probabilidad

Facultad de Ciencias

e

Ingeniería

E.A.P. de Ingeniería: Sistemas y Electrónica

CICLO

PRE UCH

MATEMÁTICA BÁSICA 2016 II

Lic.: Miguel Angel Tarazona Giraldo Email - [email protected]

1 | P á g i n a

TEMA: PROBABILIDADES SEMANA:

TURNO: NOCHE AULA: 504 B FECHA:

PROBABILIDADES

Definiciones: Las Probabilidades pertenecen

a la rama de la matemática que estudia

ciertos experimentos llamados aleatorios, o

sea regidos por el azar, en que se conocen

todos los resultados posibles, pero no es

posible tener certeza de cuál será en

particular el resultado del experimento. Por

ejemplo, experimentos aleatorios cotidianos

son el lanzamiento de una moneda, el

lanzamiento de un dado, extracción de una

carta de un mazo de naipes. Más adelante

se verá que debemos distinguir entre los

conceptos de probabilidades matemáticas o

clásicas de las probabilidades

experimentales o estadísticas.

Espacio Muestral. - Se llama espacio

muestral (E) asociado a un experimento

aleatorio, el conjunto de todos los resultados

posibles de dicho experimento.

Al lanzar una moneda, el espacio muestral

es E = {sale cara, sale sello} ó E = {c, s}.

Al lanzar un dado de seis caras, el espacio

muestral es

E = {sale 1, sale 2, sale 3, sale 4, sale 5,

sale 6}

ó E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Al lanzar dos monedas, el espacio muestral

es

E = {(c,c), (c,s), (s,c), (s,s)}.

Al lanzar tres monedas, el espacio muestral

es E = {(c,c,c), (c,c,s), (c,s,c), (c,s,s),

(s,c,c), (s,c,s), (s,s,c), (s,s,s)}

Evento o Suceso. - Se llama evento o suceso

a todo subconjunto de un espacio muestral.

Por ejemplo en el espacio muestral E = {1,

2, 3, 4, 5, 6} del lanzamiento de un dado,

los siguientes son eventos:

1. Obtener un número primo A = {2, 3, 5}

2. Obtener un número primo y par B = {2}

3. Obtener un número mayor o igual a 5 C

= {5, 6}

Eventos mutuamente excluyentes. - Dos

eventos son mutuamente excluyentes si no

pueden ocurrir en forma simultánea, esto

es, si y sólo si su intersección es vacía. Por

ejemplo, en el lanzamiento de un dado los

eventos B = {2} y C = {5, 6} son

mutuamente excluyentes por cuanto

B C = .

Eventos Complementarios.- Si A B = y

A B = E, se dice que A y B son eventos complementarios: Ac = B y

Bc = A

Su Medición Matemática o Clásica. Si en un

experimento aleatorio todos los resultados son equiprobables (iguales probabilidades),

es decir, la ocurrencia de uno es igualmente posible que la ocurrencia de cualquiera de los demás, entonces, la probabilidad de un

evento A es la razón:

𝑃(𝐴) = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐴

𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠


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A partir de esta definición las probabilidades

de los posibles resultados del experimento

se pueden determinar a priori, es decir, sin

realizar el experimento.

Se deduce de la definición lo siguiente:

0 P(A) 1 La medición probabilística es un

número real entre 0 y 1, inclusive, ó

0% P(A) 100% en porcentaje.

P( ) = 0 y P(E) = 1

Su Medición Experimental o Estadística.- La

frecuencia relativa del resultado A de un

experimento es la razón

FR = número de veces que ocurre A/número

de veces que se realiza el experimento

Si el experimento se repite un número

grande de veces, el valor de FR se

aproximará a la medición probabilística P del

evento A. Por ejemplo, si lanzo 100 veces

una moneda, el número de veces que

obtengo cara es cercano a 50, o sea FR es

cercano a 50%.

𝑃(𝐴) =𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑎 𝐴

𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠

Probabilidad Total. - Si quisiéramos saber

cuál es la probabilidad de sacar un dos o un cinco al tirar un dado, estamos hablando de

sucesos mutuamente excluyentes; pues sólo al tirar el dado puedes sacar uno de ellos dos, es decir, un evento (sacar dos)

imposibilita el otro (sacar un cinco) ya que no puedes sacar los dos al mismo tiempo.

Para sacar la probabilidad total de dos o más sucesos mutuamente excluyentes se suman las probabilidades de cada uno de los

sucesos.

P(M o N)=P(M)+P(N) Para nuestro ejemplo la respuesta sería:

𝑃(𝑠𝑎𝑐𝑎𝑟 2 𝑜 𝑠𝑎𝑐𝑎𝑟 5) = 𝑃(𝑠𝑎𝑐𝑎𝑟 2) +

𝑃(𝑠𝑎𝑐𝑎𝑟 5) =1

6+

1

6=

=2

6=

1

3= 0,33333 … = 33,33%

Veamos otro ejemplo: La madrina de

recuerdos en una boda ha comprado dos

tipos de recuerdos: 50 velas y 50 centros de

mesas para los invitados.

¿Cuál es la probabilidad de que a un

invitado le toque como recuerdo vela o

centro de mesa si es que llegaron 150

invitados?

Primero calculemos la probabilidad de

obtener una vela.

150 invitados es el número de casos posibles, mientras que 50 es el número de

casos favorables pues son 50 velas.

La probabilidad de obtener un centro de mesa es exactamente la misma pues hay el

mismo número de centros de mesa.

La probabilidad total será la suma de cada una de las probabilidades obtenidas, es

decir:

Probabilidad Conjunta. - Si quisiéramos

conocer cuál es la probabilidad de sacar 5 al tirar dos veces un dado, estamos hablando

de sucesos independientes; pues los tiros son distintos. Para estos casos la probabilidad de ocurrencia de ambos

sucesos simultáneamente será igual al producto de las probabilidades individuales.

𝑃(𝑀 𝑦 𝑁) = 𝑃(𝑀). 𝑃(𝑁)


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Para nuestro ejemplo la respuesta sería:

𝑃(𝑠𝑎𝑐𝑎𝑟 𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 5) = 𝑃(𝑠𝑎𝑐𝑎𝑟 5). 𝑃(𝑠𝑎𝑐𝑎𝑟 5)

= (1

6) (

1

6) =

1

36= 0,027 = 2,7%

Nota: Aplicamos la misma fórmula para

eventos dependientes siempre y cuando

estemos buscando la probabilidad

simultánea de los sucesos.

Por ejemplo, al buscar la probabilidad de

sacar dos reinas en una baraja de 52 cartas

sin devolver la primera carta, se tomará en

cuenta para la segunda extracción que ya

hay 51 cartas y sólo 3 reinas. Es decir:

𝑃(𝑠𝑎𝑐𝑎𝑟 2 𝑟𝑒𝑖𝑛𝑎𝑠 ) =

𝑃(𝑠𝑎𝑐𝑎𝑟 𝑢𝑛𝑎 𝑟𝑒𝑖𝑛𝑎)𝑥(𝑠𝑎𝑐𝑎𝑟 𝑜𝑡𝑟𝑎 𝑟𝑒𝑖𝑛𝑎) =

=4

52

3

51=

12

2652=

1

221= 0,0045 = 0,45%

Veamos otro ejemplo: En una clase

universitaria de ciencias hay 30 alumnos, de

los cuales 5 estudian f ísica, 15 matemáticas

y 10 biolog ía. De estos mismos 22 son

mujeres y el resto hombres. ¿Cuál ser ía la

probabilidad de que al escoger un estudiante

al azar para pasar al pizarrón éste fuera

hombre y estudiante de matemáticas?

Primero calculemos la probabilidad de ser

hombre. Para esto sabemos que son 30

alumnos (casos posibles) y que de ellos 22

son mujeres. Si a 30 le quitamos 22 nos

quedan 8 que son los hombres (casos

favorables). Al sustituir tenemos:

Ahora calculemos la probabilidad de ser

estudiante de matemáticas. Recordemos

que 30 son nuestros casos posibles (pues

sólo hay 30 alumnos), y que de estos 15

estudian matemáticas (casos favorables).

As í tenemos que:

Hemos dicho que la probabilidad conjunta

(simultánea) será el producto de las

probabilidades de cada suceso; es decir; H: hombre, M: Matemáticas

𝑃(𝐻 𝑦 𝑀) = 𝑃(𝐻)𝑥𝑃(𝑀)

𝑃(𝐻 𝑦 𝑀) = 𝑃(𝐻)𝑥𝑃(𝑀) = (8

30) (

15

30) =

120

900

=2

15= 0,133333 … = 13,33%

Ejercicios 1) Sea un experimento aleatorio que

consiste en lanzar al aire los dados que no

están cargados, y se considera espacio

muestral el resultado de la suma de los

valores obtenidos, calcular:

a) Espacio muestral:

E = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10, 11, 12} = 11

elementos

b) La probabilidad del suceso A = {2}

𝑃(𝐴) =1

11

c) La probabilidad del suceso B = {par}

𝑃(𝐵) =6

11

d) La probabilidad del suceso

C = {10,11,12}

𝑃(𝐶) =3

11

e) La probabilidad del suceso

D = {4, 5, 6, 7}

𝑃(𝐷) =4

11

f) 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = {2, 4, 6, 8, 10, 12} =6

11

g) 𝑃(𝐴 ∪ 𝐶) = {2, 10, 11, 12} =4

11

h) 𝑃(�̅� ∪ 𝐶) = {2, 3, 4, 8, 9, 10, 11, 12} =7

11

i) 𝑃(�̅� ∪ 𝐷) = {3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11} =7

11


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j) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅) = 𝑃(�̅� ∪ �̅�) = {3, 4, 5, 6, 7, 8,

9, 10, 11, 12}

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅) = 𝑃(�̅� ∪ �̅�) =10

11

k) 𝑃(𝐵 ∪ 𝐶̅) = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} =10

11

l) 𝑃(𝐵 ∩ 𝐷) = {4, 6} =2

11

2) Al lanzar un dado tres veces, ¿según las

probabilidades, es conveniente apostar a

favor o en contra de obtener al menos una

vez el 2?

Solución "Al menos una vez el 2" quiere decir "alguna

vez se obtiene el 2". Llamando A={alguna vez se obtiene el 2}, su complemento es

Ac={ninguna vez se obtiene el 2} P(Ac)=P(no sale 2 en 1er lanzam.).P(no sale 2 en 2º lanzam.).P(no sale 2 en 3er

lanzam.)=5/6•5/6•5/6 =125/216 0,58. Luego, como P(A)+P(Ac)=1

P(A)=1-0,58=0.42=42%. Por lo tanto, no conviene apostar a favor.

3) En una tómbola hay dos bolitas blancas

y tres bolitas negras, ¿cuál es la

probabilidad de sacar una blanca y después una negra?

a) Si hay reposición, esto es, después de

sacar la primera bolita, ésta se devuelve a la tómbola.

b) Si no hay reposición, esto es, después de sacar la primera bolita, ésta no se devuelve a la tómbola.

a) En este caso los eventos son independientes ya

que al reponer la bolita la ocurrencia de un evento no afecta al otro.

Sean los eventos A: "sacar una bolita

blanca" y B: "sacar una bolita negra", entonces,

usando P(A B)=P(A)•P(B),

P(A B)=2/5•3/5=6/25

b) Si no hay reposición, los eventos son

dependientes ya que la bolita no es

repuesta a la tómbola, por lo que

ocupamos

P(A B)=P(A)•P(B/A)=2/5·3/4=3/10

4) Repita el problema 2) anterior, pero

ahora la pregunta es ¿cuál es la

probabilidad de sacar una blanca y una

negra? (note que ahora no importa el

orden).

a) Si hay reposición, esto es, después de

sacar la primera bolita, ésta se devuelve a

la tómbola

b) Si no hay reposición, esto es, después

de sacar

la primera bolita, ésta no se devuelve a la

tómbola.

a) Usando la definición, el número total de

casos posibles es 5•5=25 y el número de

casos favorables es 2•3+3•2=12(una

blanca y una negra ó una negra y una

blanca), luego, P(A)=12/25=48%. O bien,

usando las propiedades,

P(A)=P(sacar blanca)•P(sacar después

negra) + P(sacar negra)•P(sacar después

blanca)=2/5·3/5+3/5·2/5=12/35=48%

b) Número de casos posibles: 5•4=20 y el

número de casos favorables

=2•3+3•2=12, luego,

P(B)=12/20=3/5=60%.

O bien, usando las propiedades

P(B)=P(sacar blanca)•P(sacar

negra/sabiendo que

ha salido blanca)+P(sacar negra)•P(sacar

blanca/sabiendo que ha salido negra)

=2/5•3/4+3/5•2/4=3/5=60%


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5) Para obtener licencia para conducir, es

necesario aprobar tanto el examen teórico

como el práctico. Se sabe que la prob. que

un alumno apruebe la parte teórica es 0,68,

la de que apruebe la parte práctica es 0,72

y la de que haya aprobado alguna de las dos

partes es 0,82. Si se elige un alumno al azar,

¿cuál es la prob. de que apruebe el examen

para obtener licencia?

Sea A: aprobar la parte teórica,

(P(A)=0,68)

Sea B: aprobar la parte práctica,

(P(B)=0,72)

Debemos cal. la prob. de A y B, P(A B).

Usando P(A B) = P(A)+P(B)-P(A B),

despejamos P(A B):

P(A B)=P(A)+P(B)-P(A B) y

reemplazando,

P(A B)=0,68+0,72-0,82=0,58=58%

Ejercicios

1. Tenemos una urna con 3 bolas rojas y 2

bolas verdes. Si sacamos 3 bolas de la urna,

sin devolución, entonces:

a) Hallar el espacio muestral de este

experimento

b) Formar los sucesos (sacar los resultados)

de:

A = la última bola sacada es roja

B = sólo se ha sacado una bola roja

C = Se han sacado, al menos, 2 bolas rojas

D = No se han sacado dos bolas seguidas del

mismo color.

2. Lanzamos una moneda al aire. ¿Cuál es el

espacio muestral? ¿Cuál es la probabilidad

de sacar cara, y de sacar cruz?

Si en vez de una moneda, es una chincheta,

responder a las mismas preguntas.

3. Se lanza un dado cúbico, con caras

numeradas del 1 al 6, y otro dodecaédrico,

con caras numeradas del 1 al 12. Si

lanzamos los dados al aire:

¿Cuál es la probabilidad de obtener un 1 en

cada una de ellos?

¿Y de que salga un 1 en los dos dados?

4. Vamos a comer a un restaurante; en el

menú del día, como primer plato tenemos

sopa (S) y ensalada (E); de segundo plato,

pasta (P), trucha (T) y filete (F); y de postre,

natillas (N), helado (H) y café (C).

Hacer un diagrama de árbol con todas las

posibilidades.

¿Cuántas combinaciones posibles hay?

5. Lanzamos un dado cúbico (6 caras),

numeradas del 1 al 6, y observamos la

puntuación obtenida. (Se muestran las

soluciones tras las preguntas)

Escribe el espacio muestral

E = {1,2,3,4,5,6}

Escribe los siguientes sucesos:

A = “obtener número par” → A = {2,4,6}

B = “obtener más de 3” → B = {4,5,6}

C= “obtener menos de 3” → C = {1,2}

D = “obtener más de 8” → D = {Ø}

E = “obtener menos de 8” → E = {1,2,3,4,5,6}

¿Qué sucesos es más probable, el B o el C?

→ Es más probable B

¿Cuál de los anteriores es un suceso

imposible? → el D

¿Cuál de los anteriores es un suceso seguro?

→ el E

6. Calcula la probabilidad de obtener un

número mayor que 2 al lanzar un dado

cúbico correcto con sus caras numeradas de

1 a 6.


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7. En una bolsa hay bolas iguales de tres

colores: 3 blancas, 4 verdes y 5 rojas; si se

saca una bola y se mira el color, halla la

probabilidad de que:

Sea blanca

Sea verde

Sea roja

No sea verde

8. Si lanzamos simultáneamente 2 monedas

al aire, calcula la probabilidad de:

Sacar dos caras

Sacar dos cruces

Sacar cara en una moneda y cruz en la otra

9. Una caja contiene 10 bolas, 7 blancas y 3

negras. Si se sacan 2 bolas al azar, escribe

el espacio muestral y calcula la probabilidad

de:

Los dos sean del mismo color, con

reemplazamiento (se devuelve a la caja la

bola que hemos sacado)

Las dos sean del mismo color, sin

reemplazamiento (no devolvemos a la caja

la que hemos sacado)

10. Se extrae una bola de urna que tiene 4

bolas verdes, 5 blancas y 5 negras; halla la

probabilidad de que al sacar una bola:

Sea verde o blanca

No sea blanca

11. Ana y Miguel, dos alumnos del segundo

ciclo, tienen respectivamente 1/2 y 1/5 de

probabilidades de suspender un examen de

matemática. La probabilidad de que ambos

suspendan simultáneamente el examen es

de un 1/10. ¿Cuál es la probabilidad de que

al menos uno de ellos suspenda el examen?

12. Lanzamos simultáneamente dos dados

cúbicos; calcula la probabilidad de:

Dos unos

Dos números distintos de uno

13. Lanzamos al aire una moneda tres veces

seguidas; calcula la probabilidad de:

Sacar tres cruces (+)

Dos caras (c)

14. Se ha probado experimentalmente que la

probabilidad de que una moneda

trucada caiga cara es 0,35. Si lanzamos

simultáneamente dos monedas trucadas de

este tipo, ¿cuál es la probabilidad de que, al

menos una de ellas, caiga cara?

15. En un partido de fútbol, a un equipo le

pitan 2 penaltis en contra. Los va a tirar el

mismo delantero del equipo contrario, cuya

probabilidad de meter gol es 0,8 (es decir,

mete 8 penaltis de cada 10 que tira).

Halla la probabilidad de que meta, al

menos, un gol

¿Cuál es la probabilidad de que falle los dos

penaltis?

17. Acuden a una cena 28 hombres y 32

mujeres; de postre, han comido flan 16

hombres y 20 mujeres; el resto han comido

tarta. Si elegimos al azar uno de los

comensales, calcula la probabilidad de que:

sea hombre

haya comido tarta

sea hombre y haya comido flan

Referencias

http://www.conevyt.org.mx/actividades/probab

ilidad/sabermas2.html

http://www.conevyt.org.mx/actividades/probabilidad/sabermas2.html

http://www.conevyt.org.mx/actividades/probabilidad/sabermas2.html

probabilidad

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