probabilidad

Profesor: Javier Trigoso T. Matemática 1

1

LAS PROBABILIDADES Y EL SENTIDO COMÚN

¿Existen leyes del azar? Nuestro sentido común

pareciera decirnos que el azar y las leyes son

conceptos contradictorios. Si algo sucede al azar, es

porque no hay leyes que lo determinan. ¿Cómo puede

hablarse entonces de leyes del azar? Sin embargo,

existe una rama de la Matemática que trata sobre las

leyes del azar y es la Teoría de Probabilidades. El

cálculo de probabilidades nos permite prever algunas

eventualidades de origen aleatorio. Cuando hablamos de prever, debemos hacerlo

con mucho cuidado, pues no se trata de enunciar una profecía, sino de una

cuantificación o medida con respecto a la ocurrencia de un evento. El objetivo de la

Teoría de Probabilidades es interpretar y calcular las probabilidades de fenómenos

complejos en función de las probabilidades mas sencillas de fenómenos conocidos.

Esto último podemos configurarlo intuyendo los eventos por simetría, por ejemplo,

el clásico lanzamiento de una moneda.

Cuando lanzamos una moneda, suponemos a priori la cualidad simétrica de

que ambos lados (cara y sello) tienen igual posibilidad de ocurrir o, para decirlo

cuantitativamente, tienen igual probabilidad de ocurrir. Como hay solo dos casos

posibles (cara o sello), decimos que hay un caso de dos de que resulte cara y, por

supuesto, también un caso de dos de que resulte sello. Esto se puede cuantificar

mejor si empleamos esta relación como razón geométrica y decimos: probabilidad

de cara es uno entre dos igual a un medio, y probabilidad de sello es uno entre dos

igual a un medio, y lo escribimos como:

cara sello

1 1P ; P

2 2

En virtud de nuestra experiencia, y tomando el termino suceso en la acepción del lenguaje corriente, podemos enunciar lo siguiente: “La probabilidad

de un suceso es la razón entre el número de casos esperados y el número de

casos posibles”.Así, por ejemplo, lanzamos un dado y esperamos obtener un

número impar.Sabemos que un dado tiene tres números impares: 1; 3 y 5, estos son

los casos esperados, y sabemos también que tiene seis números: 1; 2; 3; 4; 5 y 6,

estos son los casos posibles. Luego, calculamos:

impar impar

3 1P P

6 2


2

DEFINICIONES FORMALES Y PROBABILIDAD

Recordando los ejemplos ya descritos sobre lanzamiento de monedas o dados,

hechos con resultados al azar, y teniendo en cuenta que son actos que se pueden

realizar todas las veces que se desee, definiremos:

Experimento aleatorio (E): es todo proceso que se puede

repetir indefinidamente con resultados imprevisibles.

Así, son experimentos aleatorios el lanzamiento de una moneda, de

un dado, la extracción de una bola de bingo, ciertos procesos

productivos dela naturaleza o de la industria como los nacimientos

(macho o hembra) o artículos (buenos o defectuosos), etc.

Espacio muestral: dado un experimento aleatorio E, se llama

espacio muestral Ω de E al conjunto formado por todos los

resultados posibles del experimento.

Por ejemplo, en el caso del lanzamiento de una moneda tenemos el

espacio muestral: Ω1={c; s}

Si lanzamos un dado, el espacio muestral es: Ω2 = {1; 2; 3; 4; 5; 6}

Evento o suceso: se llama evento o suceso de un experimento aleatorio Ea

cualquier subconjunto A del espacio muestral Ω de este experimento.

Hay sucesos que siempre van unidos a todo experimento aleatorio:

Suceso seguro: está formado por todos los resultados posibles del

experimento. Es el suceso que ocurre siempre y coincide con el espacio

muestral. Suceso imposible: es el suceso que no se produce nunca; es decir, no

aparece al realizar un experimento aleatorio.

Ejemplo 1:

Lanzamos al aire una moneda tres veces. Determina el espacio muestral

y los elementos que conforman los sucesos A: obtener dos caras y un

sello, y B: obtener por lo menos un sello.

Resolución

Determinamos el espacio muestral: Ω ccc,ccs,csc,css,scc,scs,ssc,sss

Determinamos el suceso A (obtener dos caras y un sello): A ccs,csc,scc

Determinamos el suceso B (obtener por lo menos un sello):

B ccs,csc,css,scc,ssc,sss

Son experimentos

aleatorios:

Lanzar un dado

Sacar una carta

de una baraja

Jugar un número

de una ruleta


3

PROBABILIDAD DE UN SUCESO

Ley de Laplace

Si los sucesos elementales del espacio muestral son equiprobables, la probabilidad

de un suceso A, denotado P(A), es el cociente entre el número de casos favorables

de que ocurra el suceso A y el número de casos posibles:

n Anúmero de casos favorables

P Anúmero de casos posibles n Ω

Propiedades de la probabilidad

Para cada suceso A, la probabilidad P(A) está comprendida desde 0 hasta 1, es

decir, 0 P A 1

La probabilidad del suceso seguro (Ω) es 1, es decir P Ω 1

La probabilidad del suceso imposible Ø es 0, es decir P Ø 0

Si Ā es el suceso contrario o complementario de A, P Ā 1 P A

Si A y B son dos sucesos compatibles, P A B P A P B P A B

Si A y B son dos sucesos incompatibles, P A B P A P B

Ejemplo 2:

Calcula la probabilidad de que al lanzar un dado, salga un número par o primo.

Determinamos el espacio muestral y los sucesos A, salir número par, y B,

salir número primo:

Ω 1;2;3;4;5;6 ; A 2;4;6 ; B 2;3;5

Aplicamos la propiedad de sucesos compatibles, ya que existe un número par

que también es primo (el número 2)

3 3 1 5

P A B P A P B P A B P A B6 6 6 6

Entonces, la probabilidad de que salga un número par o primo es 5/6.

Probabilidad de sucesos independientes y dependientes

Dos sucesos son independientes cuando el resultado del primero no influye en la

probabilidad del segundo. La probabilidad de un suceso ligado a dos sucesos

independientes se calcula multiplicando la probabilidad de cada suceso.

P A B P A .P B


4

Ejemplo 3:

Se extraen dos cartas de una baraja de 52, en forma sucesiva

y con reposición. Calcula la probabilidad de que ambas cartas

sean de corazones.

Al reponer la carta extraída en el primer suceso, la

probabilidad del segundo suceso no queda afectada, ya que la baraja

mantiene las 52 cartas.

Calculamos la probabilidad de cada suceso:

P(A): obtener corazón en la primera extracción. 13

P A52

P(B): obtener corazón en la segunda extracción. 13

P B52

Calculamos la probabilidad del experimento aleatorio:

13 13 1

P A B P A .P B P A B .52 52 16

La probabilidad es 1/16

Dos sucesos son dependientes cuando el resultado del primero influye en la

probabilidad del segundo. La probabilidad de un suceso ligado a dos sucesos

dependientes se calcula multiplicando la probabilidad del primer suceso por la

probabilidad del segundo suceso, habiendo ocurrido el primero.

BP A B P A .PA

Ejemplo 4:

Se extraen dos cartas de una baraja de 52, en forma sucesiva y sin

reposición. Calcula la probabilidad de que ambas cartas sean de corazones.

Al no reponer la carta extraída en el primer suceso, la probabilidad del

segundo suceso queda afectada, ya que la baraja se reduce a 51 cartas.

Calculamos la probabilidad de cada suceso:

P(A): obtener corazón en la primera extracción. 13

P A52

P(B): obtener corazón en la segunda extracción, habiendo salido corazón en

la primera extracción. 12

P B51

Calculamos la probabilidad del experimento aleatorio:

13 12 1BP A B P A .P P A B .

A 52 51 17

La probabilidad es 1/17


5

ESPERANZA MATEMÁTICA

En todo fenómeno probabilístico existen dos posibilidades: acertar o no acertar la

posibilidad de que ocurra un suceso. Así, por ejemplo:

El meteorólogo, después de estudiar las variables que intervienen en el

clima, predice cuál será el comportamiento de este (con el ánimo de

acertar)

El comerciante compra diferentes productos para vender y calcula (a veces,

considerando las variables que intervienen en el precio) cuánto deberá

vender para estimar la cantidad a comprar.

Un jugador de casino tira los dados con cierta fuerza esperando que salga

determinada cara para ganar el premio.

En estos ejemplos y en muchos otros, todos los que participan tienen la esperanza

de ganar (o acertar y cuánto más veces, mejor), pero esto no es fácil.

La esperanza matemática (o valor esperado o, simplemente esperanza)

de una variable aleatoria es la suma de las probabilidades de cada suceso

multiplicado por su valor.

Esto es:

n

i ii 1

E x x.p

Entonces, la esperanza matemática de x o valor esperado de x, E(x) es:

1 1 2 2 3 3 n nE x x .p x .p x .p ............................. x .p

Ejemplo 5:

Una lotería electrónica realiza su

sorteo los domingos al mediodía. El

premio principal lo pueden ganar 0, 1,

2, 3, 4 personas y sus respectivas

probabilidades son 0,80, 0,07, 0,06,

0,04, 0,03. ¿Cuál es el número

esperado de ganadores en dicho

sorteo?

Resolución:

Para responder a la pregunta debemos

calcular la esperanza matemática: E x 0(0,80) 1(0,07) 2(0,06) 3(0,04) 4(0,03)

E x 0 0,07 0,12 0,12 0,12

E x 0,43

El número esperado de ganadores es

0,43 y se interpreta como: “El número


6

esperado de ganadores en 100

sorteos es 43”

Ejemplo 6:

Elvira le dice a Juan: Esta urna

contiene 70 bolas rojas y 30 bolas

blancas. Te doy S/.5 si la bola que

extraes es roja y si la bola que

extraes es blanca, tú me das S/.15. Si

Juan acepta el reto, ¿qué puede

esperar si juega muchas veces? Resolución:

Analizamos ambas situaciones:

La probabilidad de extraer

bola roja y ganar S/.5 es

70 7

P R100 10

La probabilidad de extraer

bola blanca y perder S/.15 es

30 3

P R100 10

Calculamos la esperanza matemática

E(x)

7 3E x 5. 15 .

10 1035 45 10

E x 110 10 10

Esto quiere decir que si Juan juega

muchas veces, se espera que pierda

S/.1

Como la esperanza matemática es

negativa, decimos que el juego no es

equitativo y que perjudica al jugador.

Observaciones:

Si la esperanza matemática es igual a 0, el “juego” se considera justo. Por

ejemplo: apostar 1 nuevo sol a que al lanzar una moneda sale cara (o sale

sello), siendo el premio dos nuevos soles si se gana y 0 nuevos soles si se

pierde. Si la esperanza matemática es menor que 0, el “juego” se considera injusto;

así, por ejemplo: si en una rifa se pagan 500 nuevos soles siendo un nuevo

sol el costo del boleto pero habiendo 1 000 boletos, la esperanza

matemática es – 0,5.

Si la esperanza matemática es mayor que 0, el “juego” es considerado como

favorable; por ejemplo, cuando por acertar qué cara va a salir en un dado se

paga 10 nuevos soles siendo el osto de un sol. Nótese que la probabilidad de

acertar es de 1/6. Por ello, el valor de la esperanza matemática es de 1,66

y, por tanto, bastante beneficiosa para el jugador.

PARA LA CLASE…

01. Se extrae al azar una carta de una

baraja de 52 cartas. ¿Cuál es la

probabilidad de que sea una carta

roja o un As? 7/13

02. Se lanza un dado dos veces en

forma sucesiva, ¿cuál es la

probabilidad de que ambos resultados

sean 3? 1/36


7

03. En una caja hay 20 tarjetas

Numeradas del 1 al 20. Se extrae una

carta al azar, ¿cuál es la probabilidad

de que sea mayor que 12 o múltipo de

5? 1/2

04. De una baraja de 52 cartas se

extraen dos de ellas, una tras otra.

Calcula la probabilidad de obtener:

a. Dos ases 1/221

b. “As” en la primera y una carta

distinta en la segunda extracción.

16/221

c. Ningún “as” 188/221

d. Algún “as” 33/221

05. Se lanza una moneda tres veces.

Calcula la probabilidad de obtener:

a. Cara en la primera, sello en la

segunda y cara en la tercera. 1/8

b. Dos caras 3/8

c. Ninguna cara 1/8

d. Al menos un sello 7/8

e. Dos caras o dos sellos 3/4

06. Se lanza una moneda. Si sale cara,

se extrae una bola de una bolsa en la

que hay 3 rojas y 2 blancas. Si sale

sello, se extrae una bola de otra bolsa

en la que hay 6 rojas y 2 blancas.

Calcula la probabilidad de que la bola

extraída de la bolsa sea blanca. 13/40

07. Se lanza un dado. Si sale un

número mayor que 4, se extrae una

bola de una caja que contiene 3

blancas y 5 negras. En caso contrario,

se extrae una bola de otra caja en la

que hay 2 blancas y 6 negras. ¿Cuál es

la probabilidad de obtener finalmente

una bola negra? 17/24

08. Una urna contiene 5 bolas rojas y

2 bolas blancas; otra urna contiene 8

bolas rojas y 4 blancas. Se extrae una

bola de la primera urna y sin ver su

color se introduce en la segunda urna;

luego se extrae una bola de la

segunda urna. Calcula las siguientes

probabilidades:

a. Que la bola extraída de ambas

urnas sea roja. 45/91

b. Que la bola extraída de la primera

sea roja y de la segunda sea

blanca. 20/91

c. Que la bola extraída de la primera

sea blanca y de la segunda sea

roja. 16/91

d. Que la bola extraída de ambas sea

blanca. 10/91

e. Que la bola extraída de la segunda

sea roja. 61/91

f. Que la bola extraída de la segunda

sea blanca. 30/91

09. Al invertir en ciertas acciones,

una persona puede tener una ganancia

en un año de S/.1 800 con

probabilidad de 0,3 o tener una

pérdida de S/.500 con probabilidad

de 0,7. ¿Cuál es la ganancia esperada

de esta persona? S/.190

10. Para disuadir a sus compañeros de

trabajo de participar en apuestas,

Pedro analiza un juego con dados:

cada vez que se juega, la casa hace

una apuesta de S/.100. Si el

participante lanza dos dados y la suma

es 7, gana el doble, ¿es equitativo

este juego? No


8

PARA LA CASA…

01. Al arrojar un dado, ¿cuál es la

probabilidad de que salga 3 o un

número par?

A. 2/3 B. 1/2 C) 1/3

D) 5/6 E) 1/6

02. En una bolsa se echan 12 bolitas

numeradas correlativamente del 1 al

12. Calcular la probabilidad de

obtener un número menor que 5 o

múltiplo de 5 al sacar una de ellas.

A. 1/2 B. 1/3 C. 1/6

D. 1/18 E. 0

03. Calcula la probabilidad de

obtener dos ases de un naipe de 52

cartas, sin devolver la primera carta

al naipe.

A. 1/26 B. 1/352 C. 4/663

D. 1/221 E. 3/674

04. Al lanzar dos dados, ¿cuál es la

probabilidad de obtener un puntaje

menor que 5 ó mayor que 10?

A. 1/72 B. 1/12 C. 1/4

D. 1/6 E. Ninguna

05. Determinar la probabilidad de que

al lanzar un dado cuatro veces no se

obtenga ningún 6.

A. 0 B. 1/1296 C. 10/3

D. 2/3 E. 625/1296

06. Calcula la probabilidad de que al

sacar dos fichas de una bolsa, que

contiene 3 fichas rojas y 4 blancas,

con reposición, ambas sean fichas

rojas.

A. 3/4 B. 2/7 C. 6/49

D. 1/7 E. 9/49

07. Si se lanza un dado, calcular la

probabilidad de que se obtenga un

número impar o múltiplo de 3.

A. 1/2 B. 2/3 C. 1/3

D. 1/6 E. 5/6

08. Se extraen dos cartas, una tras

otra, sin devolución, de una baraja de

40 cartas. Calcular la probabilidad de

que ambas cartas sean reyes.

A. 1/100 B. 1/5 C. 1/130

D. 23/130 E. 1/20

09. Se lanzan dos dados, ¿cuál es la

probabilidad de que la suma de los

resultados sea menor que 6, si

sabemos que dicha suma ha sido

múltiplo de 4?

A. 1/3 B. 1/4 C. 5/18

D. 3/10 E. Ninguna de las

anteriores

10. En un naipe de 40 cartas se toman

3 cartas distintas. Calcular la

probabilidad de que sean números

distintos.

A. 1/64.000 B. 3/40 C. 1/59.280

D. 4/3.705 E. 192/247

11. Se tiene dos urnas con bolas. La

primera contiene 2 bolas blancas y 3

bolas negras; mientas que la segunda

contiene 4 bolas blancas y una bola

negra. Si se elige una urna al azar y se

extrae una bola, ¿cuál es la

probabilidad de que la bola

extraída sea blanca?

A. 6/5 B. 8/25 C. 2/5

D. 3/5 E. 4/5


9

12. ¿Cuál es la probabilidad de

obtener siete puntos en el

lanzamiento de dos dados?

A. 1/6 B.1/2 C. 7/12

D. 7/36 E. 7/2

13. Al lanzar dos monedas, ¿qué

probabilidad hay de obtener una cara

y un sello?

A. 4 B. 2 C. 1

D. 1/2 E. 1/4

14. Una caja contiene 12 bolas negras

y 8 rojas, ¿qué probabilidad hay de no

sacar una bola negra?

A. 2/5 B. 3/5 C. 2/3

D. 3/2 E. 8

15. Se lanza un dado y sale 4. ¿Qué

probabilidad hay de que al lanzarlo

nuevamente sume con el primer

resultado un número menor que 9?

A. 1/9 B. 5/6 C. 7/36

D. 4/9 E. 2/3

16. En un curso de 60 alumnos, 1/3 de

los alumnos habla inglés, 1/4 habla

francés y 1/10 habla los dos idiomas,

¿cuál es la probabilidad de que un

alumno elegido al azar hable sólo un

idioma?

A. 1/3 B. 1/4 C. 23/60

D. 29/60 E. 7/12

17. ¿Cuál de las siguientes

expresiones no corresponde a un

suceso aleatorio?

A. Jugar un juego de azar

B. Enfriar agua a 0º C.

C. Lanzar una piedra y medir su

alcance

D. Preguntarle a un desconocido si

fuma

E. Apostar en una carrera de caballos

18. ¿Qué probabilidad hay de que la

lanzar 2 dados se obtenga una suma

menor que 6?

A. 10 B. 5/6 C. 1/6

D. 5/18 E. 5/36

19. ¿Cuál es la probabilidad de ganar

el premio de un rifa para la cual se

venden 20 listas y cada lista tiene 20

números, si se compran 4 números?

A. 1/100 B. 1/10 C. 1/5

D. 1/4 E. Ninguna de las

anteriores

20. ¿Cuántos elementos tiene el

espacio muestral que se obtiene al

lanzar 3 monedas?

A. 27 B. 9 C. 8

D. 6 E. 3

21. Al lanzar un dado 2 veces

consecutivas, ¿qué probabilidad hay

de obtener primero un 3 y luego un

número par?

A. 1/3 B. 1/12 C. 1/9

D. 2/3 E. 4

22. Una clase está formada por 10

chicos y 10 chicas; la mitad de las

chicas y la mitad de los chicos han

elegido francés como asignatura

optativa.

A. 0,24 B. 0,35 C. 0,69

D. 0,75 E. 1

23. ¿Y la probabilidad de que sea

chica y no estudie francés?

A. 0,25 B. 0,43 C. 0,69


10

D. 0,75 E. 1

24. En un centro escolar los alumnos

pueden optar por cursar como lengua

extranjera inglés o francés. En un

determinado curso, el 90% de los

alumnos estudia inglés y el resto

francés. El 30% de los que estudian

inglés son chicos y de los que estudian

francés son chicos el 40%. El elegido

un alumno al azar, ¿cuál es la

probabilidad de que sea chica?

A. 0,24 B. 0,35 C. 0,69

D. 0,75 E. 1

25. El 20% de los empleados de una

empresa son ingenieros y otro 20%

son economistas. El 75% de los

ingenieros ocupan un puesto directivo

y el 50% de los economistas también,

mientras que los no ingenieros y los no

economistas solamente el 20% ocupa

un puesto directivo. ¿Cuál es la

probabilidad de que un empleado

directivo elegido al azar sea

ingeniero?

A. 0,45 B. 0,05 C. 0,405

D. 0,40 E. 1

26. Un jugador lanza dos monedas.

Gana 1 ó 2 nuevos soles si aparecen

una o dos caras. Por otra parte pierde

5 nuevos soles si no aparece cara.

Determina la esperanza matemática

del juego y si éste es favorable.

A. 1/4. Es favorable

B. 9/4. Es favorable

C. −1/4. Es desfavorable

D. -9/4. Es desfavorable

E. No se puede determinar

27. Un jugador lanza un dado

corriente. Si sale número primo, gana

tantos cientos de euros como marca

el dado, pero si no sale número primo,

pierde tantos cientos de euros como

marca el dado. Determinar la

esperanza matemática del juego.

A. 15,333 B. 16,333

C. 16,667 D. 17,333

E. 17,667

28. Si una persona compra un

Boleto en una rifa, en la que puede

ganar de 5 000 nuevos soles o un

segundo premio de 2 000 nuevos soles

con probabilidades de: 0,001 y 0,.003.

¿Cuál sería el precio justo a pagar por

la papeleta?

A. S/.9,5 B. S/.10 C. S/.10,5

D. S/.11 E. S/.11,5

29. Tenemos 100 números de lotería a

5 euros cada uno, con un premio de

50, otro de 100 y otro de 250 euros,

¿cuál sería la esperanza matemática

de ganancias para una persona que

compre 2 números?

A. 400 euros B. 500 euros

C. 600 euros D. 700 euros

E. 800 euros

30. Un juego consiste en lanzar un

dado con sus caras marcadas con los

números 1, 2, 3, 4, 5, 6; si sale 2 se

puede ganar S/.12, si sale 3 ó 5 se

puede ganar S/.6 y se pierde S/.9 en

los otros casos. Determina la utilidad

esperada en el juego.

A. ganar S/.0,25 B. ganar S/.0,5

C. perder S/.0,5 D.perder S/.0,25

E. ni ganar ni perder

http://issuu.com/sapini/docs

http://issuu.com/sapini/docs

probabilidad

Documents