que una variable aleatoria real X sujeta a cierta ley de distribución de probabilidad se sitúe en la zona de valores menores o iguales a x.

Intuitivamente, asumiendo la función f como la ley de distribución de probabilidad, la fda sería la función con la recta real como dominio, con imagen del área hasta aquí de la función f, siendo aquí el valor x para la variable aleatoria real X.

La fda asocia a cada valor x, la probabilidad del evento: "la variable X toma valores menores o iguales a x".

Para cada número real x, una fda está dada por la siguiente definición:1

EN LENGUAJE MATEMÁTICO INTERPRETACIÓN

Una función de nombre "F" le asigna a cada valor real x, el de la probabilidad de que una variable aleatoria X asuma un valor inferior o igual a x.

La probabilidad de que X se sitúe en un intervalo a, b] (abierto en a y cerrado en b) es F(b) − F(a) si a ≤ b.

La fda de una probabilidad   definida sobre el espacio boreliano   es la función   que a todo real   le asocia

EJEMPLO

Como ejemplo, se supone que X está uniformemente distribuida en el intervalo unitario [0, 1]. En ese caso una fda está dada por:

F(x) = 0, si x < 0;

F(x) = x, si 0 ≤ x ≤ 1;

F(x) = 1, si x > 1.

ESPERANZA MATEMATICA

También llamada esperanza, valor esperado, media poblacional o media) de una variable aleatoria X, es el número \opera tórname {E}[X] que formaliza la idea de valor medio de un fenómeno aleatorio.

Cuando la variable aleatoria es discreta, la esperanza es igual a la suma de la probabilidad de cada posible suceso aleatorio multiplicado por el valor de dicho suceso. Por lo tanto, representa la cantidad media que se "espera" como resultado de un experimento aleatorio cuando la probabilidad de cada suceso se mantiene constante y el experimento se repite un elevado número de veces. Cabe decir que el valor que toma la esperanza matemática en algunos casos puede no ser "esperado" en el sentido más general de la palabra - el valor de la esperanza puede ser improbable o incluso imposible.

Por ejemplo, el valor esperado cuando tiramos un dado equilibrado de 6 caras es 3,5. Podemos hacer el cálculo

Y cabe destacar que 3,5 no es un valor posible al rodar el dado. En este caso, en el que todos los sucesos son de igual probabilidad, la esperanza es igual a la media aritmética.

Una aplicación común de la esperanza matemática es en las apuestas o los juegos de azar. Por ejemplo, la ruleta americana tiene 38 casillas equiprobables. La ganancia para acertar una apuesta a un solo número paga de 35 a 1 (es decir, cobramos 35 veces lo que hemos apostado y recuperamos la apuesta, así que recibimos 36 veces lo que hemos apostado). Por tanto, considerando los 38 posibles resultados, la esperanza matemática del beneficio para apostar a un solo número es:

Que es -0,0526 aproximadamente. Por lo tanto uno esperaría, en media, perder unos 5 céntimos por cada euro que apuesta, y el valor esperado para apostar 1 euro son 0.9474 euros. En el mundo de las apuestas, un juego donde el beneficio esperado es cero (no ganamos ni perdemos) se llama un "juego justo".

Nota: El primer paréntesis es la "esperanza" de perder tu apuesta de 1€, por eso es negativo el valor. El segundo paréntesis es la esperanza matemática de ganar los 35€. La esperanza matemática del beneficio es el valor esperado a ganar menos el valor esperado a perder.

PROPIEDADES

Si X es siempre positiva, entonces siempre lo es E(X).

La esperanza matemática de una constante es igual a esa misma constante, es decir, si c es una constante, entonces Plantilla:Nowraper.

Si X está delimitada por dos números reales, a y b, tal que: a < X < b, entonces también lo está su media: a < E(X) < b.

Linealidad. Si existe E(X) y se considera Y = a+bX, entonces E (Y) = E(a+bX) = a+bE(X)

LINEALIDAD

La esperanza es un operador lineal, ya que:

 (*)

Por ende:

Donde   e   son variables aleatorias y   y   son dos constantes cualesquiera.

Nótese que (*) es válido incluso si X no es independiente de Y.

VARIANZA Y DESVIACION TIPICA

VARIANZA

La varianza de unos datos es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de la misma. Se simboliza como σ2 y se calcula aplicando la fórmula

Del mismo modo que para la media, no siempre será posible encontrar la varianza, y es un parámetro muy sensible a las puntuaciones extremas. Se puede observar que al estar la desviación elevada al cuadrado, la varianza no puede tener las mismas unidades que los datos.

PROPIEDADES DE LA VARIANZA

σ2≥ La varianza es un valor positivo, como ya se ha comentado anteriormente, la igualdad sólo se da en el caso de que todas las muestras sean iguales.

Si a todos los datos se les suma una constante, la varianza sigue siendo la misma.

Si todos los datos se multiplican por una constante, la varianza queda multiplicada por el cuadrado de la constante.

Si se disponen de varias distribuciones con la misma media y se calculan las distintas varianzas, se puede hallar la varianza total aplicando la fórmula

DESVIACIÓN TÍPICA

La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza y se representa por la letra σ. Para calculara se calcula la varianza y se saca la raíz. Las interpretaciones que se deducen de la desviación típica son, por lo tanto, parecidas a las que se deducían de la varianza.

Comparando con el mismo tipo de datos, una desviación típica elevada significa que los datos están dispersos, mientras que un valor bajo indica que los valores son próximos los unos de los otros, y por lo tanto de la media

Para conocer con detalle un conjunto de datos, no basta con conocer las medidas de tendencia central, sino que necesitamos conocer también la desviación que presentan los datos en su distribución respecto de la media aritmética de dicha distribución, con objeto de tener una visión de los mismos más acorde con la realidad al momento de describirlos e interpretarlos para la toma de decisiones.

Propiedades De La Desviación Típica

σ≥0 La desviación típica es un valor positivo, la igualdad sólo se da en el caso de que todas las muestras sean iguales.

Si a todos los datos se les suma una constante, la desviación típica sigue siendo la misma.

Si todos los datos se multiplican por una constante, la desviación típica queda multiplicada por dicha constante.

Si se dispone de varias distribuciones con la misma media y se calculan las distintas desviaciones típicas, se puede hallar la desviación típica total aplicando la fórmula.